UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO DAVIDSON PAULO AZEVEDO OLIVEIRA UM ESTUDO MISTO PARA ENTENDER AS CONTRIBUIÇÕES DE ATIVIDADES BASEADAS NOS FUNDOS DE CONHECIMENTO E ANCORADAS NA PERSPECTIVA SOCIOCULTURAL DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA PARA A APRENDIZAGEM DE FUNÇÕES POR MEIO DA PEDAGOGIA CULTURALMENTE RELEVANTE Ouro Preto 2012

2 DAVIDSON PAULO AZEVEDO OLIVEIRA UM ESTUDO MISTO PARA ENTENDER AS CONTRIBUIÇÕES DE ATIVIDADES BASEADAS NOS FUNDOS DE CONHECIMENTO E ANCORADAS NA PERSPECTIVA SOCIOCULTURAL DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA PARA A APRENDIZAGEM DE FUNÇÕES POR MEIO DA PEDAGOGIA CULTURALMENTE RELEVANTE Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado Profissional em Educação Matemática, oferecido pela Universidade Federal de Ouro Preto, como exigência parcial para obtenção do título de Mestre em Educação Matemática. Orientadora: Marger da Conceição Ventura Viana Co-Orientador: Milton Rosa Doutora em Ciências Pedagógicas Doutor em Educação Liderança Educacional Ouro Preto 2012

3 O482e Oliveira, Davidson Paulo Azevedo. Um estudo misto para entender as contribuições de atividades baseadas nos fundos de conhecimento e ancoradas na perspectiva sociocultural da história da matemática para a aprendizagem de funções por meio da pedagogia culturalmente relevante [manuscrito] / Davidson Paulo Azevedo Oliveira f.: il., color.; grafs.; tabs. Orientadora: Profª. Drª. Marger da Conceição Ventura Viana. Orientador: Prof. Dr. Milton Rosa. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Ouro Preto. Instituto de Ciências Exatas e Biológicas. Departamento de Matemática. Programa de Pós- Graduação em Educação Matemática. Área de concentração: Educação Matemática. 1. Matemática Catalogação: - Estudo sisbin@sisbin.ufop.br e ensino - Teses. 2. Matemática - História - Teses. 3. Professores - Formação - Teses. 4. Pedagogia culturalmente relevante - Teses. I. Universidade Federal de Ouro Preto. II. Título. Catalogação: sisbin@sisbin.ufop.br CDU: 517.5:51(091)

4 UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MESTRADO PROFISSIONAL EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA UM ESTUDO MISTO PARA ENTENDER AS CONTRIBUIÇÕES DE ATIVIDADES BASEADAS NOS FUNDOS DE CONHECIMENTO E ANCORADAS NA PERSPECTIVA SOCIOCULTURAL DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA PARA A APRENDIZAGEM DE FUNÇÕES POR MEIO DA PEDAGOGIA CULTURALMENTE RELEVANTE Autor: Davidson Paulo Azevedo Oliveira Orientadora: Marger da Conceição Ventura Viana Co-Orientador: Milton Rosa Este exemplar corresponde à redação da dissertação apresentada por Davidson Paulo Azevedo Oliveira e aprovado pela. Data: / /

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6 A todos aqueles que acreditam que não há falta de cultura, mas diferentes culturas...

7 AGRADECIMENTOS Não há palavras para agradecer o quanto todos foram importantes para mim, sobretudo DEUS que me permitiu trilhar esse caminho. À minha Mãe, Vilma Azevedo Oliveira, irmã Flávia de Azevedo Oliveira, e pai Antônio Rogério Araújo Oliveira, por entenderem as minhas ausências e acreditarem em mim sendo minha inspiração para seguir em frente. Aos meus orientadores Marger Viana e Milton Rosa pelos momentos de orientação e momentos em que me deixaram em quase desespero. Aos professores Ubiratan D Ambrósio e Frederico Reis pelas valiosas contribuições sugeridas neste trabalho. Aos meus familiares e amigos, mesmo sendo redundante, pois muitos amigos são na verdade parte de minha família. Aos professores que tive em minha vida, ressaltando-se os diretamente ligados a este trabalho, os do programa da UFOP. Por último, mas não menos importante, agradeço a todos os alunos que tive em minha carreira pois cada um me ensinou algo importante... Obrigado!!!!

8 RESUMO Esta pesquisa foi realizada com o propósito de buscar as contribuições que atividades baseadas em uma parte específica da cultura (os fundos de conhecimento) dos alunos podem trazer para as aulas, pois o desenvolvimento da Matemática, no decorrer da história, depende da cultura e da época nas quais os criadores desse conhecimento estão inseridos. Da mesma maneira, a aquisição do conhecimento matemático, em sala de aula, pode estar relacionada com experiências culturais dos alunos. Este estudo está embasado em três teorias da Educação: a Perspectiva Sociocultural da História da Matemática, os Fundos de Conhecimento e a Pedagogia Culturalmente Relevante. O público-alvo foram 72 alunos de duas turmas da primeira série de um curso Técnico de Edificações (Ensino Médio) de uma escola pública profissional, situada no interior de Minas Gerais. O objetivo principal deste estudo foi coletar informações que pudessem responder à questão de investigação da pesquisa: quais são algumas das possíveis contribuições que atividades baseadas nos fundos de conhecimento dos alunos e ancoradas na perspectiva sociocultural da História da Matemática podem trazer ao processo de ensino e de aprendizagem de funções por meio da utilização da abordagem da Pedagogia Culturalmente Relevante? Assim, foram utilizados como instrumentos de coleta de dados dois questionários, dois grupos focais, o caderno de campo do professor-pesquisador, entrevistas de acompanhamento, conversas informais com os participantes deste estudo e três registros documentais que continham atividades matemáticas relacionadas ao conteúdo Funções. A História da Matemática foi utilizada de maneira implícita e explícita, servindo como eixo de orientação para que o professor-pesquisador pudesse elaborar as atividades propostas com a utilização dos fundos de conhecimento dos participantes da pesquisa. Essa abordagem possibilitou a utilização dos pressupostos da Pedagogia Culturalmente Relevante, definida como uma pedagogia crítica, comprometida com o coletivo, baseada no tripé composto pela consciência crítica, sucesso acadêmico e competência cultural. Para a coleta e análise dos dados qualitativos e quantitativos, utilizou-se, como proposta metodológica, o estudo misto denominado QUAN + QUAL e a análise de conteúdo, para que os dados fossem coletados e analisados concomitantemente às etapas desta pesquisa. Essa abordagem teve por objetivo aumentar a validade e fidedignidade deste estudo por meio da triangulação dos dados coletados nos instrumentos de coleta e nas teorias discutidas

9 na fundamentação teórica abordada na revisão de literatura. Posteriormente, os resultados foram analisados, discutidos e interpretados para, depois, serem registrados como parte integrante da pesquisa. A interpretação da análise dos resultados mostra que houve o aprendizado e crescimento da maioria dos alunos em relação à notação algébrica simbólica, ressaltando-se a importância do estágio retórico da álgebra para o entendimento do simbolismo acadêmico e o desenvolvimento da linguagem algébrica simbólica. Os resultados deste estudo também mostram que se necessita elaborar propostas de ensino baseadas na perspectiva das teorias discutidas nesta dissertação, pois pode propiciar o desenvolvimento da reflexão crítica dos alunos. Algumas implicações e recomendações para os professores, alunos e para pesquisas futuras também são apresentadas. Este estudo pode colaborar com a prática pedagógica dos professores ao sugerir a utilização de atividades que sejam culturalmente relevantes para os alunos. Palavras-chave: História da Matemática, Pedagogia Culturalmente Relevante, Fundos de Conhecimento, Estudo Misto, Perspectiva Sociocultural. ABSTRACT This study is grounded in three theories of Education: a Sociocultural Perspective of History of Mathematics, Funds of Knowledge, and Culturally Relevant Pedagogy; and was conducted with the purpose of seeking contributions to activities based on gaining insight into specific parts of student culture such as funds of knowledge they bring to classrooms. In this regard, the development of mathematics in history depends on the culture as well as on the period of time in which the creators of that knowledge were living. The population was composed by 72 students from two classes in a first year of a technical edification course in a public technical high school in the interior of Minas Gerais. The main objective of this study was to collect information that could answer the research question: What are some of possible contributions that activities based on students' funds of knowledge and anchored in sociocultural perspective of History of Mathematics can bring to teaching and learning functions through the use of Culturally Relevant Pedagogy approach? Thus, two questionnaires, two focus groups, field notes

10 of the researcher-teacher, follow-up interviews, and informal conversations with participants of this study, and three documental records containing mathematics activities related to the functions content were used as instruments for data collection. The History of Mathematics was applied both implicit and explicit ways, which served as an orientation guide so the researcher-teacher could develop the proposed activities by applying the funds of knowledge of the participants of this research. It was found that the acquisition of mathematical knowledge in the classroom is related to students cultural experiences. This approach allowed the use of the propositions of Culturally Relevant Pedagogy, which is defined as a critical pedagogy that is committed to the collective and based on a tripod composed by critical awareness, cultural competence, and academic success. For the collection and data analysis of qualitative and quantitative, the mixed methods study QUAN + QUAL and content analysis were used as proposed methodology so that data were collected and analyzed concurrently in all phases of this research. This approach aimed to increase the validity and reliability of this study through data triangulation, which were collected in the data collection instruments as well as by triangulating the theories discussed in the theoretical framework addressed in the literature review. Thereafter, the results were analyzed, discussed, and interpreted in order to be addressed as part of this research. The interpretation of the results of data analysis shows that the majority of the participants learned and improved their knowledge in relation to symbolic algebraic notation by highlighting the importance of rhetoric stage of algebra in order to understand the symbolism and academic development of symbolic algebraic language. The results of this study also show that it is necessary to develop educational proposals based upon the perspective of the theories discussed in this dissertation, which may encourage the development of students critical thinking. Some implications and recommendations for teachers, students and for future research are also presented. This study may contribute to the pedagogical practice of teachers by suggesting the use of activities that are culturally relevant to the students. Keywords: History of Mathematics, Culturally Relevant Pedagogy, Funds of Knowledge, Mixed Methods Study, Sociocultural Perspective.

11 Lista de figuras Figura 1: Representação gráfica de função utilizada por Oresme Figura 2: Representação gráfica de Gelileu Figura 3: Representação chinesa para os números negativos e positivos Figura 4: As três proposições para a Pedagogia Culturalmente Relevante Figura 5: Idade dos alunos da turma A Figura 6: Cidade de nascimento dos alunos da Turma A Figura 7: Idade dos alunos da Turma B Figura 8: Cidade de nascimento dos alunos da Turma B Figura 9: Design de estudo misto Figura 10: Triangulação dos instrumentos utilizados na coleta para a análise dos dados Figura 11: Triangulação dos Instrumentos e Teorias Figura 12: Diagrama de Elaboração da Atividade 1 proposta no Registro Documental I Figura 13: O enunciado do item (a) da atividade Figura 14: Resposta dada pela participante A3 ao item a da atividade Figura 15: Resposta dada pela participante A Figura 16: Resposta dada pelo participante B Figura 17: Resposta dada pela aluna B Figura 18: Resposta dada pelo participante B Figura 19: Resposta dada pela participante B Figura 20: Resposta dada pelo aluno A Figura 21: Resposta dada pelo participante A Figura 22: Enunciado da Atividade 2 do Registro Documental I Figura 23: Resposta dada pela participante B Figura 24: Resolução dada pela participante A Figura 25: Diagrama de elaboração da Atividade 3 proposta no Registro Documental I Figura 26: Resposta dada por um participante não identificado Figura 27: Informações históricas contidas no texto sobre o pensamento funcional da Atividade Figura 28: Resposta dada pelo aluno B Figura 29: Resposta dada pela participante B Figura 30: Resposta dada pela aluna B Figura 31: Representação matemática dada pela participante A Figura 32: Representação matemática utilizada pela aluna A Figura 33: Resposta dada pela participante B Figura 34: Resposta dada pela participante B Figura 35: Texto introdutório da atividade

12 Figura 36: Diagrama de elaboração da atividade Figura 37: Resposta dada pela participante B Figura 38: Resposta dada pela participante B Figura 39: Resposta dada pelo participante não identificado Figura 40: Resposta dada pela participante A Figura 41: Resposta dada pela participante A Figura 42: Resposta dada pela participante B Figura 43: Resposta dada pela participante B Figura 44: Resposta dada pela participante B Figura 45: Resposta dada pela participante A Figura 46: Resposta dada pela participante A Figura 47: Resposta dada por um participante não identificado Figura 48: Resposta dada pela participante A Figura 49: Resposta dada pelo participante A Figura 50: Resposta dada pelo participante A Figura 51: Resposta dada pela participante A Figura 52: Resposta dada pela participante B Figura 53: Resposta dada pela participante B Figura 54: Resposta dada pela participante A Figura 55: Resposta dada pela participante B Figura 56: Representação por meio da relação de proporcionalidade utilizada pela participante B Figura 57: Resposta mista dada pela participante A Figura 58: Resposta gráfica dada pela participante B Figura 59: Texto introdutório da atividade do Registro Documental II Figura 60: Trecho de uma conversa ocorrida no grupo focal entre o professorpesquisador e os alunos Figura 61: Diagrama de elaboração das atividades propostas no Registro Documental II Figura 62: Texto introdutório Figura 63: Resposta dada pela participante B Figura 64: Resposta dada pela participante B Figura 65: Resposta dada pela participante B Figura 66: Resposta dada pelo participante B Figura 67: Resposta dada pela participante A Figura 68: Resposta dada pela participante A Figura 69: Respota dada pela participante A Figura 70: Resposta dada pela participante A Figura 71: Resposta dada pelo participante B Figura 72: Resposta dada pelo participante B Figura 73: Resposta dada pela participante B Figura 74: Representações da participante A

13 Figura 75: Resposta dada por um dos alunos que não se identificou Figura 76: Resposta dada pelo participante A Figura 77: Resposta dada por um aluno não identificado Figura 78: Diagrama de elaboração da Atividade 1 proposta no Registro Documental III Figura 79: Resposta dada pela participante A Figura 80: Resposta dada pela participante B Figura 81: Resposta dada pela aluna B Figura 82: Resposta dada pela aluna A Figura 83: Resposta dada pela aluna B Figura 84: Resposta dada pela aluna A Figura 85: Resposta dada pela aluna A Figura 86: Resposta dada pelo participante A Figura 87: Texto introdutório ao item (c) da atividade Figura 88: Resposta dada pela participante A Figura 89: Resposta dada pelo participante A Figura 90: Resolução dada pala aluna B Figura 91: Representação gráfica elaborada pelo aluno A20 e pelo aluno não identificado para os itens (d), (e), (f) Figura 92: Respostadada pelo aluno A Figura 93: Gráfico elaborado pela aluna A Figura 94: Resposta dada pela participante A Figura 95: Diagrama de elaboração da atividade 2 do Registro Documental III Figura 96: Representação do círculo e do triângulo retângulo com áreas iguais Figura 97: Ilustração da afirmativa de Arquimedes com a utilização do GeoGebra Figura 98: Determinação das área do círculo e do triângulo Retângulo com a utilização de 2 unidades de medida Figura 99: Determinação das área do círculo e do triângulo retângulo com a utilização de um raio de 3,2 unidades de medida Figura 100: Resposta dada pela aluna B Figura 101: Resposta dada pela participante B Figura 102: Resposta dada pela participante B Figura 103: Resposta dada pela participante A Figura 104: Resposta dada pelo aluno A30 ao item (f) da atividade 1 proposta no Registro Documental I Figura 105: Gráfico elaborado por A23 ao item (c) da atividade 3 proposta no Registro Documental I Figura 106: Resposta da participante A27 ao item (c) da atividade 3 proposta no Registro Documental I Figura 107: Gráfico elaborado pela participante A35 ao item (c) da atividade 3 proposta no Registro Documental I

14 Figura 108: Gráfico da participante A7 ao item (d) da atividade 3 proposta no Registro Documental I Figura 109: Gráfico elaborado pelo participante A4 ao item (d) da atividade 3 proposta no Registro Documental I Figura 110: Gráfico elaborado pela participante A41 ao item (d) da atividade 3 proposta no Registro Documental I Figura 111: Gráfico elaborado pela participante B43 ao item (d) da atividade 3 proposta no Registro Documental II Figura 112: Gráfico elaborado pelo aluno B20 referente ao item (d) da atividade 3 proposta no Registro Documental I Figura 113: Representação gráfica da aluna A21 ao item (d) da atividade 3 Registro Documental I Figura 114:Representação gráfica do participante B8 ao item (d) da atividade 3 do Registro Documental I Figura 115: Gráfico elaborado pela aluna B21 ao item (d) da atividade 3 do Registro Documental I Figura 116: Representação gráfica elaborada pela aluna A5 ao item (d) da atividade 3 do Registro Documental I Figura 117: Representação gráfica da aluna B3 ao item (d) da atividade 3 do Registro Documental I Figura 118: Gráfico elaborado pela aluna B33 ao item (d) da atividade 3 do Registro Documental I Figura 119: Resposta gráfica dada pela participante B25 ao item (g) da atividade 4 do Registro Documental I Figura 120: Resposta dada pela participante A29 ao item (h) da atividade 4 proposta no Registro Documental I Figura 121: Resposta dada pela participante B9 ao item (h) da atividade 4 proposta no Registro Documental I Figura 122: Resposta dada pela participante A31 ao item (h) da atividade 4 proposta no Registro Documental I Figura 123: Teoria das Laitudes das Formas de Oresme Figura 124: Resposta dada pela participante B Figura 125: Gráfico elaborado por um participante sem identificação Figura 126: Resposta dada pela participante B Figura 127: Resposta dada pelo participante A18 ao item (h) da atividade 4 proposta no Registro Documental I Figura 128: Resposta dada pela participante B9 ao item (b) da atividade 3 proposta no Registro Documental II Figura 129: Resposta dada pela participante A9 ao item (b) da atividade 3 proposta no Registro Documental II Figura 130: Resposta dada pela participante A3 5ao item (b) da atividade 3 proposta no Registro Documental II

15 Figura 131: Resposta dada pela participante sem identificação ao item (b) da atividade 3 proposta no Registro Documental II Figura 132: Resposta dada pela participante sem identificação ao item (b) da atividade 3 proposta no Registro Documental II Figura 133: Resposta dada pela participante A1 ao item (b) da atividade 3 proposta no Registro Documental II Figura 134: Resposta dada pela participante sem identificaçãoao item (b) da atividade 3 proposta no Registro Documental II Figura 135: Resposta dada pelo participante A11ao item (b) da atividade 3 proposta no Registro Documental II Figura 136: Resposta dada pela participante B23 ao item (b) da atividade 3 proposta no Registro Documental II

16 Lista de Quadros Quadro 1: Sequência didática de atividades ancoradas na História da Matemática Quadro 2: Quadro de notações algébricas utilizadas por Diofante Quadro 3: Informação sobre o local de residência e com quem residem os participantes da Turma A Quadro 4: Informação sobre o local de residência e com quem residem os participantes da Turma B Quadro 5: Instumentos de coleta de dados quantitativos e qualitativos Quadro 6: Cronograma de realização de atividades Quadro 7: Data das entrevistas com quatro participantes Quadro 8: Respostas dadas pelos 70 participantes à questão 10 do Questionário I Quadro 9: Respostas dadas pelos participantes à questão 11 do Questionário I Quadro 10: Respostas dadas pelos participantes ao item (b) da Atividade Quadro 11: Respostas dadas pelos participantes aos itens (c), (d) e (e) da Atividade Quadro 12: Respostas apresentadas pelos alunos ao item (f) da Atividade I proposta no Registro Documental I Quadro 13: Respostas dadas pelos participantes para a resolução da Atividade Quadro 14: Respostas dos participantes à questão 13 do questionário II Quadro 15: Respostas dadas pelos participantes ao item (b) da atividade Quadro 16: Respostas dos participantes dadas ao item (h) Quadro 17: Respostas dadas pelos participantes ao item (i) Quadro 18: Respostas dadas pelos participantes ao item (j) Quadro 19: Respostas dadas pelos participantes ao item (a) Quadro 20: Respostas dadas pelos alunos à representação gráfica Quadro 21: Resposta dos participantes por meio da representação analítica de funções Quadro 22: Respostas dadas pelos participantes para o item (d) Quadro 23: Respostas dadas pelos participantes ao item (e) Quadro 24: Respostas dadas a questão nove do Questionário II Quadro 25: Respostas dadas à questão onze do Questionário II Quadro 26: Preços dos diversos tipos de laje fornecidos pelo participante A Quadro 27: Diversas maneiras de resolução apresentadas pelos alunos ao item (a) da atividade I Quadro 28: Diversas maneiras de resolução do item (b) da atividade Quadro 29: Diversas maneiras de resolução do item (c) da atividade Quadro 30: Respostas dadas pelos alunos ao item (d) da atividade Quadro 31: Respostas apresentadas ao item (e) Quadro 32: Respostas dadas pelos participantes ao item (f)

17 Quadro 33: Respostas dadas pelos estudantes ao item (g) da atividade Quadro 34: Respostas dadas pelos participantes à questão 12 do Questionário I Quadro 35: Respostas dos participantes ao item (a) da atividade Quadro 36: Respostas dadas pelos participantes ao item (b) da atividade Quadro 37: Respostas dos participantes ao item (c) Quadro 38: Respostas dadas pelos participantes ao item (h) da atividade 4 do Registro Documental I Quadro 39: Frequência de gráfico de barras nas respostas dos participantes

18 Lista de Gráficos Gráfico 1: Quantidade de alunos que não responderam aos itens das atividades 1 e 2 propostas no Registro Documental III

19 Introdução Capítulo 1 Revisão de Literatura História da Matemática O Conhecimento da História da Matemática pelos Professores A Insuficiência de Material Didático-Pedagógico para os Professores Uma Breve História das Funções Estágios da Evolução Histórica da Linguagem Algébrica As Primeiras Noções de Funções A Representação Gráfica de Oresme O Conceito de Função A Perspectiva Sociocultural da História da Matemática Os Fundos de Conhecimento A Pedagogia Culturalmente Relevante A História da Matemática, os Fundos de Conhecimento e a Pedagogia Culturalmente Relevante Capítulo 2 Metodologia Contexto Escolar Participantes da Pesquisa Participantes da Turma A Participantes da Turma B Instrumentos Coleta de Dados

20 2.5 Procedimentos Metodológicos Análise dos Dados Design da Pesquisa Triangulação Capítulo 3 Apresentação dos dados e análise Dados Quantitativos (QUAN) Dados Qualitativos (QUAL) Registro Documental I: Atividades Matemáticas Exploratórias I (Apêndice VII) Atividade Atividade Atividade Atividade Registro Documental II Atividades Matemáticas Exploratórias II O texto introdutório Registro Documental III: Atividades Matemáticas Exploratórias III Atividade A História da Matemática Questionário I: Questão Questionário I: Questão Questionário I: Questão Capítulo 4 Interpretação dos Resultados Análise de Conteúdo Cinco Etapas da Análise do Conteúdo

21 Preparação das Informações Unitarização Categorização Descrição Interpretação Quantificação dos Dados Qualitativos: Transformação dos Dados Qualitativos (QUAL) em Quantitativos (QUAN) QUAN+QUAL: Análise e Interpretação Concomitante dos Dados Quantitativos (QUAN) e Qualitativos (QUAL) Categorias de Análise A Perspectiva Sociocultural da História da Matemática na sala de aula: Possibilidades e Limites Fundos de Conhecimento: A interação entre os Fundos de Conhecimento dos alunos no delinear da pesquisa Da Análise dos dados emergentes à elaboração de novos instrumentos metodológicos Pedagogia Culturalmente Relevante: Indícios da relevância de uma pedagogia que valorize o contexto sociocultural dos alunos - A experimentação e o desenvolvimento da criticidade e da cidadania a partir da participação na pesquisa Resumindo Capítulo 5 Problemática da Pesquisa, Implicações e Recomendações Problemática da Pesquisa Implicações e Recomendações Implicações Recomendações Considerações Finais Referências Bibliográficas

22 22 INTRODUÇÃO O primeiro contato do professor-pesquisador com o estudo da História Geral ocorreu quando de seu ingresso na Escola Básica. Nas aulas de Estudos Sociais eram discutidos e apresentados fatos que marcaram as gerações anteriores e que são considerados importantes para análise das futuras gerações, pois, para uma melhor compreensão do presente e do futuro, devem-se olhar os erros e os acertos do passado. Nessa época, o pesquisador era um aluno com facilidade para aprender Matemática, disciplina que era considerada difícil pela maioria dos seus colegas, pois tinham grandes dificuldades em entender seus conteúdos. Por outro lado, o pesquisador não apresentava afinidades com o estudo da História Geral e do Brasil. Porém, no Ensino Fundamental, então chamado de 1º grau, o pesquisador começou, ainda que de maneira modesta e sem profundas reflexões, a realizar uma relação entre a História, a Matemática e a História da Matemática. Recorda-se que esse primeiro contato com a História da Matemática sucedeu quando estava na 7ª série, pois o livro didático, adotado na escola municipal em que estudava, apresentava informações históricas e curiosidades matemáticas ao final de cada capítulo, que eram identificadas por páginas azuis. O professor da disciplina não utilizava nem motivava a leitura dessas páginas, porém, o pesquisador as lia por considerar interessantes e curiosas as informações históricas nelas contidas. Contudo, atualmente, apesar de constar no Programa Nacional do Livro do Ensino Médio PNLEM (BRASIL, 2004), que o livro didático deve referenciar os processos históricos de produção do conhecimento matemático e utilizar esses processos como um instrumento para auxiliar a aprendizagem da Matemática, a maneira como os textos históricos aparecem na maioria desses livros dificulta a utilização, pelos professores, da História da Matemática como parte integrante do processo de ensino-aprendizagem em Matemática. Por exemplo, os textos sobre a História da Matemática do livro Coleção de Matemática de Dante (2005), a seção Leitura aparece sempre nas páginas finais de cada capítulo, apesar dos textos serem interessantes e estarem de acordo com o assunto abordado em cada capítulo. Esses textos são curtos e não possuem um relacionamento direto com o conteúdo a ser ensinado (LUTZ, 2006).

23 23 Um fato marcante ocorreu ainda na escola, quando o professor do pesquisador perguntou como poderia ser calculada a área de um círculo. Como havia terminado de estudar como determinar as áreas de polígonos, o professor-pesquisador respondeu ao seu professor que se pode colocar um polígono dentro de um círculo, calcule a área dele e continue aumentando o número de lados do polígono até que ele fique quase do tamanho do círculo. Expondo essa ideia ao professor, o professor-pesquisador explicou que esse método de calcular a área do círculo, por aproximação das áreas de polígonos inscritos cada vez mais próximas da do círculo, foi utilizada a tempos atrás e era denominada pelos matemáticos gregos de Método da Exaustão. Esse procedimento é explicado por Garbi (2007), pois (...) inscrevendo-se um polígono em um círculo, ficaria caracterizada uma diferença entre as áreas das duas figuras e que tal diferença poderia ser sucessivamente diminuída, à medida que o número de lados do polígono fosse sendo aumentado (p. 15). Hoje, aquele momento pode ser interpretado como sendo o de um aluno em uma escola pequena, pública, percorrendo os caminhos trilhados pelos gregos, (re)construindo a Matemática a sua maneira e a seu tempo. Esse fato aconteceu em um momento de aprendizagem que foi provocado e bem conduzido pelo professor da disciplina, que facilitou o debate sobre o conhecimento matemático necessário para a determinação da área do círculo de uma maneira didático-pedagógica. Com isso, o professor instigava os alunos a criarem uma maneira diferente para o cálculo da área do círculo, pois os alunos possuíam um conhecimento matemático prévio necessário e suficiente para calcular a área de diversos polígonos. De um modo geral, a necessidade que surgiu, nesse contexto, para o desenvolvimento de uma maneira inovadora para calcular a área do círculo pode ser considerada como uma necessidade similar àquela que os gregos tiveram para calcular a área de uma figura circular por meio do método da exaustão. Esse método foi uma das grandes contribuições dos gregos para o desenvolvimento da geometria, pois tinha aplicações na determinação de áreas e volumes de figuras geométricas sofisticadas. Esse mesmo processo foi utilizado por Arquimedes para determinar a área do círculo. Então, percebe-se como foi importante na vida do professor-pesquisador uma simples questão colocada por seu professor, pois essa o influenciou de tal modo que

24 24 pode ser considerada como a pedra fundamental para as reflexões sobre a utilização da História da Matemática em sua prática docente e, sobretudo, para a realização e elaboração desse e de outros trabalhos futuros com o enfoque da História da Matemática na Educação Matemática. No curso de Licenciatura em Matemática, o professor-pesquisador retomou o contato com a História da Matemática, porém de modo autônomo, buscando referências na Biblioteca da Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) e, também, por meio de um mini-curso de verão denominado Tópicos da História do Cálculo, lecionado em 2002, pelo professor Antônio Zumpano, na UFMG. A primeira obra estudada pelo professor-pesquisador foi a História da Matemática, de Boyer (1996), avaliada por esse pesquisador como de difícil leitura e que, por esse motivo, pode não estimular os leitores iniciantes a continuarem a busca por aspectos históricos da Matemática. No entanto, esse livro é uma boa fonte de pesquisa para os professores organizarem um material adequado com relação à contribuição da história para a construção do conhecimento matemático. Outras obras, de leitura mais agradável, também foram analisadas, como por exemplo, O Romance das Equações Algébricas (GARBI, 1997) e A Experiência Matemática (DAVIS e HERSH, 1985). Além desses títulos, na disciplina História da Matemática, cursada na Licenciatura, procedeu-se à leitura de História Concisa da Matemática (STRUIK, 1997). Como professor, o pesquisador se dedicava também à leitura de livros paradidáticos da Matemática, pois, à medida que os lia, adquiria alguns conhecimentos relativos ao desenvolvimento da Matemática e procurava incorporar esses conhecimentos às suas aulas. No entanto, a História da Matemática era somente utilizada como motivação para as aulas e somente avaliada em relação aos textos colocados nos testes de aprendizagem da Matemática. Mesmo ficando em segundo plano, os alunos se entusiasmavam pelas curiosidades encontradas nos livros e textos acerca do assunto. Entretanto, Miguel (1993) considera que essa justificativa para utilização da História da Matemática no ensino-aprendizagem da Matemática é um otimismo ingênuo (...), [pois] se ela motivasse, o ensino da própria história seria motivador (p. 68). Contudo, para Fauvel

25 25 (1991) e Mendes (2006), a história, dentre outros benefícios, aumenta a motivação para a aprendizagem da Matemática. Considerando outra perspectiva, Baroni e Nobre (1999) consideram que a História da Matemática vem ganhando destaque no meio acadêmico-educacional, porém deve ser utilizada com cautela, já que não se pode considerá-la simplesmente como uma motivação para o desenvolvimento de determinados conteúdos matemáticos. Radford (1997) afirma que os aspectos históricos devem ser considerados no momento em que se estudam os conteúdos curriculares de Matemática. Isso foi o que ocorreu com o professor-pesquisador, em diferentes períodos de sua vida, direcionandoo a refletir sobre quais relações existem entre os processos de ensino-aprendizagem da Matemática e da História da Matemática. Essa reflexão também ocorreu com relação ao conhecimento a respeito da história dos conteúdos matemáticos a serem trabalhados pelos professores, em sala de aula, pois podem ampliar o desenvolvimento profissional do educador matemático. Nesse sentido, Rosa (2010) afirma que a Matemática está atrelada ao meio no qual foi desenvolvida, com destaque para a cultura da época em que os acontecimento matemáticos foram desencadeados. Considerando essa abordagem, no ensino de determinados conteúdos matemáticos, é interessante considerar o desenvolvimento e a construção desses conceitos no decorrer da história. Assim, essa abordagem pedagógica pode diminuir a distância entre a apropriação do conhecimento matemático pelos alunos e o discurso dos professores, que ocorre em sala de aula com o apontamento dos possíveis aspectos conceituais históricos da Matemática que podem dificultar a aprendizagem dos alunos (FAUVEL, 1991). Em sua experiência como docente, o professor-pesquisador percebeu as dificuldades que os alunos da Escola Básica têm para se apropriarem da linguagem algébrica atual. Esse fato também foi observado por Orey e Rosa (2008) ao afirmarem que (...) um problema que aparece frequentemente em salas de aula de Matemática com alta diversidade está relacionado com alunos que, talvez, tenham dificuldades no entendimento do significado exato dos vários símbolos e representações 1 (p. 38, tradução nossa). 1 A problem that comes frequently to highly diverse mathematics classrooms is related to students who may have difficulty in understanding the exact meaning of various symbols and representations.

26 26 Nesse sentido, a História da Matemática pode fornecer subsídios aos professores para orientar os alunos em suas dificuldades epistemológicas, pois a história do conteúdo pode conter dicas sobre a origem dessas dificuldades (ARTIGUE apud RADFORD, 1997; FAUVEL, 1991). Esse fato sugere que os professores necessitam atender os alunos que questionam sobre determinado conteúdo matemático que os incomodam. Talvez esses conteúdos também tenham incomodado os grandes matemáticos, no decorrer da história e, atualmente, podem ser avaliados como irrelevantes pelos professores. Porém, para se trabalhar com a História da Matemática, Baroni e Nobre (1999) enfatizam que é importante os professores conhecerem profundamente a história do conteúdo matemático a ser trabalhado. Normalmente, quando isso não ocorre, a História da Matemática é tratada somente como motivação para as aulas. Nesse contexto, Mendes (2006) afirma que: (...) a falta de informações sobre o desenvolvimento histórico da Matemática e de propostas metodológicas de utilização das mesmas no ensino da matemática escolar são algumas das dificuldades enfrentadas pelos professores que desejam usar a História da Matemática na sala de aula (p ). Dessa maneira, o conhecimento da História da Matemática também oferece aos professores a oportunidade de (...) conhecer como historicamente acontecem as relações do homem com o conhecimento, nos diferentes contextos culturais dessa produção, visando uma formação mais crítica dos professores de Matemática. (SAD e SILVA, 2008, p.45). De acordo com essa asserção, as relações da humanidade com o conhecimento matemático bem como com o contexto cultural, no qual os conteúdos matemáticos foram criados permitem a compreensão de alguns questionamentos elaborados pelos alunos e que lhes podem possibilitar uma compreensão dos conceitos matemáticos envolvidos nesses questionamentos. Em especial, a linguagem algébrica e de símbolos precisam ter uma adequação histórica e cultural, pois muitos professores tendem a pensar na Matemática como uma linguagem universal (ROSA, 2010). Porém, Rosa e Orey (2008) argumentam que se vemos a Matemática como uma linguagem universal,

27 27 então existem vários sotaques e dialetos que valem a pena serem estudados 2 (p. 44, tradução nossa). Contudo ao se relatar a História da Linguagem Algébrica, deve-se estar atento à veracidade das informações, pois a história tem lacunas que são preenchidas de acordo com a interpretação de quem a está relatando (NOBRE 2005). No entanto, mesmo que os professores não tenham a intenção de utilizar a História da Matemática, é importante conhecê-la, pois podem utilizá-la nas atividades curriculares propostas em sala de aula. Por exemplo, em 2009, um aluno perguntou ao professor-pesquisador se os números negativos poderiam ser raízes de equações de primeiro grau. Então, caso o professor desconhecesse esse aspecto da História da Matemática, não seria possível oferecer uma resposta que satisfizesse a curiosidade desse aluno. Dessa maneira, existe a necessidade de salientar que um questionamento desse tipo também ocorreu ao longo da História da Matemática, pois: A ideia de números negativos parece não ter causado muitas dificuldades aos chineses, pois estavam acostumados a calcular com duas coleções de barras vermelha para os coeficientes positivos ou números e uma preta para os negativos. No entanto, não aceitavam a ideia de um número negativo poder ser solução de uma equação (BOYER, 1996, p. 137). Com o tempo e a experiência em sala de aula, o professor-pesquisador percebeu que conhecer a História da Matemática o instrumentalizava para entender as dúvidas e os questionamentos elaborados pelos alunos, que podem parecer simples à primeira vista, mas, se forem analisadas historicamente, foram problemas que ocuparam, durante séculos, as mentes grandiosas de muitos matemáticos. Esse é um dos argumentos apresentados por Fauvel (1991) para a utilização da História da Matemática, em sala de aula, pois há possibilidade de se apontar os possíveis aspectos conceituais e históricos de conteúdos matemáticos, que podem dificultar a aprendizagem em Matemática dos alunos. Sabe-se, por exemplo, que, historicamente, o zero e os números negativos demoraram séculos até serem amplamente aceitos. Por exemplo, os números negativos 2 if we see mathematics as a universal language, then there are various accents and dialects worthy of study.

28 28 apareceram isolados em uma equação, pela primeira vez, na obra de Chuquet, no século XV: 1 0 Ao escrever. 4. egaulx a m.2. (isto é, 4x 2 ) Chuquet estava pela primeira vez exprimindo um número negativo isolado numa equação algébrica. Em geral ele rejeitava o zero como raiz de uma equação, mas ocasionalmente observava que o número procurado era zero (BOYER, 1996, p. 190). Diante do exposto, evidencia-se que, de fato, os alunos têm dificuldades de se apropriarem da linguagem algébrica e dos símbolos atuais. Então, elaborou-se o seguinte problema de investigação que contribuirá para solucionar a problemática e determinar o produto educacional dessa dissertação 3 : Quais são algumas das possíveis contribuições que atividades baseadas nos fundos de conhecimento dos alunos e ancoradas na perspectiva sociocultural da História da Matemática podem trazer ao processo de ensino e aprendizagem de funções por meio da utilização da abordagem da Pedagogia Culturalmente Relevante? O caminho seguido para se obter uma resposta a esse problema de investigação teve início com uma pesquisa no Banco de Teses da CAPES, quando foram encontradas 145 dissertações e teses relacionadas com a utilização da História da Matemática nos processos de ensino e aprendizagem em Matemática. Também foi realizada uma revisão de Literatura em livros clássicos de História da Matemática e publicações mais recentes, como por exemplo, artigos de revistas científicas e, principalmente, publicações da Sociedade Brasileira de História da Matemática, relativas ao tema dessa dissertação. Em seguida, foi realizada a seleção de alguns textos que, após estudados minuciosamente, forneceram as ideias e conceituações aproveitadas para a elaboração da proposta desse estudo. Analisaram-se também as representações de funções realizadas por alunos da primeira série do Ensino Médio, comparando-as com algumas representações funcionais que ocorreram no decorrer da História da Matemática. Diante desse contexto, neste estudo, a História da Matemática teve duas funções: 3 Os fundos de conhecimento e a Pedagogia Culturalmente Relevante são teorias que estão desenvolvidas no decorrer do capítulo 2 desta dissertação.

29 29 1) Atuou como um instrumento para que o professor-pesquisador pudesse compreender as dificuldades dos alunos em relação à notação algébrica e à representação de funções. 2) Foi utilizada de modo explícito para a elaboração de atividades de ressignificação da linguagem algébrica, fornecendo os recursos didáticos para a realização dessas tarefas. Basicamente, os autores que mais influenciaram este trabalho de pesquisa, em relação à História da Matemática, cujos conceitos foram incorporados a este trabalho, foram Radford (1997), Radford e Guérette (2000), Radford e Grenier (1996), Furinghetti e Radford (2002), Furinghetti (1997), pois consideram que a construção do conhecimento matemático está situada em uma Perspectiva Sociocultural da História da Matemática. De acordo com essa perspectiva, é necessário analisar a época na qual o conhecimento matemático foi construído e também o contexto sociocultural no qual foi desenvolvido. A partir dessas leituras, sentiu-se a necessidade de fundamentar esse estudo nos trabalhos da Pedagogia Culturalmente Relevante (LADSON-BILLINGS, 1995, 1995a, 1995b, 2006; GAY, 2002) e nos Fundos de Conhecimento dos alunos (GONZÁLEZ, ANDRADE, CIVIL, MOLL, 2001; MOLL, AMANTI, NEFF, GONZALES, 1992, HOGG, 2011) para elaborar atividades curriculares de ensino, tendo em vista o contexto sociocultural no qual se inserem os participantes dessa pesquisa. Quanto à população alvo, essa pesquisa foi realizada, inicialmente, com 74 alunos, divididos em duas turmas de estudantes da 1ª série do Ensino Médio, que são alunos do professor-pesquisador. Apesar de serem duas turmas distintas, este estudo não é comparativo, pois tem como objetivo analisar como os participantes desenvolvem as representações de funções mediante as atividades elaboradas, que tiveram como fundamentação teórica a perspectica Sociocultural da História da Matemática, a Pedagogia Culturalmente Relevante e os Fundos de Conhecimento. A escolha por esse número de participantes se deve ao fato de que ele facilita a aplicação das atividades propostas, pois não exclui do estudo nenhum dos alunos do professor que, nesta pesquisa, também atua como pesquisador. Além disso, como a pesquisa foi realizada com os alunos das duas turmas do professor-pesquisador, este estudo abrangeu toda a população de alunos sob estudo. Ressalta-se que, na época em

30 30 que o estudo foi conduzido, o professor-pesquisador residia no mesmo local em que a escola está localizada. Além disso, a série escolar escolhida para esta pesquisa é aquela na qual se estuda o tópico relacionado ao ensino de funções. Como instrumentos de coleta de dados, foram aplicados dois questionários com o objetivo de identificar as características culturais e os fundos de conhecimento dos participantes da pesquisa; dois grupos focais para esclarecer as respostas dadas aos questionários; quatro entrevistas de acompanhamento, que visavam a aprofundar o entendimento das respostas às atividades matemáticas elaboradas para os três registros documentais, que foram respondidas pelos participantes da pesquisa. O diário de campo do professor-pesquisador também foi utilizado para a organização e análise dos dados coletados. Os resultados deste trabalho foram analisados por meio da utilização do estudo misto (CRESWELL e PLANO CLARK, 2007; CRESWELL, 2003) sendo que os dados qualitativos e quantitativos foram analisados igualitária e simultaneamente, isto é, concorrentemente. Assim, esse estudo misto é do tipo QUAN + QUAL, pois está sendo implementado simultaneamente, em todas as etapas deste estudo. Além disso, na análise de dados, o professor-pesquisador utilizou o método da triangulação, com o objetivo de verificar se é possível detectar a convergência dos dados coletados, bem como das teorias utilizadas na fundamentação teórica deste estudo. Então, a triangulação permitiu a verificação da convergência e corroboração dos dados coletados, interpretados e analisados a respeito da problematização do fenômeno estudado nesta pesquisa (CRESWELL, 2003). Este estudo também apresentou algumas limitações, pois, por ser um estudo também qualitativo, existe uma dificuldade maior para que seja replicado na íntegra por outros professores e pesquisadores, que tenham como objetivo a obtenção de resultados semelhantes aos alcançados nesta pesquisa. Outra limitação é que os resultados deste estudo talvez não possam ser estendidos para todos os alunos do primeiro ano do Ensino Médio, em outros municípios do estado de Minas Gerais e do Brasil, pois o estudo de funções, determinado na matriz curricular do Projeto Político Pedagógico de outras unidades escolares, pode estar inserido em outra série do Ensino Médio. Assim, a metodologia do estudo misto, adotada nesta pesquisa, pode desfavorecer a replicação dos resultados deste estudo para todos os alunos do primeiro ano do Ensino Médio.

31 31 No entanto, os procedimentos metodológicos deste estudo podem ser adaptados por professores e pesquisadores que queiram elaborar aulas culturalmente relevantes para os alunos e que estejam ancoradas na abordagem da História da Matemática para o ensino e a aprendizagem da matemática. Dessa maneira, o produto final desse estudo poderá servir como um guia para os professores que estejam interessados na elaboração de atividades baseadas nos fundos de conhecimento, em que o contexto sociocultural dos alunos seja ressaltado. Além disso, este estudo também contém informações importantes sobre a evolução histórica de algumas representações de funções. Finalmente, sugestões, orientações e recomendações sobre como os professores podem desenvolver trabalhos dessa natureza são fornecidas por meio do produto, que foi elaborado com os dados e resultados obtidos por este estudo. Assim, esta pesquisa foi elaborada com o desenvolvimento do tema sobre a linguagem algébrica no estudo das funções, pois essa linguagem tradicional bem como a escrita algébrica simbólica é construída no decorrer da vida acadêmica dos alunos. Então, é importante que essa construção permita que os alunos utilizem a sua própria maneira de representar o pensamento funcional, para depois apresentá-lo na maneira tradicional e acadêmica. Esta dissertação está organizada em cinco (05) Capítulos, além de Introdução, Considerações, Referências e Apêndices. O capítulo 1 contém a revisão de literatura pertinente ao tema estudado, com as três teorias que embasam esta pesquisa: História da Matemática, Fundos de Conhecimento e Pedagogia Culturalmente Relevante. O capítulo 2 descreve a metodologia da pesquisa com os passos e escolhas metodológicas realizadas pelo professor-pesquisador, caracterizando os participantes desta pesquisa, apresentando os instrumentos de coleta de dados, os procedimentos metodológicos e como seria realizada a análise de dados. O capítulo 3 apresenta os resultados da análise dos dados quantitativos e qualitativos de acordo com o estudo misto e sob o olhar do referencial teórico. Contempla, também, as respostas dos estudantes às atividades propostas nos registros documentais que foram analisadas de acordo com o referencial teórico construído na verisão de literatura.

32 32 O capítulo 4 apresenta a interpretação dos resultados segundo o estudo misto, estando ancorada nas 5 (cinco) etapas da análise de conteúdo. O capítulo 5 apresenta as principais implicações e recomentações desta pesquisa para os alunos, professores, professor-pesquisador e futuras investigações no campo da Educação Matemática. Finalizando, na continuidade deste estudo são traçadas as considerações finais, que foram concluídas a partir da interpretação da análise de dados e da fundamentação teórica. Além disso, esta dissertação apresenta os apêndices contendo os roteiros dos principais instrumentos de coleta de dado utilizados pelo professor-pesquisador bem como as atividades que foram propostas nos registros documentais. Este estudo gerou um produto educacional denominado Um pouco de história das funções: sugestões de atividades práticas para a sala de aula, que é um caderno de sugestões para os professores, podendo ser acessado no link emid=66.

33 33 Capítulo 1 Revisão de Literatura O principal objetivo deste capítulo foi providenciar uma revisão de literatura relacionada com o tema deste estudo, isto é, apresentar as principais fundamentações teóricas que estão sendo discutidas nesta pesquisa em relação à História da Matemática, aos Fundos de Conhecimento e à Pedagogia Culturalmente Relevante. Assim, o foco da revisão de literatura é baseado nos seguintes tópicos: a) História da Matemática; b) Uma Breve História das Funções; c) A Perspectiva Sociocultural da História da Matemática; d) Os Fundos de Conhecimento; e) A Pedagogia Culturalmente Relevante; f) A História da Matemática, os Fundos de Conhecimento e a Pedagogia Culturalmente Relevante. A seguir, apresenta-se a fundamentação teórica para cada um desses tópicos. 1.1 História da Matemática Apesar de acontecerem de maneira isolada e não sistemática, as preocupações sobre a utilização da História da Matemática na Educação Matemática não são recentes. Por exemplo, em 1741, o matemático francês Clairaut mostrou preocupação com o uso da História da Matemática no ensino e na aprendizagem da Matemática, na obra intitulada Eléments de Geometrie. Miguel (1993) ressalta a importância dessa obra, pois mostra que o interesse em utilizar a História da Matemática como um meio auxiliar, potencialmente rico, no processo de ensino e de aprendizagem de Matemática realmente não é recente. Nessa referida obra, Clairaut propôs um caminho para o ensino da geometria baseado na história, isto é, diferentemente da maneira como era apresentada em os Elementos de Euclides. Nesse sentido, Miguel (1993) argumenta que Clairaut tinha consciência de que essa obra constituía-se em um curso preparatório aos Elementos de 33

34 34 Euclides (p. 12). Por outro lado, Silva (2007) classificou o livro de Euclides como uma cartilha 4 utilizada para o ensino de geometria da época. Em estudos recentes, percebe-se que a História da Matemática é utilizada de duas maneiras distintas: explícita e implícita. Essas duas maneiras de utilizar a História da Matemática, nos processos de ensino e de aprendizagem de Matemática, foram utilizadas por Ferreira e Rich (2001) apud Dambros (2006). Assim, tem-se que os problemas legítimos são aqueles que ocorreram de maneira idêntica, ao longo da história. Nesse caso, a História da Matemática é tratada de maneira explícita, pois se podem utilizar problemas que aparecem na Antologia Grega, em sala de aula. Nesse sentido, Eves (1962) apresenta um exemplo desse tipo de problema: Quantas maçãs são necessárias se quatro entre seis pessoas recebem um terço, um oitavo, um quarto e um quinto, respectivamente, do número total de maçãs, enquanto que a quinta recebe dez maçãs, e resta uma maçã para sexta pessoa? 5 (p. 173, tradução nossa). Outro exemplo de um problema na forma explícita, que pode ter um potencial didático-pedagógico para a utilização no Ensino Fundamental e nas séries iniciais do Ensino Médio foi retirado de uma tábua da Dinastia Babilônia, escrita em 1750 BC: Uma área A que consiste na soma de dois quadrados é O lado de um dos quadrados é 2/3 do lado do outro quadrado, diminuído de 10. Quais são os lados dos quadrados? 6 (STRUIK, 1987, p.27, tradução nossa). No entanto, a história dos conteúdos e dos conceitos matemáticos não precisa estar explícita nos livros e nas atividades desenvolvidas pelos professores. Nesse sentido, Miguel e Miorim (2008) afirmam que: (...) é possível considerar que a história pode ser um elemento orientador na elaboração de atividades e situações-problema, de seleção e sequenciamento de tópicos de Matemática em livros didáticos, sem que elementos históricos sejam explicitamente colocados (p.44). O estudo conduzido por Roratto (2009, p.71) pode ser considerado como um exemplo de como a História da Matemática pode ser utilizada, de maneira implícita, 4 Termo utilizado por Silva (2007) em sua pesquisa. 5 How many apples are needed if four persons of six receive one third, one eight, one fourth, and one fifth, respectively, of the total number, while the fifth receives ten apples, and one apple remains left for the sixth person? 6 An area A, consisting of the sum of two squares, is The side of one square is 2/3 of the side of the other square, diminished by 10. What are the sides of the square?

35 35 para orientar uma sequência didática de ensino da Matemática pelos professores, pois O motivo de [se iniciar] a sequência didática pelo estudo das relações de dependência é, justamente, por estarmos adotando a história do desenvolvimento conceitual das Funções como guia de nossa proposta. No quadro 1, apresentam-se as atividades que guiaram o estudo de Roratto (2009), que seguiram os passos históricos da construção do conceito de função sem que a História da Matemática tivesse sido utilizada de maneira explícita, pois serviu de guia para que Rorrato organizasse a sequência didática utilizada como recurso metodológico na sala de aula de matemática. A História da Matemática não foi discutida diretamente e, portanto, não estava explicitamente presente nas atividades direcionadas aos participantes da pesquisa. Quadro 1: Sequência didática de atividades ancoradas na História da Matemática Fonte: Adaptado de Roratto (2009, p.66) Da mesma maneira, Radford (1997) considera que as atividades matemáticas não devem ser, necessariamente, reconstruções idênticas àquelas ocorridas na história. Nessa perspectiva, para a elaboração das atividades curriculares e a preparação das aulas, existe a necessidade de que os professores tenham em mente, é claro, que um problema antigo ou uma situação matemática antiga nunca mais será a mesma 7 (RADFORD, 1997, p.32, tradução nossa). Assim, o fato de se utilizarem situações não idênticas àquelas ocorridas na história também é ressaltado por Brito e 7 We will have to keep in mind, of course, that an ancient problem or an ancient mathematical situation will never again be the same.

36 36 Mendes (2009), pois, de acordo com esses autores, dentre as preocupações de se recorrer à História da Matemática está a de: (...) criar problemas que possibilitem emergir discussões sobre dúvidas que frequentemente nossos alunos apresentam. Tais problemas não são obrigatoriamente os mesmos que os encontrados na história da Matemática, mas recriações desses (p. 17). No entanto, a fim de se conseguir recriações, ou mesmo, utilizar situações históricas, é importante que os professores conheçam a história do conteúdo a ser ensinado (LIU, 2003). Em concordância com esse ponto de vista, Furinghetti (1997) argumenta que um bom conhecimento da História da Matemática pode promover a criatividade pedagógica para integrar a história em atividades matemáticas 8 (p.420, tradução nossa). Nesse contexto, a questão do conhecimento da História da Matemática pelos professores não é uma preocupação somente de Liu (2003), pois há um consenso entre educadores e pesquisadores dessa área (BROLEZZI, 1991; D AMBROSIO, 1999; SOUZA, 2009; VALDÉS, 2006A) quanto à importância desse conhecimento para a prática pedagógica dos professores em sala de aula O Conhecimento da História da Matemática pelos Professores Com relação ao conhecimento da História da Matemática pelos professores, Valdés (2006) afirma que: Um certo conhecimento da História da Matemática deveria se constituir em uma parte indispensável da bagagem de conhecimentos do matemático em geral e do professor de qualquer nível de ensino (primário, secundário ou superior) (p.15). Da mesma maneira, Brolezzi (1991) alega que para estudar o valor didático da História da Matemática é necessário inicialmente conhecer essa História, sendo que esse conhecimento é construído fundamentalmente a partir do contato com suas fontes (p. 3). Por outro lado, Souza (2009) destaca a importância do conhecimento da História da Matemática pelos professores, justificando que: 8 A good knowledge of the history of mathematics may foster pedagogical creativity for integrating history into mathematical activities.

37 37 (...) se aquele que ensina os conceitos matemáticos entende que estes foram construídos historicamente e que nunca estarão prontos e acabados, procurará considerar, em suas aulas, o aspecto lógicohistórico destes conceitos em atividades de ensino (p. 84). Nesse sentido, Liu (2003) comenta que a importância desse conhecimento pelos professores não está relacionado, somente, com a elaboração de atividades matemáticas ou para o desenvolvimento da criatividade dos alunos, mas, também, na busca pela compreensão das dúvidas dos alunos referentes às notações e símbolos utilizados nessas atividades. Assim, Liu (2003) afirma que o conhecimento do esforço dos matemáticos, por meio da história, para escolher as notações adequadas para os conteúdos desenvolvidos, pode aumentar a compreensão dos professores em relação às dificuldades e barreiras que os alunos comumente apresentam para o entendimento da simbologia matemática. No entanto, é importante que os professores não se atenham às informações aleatórias e simplificadas sobre os aspectos específicos da História da Matemática, que são apresentados pela maioria dos livros didáticos. Diante desse assunto, Neto (2009) argumenta que: (...) o livro didático cumpre um papel eminentemente informativo quando o assunto é a História da Matemática, auxiliando de maneira não muito profunda o professor, que não teve em sua formação os temas relacionados à História da Matemática. (NETO, 2009, p. 13). Do ponto de vista de D Ambrosio (1999), é de suma importância ir além do conhecimento histórico restrito à Matemática, pois é importante que os professores e alunos adquiram um conhecimento profundo do passado para que possam relacioná-lo com os acontecimentos do presente. Nesse sentido, Somente através de um conhecimento aprofundado e global de nosso passado é que poderemos entender nossa situação no presente e, a partir daí, ativar nossa imaginação e nossa criatividade com propostas que ofereçam ao mundo todo um futuro melhor (D AMBRÓSIO, 1999, p.113). Compartilhando desse ponto de vista, Sastre Vázques, Rey e Boubée (2008) pontuam que é importante a utilização do conhecimento da História da Matemática como uma atividade pedagógica que possui um embasamento histórico profundo e não

38 38 como um conjunto de informações simplificadas sobre um determinado fato matemático. Assim, esses autores afirmam que: Todo professor de Matemática deveria ter um conhecimento aceitável da história dessa ciência, não com o objetivo de organizar um curso com conteúdos históricos, mas para poder utilizar, em um plano de aproximação do objeto de estudo do aluno, as considerações mais relevantes de seu desenvolvimento e, sobretudo, para favorecer a compreensão de que essa ciência evolui com o marco do desenvolvimento sociocultural da humanidade 9 (SASTRE VÁZQUEZ; REY; BOUBÉE, 2008, p.142, tradução nossa). No entanto, Silva (2001), acerca da História da Matemática, argumenta que o simples estudo dessa disciplina não fornece ao professor condições para introduzi-la em sala de aula como uma ferramenta auxiliar no ensino da Matemática (p. 136). Por exemplo, na pesquisa conduzida por Silva (2001), sobre a História da Matemática, nos cursos de formação de professores, foi constatado que, dentre as dificuldades de oferta da disciplina está a falta de professores qualificados para ministrar a disciplina e a dificuldade de acesso à bibliografia e outros materiais para o ensino (p.148). Então, diante da falta de especialistas e profissionais na área da História da Matemática, essa disciplina é usualmente oferecida por curiosos e autodidatas (SILVA, 2001). Então, para encerrar esse ciclo vicioso, surge a necessidade de que os cursos de Licenciatura em Matemática ofereçam aos futuros professores a oportunidade de: (...) trabalhar segundo metodologias de ensino e de aprendizagem diversificadas, de modo a desenvolver uma variedade de conhecimentos, de capacidades, de atitudes e de valores. Esta exposição a diferentes métodos também funciona como um mecanismo de aprendizagem (PONTE, 2000, p. 15). Nesse sentido, Miguel e Brito (1996) argumentam que a utilização da historicidade da Matemática possibilita que os licenciandos construam os seus conhecimentos matemáticos em uma perspectiva histórica e sociocultural. 9 Todo profesor de Matemática debiera tener un conocimiento aceptable de la historia de esta ciencia, no con el objetivo de organizar un curso con contenidos históricos, sino para poder utilizar, en el plano del acercamiento del objeto de estúdio al alumno, las consideraciones más relevantes de su desarollo y, sobre todo, para favorecer la comprensión de que esta ciência evoluciona en el marco del desarollo sociocultural de la humanidad.

39 39 Por outro lado, em sua pesquisa de Mestrado, Silva (2007) estudou as concepções de nove professores universitários que trabalham com formação de professores. Cinco desses professores afirmaram que não tiveram nenhum contato com a História da Matemática, durante a graduação. Os outros quatro pesquisados afirmaram que tiveram esse contato por meio de uma disciplina isolada, na qual era utilizado apenas um livrotexto para o estudo desse conteúdo. Os participantes dessa pesquisa ainda apresentaram outros obstáculos para a utilização da História da Matemática no processo de ensino e de aprendizagem da Matemática, como, por exemplo: (...) a falta de conhecimento de conteúdo, conhecimento errôneo da natureza da Matemática, a mistificação da Matemática, falta de literatura disponível, falta de compromisso dos cursos de licenciatura com a importância da História da Matemática, despreparo dos professores na abordagem de História da Matemática, ou mesmo rejeição ao seu uso (SILVA, 2007, p. 101). Mesmo com toda a discussão apresentada sobre a importância do conhecimento de História da Matemática pelos professores, ainda se percebe, no discurso apresentado nos cursos de formação, a falta de conhecimento que os professores possuem em relação à História da Matemática. Por outro lado, nota-se que um aspecto importante, citado pelos entrevistados, no estudo conduzido por Silva (2007), é a natureza antipedagógica do material didático disponível para os professores que lecionam em escolas públicas A Insuficiência de Material Didático-Pedagógico para os Professores Brolezzi (1991) e Mendes (2006) argumentam que, apesar da importância do conhecimento da História da Matemática pelos professores, eles não dispõem de informações suficientes para o ensino dessa disciplina. Esses autores também afirmam que existe uma falta de propostas metodológicas sobre a utilização da História da Matemática como um recurso metodológico no ensino da Matemática, em sala de aula. De acordo com o ponto de vista de Miguel (1997), o ensino dessa disciplina torna-se problemático devido à quase ausência de literatura adequada sobre a História da Matemática anterior aos dois últimos séculos (p. 95). Esse fato impedirá a utilização pedagógica da história porque a maior parte daquilo que é usualmente ensinado de Matemática em nossas escolas de 1 e 2 graus pertence a esse período (MIGUEL, 1997, p. 95). No entanto, essa discussão não é recente, pois Grattan-

40 40 Guinness (1973) e Byers (1982), nas décadas de 1970 e 1980, anteciparam a discussão sobre a ausência de literatura adequada nessa área como um argumento questionador sobre a utilização da História da Matemática em sala de aula. Porém, Miguel (1997) acredita que esse argumento deveria servir de incentivo e apoio à formação de grupos de pesquisa em História da Matemática para que a falta de literatura sobre essa tendência em Educação Matemática não funcione como um entrave ao desenvolvimento das relações entre história e pedagogia (p.95). Da mesma maneira, Miguel (1997) também argumenta, acerca da História da Matemática, que a natureza da literatura histórica disponível a torna particularmente imprópria à utilização didática. (p.95). Diante dessa perspectiva, para expandir a produção de textos sobre a História da Matemática, a partir do IV Seminário Nacional de História da Matemática, realizado em Natal, em 2001, teve início a publicação da Coleção História da Matemática (Série Textos de História da Matemática) para os professores. Os textos são publicados a cada dois anos e têm como objetivo auxiliar os professores na utilização da História da Matemática como material pedagógico em sala de aula. Contudo, dificilmente os professores têm acesso a esse tipo de literatura, pois, em geral, por diversos motivos, não participam de eventos relacionados com a História da Matemática e esses títulos não se encontram à venda nas livrarias. Quase dez anos após o lançamento dessa coleção, Silva (2009) ainda questiona sobre a falta de material didático para os professores, pois há ainda um certo desconhecimento entre os professores de Matemática sobre as possíveis maneiras de introduzir a história em situações didáticas (p. 2). Neto (2009), ao referir-se ao material da coleção publicada pela SBHMat, afirma que o direcionamento desse material é um ponto que deve ser ressaltado, pois a totalidade das obras é direcionada ao professor de Matemática (p. 9). Assim sendo, existe a necessidade de que esses materiais didáticopedagógicos sejam disponibilizados e que o seu acesso aos professores seja facilitado. Essa inquietação em escrever e disponibilizar fontes de consultas, como, por exemplo, os livros sobre a História da Matemática, voltados para a utilização dos professores, também é uma preocupação antiga. Por exemplo, Zeuthen, um matemático dinamarquês, escreveu em 1903, o livro Lectures on the History of Mathematics: 16th and 17th Centuries sobre a História da Matemática. Contudo, Furinghetti e Radford

41 41 (2002) afirmam que, mesmo não sendo o primeiro livro sobre a História da Matemática, esse material instrucional possui um diferencial, em relação aos demais livros sobre essa disciplina, pois era direcionado para a prática pedagógica dos professores. Nesse sentido, no ponto de vista de Furinghetti e Radford (2002), Zeuthen propôs que a História da Matemática deveria ser parte da educação geral dos professores 10 (p.631, tradução nossa). No Brasil, de acordo com Silva (2001), o primeiro livro dedicado à História da Matemática foi publicado por Eugênio Raja Gabaglia, em No entanto, podem-se encontrar informações históricas escritas em notas de rodapé no livro-texto de Aarão Reis e Luciano Reis, publicado em Para Silva (2001), O livro Curso de Matemática, escrito por Euclides Roxo, Cecil Thiré e Mello e Souza, publicado em 1930, pode ser considerado como o livro didático mais fortemente impregnado de História da Matemática que identifica. A partir desses períodos, as referências históricas são escassas ou inexistentes nos livros-texto (SILVA, 2001, p.141). Outro destaque importante é a referência à obra de Hélio Carvalho d Oliveira Fontes, datada de 1968, pois esse é o único livro de História da Matemática, escrito por um autor brasileiro, que apresenta a matemática indígena não apenas de tribos estrangeiras, mas também de brasileiras (SILVA, 2001, p.143). Nesse contexto, Bezerra (2008) afirma que: No Brasil, há uma grande dificuldade de se encontrar materiais sobre a História da Matemática. Assim, o professor é condicionado a utilizar o material disponível no mercado. É importante mencionar que normalmente ele faz uso desse material mais como uma ferramenta mecânica sem fazer, no entanto, uso da história. O uso é feito sem uma consciência de que existem inúmeras possibilidades de abordagens que podem ser resgatadas dessa história e isso ocorre porque o professor não se dedica a pesquisar e nem estimula o aluno a isso, contribuindo assim para que a Matemática fique sempre muito misteriosa, distante e pouco conhecida. Normalmente, a História da Matemática só é usada como parte ilustrativa, e não como uma parte integral do conteúdo (p.28). Apesar de existir um número considerável de livros sobre a História da Matemática, escritos em português e espanhol, para que os professores possam 10 Zeuthen proposed that the history of mathematics should be part of teachers general education.

42 42 pesquisar e preparar as suas aulas, Silva (2001) destaca que para o leitor em geral, o acesso a essa bibliografia continua sendo difícil e ele muitas vezes desiste do estudo devido à escassez de fontes (p. 150), pois, segundo ele, essas obras não são facilmente encontráveis em livrarias e mesmo em bibliotecas (p. 150). Além da falta de material que auxilie os professores em sala de aula, na utilização pedagógica da História da Matemática, Silva (2007) também aponta outros fatores que indicam a fragilidade que se encontra a História da Matemática na licenciatura em Matemática (p.110). Esses fatores são: (...) a falta de abordagens históricas nos cursos de Matemática; a permanência em alguns casos, como disciplina optativa; a nãovalorização da disciplina de História da Matemática; a falta de professores motivados em ministrá-la. A dificuldade de se formar grupos de pesquisas em História da Matemática; dificuldades de encontrarmos livros-texto de História da Matemática e que ajudem o professor em sala de aula (SILVA, 2007, p.110). Porém, se por um lado, os professores se esbarram em diversos obstáculos para a utilização pedagógica da História da Matemática, por outro lado, existe um campo fértil de pesquisa nessa área de estudo. Assim, é importante a realização de discussões sobre algumas possibilidades de pesquisa em relação à História da Matemática, em especial, sobre a sua Perspectiva Sociocultural. 1.2 Uma Breve História das Funções Conforme relatado anteriormente, existe a necessidade de que os professores tenham conhecimento sobre a História da Matemática. Contudo, é importante que esses professores também conheçam, sucintamente, a história das representações das funções. Nesse sentido, vários autores, entre eles estão Bell (1992), Boyer (1996) e Cajori (2007), foram selecionados para a verificação de como a notação de função foi sendo desenvolvida e criada, ao longo da história e é necessário o levantamento de diversas fontes a fim de verificá-la. Diante dessa perspectiva, Nobre (2005) argumenta que: Se simplesmente aceitarmos a opinião de uma única pessoa a respeito de determinado assunto, muitas vezes esta visão pode distorcer a verdade histórica e a sua transmissão para gerações futuras pode ser comprometida. Este é um grande perigo que está inerente a investigações científicas que possuem como base somente a oralidade. (p. 541).

43 43 Nesse sentido, para que se possa tratar da escrita algébrica das funções recorrese, primeiramente, à escrita da linguagem algébrica geral, pois o simbolismo algébrico foi fundamental para o desenvolvimento da Matemática. No entanto, Bonetto (1999) argumenta que a falta de simbolismo pode ser responsável pelo atraso do desenvolvimento de algumas áreas da Matemática. Por exemplo, ( ) um fator que pode ter impedido Oresme de conseguir maiores avanços no desenvolvimento da geometria analítica está, novamente, no argumento de que ele não dispunha de recursos algébricos mais sofisticados. (BONETTO, 1999, p. 48). Assim, o tópico sobre a história da notação das funções é iniciado por um estudo da linguagem algébrica e dos estágios da evolução histórica sugeridos por Nesselmann, em Posteriormente, discutir-se-á a origem do conceito de função e as suas noções básicas, que foram desenvolvidas por diversos povos e civilizações, desde a origem do pensamento funcional com os Babilônios em, aproximadamente, 2000 a.c. até a definição atual de função desenvolvida por Dirichlet, no século XIX Estágios da Evolução Histórica da Linguagem Algébrica Na linguagem matemática, a escrita da linguagem algébrica foi historicamente dividida em três estágios de evolução, ou seja, o retórico, o sincopado e o simbólico (EVES, 1962; SCARLASSARI e MOURA, 2006) Estágio Retórico Nesse estágio, a linguagem matemática é escrita em palavras e por extenso, isto é, em uma linguagem discursiva, sem a utilização de símbolos ou abreviações. Um exemplo da escrita retórica é encontrado nos trabalhos de Al-Khowarizmi em suas equações, que, de acordo com Bell (1992), eram puramente retóricas. Por exemplo, uma equação quadrática é escrita em Latim como: ( ) census et quinque radices equantur viginti quatuor ou o quadrado do desconhecido (consus) e cinco desconhecidos (radices) é igual a vinte e quatro, que é x² 5x (p. 129, tradução nossa). 11 Al-Khowarizmi s equations were purely rhetorical; a Latin translation of once is census et quinque radices equantur viginti quatuor, or the square of the unknown (consus) and five unknowns (radices) are equal to twenty four, that is x ² 5x 24.

44 44 De acordo com Eves (1962), a escrita retórica foi utilizada até que Diofanto ( ), um famoso matemático grego-alexandrino, conhecido como o Pai da Álgebra 12, contribuiu, de maneira significativa, para a evolução da Matemática, ao iniciar a sincopação da álgebra grega. No entanto, no oeste da Europa, a escrita retórica perdurou até, aproximadamente, o século XV (BAUMGART, 1992) Estágio Sincopado Nesse estágio, que se inicia com Diofanto de Alexandria, por volta do ano 275, a linguagem matemática discursiva passa a ser escrita com a utilização de abreviações. De acordo com Eves (1962), Diofanto utilizava as primeiras letras das palavras para abreviá-las. O quadro 2 mostra as notações algébricas utilizadas por Diofante. Quadro 2: Quadro de notações algébricas utilizadas por Diofante Fonte: Adaptado de Eves (1962) De acordo com Radford (1997), o estágio sincopado da linguagem algébrica foi uma técnica de limitação da escrita, pois os escribas tinham que elaborar cópias de documentos constantes em manuscritos, demandando muito trabalho e tempo. Contudo, Bell (1992) afirma que a fase sincopada se distingue da retórica pela substituição de abreviações mais frequentemente utilizadas em conceituações e operações. Assim, examinando com profundidade a História da Álgebra, principalmente no período présimbólico, observam-se os primeiros passos rumo às ideias algébricas (RADFORD e GRENIER, 1996). 12 Contudo, de acordo com Derbyshire (2006), alguns matemáticos discordam em relação ao fato de Diofante ser o pai da álgebra, pois o seu trabalho não teria sido mais algébrico do que os trabalhos desenvolvidos pelos Babilônios e Arquimedes. Além disso, a data sugerida para a época em que Diofante viveu é aproximada, pois não se tem certeza do século no qual esse matemático grego viveu (DERBYSHIRE, 2006).

45 Estágio Simbólico A escrita simbólica apareceu pela primeira vez na Europa, no século XV (EVES, 1962). Porém, essa escrita não foi amplamente divulgada até meados do século XVI, quando Viétè divulgou a escrita simbólica por volta do ano 1590 (BOYER, 1996). Esse período se consolida no século XVII com os trabalhos de Descartes (1637) e Wallis (1693). A evolução dessa escrita pode ser verificada por meio das anotações apresentadas por Bell (1992), ao afirmar que Viétè descartou a utilização da letra C para representar o cubo, passando a utilizar a simbologia x 3. Por exemplo, de acordo com Bell (1992), naquela época, o símbolo x² era representado somente em sua forma expandida, ou seja, xx. Por outro lado, é necessário enfatizar que, nesse período, Descartes sabia que as letras em suas equações representavam variáveis, e claramente reconhecia a distinção entre variáveis e constantes arbitrárias, embora ele não as tenha definido formalmente 13 (BELL, 1992, p. 141, tradução nossa). No entanto, de acordo com Bagni (2004), a definição formal de constante e quantidades variáveis foi elaborada por Cauchy no ano de Nesse sentido, pode-se afirmar que: Cauchy finalmente introduziu a distinção entre constante e quantidades variáveis, embora ele não tivesse uma descrição axiomática formal dos números reais. É interessante notar que, a nível educacional, a formulação verbal de Cauchy era expressa no paradigma disponível naquele tempo: atualmente isso pode ser direcionado ao uso de diferentes representações e registros 14 (BAGNI, 2004, p. 9, tradução nossa). Em contrapartida, Radford (1997) é mais enfático, pois analisa essa divisão da escrita algébrica de um ponto de vista cultural ao afirmar que: (...) quando o desenvolvimento da álgebra é visto de uma perspectiva sociocultural, essa divisão da álgebra parece ser completamente diferente: a álgebra sincopada não foi um estágio intermediário de 13 Descartes knew that the letters in his equations represented variables, and he clearly recognized the distinction between variables and arbitrary constants, although he defined neither formally. 14 Cauchy finally introduced the distinction between constants and variable quantities,although he had no formal axiomatic description of real numbers. It is educationally interesting to underline that Cauchy s verbal formulation was expressed in the paradigm available at the time: nowadays it can lead to the use of different representation registers.

46 46 maturação no qual o conhecimento descansou em um pouco para ir em direção à corrida do simbolismo. Ao invés disso, foi uma mera estratégia técnica que limitava a escrita e a falta de tintas nos tempos passados impostos aos escribas que deveriam copiar os manuscritos a mão. De fato, muitas das freqüentes palavras foram abreviadas pelo uso de sua primeira letra 15 (RADFORD, 1997, p.27, tradução nossa). Contudo, Boyer (1996) argumenta que, naquela época, os critérios para a consolidação desses estágios foram determinados pela maneira como a linguagem era utilizada para expressar o desenvolvimento algébrico dos conceitos matemáticos As Primeiras Noções de Funções De acordo com Bell (1992), os babilônios, há aproximadamente 4000 anos, eram bons calculadores e podem ter originado a ideia de função em forma de tabelas ou correspondência entre valores numéricos e expressões. Nessa perspectiva, Bell (1992) afirma que: Talvez não seja considerado muito generoso creditá-los com um instinto para a funcionalidade; a função foi sucintamente definida como uma tabela ou uma correspondência. 16 (BELL, 1992, p.32, tradução nossa). No entanto, Wussing (1998) pondera que, nesse contexto, pode-se notar um primeiro esboço dos conceitos de função e de continuidade, por meio de tabelas, ainda que de maneira incipiente e intuitiva. Nesse sentido, Eves (1962) argumenta que uma dessas tabelas foi encontrada em uma tábua babilônia, pois apresentava: (...) a tabulação não só de quadrados e cubos de inteiros de 1 a 30, mas também da combinação n³ n². Um grande número de problemas são dados que geram a equação cúbica da forma x³ x² b. Esses problemas podem ser resolvidos utilizando a tabela n³ n² 17 (EVES, 1962, p.32, tradução nossa). 15 when the development of algebra is seen from socio-cultural perspective, this division of algebra appears to be completely different: syncopated algebra was not an intermediate stage of maturation in which the knowledge took a kind of rest in its tiring race towards symbolism. Instead, it was a mere technical strategy that the limitations of writing and the lack of printing in past times imposed on the diligent scribes that had to copy manuscripts by hand. Indeed, many of the frequently used words were abbreviated by using their first letter. 16 It may not be too generous to credit them with an instinct for functionality; for a function has been succinctly defined as a table or a correspondence. 17 A tablet has been found giving a tabulation not only of the squares and the cubes of integers from 1 to 30, but also of the combination n³ n² for this range. A number of problems are given which lead to cubics of the form x³ x² b. This can be solved by using the n³ n² table.

47 47 No entanto, Roratto (2009) afirma que, até o século XI, o desenvolvimento do pensamento funcional está restrito às descrições qualitativas de fenômenos e relações numéricas expressas em tabelas (p. 55). Porém, com o advento do comércio, as relações funcionais mostraram-se ainda mais úteis às práticas diárias (RORATTO, 2009, p. 55) A Representação Gráfica de Oresme Existem algumas divergências quanto à antecipação do conceito de função por Oresme. No entanto, Boneto (1999) argumenta que uma das primeiras representações gráficas surgiu no final da Idade Média e foi elaborada por Nicole Oresme ( ). Essa representação gráfica era conhecida como latitude das formas 18. Nessa perspectiva, Bonetto (1999) afirma que, nos estudos de Oresme, pode ser encontrada a primeira representação gráfica no sentido funcional e, ainda, o conceito de variação de duas quantidades ( ) ligado à ideia de continuidade (p ). É importante comentar brevemente sobre Nicole Oresme ( ), que foi um gênio intelectual e o pensador mais original do século XIV, pois foi um personagem importante na realização desse estudo. Assim, Oresme foi um economista, matemático, físico, astrônomo, filósofo, psicólogo, musicólogo, teólogo, tradutor, conselheiro do rei Carlos V da França e Bispo de Lisieux, sendo um dos principais fundadores e divulgadores das ciências modernas. Oresme também estudou os movimentos uniforme e uniformemente variado, deduzindo o teorema da velocidade média. A figura mostra mostra uma ilustração de Oresme. 18 O leitor interessado encontrará informações mais detalhadas sobre a representação gráfica de funções na dissertação de Mestrado de Giácomo Augusto Bonetto intitulada A construção da representação gráfica e seu papel no ensino de funções: uma visão histórica.

48 48 Figura 1: Nicole Oresme Porém, Wussing (1998) ressalta o importante papel que as formas de Oresme desempenharam na História da Matemática, mas afirma que o gráfico trata-se de uma representação de quantidades físicas e não de uma antecipação ao conceito de função, pois faltava precisamente a ideia de unir a representação gráfica com a álgebra 19 (p. 125, tradução nossa). Contudo, o ineditismo desse fato não está somente relacionado com a utilização de coordenadas, mas com a representação gráfica de grandezas variáveis, que teve como primeiro exemplo um gráfico de velocidade-tempo. Para Oresme, a mensurabilidade podia ser representada de maneira contínua, traçando um gráfico de velocidade versus tempo, caso a aceleração fosse mantida constante (TASCHOW, 2003). Nessa perspectiva, Boyer (1996) comenta que o gráfico de Oresme foi traçado Ao longo de uma reta horizontal ele marcou pontos representando instantes de tempo (ou longitudes), e para cada instante ele traçou perpendiculares à reta de longitudes um segmento de reta (latitude) cujo comprimento representava a velocidade. (p. 180). Em outras palavras, Oresme procurou representar, graficamente, certas leis, comparando a variável dependente (latitudo) com a independente (longitudo), à medida que a longitudo sofresse pequenos acréscimos. Dessa maneira, Taschow (2003) afirma que Oresme concebeu a ideia de empregar a coordenada retangular, na qual um segmento de reta proporcional ao longitudo foi considerado como sendo o valor da abscissa em um determinado ponto, enquanto que a ordenada era representada por um 19 Faltaba precisamente la idea de unir la representación gráfica com el álgebra.

49 49 segmento de reta perpendicular que era traçada nesse ponto e proporcional ao latitudo. Nessa perspectiva, os parâmetros longitudo e latitudo podiam variar ou permanecer constantes. De acordo com Taschow (2003), Oresme definiu latitudo uniformis como sendo um segmento de reta representado por uma linha paralela à longitude, enquanto que qualquer outro segmento de reta era denominado latitudo uniformiter difformis, que era representado por uma linha reta perpendicular em relação ao eixo da longitude. Para Taschow (2003), Oresme também provou que essa definição era equivalente a uma relação algébrica, na qual as longitudes e latitudes de quaisquer três pontos poderiam representar, por exemplo, a equação de uma reta. Então, as extremidades dos segmentos de retas eram ligadas para formarem um triângulo retângulo. No entanto, apesar de não fornecer explicação para esse fato, Oresme afirmava que a área do triângulo representava a distância percorrida. De acordo com o ponto de vista de Boyer (1996), é provável que [Oresme] pensasse na área [do triângulo] como sendo formada de muitos segmentos verticais e indivisíveis, cada um dos quais representa uma velocidade que se mantinha por um tempo muito curto (p.181). A figura 1 ilustra a representação gráfica de Oresme Figura 2: Representação gráfica de função utilizada por Oresme Fonte: BOYER (1996, p.181). Então, as coordenadas retangulares, denominadas de latitudo e longitudo e as figuras geométricas resultantes, denominadas de configurationes, eram utilizadas para distinguir as distribuições uniforme e não-uniforme de quantidades diversas, como por exemplo, a mudança de velocidade em relação ao tempo (TASCHOW, 2003). Nesse gráfico, o eixo da base (longitudo) é o tempo, enquanto que os segmentos de reta perpendiculares concorrentes a esse eixo (latitudo) representam a velocidade em cada instante do movimento. Assim, a aceleração uniforme é representada por um triângulo retângulo (CLAGETT,1974). Diante desse contexto, Bonetto (1999) afirma que essa representação gráfica representa por si só uma forma complexa e repleta de predicados

50 50 para a representação de um conceito, principalmente no que diz respeito às funções (p. 25). Por outro lado, o trabalho de Oresme pode ter influenciado Galileu na representação gráfica de funções (TASCHOW, 2003). Por exemplo, a figura 3 ilustra a demonstração da lei do espaço transversal do movimento variado como representado por Galileu. Figura 3: Representação gráfica de Galileu Fonte: O Conceito de Função Embora o conceito de função não fosse percebido e nem alocado na antiguidade, esse conceito esteve presente na Matemática e nas Ciências Naturais gregas. As pesquisas sobre as interrelações quantitativas entre as várias grandezas físicas em acústica e astronomia foram realizadas na Grécia antiga e na Babilônia (YUSHKEVICH,1970). Nesse sentido, a ciência desenvolvida na antiguidade estudava as funções tabuladas, enquanto que as operações envolvendo as funções compreendiam o estudo das propriedades, tabulação, interpolação; a determinação dos pontos extremos e a resolução de problemas equivalentes a integração moderna. Porém, Yushkevich (1970) afirma que a técnica das expressões analíticas e as fórmulas simbólicas estavam ausentes desse processo.

51 51 Contudo, o surgimento do conceito de função, claramente definido como objeto de estudo em Matemática, remonta apenas ao final do século XVII. Assim, esse conceito surgiu, pela primeira vez,na Europa medieval, em conexão com as tentativas do estudo de diversos fenômenos naturais. Esse fato foi de crucial importância para o subsequente desenvolvimento de uma teoria das funções, para o desenvolvimento da trigonometria e dos logaritmos e, também, para o nascimento da álgebra simbólica (YUSHKEVICH, 1970). É importante ressaltar que, no começo do século XVII, as funções eram bem definidas verbal, gráfica e cinematicamente e mediante tabelas. É importante ressaltar que, durante a segunda metade desse século, as expressões analíticas também foram desenvolvidas. Historicamente, o termo Função teria sido utilizado, pela primeira vez, em 1673, no manuscrito de Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) intitulado Methodus tangentium inversa, seu de functionibus. No começo desse manuscrito, Leibniz demonstrou possuir conhecimento sobre o conceito inicial de função e utilizou o termo relatio para denominar relação. Leibniz também utilizou esse termo apenas para designar, em âmbito muito mais geral, a dependência de uma curva de quantidades geométricas, como por exemplo, as subtangentes e as subnormais. Contudo, existe uma discussão para determinar quem foi o primeiro matemático a utilizar o símbolo f para denominar uma função. Kline (1972) afirma que Leibniz foi o primeiro matemático a introduzir, em 1675, a terminologia função de x ou f(x). Já segundo Cajori (1993), Euler, em 1734, teria sido o primeiro matemático a utilizar o símbolo f(x) em um artigo publicado no Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae. De acordo com o trabalho de Euler nessa área, ele havia escrito que Si x x f c denotet funtionem quamcunque ipsius c (CAJORI, 2007, p. 268). a a Naquele mesmo ano, Euler utilizou, pela primeira vez, os parênteses para a escrita simbólica das funções (CAJORI, 2007). Em contrapartida, Maor (1994) estabelece que Lagrange foi o primeiro matemático a introduzir, em 1797, a simbologia f para denominar uma função. Nesse sentido, Cajori (1993) argumenta que Lagrange foi o responsável pela introdução dos símbolos f', f", etc., para representar as derivadas sucessivas de uma função.

52 52 De acordo com Yushkevich (1970), em abril de 1692, no texto intitulado De linea ex lineis numero infinitis ordinatim, publicado por OVE no Acta Eruditorum, provavelmente escrito por Leibniz, foi utilizada a palavra functiones de uma maneira que denota o relacionamento entre uma linha reta, uma curva e a sua tangente. A palavra função também apareceu impressa no artigo intitulado Nova Calculi differentialis publicado por Leibniz na revista Acta Eruditorum de Julho de Porém, Yushkevich (1970) afirma que, nesse artigo, Leibniz utilizou o termo função de uma maneira mais técnica, definindo a função como parte de uma linha reta que é cortada por outras linhas retas que são desenhadas em relação a um ponto fixo e a um ponto na curva, que é providenciado juntamente com o grau de sua curvatura. Em julho de 1698, Johan Bernoulli, discípulo de Leibniz, escreveu uma carta para o seu mestre, na qual utilizava a palavra função com o significado de uma expressão analítica. De acordo com Cajori (1993), Bernoulli escreveu nessa carta "earum quaecunque functiones per alias applicatas PZ expressae" (p. 211). No final daquele mês, Leibniz respondeu essa carta para demonstrar a aprovação quanto à utilização do termo função utilizado por Bernoulli (CAJORI, 1993). No mesmo ano, os termos variável, parâmetro e constante também foram introduzidos por Leibniz (YUSHKEVICH, 1970). Porém, a definição de função como uma expressão analítica foi introduzida por Bernoulli, em um artigo publicado em Memoires del'academie des Sciences de Paris, em Nesse artigo, Bernoulli definiu a função de uma variável como uma quantidade composta por uma quantidade variável e constante. Nessa perspectiva, percebe-se que o desenvolvimento das funções vem sendo elaborado desde os tempos dos Babilônios, de aproximadamente a.c. até o século XIX com a definição atual de função, devida a Dirichlet, no ano de A Perspectiva Sociocultural da História da Matemática Com relação ao estudo da História da Matemática, Silva (2001) apresenta duas abordagens distintas que estão relacionadas com o enfoque reflexivo desse estudo:

53 53 1. A evolução dos conceitos matemáticos, em ordem cronológica, valorizando os resultados obtidos nessas conceituações. Nessa abordagem, a Matemática é vista e apresentada como se fosse concebida por seres superdotados, despida de seu caráter social e cultural (SILVA, 2001, p. 163). 2. O contexto sociocultural, no qual a História da Matemática é construída por seres humanos, com seus momentos de genialidade, momentos de insucessos, de trabalho árduo (SILVA, 2001, p ). Nessa abordagem, é possível perceber o lado humano do desenvolvimento do conhecimento matemático. Diante desse contexto, a Perspectiva Sociocultural pode ser considerada como uma abordagem relevante para o ensino e para a aprendizagem da Matemática, pois: (...) a sala de aula é considerada como um micro-espaço de um espaço geral de cultura, e o entendimento que o estudante pode ter da Matemática é visto como um processo da apropriação cultural intelectual de significados e conceitos ao longo de linhas do estudante e atividades do professor 20 (RADFORD; BOERO; VASCO apud FAUVEL e MAANEN, 2000, p.164, tradução nossa). Com relação ao papel desse estudo para a Educação Matemática, a visão da História da Matemática, que direciona esta pesquisa, é diferente daquela atribuída no início do século, uma visão que possuía um poder mágico, um caráter de históriaanedotário, considerada como um momento de descanso durante a aula para que os alunos pudessem se recuperar do esforço requerido pelo estudo da Matemática (MIGUEL e MIORIM, 2008). Por outro lado, atualmente, o campo de pesquisa da História da Matemática vem evoluindo consideravelmente em relação à sua prática pedagógica em sala de aula 21. Nessa perspectiva, Miguel e Miorim (2008) defendem o ponto de vista de que as diferentes perspectivas teóricas de pesquisa em História da Matemática que até o momento constituíram o interior do campo de investigação História na Educação 20 In this socio-cultural perspective, the classroom is considered as a micro-space of the general space of culture, and the understanding that a student may have of mathematics is seen as a process of cultural intellectual appropriation of meanings and concepts along the lines of student and teacher activities. 21 Miguel e Miorim (2008) também identificam as seguintes perspectivas teóricas no campo História na Educação Matemática: a Perspectiva Evolucionista Linear, a Perspectiva Estrutural-Construtivista Operatória, a Perspectiva Evolutiva Descontínua, a Perspectiva Sociocultural e a Perspectiva dos Jogos de Vozes e Ecos.

54 54 Matemática o fizeram aderindo ou rejeitando o argumento recapitulacionista (MIGUEL e MIORIM, 2008, p.79). De acordo com esses autores, a Perspectiva Sociocultural, que fundamenta este trabalho, não tem embasamento teórico no argumento recapitulacionista de cunho biológico, já que, nesse argumento, o desenvolvimento psíquico dos alunos se dá por meio de uma repetição abreviada da evolução filogenética (MIGUEL e MIORIM, 2008, p. 80). Nesse sentido, Miguel e Miorim (2008) explicam que, no princípio recapitulacionista, a Matemática pode ser entendida como uma disciplina composta por um conhecimento cumulativo e sequenciado, na qual os conceitos devem ser recapitulados, durante o ensino. Então, a utilização da História da Matemática, como recurso metodológico de ensino de Matemática, enfatiza a ordem cronológica dos acontecimentos, na qual os conceitos matemáticos surgiram, para a elaboração das atividades curriculares necessárias para o desenvolvimento do conteúdo matemático. Contrapondo esse ponto de vista, Miguel e Miorim (2008, p.130) argumentam que, na Perspectiva Sociocultural (...) existe a consciência de que um projeto de participação da história no ensino (...) da Matemática não deve e nem necessita se pautar em quaisquer das inúmeras variações do princípio recapitulacionista. Então, essa perspectiva é utilizada de acordo com o ponto de vista cultural, no qual a História da Matemática é contextualizada, pois considera os ambientes social, cultural, político, ambiental e econômico, nos quais os alunos estão inseridos, para a elaboração das propostas pedagógicas para a sala de aula (D AMBRÓSIO, 1990). Assim, o ensino da Matemática não deve estar desvinculado da época e da cultura em que o conhecimento matemático foi construído, devendo, portanto, estar relacionado com o ensino da História da Matemática (D AMBROSIO, 1990). Nesse sentido, para que os alunos tenham uma formação crítica, existe a necessidade de utilizarmos o contexto sociocultural no ensino da Matemática (ROSA, 2000). Dessa maneira, existe a necessidade de que a Matemática e outras disciplinas sejam ensinadas atreladas à história de seu desenvolvimento, bem como às condições socioculturais da época da construção dos conceitos relacionados a essas disciplinas (D AMBROSIO, 2003). Assim, a atenção dada à época e ao contexto sociocultural discutida anteriormente é um ponto de vista diferente da proposta de história satírica proposta por Grattan- Guiness (1973) para o nível básico de ensino. Nesse sentido, Miguel (1997) afirma que

55 55 a história satírica é nada mais do que uma imitação do desenvolvimento de um determinado tema ou teoria, omitindo os contextos históricos nos quais ela se desenvolveu. A história satírica seria, portanto, nada mais do que uma história cronológica descontextualizada de um tema (p. 97). Contudo, para o Nível Superior, Grattan-Guinness (1973)apud Miguel (1997) sugere que a História da Matemática esteja presente nos conteúdos abordados no currículo escolar, sem que essa seja considerada como uma disciplina própria, mas que seja entendida como parte essencial de todos os ramos (MIGUEL, 1997, p. 97) e das atividades pedagógicas desenvolvidas no ensino da Matemática. Por outro lado, para o ensino básico, existe a proposta da história satírica, porque, de acordo com Grattan- Guinness (1973), seria inútil a utilização da história da Matemática no Nível Básico da mesma maneira como é proposta para o Nível Superior. Nesse sentido, Silva (2007) afirma que, para os níveis superiores, a História da Matemática poderia ser permeada em várias disciplinas do currículo de Matemática, sem, contudo, se consolidar como disciplina específica (p.111). De acordo com Motta (2006), a História da Matemática abordada e ensinada nos cursos de formação de professores é: (...) de fundamental importância, nos cursos de licenciatura, que [a História da Matemática] não se apresente aos futuros docentes somente uma história internalista e descontextualizada da Matemática, mas também os fatores externos de sua produção, aceitação e transmissão, de maneira crítica e articulada com os conteúdos que esses professores irão trabalhar em suas salas de aula (p.103). Apesar de concordar com a proposta de Grattan-Guinness (1973) para os cursos superiores, Silva (2007) restringe o estudo da História da Matemática aos cursos de Licenciatura em Matemática, pois uma disciplina específica de História da Matemática para os futuros professores exige uma reflexão, por parte de quem oferece o curso, para que essa não seja uma disciplina isolada das demais disciplinas que compõem a grade curricular do curso. De acordo com Valdés (2006), a história pode aproximar os alunos e os professores das interessantes figuras humanas que têm ajudado a impulsionar a Matemática durante muitos séculos, mediante as distintas motivações. Assim, a perspectiva histórica pode possibilitar a aproximação da Matemática com a Ciência

56 56 Humana, muitas vezes desenvolvida com muitas dificuldades, pois é uma ciência falível, porém, capaz de corrigir os próprios erros, mesmo que tardiamente. Nesse sentido, Radford (1997) afirma que: (...) embora, à primeira vista, parece evidente que o desenvolvimento histórico da Matemática deve ter algo a nos informar em relação às dificuldades que os alunos modernos encontram quando aprendem Matemática, um olhar mais cuidadoso na situação revela que a ligação entre ambos os domínios histórico e psicológico está longe de ser fácil 22 (p. 28, tradução nossa). Além disso, D Ambrosio (1990) afirma que os professores também necessitam ter consciência de que não é produtivo ensinar o conteúdo matemático por meio da História ao ignorar o contexto cultural da época em que esses conteúdos foram desenvolvidos, pois há uma necessidade de analisarmos o contexto sociocultural da produção desse conhecimento. Dessa maneira, a utilização da Matemática na vida cotidiana varia de acordo com as necessidades de cada grupo cultural (D AMBROSIO, 1990). Embora Struik (1985) não tenha se preocupado, especificamente, com o estudo da História da Matemática para o ensino dessa disciplina, esse autor comenta sobre a importância do contexto cultural para a matemática ao afirmar que para Descartes, quando ele escreve xx ou x², o significado é o quadrado de um número real racional ou irracional, enquanto Apolônio fala do quadrado de um segmento de reta, ambos de acordo com seu contexto cultural (STRUIK, 1985, p. 202). Esse contexto cultural da Matemática pode ser observado e analisado na perspectiva sociocultural. Para Motta (2006), nessa perspectiva, (...) a investigação dos textos matemáticos de outras culturas busca examinar as práticas culturais nas quais eles estavam envolvidos e, através do contraste com as notações e conceitos que são ensinados hoje, perceber os tipos de exigência intelectual exigidas dos estudantes (p.54). 22 Although, at a first glance, it seems evident that historical mathematical developments must have something to inform us about the difficulties that modern students encounter when they learn mathematics, a closer look at the situation reveals that it is far from easy to link both domains the historical and the psychological.

57 57 Assim, com relação às fontes de consultas e às histórias da matemática escrita, Nobre (2005) ressalta a importância das culturas e dos povos não-europeus para o desenvolvimento da Matemática, pois: Historiadores de diferentes países contribuem para o fortalecimento desse movimento de escrita de uma história das ciências de forma que, além das já conhecidas informações acerca do mundo europeu, também se considerem as contribuições de outros povos e se revejam alguns enganos históricos quando determinados descobrimentos foram atribuídos a personagens europeus, embora tenham se dado em algum outro lugar no mundo (p ). Para Radford e Furinghetti (2002), a cultura influencia os trabalhos pedagógicos realizados na Perspectiva Sociocultural. Nesse sentido, esses autores concluem que: Na abordagem sociocultural que defendemos, textos matemáticos de outras culturas são investigados levando em consideração a cultura na qual eles estavam envolvidos. Isso permite ao pesquisador examinar o modo como conceitos, notações e significados matemáticos foram produzidos 23 (p. 647, tradução nossa). A cultura também está presente nas argumentações de Silva (2009) quanto à utilização da História da Matemática com fins pedagógicos, pois a Matemática como uma atividade cultural e humana acontece sempre num determinado local e tempo e, portanto está relacionada a um certo contexto, assim seu ensino-aprendizagem não deve estar desvinculado de sua história (p. 1). Nesse contexto, Rosa e Orey (2006) também afirmam que a Matemática não deve estar desvinculada dos acontecimentos da época e dos aspectos socioculturais sobre os quais essa ciência foi desenvolvida. Por outro lado, Miguel (1997) argumenta acerca da existência de várias histórias da Matemática. Nessa perspectiva, quanto à utilização da História da Matemática no ensino, Miguel (1997) não acredita que exista uma única história da matemática da qual o professor pudesse fazer uso e abuso e que pudesse ser recortada e inserida homeopaticamente no ensino (p. 101). Porém, para que as histórias da Matemática sejam escritas com objetivos educacionais relevantes e para que possam ser pedagogicamente úteis, é necessário que elas sejam abordadas 23 In the sociocultural approach that we advocate, mathematical texts from other cultures are investigated while taking into account the cultures in which they were embedded. This allows the researcher to scrutinize the way mathematical concepts, notations, and meanings were produced.

58 58 (...) sob o ponto de vista do educador matemático. (...), assim pode enfatizar a reconstituição, não apenas dos resultados matemáticos, mas, sobretudo dos contextos epistemológico, psicológico, sóciopolítico e cultural nos quais esses resultados se produziram, contribuindo, desse modo, para a explicitação das relações que a Matemática estabelece com a sociedade em geral e com as diversas atividades teóricas específicas e práticas produtivas setorizadas (MIGUEL, 1997, p. 101). Percebe-se, então, que o não-eurocentrismo e a valorização das diversas culturas, ao longo do desenvolvimento da Matemática, também é preocupação no trabalho desenvolvido por Silva (2009), já que, para ele, a História da Matemática auxilia: (...) na compreensão de conceitos ao explicar a origem de certas idéias (sic) e procedimentos, a História ajuda a estabelecer conexões entre a Matemática e as demais ciências, a História conscientiza os alunos das relações entre a Matemática e a sociedade, a História é uma fonte inesgotável de problemas curiosos e interessantes que permitem desenvolver e auxiliar a capacidade de resolução de problemas, ela auxilia a superar pré-conceitos e uma visão eurocentrista de conhecimento ao mostrar as reais contribuições de civilizações não ocidentais (p. 2). Dessa maneira, Artigue (1995) apud Radford (1997) afirma que o conhecimento sobre a História da Matemática pode possibilitar aos professores a identificação dos obstáculos epistemológicos e das dificuldades que atrapalham os processos de ensino e de aprendizagem da Matemática pelos alunos, pois tais obstáculos e dificuldades podem estar relacionados com os desafios surgidos no decorrer da história. Assim, de posse desses conhecimentos, os professores podem compará-los para melhor compreendê-los e buscar soluções adequadas que facilitem os processos de ensino e de aprendizagem da Matemática. No entanto, não se pode afirmar que os obstáculos epistemológicos enfrentados, ao longo da história, serão os mesmos que os alunos apresentarão, ou seja, não é possível afirmar, categoricamente, que os alunos apresentarão as mesmas dificuldades, pois esses obstáculos estão relacionados com os aspectos da cultura local presentes no desenvolvimento da Matemática. De acordo com Artigue (1995) apud Radford (1997), os obstáculos epistemológicos identificados na história são somente candidatos a

59 59 obstáculos no processo de ensino e aprendizagem dos dias atuais 24 (p. 29, tradução nossa). Nesse sentido, os professores necessitam conhecer a história dos conteúdos que ministram, pois esse fato pode auxiliar a antecipar e sanar as possíveis dificuldades dos alunos. Assim, Brousseau (1989) afirma que os pesquisadores poderiam: (i) encontrar os erros recorrentes dos estudantes e mostrar que eles se agrupam ao redor de conceitos, ii) encontrar os obstáculos da história da matemática, iii) e confrontar os obstáculos históricos com os obstáculos de aprendizagem para o estabelecimento de seu caráter epistemológico 25 (p. 2, tradução nossa). Esses obstáculos e dificuldades também podem traduzir as concepções matemáticas que os alunos trazem, pois essas concepções podem estar baseadas no background cultural dos alunos (ROSA, 2010). Como os alunos trazem diferentes conhecimentos para a sala de aula, as dúvidas, os questionamentos e as representações matemáticas também são diferenciadas, pois diferentes culturas apresentam diferentes maneiras de se pensar e de representar o conhecimento matemático (ROSA e OREY, 2008). Radford (1997) mostra os obstáculos que os números negativos representaram, ao longo da história, e compara os procedimentos utilizados por outras civilizações, como a chinesa. De acordo com Smith (1958), a civilização chinesa não teve grandes problemas com os números negativos, pois encontrou uma forma alternativa para representá-los com o auxílio de hastes de madeira da cor negra. Os números positivos eram representados por hastes de madeira da cor vermelha. Dessa maneira, os chineses da Antiguidade utilizavam as hastes de contagem para efetuar os cálculos numéricos. A figura 3 mostra a representação dos números positivos e negativos com as hastes de contagem coloridas e as respectivas representações no sistema decimal. 24 epistemological obstacles identified in history are only candidates for obstacles in the present day learning processes. 25 i) Trouver ces erreurs récurrentes, montrer qu elles se regroupent autour de conceptions, ii) Trouver des obstacles dans l histoire des mathématiques, iii) Confronter les obstacles historiques aux obstacles d apprentissage et établir leur caractère épistémologique.

60 60 Figura 4: Representação chinesa para os números negativos e positivos Fonte: Smith (1958) De acordo com Radford (1997), os números negativos, no decorrer da história, tiveram impactos diferentes em culturas distintas, pois (...) a dificuldade que os números negativos levantaram em relação aos números positivos não é um problema intrínseco do conhecimento, pois depende do local, das ideias culturais sobre Matemática, Ciência, os objetos e os métodos deles 26 (p. 39, tradução nossa). Diante desse contexto, Schubring (1998) apud Motta (2006) apresenta uma discussão a respeito da aceitação dos números negativos, no século XVIII, principalmente em decorrência dos posicionamentos filosóficos diferentes (MOTTA, 2006, p. 80) nos países que possuíam um maior número de matemáticos naquela época, como por exemplo, a França, a Inglaterra e a Alemanha. Nessa discussão, Motta (2006, p.80) argumenta que (...) na Inglaterra havia uma rejeição quase absoluta dos números negativos, na França havia um posicionamento ambivalente e na Alemanha ocorria uma clara aceitação. Em outro exemplo, referente às notações, Rosa e Orey (2008) salientam que a Matemática é um sistema de linguagem que possui sua própria história, símbolos, sintaxe, gramática e se apresenta como uma enorme variedade de representações 27 (p. 30, tradução nossa), sendo possível que os alunos utilizem as suas próprias representações matemáticas na resolução de situações-problema. Por exemplo, Bell (1992) afirma que as equações resolvidas por Al-Khowarizmi eram puramente retóricas (p. 129). Assim, a tradução do Latim da equação retórica census et quinque radices equantur viginti quatuor (p. 129) é o quadrado do desconhecido (consus) e cinco desconhecidos (radices) é igual a vinte e quatro (p. 129), que tem como 26 Thus, the difficulty that positive numbers pose to the rise of negative numbers is not an intrinsic problem of knowledge. It depends upon the local, cultural ideas about science, mathematics, their objects and methods. 27 Mathematics is a language system that has its own history, symbols, syntax, grammar, and comes with an enormous variety of representations.

61 61 significado x ² 5x 24 (p. 129) na notação moderna. Analogamente, no ambiente escolar, pode haver alunos provenientes de diferentes culturas, especificamente na sala de aula de Matemática. A respeito disso, Rosa (2010) afirma que é necessário utilizar as experiências prévias dos alunos na tentativa de tornar ativo o processo de ensino e aprendizagem da Matemática. Portanto, existe a necessidade de que os professores utilizem estratégias diferenciadas na sala de aula, levando em consideraçãoos aspectos culturais e o conhecimento prévio dos alunos (ROSA, 2010). Porém, é necessário atentar para as dificuldades históricas e para a história da matemática, pois A forma como a história é apresentada, muitas vezes, isola o grande pensador do mundo do qual ele fez parte, mas não se pode esquecer que, nesse mundo, estavam presentes a família, o ambiente social, os amigos, a escola e seus professores. (NOBRE, 2005, p. 540). Da mesma maneira, Valdés (2006) defende o aprendizado da História da Matemática pelos professores para que eles possam compreender melhor as dificuldades do homem genérico, da humanidade, na elaboração das ideias matemáticas e, através delas, as de seus próprios alunos (p. 16). Assim sendo, a História da Matemática pode ser uma aliada dos professores na relação entre os Fundos de Conhecimento 28 dos alunos e os conteúdos matemáticos a serem estudados, bem como o estudo da notação, da simbologia e dos algoritmos tradicionais de ensino com aqueles desenvolvidos e (re) criados pelos alunos. Motta (2006) afirma que os pesquisadores da perspectiva sociocultural sugerem que (...) o conhecimento matemático é re-criado e co-criado pelos alunos através do uso de signos e do discurso, ou seja, o conhecimento matemático resulta da negociação social dos signos, é um processo lingüísticosemântico (sic) (p. 54). De fato, Radford e Grenier (1996) escreveram um artigo sobre a Perspectiva Sociocultural intitulado Entre les chose, les symboles et les idées... une séquence d enseignement d introduction à l algébre, no qual discutem e propõem uma sequência de ensino para a introdução à álgebra, de modo que os símbolos algébricos sejam criados pelos próprios alunos. Esse trabalho se refere a uma proposta de sequência 28 Fundos de Conhecimento é um termo definido por Moll et all (1992) como sendo os conhecimentos adquiridos e passados pelos membros de uma família, de geração em geração e que são os conhecimentos essenciais para o desenvolvimento dos afazeres domésticos dos membros da família. Esse assunto será discutido com mais detalhes na sequência deste capítulo.

62 62 didática realizada com duas turmas do 9º ano (primeiro ano do secundário) e foi estruturada, em grande parte, ancorada em pesquisas históricas em torno de três níveis de abstração propostos pelos autores, isto é, o nível concreto, o semiconcreto e o nível simbólico. Por exemplo, no nível concreto, esses autores utilizaram problemas verbais que deveriam ser resolvidos com o uso de material concreto, como por exemplo, um saco de papel que, em seu interior, continha quantidades desconhecidas. No nível semiconcreto, os problemas possuíam a mesma natureza, porém, não era possível a utilização de material concreto para a sua resolução. Assim, sugeria-se que os alunos desenhassem a situação-problema para representá-la. No nível simbólico, os alunos resolviam os problemas com a utilização de letras ou números, com os quais havia a necessidade de abstrair a situação-problema trabalhada. Sobre a referida sequência de atividades, esses autores comentam que: Em resumo, nossa sequência de ensino permitiu aos alunos criarem eles mesmos as suas próprias estratégias e seus próprios símbolos. Além disso, nossa sequência permitiu aos alunos darem um significado ao símbolo. Esse é um ponto que merece ser salientado. Com efeito, um símbolo deve representar alguma coisa de concreto. É o princípio sobre o qual repousa a construção das representações simbólicas. Um símbolo sem apoio no concreto (ou um outro símbolo de conteúdo semântico não vazio), não representa nada, é apenas um traço.como havíamos dito anteriormente, nosso conceito de aprendizagem de matemática, repousa, em grande parte, sobre a construção, ao mesmo tempo, individual e social, das relações entre os objetos e as suas representações 29 (RADFORD e GRENIER, 1996, p.273, tradução nossa). No contexto da criação dos símbolos pelos alunos, Orey e Rosa (2008) discutem a teoria da Semiótica de Peirce. De acordo com esses autores, os símbolos (...) são o material ou a substância do pensamento e comentou que a vida é um trem de 29 En resume, notre séquence d enseignement a permis aux eleves de créer eux-mêmes leurs propres stratégies et leurs propres symboles. De plus, notre séquence a permis aux eleves de donner un contenu au symbole. C est um point qui mérite d être souligné. Em effet, un symbole doit représenter quelque chose de concret. C est le príncipe sur lequel repose la construction des représentations symboliques. Un symbole, sans appui sur le concret (ou sur un autre symbole à contenu sémantique non vide), ne représente rien: c est just un trait. Comme nous l avons dit au depart, nous concevons que l apprentissage des mathématiques repose en grande partie sur la construction, à la fois individuelle et sociale, des relations entre les objets et leurs representations.

63 63 pensamentos, isto é, a vida e os símbolos, para todos os humanos, são inseparáveis e estão fundamentalmente relacionados 30 (ROSA e OREY, 2008, p. 35, tradução nossa). Peirce apud Rosa e Orey (2008) classificou a relação entre os símbolos e os objetos em três categorias denominadas deícone, índice e símbolo, de maneira a mostrar a relevância que existe entre a criação do símbolo e a cultura. De acordo com esses autores, Peirce classificou essa relação de três maneiras: Um ícone tem qualidade compartilhada com o objeto. Um índice tem causa e efeito ligados e um símbolo denota o objeto em virtude dos hábitos, leis ou convenções. Um símbolo então se torna uma representação abstrata do objeto, como as letras estão relacionadas com a linguagem verbal 31 (ROSA e OREY, 2008, p.36, tradução nossa). Nesse sentido, os autores ressaltam que O simbolismo providencia conexões possíveis entre as ideias matemáticas congeladas nas práticas matemáticas acadêmicas e os diferentes simbolismos podem facilitar a construção de diferentes estruturas matemáticas. (ROSA e OREY, 2008, p. 36). Da mesma maneira, Radford e Grenier (1996) afirmam que, além da cultura, precisamos estar atentos ao modo como acontece a construção histórica do conhecimento algébrico, bem como a construção desse conhecimento da maneira que é exigida dos alunos em sala de aula. Nessa perspectiva, Radford (1997) afirma que é importante que se verifique a influência da cultura no desenvolvimento do conhecimento matemático, pois a cultura não deve ser simplesmente considerada como um pano de fundo na evolução desse conhecimento, mas sim, como um fator profundamente relevante para o conhecimento matemático que foi desenvolvido, ao longo da História da Matemática. Para Rosa e Orey (2008), a Matemática somente pode ser realmente aprendida e ensinada se incluir a cultura, a língua materna, e as representações visuais, que são culturalmente relevantes para os alunos e professores (p. 43, tradução nossa) 32. Além disso, Rosa (2010) também afirma que devemos considerar as diversas maneiras pelas quais a linguagem influencia a aquisição do 30 Peirce believed that signs are the matter or the substance of the thought and said that life itself is a train of thought, that is, life and signs are fundamentally related and inseparable for all humans. 31 An icon has some quality that is shared with the object. An index has a cause and effect link and a symbol denotes its object by virtue of a habit, law, or convention. A symbol then becomes an abstract representation of the object, much like written letters are related to verbal language. 32 mathematics can only be truly learned and taught if it includes culture, natural language, and visual representations that are culturally relevant to learners and teachers alike.

64 64 conhecimento matemático dos alunos. Nesse sentido, Mendes (2006) argumenta que (...) o professor deve, portanto, utilizar a história de um modo mais aliado às condições reais em que os estudantes se encontram, ou seja, a partir da incorporação dos aspectos socioculturais pelos quais os estudantes compreendem e explicam a sua realidade (p. 104). Por exemplo, é possível abordar a história das funções utilizando o aspecto sociocultural da Matemática. Dessa maneira, Bell (1992) comenta que, há aproximadamente 2000 a.c., os babilônios eram muito bons calculadores e podem ter introduzido a ideia de função em forma de tabelas ou como uma correspondência entre duas variáveis por meio da utilização da álgebra retórica. Em outro exemplo, Sastre Vázquez, Rey, e Boubée (2008) afirmam que, na antiguidade, os gregos trabalharam com problemas que implicitamente continham a noção de Função, porém, esses não foram capazes de reconhecê-la e simbolizá-la. Diante dessa perspectiva, Liu (2003) argumenta que a expectativa negativa dos alunos em relação à definição formal de Função é compreensível, pois essa definição foi resultado de uma longa evolução histórica. Assim, para que exista um aumento da motivação dos alunos, nas aulas de Matemática, é importante que os professores estejam atentos à diversidade de interesses existentes na sala de aula, pois os alunos podem pertencer a grupos culturais distintos (ROSA, 2000). Nesse sentido, existe a necessidade de ressaltar a importância do aspecto sociocultural no desenvolvimento da Matemática, ao afirmar que uma simples inspeção nas diferentes culturas, dentro de uma linha histórica, mostra que cada cultura tem os seus próprios interesses matemáticos e científicos (RADFORD, 1997). Corroborando com essas ideias, Fauvel (1991) afirma que se pode utilizar a História da Matemática para aproximar a escola do social e de outros ambientes frequentados pelos alunos, como por exemplo, os locais de passeio, as quadras poliesportivas, as escolas de idiomas e as academias de ginástica, porque, na medida em que os alunos percebem que a Matemática é uma criação humana, existe a possibilidade de que eles compreendam as relações dessa disciplina com o contexto histórico, social e cultural da época em que ela foi desenvolvida e, então, compreenda o papel dela na sociedade e na comunidade em que vivem. Porém, Howard (2003) enfatiza que, para que os professores sejam capazes de propor e conduzir atividades matemáticas dessa

65 65 natureza, existe a necessidade de que eles se engajem com honestidade na reflexão crítica dos desafios pedagógicos enfrentados no cotidiano escolar, para que possam perceber como a sua postura influencia os alunos, de maneira positiva ou negativa, em relação ao estudo da Matemática. Compartilhando desse mesmo ponto de vista, Fossa (2006) realça que a utilização da história nas aulas de Matemática é ainda mais relevante do que para outras disciplinas, pois: (...) é necessário que o aluno se aproprie do que já foi elaborado por matemáticos anteriores. Esse processo de apropriação é semelhante à atividade de escalar uma montanha, pois o professor pode indicar quais são as trilhas mais apropriadas ou mais fáceis, mas é o aluno que tem de subi-la com seus próprios esforços. Em conseqüência, a História da Matemática é, talvez, mais relevante ao ensino da Matemática do que para a maioria das outras disciplinas (p. 138). Portanto, como a Matemática é desenvolvida em contextos socioculturais variados, o ensino dela também necessita ser abordado, levando-se em consideração o meio e a cultura na qual os alunos estão inseridos. Assim, de acordo com Rosa (2010), os professores necessitam conhecer os seus alunos para que eles possam buscar alternativas pedagógicas que possam relacionar os conteúdos estudados com os fundos de conhecimentos que esses alunos acumulam, nas instituições formais e informais de ensino. Da mesma maneira que a História da Matemática escrita por um historiador também está influenciada pela cultura dos escritores, os professores também necessitam ler a história apresentada por vários autores, para que eles possam ter uma visão mais ampla e geral sobre os aspectos históricos que estão relacionados a um determinado conteúdo matemático (NOBRE, 2005). Diante desse contexto, como os professores são um dos responsáveis pelo conhecimento matemático aos alunos, eles necessitam estar em constante atualização para que possam identificar os diversos pontos de vista de autores variados para que eles possam diminuir a influência das interpretações históricas que não estejam devidamente comprovadas por documentação histórica (NOBRE, 2005). Assim, a Matemática é, também, uma disciplina dinâmica, pois está em constante evolução. A utilização da História da Matemática permite que os professores apresentem essa disciplina aos alunos de uma maneira evolutiva, ao mostrar como os

66 66 conceitos matemáticos foram se desenvolvendo, historicamente. Nesse sentido, D Ambrosio (2003) afirma que: (...) não se pode desvincular a geração do conhecimento (cognição) de sua organização intelectual (epistemologia) e de sua organização social (história) ou de sua difusão (educação). O processo é um todo, extremamente dinâmico e jamais finalizado, e está obviamente sujeito a condições muito específicas de estímulo e de subordinação ao contexto natural, cultural e social (p. 1). Então, é de suma importância conhecer a História da Matemática e os obstáculos que ocorreram em seu desenvolvimento, ter conhecimento da cultura e dos fundos de conhecimento dos alunos para que os processos de ensino e de aprendizagem da Matemática sejam bem sucedidos e conduzidos de uma maneira satisfatória (ROSA, 2010). De acordo com Abrate e Pochulu (2007), o ensino do conteúdo matemático que esteja desprovido de: (...) sua história, muitas vezes acarreta a desvantagem de que eles podem ser projetados pelos alunos como algo artificial e arbitrário dessa ciência. A perspectiva histórica permite não só saber como foram criados e construídos os conceitos e teorias que, hoje utilizamos como um produto de trabalho coletivo, mas também permite comparar as técnicas e métodos atuais com os outros que foram utilizados no passado. Assim, o fazer matemático torna-se valioso, mostrando que o mesmo problema foi resolvido de maneiras diferentes em distintos momentos e épocas 33 (p , tradução nossa). Os resultados do estudo conduzido por Neto (2009) mostram que há dois aspectos importantes para o ensino e a aprendizagem da Matemática, isto é, a importância da cultura para o desenvolvimento da Matemática em sua evolução histórica e a maneira como os professores utilizam pedagogicamente os aspectos históricos dessa evolução. Dessa maneira, a Matemática: (...) enquanto herança cultural da humanidade, é uma ciência que está sujeita a constantes modificações e por meio de sua história vinculamo-la diretamente à nossa cultura. Cabe ao professor, levando em conta os vários fatores que influenciam sua prática, julgar a maneira mais adequada de utilizá-la, de acordo com as suas necessidades e de seus alunos (NETO, 2009, p. 91). 33 su historia suele acarrear el incoveniente de que pueden ser concebidos por los alumnos como algo artificioso y arbitrario de esta ciência. La perspectiva histórica no solo permite conocer cómo se crearon y construyeron los conceptos y las teorias que hoy manejamos, producto de um trabajo acumulativo, sino también, faculta para comparar técnicas y métodos actuales con otros que se utilizaron en el pasado. Así, el quehacer matemático se torna valioso al poner de manifiesto que un mismo problema se resolvió de maneras diferentes em distintas épocas.

67 67 Apesar de Neto (2009) sugerir que os professores são os principais responsáveis pela maneira por meio da qual a História da Matemática é utilizada no ensino e na aprendizagem dessa disciplina, uma década antes, Baroni e Nobre (1999) alertavam sobre a importância de que essa escolha fosse realizada cuidadosamente, pois: Ao desenvolvermos estudos relativos às contribuições da História da Matemática para a Educação Matemática, percebemos que é necessária muita cautela, pois se pode incorrer no erro de simplesmente assumir a História da Matemática como elemento motivador ao desenvolvimento do conteúdo. Sua amplitude extrapola o campo da motivação e engloba elementos cujas naturezas estão voltadas a uma interligação entre o conteúdo e sua atividade educacional (BARONI e NOBRE, 1999, p. 132). Após a análise das opiniões, pontos de vistas e resultados de pesquisas de diversos autores, é possível considerar que a História da Matemática é relevante para que os professores possam utilizar esse conhecimento de maneira a humanizar 34 a Matemática (MELLO e SOUZA apud SILVA, sem data) e a entender os questionamentos colocados pelos alunos em sala de aula. Porém, Rosa (2010) argumenta que existe a necessidade de que os professores não ignorem a influência que o ambiente sociocultural exerce sobre o desenvolvimento dos conteúdos matemáticos. Então, de acordo com Moll, Amanti e Gonzáles (1992), é fundamental que essa influência seja percebida para que as aulas e as atividades curriculares de Matemática também sejam baseadas nas situações-problema que ocorrem no ambiente sociocultural, no qual os alunos estão inseridos, sobretudo nos fundos de conhecimentos dos estudantes em relação à História da Matemática. 1.4 Os Fundos de Conhecimento A expressão Fundos de Conhecimento (Funds of Knowledge) é de origem antropológica. De acordo com Hogg (2011), esse termo foi primeiramente utilizado por Wolf, em 1966, que o definiu como os recursos e conhecimentos que os familiares necessitam manipular para enfrentarem os problemas cotidianos relacionados com a 34 Humanizar a Matemática significa mostrar que ela foi, é e está sendo construída por seres humanos.

68 68 economia do lar, como por exemplo, os fundos calóricos, os fundos sociais e os fundos cerimoniais. Nesse estudo, o termo Funds of Knowledge foi traduzido como Fundos de Conhecimento, pois, esses fundos se referem às origens do conhecimento, incluindo o matemático, que foi previamente adquirido pelos alunos em ambientes formais e informais de aprendizagem. Por outro lado, Velez-Ibanez (1988) apud Hogg (2011) argumentam que outros componentes desses fundos incluem informações com relação ao acesso às instituições de assistência, programas escolares, auxílios legais, rotas de transporte, oportunidades ocupacionais e também na aquisição de serviços e mercadorias essenciais. É importante enfatizar que a definição de fundos de conhecimento vem sendo modificada por diversos autores, sendo que esse conceito vem sendo ampliado para incluir os conhecimentos da comunidade, não se restringindo, portanto, às famílias e ao contexto familiar. Nessa perspectiva, Hogg (2011) argumenta que existem diferentes definições para os fundos de conhecimento, pois os pesquisadores trabalham com uma gama variável de contextos a serem considerados. Assim, a imposição de uma limitação para essa definição pode ser inadequada para determinados propósitos e situações. Nesse sentido, Hogg (2011) em seu artigo encoraja (...) os pesquisadores a articularem completamente a definição que sustenta o próprio trabalho. Essa prática permitirá que cada estudo seja claramente localizado no trabalho, apoaindo o desenvolvimento coerente e claro de novos campos do conhecimento 35 (HOGG, 2011, p.673). Diante desse contexto, neste estudo, definem-se fundos de conhecimento como sendo os conhecimentos intrínsecos a determinados grupos socioculturais, que são necessários para a sobrevivência dos membros de um determinado grupo cultural e que são transmitidos de geração em geração. Considera-se, nesta pesquisa, que os grupos socioculturais também são formados pelos alunos em uma sala de aula, composta por diferentes grupos culturais que possuem características peculiares e únicas. Dessa maneira, amplia-se a definição de Moll et al (1992) para os fundos de conhecimento, considerando como grupos socioculturais o ambiente familiar dos alunos, a comunidade 35 I encourage researchers to fully articulate the definition which underpin their work. This practice will enable each study to be located clearly within the body of work, and support coherent and clear development of new knowledge in the field.

69 69 escolar e outros ambientes nos quais a aquisição do conhecimento é desencadeada formal e informalmente. Há também o estudo conduzido por Moll et al (1992) na fronteira do México com os Estados Unidos, no qual definiram o termo funds of knowledge como sendo os conhecimentos acumulados e historicamente passados de indivíduo a indivíduo, no ambiente familiar. Esses são os conhecimentos necessários para que os membros de uma família possam realizar as atividades cotidianas, portanto, restrito ao contexto familiar. O estudo desses autores tinha como objetivo desenvolver inovações no ensino da Matemática que levassem em consideração alguns aspectos das habilidades e dos conhecimentos encontrados nos afazeres dos componentes da família dos alunos. Para desenvolver o trabalho proposto, esses autores realizaram uma pesquisa essencialmente qualitativa, na qual utilizaram: (...) uma combinação de observações etnográficas, estratégias de entrevistas aberta e fechada, histórias de vida e estudos de caso que, quando combinados analiticamente, podem retratar com precisão as funções complexas das famílias em seus contextos social, e histórico (MOLL et al, 1992, p. 123, tradução nossa) 36. Com esse levantamento dos dados, foi possível que os pesquisadores conhecessem os alunos em maior profundidade e, assim, aprendessem sobre o cotidiano desses alunos e de seus familiares. Moll et all (1992) estudaram as atividades que os pais e os familiares dos alunos realizavam no trabalho e, também, quais tarefas eram normalmente desenvolvidas em casa em suas obrigações diárias. Essas informações serviram como ponto de partida para que esses pesquisadores elaborassem aulas por meio das quais providenciassem um aprendizado mais prazeroso e com significado para os alunos. Assim, os professores utilizaram os fundos de conhecimento dos alunos para acessar importantes ideias e procedimentos matemáticos congelados e provenientes das práticas cotidianas realizadas pelos seus familiares. De acordo com Gerdes (1988), a matemática congelada é caracterizada pelas ideias, conceitos, procedimentos e práticas matemáticas que estão escondidos no processo de confecção de produtos culturais, como por exemplo, as cestarias e os brinquedos, no processo de construção das casas e no desenvolvimento de uma 36 We utilize a combination of ethnographic observations, open-ended interviewing strategies, life histories, and case studies that, when combined analytically, can portray accurately the complex functions of households within their socio-historical contexts.

70 70 simbologia matemática para facilitar a aplicação de conceitos algébricos. Rosa e Orey (2009) afirmam que, embora, muitas vezes, não haja um registro histórico-acadêmico sobre a origem desses objetos culturais, os artesãos e os construtores empregam princípios matemáticos para a confecção ou construção desses objetos. Dessa maneira, as tradições matemáticas, presentes nesses objetos, oferecem investigações matemáticas interessantes que podem auxiliar os alunos a entenderem a herança cultural presente na História da Matemática, bem como os conceitos necessários para a compreensão da Matemática acadêmica. Gonzáles, Andrade, Civil e Moll (2001) afirmam que os fundos de conhecimento podem ser considerados como os corpos de conhecimento historicamente acumulados e as habilidades essenciais desenvolvidas para o bom funcionamento dos afazeres domésticos bem como para o bem-estar familiar. De acordo com Moll et al (1992), a utilização dos fundos de conhecimento dos alunos possui relevância para o ensino e para a aprendizagem em Matemática, pois esses são conhecimentos específicos que estão vinculados às atividades cotidianas desempenhadas pelos integrantes de um determinado grupo cultural e que podem ser incorporados nas atividades curriculares de Matemática, desenvolvidas em salas de aula. De acordo com Rosa (2010), para que os professores tenham consciência sobre os fundos de conhecimento dos alunos, é importante que esses professores os conheçam com maior profundidade, mantenham contato, frequentem os mesmos lugares, visitem as suas casas e conheçam a comunidade na qual esses alunos estão inseridos. Nessa perspectiva, Gonzáles et al (2001) ressaltam que é importante que os professores aventurem-se nas famílias dos alunos e em suas comunidades, porém, não como professores, tentando transmitir informações educacionais, mas como aprendizes, procurando entender a maneira como os alunos e os seus familiares atribuem sentido à suas vidas cotidianas. Como todas as famílias possuem uma cultura e um conhecimento próprio muito vasto, variado e diversificado, é importante que os professores conheçam, compreendam e entendam alguns aspectos dessa cultura para que possam melhor intervir na construção do conhecimento matemático pelos alunos. Nesse sentido, Moll et al (1992) afirmam que essa abordagem (...) também envolve a análise da história social das famílias, suas origens e desenvolvimento, e mais proeminentemente, para os nossos

71 71 propósitos, a história do trabalho das famílias, que revelam acumulados corpos de conhecimento domésticos 37 (p. 133, tradução nossa). Esses conhecimentos são necessários para a sobrevivência dos membros dentro dos grupos. Rosa (2010) afirma a importância de que os alunos sejam percebidos pelos professores como um todo pertencente a uma cultura específica; um todo possuidor de conhecimentos próprios. Assim, os professores, ao se familiarizarem com os conhecimentos dos alunos, não os verão como um simples número em sala de aula, mas como parte essencial do ambiente escolar, pois, dessa maneira, conseguem entendê-los profundamente. No entanto, a falta dessa percepção, torna difícil a tarefa de contextualizar e trazer o cotidiano dos alunos para o currículo escolar, pois os professores não dispõem de meios pedagógicos adequados para que, por meio dos conteúdos curriculares, possam entender as dificuldades epistemológicas que foram desenvolvidas pelos alunos, na trajetória cotidiana e escolar. Contudo, para Moll et all (1992), usualmente, as aulas ministradas estão desvinculadas do contexto sociocultural dos alunos, pois: (...) em contraste com as famílias e suas redes sociais, as salas de aula parecem encapsuladas, se não isoladas, do mundo social e recursos da comunidade (...), os professores raramente utilizam os recursos dos fundos de conhecimento do mundo da criança fora do contexto da sala de aula 38 (p. 134, tradução nossa). Como consequência dessa abordagem pedagógica, os alunos deixam de ser protagonistas do processo de ensino e de aprendizagem em Matemática. Porém, Radford e Grenier (1996) argumentam que é necessário que os alunos sejam ativos nesse processo para que eles próprios busquem o conhecimento e a representação matemática por meio de sua simbologia. Moll et al (1992) afirmam que, em casa, os alunos não são personagens passivos de um aprendizado padronizado, como ocorre na escola, mas participantes ativos das atividades mediadas pelas relações sociais. 37 It also involves analyzing the social history of the households, their origins and development, and most prominently for our purposes, the labor history of the families, which reveals the accumulated bodies of knowledge of the households. 38 Additionally, in contrast to the households and their social networks, the classrooms seem encapsulated, If not isolated, from the social worlds and resources of the community ( ) teachers rarely draw on the resources of the funds of knowledge of the child s world outside the context of the classroom.

72 72 Gonzales et al (2001) consideram que as relações sociais dos alunos com o mundo são fatores de grande importância para o próprio desenvolvimento interacional e intelectual, visto que: (...) os seres humanos e os seus mundos sociais são inseparáveis eles estão incorporados um no outro. Então, o pensamento humano é irredutível às propriedades individuais. Ao invés disso, está sempre mediado, distribuído entre as pessoas, as definições, os artefatos, as atividades 39 (p. 122, tradução nossa). Dessa maneira, de acordo com Fauvel (1991), a História da Matemática pode ser considerada como uma ponte entre os ambientes escolar e sociocultural dos alunos, na medida em que percebem que a Matemática é uma criação humana. Então, Rosa (2010) afirma que, nesse caso, as aulas de Matemática não se tornam isoladas do mundo, pois os professores podem utilizar os conhecimentos prévios dos alunos para aproximar o aprendizado acadêmico da vida prática. De acordo com Mendes (2006), uma das maneiras de tornar os alunos mais ativos, no processo de ensino e de aprendizagem da Matemática, é mediante a utilização da História da Matemática em sala de aula. Assim, é importante que a História da Matemática seja utilizada a partir de situações desafiadoras e provocadoras da criatividade, da imaginação e da autonomia dos estudantes com relação à busca de seu próprio conhecimento matemático (MENDES, 2006, p ). Diante dessa perspectiva, as atividades curriculares que buscam, na História da Matemática, os argumentos necessários para relacionar os fundos de conhecimento dos alunos com a Matemática escolar, podem auxiliar a responder algumas questões pedagógicas relacionadas com a prática pedagógica dos professores. Moll et al (1992) questionaram como os professores podem utilizar os fundos de conhecimento em suas práticas pedagógicas curriculares. Nesse sentido, primeiramente, existe a necessidade de que os professores considerarem os fundos de conhecimento dos alunos. No entanto, para que os professores tenham consciência sobre esses conhecimentos, é importante que os alunos: (...). elaborem um diário por um dia, uma semana, ou por algum período determinado de como eles e os outros utilizam Matemática. Os professores, então, coletam essa informação e a utiliza como base 39 Human beings and their social worlds are inseparable they are embedded in each other: thus human thinking is irreducible to individual properties. Instead, it is always mediated, distributed among persons, artifacts, activities, and settings.

73 73 da qual podem criar contextos para a resolução de problemas e atividades culturalmente relevantes. 40 (OREY e ROSA, 2008, p. 33, tradução nossa). A partir dessa abordagem pedagógica, o conhecimento que os professores adquirem a respeito do contexto sociocultural dos alunos pode auxiliá-los na preparação e elaboração das atividades curriculares necessárias para o aproveitamento adequado das aulas de Matemática. Assim, Moll et al (1992) afirmam que um aspecto importante da participação dos professores na pesquisa familiar é o desenvolvimento de um entendimento sofisticado que são adquiridos sobre as experiências cotidianas de seus alunos e que podem ser úteis na elaboração de atividades curriculares em sala de aula. O entendimento de como as famílias interconectam os meios nos quais vivem com os fundos do conhecimento pode ser utilizado para conectar esse conhecimento às atividades curriculares da matemática escolar (ROSA, 2010). Assim, a partir do meio em que vivem, é importante que os alunos sejam incentivados a criarem as suas próprias linguagens para que possam relacioná-las com a linguagem e o simbolismo tradicionalmente utilizado na matemática acadêmica. Nesse sentido, Radford e Grenier (1996) afirmam que a interação entre os símbolos e as ideias deveria, em nossa opinião, ser vista como um sistema de relações constituídas pelo próprio indivíduo através de um caminho intelectual, ao mesmo tempo social e individual. 41 (p.254, tradução nossa). Nesse sentido, Gonzáles et al (2001) afirmam que, conhecer o contexto familiar também é importante para que se possa buscar respostas a questões do tipo: O que conta como matemática? Como podemos encontrar matemática nas famílias que são economicamente marginalizadas? Como podemos ajudar os pais e comunidade a se verem como matemáticos fazendo matemática na vida diária? (p.119, tradução nossa). No entanto, a utilização dos fundos de conhecimento dos alunos, nas aulas de Matemática, é uma tarefa desafiadora, pois os professores possuem dificuldades para auxiliá-los a acessarem esses fundos. Rosa (2010) afirma que essas dificuldades surgem 40 keep a log for a day, a week, or some other period of time of how they or others use mathematics. Teachers then take this information and use it as a base from which to create contexts for problem solving and culturally relevant activities. 41 l interaction entre les symbols et les idées devrait, d après nous, être vue comme un système de relations contruites par l individu lui-même dans son cheminement intellectual, à la fois social et individual

74 74 em virtude da quantidade de turmas que os professores possuem, dificultando, assim, o entendimento dos conceitos matemáticos presentes nesses conhecimentos, em virtude da diversidade cultural presente em sala de aula. Nesse contexto, Gonzáles et al (2001) afirmam que existe a necessidade de um aprofundamento teórico em como os fundos de conhecimento podem ser aplicados no domínio da Matemática (p. 120), pois a transferência linear do conhecimento matemático das famílias para a sala de aula é problemático 42 (p. 120). Assim, Gonzáles et al (2001) revisaram as entrevistas familiares para salientar as histórias de trabalho que poderiam ser ricas em potencial matemático 43 (p. 119). Por outro lado, para o aprofundamento das pesquisas sobre as relações dos fundos de conhecimento com a matemática escolar, existe a necessidade de que se recorra à História da Matemática. Essa abordagem é necessária, pois é possível que o desenvolvimento dos alunos em relação à Matemática depende do ambiente cultural, no qual eles estão inseridos da mesma maneira que a construção do conhecimento matemático está inserida em um ambiente cultural. Essa abordagem é importante para o desenvolvimento do conhecimento matemático, principalmente para a negociação dos símbolos utilizados na matemática acadêmica. Radford (1997) afirma que (...) como a perspectiva sociocultural sugere, o conhecimento é um processo no qual o produto é obtido através da negociação de significados, aos quais os resultados da atividade cultural do indivíduo estão incorporados 44 (p. 32, tradução nossa). De acordo com esse contexto, Radford (1997) argumenta que a História da Matemática tem muito a oferecer para a epistemologia da Matemática, pois essa disciplina pode ser considerada como uma negociação de significados que depende da atividade histórica e cultural dos alunos. Assim, Rosa (2010) enfatiza que é importante que se discuta a inserção dos aspectos culturais dos alunos no ensino da Matemática, para que possam perceber como a cultura modifica(ou) e influencia(ou) a atividade 42 We were in need of further theorizing on how funds of knowledge could be applicable within the domain of mathematics. We had found that a linear transference of mathematical knowledge from household to classroom was problematic. 43 What counts as mathematics? How can we find mathematics within households that are economically marginal? How can we help parents and communities see themselves as mathematicians, doing. mathematics in their everyday lives? ( ) The household interviews were revised to highlight labor histories that could be rich in mathematical potential. 44 I think that if, as the socio-cultural perspective suggests, knowledge is a process whose product is obtained through negotiation of meaning which results from the social activity of individuals are embedded.

75 75 Matemática, através da história. No entanto, não é somente a cultura dos alunos que deve ser considerada no ensino e na aprendizagem em Matemática, mas, também, os seus fundos de conhecimento, que são transmitidos, no ambiente familiar, de geração em geração. Porém, para que essa abordagem pedagógica seja implantada satisfatoriamente, é importante que os professores também utilizem, dentre outras teorias 45, a Teoria da Pedagogia Culturalmente Relevante, que é baseada na inclusão de referências culturais que os alunos trazem de casa e da comunidade (HOWARD, 2003). Assim, é importante que os professores utilizem a cultura dos alunos como um veículo pedagógico para o ensino e a aprendizagem da Matemática (LADSON-BILLINGS, 1995a). 1.5 A Pedagogia Culturalmente Relevante O termo Pedagogia Culturalmente Relevante foi utilizado por Ladson-Billings (1995a, 1995b) no estudo realizado a partir de 1989 com os professores de alunos afroamericanos que eram considerados educadores por excelência. Gay (2002) utiliza o termo Pedagogia Culturalmente Responsável. No entanto, neste estudo, emprega-se o termo utilizado por Ladson-Billings (1995a), pois é necessário que os professores utilizem a cultura e os fundos de conhecimento dos alunos para que o ensino e aprendizagem sejam relevantes, de modo a reafirmar a cultura e os conhecimentos que os alunos acumularam nas tarefas caseiras e nas atividades comunitárias. Porém, Rosa (2010) ressalta que esses termos podem ser utilizados como sinônimos, pois salientam a importância dos conhecimentos prévios e da cultura dos alunos no ensino e na aprendizagem com o objetivo de reafirmar o background cultural de cada um deles. Gay (2002) afirma que a pedagogia culturalmente responsável pode ser definida como aquela que utiliza as características culturais, as experiências, e as diversas perspectivas étnicas dos alunos para conduzi-los mais efetivamente no processo de ensino e de aprendizagem. Ladson-Billings (1995a) define a pedagogia culturalmente relevante como a pedagogia da oposição, não somente como uma pedagogia crítica, mas especificamente comprometida com o coletivo, não meramente individual Pode-se citar a Etnomatemática e a Educação Matemática Crítica. 46 a pedagogy of opposition not unlike critical pedagogy but specifically committed to collective, not merely individual

76 76 (p.160, tradução nossa). Essa pedagogia apresenta três proposições para o processo de ensino e aprendizagem: (a) Os alunos devem experimentar o sucesso acadêmico; (b) os alunos devem desenvolver e/ou manter a competência cultural e (c) os alunos devem desenvolver uma consciência crítica através da qual eles desafiam o status quo da ordem social atual. 47 (LADSON-BILLINGS, 1995a, p. 160, tradução nossa). Portanto, Ladson-Billings (1995a) oferece um enquadramento teórico para a Pedagogia Culturalmente Relevante que está embasado nessas três proposições. Gandin, Diniz-Pereira e Hypolito (2002) argumentam que essas proposições podem ser consideradas como os vértices de um triângulo, que tem como objetivo evitar a concepção de uma hierarquia entre eles, pois essas proprosições são igualmente fundamentais. A figura 5 mostra as três proposições da Pedagogia Culturalmente Relevante como os vértices de um triângulo. Figura 5: As três proposições para a Pedagogia Culturalmente Relevante Fonte: Elaborado pelo pesquisador Nessa perspectiva, Ladson-Billings (1995) afirma que: O Sucesso Acadêmico requer que os professores reflitam sobre as suas práticas pedagógicas, utilizem metodologias de ensino alternativas e empreguem mecanismos de apoio pedagógico, como, por exemplo, lições diferenciadas, para auxiliar os alunos a experimentarem e atingirem o sucesso acadêmico. Assim, existe a necessidade de que os professores 47 Students must experience academic success; (b) students must develop and/or maintain cultural competence; and (c) students must develop a critical consciousness through which they challenge the status quo of the current social order.

77 77 estejam atentos para que os alunos aprendam os conteúdos a serem estudados, pois a escola é uma instituição que tem como objetivo auxiliar os alunos a adquirirem os conhecimentos que foram buscar. Porém, Gandin, Diniz-Pereira e Hypolito (2002) afirmam que a pedagogia culturalmente relevante não se limita apenas ao acesso a informações pelos alunos, pois é importante que analisem criticamente os conteúdos que aprendem para buscarem respostas às situações-problema que enfrentam cotidianamente. Por outro lado, convém salientar que Ladson-Billings (2006) afirma ter se arrependido de utilizar o termo sucesso acadêmico para que não fosse confundido com a atmosfera opressiva dos testes padronizados. De acordo com essa autora, o termo que melhor se enquadraria para denominar essa proposição seria student learning (aprendizado do aluno), porém, para manter a coerência com a denominação utilizada inicialmente, em sua teoria, essa autora continua a utilizar o termo sucesso acadêmico. A Competência Cultural significa uma reestruturação da metodologia de ensino tradicional, de modo a incluir um tipo de metodologia de ensino no qual o background cultural dos alunos é utilizado como veículo para a aprendizagem. Essa abordagem tem como foco a eliminação das diferenças culturais dos alunos em oposição a um ensino estritamente embasado em raízes eurocêntricas e dominantes. Essa abordagem salienta a importância cultural das civilizações e, em especial, dos alunos. Contudo, Ladson-Billings (2006) considera que a competência cultural é a proposição mais difícil de ser alcançada pelos professores que pretendem desenvolver essa prática em sala de aula, pois possui uma variedade ampla de significados. A Consciência Crítica pode ser considerada como o componente pedagógico, no qual os professores auxiliam os alunos a desenvolverem uma ampla consciência sociopolítica, a fim de permiti-los confrontar com competência as normas que guiam a sociedade e, sobretudo, confrontar as desigualdades sociais para que possam buscar a justiça social em favor do coletivo. Nesse sentido, Gandin et al (2002) afirmam que a consciência sociopolítica permite Aos alunos o entendimento de que os estudos realizados na escola têm um objetivo social maior. Contudo, Ladson-Billings (2006) ressalta a dificuldade inerente a essa proposição, visto que, na maioria dos casos analisados, os professores haviam desenvolvido a própria consciência crítica.

78 78 Assim, a pedagogia culturalmente relevante emerge como o resultado da adoção e implantação dessas três proposições no currículo escolar, porém, não como uma disciplina específica, mas como um componente didático-pedagógico presente em todas as disciplinas. Nesse sentido, Gandin et al(2002) argumentam que o conteúdo é apenas um dos componentes [da Pedagogia Culturalmente Relevante] e que a sua metodologia é muito mais importante (p. 289). Porém, um dos aspectos mais importantes dessa abordagem é a canalização dos pontos fortes do desempenho escolar dos alunos para a resolução de exercícios que demandam muita atenção, encorajando-os, auxiliando-os e os incentivando na escolha pessoal do sucesso acadêmico (LADSON-BILLINGS, 2006). Em contrapartida, Ladson-Billings (1995) argumenta que, para que isso ocorra satisfatoriamente, existe a necessidade de que os professores tenham a missão de providenciar procedimentos metodológicos de ensino alternativos que apoiem os alunos a alcançarem o sucesso acadêmico, pois é importante que as atividades pedagógicas sejam diretamente relacionadas à vida dos estudantes e às suas experiências. Além disso, Ladson-Billings (2006) ressalta que é necessário que o ensino seja realizado nas escolas bem como nas comunidades. Dessa maneira, Erickson e Mohatt apud Ladson-Billings (1995b) argumentam que a conscientização do ensino culturalmente relevante é o primeiro passo para a construção de uma ponte entre os ambientes escolar e o lar. Porém, para que esse primeiro passo possa ser concretizado, existe a necessidade de se conhecer a realidade dos alunos, os seus fundos de conhecimento e as condições socioeconômicas nas quais estão inseridos. Então, na perspectiva de Ladson-Billings (1995b), na pedagogia culturalmente relevante, os professores têm um papel fundamental para auxiliar os alunos a se auto-reconhecerem para que não se transformem nos modelos impostos pela sociedade, embora essa pedagogia não tenha os professores como foco principal de sua abordagem (LADSON-BILLINGS, 2006). Com relação a essa prática pedagógica, um dos passos para: (...) postular uma prática pedagógica efetiva é um modelo teórico que não só direciona o sucesso dos alunos, mas também os auxilie a aceitar e reafirmar a própria identidade cultural enquanto desenvolvendo perspectivas críticas que desafiam as desigualdades que as escolas (e outras instituições) perpetuam (LADSON- BILLINGS, 1995b, p. 469).

79 79 Para Rosa (2010) os professores têm um papel fundamental nesse processo. Contudo, é importante que eles conheçam a si mesmos e sejam capazes de auxiliar os alunos a reconhecerem a própria identidade cultural. De acordo com essa perspectiva, apresentar atividades baseadas na cultura da qual os alunos são provenientes é uma das maneiras que os professores possuem para auxiliar os alunos a se auto-reconhecerem. Por outro lado, Gay (2002) ressalta que as ações pedagógicas dos professores são tão importantes quanto (se não mais importantes do que) um currículo multicultural elaborado para a implementação do ensino culturalmente relevante 48 (p.109, tradução nossa). Concordando com esse ponto de vista, Howard (2003) argumenta que é necessário que os professores sejam capazes de elaborar práticas pedagógicas que tenham relevância e significado para a realidade social e cultural dos alunos 49 (p.195, tradução nossa). De acordo com Ladson-Billings (2006), esses professores utilizam exemplos da realidade dos alunos para que as aulas se tornem mais dinâmicas. Porém, Ladson-Billings (1995a) afirma que é de fundamental importância que os professores estejam atentos à elaboração dessa prática pedagógica, pois: ( ) uma das razões que as crianças indianas experimentam dificuldades nas escolas é que, tradicionalmente, os educadores tentam inserir a cultura na educação ao invés de inserir a educação na cultura. Essa noção é, provavelmente, verdadeira para muitos alunos que não fazem parte da classe média dominante (p.159). De acordo com o estudo conduzido por Rosa (2010) em 09 escolas de segundo grau, em Sacramento, na Califórnia, nos Estados Unidos, essa afirmação pode ser estendida para a maioria dos alunos dessas escolas, pois geralmente, uma grande porcetangem dos professores não está preocupada em utilizar o background cultural dos alunos na elaboração de atividades curriculares culturalmente relevantes (ROSA, 2010). Dessa maneira, existe a necessidade de inserir a cultura dos alunos nos conteúdos curriculares, inclusive de Matemática, em conjunção com o enfoque histórico dessa disciplina como um viés de conexão, para que se possa chegar aos conceitos, notações e símbolos, tradicionalmente utilizados no ensino e aprendizagem dessa disciplina. Nessa perspectiva, Troutman e McCoy (2008) destacam o papel da História 48 Pedagogical actions are as important as (if not more important than) multicultural curriculum designs in implementing culturally responsive teaching 49 teachers must be able to construct pedagogical practices that have relevance and meaning to student s social and cultural realities.

80 80 da Matemática na compreensão dos conceitos matemáticos pelos alunos e na própria reafirmação cultural. Esses autores também afirmam que ao enfatizar o papel desempenhado pelos indivíduos não brancos na criação da Matemática, as lições de História da Matemática podem desafiar o modo pelo qual os estudantes têm, tradicionalmente, entendido o pensamento matemático 50 (TROUTMAN e MCCOY, 2008, p.21, tradução nossa). Da mesma maneira, os resultados do estudo conduzido por Ladson-Billings (1995b) mostram a importância de uma prática pedagógica que se apoia na cultura dos alunos, pois (...) ao observar os alunos em seus ambientes familiar e comunitário, os professores foram capazes de incluir aspectos do ambiente cultural desses alunos na organização e na instrução na sala de aula 51 (LADSON-BILLINGS, 1995b, p.467, tradução nossa). Acerca disso, Moll et al (1992) afirmam que essa abordagem pedagógica (...) também envolve a análise da história social dos familiares, suas origens e desenvolvimento, e mais proeminentemente para os nossos propósitos, a história do trabalho familiar, que revela corpos acumulados de conhecimento dos familiares 52 (MOLL et al, 1992, p.133, tradução nossa). Porém, de acordo com Moll (1992), essa abordagem educacional somente será desenvolvida adequadamente se os professores entrarem na casa dos alunos. Contudo, com a experiência docente, percebe-se que existem muitos obstáculos para que isso ocorra efetivamente, tais como a falta de tempo ou a grande quantidade de alunos que os professores possuem, impedem que haja uma real aproximação a fim de entender o background cultural deles. No entanto, Ladson-Billings (1995b) salienta a importância de os professores conviverem com os alunos a fim de conhecê-los, pois se esses conhecerem os seus alunos, podem se sentir mais capazes e eficazes para utilizar a cultura e o background dos estudantes na prática pedagógica (LADSON-BILLINGS, 2006). Porém, para que isso ocorra adequadamente, é necessário que os professores estejam integrados no meio sociocultural dos alunos por meio da elaboração de 50 By emphasizing the role that non-white individuals have played in the creation of mathematics, math history lessons can challenge the way students have traditionally understood mathematical thinking. 51 By observing the students in their home/community environment, teachers were able to include aspects of the students cultural environment in the organization and instruction of the classroom. 52 It also involves analyzing the social history of the households, their origins and development, and most prominently for our purposes, the labor history of the families, which reveals the accumulated bodies of knowledge of the households.

81 81 atividades matemáticas culturalmente relevantes. Dessa maneira, nesse ambiente de ensino e de aprendizagem: ( ) os professores culturalmente relevantes criam conscientemente interações sociais para auxiliá-los a atingir os três critérios previamente mencionados, o sucesso acadêmico, a competência cultural e a consciência crítica. Rapidamente, os professores mantêm uma relação fluida professor-aluno, demonstram uma conexão com todos os alunos, desenvolvem uma comunidade de aprendizes, encorajam os estudantes a aprenderem colaborativamente e a serem responsáveis uns pelos outros 53 (LADSON-BILLINGS, 1995b, p. 480). Nesse sentido, Gonzáles, Andrade, Civil e Moll (2001) argumentam que o aprendizado na sala de aula pode ser imensamente salientado quando os professores aprendem mais sobre seus alunos e sobre os seus familiares 54 (p. 116, tradução nossa). Então, existe a necessidade de que os professores conheçam os seus alunos mais profundamente para que possam aprender sobre o cotidiano desses alunos e o de seus familiares (ROSA, 2010). Por exemplo, é importante que os professores tenham consciência sobre o tipo de emprego que os pais dos alunos têm e sobre as atividades que normalmente desenvolvem em casa. Dessa maneira, Rosa (2010) afirma que conhecer alguns aspectos da cultura dos alunos tem implicações diretas para o ensino e para a aprendizagem de Matemática. Portanto, é necessário acessar os fundos de conhecimento dos alunos que, sendo parte da sua cultura, podem ser fontes de muitas ideias, procedimentos, conceitos e práticas matemáticas, que podem ser exploradas pelos professores na elaboração das atividades curriculares de Matemática (LADSON-BILLINGS, 1995a). Contudo, conhecer parte dessa cultura não significa somente saber o nome e o endereço dos alunos, pois: Os professores deveriam conhecer os seus estudantes muito bem, não somente o nome, o comportamento e a habilidade intelectual, mas também os seus backgrounds, interesses, atividades extra-escolares e habilidades práticas de vários tipos. Então, a partir do conhecimento dessas habilidades e experiências, os professores terão um ponto de partida adequado para encontrar a matemática escondida dos 53 culturally relevant teachers consciously create social interactions to help them meet the three previously mentioned criteria of academic success, cultural competence, and critical consciousness. Briefly, the teachers: maintain fluid student-teacher relationship; demonstrate a connectedness with all of the students; develop a community of learners; encourage students to learn collaboratively and be responsible for another. 54 Classroom learning can be greatly enhanced when teachers learn more about their students and about their students households.

82 82 estudantes e aplicá-la como uma forma de apoio na sala de aula 55 (ONSTAD, artigo não paginado, tradução nossa). Por outro lado, Rosa e Orey (2005b) afirmam que não basta pensarmos somente na cultura e nos conhecimentos prévios dos alunos para que possamos descongelar o conhecimento matemático que possuem, mas também que tipo de conhecimento eles pretendem adquirir para que possam desenvolver as atividades futuras. De acordo com essa perspectiva, Rosa e Orey (2005b) comentam que é necessário considerar o contexto sócio-cultural-político-econômico no qual os alunos estão inseridos, em conjunto com as aspirações futuras de cada indivíduo (p.132). De posse desse background cultural, Rosa (2010) argumenta que é necessário que os professores preparem aulas que busquem a integração das atividades cotidianas dos alunos com os conteúdos matemáticos trabalhados em sala de aula, permitindo que desenvolvam a consciência crítica por meio da participação em atividades culturalmente relevantes. Então, é importante que os professores utilizem as novas tendências pedagógicas para o ensino e para a aprendizagem da Matemática como apoio para as suas ações pedagógicas para o desenvolvimento da criticidade dos alunos. Dessa maneira, Ladson- Billings (1995a) afirma que, em salas de aula de professores culturalmente relevantes, espera-se que os alunos se engajem criticamente na resolução dos problemas enfrentados no cotidiano. Porém, para que esse engajamento ocorra satisfatoriamente, Troutman e McCoy (2008) argumentam que um dos referentes culturais disponíveis para os professores criarem aulas de Matemática culturalmente relevantes é a utilização da História da Matemática, pois através dessa abordagem pedagógica, os alunos podem verificar como o conhecimento matemático dos diversos povos influenciou o próprio desenvolvimento da Matemática. Nesse contexto, é importante que os professores adotem uma postura culturalmente relevante, pois influenciam os alunos de diversas maneiras. Nesse sentido, Rosa (2010) comenta sobre a necessidade de os professores serem reflexivos e questionarem as suas atitudes, a fim de reconhecerem e avaliarem os seus preconceitos e 55 A teacher ought to know his/her students very well, not only by name, behavior and intellectual abilities, but also their backgrounds, interests, out-of-class activities and practical skills of various types. Thus knowing about their skills and experiences, the teacher will have a proper starting point for picking up their hidden mathematics; uncovering it and applying it in a supportive manner in class.

83 83 posicionamentos. No entanto, no ponto de vista de Howard (2003), para que os professores se tornem culturalmente relevantes, existe a necessidade de que: ( ) se engajem com honestidade e reflexão crítica que os desafia a perceber como a posição deles influencia os estudantes de uma maneira positiva ou negativa. A reflexão crítica deveria incluir um exame de como a raça, a cultura, e a classe social modelam o pensamento e o aprendizado dos estudantes e os vários entendimentos do mundo 56 (p.197, tradução nossa). Então, Ladson-Billings (1995a) argumenta que: O ensino culturalmente relevante requer que os professores estejam atentos às necessidades acadêmicas dos alunos, não só fazê-los se sentirem bem. A chave do ensino culturalmente relevante está na escolha do ensino acadêmico por excelência 57 (LADSON-BILLINGS, 1995a, p.160, tradução nossa). Ainda de acordo com o ponto de vista de Ladson-Billings (1995a, 2006), essa não é uma abordagem pedagógica simples de ser alcançada, pois, no ensino culturalmente relevante, existe a necessidade de que os alunos escolham o ensino acadêmico por excelência e permaneçam culturalmente fundamentados ao desenvolverem competências e habilidades que os auxiliem na realização individual e comunitária. Por outro lado, Gay (2002) afirma que os professores culturalmente responsáveis sabem como determinar os pontos forte e fraco de um plano curricular multicultural e, também, dos materiais instrucionais para a realização das mudanças necessárias que têm como objetivo a melhoria da qualidade global desses instrumentos pedagógicos. Nesse sentido, Sacristan (1995) argumenta que o currículo multicultural deve privilegiar os conhecimentos de todos os participantes da comunidade escolar, principalmente o das minorias, para que os interesses de todos estejam representados nas atividades desenvolvidas na escola. Dessa maneira, Gay (2002) postula que os professores necessitam desenvolver repertórios de instrução multicultural relevantes, que sejam ricos em exemplos que podem ser utilizados no ensino de alunos etnicamente diversos. 56 To become culturally relevant, teachers need to engage in honest, critical reflection that challenges them to see how their positionality influences their students in either positive or negative ways. Critical reflection should include an examination of how race, culture, and social class shape student s thinking, learning, and various understandings of the world. 57 Culturally relevant teaching requires that teachers attend to student s academic needs, not merely make them feel good. The trick of culturally relevant teaching is to get students to choose academic excellence.

84 84 Porém, Rosa e Orey (2006) enfatizam que, para conseguirmos atingir esse objetivo, existe a necessidade da utilização de atividades baseadas na História da Matemática e nos fundos de conhecimento dos alunos para que as tarefas propostas proporcionem situações-problema nas quais os alunos possam criar modelos simplificados da realidade, refletindo matematicamente sobre essas situações. Dessa maneira, Alangui e Barton (2003) apud Troutman e McCoy (2008) ressaltam a importância da História da Matemática no ensino de salas de aula multiculturais, ao afirmarem que: Pela utilização da diversidade que existe na história da Matemática, os professores de Matemática podem encorajar o pensamento critico sobre a cultura dominante ao solicitar que os alunos mergulhem em culturas diversas e examinem as motivações atrás da ignorância institucional sobre aquelas culturas 58 (p. 21, tradução nossa). Por outro lado, com relação ao ensino da linguagem algébrica, é importante demonstrar como os professores podem desenvolver e elaborar atividades curriculares baseadas no contexto cultural dos alunos. No entanto, Gay (2002) ressalta que a elaboração desse tipo de atividades curriculares (...) não é algo que acontece automaticamente ou simplesmente porque nós queremos. É uma habilidade aprendida e que deveria ser ensinada em programas de formação de professores 59 (p.113, tradução nossa). Gay (2002) ainda salienta que no contexto da pedagogia culturalmente relevante: O processo [de ensino e de aprendizagem] começa com o entendimento do papel dos exemplos no processo de instrução, do conhecimento de culturas e experiências de diferentes grupos étnicos, colhendo exemplos de diferentes fontes críticas e aprendendo como aplicar exemplos multiculturais no ensino de outros conhecimentos e habilidades, como, por exemplo, a utilização de ilustrações de arquiteturas étnicas, padrões de tecidos e receitas no ensino de princípios geométricos, operações matemáticas e pensamento proporcional 60 (p. 113, tradução nossa). 58 By utilizing the diversity that exists in the discipline s history, math teachers can encourage critical thinking about the dominant culture by asking students to engage diverse cultures and examine the motivations behind institutional ignorance of those cultures. 59 this is not something that happens automatically or simply because we want it to. It is a learned skill that should be taught in teacher preparation programs. 60 The process begins with understanding the role and prominence of examples in the instructional process, knowing the cultures and experiences of different ethnic groups, harvesting teaching examples from these critical sources, and learning how to apply multicultural examples in teaching other knowledge and skills for instance, using illustrations of ethnic architecture, fabric designs, and recipes in teaching geometric principles, mathematical operations, and propositional thought.

85 85 Porém, é necessário salientar que as influências de atitudes, valores e comportamentos que os alunos e os professores trazem para o processo instrucional podem ser alguns dos maiores determinantes para o insucesso escolar dos alunos (GAY, 2002). Dessa maneira, Motta (2006) afirma que: (...) a educação para uma sociedade multicultural exige o respeito pelos conhecimentos prévios dos alunos, o uso de imagens e representações adequadas ao seu meio e a não imposição de modos de pensar e agir estranhos às suas origens, procurando posturas educacionais que permitam preservar a diversidade e eliminar a desigualdade (p. 63). Os resultados do estudo conduzido por Ladson-Billings (1995a) mostram que um dos participantes incentivava os alunos a escreverem de acordo com a linguagem que se sentiam mais confortáveis para, então, utilizarem a língua materna (inglesa) na resolução das atividades propostas, pois os alunos desse professor eram provenientes de países de língua não-inglesa, que estavam aprendendo o idioma inglês. Ao final do ano letivo, os alunos podiam escrever as suas respostas nas duas linguagens utilizadas em sala de aula (acadêmica e informal). Nesse estudo, Ladson-Billings (1995a) concluiu que o incentivo da escrita na própria linguagem dos alunos e a utilização de símbolos que criaram facilitou a compreensão da escrita matemática acadêmica utilizada na escola. Considerando a linguagem algébrica como um idioma ou como um sotaque especial (OREY e ROSA, 2005), as estratégias utilizadas pela professora citada por Ladson-Billings (1995a) podem ser empregadas para que os alunos possam utilizar as suas próprias escritas para escrever em palavras e em símbolos os conceitos matemáticos mais usuais, bem como aprender os símbolos matemáticos criados pelos seus colegas. Porém, Rosa e Orey (2005) argumentam sobre a importância dos alunos serem encorajados a escreverem as suas ideias matemáticas da maneira acadêmica. Finalmente, Howard (2003) elenca três objetivos que são fundamentais para a prática pedagógica culturalmente relevante: Primeiro, os professores deveriam reconhecer como a noção básica do déficit 61 [cultural] de alunos diversos continuam a permear o 61 A teoria do déficit cultural evidencia e contribui para a difusão de uma visão de que as classes marginalizadas possuem uma cultura inferior. Nessa abordagem, o meio sociocultural origina as deficiências de aprendizagem dos alunos. Nessa perspectiva, a família e o grupo social mais próximo aos alunos são determinantes para a lacuna de atitudes e competências necessárias para o ensino e a aprendizagem, colocando-os em situação de fracasso escolar (Bordieu, 1997).

86 86 pensamento escolar tradicional, as práticas, a matrícula; e criticar os seus próprios pensamentos e práticas para assegurar que eles não reforcem um comportamento preconceituoso 62. Segundo, a pedagogia culturalmente relevante reconhece as conexões explícitas entre a cultura e o aprendizado e vê o capital cultural dos alunos como um ativo e não como um detrimento ao sucesso escolar deles 63. Terceiro, o ensino culturalmente relevante está atento para como as práticas de ensino tradicional refletem na classe média, os valores culturais da Europa e América, e então procura incorporar uma grande variedade de práticas de ensino fluidas e dinâmicas 64 (p , tradução nossa). Porém, para que esses objetivos sejam atingidos, em sua plenitude, Troutman e McCoy (2008) sugerem a utilização da História da Matemática e das próprias histórias dos alunos no ensino e na aprendizagem que ocorrem nas salas de aula. 1.6 A História da Matemática, os Fundos de Conhecimento e a Pedagogia Culturalmente Relevante Inicialmente, pensa-se que o conhecimento matemático emerge das necessidades humanas de ordem econômica, política, social e ambiental que membros de grupos culturais distintos enfrentam em seu cotidiano. Nessa perspectiva, Boyer (1996) afirma que a Matemática surgiu nos primórdios das civilizações como parte integrante da vida diária da humanidade. Além disso, Wussing (1998) ressalta que a origem da Matemática também emerge da luta do ser humano pela sobrevivência ao afirmar que em sua contínua luta com a natureza que o rodeava, o homem primitivo obteve os seus primeiros conhecimentos matemáticos e astronômicos 65 (p. 13, tradução nossa). Porém, de acordo com Karlson (1961), a hipótese de que a Matemática tenha surgido somente a partir da prática de atividades diárias pode ser refutada, considerando que essa ciência tenha se antecipado a outras ciências, pois afirma que com a antecedência de uma ou duas gerações, às vezes mesmo de séculos, cria o instrumental 62 First, teachers must acknowledge how deficit-based notions of diverse students continue to permeate traditional school thinking, practices, and placement, and critique their own thoughts and practices to ensure they do not reinforce prejudice behavior. 63 Second, culturally relevant pedagogy recognizes the explicit connection between culture and learning, and sees student s cultural capital as an asset and not a detriment to their school success. 64 Third, culturally relevant teaching is mindful of how traditional teaching practices reflect middle-class, European American cultural values, and thus seeks to incorporate a wider range of dynamic and fluid teaching practices. 65 En su continua lucha con la Naturaleza que lo rodeaba, El hombre primitivo obtuvo sus primeros conocimientos matemáticos y astronômicos.

87 87 que será depois aplicado pelo físico e pelo técnico (p.374). Nesse sentido, Wussing (1998) afirma que a Matemática começa a se distanciar de suas origens primitivas entre os anos 1000 e 800 a.c. com os escribas babilônicos, quando os problemas matemáticos são retratados a partir das suas soluções, iniciando-se, assim, uma etapa superior na história evolutiva da Matemática, etapa que se consolidará definitivamente no período jônico da Matemática helenística 66 (p. 25, tradução nossa). Dessa maneira, os matemáticos utilizam-se da própria Matemática para desenvolver um conhecimento matemático abstrato, pois essa ciência começa a se tornar independente e a se conformar de acordo com sua própria dinâmica interna (WUSSING, 1998). Cria-se, assim, teorias que, posteriormente, podem ser utilizadas no próprio conteúdo matemático ou em outras áreas do conhecimento, como por exemplo, as geometrias não euclidianas. Todavia, a utilização das novas teorias matemáticas por profissionais de diferentes áreas do conhecimento depende do meio no qual estão inseridos (ROSA e OREY, 2008), que pode determinar as dificuldades enfrentadas na antecipação das teorias matemáticas a serem utilizadas na resolução de situaçõesproblema, principalmente aquelas relacionadas com a abstração de conceitos matemáticos. Nesse contexto, este trabalho procura apresentar uma alternativa metodológica para o ensino da Matemática que vincule a História da Matemática ao contexto sociocultural, no qual os alunos estão inseridos, por meio da utilização dos Fundos de Conhecimento, em atividades curriculares elaboradas na perspectiva da Pedagogia Culturalmente Relevante. Troutman e McCoy (2008) conduziram um estudo cujos resultados mostraram que os professores desenvolviam uma prática pedagógica que conectava a História da Matemática à Pedagogia Culturalmente Relevante. Assim, a pesquisa foi realizada com participantes do estado da Carolina do Norte, Estados Unidos, cuja maioria da população estudantil é caracterizada como afro-americana. Nesse estudo, houve a participação de 15 estudantes de uma high school (equivalente a uma escola do Ensino Médio no sistema de ensino brasileiro). Dentre esses alunos, dez eram afro-americanos, três brancos, dois latinos, sete do sexo feminino e oito do masculino. Os pesquisadores utilizaram três métodos para a coleta de dados, ou seja, 66 a una etapa superior en la historia evolutiva de La matemática, etapa que se consolidará definitivamente em el periodo jónico de la matemática helenística.

88 88 entrevista com questões abertas, observações da sala de aula e um questionário utilizando perguntas com alternativas baseadas na Escala Likert com cinco opções. Assim, os pesquisadores realizaram entrevistas com os estudantes para verificar sobre a relevância das atividades elaboradas, que tinham o propósito de reafirmar o background cultural dos alunos. Os pesquisadores também ressaltaram a relevância da História da Matemática e a possível contribuição de várias civilizações para a construção do conhecimento matemático. Nesse contexto, Jones (1989) apud Troutman e McCoy (2008) declara que a História da Matemática revela que, na realidade, indivíduos da África, América Latina, e Oriente Médio tiveram contribuições chave para a inovação do sistema matemático moderno (p. 20). Os pesquisadores desse estudo utilizaram cinco atividades, durante quatro semanas, mostrando a contribuição de matemáticos africanos, afro-americanos, latino-americanos e do Oriente Médio na evolução do conhecimento matemático. As atividades eram compostas pelo sistema de numeração Maia; pelo teorema de Pitágoras que era utilizado pelos engenheiros africanos para a construção das pirâmides; por dois matemáticos negros da América do norte do século XVIII, Thomas Fuller e Bejnamim Banneker; pelos trabalhos de Hipácia e Euclides e, por fim; pelos trabalhos focados em Al-Khowarizmi. Na etapa seguinte da pesquisa, após a realização das atividades, os pesquisadores concluíram que a maioria dos alunos foi capaz de apresentar asserções sobre a utilização da Matemática por meio de exemplos de situações extracurriculares em tarefas realizadas por pessoas que utilizam a Matemática em seu cotidiano (TROUTMAN e MCCOY, 2008). Essa conclusão pode ser confirmada pelas palavras dos próprios autores, ao afirmarem que Em entrevistas de acompanhamento, a maioria dos estudantes foram capazes de fazer o back up de utilidade da Matemática com exemplos de tarefas extra-escolares nas quais as pessoas utilizam Matemática 67 (TROUTMAN e MCCOY, 2008, p. 32). Ao final do trabalho, esses pesquisadores ressaltaram as possibilidades que a História da Matemática proporciona aos professores com relação ao desenvolvimento de um ensino que leve em conta as atitudes e os valores dos alunos. Assim, foi concluído que os resultados mostram que a incorporação da História da Matemática de culturas 67 In follow-up interviews, most students were able to back up assertions of math s usefulness with examples of out-of-school tasks that people use math to complete.

89 89 diversas, em salas de aula de ensino secundário, pode auxiliar os educadores a desenvolverem atitudes mais positivas nos seus estudantes (TROUTMAN E MCCOY, 2008, p.43). De acordo com esses pesquisadores, as três proposições 68 de Ladson-Billings (1995a) para uma prática pedagógica culturalmente relevante foram alcançadas com as atividades desenvolvidas mediante a utilização da História da Matemática. Diante desse contexto, os proponentes da pedagogia culturalmente relevante (LADSON-BILLINGS, 1995a; 1995b; GAY, 2000) sugerem um ensino e uma aprendizagem que ressalte, valorize, reconheça e reafirme a cultura e os valores dos alunos que são provenientes das classes sociais dominadas e marginalizadas por meio da utilização de atividades contextualizadas e que tenham origem nas experiências vivenciadas pelos alunos e, também, pela inserção da educação Matemática em seu cotidiano. Contudo, Troutman e MacCoy (2008) afirmam que para se atingir complemente os objetivos da pedagogia culturalmente relevante, é necessário que os professores e ( ) instrutores encoragem os alunos a fazerem conexões entre a história que aprenderam e a influência das instituições racistas e das práticas institucionais na criação das diferenças (p. 41). Nesse sentido, a utilização da História da Matemática como prática pedagógica pode ser considerada como uma aliada dos professores, pois um de seus mais importantes objetivos é salientar a cultura dos alunos ao mostrar como o conhecimento é construído e acumulado por vários povos, no percurso da história. De acordo com Furhinghetti (1997) apud Troutman e Maccoy (2008), uma das maneiras que os professores possuem para utilizar essa abordagem pedagógica é a História da Matemática, que pode ser considerada como uma referência cultural disponível para os educadores que querem elaborar aulas de Matemática culturalmente relevantes nessa tendência da Educação Matemática. Nesse sentido, as aulas sobre os principais acontecimentos da Matemática e os indivíduos que contribuíram para o 68 (a) Os estudantes deveriam experimentar o sucesso acadêmico; (b) os estudantes deveriam desenvolver e/ou manter a competência cultural e (c) os estudantes deveriam desenvolver uma consciência crítica através da qual eles desafiam o status quo da ordem social atual.

90 90 desenvolvimento desses acontecimentos podem atender aos critérios e objetivos da pedagogia culturalmente relevante. Então, de acordo com os resultados do estudo realizado por Troutman e McCoy (2008), que elaboraram atividades baseadas na história de várias culturas, os alunos foram capazes de afirmar que a Matemática é útil no cotidiano das pessoas e puderam apresentar exemplos da utilização dessa ciência na própria rotina diária. Esses autores concluíram que essa abordagem auxiliou os alunos a enxergarem a Matemática de uma maneira humanizada e contextualizada. Além disso, os resultados desse estudo também mostraram que a História da Matemática auxiliou alguns alunos a reafirmarem a própria identidade cultural por meio da observação de como pessoas de vários grupos culturais desenvolveram conteúdos matemáticos, no decorrer da história. A História da Matemática mostra como a Matemática vem sendo construída ao longo dos anos e com a contribuição de diversos povos, da mesma maneira, ela pode ser tratada na sala de aula pela vinculação da cultura, especificamente, dos fundos de conhecimento dos alunos, correlacionando-os com a história do conteúdo matemático a ser trabalhado em sala de aula. Nessa perspectiva, Radford (1997) argumenta que o desenvolvimento da Matemática depende da cultura na qual está inserida. Buscam-se, por isso, os fundos de conhecimento dos alunos que são essenciais para auxiliar na elaboração das atividades curriculares de sala de aula, visto que a Matemática surgiu das necessidades humanas pela sobrevivência. As variações culturais das ideias, conceitos, procedimentos e práticas matemáticas também podem ser percebidas nas maneiras como os alunos utilizam as representações matemáticas nas atividades cotidianas (ROSA, 2010). Então, o ensino pode ser considerado como uma atividade cultural, pois está enraizado nas rotinas, tradições, credos, expectativas e valores dos alunos, professores, gestores, pais e comunidade escolar (D AMBROSIO, 1990). Contudo, Radford (2004) argumenta que o link entre a cultura e os conceitos matemáticos deve ser especificado, pois arrisca-se a utilizar a cultura como um termo genérico que tenta explicar algo, enquanto na realidade não explica nada 69 (artigo não paginado, tradução nossa). 69 we risk using culture as a generic term that attempts to explain something, while in reality it does not explain anything.

91 91 Os alunos que possuem background cultural diferentes podem trazer representações e procedimentos matemáticos diferenciados para as salas de aula (OREY e ROSA, 2008). Dessa mesma maneira, Radford (2004) afirma que a História da Matemática mostra, por meio de um estudo profundo sobre a Renascença, que esse foi um período que permitiu aos indivíduos estabelecerem relações abstratas, inclusive em relação à álgebra e às representações simbólicas, pois: Em termos de representações, o valor tornou possível perceber que uma coisa pode ser colocada no lugar de outra, ou, em outros termos, que uma coisa (uma moeda, por exemplo) podia ser utilizada para representar outra coisa. Isto é o conceito chave da representação algébrica 70 (RADFORD, 2004, artigo não paginado, tradução nossa) Nesse contexto, Ladson-Billings (1995) salienta que existe a necessidade de os professores tornarem a instrução matemática culturalmente relevante para os alunos. As atividades matemáticas propostas, nessa perspectiva, permitem que os alunos utilizem o conhecimento matemático que está implícito nos fundos de conhecimento para a elaboração de atividades curriculares que facilitem o ensino e a aprendizagem de práticas matemáticas padronizadas (MOLL e GREENBERG, 1990). Em outras palavras, as atividades matemáticas cotidianas podem ser utilizadas como enriquecimento das atividades matemáticas curriculares, desenvolvidas em sala de aula. Com a utilização da pedagogia culturalmente relevante pode-se desenvolver atividades matemáticas em sala de aula baseadas nos fundos de conhecimento dos alunos, que estão presentes nas atividades realizadas em casa e na comunidade escolar, bem como nas práticas diárias do grupo sociocultural no qual estão inseridos. Dessa maneira, é importante que os professores e pesquisadores trabalhem colaborativamente para planejar as atividades matemáticas curriculares, pois Rosa (2010) argumenta que esse tipo de currículo matemático promove o surgimento de novas unidades matemáticas de ensino, nas quais os conteúdos matemáticos podem ser desenvolvidos como uma contextualização de procedimentos matemáticos específicos, que são adaptados e incluídos no currículo matemático escolar. Assim, os sistemas representacionais e as práticas matemáticas derivadas das atividades realizadas diariamente pelos alunos podem ser modificados, visando a 70 In terms of representations, value made it possible to see that one thing could have take the place of another, or, in other terms, that one thing (a money coin, e.g.) could be used to represent something else. And this is the key concept of algebraic representation.

92 92 favorecer o surgimento de novos objetivos educacionais com relação ao currículo matemático (GALLIMORE, 1996). Então, o conjunto de ideias matemáticas presentes nos fundos de conhecimento dos alunos pode ser considerado como um sistema adaptativo que pode ser utilizado para que os alunos, criativamente, resolvam novos desafios (MOLL et al,1990), do mesmo modo que, durante o século XVI, na Renascença, se deu o desenvolvimento das representações e os sinais se tornaram manipuláveis como as comodities foram manipuladas no comércio do século XVI 71 (RADFORD, 2004, artigo não paginado). Porém, existe a necessidade de explorar como as atividades curriculares podem ser modificadas para a incorporação das práticas culturais no currículo matemático (BRENNER, 1998) por meio da pedagogia culturalmente relevante, já que todos os grupos culturais desenvolveram e desenvolvem vários sistemas representacionais que fornecem pistas sobre as diferentes maneiras de pensamento qualitativo e quantitativo. Nesse sentido, D Ambrosio (1990) afirma que grupos culturais diferentes enfatizam diferentes aspectos do conhecimento matemático. 71 Signs become manipulated as commodities were manipulated in the 16 th century market place.

93 93 CAPÍTULO 2 METODOLOGIA Esta pesquisa teve início com uma busca de trabalhos, artigos, dissertações e teses, tanto do Brasil como do exterior, em cursos de pós-graduação, que se relacionaram com o tema. Essa abordagem de levantamento de dados teve como objetivo a obtenção de ferramentas teóricas e metodológicas que propiciassem uma melhor maneira de abordar questões relativas à linguagem algébrica em sala de aula com a utilização da História da Matemática. Essas questões estavam relacionadas com o estudo das funções bem como com a leitura de livros e artigos sobre a História da Matemática, a Pedagogia Culturalmente Relevante e os Fundos de Conhecimento. A partir disso, elaborou-se, para esse estudo, uma proposta de atividades que pudesse estabelecer um diálogo entre os aspectos cotidiano, escolar e científico da Matemática, cujo objetivo é abordar os aspectos históricos, que são necessários na busca de alguns dos porquês dos estudantes em relação ao estudo das funções e, também, a maneira pela qual as funções são representadas. Dessa maneira, as atividades matemáticas propostas neste estudo, podem fornecer condições para que os alunos entendam a Matemática praticada em outros grupos culturais, para, assim, compreenderem as ideias e os procedimentos matemáticos praticados por eles próprios e que são provenientes da cultura na qual estão inseridos, para que a Matemática formal e acadêmica ensinada e discutida na escola seja entendida com mais profundidade e clareza. Ao mesmo tempo, por meio da utilização da História da Matemática, o professor-pesquisador pode elaborar atividades matemáticas culturalmente relevantes (FURINGHETTI, 1997; TROUTMAN e MCCOY, 2008) baseadas na História da Matemática e nos Fundos de Conhecimento, que são necessárias para atender as necessidades pedagógicas dos alunos com relação ao ensino e aprendizagem da Matemática (ROSA, 2010). Lima (2007) afirma que os professores-pesquisadores ministram, relacionam e instrumentalizam os alunos para aulas e cursos oferecidos em todos os níveis educacionais ao exercerem uma atividade que busca reunir informações sobre um determinado conteúdo matemático. No caso desta pesquisa, o professor-pesquisador 93

94 94 reuniu informações sobre a problemática levantada, analisou os dados com a utilização do método científico, objetivando a ampliação do conhecimento sobre como ocorre a representação das funções pelos alunos, a fim de analisar e entender esse processo de construção da linguagem algébrica, a partir de situações por eles vivenciadas. Dessa maneira, Garcia (2007) afirma que o professor-pesquisador é aquele profissional que parte de questões relativas à sua prática pedagógica, com o objetivo de aprimorá-la. Lima (2007) concorda com esse ponto de vista, pois a pesquisa possibilita aos professores o exercício de um trabalho colaborativo com os alunos, que tem como objetivo a formulação de novos conhecimentos ou os questionamentos sobre a validação das práticas pedagógicas existentes no ambiente escolar. Assim, durante esta pesquisa, o professor-pesquisador atuou como um facilitador da aprendizagem, abandonando o papel de transmissor do conhecimento (FREIRE, 1976). Nesse sentido, os professores-pesquisadores pesquisam a sua própria prática pedagógica, pois ele se encontra envolvido com o objeto de pesquisa (GARCIA, 1997). 2.1 Contexto Escolar Esta pesquisa desenvolveu-se em uma escola técnica, na qual o pesquisador leciona, localizada em Ouro Preto, cidade situada a 96 km de Belo Horizonte. Nessa instituição escolar, os alunos ingressam por meio de um processo seletivo e são matriculados em cursos integrados, com aulas em horário integral. Os alunos permanecem na escola das 7 horas às 16h e 40min, sendo que há um intervalo para o almoço das 10h e 40min às 13 horas. Durante esse intervalo de 2:20 horas, os alunos têm acesso a monitorias, ministradas por alunos previamente selecionados, para esclarecerem dúvidas relativas às disciplinas cursadas, participam de treinos esportivos para competições extra-escolares e de reuniões de iniciação científica júnior. Essa unidade escolar oferece Cursos Técnicos Integrados com o Ensino Médio e todos os alunos participantes desta pesquisa cursam um desses cursos. Portanto, ao mesmo tempo em que esses alunos cursam as disciplinas regulares, cursam também as disciplinas técnicas.

95 Participantes da Pesquisa A população participante deste estudo é composta por 73 alunos de duas turmas da Primeira série do Ensino Médio de uma escola pública da cidade de Ouro Preto, Minas Gerais. As turmas de alunos foram denominadas de A e B. Primeiramente, todos os alunos das duas turmas do professor-pesquisador foram convidados a participar da pesquisa, de uma maneira informal, por meio de um convite verbal e, posteriormente, por meio de duas cartas formais, uma direcionada aos pais (Apêndice I) e a outra direcionada aos alunos (Apêndice II). Ao mesmo tempo, foi entregue o Termo de Consentimento Livre e Esclarecido (TCLE) aos pais (Apêndice III) e aos alunos (Apêndice IV) para a autorização de participação na pesquisa e a ciência sobre os instrumentos que foram utilizados na coleta de dados. Esses documentos também continham informações de que os participantes poderiam desistir da participação na pesquisa a qualquer momento. Para garantir o sigilo com relação à identificação dos participantes dessa pesquisa, substituíram-se os seus nomes por códigos alfanuméricos. Assim, os códigos começados com a letra A indicam que o(a) participante pertence à turma A. Da mesma maneira, os códigos que começam por B indicam que o(a) participante pertence à turma B. Utilizou-se, também, a numeração par para indicar os alunos e a ímpar para indicar as alunas. Assim, por exemplo, a participante B3 é pertencente à turma B e é do gênero feminino por ter a letra B seguida de um número ímpar (3), enquanto que o participante identificado por A28 pertence à turma A e é do gênero masculino por ter a letra A seguida de um número par (28). Da mesma maneira, a participante A33 pertence à turma A, sendo do gênero feminino enquanto que o participante B30 pertence à turma B, sendo do gênero masculino Participantes da Turma A Inicialmente, o número de participantes dessa turma era de 36 alunos. Todos os alunos responderam ao questionário I (Apêndice V), no dia 15 de março de Por meio desse questionário foi possível traçar um perfil dessa turma, que é composta por

96 96 12 (33,3%) alunos e 24 (66,7%) alunas com idade variando de 14 a 17 anos, sendo que o aluno mais velho da turma tem 17 anos (1 aluno 2,8%) e os mais novos têm 14 anos (9 alunos 25%). A figura 5 mostra o gráfico de colunas referente à idade dos alunos da turma A. Figura 6: Idade dos alunos da turma A Fonte: Dados do pesquisador Os alunos dessa turma nasceram em 10 cidades diferentes, como Belo Horizonte, Mariana, Itabirito, Ouro Preto, Ouro Branco, Abre Campo, Santa Bárbara, Entre Rios, Tucuruí e Ponte Nova, todas em Minas Gerais. Com exceção de um dos alunos que nasceu no estado do Pará, na cidade de Tucuruí. A figura 6 contém o gráfico de colunas referente à cidade de nascimento dos alunos da Turma A.

97 97 Figura 7: Cidade de nascimento dos alunos da Turma A Fonte: Dados do Pesquisador Em relação à moradia, os dados mostraram que 28 (77,7%) dos 36 alunos moram com os respectivos responsáveis, sendo que 12 (42,86%) deles residem na própria cidade onde a escola se localiza. Por outro lado, 16 (57,14%) alunos residem em cidades próximas ou distritos dentro de um raio de 45 km de distância da escola. Oito (22,22%) alunos da turma A não moram com os responsáveis, sendo que cinco (13,89%) deles residem na cidade onde a escola se localiza. Porém, 3 (8,34%) deles moram em cidades próximas a Ouro Preto. O quadro 3 ilustra essa situação. Quadro 3: Informação sobre o local de residência e com quem residem os participantes da Turma A de Ouro Preto. Fonte: Dados do Pesquisador Ressalta-se que Cachoeira do Campo, Amarantina e Rodrigo Silva são distritos

98 Participantes da Turma B Essa turma é composta por 37 alunos, dentre os quais 34 (91,9%) responderam ao questionário I (Apêndice V), no dia 15 de março de Os dados mostram que 3 (8,1%) alunos não responderam a esse questionário. Por meio dos dados coletados, foi possível traçar um perfil dos alunos dessa turma, composta por 15 (44,1%) alunos e 19 (55,9%) alunas. Dos alunos que responderam ao questionário, 8 (23,5%) alunos têm 14 anos, 18 (52,9%) alunos têm 15 anos, 6 (17,7%) alunos têm 16 anos e 2 (5,9%) alunos têm 17 anos. A figura 8 ilustra essa situação. Figura 8: Idade dos alunos da Turma B Os alunos dessa turma nasceram em 11 cidades diferentes como Mariana, Itabirito, Ponte Nova, Ouro Preto, Santa Bárbara, Belo Horizonte, Coronel Fabriciano, Itabira, Ouro Branco, todas no estado de Minas Gerais. Somente dois alunos nasceram em outros estados, um deles na cidade de Belém, no estado do Pará e o outro em São Francisco de Paula, no estado do Rio Grande do Sul. A figura 8 contém o gráfico de colunas referente à cidade de nascimento dos alunos da Turma B.

99 99 Figura 9: Cidade de nascimento dos alunos da Turma B Com relação à moradia, os dados mostram que 28 (82,3%) dos 34 alunos moram com os respectivos responsáveis, sendo que 18 (52,3%) residem na própria cidade onde a escola se localiza, 10 (29,4%) residem em cidades próximas ou distritos dentro de um raio de 45 km de distância da escola. Seis (17,6%) alunos dessa turma não moram com os responsáveis, sendo que 4 (66,67%) deles residem na cidade onde a escola se localiza e 2 (33,33%) moram em cidades próximas. O quadro 4 apresenta essas informações. Quadro 4: Informação sobre o local de residência e com quem residem os participantes da Turma B

100 Instrumentos Para esta pesquisa foram utilizados como instrumentos de coleta de dados: a) Questionários I e II; b) Registros Documentais I, II e III; c) Grupos Focais; d) Caderno de campo do professor-pesquisador; e) Entrevistas de acompanhamento; Os dados obtidos desses instrumentos de coleta de dados visam a auxiliar a obtenção de resposta à pergunta: Quais são algumas das possíveis contribuições que atividades baseadas nos fundos de conhecimento dos alunos e ancoradas na perspectiva sociocultural da História da Matemática podem trazer ao processo de ensino e aprendizagem de funções por meio da utilização da abordagem da Pedagogia Culturalmente Relevante? desse estudo: Assim, os seguintes instrumentos foram desenvolvidos para a coleta de dados 1) Questionários Um dos benefícios mais importantes dos questionários é a sua flexibilidade, pois esse instrumento permite a coleta de dados qualitativos e quantitativos (SAPSFORD, 2006 apud ROSA, 2010). a) Questionário I (Apêndice V) Esse questionário foi composto por 12 questões, sendo três abertas e nove fechadas, que possuíam o objetivo de traçar um perfil geral dos sujeitos da pesquisa, pois continha questões relacionadas com o local de nascimento e residência dos alunos, os interesses profissionais e de lazer de cada um deles e informações sobre as profissões dos seus pais ou responsáveis. De acordo com Sampieri, Collado e Lucio (2003), as questões fechadas são mais fáceis para serem codificadas, facilitando a preparação e a análise dos dados. Por outro lado, Fink (1995) apud Rosa (2011) afirma que as questões abertas, apesar de serem mais difíceis de serem respondidas, catalogadas e interpretadas,

101 101 oferecem aos participantes mais liberdade para responderem aos questionamentos solicitados. O questionário I também continha questões relacionadas com a profissão que os alunos pretendem seguir em sua vida adulta. Nesse sentido, Rosa e Orey (2005b) afirmam que é preciso que se saiba sobre o tipo de conhecimento que os alunos pretendem adquirir em seus estudos para que possam desenvolver as suas atividades futuras. De acordo com essa perspectiva, existe a necessidade de que os professores considerem o contexto sócio-cultural-político-econômico, no qual os alunos estão inseridos, em conjunto com as suas aspirações futuras (ROSA e OREY, 2005b, p.132). b) Questionário II (Apêndice VI) O questionário II continha questões numeradas de 1 (um) a 14 (quatorze), sendo sete abertas e sete fechadas. O objetivo desse instrumento de coleta de dados foi identificar a percepção dos alunos sobre a presença da Matemática no cotidiano dos indivíduos que participam do seu convívio social. Outro objetivo importante desse questionário foi colher dados para verificar a presença da Matemática no cotidiano dos alunos por meio da identificação dos seus fundos de conhecimento como membros de uma família (MOLL et al, 1992) e de outros grupos visando à obtenção de informações detalhadas para a elaboração das atividades matemáticas exploratórias dos registros documentais I e II. 2) Registro Documental I: Atividades Matemáticas Exploratórias (Apêndice VII) Os registros documentais podem ser papéis e documentos que contêm informações que auxiliam o pesquisador a tomar decisões, comunicar as decisões tomadas e a registrar os tópicos de interesse da insittuição educacional e dos sujeitos pesquisados (LEEDY e ORMROD, 2001). Assim, qualquer informação escrita, objeto ou fato registrado materialmente, é suscetível de ser utilizado para estudo, consulta ou prova. Nesse contexto, a análise do registro documental pode ser considerada como a exploração sistemática de documentos escritos pelos alunos (protocolos) e artefatos visuais. Então, existe a necessidade da análise desses documentos, pois são um

102 102 elemento essencial na pesquisa, na área educacional. Esses documentos incluem os exercícios, as provas de exame, as atas das reuniões, os documentos de políticas educacionais, os registros públicos, os meios de comunicação, os documentos particulares, as biografias e os documentos visuais, como por exemplo, filmes, vídeos e fotografias. Nesse contexto, as atividades matemáticas desse registro documental foram baseadas nas respostas dadas aos questionários I e II e, também, para os grupos focais. Nesta pesquisa, os registros documentais foram compostos pelas atividades matemáticas realizadas pelos alunos, sendo que o primeiro registro possuía quatro atividades, o segundo, duas e o terceiro duas. Por exemplo, observa-se que a terceira atividade desse registro tratava-se de uma função que relacionava o valor da passagem de ônibus em relação à quantidade de passagens compradas. Essa questão foi baseada nos resultados que foram tabulados nos quadros 3 e 4 e que estão relacionados com a cidade na qual os alunos residem. De acordo com os dados dessa tabela, observa-se que 19 (52,8%) de 36 alunos da turma A e 12 (35,3%) de 34 alunos da B residem em cidades diferentes do local no qual a escola se localiza e, que, portanto, devem se deslocar por meio de ônibus para chegar à escola. Em outras palavras, 31 (44,3%) dos 70 alunos que responderam a essas atividades enfrentam situações parecidas, se não idênticas, às aplicadas nas atividades. Assim, pretendeu-se elaborar uma proposta de atividades que pudesse estabelecer um diálogo entre os aspectos cotidiano, escolar e científico da Matemática, cujo objetivo era utilizar aspectos históricos da Matemática, tanto em sua forma implícita quanto explícita 72 (MIGUEL e MIORIN, 2008; FERREIRA e RICH, 2001; DAMBROS, 2006), que são necessários para a busca dos porquês dos alunos em relação ao estudo de determinados conteúdos matemáticos. Essas atividades foram elaboradas com o auxilio da abordagem histórica da Matemática para que os alunos pudessem utilizar uma notação própria para auxiliá-los no entendimento de como ocorre a apropriação da linguagem Matemática, simbólica e tradicional no ambiente escolar 72 Retomando a discussão iniciada no Capítulo I, considera-se a forma explícita da História da Matemática quando as atividades trazem problemas idênticos aos que ocorreram ao longo da História enquanto que a forma implícita é caracterizada quando o professor-pesquisador utiliza a história como um guia orientador para a elaboração de atividades pedagógica em sala de aula.

103 103 (RADFORD e GRENIER, 1996). Assim, o objetivo dessas atividades foi o de oferecer oportunidades aos alunos de se expressarem algebricamente e traduzirem as situações cotidianas por meio da linguagem matemática com a utilização de conteúdo relacionado às funções. 3) Grupo Focal O grupo focal é um instrumento de coleta de dados qualitativo, sendo que o número de participantes pode variar, dependendo do objetivo dos pesquisadores. Porém, é importante que o grupo de participantes seja pequeno, variando de 6 a 8 ou de 8 a 12 alunos (LEWIS, 2000; BARENETT, 2002). Para esse estudo, dois grupos focais foram montados, um grupo focal composto por dez alunos e o outro, por oito alunos. O guia de entrevista (Apêndice VIII) para o grupo focal são perguntas para orientar o professor-pesquisador na condução das discussões e continha cinco perguntas abertas baseadas nas respostas dadas aos questionários I e II dos participantes e visava a direcionar as discussões dos grupos A e B. Essa abordagem teve como objetivo a coleta de dados para a elaboração das atividades do Registro Documental II: Atividades Matemáticas Exploratórias (Apêndice IX) e serviu, também, como apoio para a elaboração do Registro Documental III: Atividades Matemáticas Exploratórias (Apêndice X). Assim, foi possível coletar uma quantidade maior de dados para conhecer os alunos com mais profundidade e aprender sobre as atividades que os familiares deles realizam diariamente (GONZALES et al, 2001). Outro objetivo desses grupos focais foi o de adquirir informações que auxiliassem na conscientização sobre o background cultural dos participantes dessa pesquisa, pois essas informações podem auxiliar os professores a desenvolverem uma prática didático-pedagógica direcionada para a utilização da Pedagogia Culturalmente Relevante com mais confiança e êxito (LADSON-BILLINS, 2006). Nessa perspectiva, de acordo com Barenett (2002), um dos principais objetivos do grupo focal é discutir sobre as crenças e as experiências dos componentes do grupo, a fim de clarificar e obter informações mais precisas sobre determinados tópicos. Neste estudo, o principal objetivo dos grupos focais foi a obtenção de informações mais precisas sobre a vida dos alunos, bem como esclarecimentos sobre como percebiam as

104 104 possíveis relações entre a Matemática e o cotidiano. Nas discussões realizadas durante o grupo focal, tentou-se estabelecer essas relações bem como identificar a utilização do conceito de funções em atividades práticas, como por exemplo, o tempo de cozimento de alimentos e as atividades realizadas, profissionalmente, pelos pais ou responsáveis dos alunos. 4) Diário de Campo do Professor-pesquisador O diário de campo do professor-pesquisador continha informações sobre as observações efetuadas durante a coleta de dados. Baranett (2002) sugere que durante as atividades de grupo focal, os professores-pesquisadores anotem os detalhes do comportamento dos participantes, que podem conter informações não-verbais importantes para auxiliar na análise dos dados que foram coletados. Dessa maneira, neste estudo, tendo como base a sugestão de Baranett (2002), o professor-pesquisador anotou em seu diário de campo todas as informações que julgava serem importantes para auxiliar na análise de dados da pesquisa, como por exemplo, a postura, os comentários dos alunos durante a realização e o desenvolvimento das atividades propostas para os grupos focais e para os registros documentais I e II. 5) Registro Documental II: Atividades Matemáticas Exploratórias (Apêndice IX) Após a realização dos grupos focais, foram realizadas as atividades do Registro Documental II, que continha duas questões abertas, as quais versavam sobre o tema do trabalho de pesquisa e que estavam relacionadas com os questionamentos discutidos em cada grupo focal. Além disso, foram elaboradas atividades que destacavam a representação da função utilizada por vários povos, culturas e épocas, como por exemplo, a apresentação do pensamento funcional colocado em forma de tabelas como realizada pelos Babilônios ou, também, pela elaboração do primeiro gráfico por Oresme, no final da Idade Média, aproximadamente no ano de 1340, que representava uma variação entre duas quantidades. Assim, esse gráfico representava uma relação funcional que tinha como objetivo instrumentalizar os alunos para compreenderem como os diversos conceitos e notações de funções foram criados, lentamente, ao longo

105 105 da história (RADFORD e FURINGHETTI, 2002). Por outro lado, as informações obtidas sobre os fundos de conhecimento dos participantes do grupo focal também foram utilizadas para a elaboração de parte dessas atividades, possibilitando ao professor-pesquisador o entendimento do processo de construção da linguagem de funções pelos alunos. 6) Registro Documental III: Atividades Matemáticas Exploratórias (Apêndice X) Após a qualificação, ocorrida no dia 07 de dezembro de 2011, os membros da banca sugeriram que fossem elaboradas outras atividades com exemplos históricos para que fosse observado como seria possível relacionar a maneira como alguns grandes matemáticos da antiguidade enfrentaram algumas situações-problema, de natureza matemática, durante a história, bem como os caminhos encontrados pelos alunos para chegarem às soluções dessas situações. Assim, buscaram-se nos dados coletados nos questionários, nos grupos focais e no caderno de campo do professor-pesquisador, as informações necessárias para auxiliálo na elaboração das atividades exploratórias desse registro documental, por meio da utilização da pedagogia culturalmente relevante. Então, elaboraram-se duas atividades, a primeira delas relativa à determinação de um quadrado que tivesse o dobro da área de um quadrado inicial. Essa atividade aberta foi composta por dois itens que foram elaborados baseando-se na História da Matemática, no contexto escolar e nos Fundos de Conhecimento dos alunos. Nessa atividade, a História da Matemática foi utilizada de maneira implícita pelo professor-pesquisador. Na segunda atividade desse registro documental, a História da Matemática foi elaborada de maneira explícita, pois se tratava de uma atividade que apresentava como Arquimedes de Siracusa calculou a área e o comprimento de um determinado círculo. 7) Entrevistas de Acompanhamento (Apêndice XI) A entrevista é uma técnica de pesquisa que visa à obtenção de informações de interesse para uma investigação. Em contato direto com os respondentes, os pesquisadores formulam perguntas orientadas, que possuem objetivos definidos, em

106 106 uma perspectiva de interação social (GIL, 1999). Assim, as entrevistas são instrumentos úteis para a obtenção de esclarecimentos de respostas fornecidas pelos participantes de questionários e grupos focais (MACNAMARA, 1999). Nesse contexto, os pesquisadores podem investigar as respostas dadas pelos participantes com um maior grau de profundidade. Então, com o objetivo de haver um aprofundamento no entendimento das respostas às atividades realizadas para a coleta de dados, realizaram-se entrevistas de acompanhamento semi-estruturadas com dois alunos de cada turma. Assim, o professor-pesquisador elaborarou perguntas que visavam a auxiliá-lo no entendimento, de uma maneira mais profunda, como a História da Matemática auxiliou os alunos a entenderem a construção da Matemática, ao longo dos tempos e, também, como a representação de função foi sendo construída, historicamente. As entrevistas semi-estruturadas são consideradas como a maneira mais efetiva de entrevista para este tipo de estudo, pois o professor-pesquisador possui o guia da entrevista com as questões que o nortearão nesse processo (PATTON, 1990). Nessa perspectiva, apesar das questões da entrevista serem semi-estruturas, elas podem suscitar outras questões que podem surgir da naturalidade do entrevistado com o entrevistador. 2.4 Coleta de Dados A coleta de dados deste estudo iniciou-se no dia 23 de fevereiro de 2011 com a entrega do TCLE (Termo de Compromisso Livre e Esclarecido) aos alunos que é um documento no qual os participantes da pesquisa autorizaram o professor-pesquisador a realizar a pesquisa. Convites verbais também foram realizados, solicitando a participação dos alunos neste estudo. Os TCLE foram recolhidos e guardados para posterior eliminação. Contudo, por questões administrativas, o início da pesquisa foi postergado em dezenove dias, pois 18 alunos, nove de cada turma, foram matriculados posteriormente e começaram a frequentar as aulas somente no mês de março de 2011, ou seja, após a distribuição dos TCLE aos alunos previamente matriculados. Diante disso, optou-se por iniciar esse trabalho de pesquisa de campo quando todos os alunos estivessem devidamente matriculados e frequentando as aulas. O TCLE desses alunos

107 107 foi recolhido posteriormente. Assim, os dados foram coletados de 15 a 30 de março de 2011 e de 11 a 20 de janeiro de A segunda fase iniciou-se em 11 de janeiro de 2012, com a entrega do Registro Documental III e terminou em 20 de janeiro de 2012, com a condução das entrevistas de acompanhamento. Embora o mês de janeiro seja, usualmente, período de férias nas escolas brasileiras, na escola na qual a pesquisa se desenvolveu, esse período foi considerado letivo, pois o ano letivo de 2011 terminou no final do mês de fevereiro de 2012, em virtude de uma greve deflagrada em agosto de Portanto, essa coleta de dados foi realizada no horário regular de aulas. Além disso, o número de participantes, na segunda fase, difere do número de participantes da primeira fase, pois alguns alunos pediram transferência para outras escolas, devido aos problemas no calendário escolar. Os instrumentos utilizados para a coleta de dados qualitativos e quantitativos foram os questionários I e II, os grupos focais I e II, o diário de campo do pesquisador, os registros documentais I, II e III e as 04 (quatro) entrevistas de acompanhamento. O quadro 5 destaca os dados quantitativos e qualitativos coletados por esses instrumentos. Quadro 5: Instumentos de coleta de dados quantitativos e qualitativos A coleta de dados deste estudo ocorreu em duas fases. O quadro 5 mostra a distribuição dos períodos dessa coleta. O quadro 6 mostra, resumidamente, quando foi realizada cada etapa da coleta de dados.

108 108 Quadro 6: Cronograma de realização de atividades A primeira fase iniciou-se no dia 23 de fevereiro de 2011 com a distribuição dos TCLEs e terminou no dia 30 de março de 2011 com uma discussão com os participantes sobre as atividades desenvolvidas, que se iniciou com um comentário de um aluno de Itabirito. Ele questionou sobre a quantidade de pessoas que viajam no transporte público que os leva para a escola. Essa discussão foi levantada tendo em vista as atividades constantes no Registro Documental I, referente ao preço da passagem de ônibus para ir de Itabirito a Ouro Preto e, também, ao tempo gasto pelo ônibus no deslocamento entre as duas cidades. As opiniões dos participantes, bem como as impressões próprias sobre esse assunto, foram anotadas no caderno de campo do professor-pesquisador, ao término da discussão ao final da aula. 2.5 Procedimentos Metodológicos O levantamento bibliográfico iniciou-se com a busca de resumos de dissertações e teses que tratassem, principalmente, da História da Matemática, no banco de teses da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), no dia 26 de março de 2010, às 16h e 45min, pois uma das grandes linhas de ação da CAPES é o acesso e divulgação da produção científica. A pesquisa foi realizada no endereço eletrônico digitando no campo de busca ASSUNTO Digitando uma ou mais palavras do assunto, e selecionado expressão

109 109 exata, História da Matemática, o que retornou 146 resumos de teses e dissertações, das quais foram selecionadas e analisadas 105, pois se considerou que esses trabalhos tratavam, de maneira adequada, de assuntos relacionados à História da Matemática. No decorrer da revisão de literatura, inclinou-se para uma perspectiva teórica que envolvesse a História da Matemática. Contudo, a partir das leituras relacionadas sobre esse tópico e das preocupações com o aspecto sociocultural dos sujeitos da pesquisa, sentiu-se a necessidade de buscar um apoio teórico em outras esferas do conhecimento humano. Essa preocupação direcionou-se para o estudo da relação existente entre a Pedagogia Culturalmente Relevante (LADSON-BILLINGS, 1995, 1995a, 1995b) e os Fundos de Conhecimento (MOLL et al, 1992). Por outro lado, para a coleta de dados, foram aplicados dois questionários em dias diferentes, o primeiro (Apêndice V) no dia 15 de março de 2011, com 70 questionários respondidos (36 da turma A e 34 da turma B) e o segundo (Apêndice VI) no dia 16 de março, com 62 questionários respondidos (32 da turma A e 30 da turma B). A escolha por dois questionários ocorreu pelo fato de se evitar a elaboração de um questionário muito grande e tedioso, pois, de acordo com Sampieri, Collado e Lucio (2003), os alunos não devem demorar mais do que 35 minutos para preencher esse instrumento de pesquisa. Nesta pesquisa, os participantes demoraram de 15 a 20 minutos para responderem as questões propostas em cada questionário. As questões desses questionários foram elaboradas em conjunto, professor-pesquisador e orientadores, que buscaram a elaboração de questões que os auxiliassem a entender o comportamento dos alunos nos ambientes familiar e comunitário (LADSON- BILLINGS, 1995b; MOLL et al, 1992) contendo também perguntas relativas à vida extra-escolar dos participantes. Este estudo também contou com a participação dos sujeitos em dois grupos focais, do grupo focal I participaram alunos da turma A e do grupo focal II participaram alunos da turma B. O primeiro grupo focal realizado no dia 29 de março de 2011, teve a duração de 16 minutos e contou com a participação de dez alunos. O segundo grupo focal teve a duração de 20 minutos e contou com a participação de oito alunos. Os integrantes do grupo focal foram escolhidos pelos próprios alunos, mediante um convite verbal realizado pelo professor-pesquisador para uma conversa, ao final da aula, no dia de realização dos grupos focais. Os alunos que tiveram interesse e estavam à vontade

110 110 para participar dessa conversa, permaneceram em sala de aula, no horário do almoço, para a realização dos grupos focais. Assim, o objetivo principal desses grupos focais foi o de refinar a interpretação dos dados coletados nos questionários I e II e nas atividades matemáticas exploratórias do Registro Documental I, que estavam relacionadas com o background cultural e com fundos de conhecimento dos alunos para a identificação do conhecimento matemático congelado previamente adquirido pelos particpantes desse estudo, bem como o seu relacionamento com a História da Matemática. Seguindo as orientações de Baranett (2002), as sessões do grupo focal foram gravadas com a utilização de cinco gravadores e transcritas pelo próprio professor-pesquisador, logo após a finalização das discussões que ocorreram nesses grupos. Baranett (2002) afirma que a transcrição imediata realizada pelosprofessores-pesquisadores permite uma melhor qualidade da análise dos dados coletados. No diário de campo, o professor-pesquisador também documentou as observações realizadas durante a mediação da discussão entre os participantes do grupo focal. As atividades do Registro Documental I foram realizadas, em grupos, no dia 24 de março de 2011 com a turma A e no dia 29 de março de 2011 com a turma B. Cada grupo foi formado pelos próprios alunos com base nas afinidades existentes entre eles, sem a influência do professor-pesquisador, que também deixou livre a escolha da quantidade de participantes em cada grupo. De acordo com a entrevista realizada por Gandin et al (2002) com a professora Gloria Ladson-Billings sobre a Pedagogia Culturalmente Relevante, essa autora afirma que (...) as pessoas devem envolver-se em seu próprio aprendizado, que devem expressar a sua opinião sem sentirem-se reprimidas. E uma das maneiras de conseguir isto é dividir as pessoas em grupos. As pessoas falam mais e todos participam. (p ). Nesse sentido, Radford, Boero e Vasco (2000) afirmam que o conhecimento não é construído individualmente, mas dentro de um amplo contexto social 73 (p. 164, tradução nossa). O primeiro bloco de atividades do Registro Documental I foi constituído por três páginas, sendo que a primeira continha as atividades 1 e 2, a segunda continha a 73 knowledge is not built individually, but into a wider social context.

111 111 atividade 3 e a terceira continha a atividade 4. Os participantes receberam uma página de cada vez, portanto, deveriam seguir a ordem numérica das atividades. A página de atividades seguinte foi entregue a cada um dos alunos quando tivessem terminado e entregue a página anterior para o professor-pesquisador. Essa sistemática foi adotada para que os alunos realizassem uma atividade de cada vez, para que a resolução das atividades anteriores não influenciasse o processo de resolução das atividades seguintes. As atividades do Registro Documental II foram realizadas no dia 29 de março de 2011 com a turma A e no dia 30 de março de 2011 com a turma B. Os alunos foram divididos em duplas, sem a intervenção do professor-pesquisador. A organização dos alunos nos grupos para a realização dessas atividades não foi, necessariamente, a mesma utilizada na realização das atividades do Registro Documental I, pois os alunos de cada grupo decidiram sobre a permanência ou não dos componentes no mesmo grupo. Nesse sentido, Ladson-Billings (1995a) afirma que, em grupos, os alunos têm a oportunidade de trabalharem colaborativamente e serem responsáveis uns pelos outros, em relação ao próprio aprendizado. É importante salientar que o professor-pesquisador não interferiu durante a realização das atividades exploratórias do Registro Documental I e II para que sua opinião não corroborasse com a resolução das atividades e não influenciasse a construção da linguagem algébrica e para a representação de função pelos alunos. Essas atividades matemáticas foram elaboradas para verificar se os alunos relacionavam os fundos de conhecimento, previamente adquiridos, com a história da Matemática e também com os conteúdos matemáticos trabalhados em sala de aula. As atividades do Registro Documental III foram realizadas no dia 11 de janeiro de 2012 com as duas turmas e, da mesma maneira que ocorreu nas outras atividades, os participantes formaram grupos para discutir e responder aos questionamentos desse registro, que foi elaborado por sugestão dos membros da banca de qualificação. Esse registro documental continha duas atividades elaboradas com base na História da Matemática e nos fundos de conhecimento dos estudantes. As entrevistas foram realizadas em dias diversos, conforme pode ser visto no quadro 7. Dois participantes de cada turma foram convidados para uma entrevista com o professor-pesquisador, que foram realizadas durante o horário de almoço dos participantes.

112 112 Quadro 7: Data das entrevistas com quatro participantes As entrevistas foram gravadas com a utilização de dois gravadores para garantir a qualidade do áudio e facilitar a organização e a análise dos dados pelo professorpesquisador, que foi o responsável pelas transcrições. 2.6 Análise dos Dados Os dados coletados foram analisados utilizando o método misto de pesquisa que é uma tendência crescente em educação (TASHAKKORI e TEDDLIE, 2003), pois a combinação dos métodos qualitativo e quantitativo oferece uma alternativa importante para a abordagem dos problemas específicos e complexos da área da Educação Matemática. Assim, realizaram-se análises comparativas entre os métodos qualitativos e quantitativos para uma compreensão profunda da problemática desse estudo (CRESWELL e PLANO, 2007). Essa abordagem permitiu uma complementaridade dos dados analisados para a obtenção de informações completas e complexas, em relação aos dados levantados durante a realização deste estudo. Essa complementaridade não seria possível se, neste estudo, houvesse a utilização de apenas um desses métodos de pesquisa. Por outro lado, os resultados obtidos também foram analisados a partir das informações obtidas por meio da revisão de literatura com relação à Pedagogia Culturalmente Relevante, os Fundos de Conhecimento e a Perspectiva Sociocultural da História da Matemática. Quanto a escolha desse método de pesquisa, Minayo e Sanches (1993) afirmam que: Um bom método [de pesquisa] será sempre aquele que, permitindo uma construção correta dos dados, ajude a refletir sobre a dinâmica da teoria. Portanto, além de apropriado ao objeto da investigação e de oferecer elementos teóricos para a análise, o método tem que ser operacionalmente exeqüível (sic). (p. 239).

113 113 Considerando os instrumentos de coleta de dados utilizados neste estudo, utilizou-se o método misto QUAL + QUAN (CRESWELL e PLANO CLARK, 2007). De acordo com Minayo e Sanches (1993), ambas as abordagens, qualitativa e quantitativa, são necessárias e complementares, mesmo sem referenciarem esse método em seus estudos. Assim, o método misto é importante para que se obtenha uma visão holística dos resultados obtidos (ROSA, 2010). Neste estudo, essa abordagem foi utilizada desde o início da pesquisa, em todas as suas etapas, ou seja, em sua elaboração, na elaboração dos questionários, na organização das atividades exploratórias de Matemática, na construção das questões orientadoras do grupo focal, nas entrevistas de acompanhamento e na análise de dados. 2.6 Design da Pesquisa Esta pesquisa é um estudo misto que combina os métodos qualitativo e quantitativo. De acordo com a notação utilizada por Creswell e Plano Clark (2007), o design utilizado nesse estudo é o QUAL + QUAN, que signfica que, nesta pesquisa, as duas abordagens foram trabalhadas concorrentemente (simultaneamente), não havendo o domínio de uma abordagem sobre a outra. De acordo com Creswell (2003), o símbolo de adição indica que o método qualitativo e quantitativo foram implementados simultaneamente durante a coleta e a análise de dados. A figura 9 mostra o método misto adotado nessa pesquisa para a análise dos dados. Figura 10: Design de estudo misto Fonte: Adaptado de Creswell e Plano Clark (2007, p.63)

114 114 Neste estudo, o professor-pesquisador utilizou questões abertas do questionário para coletar dados qualitativos relacionados ao estudo e aos fundos de conhecimento dos alunos para determinar o conhecimento matemático previamente adquirido por eles. Por exemplo, as atividades exploratórias de Matemática do Registro Documental I foram baseadas nas respostas obtidas para as questões dos questionários I e II. Essas questões continham informações relacionadas ao cotidiano dos alunos. Na fase quantitativa, o professor-pesquisador realizou um estudo utilizando o método estatístico descritivo para tabular e organizar as respostas dos questionários e, na fase qualitativa, determinar os termos mais frequentes, que mais apareciam nas respostas dos alunos, para a estruturação das próximas fases da pesquisa. Isso significa que, durante a análise de dados, a abordagem qualitativa forneceu o suporte necessário para a abordagem quantitativa e vice-versa. Assim, a utilização da combinação desses métodos de pesquisa teve como objetivo buscar resultados melhores, em termos de qualidade para responder à questão de investigação por meio da integração das abordagens qualitativa e quantitativa (CRESWELL, 2003). 2.7 Triangulação A triangulação é um dos tipos de análise de dados sugeridos por Creswell e Plano Clark (2007) para o método misto. Assim, durante a análise dos dados, a triangulação auxilia os pesquisadores a comparar e contrapor diretamente resultados estatísticos quantitativos com os resultados qualitativos (CRESWELL e PLANO CLARK, 2007, p.62) para a determinação de resultados a serem validados nesta análise. Neste estudo, a triangulação foi utilizada para garantir a complementaridade dos dados qualitativos e quantitativos. Então, as três fontes de triangulação utilizadas nesse estudo foram: 1. Os questionários I e II; 2. Os grupos focais, o diário de campo e as entrevistas de acompanhamento; 3. As atividades matemáticas exploratórias constantes nos registros documentais I, II e III.

115 115 Nesta pesquisa, os questionários I e II foram utilizados para a obtenção de informações que instrumentalizassem o professor-pesquisador para elaborar as atividades baseadas na teoria da Pedagogia Culturalmente Relevante (LADSON- BILLINGS, 1995a) e nos Fundos de Conhecimento dos alunos (MOLL et al, 1992) e, também, para realizar uma conexão dessas teorias com a História da Matemática. Dessa maneira, os grupos focais, o diário de campo do professor-pesquisador e as atividades matemáticas exploratórias dos registros documentais foram instrumentos utilizados para a coleta e a análise dos dados sob o ponto de vista da História da Matemática, na perspectiva sociocultural. A figura 11 ilustra a análise dos dados baseada nos instrumentos de coleta e na fundamentação teórica. Figura 11: Triangulação dos instrumentos utilizados na coleta para a análise dos dados Os dados quantitativos e qualitativos foram coletados para a obtenção de resultados confiáveis e válidos (PATTON, 1990). Nessa perspectiva, os dados qualitativos foram quantificados para permitir ao professor-pesquisador a análise concorrente (simultânea) dos dados, permitindo, dessa maneira, uma comparação entre esses dados e um entendimento mais profundo das informações obtidas pela coleta de dados (CRESWELL e PLANO CLARK, 2007).

116 116 Sendo assim, a triangulação dos dados e os procedimentos metodológicos descritos serviram como um guia para que o professor-pesquisador caminhasse em direção à resposta para a questão de investigação mediante a análise dos dados por meio dos instrumentos de coleta e das teorias discutidas, ou seja, da História da Matemática na Perspectiva Sociocultural, da Pedagogia Culturalmente Relevante e dos Fundos de Conhecimento. A figura 11 ilustra a triangulação dos dados utilizada nesse estudo. Figura 12: Triangulação dos Instrumentos e Teorias Finalizando, os dados coletados por meio dos instrumentos elencados nessa seção serão apresentados, organizados e analisados pelo professor-pesquisador no capítulo 3. Na sequência, os resultados são interpretados, que é a última etapa do estudo misto conforme proposto na fig. 9. Essa interpretação será realizada no capítulo 4 de acordo com a análise de conteúdo, e seguindo as fases propostas por Moraes (1999) em conexão com as fases do estudo misto.

117 117 CAPÍTULO 3 APRESENTAÇÃO DOS DADOS E ANÁLISE Este capítulo apresenta os resultados e a análise dos dados que foram coletados por meio de diversos instrumentos, como por exemplo, os questionários, os grupos focais, as entrevistas de acompanhamento, os registros documentais e o diário de campo do professor-pesquisador. Esses instrumentos de coleta de dados foram desenvolvidos pelo professor-pesquisador juntamente com a sua orientadora e o seu co-orientador, sendo elaborados de acordo com o design do estudo misto proposto por CRESWELL e PLANO CLARK (2007). Um objetivo importante deste capítulo é a apresentação da metodologia utilizada para a elaboração de cada atividade dos registros documentais e, também, da justificativa de cada passo realizado pelo professor-pesquisador para utilizar a História da Matemática, a Pedagogia Culturalmente Relevante e os Fundos de Conhecimento na elaboração das tarefas propostas para os participantes deste estudo. Para uma melhor compreensão da análise dos dados e da apresentação dos resultados obtidos, este capítulo é composto pelas seções denominadas de Dados Quantitativos (QUAN), Dados Qualitativos (QUAL), Registro Documental I: Atividades Matemáticas Exploratórias I, Registro Documental II: Atividades Matemáticas Exploratórias II e Registro Documental III: Atividades Matemáticas Exploratórias III. 3.1 Dados Quantitativos (QUAN) Os dados quantitativos foram coletados por meio dos questionários I e II, sendo utilizados para a obtenção de informações sobre os participantes desta pesquisa. Esses dados também foram utilizados para a elaboração das atividades desenvolvidas em sala de aula, que originaram os Registros Documentais I, II e III. Assim, os dados que emergiram da análise de algumas questões desses questionários foram úteis para a caracterização dos participantes deste estudo e, concomitantemente, do contexto escolar onde essa pesquisa foi realizada. Além disso, por meio dos dados quantitativos coletados no questionário I, foi possível utilizar outros recursos para a obtenção e o levantamento de alguns fundos de

118 118 conhecimento dos alunos, dentre elas, a informação de que utilizam os computadores e acessam as redes sociais tais como MSN, Orkut e Facebook. Por exemplo, as respostas dadas à questão 10 do questionário I: Você possui computador em casa?, foram respondidas por 70 (100%) participantes, sendo 36 (51,43%) da turma A e 34 (48,57%) da turma B e estão quantificadas no quadro 8. Quadro 8: Respostas dadas pelos 70 participantes à questão 10 do Questionário I Os dados mostram que 56 (80%) alunos, que responderam essa questão, afirmaram possuir computador em casa, sendo que 29 (41,43%) são alunos da turma A e 27 (38,57%) da turma B. Contudo, nenhuma conclusão pode ser obtida com relação aos 11 (15,71%) alunos que não responderam a essa questão, pois os dados coletados não foram suficientes para uma análise mais detalhada desse ítem. Outro dado importante para este estudo foi verificar com qual frequência os alunos acessam a internet. O quadro 9 mostra as respostas dadas pelos participantes para a questão 11 do questionário I. Quadro 9: Respostas dadas pelos participantes à questão 11 do Questionário I A análise dos dados apresentados no quadro 9 revela que os alunos acessam a internet com regularidade, pois 57 (81,43%) dos participantes dessa pesquisa utilizam esse recurso de comunicação virtual pelo menos uma vez ao dia. Desses, 26 (37,15%) alunos acessam a internet uma vez ao dia, enquanto que 31 (44,28%) dos participantes acessam essa mídia mais de uma vez por dia. Diante desses resultados, é possível

119 119 concluir que a internet é um caminho possível que os professores podem seguir para iniciar o entendimento dos fundos de conhecimento, auxiliando-os a compreender os alunos em sua totalidade. Diante dessa perspectiva, Moll et al (1992) argumentam sobre a importância de os professores visitarem as casas dos alunos. Contudo, seguindo essa linha de raciocínio e, de acordo com a análise dos dados apresentados, verifica-se a possibilidade da utilização das tecnologias de informação e comunicação para facilitar o levantamento dos fundos de conhecimento acumulados pelos alunos por meio das atividades realizadas no lar, na comunidade e no grupo sociocultural no qual estão inseridos. Por outro lado, é importante salientar que os Registros Documentais I, II e III também foram instrumentos importantes para a coleta de dados qualitativos. Nesse sentido, as respostas dadas pelos participantes foram quantificadas, pois estavam relacionadas com a análise dos dados relativos às atividades realizadas neste estudo. 3.2 Dados Qualitativos (QUAL) Os dados qualitativos foram coletados por meio das questões abertas presentes nos questionários I e II e pelas entrevistas de acompanhamento. Esses dados também foram coletados por meio das discussões realizadas nos grupos focais I e II e pelas observações anotadas no caderno de campo do professor-pesquisador. Além disso, as atividades matemáticas desenvolvidas com os participantes, por meio dos Registros Documentais I, II e III, que foram analisados separadamente, foram instrumentos importantes para a coleta de dados qualitativos. 3.3 Registro Documental I: Atividades Matemáticas Exploratórias I (Apêndice VII) Este registro documental é um instrumento de coleta de dados portador de informações que auxiliaram o professor-pesquisador na análise dos dados provenientes das atividades matemáticas propostas nesse documento. Assim, esse registro contém quatro atividades relacionadas com o conteúdo matemático de funções. A análise da resolução das atividades propostas permitiram a coleta de informações sobre o entendimento do significado de funções pelos participantes dessa pesquisa.

120 120 Essas informações foram exploradas, sistematicamente, por meio das três teorias utilizadas na fundamentação teórica deste estudo e durante a análise do processo resolutório dessas atividades. A partir dessas resoluções, buscaram-se elementos na História da Matemática, que pudessem auxiliar o professor-pesquisador a entender a maneira como os alunos resolveram essas atividades, tendo em vista o contexto sociocultural da época de ocorrência do fato histórico relacionado com o conteúdo de funções, bem como o contexto sociocultural dos participantes dessa pesquisa Atividade 1 Os alunos permanecem na escola o dia todo, pois as aulas têm início às 7 horas e terminam às 16 horas e 40 minutos. O intervalo para o almoço é de 2 horas e 20 minutos. Então, elaborou-se a Atividade 1 do Registro Documental I. O objetivo dessa atividade era oferecer uma tarefa na qual os alunos estudassem um determinado conteúdo de funções por meio do pensamento funcional, que fosse baseado em algumas respostas fornecidas pelos alunos nas respostas dadas no questionário I e, também, em fatos históricos baseados na História de Funções. O diagrama da figura 13 mostra a elaboração dessa atividade. Figura 13: Diagrama de Elaboração da Atividade 1 proposta no Registro Documental I

121 Questionário I Os dados coletados na questão 04 desse questionário, referente ao local onde residem os participantes, mostraram que 19 (52,77%) dos 36 alunos da Turma A e que 11 (33,3%) dos 33 alunos da Turma B não residem em Ouro Preto. Portanto, 30 (42,86%) dos 70 alunos pesquisados almoçam nas dependências da escola ou em restaurantes localizados nos arredores dessa instituição de ensino. É importante salientar que 1 (1,43%) aluno não respondeu a esse questionamento. Na escola, há um restaurante, no qual os alunos podem almoçar a um preço único de R$1,70. Os servidores e todos os funcionários da escola também podem almoçar nesse restaurante a um preço único de R$2,70. Esse contexto representa uma situação do convívio diário entre alunos e professores, que podem almoçar juntos, se depender da vontade de cada um deles Questionário II Diante dessa perspectiva, elaborou-se a questão nove 74 do questionário II, que solicitava que os alunos descrevessem no mínimo duas situações diárias nas quais utilizassem ideias, conceitos e procedimentos matemáticos para resolver tais situações. Por exemplo, de acordo com as respostas dadas a essa pergunta, a aluna A17 respondeu que utiliza a matemática para comprar o ticket enquanto que o aluno A4 também respondeu que utiliza o conhecimento matemático quando tem quer comprar ticket para fazer uso do restaurante escolar. Nessa mesma linha de raciocínio, a aluna A3 respondeu que as ideias matemáticas podem ser utilizadas para comprar o ticket alimentação na escola. De acordo com a perspectiva de Moll et al (1992), a análise dessas respostas mostrou que existe uma ideia matemática prévia que está relacionada com os fundos de conhecimento desses alunos. Dessa maneira, o pagamento do ticket do almoço pode ser considerado como uma atividade que é parte do cotidiano dos alunos e que pode estar relacionada com os conceitos matemáticos acadêmicos por meio da utilização da pedagogia culturalmente relevante (LADSON-BILLINGS, 1995a). 74 Descreva no mínimo duas situações nas quais você utiliza ideias, conceitos ou procedimentos matemáticos em seu dia-a-dia.

122 122 Além disso, a elaboração dessa atividade também foi baseada na quantificação dos dados referentes às respostas da questão 09 do questionário II, que será detalhada posteriormenteme e apresenta que o maior índice de termos repetidos, no processo de quantificação dos dados qualitativos, estava relacionado com tickets, almoço, lanche que apareceu nas respostas de 11 (17,74%) dos 62 alunos que responderam a essa questão. De acordo com esse resultado, a análise dos dados também mostram que 8 (11,43%) dos 70 alunos não responderam a esse questionamento Apresentação dos Resultados e da Análise dos Dadosda Atividade 1 Nesta seção, apresentam-se os resultados e a análise dos diversos itens que compõem a Atividade 1 que deu origem ao Registro Documental I Item (a): Completar a tabela que relaciona número de alunos e valor gasto O item (a) dessa atividade estava relacionado com a ação de completar uma tabela, que propunha uma correspondência entre o número de alunos que almoçavam na escola e o valor gasto para o pagamento da conta do almoço. Nesse item, a História da Matemática assumiu o papel de orientar o trabalho do professor-pesquisador na elaboração de atividades curriculares que estavam relacionadas com o desenvolvimento do pensamento funcional dos alunos. Assim, a História da Matemática foi utilizada de uma maneira implícita, pois não foram apresentadas informações históricas que mostrassem a conexão dessa atividade com algum contexto histórico, que estivesse relacionado com o emprego de tabelas para explicitar o desenvolvimento do pensamento funcional, no decorrer da história. A figura 14 mostra o enunciado do item (a) da atividade 1. Figura 14: O enunciado do item (a) da atividade 1

123 123 É importante destacar que a utilização desse tipo de tabela pode ter sido uma das primeiras manifestações de representação do pensamento funcional pelos Babilônios (WUSSING, 1998; EVES, 1962; RORATTO, 2009). Porém, essa não pode ser considerada como uma reconstrução idêntica do conceito matemático, que ocorreu durante a história. Nesse sentido, Radford (1996) argumenta que as atividades curriculares utilizadas nas salas de aula são uma adaptação, para o contexto escolar atual, da maneira como os conceitos matemáticos foram desenvolvidos historicamente. Em outras palavras, é praticamente impossível a obtenção da reconstrução histórica de uma determinada prática matemática que seja idêntica àquela desenvolvida no passado, pois existem diferenças do ponto de vista social, político, econômico e cultural entre as civilizações passadas e a civilização moderna. Além da História da Matemática utilizada de forma implícita, utilizaram-se alguns dos fundos de conhecimento dos alunos, levantados por meio dos questionários, dos grupos focais e das observações constantes no caderno de campo do professorpesquisador. A análise desses dados mostrou que 30 (42,9%) alunos têm necessidade de almoçar nas dependências da escola, pois residem em locais distantes da comunidade escolar. Essa análise também mostrou que 6 (8,6%) dos 70 alunos não responderam a esse item da atividade 1, enquanto que 64 (91,4%) alunos responderam a esse questionamento, pois estavam presentes no dia de sua realização. Por exemplo, o aluno A6 preencheu a última célula da tabela com o valor de R$ 16,60 enquanto que o aluno B2 preencheu-a com o valor de R$16,40. Contudo, esses dois alunos não mencionaram a maneira por meio da qual determinaram esses resultados. Os dados revelam que 62 alunos (88,6%) dos 70 alunos determinaram o valor correto desse item, 2 (2,8%) alunos determinaram o valor errôneo e 6 (8,6%) alunos não responderam a essa questão. Os dados também mostram que a aluna A3 preencheu a tabela e apresentou, na própria tabela, os cálculos utilizados na resolução dessa situação-problema. A figura 15 mostra a resposta dada pela participante A3 ao item a da atividade 1. Figura 15: Resposta dada pela participante A3 ao item a da atividade 1

124 Item (b): É possível determinar a quantidade de alunos sabendo que foram gastos R$ 19,60? O item (b) dessa atividade estava relacionado com a determinação da quantidade de alunos sabendo que foram gastos R$ 19,60 com a conta do restaurante. O quadro 10 ilustra as respostas dadas pelos participantes para essa questão. Quadro 10: Respostas dadas pelos participantes ao item (b) da Atividade 1 Dos alunos que responderam a esse questionamento, os resultados obtidos mostram que 1 (1,6%) aluno respondeu incorretamente à questão, 2 (3,1%) alunos responderam que não seria possível encontrar o valor pedido e 61 alunos (95,3%) responderam de maneira satisfatória, ou seja, acertaram o resultado final dessa questão. Por exemplo, a figura 16 mostra a resolução dada pela aluna A3 que, apesar de não explicar o raciocínio utilizado para a obtenção do resultado, determinou a resposta correta. Figura 16: Resposta dada pela participante A3 Por outro lado, nota-se que o aluno B6 utilizou, primeiramente, uma fórmula algébrica para representar essa situação para, depois, determinar a quantidade de alunos requerida pelo problema por meio de manipulações algébricas ao resolver uma equação do primeiro grau. A figura 17 mostra que esse aluno utilizou duas equações, uma do lado esquerdo e outra do direito, e resolveu somente a equação que está à direita dessa figura.

125 125 Figura 17: Resposta dada pelo participante B6 Na resolução apresentada no lado esquerdo da figura, provavelmente, o aluno não soube trabalhar com as operações e símbolos utilizados, pois pode ter adicionado 1,7x com 7,7 encontrando, assim, o valor de 9,40x. Ressalta-se a dificuldade do participante com a manipulação simbólica, quando essa não tem sentido para os alunos (RADFORD e GRENIER, 1996). A aluna B9 respondeu essa questão de modo incorreto, sem apresentar, contudo, justificativas para essa resolução. Porém, não dispomos de dados suficientes para analisar o motivo de a aluna ter apresentado a resposta equivocada para esse item. Figura 18: Resposta dada pela aluna B9 Por outro lado, a aluna B29 afirma não ser possível responder essa questão ao escrever que Não, porque 8 alunos é 18,60 e 9 dá 20,30. Analisando a resposta encontrada por essa aluna e a situação apresentada nesse item, observa-se que ela não considerou o problema como um todo, pois se ateve somente às informações relativas ao valor cobrado dos alunos. Provavelmente, essa pode ser uma condição que não esteve presente na realidade escolar dessa aluna, pois o problema apresenta uma situação na qual os alunos almoçavam com um professor. A resposta dada pela aluna também mostra que, em seus cálculos, somente houve a consideração do número de alunos, ignorando as outras variáveis presentes na situação-problema. Gonzáles et al (2001) afirmam ser problemático a utilização dos fundos de conhecimento dos alunos nas atividades da sala de aula, devendo existir um aprofundamento teórico de como essa abordagem pode ser realizada. Dessa maneira, nessa situação, a resposta da aluna pode estar desvinculada dos seus fundos de conhecimento, sendo uma situação que está fora do contexto dessa participante. Esse fato ressalta a dificuldade em se utilizar os fundos de conhecimento dos alunos, pois, de acordo com Radford, Boero e Vasco apud Fauvel e Maanen (2000),

126 126 a sala de aula pode ser considerada como um micro-espaço de um espaço geral de cultura. Assim, se a cultura for utilizada como um veículo para a aprendizagem, então existe a necessidade de se estar atento ao tipo de veículo que está utilizando para atingir esse objetivo (GAY, 2000). Embora tenha sido levantado que o ato de almoçar na escola possa ser considerado como parte dos fundos de conhecimento de 30 (43,47%) participantes dessa pesquisa, a aluna em questão pode pertencer aos 40 (56,53%) alunos que não desenvolveram esses fundos de conhecimento, o que tornou a atividade complicada e com um enunciado sem sentido para esses alunos. A análise dos dados coletados também indica que os alunos aplicaram um pensamento inverso para a realização desse item, pois se verifica como foram capazes de operar com funções inversas, mesmo antes de terem estudado a conceituação formal desse tipo de função. Por exemplo, o aluno A14 respondeu que sete alunos almoçaram e justifica, no verso da folha de resposta, argumentando que: Você pega o valor 19,60 e tira o valor da coca 5,00 reais, que dá R$ 14,60. Depois você tira o tíquete do professor 2,70 = 11,90, em seguida é só dividir por 1,70 o valor do almoço do aluno que dá 7. Nesse caso, a análise dos dados mostra que esse aluno não utilizou os símbolos matemáticos para expressar o seu pensamento, mas resolveu essa questão de maneira satisfatória, pois determinou o resultado esperado. Assim, a linguagem retórica e verbal foi utilizada com êxito, pois está com o resultado correto Os itens (c), (d) e (e) da atividade 1 Esses itens focaram na diferença entre constante, variável e incógnita. Assim, no quadro 11 foram categorizadas as respostas dadas pelos alunos, de acordo com os questionamentos: c) O que é constante nesse problema? d) O que é variável nesse problema? e) O que é incógnita nesse problema?

127 127 Quadro 11: Respostas dadas pelos participantes aos itens (c), (d) e (e) da Atividade 1 A análise dos dados mostra que, dentre os 14 (21,9%) participantes que registraram que o almoço do aluno era uma constante, 9 (64,3%) deles escreveram de modo retórico que o valor que aumenta por aluno é sempre R$1,70 enquanto que 5 (35,7%) responderam, também retoricamente, que a constante é o valor do almoço do aluno R$ 1,70. Destaca-se que, dentre os 49 (76,6%) participantes que afirmaram que a variável é o número de alunos 12 (24,5%) utilizaram a abreviação para número e escreveram como resposta o nº de alunos, ou seja, nas respostas, a linguagem verbal começa a ser sincopada, pois as palavras não são todas escritas integralmente. De acordo com Radford (1997), a evolução da linguagem retórica e verbal para a sincopada também foi um processo vivenciado pela humanidade no passado, sendo considerada como uma técnica de limitação da escrita por causa da falta de materiais necessários para que essa escrita pudesse ser realizada satisfatoriamente. Dentre as respostas alocadas na categoria outros para a incógnita, estão duas respostas apresentadas de maneira simbólica, pois 1 (1,56%) aluno escreveu que a incógnita era 19,60x enquanto que outro aluno (1,56%) escreveu que era 1,7x. A análise

128 128 dessas respostas mostra que esses alunos preferem utilizar a linguagem algébrica tradicional com a utilização de símbolos usuais para representarem as incógnitas. A partir dos dados constantes no quadro 3, observa-se que o valor total a ser pago é considerado constante para 2 (3,1%) alunos, variável para 7 (10,9%) e incógnita para 30 (46,9%) participantes da pesquisa. Portanto, a diferenciação entre constante, variável e incógnita representa uma dificuldade de conceituação, tanto pelos alunos quanto historicamente. Assim, do ponto de vista histórico, demoraram-se muitos séculos pra que os conceitos de variável, incógnita e constante fossem definidos. Segundo Cajori (1993), por exemplo, na antiguidade, os gregos utilizavam letras para representar as variáveis. Por volta do ano 275, Diofanto utilizava as primeiras letras das palavras para abreviar as expressões matemáticas (EVES, 1962). Esse fato pode ser verificado por meio dos dados que mostram que a maioria dos alunos utiliza o símbolo nº para representar a palavra número, mesmo que a abreviatura de número para nº seja usual na Língua Portuguesa. Em 1202, Leonardo de Pisa utilizou letras romanas minúsculas, que podem ser consideradas como variáveis, para representar os números. Aproximadamente três séculos após esse fato, em 1544, Stifel utilizou as letras A, B, C, D e F para representar as incógnitas. Contudo, de acordo com Cajori (1993), em 1594, Viète teria sido o primeiro matemático a utilizar letras para representar as incógnitas e constantes em equações. Finalmente, em 1637, Descartes utilizou as letras x, y e z para representar as incógnitas (CAJORI, 1993). Por outro lado, Kline (1972) afirma que os termos constantes, variáveis e incógnitas foram utilizados pela primeira vez por Leibniz em Assim, a revisão de literatura mostra que houve uma certa dificuldade para que os conceitos de constante, variável e incógnita fossem definidos, ao longo da história Item (f): Como você representaria, matematicamente, a relação entre o número de estudantes e o valor pago? Nesse item, foi solicitado que os alunos representassem, matematicamente, a situação-problema. A análise dos dados mostra que essa representação ocorreu com a utilização das notações: a) Algébrica Retórica por 9 (14,1%) alunos. Por exemplo, a aluna B3 solucionou esse problema retoricamente ao escrever que a cada aluno, o professor iria pagar R$ 1,70 para o almoço mais o valor da coca-cola dividido entre eles.

129 129 b) Algébrica Simbólica por 31 (48,4%) alunos. A resposta apresentada pelo participante B6 ilustra esse tipo de notação. Figura 19: Resposta dada pelo participante B6 c) Algébrica Retórica, sincopada e simbólica, por 7 (10,9%) alunos. Esses alunos combinaram as representações retóricas, sincopada e simbólica para resolução dessa situação-problema. A figura 20 mostra como a aluna B21 utilizou essa combinação para determinar a solução desse problema. Figura 20: Resposta dada pela participante B21 Assim, a análise dessa resolução mostra que a aluna representa o número de alunos escrevendo a expressão de maneira sincopada, pois utiliza a abreviatura nº para representar a palavra número, a primeira letra da palavra para representar a palavra como um todo, da mesma maneira que Diofante representava as situações-problema a serem solucionadas (EVES, 1962). Então, essa aluna representa, simbolicamente, a expressão que indica que a quantidade de alunos é igual a x, enquanto escreve, retoricamente, que o valor gasto é igual a uma expressão escrita simbolicamente. d) Gráfica, por 11(17,2%) alunos. O gráfico de barras foi utilizado por 4 (6,3%) alunos. A figura 21 mostra que o aluno A30 construiu um gráfico de barras para representar essa situação-problema. Figura 21: Resposta dada pelo aluno A30

130 130 Porém, 7 (10,9%) alunos resolveram essa situação com a representação gráfica dos dados no plano cartesiano, por meio de uma reta. Contudo, a análise dos dados mostra que esses alunos não estavam atentos sobre a condição de continuidade da reta. Por exemplo, a resolução dessa situação pelo aluno A26 representa essa dificuldade. De acordo com a análise do gráfico construído pelo aluno, verifica-se que a palavra número também foi utilizada de maneira abreviada, ao denominar o eixo das abscissas no plano cartesiano por nº. Figura 22: Resposta dada pelo participante A26 e) Gráfica e simbólica, por 1 (1,6%) aluno. f) Analíticaf(x), por 5 (7,8%) alunos. Contudo, é importante salientar que a maneira sincopada para a resolução dessa situação-problema não foi utilizada isoladamente pelos alunos e que 1 (1,6%) aluno não resolveu esse item da Atividade 1. A análise desses dados mostrou que os alunos solucionaram uma situaçãoproblema, que está relacionada com o conceito de função, por meio da utilização de diversas maneiras de representação, como por exemplo, as notações gráfica e analítica, bem como os estágios de evolução da notação algébrica, que ocorreram ao longo da história, isto é, o retórico, o sincopado e o simbólico (BAUMGART, 1992). O quadro 12 apresenta as respostas dadas pelos alunos para esse item.

131 131 Quadro 12: Respostas apresentadas pelos alunos ao item (f) da Atividade I proposta no Registro Documental I Com relação às representações matemáticas para as situações que envolvem funções, Flores (2006) argumenta que "um mesmo objeto matemático poderá ter representações diferentes, dependendo da necessidade e do uso" (p. 80). Por exemplo, para o objeto matemático função (...) pode-se ter um registro de representação linguística (função linear), um registro de representação simbólica (y = x ou f(x) = x), ou ainda, um registro de representação gráfica (o desenho do gráfico) (FLORES, 2006, p. 80). A representação matemática de um objeto matemático ainda pode ser realizada retoricamente, simbolicamente, graficamente ou por meio de uma combinação dessas representações. Assim, a análise dos dados revela que os alunos utilizaram três maneiras diferentes para representar, matematicamente, o objeto matemático (FLORES, 2006) Atividade 2 A atividade 2, relativa a esse registro documental, está relacionada com um problema matemático no qual a História da Matemática é tratada de maneira explícita, pois, de acordo com Rosa (2007), esse é um problema encontrado em uma das tábuas do período babilônio e resolvido de maneira retórica por esse povo. Por outro lado, do ponto de vista cultural, Bell (1992) afirma que os Babilônios e os Egípcios eram bons engenheiros e, possivelmente, o trabalho desses povos, na área de engenharia, pode ter estimulado o cálculo empírico, ressaltando a importância e o contexto de problemas como o exposto nessa atividade. O objetivo dessa atividade foi o de analisar como os alunos utilizam a notação algébrica na resolução de problemas e, também, observar a sua familiaridade com a

132 132 notação simbólica acadêmica para resolver essa situação-problema. A figura 23 mostra o enunciado da Atividade 2 relativa ao Registro Documental I. Figura 23: Enunciado da Atividade 2 do Registro Documental I O quadro 13 mostra como os participantes desse estudo resolveram essa questão. Quadro 13: Respostas dadas pelos participantes para a resolução da Atividade 2 Os resultados mostram que 7 (10,9%) alunos não resolveram essa questão, contudo os dados coletados não são suficientes para uma análise detalhada do motivo que os impediu de encontrarem a solução para essa atividade. Por outro lado, 2 (3,1%) alunos afirmaram não ser possível encontrar a solução para essa situação, pois o problema contém duas incógnitas. Por exemplo, a aluna B29 afirmou não ser possível determinar essa solução, pois tanto o valor do comprimento quanto o da largura eram considerados como incógnitas. A figura 24 mostra a resolução da aluna B29 apresentada para a atividade 2, na qual considera a área do retângulo como sendo 60x² e que os lados dessa figura possuem medidas y e x + 7. Figura 24: Resposta dada pela participante B29 Não foram coletados dados suficientes para que se entenda o motivo pelo qual essa aluna empregou duas incógnitas para resolver a situação-problema proposta. Nesse sentido, os dados coletados também não fornecem informações que permitem o

133 133 entendimento da utilização da expressão x + 7 para a determinação de um dos lados do retângulo e da expressão 60x² para determinar o valor da área do retângulo. Contudo, 55 (85,9%) alunos resolveram essa situação-problema por meio de expressões algébricas com a utilização da notação simbólica. De acordo com Baumgart (1992), historicamente, esse foi o último estágio na evolução da linguagem retórica para a linguagem simbólica. A figura 25 mostra a resolução que a aluna A9 fez para essa situação-problema. Nessa resolução, a aluna utilizou a notação simbólica e uma fórmula para determinar as raízes da equação e, consequentemente, a solução do problema. Figura 25: Resolução dada pela participante A9 Esses dados mostram que esses alunos tiveram contato com a escrita algébrica acadêmica em séries escolares anteriores. Nesse sentido, esses alunos poderiam estar, de certo modo, familiarizados com esse tipo de escrita, visto que a maioria utilizou expressões algébricas escritas em linguagem matemática simbólica para resolver a questão proposta Atividade 3 O início dessa atividade foi elaborado com o auxilio da História da Matemática de modo implícito. Porém, o seu desenvolvimento deu-se de modo explícito por meio de informações históricas em relação à definição de função por Leibniz em Além disso, essa atividade também foi baseada nos fundos de conhecimento dos alunos, que foram identificados nos questionário I e II, além de estar fundamentada nos pressupostos da Pedagogia Culturalmente Relevante. A figura 25 mostra o processo de elaboração da Atividade 3.

134 134 Figura 26: Diagrama de elaboração da Atividade 3 proposta no Registro Documental I Para a elaboração dessa atividade, utilizou-se a análise dos dados coletados no primeiro questionário, revelando que 34 (48,6%) dos 70 alunos que o responderam, não residem em Ouro Preto, tendo que se deslocar até a escola em vários meios de transporte, como por exemplo, ônibus ou carro de passeio. Desse total, 12 alunos (35,3%) moram em Itabirito. Portanto, justificou-se a elaboração dessa atividade, que teve como objetivo salientar uma das ações realizadas pelos alunos diariamente, isto é, a utilização do ônibus como um meio de transporte para o deslocamento de Itabirito até a escola. Assim, a análise dos dados relativos à resolução da atividade 3 revelou que 63 (98,4%) dos 64 alunos que a resolveram, não tiveram dificuldades para o preenchimento da tabela, completando-a corretamente. Ressalta-se que 6 (8,57%) dos 70 alunos não responderam a esse questionamento. A figura 26 ilustra a resposta de um dos participantes, que não se identificou. Figura 27: Resposta dada por um participante não identificado

135 135 De acordo com a revisão de literatura, a elaboração dessa atividade está relacionada com a teoria dos fundos de conhecimento (Moll et al, 1992, Velez-Ibanez, 1988 apud Hogg, 2011), na qual existe uma valorização do conhecimento adquirido pelos alunos nas atividades realizadas no lar e na comunidade por meio da elaboração de atividades curriculares culturalmente relevantes (LADSON-BILLINGS, 1995a). Por isso, a pergunta do questionário II questionava os alunos a respeito das ideias matemáticas que podem ser acionadas nas horas vagas para diferentes finalidades. Nesse sentido, o aluno A22 respondeu que as ideias matemáticas podem ser encontradas no Km de estrada, número de poltrona, preço de passagem, que é preciso pensar nos trocados para o troco. A realização dessa atividade despertou o interesse e a atenção de alguns alunos, porém, a análise dos dados coletados não possibilitou a quantificação do percentual de alunos que se sentiram atraídos pelas informações contidas no enunciado dessa questão. Contudo, pode-se citar, por exemplo, a atitude do aluno A22, que se mostrou surpreso ao perceber que o valor da passagem do ônibus colocado nesse exercício era o preço realmente cobrado pela empresa de transporte. De acordo com as anotações do caderno de campo do professor-pesquisador, esse aluno exclamou que o professor-pesquisador havia colocado certinho o preço da passagem, de verdade. No entanto, existe a necessidade de salientar que, conforme relatado pelos participantes em conversas informais, a prefeitura da cidade de Itabirito restitui os alunos, no final de cada mês, com o valor total gasto com o transporte até a escola, no momento em que apresentam os bilhetes comprovando essa despesa. Esse fato foi confirmado por meio das entrevistas de acompanhamento, realizadas nos dias 11 e 12 de janeiro de 2012, com os alunos A22 e B25, respectivamente, que compartilhavam a mesma opinião, mas com atitudes contrárias. Por exemplo, de acordo com o aluno A22, o serviço de passe gratuito da prefeitura é insatisfatório, visto que a empresa responsável pelo transporte não aceita o passe aos sábados. Dessa maneira, os alunos devem pagar a passagem para irem à escola aos sábados. Esse aluno afirma que a empresa Pássaro Verde 76 não aceita passes ao sábados (...) não faz sentido eles não aceitarem o passe no sábado. Além disso, esse mesmo aluno também afirma que, 75 O que você gosta de fazer nas horas vagas? Descreva como você pode identificar um pensamento matemático em uma dessas atividades. 76 Pássaro Verde é a empresa de ônibus responsável pelo transporte de Itabirito a Ouro Preto.

136 136 durante os meses de fevereiro de 2011 e janeiro de 2012, a prefeitura não reembolsou os passes utilizados pelos alunos nesse período. Diante disso, para a reivindicação dos passes de fevereiro de 2011, os alunos se organizaram e foram à prefeitura para discutir e requerer esse direito. De acordo com o aluno A22: (...) 25 pessoas foram para pedir o passe de fevereiro (...) tentamos conversar e tal.. na hora que a gente fez um protesto com 40, 45 (...) a gente falou, a gente quer o passe e a gente não sai daqui sem ele. Aí sim, a prefeitura (...) liberou o passe e tal. Eu acho que eles funcionam sob pressão. Portanto, esse aluno adotou uma atitude de reivindicar os passes, enquanto que a aluna B25, mesmo insatisfeita com o serviço, afirmou que não poderiam reclamar do transporte pago pela prefeitura, pois de acordo com ela, (...) a gente não pode reclamar (...) porque a gente já tem demais. A gente já ganha tudo de graça para vir para cá. E a Pássaro Verde disponibiliza ônibus para vir para a escola, que nem passa por dentro de Ouro Preto, totalmente por fora. A análise dos dados da entrevista realizada em 16 de janeiro de 2012 mostrou que o aluno B6 também ressaltou a ineficiência do transporte público ao afirmar que o número de estudantes vindos de Itabirito é maior do que o de ônibus disponível. Não é certo. No final da realização dessa atividade, apresentou-se um texto, no qual a História da Matemática foi tratada de maneira explícita, por meio da apresentação, leitura e discussão de um parágrafo, que mostrava a evolução do pensamento funcional, no decorrer da história. Essa discussão teve como objetivo salientar como outros povos contribuíram para a evolução desse pensamento. A figura 28 mostra o texto, da atividade 3, contendo as informações históricas sobre o pensamento funcional dos participantes desse estudo.

137 137 Figura 28: Informações históricas contidas no texto sobre o pensamento funcional da Atividade 3 De acordo com as informações contidas no diário de campo do professorpesquisador, referentes aos acontecimentos da aula seguinte, ocorrida no dia 30 de março de 2011, essa atividade suscitou uma discussão em relação à uma denúncia anônima, que foi seguida da cobrança de uma multa para um dos motoristas, que era responsável pelo percurso do ônibus de Itabirito a Ouro Preto. Os alunos oriundos de Itabirito relataram esse fato, que foi anotado pelo professor-pesquisador em seu caderno de campo, ao final da aula, pois poderia originar um momento importante para a discussão e análise de uma das três proposições propostas por Ladson-Billings (1995), para a utilização da pedagogia culturalmente relevante, isto é, a consciência crítica. De acordo com os alunos, usualmente, os motoristas transportam os passageiros além da capacidade máxima estipulada pela empresa e permitida pela legislação brasileira. Assim, houve uma denúncia de uma passageira quanto ao excesso de pessoas sendo transportadas no ônibus e, com isso, a empresa foi multada. Porém, os alunos informaram que a multa não foi paga pela empresa. Assim, o motorista do ônibus teve que arcar com essa despesa, pois a empresa de transporte arca com multas com até dez passageiros em pé e, naquela ocasião, havia dezessete passageiros viajando em pé. Nessa discussão, anotada no diário de campo do professor-pesquisador, após o término dessa aula, alguns dos alunos comentaram que não gostaram dessa atitude da passageira, pois de acordo com eles, o motorista estava ajudando a todos e, se não houvesse o transporte de passageiros além do limite permitido, os alunos poderiam perder as aulas por chegarem atrasados na escola. De acordo com o relato fornecido pela aluna B25, na entrevista conduzida em 11 de janeiro de 2012, o motorista somente quis ajudar, não quis deixar ninguém para trás, por outro lado, a segurança de todo mundo. Mas, no final deu tudo certo. Além disso,

138 138 o aluno B6, em entrevista realizada em 16 de janeiro de 2012, também ressalta a atitude do motorista que, em seu ponto de vista, pensou no interesse coletivo dos estudantes em detrimento do interesse individual, ao arcar com as despesas de multa. A transcrição de parte da entrevista realizada com o aluno B25 mostra a sua reação diante desse fato: Aluno B6: Ele levou gente demais em pé (risos). Coração muito bom. Certo não é porque a lei não permite neh (...) aí ele não deveria ter levado. Mas ele levou assim mesmo. Professor-pesquisador: Por que você fala em coração bom 77? Qual a relação entre coração bom e levar gente em pé? Aluno B6: Uai, porque se ele não quisesse levar, ele poderia deixar o resto, todo mundo lá (...) sem ir à aula, perdendo matéria (...) tem outro ônibus mas já estava cheio e já tinha saído também. Tem que ter multa porque se mexer no bolso das pessoas elas param de trazer gente em pé. Professor-pesquisador:[O motorista] parou de trazer gente em pé depois da multa? Aluno B6: Não (risos). Ele tem o coração muito bom. Então, essa situação-problema serviu como ponto de partida para a elaboração de uma atividade, na qual havia a necessidade da construção de uma função que representasse o valor arrecadado, caso o lucro obtido pelo transporte de passageiros fosse do motorista. Nesse sentido, havia necessidade de se calcular o valor da multa a ser paga que, de acordo com os alunos, é de R$ 70,00 por passageiro em pé, multiplicando esse valor pelo número de pessoas viajando sem estarem sentadas. Contudo, a função obtida na discussão entre o professor-pesquisador e os participantes dessa pesquisa foi definida por duas partes, pois houve a necessidade de considerar o ônibus com todos os passageiros sentados e o ônibus com passageiros viajando em pé Questão (a) : É possível se determinar quantas passagens foram pagas, se o valor total pago foi de R$ 30,00? O quadro 12 resume a resposta dada pelos alunos para esse ítem da questão. 77 Os dados mostram que o aluno B6 afirmou que o motorista tem o coração bom, pois prefere pagar uma multa a deixar alunos na estrada sem o transporte para irem à escola. Isso significa que o motorista preferiu seguir atitudes que privilegiaram o coletivo e a comunidade de alunos em detrimento do bem próprio e individual. O pensamento coletivo do motorista pode ser discutido de acordo com a Pedagogia Culturalmente Relevante proposta por Ladson-Billings (1995).

139 139 Quadro 12: Resumo das respostas dadas pelos participantes para o item (a) da atividade 3. A análise de dados dessa questão mostra que 35 (54,7%) alunos responderam que R$ 30,00 daria para pagar a passagem para 3 pessoas. A notação algébrica e retórica foi utilizada por 12 (34,3%) dos 35 alunos para resolver essa questão. Por exemplo, a aluna B25 resolveu essa situação retoricamente, pois determinou que basta somar o preço das passagens até chegar a R$ 30,00. A análise desses dados também mostra que 10 (15,6%) alunos somente responderam que não, conforme afirmado pela aluna B23. Além disso, 10 (15,6%) alunos responderam que R$ 30,00 era um valor suficiente para comprar 4 passagens de ônibus, sem explicar como determinaram esse resultado. Por exemplo, apesar de ter efetuado o cálculo erroneamente, o aluno B2 concluiu que R$ 30,00 seria sufiente para comprar 4 passagens de ônibus. Contudo, os dados coletados não são suficientes para determinar qual foi o raciocínio utilizado pelo aluno bem como os cálculos utilizados na determinação da resposta para essa situação-problema. A figura 29 mostra como o aluno B2 resolveu essa questão. Figura 29: Resposta dada pelo aluno B2 Continuando com essa análise, 5 (7,8%) alunos responderam que não era possível efetuar esse cálculo, pois dividindo R$ 30,00 pelo número de passageiros não seria possível obter um resultado exato, como por exemplo, a resposta fornecida pela aluna B21 que argumentou não ser possível efetuar esse cálculo pois, dividindo 30 pelo

140 140 valor da passagem não dá um nº exato, 2 (3,1%) alunos responderam corretamente a questão, utilizando a notação algébrica acadêmica. A figura 30 mostra a resolução da aluna B21 para essa situação-problema, na qual é indicado o significado do símbolo utilizado. Figura 30: Resposta dada pela participante B Item (b): O que é constante nesse problema? Com relação a esse item, a análise de dados revelou que 3 (4,7%) dos 64 alunos responderam que a constante era o número de passagens, enquanto que 61 (95,3%) responderam corretamente que a constante era o valor ou preço da passagem de ônibus Item (c): O que é variável nesse problema? O quadro 13 apresenta um resumo das respostas dadas pelos alunos a esse questionamento. Quadro 13: Respostas dadas pelos participantes ao item (c) Para esse item, a análise de dados mostrou que 47 (73,4%) alunos responderam corretamente que a variável era o número de passagens, 16 (25%) alunos responderam que a variável era o valor pago, 1(1,6%) aluno respondeu que a variável era o valor que aumenta de acordo com o número de alunos. Por exemplo, o aluno B20 afirma que

141 141 variável é o valor que aumenta de acordo com o nº de passagens. Por outro lado, a figura 31 mostra a resposta dada pela aluna B35 que, apesar de responder retoricamente que o número de passagens é a solução do problema, também apresenta uma resposta simbólica para essa mesma situação. Figura 31: Resposta dada pela aluna B35 A análise dessa resposta mostra que essa aluna ainda está desenvolvendo a escrita algébrica simbólica ao responder a questão em palavras, ao mesmo tempo em que expressa essa situação-problema com a utilização de símbolos Itens (d) e (e): Qual é a incógnita nesse problema? Como você representaria matematicamente a relação entre o número de passagens e o valor pago? quadro 14. Com relação a esse item, as respostas dadas pelos alunos foram apresentadas no Quadro 14: Respostas dadas pelos participantes ao item (d) A análise dos dados mostra que 5 (7,8%) alunos utilizaram a representação retórica para a resolução desse item. Por exemplo, o participante B20 empregou a representação retórica e utilizou o símbolo nº para simplificar a escrita da resposta dada ao problema, escrevendo que o nº de passagens pago com R$ 30,00. A cada passagem aumenta R$ 7,55. A aluna B13 utilizou uma escrita retórica ao escrever que o valor

142 142 total das passagens multiplicaria o valor da passagem pela quantidade enquanto que a participante A1 empregou a linguagem retórica com a utilização de uma estrutura simbólica para a multiplicação de números inteiros e decimais. A figura 32 mostra a representação matemática da aluna A1 para essa situação-problema. Figura 32: Representação matemática dada pela participante A1 Por outro lado, 8 (12,5%) alunos empregaram uma combinação da representação retórica e simbólica no processo de resolução dessa situação-problema. A figura 33 mostra como a aluna A33 utilizou essa combinação de representações na resolução desse item. Figura 33: Representação matemática utilizada pela aluna A33 A representação gráfica somente foi utilizada pela aluna B25 (1,6%), que empregou esse mesmo tipo de representação para resolver a atividade 1 desse registro documental. A figura 34 ilustra a representação matemática utilizada por essa aluna. Figura 34: Resposta dada pela participante B25

143 143 Além da representação gráfica utilizada, a aluna B25 repetiu a palavra gráfico 7 vezes durante a entrevista realizada, destacando também a utilização da representação gráfica para justificar uma função presente no trabalho realizado pela mãe dela. A expressão matemática aberta para representar essa situação-problema também foi utilizada por 11 (17,2%) participantes. Por exemplo, a aluna A29 escreveu que a resposta é dada por x 7, 55, na qual não utilizou o sinal de igualdade, escrevendo, portanto, uma expressão aberta. Outro método utilizado por 4 (6,3%) alunos foi a representação dessa situação por meio de um diagrama. Por exemplo, a figura 35 mostra como a aluna B23 representou, matematicamente, essa situação. Figura 35: Resposta dada pela participante B23 A utilização da notação simbólica pode ser visualizada na resposta dada por 33 (51,6%) alunos. A representação simbólica não usual foi utilizada por 8 (12,5%) alunos; a representação simbólica x e y foi utilizada por 17 (26,6%) alunos. A notação de função foi utilizada por 8 (12,5%) alunos. Essa situação é exemplificada pela resposta dada pela aluna B35, que representou essa situação por meio da notação atual de função ao afirmar que f ( x) 7, 55 x. A análise desses dados revela que há o desenvolvimento da construção da linguagem algébrica pelos alunos, pois 33 (51,6%) desses alunos utilizaram os símbolos para representar matematicamente essa situação Item (f): Como seria a representação gráfica dessa situação? A análise de dados mostrou que a representação gráfica requerida nesse item apresentou diversas peculiaridades e diferenças nas respostas dadas pelos participantes. Esses dados foram apresentados e analisados, em conjunto, ns seção 4 deste capítulo, juntamente com todas as atividades constantes nos registros documentais I, II e III. Na sequência dessa atividade, apresentou-se um pequeno texto introdutório, contendo informações históricas sobre o desenvolvimento do conceito de função. A figura 36 mostra o conteúdo do texto introdutório.

144 144 Figura 36: Texto introdutório da atividade 3 Esse texto introdutório requeria que os participantes desse estudo analisassem a situação apresentada com as duas definições de função contidas no texto de acordo com os matemáticos Leibiniz e Dirichlet Poderemos afirmar que a situação78 descrita é uma função? Analise de acordo com as duas definições e justifique. Nesse item, os participantes compararam a evolução do conceito de função desenvolvida durante 139 anos, desde a definição apresentada por Leibiniz, em 1698, até a que utilizamos atualmente, que foi definida por Dirichlet, em Entretanto, a análise dos dados mostra que não se obteve o resultado esperado nesse questionamento, pois 64 (100%) dos alunos somente responderam que essa situação poderia ser considerada como uma função ou não, sem se aterem à comparação entre as duas definições apresentadas no texto proposto. Por outro lado, além de terem utilizado somente a definição atual de função para analisar essa situação, as respostas dadas para esse questionamento foram contraditórias, como por exemplo, a resposta dada pelas participantes B23 e B25. Assim, a aluna B23 afirma que a situação descrita é uma função, pois A no caso é um valor variável e B um valor constante. Em contrapartida, o participante B25 argumenta que essa situação 78 Refere-se aqui ao valor pago de R$ 7,55 para a passagem de ônibus de Itabirito a Ouro Preto.

145 145 não é uma função, pois função é o que varia de acordo com uma outra propriedade constantemente Atividade 4 Para a elaboração da atividade 4, o professor-pesquisador se fundamentou nos dados que foram coletados para se elaborar a atividade 3, que estavam relacionados com os 12 (16,2%) participantes desse estudo, que não residem em Ouro Preto, utilizando, portanto, o ônibus para se locomoverem de Itabirito para a escola. Além disso, houve a utilização de informações referentes ao tempo de deslocamento do ônibus, nesse trajeto, com uma velocidade constante de 80 km/h. A figura 37 mostra como a Atividade 4 foi elaborada pelo professor-pesquisador. Figura 37: Diagrama de elaboração da atividade 4 Para complementar essa atividade, o professor-pesquisador também utilizou uma informação histórica sobre Oresme ( ), que viveu na França na Idade Média e foi considerado o primeiro matemático e filósofo a representar, graficamente, quantidades variáveis em seu trabalho intitulado Latitude das Formas (BONETTO, 1999, WUSSING, 1998, TASCHOW, 2003, BOYER, 1996).

146 Questão 13 do questionário II A questão treze 79, do questionário II, solicitava que os alunos relacionassem situações matemáticas que ocorrem durante o trajeto da escola para casa (VELEZ- IBANEZ, 1988) apud HOGG, 2011). Após as codificações e quantificações das respostas dadas a essa questão, a análise desses dados mostra que o tempo gasto no trajeto de casa à escola apareceu em 9 (11,3%) respostas dos alunos da turma A e em 8 (10%) respostas dos alunos da turma B, totalizando 17 (21,3%) respostas dadas a esse questionamento. Além disso, os comentários com relação à velocidade desenvolvida nesse trajeto apareceram nas respostas de 7 (11,3%) alunos da turma A e de 3 (4,8%) alunos da turma B, ou seja, 10 (16,1%) alunos dos 62 que responderam essa questão. Por exemplo, o aluno A10 respondeu que se pode fazer de 0 a 100 km/h em 300 metros, fazer de 100 a 140 em 400 metros e fazer de 140 a 170 em 500 metros. Os dados também mostram que, em relação a distância percorrida, 3 (4,8%) alunos da turma A e 6 (9,7%) alunos da turma B, totalizando 9 (14,5%) alunos que responderam essa questão com informações referentes a distância percorrida pelo ônibus. As respostas dadas pelos alunos para essa questão podem ser visualizadas no quadro 14, que apresenta esses resultados codificados e quantificados. Contudo, é importante enfatizar que 8 (11,4%) dos 70 participantes não responderam a esse questionamento. Quadro 14: Respostas dos participantes à questão 13 do questionário II 79 No trajeto de sua casa até a escola e vice-versa, descreva quais são as ideias, conceitos e procedimentos matemáticos que você pode perceber nas atividades realizadas pelas pessoas que você observa durante esse trajeto. Enumere no mínimo três situações. Escolha uma delas e tente explicar, em detalhes, a conexão com algum conteúdo matemático que você aprendeu na escola.

147 147 Nesse quadro, os valores percentuais referem-se ao total de 80 vezes que os temas apresentados emergiram nas respostas dadas pelos 62 participantes. Portanto, a resposta de um(a) aluno(a) poderá estar presente em mais de um tema, o que resulta em um total superior à quantidade de participantes dessa pesquisa. Desse modo, é importante observar que os valores constantes no quadro 14 referem-se às respostas dadas por um(a) aluno(a), que contém mais de um tema selecionado. Um exemplo de uma resposta na qual se verificam dois temas selecionados é a da participante A23, que mencionou sobre o troco da passagem de ônibus e, também, sobre o tempo gasto no trajeto realizado pelo ônibus. Assim, essa aluna afirmou que ela paga a passagem do ônibus e verifica o tempo que o ônibus gasta para chegar aqui na escola enquanto que a aluna A29 comentou sobre o tempo gasto, a velocidade e a distância da escola até em casa. O conhecimento matemático presente nas profissões dos pais ou responsáveis pelos alunos foi apontado nas respostas de 2 (3,2%) alunos da turma A e 2 (3,2%) da turma B, que foram dadas à questão onze 80 do questionário II. Por exemplo, a aluna A39 afirma que a mãe utiliza cálculos aritméticos e que o pai conta os passageiros e a velocidade do ônibus. De acordo com o comentário da aluna A25, a distância também aparece como um conceito matemático utilizado no contexto profissional dos pais, ao afirmar que a matemática aparece nos cálculos de quilometragem. Por outro lado, a aluna A15 afirmou que a velocidade média pode ser considerada como sendo um conceito matemático percebido nas atividades diárias. Então, essa aluna comentou que a velocidade média é a relação de tempo e distância, [sendo o] mesmo que a relação x e y do plano cartesiano. Nesse caso, é importante ressaltar que a mãe dessa aluna trabalha com o transporte escolar, o que pode ser um indício da utilização dos fundos de conhecimento que foram transmitidos da mãe para a filha (MOLL et al, 1992). Nessa perspectiva, essa aluna respondeu à questão onze 81 do questionário II, na qual afirma que a sua mãe utiliza conceitos matemáticos no cálculo do custo e na quantidade de litros de gasolina [utilizados] por mês e também na 80 Observando as atividades profissionais exercidas por seus pais ou responsáveis, descreva quais são as ideias, conceitos ou procedimentos matemáticos que você julga que eles utilizam em suas atividades. 81 Observando as atividades profissionais exercidas por seus pais ou responsáveis, descreva quais são as ideias, conceitos ou procedimentos matemáticos que você julga que eles utilizam em suas atividades.

148 148 distância percorrida pelo automóvel no final de uma viageme [para] calcular o custo do combustível gasto por esse meio de transporte História da Matemática Nessa atividade, a História da Matemática foi utilizada como um guia para que os alunos pudessem representar o pensamento funcional por meio do preenchimento de uma tabela e, também, a relação de dependência entre o tempo do percurso e a distância percorrida pelo ônibus. Por exemplo, a figura 38 mostra como a aluna B25 respondeu a esse questionamento. Figura 38: Resposta dada pela participante B25 A análise dessa situação mostra que os dados da tabela foram preenchidos corretamente por 61 (98,4%) dos 62 alunos que realizaram essa atividade, com exceção da participante B9 que a preencheu como mostra a figura 39. Figura 39: Resposta dada pela participante B9 Assim, a análise dos dados mostra que esse percentual de acerto pelos alunos pode estar relacionado a uma das proposições da Pedagogia Culturalmente Relevante proposta por Ladson-Billings (1995a), o chamado sucesso acadêmico, ou seja, o sucesso em aprender conteúdos novos, o objetivo dos alunos quando entram na escola.

149 Item (a): Se o movimento continuasse por mais tempo, poderíamos calcular a distância percorrida após 12 horas? Qual seria esse valor? Como você resolveria o problema? Para esse item, os alunos forneceram respostas diversas ao questionamento. O quadro 15 apresenta a quantificação das respostas qualitativas dadas pelos 62 participantes. Quadro15: Respostas dadas pelos participantes ao item (a) da atividade 4 A utilização de símbolos foi realizada de maneiras diversas pelos 7 (11,3%) alunos, que utilizaram esse tipo de representação. Por exemplo: Um aluno, que não se identificou, escreveu uma equação com duas incógnitas, x e y, especificando o que cada uma delas representa. A figura 40 ilustra a resposta dada por esse participante. Figura 40: Resposta dada pelo participante não identificado A figura 41 mostra que a participante A29 escreveu uma equação, na qual a incógnita x representa o tempo, porém, isso não foi claramente especificado pela aluna.

150 150 Figura 41: Resposta dada pela participante A29 A figura 42 mostra que a aluna A33 escreveu uma equação na qual a incógnita x é o valor procurado. Figura 42: Resposta dada pela participante A33 Os alunos A35, B1 e B9 escreveram uma expressão aberta utilizando o símbolo x para representar a incógnita. Contudo, a aluna B9 explicou, em palavras, como descobriu o valor procurado. A figura 43 mostra a resposta dada por essa participante. Figura 43: Resposta dada pela participante B9 O participante B20 forneceu a resposta correta para esse questionamento, sendo que a justificativa foi dada de maneira sincopada. Assim, esse participante explica a maneira pela qual resolveu essa questão ao responder que multiplicaria o nº de horas pela velocidade, sendo que o resultado seria 960 km Item (b): Se fosse dado que o móvel percorreu a distância de 480 km, seria possível calcular o tempo gasto em percorrê-la? Qual seria esse tempo? Como você resolveria o problema? O quadro 16 apresenta as quantificações das respostas qualitativas dadas pelos participantes para esse item.

151 151 Quadro 15: Respostas dadas pelos participantes ao item (b) da atividade 4 A análise desses dados mostra que 42 alunos (67,75%) responderam que calculariam o tempo gasto pelo ônibus por meio da divisão da distância percorrida pelo ônibus por sua velocidade. Desses alunos, 14 (22,58%) escreveram a justificativa da resposta utilizando a linguagem retórica. Por exemplo, a figura 44 mostra que a participante B25 escreveu que o tempo gasto seria de 5 horas, pois é necessário dividir 480 por 80. Figura 44: Resposta dada pela participante B25 A figura 45 mostra que a participante B1 utilizou recursos aprendidos na disciplina de Física, ao utilizar a fórmula da velocidade média para responder a essa questão. Essa aluna também utilizou conhecimentos prévios aprendidos em outras disciplinas para a escrita algébrica simbólica para a resolução dessa situação-problema. Figura 45: Resposta dada pela participante B1 No entanto, um participante sem identificação respondeu que não era possível encontrar a solução para essa questão. Porém, para determinar essa resposta, esse aluno utilizou o símbolo ñ, comumente empregado em conversas virtuais na internet. Diante

152 152 desse contexto, com base em informações levantadas por meio das respostas dadas à questão 14 do Questionário II, tem-se que 15 (46,9%) participantes da turma A e 18 (60%) da turma B afirmaram que utilizam o computador e a internet nos momentos de lazer. Isso significa que 33 (53,23%) participantes têm contato direto com o computador em seus momentos de folga. Além disso, no questionário I, que foi respondido por 70 (100%) alunos, verificou-se que 57 (81,4%) deles utilizam a internet, pelo menos uma vez ao dia. Em resposta à questão doze do mesmo questionário, a análise dos dados mostra que 56 (80%) participantes utilizam os chats e as redes sociais disponíveis na internet, sendo que, desse total, 30 (42,9%) alunos são da turma A, enquanto que 26 (37,2%) são da turma B. Apesar de os dados coletados não permitirem uma análise profunda da associação entre a escrita sincopada utilizada nas redes sociais, essa poderia ser considerada como um dos motivos pelos quais os alunos escreveram as expressões e ideias matemáticas para responder às perguntas elaboradas nas atividades propostas nesse estudo Item (c): Sabendo que a distância entre Ouro Preto e Itabirito é, aproximadamente, 40 km, quanto tempo esse ônibus demoraria para chegar aqui? O quadro 17 apresenta uma síntese das respostas dadas pelos participantes ao item c dessa atividade. Quadro 17: Respostas dadas pelos participantes ao item (c) da atividade 4 De acordo com esse quadro, 5 (8,06%) dos 62 participantes, que responderam esse questionamento, montaram uma equação utilizando símbolos para determinar a resposta. Por exemplo, a figura 46 mostra que a aluna A5 montou a equação com símbolos para representar o tempo, que era desconhecido. A análise dos dados mostra

153 153 que essa participante também resolveu o item (b) dessa atividade por meio de uma equação. Figura 46: Resposta dada pela participante A5 A análise dos dados também mostra que 3 (4,83%) alunos responderam a essa questão de maneira equivocada. Por exemplo, a participante A31 escreveu = 20, como pode ser verificado pela figura 47. Contudo, não há dados suficientes para uma discussão detalhada sobre o raciocínio utilizado pela aluna, na resolução dessa situação-problema. Figura 47: Resposta dada pela participante A31 O participante A30 respondeu uma hora enquanto que a resposta dada pelo participante que não se identificou foi de 50 minutos. De acordo com a análise da solução contida na figura 48, a resposta foi obtida, provavelmente, devido a um erro de transformação de horas para minutos. Figura 48: Resposta dada por um participante não identificado Nesse sentido, a resposta encontrada por meio de cálculos foi de 0,5h e a solução apresentada como resposta final foi de 50 minutos. Assim, observa-se um erro conceitual cometido por essa participante, ao afirmar que 50 minutos correspondem a 0,5 horas.

154 Itens (d), (e) e (f): O que é constante nesse problema? O que é variável nesse problema? O que é incógnita nesse problema 82? O quadro 18 sintetiza as respostas fornecidas pelos participantes para esses itens, pois a organização dos dados em um mesmo quadro facilita a comparação entre essas respostas. Quadro18: Respostas dadas pelos alunos aos itens (d), (e) e (f) A figura 49 exemplifica a resposta dada pela participante A39, que mostra, por meio da utilização de símbolos, que a incógnita desse problema é o x, representando a distância percorrida. Figura 49: Resposta dada pela participante A39 De acordo com os dados coletados, 15 (24,2%) participantes afirmaram que a distância é a variável. Para 28 (45,2%) alunos, a distância é a incógnita enquanto que para 3 (4,8%) alunos, a distância é, ao mesmo tempo, a variável e a incógnita. Por exemplo, a figura 50 ilustra a resposta dada pelo participante A28. Figura 50: Resposta dada pelo participante A28 82 Suponha que um ônibus partindo de Itabirito com destino a Ouro Preto venha com velocidade constante de 80 km/h.

155 155 Por outro lado, 10 (16,1%) alunos responderam que o tempo é uma variável e, também, uma incógnita. A figura 51 mostra a resposta dada pelo participante A44. Figura 51: Resposta dada pelo participante A44 Por outro lado, 7 (11,3%) participantes responderam que a distância e o tempo eram, ao mesmo tempo, a variável e a incógnita. As respostas apresentadas mostram como esses alunos apresentaram dificuldades em diferenciar a variável da incógnita. De fato, em entrevista realizada no dia 13 de janeiro de 2012, o aluno A22 ressalta a sua dificuldade em relação a essa diferença conceitual ao afirmar que: Às vezes a professora falava que x era uma incógnita e x era uma variável. Aí, esse ano, eu fui saber que incógnita e variável eram diferentes. Incógnita é um valor que não varia dentro de um problema, variável pode, tem essa variação, x pode assumir vários valores. Eu fui descobrir isso esse ano, os professores ora falavam incógnita ora variável. Eu falei, pronto, sinônimo, mesma coisa. Então, esse aluno, além de retratar a dificuldade com relação à diferença conceitual entre variável e incógnita, ressalta também que, durante o corrente ano acadêmico, descobriu que sabe diferenciar esses conceitos. Dessa maneira, pode-se levantar a hipótese de que esse aluno atingiu o sucesso acadêmico (LADSON- BILLINGS, 1995a) ao adquirir novos conhecimentos para estabelecer uma diferenciação entre os conceitos matemáticos apresentados nessa situação-problema Item (g): Estabeleça a relação matemática que modele essa situação 83 para a distância O quadro 19 apresenta as respostas dos participantes sobre a representação matemática da situação-problema apresentada. A análise dos dados mostra que foram utilizados vários tipos de representações para essa situação. De acordo com Flores (2006), essas representações podem ser verbais, simbólicas ou gráficas. 83 Suponha que um ônibus partindo de Itabirito com destino a Ouro Preto venha com velocidade constante de 80 km/h.

156 156 Quadro 19: Respostas dadas pelos participantes para estabelecer uma relação matemática para modelar a situação-problema proposta De acordo com os dados apresentados no quadro 19, a notação analítica de função foi utilizada por 10 (16,13%) alunos para representar essa relação matemática. Por exemplo, os participantes B15 e B16 escreveram f ( x) 80x enquanto que um participante sem identificação escreveu f ( x) 80y. É importante ressaltar que, nos dados constantes nas anotações realizadas no Caderno de Campo do professorpesquisador, verifica-se que a participante B15 cursou anteriormente, em outra escola, a primeira série do Ensino Médio. Porém, mesmo tendo sido aprovada, essa aluna preferiu cursar novamente a primeira série ao ser transferida para a escola na qual essa pesquisa foi realizada. Além disso, de acordo com informações fornecidas em uma conversa com o professor-pesquisador em na sala de aula, essa participante também teve um contato prévio com a notação de função ao estudar o conteúdo de funções no ano letivo anterior. Historicamente, não existe um consenso sobre quem foi o primeiro matemático a utilizar a notação de f(x) para a denominação de uma função, pois autores como Kline (1972), Cajori (1993) e Maor (1994) atribuíram, em datas diferentes, terminologias diferenciadas para as funções. Por exemplo, para Cajori (1993), um dos primeiros matemáticos a utilizar esse símbolo foi Euler, em Contudo, Kline (1972) afirma que Leibniz foi o primeiro matemático a utilizar essa terminologia, em Na opinião de Maor (1994), em 1797, Lagrange, primeiramente, utilizou a simbologia f(x) para denominar as funções.

157 157 Porém, independentemente do matemático que tenha utilizado a notação f(x) pela primeira vez, a análise dos dados mostra que, para os participantes desse estudo, a função f varia de acordo com o valor de x. Por exemplo, o entendimento do significado dessa notação pode ser percebido por meio da resposta dada pela aluna B25, em entrevista realizada no dia 11 de janeiro de Nesse sentido, o professorpesquisador questionou a aluna sobre o que aconteceria se fosse escrito somente f ao invés de f(x) para a notação de função. A aluna comentou sobre a ausência do símbolo x e a importância da notação utilizada atualmente, pois se f(x) não tem x qual que é a função?. Em outra entrevista de acompanhamento, de acordo com o aluno A22, a notação f(x) significa função de x (...) é (...) a função que o x assume em uma sentença, e o x (...) é o valor que x assume em uma sentença. Assim, a análise de dados mostra que, para esse aluno, f(x) é o valor que a função assume em x. Porém, para o aluno A20, essa notação ainda não tinha sentido, já que, durante a entrevista de acompanhamento, realizada em 11 de janeiro de 2012, esse aluno afirmou que o f está multiplicando o x porque tem parênteses. Isso mostra que, para esse aluno, a notação de função adquire um significado diferente do usualmente empregado (RADFORD e GRENIER, 1996), pois o significado atribuído pelo aluno A20 à notação f(x) é diferente do sentido atribuído para essa função. Por outro lado, embora os alunos A22, A6 e B25 tenham entendido o sentido da notação f(x) para uma função, interpretando-a como sendo uma relação de dependência entre f e x, essa notação não teve sentido para o aluno A20, que também interpretou a notação f(x) como uma multiplicação de f por x. Nesse contexto, para esse aluno, o símbolo é somente um rabisco (RADFORD e GRENIER, 1996), com um significado diferente do que é atribuído pela notação matemática tradicional de função. Durante a entrevista realizada no dia 13 de janeiro de 2012, o aluno A22 afirmou que não utilizava os símbolos matemáticos em séries escolares anteriores porque esses símbolos não tinham sentido. De acordo com esse aluno, depois que entendeu o significado dos símbolos, percebeu que realmente era importante utilizá-los. Por exemplo, esse aluno afirmou que os parênteses eram inúteis, pois não tinham utilidade, na prática. A asserção desse aluno reforça a argumentação de Radford e Grenier (1996) de que o apoio do concreto e a atribuição de sentido para os símbolos auxiliam os alunos na construção de significados para a simbologia matemática.

158 158 Por outro lado, a utilização de letras para a representação das incógnitas foi utilizada por 19 (30,7%) alunos, ou seja, aproximadamente um terço do total de alunos que responderam a essa questão. Por exemplo, a participante B43 escreveu x 80 enquanto que a participante A13, além de utilizar os símbolos x e y, também detalhou o significado de cada uma dessas incógnitas. A figura 52 contém a solução dada pela aluna A13, que especificou o elemento que representava cada incógnita. Figura 52: Resposta dada pela participante A13 y A utilização da regra de três para modelar, matematicamente, a situação descrita, foi utilizada pela aluna B31. Porém, a figura 53 mostra que essa aluna somente escreveu por extenso o modo pelo qual essa situação poderia ser representada, não apresentando maiores detalhes sobre essa utilização. Figura 53: Resposta dada pela participante B31 Outros métodos de resolução para essa situação também foram utilizados. Por exemplo, a participante B27 também resolveu esse problema utilizando uma de regra de três. Porém, a figura 54 mostra que essa aluna utilizou a letra x para designar os valores faltantes para completar os dados da regra de três, expressando, matematicamente a situação-problema, utilizando o mesmo símbolo para posições diferentes na regra de três. Figura 54: Resposta dada pela participante B27 Analisando essa resposta, infere-se que esses símbolos não tivessem sentido para essa aluna, servindo unicamente para representar valores desconhecidos, independentemente de adquirirem valores diferentes ou iguais.

159 159 Em relação à representação x, o aluno A22 afirmou que não entendia essa notação e preferia escrevê-la por extenso, pois era mais fácil utilizar a escrita retórica do que escrever os símbolos. Esse aluno afirma que achava que aquilo ali era porque eu podia muito bem responder assim, não há resposta, não pertence ao grupo dos reais. Contudo, quando apoiado no concreto, com situações que vivenciou e que fazem parte dos seus fundos de conhecimento, como participante de um grupo de alunos que necessita do transporte público para ir à escola, esse aluno afirmou que agora, com esse x pertencente aos reais, é que eu fui entender ele lá em condição de existência, que eu fui saber esse x nos reais. De acordo com Radford (2004), os símbolos se tornaram manipuláveis como as commodities foram manipuladas no mercado do século XVI 84 (artigo não paginado, tradução nossa). Isso significa que, com o apoio do concreto, a manipulação dos símbolos se tornou aceitável. Diante dessa perspectiva, para o aluno A22, a atividade 1, relacionada com o ticket do almoço; a atividade 3, relacionada ao valor pago pela passagem de ônibus de Itabirito a Ouro Preto e a atividade 4, relacionada com a velocidade e o tempo que os ônibus gastam no trajeto de Itabirito a Ouro Preto permitiram-no entender a condição de existência dessas funções e manipular os símbolos relativos a essa existência, no conjunto dos números reais. Dessa maneira, esse aluno se baseou no concreto, por meio de situações vivenciadas, para entender a manipulação, a importância e a utilização de alguns dos símbolos e notações utilizadas em Matemática. Os dados levantados mostraram que esse aluno reside em Itabirito, portanto precisa do transporte público urbano, o ônibus, para ir à escola, pagando a passagem e precisando estar atento aos horários e à velocidade que o veículo desenvolve no trajeto de Itabirito até a escola. Além disso, esse participante almoça no restaurante situado no interior da escola. Assim, essas situações permitiramm que ele enfrentasse situações reais, que podem tê-lo auxiliado no entendimento da necessidade da utilização dos símbolos, semelhante ao ocorrido durante a Renascença. Por outro lado, as iniciais das variáveis d para distância, v para velocidade e t para tempo foram utilizadas por 5 (8,1%) participantes. Por exemplo, o participante A10 escreveu que D Vc T. A maneira de representação dessa situação pode ter sido influenciada pelo estudo da Física, pois a participante A31 também utilizou algumas 84 Signs became manipulated as commodities were manipulated in the 16th century market place.

160 160 dessas iniciais, porém, aplicando uma simbologia física mais explícita, ao escrever que S S 0 vt. Analisando o contexto estudantil dessa participante, verifica-se que a aluna está cursando novamente a primeira série do Ensino Médio, pois, no ano anterior, matriculada na mesma escola, foi reprovada em Biologia. Contudo, a aluna foi aprovada em Matemática e Física, o que pode indicar um conhecimento prévio acumulado em relação aos símbolos e notações empregados em Matemática. Nesse sentido, Villegas (1991) argumenta que existe a necessidade de que o currículo seja integrado, interdisciplinado e com significado para os alunos, pois, de acordo com Holins (1996), a interdisciplinaridade e a integração de várias disciplinas curriculares facilitam a aquisição de novos conhecimentos pelos alunos. A análise dos dados também revelou que 2 (3,2%) participantes resolveram essa situação-problema com a utilização de uma sentença aberta, na qual o sinal de igualdade não foi utilizado. Por exemplo, as alunas B9 e A5 utilizaram a notação simbólica para essa representação, porém com sentenças matemáticas escritas sem o sinal da igualdade. As figuras 54 e 55 mostram as representações dos participantes A5 e B9. Figura 55: Resposta dada pela participante A5 Figura 56: Resposta dada pela participante B9 Analisando algumas das respostas dadas para essa questão, a identificação do símbolo de igualdade como a representação de uma relação de equivalência não foi percebida pelos alunos. Nesse sentido, Tinoco, Silva, Motta, Rego, Costa, Portela, Statzner, Silva, Souza e Salgado (2008) afirmam que embora seja essencial nas atividades algébricas, os alunos não se apropriam com facilidade da ideia do sinal de igualdade, visto como indicador de uma equivalência entre duas expressões, mesmo que numéricas (p. 4). A representação dessa situação-problema por meio de uma relação de proporcionalidade foi utilizada por 4 (6,5%) participantes. A figura 56 ilustra essa representação utilizada pela participante B3.

161 161 Figura 57: Representação por meio da relação de proporcionalidade utilizada pela participante B3 Já a representação por meio de tabelas, utilizada pelos participantes, contém uma ideia de representação do mesmo tipo daquela utilizada pelos Babilônios, há aproximadamente 2000 a.c. quando elaboraram tabelas que relacionavam n³ + n² com os respectivos valores numéricos dessa expressão. De acordo com Cajori (2007), apesar de os Babilônios não terem desenvolvido um simbolismo algébrico, foram capazes de trabalhar com alguns tópicos pertencentes à álgebra elementar contemporânea. Nesse sentido, embora esses participantes tenham utilizado o simbolismo algébrico para representar, matematicamente, a situação descrita, utilizaram também um pensamento algébrico generalizado, ao representarem essa situação, matematicamente, por meio de uma relação de proporcionalidade. A representação retórica também esteve presente na resolução desse item, sendo realizada por oito (12,9%) dos participantes, que representaram essa situação por meio de uma sentença em linguagem coloquial. A análise dos dados mostra que a falta da utilização da simbologia matemática, na resolução dessa situação-problema, pode estar relacionada à ausência de sentido dos símbolos para os participantes (RADFORD e GRENIER, 1996). Contudo, a ausência da representação simbólico-matemática não inviabilizou a resposta correta obtida pelos alunos. Historicamente, a carência da utilização simbólica não influenciou na resolução de equações por Al-Khowarizmi, que as resolvia de maneira retórica (BELL, 1992). Nesse sentido, Radford e Grenier (1996) afirmam ser importante que a interação das ideias e os símbolos que representam uma determinada situação-problema construam um sistema de relacionamento elaborado pelos próprios alunos, durante a sua trajetória intelectual, social, individual e escolar. Nesse sentido, observa-se que uma fórmula matemática verbal foi utilizada pela participante B20 que escreveu que a cada hora é percorrido 80 km. A análise dos dados mostra que esse aluno pode estar

162 162 desenvolvendo a construção da simbologia matemática, pois apresenta uma fórmula verbal que representa a situação de uma maneira adequada. Finalmente, destacou-se também um modo misto de representação, que foi utilizado por 2 (3,2%) participantes, ambas pertencentes à turma A. É importante ressaltar que a denominação mista foi empregada neste estudo porque essas alunas utilizaram uma fórmula matemática simbólica na resolução dessa situação-problema, enquanto que, ao mesmo tempo, utilizaram a linguagem retórica. Assim, essas alunas utilizaram D para representar a distância de uma maneira simbólica, Vcon para representar a velocidade constante por uma maneira sincopada e o ponto para representar simbolicamente a operação da multiplicação. Contudo, essas alunas não empregaram símbolos para representar a variável tempo, pois a resposta está escrita em linguagem coloquial, conforme indicado pela aluna A9. Assim, observa-se que a variável tempo está escrita de maneira retórica. A figura 57 mostra a utilização do modo misto pela aluna A9. Figura 58: Resposta mista dada pela participante A9 A análise dos dados mostra que o pensamento algébrico não prescinde de uma linguagem estritamente simbólico-formal da aluna para a sua manifestação. Assim, de acordo com Radford e Grenier (1996), essa linguagem simbólica pode ser construída pelos alunos, porém, depende da orientação dos professores. A análise histórica da evolução da linguagem algébrica revela que não existe uma única maneira para expressar o pensamento algébrico. Assim, os dados revelam que essa aluna utilizou, simultaneamente, os três estágios de evolução histórica da linguagem matemática (EVES, 1962). A representação gráfica foi utilizada somente pela participante B25, que também representou de forma gráfica as atividades propostas anteriormente. A figura 46 mostra que o gráfico construído pela aluna é contínuo e parte da origem do sistema cartesiano, sendo que as horas estão representadas no eixo das abscissas e a distância, no eixo das ordenadas. Nessa situação, a representação gráfica foi utilizada por essa participante para a indicação de uma função. A figura 58 mostra como a participante B25 representou, graficamente, essa situação.

163 163 Figura 59: Resposta gráfica dada pela participante B25 A análise das respostas dadas pela aluna B25 na entrevista realizada no dia 11 de janeiro de 2012 revelou a sua preferência pela representação gráfica, pois as respostas analisadas anteriormente continham gráficos para justificar se uma determinada situação poderia ser considerada como uma função Item (h): Sabe-se que a raiz do conceito de função apareceu pela primeira vez de forma explícita com Oresme ( ) descrevendo graficamente a dependência entre velocidade e tempo. Como seria o gráfico dessa situação 85 descrita? O quadro 16 mostra as respostas dadas pelos alunos para esse item. Quadro 16: Respostas dos participantes dadas ao item (h) 85 Suponha que um ônibus partindo de Itabirito com destino a Ouro Preto venha com velocidade constante de 80 km/h.

164 164 É importante ressaltar que as respostas fornecidas para esse item foram analisadas em conjunto com as representações gráficas das demais atividades desenvolvidas neste estudo. Assim, a apresentação da análise dos dados e dos resultados desse item foi realizada na seção 4 deste capítulo Item (i): O que acontece com a distância quando se dobra ou triplica o valor do tempo? Ou quando se reduz o tempo pela metade ou à sua terça parte? Mostre como resolver essas situações. O quadro 17 é composto pelas respostas dadas pelos participantes para esse item. Quadro 17: Respostas dadas pelos participantes ao item (i) A análise dos dados mostra que 46 (74,2%) alunos responderam a esse questionamento de maneira retórica, com a utilização de palavras na linguagem coloquial para afirmar que as grandezas são proporcionais, duplicando e triplicando e reconhecendo que, quanto maior o tempo, menor será a velocidade. Contudo, 1 (1,6%) aluna utilizou uma fórmula da Física para justificar a sua resposta. Nesse sentido de representação, 2 (3,2%) participantes utilizaram as informações contidas no item a para resolverem esse questionamento, enquanto que 1 (1,6%) participante recorreu ao desenho de uma tabela para essa resolução. Assim, a análise de dados mostra que 3 (4,8%) participantes elaboraram uma tabela para justificar a proporcionalidade existente no relacionamento entre a distância percorrida e o tempo da situação-problema proposta.

165 Baseado no conceito atual de função: Dados dois conjuntos A e B não vazios, uma função é uma relação que associa cada elemento de A a um único elemento de B, poderemos afirmar que a distância é função do tempo? Explique a sua resposta. item. O quadro 18 contém as respostas dos 62 participantes que responderam a esse Quadro 18: Respostas dadas pelos participantes ao item (j) A análise de dados mostra que 11 (17,74) participantes não responderam a esse questionamento. Contudo, não existem dados suficientes para verificar o motivo desses alunos não o terem respondido. No entanto, algumas hipóteses podem ser levantadas, como por exemplo, a falta de tempo para a sua realização, pois essa era a última questão da atividade e, talvez, os alunos tenham utilizado mais tempo para resolver os outros questionamentos dessa atividade. Os dados analisados mostram que 52 (83,87%) participantes afirmaram que a distância é determinada em função do tempo, porém com explicações diferentes para essa justificativa. Em contraste, 1 (1,61%) participante afirmou que essa situação não representa uma função, pois o tempo varia com a velocidade e a distância.

166 Registro Documental II Atividades Matemáticas Exploratórias II O Registro Documental II foi composto por duas folhas de atividades, sendo que uma delas se iniciava com um texto introdutório, em relação ao conceito de variável ao longo da História da Matemática. Então, recorreu-se, de maneira sucinta, a Leibniz e a Newton para explicar a origem da palavra função e dos termos variável e incógnita. Essa atividade foi elaborada tendo em vista as dificuldades apresentadas pelos alunos na resolução dos itens (d), (e) e (f) da atividade 4 do Registro Documental I, cujos resultados estão dispostos no quadro 18. Nesse sentido, a História da Matemática serviu como um instrumento informativo para que os alunos pudessem perceber que o desenvolvimento da Matemática é um produto da construção humana. Além disso, essa atividade foi elaborada para que fossem apresentados aos alunos outros elementos que fornecessem discussões a respeito da diferença conceitual entre incógnita e variável. A figura 59 mostra o texto utilizado como introdução a essa atividade. Figura 60: Texto introdutório da atividade do Registro Documental II Além desse aspecto da História da Matemática, no questionário II, a questão 12 solicitou aos alunos que descrevessem as ideias, os conceitos ou procedimentos matemáticos presentes, no mínimo, em duas das atividades cotidianas realizadas em casa, como por exemplo, limpar a casa ou fazer o almoço. O objetivo desse questionamento foi detectar alguns aspectos dos fundos de conhecimento dos alunos por meio de situações cotidianas realizadas nas tarefas do lar (MOLL et al, 1992).

167 167 De acordo com os resultados obtidos no questionário II, obtiveram-se respostas relacionadas à quantidade de alimentos necessária para preparar o almoço, sendo que essa informação foi fornecida pelas respostas dadas por 17 (53,1%) participantes da turma A e por 13 (43,3%) da turma B, totalizando 30 (48,4%) alunos que responderam o questionamento relacionado com a medida de alimentos em receitas domésticas. Esse aspecto pode ser verificado pela resposta dada pela aluna B43 que afirmou que determina a quantidade de alimentos fazendo cálculos e medidas para as receitas culinárias. Uma das respostas mais específicas, dada para a questão desse questionário 86, com relação à quantidade de arroz utilizada na preparação do almoço pode ser verificada na asserção da aluna A19, que respondeu necessitar de uma determinada quantidade de arroz para cozinhar. Os dados também mostram que a aluna A31 comenta sobre um procedimento matemático informal utilizado para determinar a medida necessária para o cozimento do arroz quando afirma sobre a unidade de medida utilizada em seu lar, pois necessita do copo para pegar e fazer o arroz. Assim, a quantidade necessária para a preparação do arroz pode estar relacionada com os fundos de conhecimento de alguns alunos, pois foram adquiridos no ambiente familiar (MOLL et al, 1992). Diante desse contexto, o professor-pesquisador percebeu que o entendimento desses fundos de conhecimento ainda não estava claro e sentiu a necessidade de aprofundar essas questões com a realização de dois grupos focais. Assim, a partir das discussões ocorridas nesses grupos, foi elaborada uma atividade que envolvia algumas respostas dadas às questões apresentadas no questionário II, sobre a quantidade de arroz necessária para fazer o almoço e o número de pessoas servidas, para que se tivesse uma verificação detalhada sobre o conceito de função desenvolvido pelos alunos A figura 60 mostra o trecho de um diálogo do grupo focal, transcrito pelo professor-pesquisador, que ocorreu entre o professor e um grupo de alunos. Esse diálogo justificou a elaboração da segunda parte de atividades desse registro documental. 86 De acordo com o sitehttp:// no dia 28 de março, para fazer 4 porções de arroz de viúva utiliza-se, dentre outros ingredientes, meia xícara (chá) de arroz.

168 168 Figura 61: Trecho de uma conversa ocorrida no grupo focal entre o professorpesquisador e os alunos Dessa maneira, foram elaboradas duas atividades do Registro Documental II, com a utilização de informações contidas nos questionários, nos grupos focais, nos Fundos de Conhecimento, na Pedagogia Culturalmente Relevante e na História da Matemática. A figura 61 mostra o diagrama da elaboração dessas atividades. Figura 62: Diagrama de elaboração das atividades propostas no Registro Documental II

169 O texto introdutório O texto introdutório da atividade apresentava uma pequena informação histórica em relação à notação de função, bem como uma pequena receita sobre a quantidade de arroz necessária para a realização de uma reeita com rendimento de 4 porções, como pode ser visto na figura a seguir. Figura 63: Texto introdutório Nesse sentido, como a situação apresentada no texto introdutório representava uma função, os participantes desse estudo foram orientados a representá-la por várias maneiras conhecidas, que foram desenvolvidas ao longo da história Item (a): Representação por tabela como os Babilônios Os resultados desse item foram quantificados e organizados no quadro 19, que apresenta os diversos tipos de tabelas organizadas pelos participantes. Quadro 19: Respostas dadas pelos participantes ao item (a).

170 170 As figuras 63 e 64 ilustram as tabelas, com duas colunas, elaboradas pelas participantes B15 e B23. A análise dos dados mostra que a participante B23 escreveu meia xícara de arroz com o auxílio de símbolos matemáticos, enquanto que a aluna B15 utilizou a linguagem escrita, sem a utilização de uma simbologia adequada para representar a situação-problema proposta.

171 171 Figura 64: Resposta dada pela participante B15 Figura 65: Resposta dada pela participante B23 Por outro lado, a figura 65 mostra que a participante B17 preferiu utilizar uma tabela horizontal e escrever a relação entre as porções e o arroz, sem indicar, contudo, qual a unidade de medida que estava sendo utilizada. Figura 66: Resposta dada pela participante B17 A figura 66 mostra que o participante B20 também utilizou uma tabela na horizontal, porém as linhas da tabela estão invertidas, em relação à tabela utilizada pela participante B17.

172 172 Figura 67: Resposta dada pelo participante B20 As figuras 67 e 68 mostram como as participantes A39 e A29 elaboraram tabelas para resolverem a situação-problema proposta. Figura 68: Resposta dada pela participante A39 Figura 69: Resposta dada pela participante A29 As figuras 69 e 70 ilustram as tabelas elaboradas pelas participantes A13 e A21 para a resolução dessa situação-problema. Figura 70: Respota dada pela participante A21

173 173 Figura 71: Resposta dada pela participante A13 A análise dos dados mostra que a resposta dada pela participante A13 não apresenta uma tabela do modo convencional, mas sim, uma relação entre a quantidade de porções e a quantidade necessária de ingredientes para a preparação do arroz. De modo contrário, a resposta da participante A21 apresenta uma tabela no sentido formal e usual Item (b): Representações gráficas, inicialmente utilizadas por Nicole Oresme no século XIV O quadro 20 apresenta as respostas desse item (b) quantificadas e organizadas de acordo com as respostas dadas pelos participantes dessa pesquisa. Os dados analisados mostram que foram construídos tipos variados de gráficos, como por exemplo, gráfico de barras, gráficos contínuos e discretos. Quadro 20: Respostas dadas pelos alunos à representação gráfica

174 174 A análise dos dados do quadro 20 mostra que 54 (87,08%) participantes utilizaram um gráfico contínuo para representar essa situação-problema. Contudo, é importante salientar que esses gráficos foram elaborados de maneiras diferentes. Por exemplo, 9 (14,51%) alunos não iniciaram a representação gráfica na origem do sistema cartesiano Item (c) Representação analítica utilizada por Fermat e Descartes no século XVII O quadro 21 apresenta as respostas dos participantes para esse item (c). Quadro 21: Resposta dos participantes por meio da representação analítica de funções Os dados analisados mostram que as representações simbólicas foram elaboradas por 51 (82,26%) alunos. As representações em linguagem verbal foram utilizadas por 11 (17,74%) particpantes. A análise desses dados destaca a importância da escrita retórica para a compreensão de conceitos matemáticos pelos alunos. Nessa perspectiva, mesmo que no enunciado dessa questão houvesse a solicitação para que os alunos elaborassem uma representação analítica para essa situação, 11 (17,74%) alunos utilizaram a representação retórica.

175 175 Por outro lado, 3 (4,84%) alunos expressaram essa situação-problema por meio da utilização do conceito de dependência entre as variáveis, como ilustra a figura 71, que apresenta a resposta dada pelo participante B20. Figura 72: Resposta dada pelo participante B20 A análise de dados revela que o participante B20 expressou a ideia de dependência entre a quantidade total de porções e o número de xícaras e, também, as porções por xícaras. A figura 72 mostra que esse aluno não utilizou a notação usual de função, porém, utilizou-a para a resolução do item (e) dessa atividade. Figura 73: Resposta dada pelo participante B20 Assim, a partir dos dados analisados, para cada um dos símbolos utilizados por esse aluno, verifica-se o seu entendimento sobre os parênteses na notação utilizada, entendendo-o como o indicativo de uma multiplicação. Dessa maneira, se esse aluno multiplicar as porções por xícaras pela quantidade de xícaras tem-se a quantidade total de porções. Esse raciocínio também foi utilizado pelo aluno A20 que, em entrevista realizada no dia 20 de janeiro de 2012, afirmou que f(x) significa a multiplicação de f por x. Por outro lado, a participante B41 utilizou uma equação de primeiro grau para resolver esse item. A figura 73 mostra a resposta dada por essa aluna.

176 176 Figura 74: Resposta dada pela participante B41 A análise dessa resolução mostra que a participante utilizou somente uma incógnita na expressão, porém não existe uma indicação explícita de como o valor resultante dessa resolução foi determinado e nem sobre o significado dado pela aluna B41 para a incógnita. Utilizando outro recurso de resolução, um aluno, que não se identificou, utilizou, simultaneamente, a representação proporcional, simbólica e retórica para resolver essa situação-problema. A figura 74 ilustra como esse aluno respondeu à questão proposta. Figura 75: Representações da participante A15 À esquerda do processo resolutório, tem-se o pensamento proporcional utilizado pela participante A15 enquanto que à direita, a aluna mostra a continuidade da resolução do problema, porém, sem a utilização de incógnitas ou variáveis. Além disso, para escrever essa situação, essa aluna utilizou a variável x concomitantemente com a escrita retórica por meio da utilização da palavra porção. Provavelmente, a aluna A15 se encontra em estágio de construção da linguagem algébrica, por utilizar tanto a linguagem escrita quanto a simbólica, na resolução dessa situação-problema. A escrita retórica e simbólica foi utilizada por 2 (3,23%) participantes, que não se identificaram. A figura 75 ilustra a resposta dada por um desses participantes. Figura 76: Resposta dada por um dos alunos que não se identificou

177 177 A análise dessa resolução mostra a similaridade com a resposta final apresentada anteriormente, na figura 74, porém, nesse caso, o processo resolutório não foi apresentado. A escrita proporcional, gráfica e algébrica para a resolução dessa situaçãoproblema foi utilizada, simultaneamente, pelo aluno A12, estando associada com a escrita algébrica e proporcional conforme proposto por Fermat, enquanto que a solução gráfica está relacionada com o processo resolutório proposto por Descartes. Nesse sentido, o participante A12 escreveu os nomes desses dois matemáticos nas proximidades das respostas apresentadas. A figura 76 mostra o processo de resolução utilizado pelo aluno A12. Figura 77: Resposta dada pelo participante A12 A representação algébrica e tabular foi utilizada por 3 (4,84%) alunos, que não se identificaram. A figura 77 mostra o procedimento utilizado por um desses alunos. Figura 78: Resposta dada por um aluno não identificado A escrita retórica foi apresentada por 3 (4,84%) participantes que escreveram que para cada 0,5 xícaras de arroz, multiplica-se o número de porções por 8. A análise dessa resolução mostra a maneira como esses três alunos escreveram a expressão em linguagem corrente, sem a utilização excessiva de símbolos. Contudo, como resposta dada ao item (d), subsequente, que questionou sobre a representação por meio da utilização da notação f(x) de Euler, esses três participantes utilizaram os símbolos e a notação requerida, ao fornecer a resposta f ( x) 0,5 x 4 para aquela situaçãoproblema.

178 Item (d) Por meio da utilização da notação f(x), iniciada por Euler no século XVIII. O quadro 22 contém as respostas dadas pelos participantes para esse item. Quadro 22: Respostas dadas pelos participantes para o item (d) A análise de dados mostra que 56 (90,32%) participantes utilizaram a notação requerida para esse item, mesmo que a expressão não representasse com exatidão a situação proposta. Dentre os 56 alunos que utilizaram a notação correta, 6 (9,68%) não representaram a situação, pois somente escreveram uma lei genérica para uma função linear, ou seja, com os parâmetros a e b. Os dados analisados também mostram que 6 (9,68%) participantes utilizaram outras notações para esse questionamento, sendo que 4 (66,66%) dos 6 alunos utilizaram a notação para representar essa situação-problema. y 8x enquanto que 2 (33,34%) alunos utilizaram um diagrama Por outro lado, 4 (6,45%) participantes determinaram f(x)=1/2=4 como resposta para essa situação-problema. Porém, os dados coletados não são suficientes para analisar como esses alunos determinaram essa resposta. No entanto, é possível levantar algumas hipóteses, como por exemplo, a função determinada pode representar a relação existente entre meia xícara de arroz e uma porção de arroz para quatro pessoas. Além disso, como foi requerida a utilização da notação criada por Euler, os participantes que

179 179 responderam dessa maneira podem ter igualado esse relacionamento à notação atual de função Item (e) Utilizando a definição atual de função e representando através de conjuntos. O quadro 23 mostra as respostas dadas pelos participantespara esse item. Quadro 23: Respostas dadas pelos participantes ao item (e) A análise dos dados mostra que 50 (80,64%) participantes representaram essa situação-problema por meio de um diagrama que relaciona a quantidade de xícaras e as porções, enquanto que 2 (3,23%) participantes não responderam a esse item. Além disso, de acordo com os dados dispostos no quadro 17, 5 (8,07%) participantes não representaram essa situação-problema por meio de conjuntos, pois utilizaram tabelas e diagramas, 3 (4,83%) participantes utilizaram uma equação, enquanto que 2 (3,23%) participantes resolveram esse item por meio da notação funcional. 3.5 Registro Documental III: Atividades Matemáticas Exploratórias III Durante a qualificação, ocorrida no dia 07 de dezembro de 2011, foi sugerido pelos membros da banca a elaboração de duas atividades que contivessem outros exemplos, nos quais fosse possível relacionar a realização de grandes matemáticos gregos, como por exemplo, Arquimedes e Eudoxo, com o cálculo da área de um círculo e, também, verificar como determinar a área de um quadrado que seja o dobro da área inicial desse quadrado. Assim, atendendo à sugestão, foram elaboradas as duas atividades do Registro Documental III. Dessa maneira, a primeira atividade foi elaborada para verificar como medir uma área de lazer de um metro quadrado de área para observar o que acontece

180 180 com o lado dessa figura ao se dobrar a sua área. Por outro lado, a segunda atividade estava relacionada à determinação da área e circunferência de um círculo Atividade 1 Para a elaboração dessa atividade, utilizaram-se as três teorias que fundamentam essa dissertação, bem como os instrumentos utilizados na coleta de dados. A figura 78 mostra o diagrama que representa a preparação dessa atividade. Figura 79: Diagrama de elaboração da Atividade 1 proposta no Registro Documental III Fonte: Elaborado pelo professor-pesquisador A História da Matemática A História da Matemática aparece, de maneira implícita, nessa atividade, servindo como um eixo para orientar o professor-pesquisador em sua elaboração, pois a determinação da área de um quadrado, que possui o dobro de sua área original, foi uma situação-problema desenvolvida pelos pitagóricos (CAJORI, 2007). Nesse sentido, os pitagóricos demonstraram que a diagonal de um quadrado pode ser considerada como o lado de outro quadrado com área igual ao dobro da área do quadrado original. De modo análogo, para Boyer (1996), o problema da duplicação do cubo consiste na obtenção de um determinado cubo, que tem o dobro do volume de um cubo de uma aresta dada, com a utilização de régua e compasso. Nessa perspectiva, Eves

181 181 (1962) afirma que existem duas versões para o problema da duplicação do cubo, sendo que uma delas está relacionada ao rei Minos 87, enquanto que a outra está relacionada ao oráculo de Apolo 88. Pode-se afirmar, portanto, que a resolução do problema da duplicação do cubo é um dos três problemas clássicos da antiguidade. De acordo com Boyer (1996), os três problemas clássicos da antiguidade eram (1) a quadratura do círculo, (2) a duplicação do cubo e (3) a trissecção do ângulo. Para Cajori (2007), esses problemas matemáticos foram os mais discutidos e estudados na História da Matemática. Porém, após anos da proposição desses problemas, foi provado que esses são impossíveis de serem resolvidos somente com a utilização de régua e compasso (CAJORI, 2007; HEATH, 1921) Fundos de Conhecimento Por meio de alguns dos instrumentos de coleta de dados utilizados nesta pesquisa, como por exemplo, os questionários, os grupos focais e o caderno de campo do professor-pesquisador, foi possível realizar o levantamento e a identificação de alguns fundos de conhecimento dos participantes deste estudo, que estavam relacionados com a construção civil. Por exemplo, conforme salientado nesses instrumentos, o aluno A6 se interessa pelo ramo da construção civil. Assim, por meio das informações coletadas no caderno de campo do professor-pesquisador, o pai e o tio desse aluno são donos de uma fábrica de pré-moldados situada em Ouro Preto e vendem lajes pré-fabricadas. Essa fábrica foi repassada para o pai e tio desse aluno, pertencendo, anteriormente, ao seu avô, que nem sempre trabalhou no ramo da construção civil, tendo desempenhado outras atividades profissionais no decorrer de sua vida. De acordo com os dados coletados e com a leitura da fundamentação teórica desse estudo, os conhecimentos adquiridos por esse aluno 87 O Rei Minos estava insatisfeito com o tamanho do túmulo de seu filho e ordenou que esse túmulo fosse duplicado, mas que mantivesse o seu formato original, que era cúbico. Os servos, então, construíram um novo túmulo, mas com as arestas que mediam o dobro das arestas anteriores. 88 O problema da duplicação do cubo recebe o nome de Problema Deliano devido a uma lenda que conta que, por volta do ano 400 a.c., um grupo de atenienses foi enviado ao oráculo de Apolo, em Delos, para descobrir como findar com uma peste que havia matado mais de um quarto da população de Atenas. O oráculo disse, então que, para acabar com a peste, eles deveriam construir um novo altar com o dobro do volume do altar atual, que tinha o formato de um cubo.os atenienses construíram um novo altar cúbico com o dobro da aresta do altar anterior, não conseguindo, assim, acabar com a peste, pois o novo altar teve o seu volume multiplicado por oito.

182 182 sobre a construção civil fazem parte de seus fundos de conhecimento (MOLL et al, 1992), pois foram conhecimentos adquiridos pelo avô e transmitidos aos filhos e netos, demonstrando, então, a aquisição do conhecimento sobre esse campo do saber cotidiano, que foi adquirido na prática. A origem do conhecimento que esse aluno transmitiu ao professor-pesquisador, em relação aos materiais de construção, está vinculada ao seu contexto familiar, pois foi transmitido de geração em geração, aos familiares do aluno A6. Além disso, na questão quatro do questionário I, sobre o interesse dos alunos em seguirem a carreira dos pais, o participante A6 mostrou-se interessado em trabalhar com o pai e com o tio ao afirmar que a [profissão] do meu pai (...) está no ramo do curso que estou cursando. Contudo, não foi possível coletar informações mais detalhadas sobre as respostas dadas por esse aluno às questões do questionário II, que estavam relacionadas com a matemática presente nas atividades profissionais que os pais exercem, pois esse aluno esteve ausente no dia em que o questionário I foi respondido pelos outros participantes desta pesquisa. Dessa forma, investigaram-se os fundos de conhecimento dos participantes desse estudo, de acordo com a pesquisa conduzida por Moll et al (1992), na qual foram estudadas as atividades que os pais e os responsáveis pelos alunos realizam no próprio contexto profissional. Essas informações foram utilizadas como ponto de partida para a elaboração dessa atividade, que está relacionada com a construção de uma área de lazer, que possui o dobro de sua área original Questionário I: Questão 4 Em resposta à questão quatro 89 do questionário I, 16 (22,86%) dos 70 alunos participantes afirmaram ter interesse em seguir os estudos na área de edificações para se formarem engenheiros no futuro. Por exemplo, a aluna B9 afirmou não querer seguir a profissão da mãe porque não levo jeito para pintura. Entretanto, essa aluna comentou que gostaria de seguir a carreira do pai, pois é interessante o planejamento de obras, [assim] talvez eu vá para a área de engenharia. Nesse sentido, a aluna B3 argumentou que gosta muito da profissão da mãe, que é engenharia civil, pois é uma área que gosto e me identifico desde pequena. 89 Você gostaria de seguir a profissão de seus responsáveis? Justifique.

183 Questionário II: Questão três Em resposta à questão três 90 do questionário II, os dados mostram que 19 (59,375%) dos 32 alunos da Turma A responderam que pretendem trabalhar na área de edificações, enquanto que 15 (50%) dos 30 alunos da Turma B pretendem trabalhar nessa mesma área. De acordo com a análise dos dados, esse número justifica a escolha do curso no qual os participantes desse estudo estão matriculados, pois 34 (55,79%) dos 62 participantes dessa pesquisa, que se inscreveram no curso Técnico de Edificações, demonstraram interesse em exercer a profissão nessa área Questionário II: Questão onze Durante a organização dos dados relativos à questão onze 91 do questionário II, verificou-se que, por meio da codificação e quantificação das respostas dadas a esse questionamento, 57 (91,93%) alunos dos 62 que responderam essa questão, afirmaram que os pais utilizam conceitos e procedimentos matemáticos, durante a realização de sua atividade profissional. Porém, em suas respostas, esses alunos não forneceram uma explicação para essa utilização. Assim, a falta de informações contidas nas respostas dadas pelos participantes, com relação à maneira pela qual os pais ou os responsáveis utilizam a matemática, na vida profissional, suscitou em uma discussão sobre esse assunto, realizada por meio de um Grupo Focal. Nessa perspectiva, durante a realização dos grupos focais, os participantes A24 e A33 destacaram a presença da matemática nas atividades realizadas na engenharia. Por exemplo, o participante A24 afirmou que, como o seu pai é engenheiro, então ele usa muita matemática enquanto que a participante A33 alegou que para calcular quantos metros quadrados de área vai ser preciso em uma obra, calcula-se o tamanho da construção. A participante A1 também destacou o papel importante da matemática na engenharia. Ao responder a questão quatro do questionário I, demonstrou o interesse em seguir a profissão do pai, que é engenheiro, afirmando que como meu pai é engenheiro, 90 Explique sua escolha pelo curso técnico no qual você está matriculado nesta escola. 91 Observando as atividades profissionais exercidas por seus pais ou responsáveis, descreva quais são as ideias, conceitos ou procedimentos matemáticos que você julga que eles utilizam em suas atividades.

184 184 gostaria de também. Essa participante também afirmou que como o seu pai trabalha como engenheiro, então, ele utiliza a matemática o tempo todo Questionário II: Questão 13 Por meio da análise das respostas fornecidas pelos alunos à questão treze 92 do questionário II, constatou-se que os participantes A9, A25 e B2 percebem a presença da matemática nas obras de construção civil. Por exemplo, a aluna A9 afirmou que percebe muitas construções usam matemática, comprar materiais e medidas. A aluna A25 argumentou que a matemática pode ser percebida nas pessoas caminhando e pintando casas e também nas construções, medidas e geometria. Por outro lado, apesar do aluno B2 comentar que a matemática está presente nas operações efetuadas pelos caixas de supermercado e pelos trocadores de ônibus que fazem os cálculos para não voltarem o troco errado para as pessoas, esse aluno também observou que a matemática é utilizada pelos pedreiros em seus cálculos cotidianos, que são utilizados nas construções Grupos Focais Para aprofundar nas respostas dos alunos que afirmaram que os pais ou os responsáveis utilizam a matemática no trabalho, foi proposta uma discussão relacionada ao conhecimento matemático utilizado por esses indivíduos, no trabalho diário, em suas profissões. Dessa maneira, um dos principais objetivos do grupo focal foi o de entender, com profundidade, algumas questões que não ficaram claras nos questionários, como por exemplo, a maneira pela qual a matemática é utilizada pelos pais e responsáveis, nas atividades realizadas no trabalho cotidiano. Além desse, outros objetivos dos grupos focais foram buscar uma conscientização a respeito do background cultural dos alunos, coletar dados que instrumentalizassem o professor-pesquisador para a elaboração das atividades posteriores e,também, para o levantamento e a observação das relações entre a matemática e o cotidiano dos participantes dessa pesquisa. 92 No trajeto de sua casa até a escola e vice-versa, descreva quais são as ideias, conceitos e procedimentos matemáticos que você pode perceber nas atividades realizadas pelas pessoas que você observa durante esse trajeto. Enumere no mínimo três situações. Escolha uma delas e tente explicar, em detalhes, a conexão com algum conteúdo matemático que você aprendeu na escola.

185 185 Os alunos que demonstraram interesse em discutir a respeito das respostas dadas aos questionários I e II foram convidados a participarem do grupo focal. Então, os dez alunos da turma A, que aceitaram esse convite, permaneceram na sala de aula, no horário de almoço, no dia 29 de março de 2011, enquanto que os oito alunos da turma B ficaram no dia 30 de março de No convite informal, realizado pelo professorpesquisador, foi comentado que a conversa duraria em torno de 20 minutos e que, por esse motivo, não atrapalharia o almoço e nem o intervalo de descanso dos alunos que participassem dessa atividade. Para a realização dos grupos focais, os alunos e o professor-pesquisador sentaram-se em círculo, para que todos os envolvidos pudessem participar das discussões. Os grupos focais foram iniciados com uma discussão sobre as respostas relativas à questão nove 93 do questionário II, que versa sobre a presença da matemática no dia a dia. O quadro 24 mostra as respostas dadas pelos alunos a essa questão. Quadro 24: Respostas dadas a questão nove do Questionário II A análise dos dados mostra que 51 (70,83%) alunos responderam que a presença da matemática no cotidiano está relacionada com os cálculos aritméticos utilizados nas tarefas realizadas diariamente. Além da discussão descrita anteriormente, o professor-pesquisador também propôs uma discussão sobre a utilização de conhecimentos matemáticos nas atividades profissionais desenvolvidas pelos pais ou responsáveis dos participantes deste estudo. Esse tópico foi suscitado pelas respostas dos participantes da pesquisa à questão 93 Descreva no mínimo duas situações nas quais você utiliza ideias, conceitos ou procedimentos matemáticos em seu dia-a-dia.

186 186 onze 94 do questionário II. Assim, procurou-se, com essa discussão, entender detalhadamente como os pais ou os responsáveis dos participantes utilizam a matemática diariamente, pois muitas respostas sem explicações foram coletadas nesse item. Por exemplo, um aluno que não se identificou, somente afirmou que os pais utilizam os conceitos matemáticos ao comentar que para quase tudo, [pois] a profissão dele usa muito matemática. O quadro 25 apresenta os temas que foram codificados pelo professorpesquisador considerando as respostas dadas pelos participantes a essa questão. Quadro 25: Respostas dadas à questão onze do Questionário II A análise de dados mostra que 43 (71,67%) dos 62 participantes escreveram sobre os cálculos aritméticos como conceitos utilizados pelos pais ou responsáveis nas atividades profissionais realizadas no cotidiano. Por exemplo, a participante A13 destaca as quatro operações utilizadas pela mãe quando era vendedora, ao afirmar que minha mãe utilizava as 4 operações matemáticas quando era revendedora de roupas. É importante enfatizar que o questionário II foi respondido por 32 (51,61%) alunos da Turma A e 30 (48,39%) da Turma B, perfazendo um total de 62 (100%) alunos. A análise dos dados mostra que 8 (11,43%) dos 70 alunos participantes não responderam a esse questionário. Nesse sentido, os temas constantes nos quadros 16 e 17 foram elencados por meio das quantificações das respostas qualitativas dadas pelos participantes. No entanto, esses temas não são disjuntos, pois, em suas respostas, os 94 Observando as atividades profissionais exercidas por seus pais ou responsáveis, descreva quais são as ideias, conceitos ou procedimentos matemáticos que você julga que eles utilizam em suas atividades.

187 187 participantes podem ter comentado sobre mais de um tema. Por essa razão, verifica-se, no quadro 17, um total de 72 respostas para 62 respondentes. Existe também a necessidade de esclarecer que os temas constantes nesses dois quadros foram codificações utilizadas pelo professor-pesquisador para que pudesse interpretar as respostas dadas aos itens dos questionários I e II, pelos participantes deste estudo. Por exemplo, a resposta da participante A13 foi classificada em dois temas, ou seja, como cálculos aritméticos e como ticket de almoço na escola, já que, ao responder a questão sobre a utilização de conceitos ou procedimentos matemáticos utilizados no cotidiano, essa aluna comenta que utiliza conceitos matemáticos na hora de pagar o almoço da escola e quando ajudo minha mãe a fazer as contas das despesas de casa. Assim, ao pagar o almoço da escola, a aluna compra o ticket do almoço e, também, auxilia a mãe nos cálculos das despesas da casa, como por exemplo, os cálculos aritméticos e a porcentagem. Portanto, os grupos focais foram instrumentos de coleta de dados utilizados para retomar as discussões a respeito das atividades profissionais dos pais ou responsáveis pelos participantes dessa pesquisa. O aluno B12 afirmou que meu pai é tesoureiro, confirmando informação fornecida em resposta ao item 11 do questionário II, que perguntava sobre as atividades profissionais dos pais. Nesse questionário, esse aluno responde que tanto meu pai quanto minha mãe utilizam a matemática na área em que trabalham, O meu pai é tesoureiro e minha mãe administradora. Esses instrumentos também foram importantes para o esclarecimento sobre a presença de conceitos e procedimentos matemáticos utilizados nos afazeres cotidianos desses profissionais. Por exemplo, um aluno não identificado comentou que meu pai desenha (...) desenho técnico de empresas (...) e meu padrasto tem uma firma, então eles devem calcular o comprimento de alguma coisa. O aluno B20 afirmou que o pai utiliza matemática no carregamento de mercadorias. Por outro lado, na tentativa de conectar as ideias matemáticas utilizadas pelo pai na profissão com a matemática aprendida na escola, o aluno A6 argumenta que o seu pai (...) também usa muita matemática, (...) no cálculo do peso da viga (...) e no momento vetor (...). A partir desse comentário, o professor-pesquisador questionou esse aluno sobre a profissão do pai. O aluno respondeu que o pai é dono de uma fábrica de materiais de construção, pré-moldados. Então, na elaboração da atividade 1 do Registro Documental III, o professor-pesquisador utilizou os fundos de conhecimento

188 188 desse aluno que, além dessas informações, forneceu outras por meio de uma conversa em um chat no MSN. Nesse caso, a conversa online possibilitou o esclarecimento de algumas dúvidas relativas aos fundos de conhecimento desse aluno. A análise dos dados mostra que a utilização da internet é um fator importante na vida dos participantes desse estudo, pois, por meio de respostas dadas à questão dez 95 do questionário I, tem-se que 56 (80%) alunos possuem computadores em casa e que 57 (81,43%) participantes acessam a internet pelo menos uma vez por dia. Portanto, esse ambiente virtual possibilitou que o professor-pesquisador entrasse na casa do aluno para obter informações mais precisas de seus fundos de conhecimento (MOLL et al, 1992). Assim, foi realizada uma conversa pelo MSN, no dia 30 de dezembro de 2011 às 11 horas e 36 minutos, na qual o aluno A6 forneceu informações importantes a respeito das atividades realizadas pelo pai, que trabalha com a construção de lajes pré-moldadas. Então, de acordo com as informações obtidas por meio desse aluno, existem três tipos de laje, convencional, treliça e minipainel treliçado. Esse aluno também afirmou que a laje convencional com cerâmica é a mais básica de todas e, também, a mais fraca em comparação com as outras. Os preços dos tipos de lajes foram fornecidos por esse aluno e organizados no quadro 26 pelo professor-pesquisador. Quadro 26: Preços dos diversos tipos de laje fornecidos pelo participante A Análise dos Dados e Resultados da Atividade I 95 Você possui computador em casa? ( ) sim ( ) não

189 189 O objetivo principal dessa seção é apresentar e analisar os dados, mostrando os resultados obtidos no decorrer dessa análise Item (a): Se, a princípio, uma laje tem um metro quadrado de área, qual será o comprimento do lado do quadrado formado? A análise dos dados mostra que não houve resposta incorreta para esse item da Atividade I do Registro Documental III. Contudo, a diferença verificada entre as respostas estava relacionada à justificativa dada para o valor encontrado, que ocorreu em virtude da utilização de fórmulas, por meio de desenhos ou com a utilizaçãode justificativa verbal. O quadro27 mostra as diversas maneiras de resolução do item (a) dessa atividade. Quadro 27: Diversas maneiras de resolução apresentadas pelos alunos ao item (a) da atividade I Por exemplo, a aluna B15 respondeu utilizando a linguagem verbal e retórica, afirmando que como a área do quadrado valendo 1m, fazendo base vezes altura (b. h) sabemos que o lado vale 1 metro. Por outro lado, a aluna A13 respondeu que determinou a resposta por meio de fórmulas algébricas e desenho conforme mostra a figura 79.

190 190 Figura 80: Resposta dada pela participante A13 Por outro lado, 18 (32,73%) participantes utilizaram o desenho de um quadrado para ilustrar a resposta que determinaram. A figura 80 mostra a resposta dada pela aluna B5. Figura 81: Resposta dada pela participante B Item (b): Qual deverá ser a medida do lado de outra laje com formato quadrado, porém com o dobro da área? O quadro 28 mostra as diversas maneiras que os participantes utilizaram para resolver o item (b) dessa atividade.

191 191 Quadro 28: Diversas maneiras de resolução do item (b) da atividade 1 De acordo com a análise dos dados, 17 (30,9%) participantes utilizaram fórmulas para o cálculo, fornecendo a resposta como um número irracional aproximado. Por exemplo, a figura 81 mostra como a aluna B13 resolveu essa situação-problema. Figura 82: Resposta dada pela aluna B13 A análise dessa resolução revela que essa aluna utilizou uma fórmula para a área do quadrado e determinou a resposta com o valor aproximado de 1,4. Os dados também mostram que, para esse item, 5 (9,1%) alunos determinaram a resposta correta, porém com um diagrama equivocado. A figura 82 mostra como a aluna A7 resolveu essa situação-problema, dobrando a área do quadrado original, ao mesmo tempo em que determinou que o lado do novo quadrado seria também o dobro.

192 192 Figura 83: Resposta dada pela aluna A7 Historicamente, de acordo com Eves (1962), os atenienses teriam que dobrar o volume de um cubo para acabar com uma peste que afligia os gregos. Então, dobraram a medida da aresta, multiplicando por oito o volume desse cubo, mas não conseguiram realizar a tarefa proposta pelo oráculo de Apolo. Pode-se afirmar, então, que a História da Matemática auxiliou o professor-pesquisador no entendimento da resolução determinada por esses alunos, de dobrar o lado do quadrado original, já que isso pode representar um possível conflito conceitual matemático ocorrido na história. Nesse sentido, por meio de anotações do caderno de campo do professorpesquisador, durante a discussão com os participantes de um dos grupos focais sobre a resolução desse item, a aluna B9 argumentou que todos os alunos do grupo pensaram na possibilidade de dobrar o lado do quadrado original, mas reavaliaram esse posicionamento. Essa aluna escreveu no verso de sua folha de resolução que a princípio acreditamos que, no exercício 1b, o lado seria 2, mas isso é impossível já que a área seria 4 vezes maior. Então, por meio da discussão que o grupo de alunos realizou sobre esse assunto, os participantes puderam perceber que a nova área do quadrado seria quadruplicada. Nesse sentido, para resolverem com exatidão essa situação-problema, os alunos decidiram empregar a fórmula da área do quadrado com a utilização de uma linguagem retórica. Posteriormente, utilizaram a linguagem simbólica e determinaram a resposta com a utilização de símbolos matemáticos. A figura 83 mostra a resolução dessa situação-problema pelos participantes do grupo, sendo o exemplo a resolução feita pela aluna B9.

193 193 Figura 84: Resposta dada pela aluna B9 Do lado esquerdo da figura 71, verifica-se a representação em desenho realizada pela aluna B9, enquanto que do lado direito dessa figura, verifica-se o emprego da fórmula retórica, comprimento² = área, utilizando uma sequência de operações empregadas de acordo com a fórmula utilizada, mas escrita em linguagem coloquial, para assim, determinar o resultado de 1,4, que é diferente do que se havia pensado inicialmente, no grupo, pois pensou-se em dobrar a medida do lado do quadrado. Contudo, 3 (5,45%) alunos não estiveram atentos a esse fato e responderam que o lado era o dobro do lado do quadrado original, pois a sua a área também seria o dobro. Por exemplo, o participante B16 afirmou que a resposta é 2m, pois se no primeiro lado do quadrado vale o dobro, então a resposta será 2m. Assim, a análise dessa resolução mostra que esse aluno acredita que, dobrando a medida do lado do quadrado original, a sua área também dobrará. Por outro lado, a aluna B37 é uma das 3 (5,45%) alunas que utilizou fórmulas e diagramas para auxiliar na resolução desse item. Esses alunos elaboraram o diagrama, que continha um quadrado de área 2 m² e lado feita pela aluna A37. 2 m. A figura 84 mostra a resolução Figura 85: Resposta dada pela aluna A37

194 194 A resposta decimal foi dada por 2 (3,62%) participantes, que apresentaram a resposta retórica para justificar a resolução dada para esse item. Por exemplo, a aluna B25 responde que o comprimento do lado do quadrado deve ser aproximadamente 1,4 m, pois (1,4)² é, aproximadamente, igual a 2. A análise dos dados mostra que, para as respostas determinadas corretamente, 2 (3,62%) alunos utilizaram um diagrama por meio do qual houve a disposição de dois quadrados colocados lado a lado para uma melhor visualização da situação-problema proposta. Contudo, observa-se uma diferença entre as respostas dadas pela aluna B43 e pelo aluno A12. Por exemplo, a aluna B43 respondeu essa questão com a utilização de uma raiz quadrada, aproximando o seu valor em forma de número decimal. Por outro lado, o aluno A12 utilizou a fórmula do cálculo da área de um quadrado, ilustrando essa situação com outro quadrado de área 2m². Contudo, esse aluno determinou, erroneamente, que o lado do outro quadrado era igual a 2m, encontrando a resposta sem a extração e a aproximação da raiz quadrada de dois. As respostas dadas por esses alunos são mostradas nas figuras 85 e 86. Figura 86: Resposta dada pela aluna A43 Figura 87: Resposta dada pelo participante A12 A análise desses dados mostra que 2 (3,62%) participantes utilizaram o desenho de um quadrado para entender que não bastava dobrar a medida do lado do quadrado, pois essa área não dobraria. Nessa perspectiva, o apelo ao desenho parece ter auxiliado

195 195 esses participantes na resolução algébrica desse item e, assim, perceberem que o quadrado com o dobro do lado terá o quádruplo da área. No item classificado como Resposta correta, porém com um diagrama equivocado as respostas dos 5 (9,1%) alunos foram dadas por meio de cálculos que utilizaram a fórmula da área de um quadrado. Contudo, um diagrama foi elaborado pelos alunos para auxiliá-los na representação e resolução dessa questão. Esse diagrama continha um quadrado, cujo lado valia o dobro do lado do quadrado original. Porém, os dados coletados não possibilitaram o entendimento do porquê dos valores atribuídos para as fórmulas utilizadas na resolução dessa situação-problema. Mais uma vez, a História da Matemática auxiliou o professor-pesquisador a entender o motivo da utilização do diagrama, no processo de resolução desse problema, pois existe uma tendência de se dobrar o lado do quadrado quando se quer dobrar a sua área. Nesse sentido, a análise dos dados também mostra que, ao responderem sobre o significado do dobro do lado de um quadrado, o aluno B16 alegou que se a área do quadrado dobrou, então o seu lado também deveria ser dobrado. Esse é um equívoco que também ocorreu na História da Matemática (EVES, 1962) Item (c): Com base nas informações, como você representaria matematicamente a situação descrita? Para esse item foi apresentado um texto introdutório, a partir das informações coletadas em uma conversa no MSN ocorrida com o participante A9, no dia 30 de dezembro de A figura 87 mostra o texto introdutório do item (c). Figura 88: Texto introdutório ao item (c) da atividade 1

196 196 No decorrer da realização dessa atividade, o aluno A6, que forneceu informações em relação aos fundos de conhecimento de sua família sobre a construção civil, percebeu que havia um erro no enunciado da questão. Então, esse aluno informa que o piso não seria ESP, mas sim EPS. Essa informação equivocada se deve ao fato de que o aluno trocou as letras desse tipo de laje em uma de suas falas, em conversa no MSN. Nessa conversa, o aluno A6 demonstrou conhecimento sobre o assunto que estava sendo conversado, ao explicar o que é o ESP, como pode ser visto no diálogo a seguir: Aluno diz: tem ela [laje] com EPS Tb os outro tipos de laje pré-fabricada Professor-pesquisador diz: ah tah Aluno diz: e ta saindo a R$ 21,50 com tijolo cerâmico, R$ 24,00 com ESP ecológico e com 40% de matéria reciclado, e a R$ 25,50 com ESP moldado 100% virgem Professor-pesquisador diz: o que é ESP? E o que quer dizer moldado virgem? Aluno diz: isopor moldado sai de um molde na fabrica de isopor virgem a primeira vez que e feito, ou seja novo Observa-se que houve uma troca de letras pelo aluno e, em seguida, pelo professor-pesquisador, que utilizou a informação equivocada na elaboração da atividade. Essa informação errônea foi corrigida pelo aluno no momento em que eles estavam resolvendo essas questões. A utilização de alguns dos fundos de conhecimento desse aluno referentes às tarefas profissionais foi útil para que tivesse a oportunidade de compartilhar com os colegas os conhecimentos que possui e que foram transmitidos por seus familiares em suas atividades profissionais diárias. Ressalta-se, portanto, a potencialidade existente nos fundos de conhecimento para utilização na elaboração de atividades curriculares (MOLL et al, 1992). Para isso, o professor-pesquisador buscou informações em relação ao aluno, porém, não como professor, mas como uma pessoa que gostaria de entender o que se passa no cotidiano desse aluno e de sua família, conforme proposto por Gonzáles et al (2001). O quadro 29 mostra as diversas maneiras utilizadas pelos alunos para a resolução do item (c) da atividade 1:

197 197 Quadro 29: Diversas maneiras de resolução do item (c) da atividade 1 A quantificação de dados mostra que 28 (50,91%) participantes representaram essa situação por meio de uma relação proporcional. Dentre as respostas dadas, destacam-se aquelas determinadas por 4 (7,27%) alunos, que encontraram o valor de R$ 47,04 para o preço de uma laje de dois metros quadrados. Nessa perspectiva, esses alunos utilizaram o valor de 1,96 m², que é o valor que se obtém para a determinação da área do quadrado, admitindo-se que o lado do quadrado tem medida de 1,4 metros Item (d): Como pode ser elaborada uma representação matemática para essa situação 96? O quadro 30 mostra as respostas dadas pelos participantes para esse item. 96 O casal foi a uma empresa de pré-moldados, situada na cidade de Ouro Preto, para fazer o orçamento das duas áreas de um determinado quadrado, que tem um metro quadrado de área e, de outro,com o dobro dessa área. Conversando com os vendedores, foram informados de que existem três tipos de lajes: a convencional, a treliça e a minipainel treliçado. Sabe-se que a laje convencional é a mais barata, porém a mais fraca. No entanto, por uma questão de economia, eles resolveram que usariam a laje convencional. Sabe-se que os preços do metro quadrado dependem do tipo do piso, como, por exemplo: R$ 21,50 com tijolo cerâmico; R$ 24,00 com ESP ecológico e 40% material reciclado e R$ 25,50 com ESP moldado e 100% virgem.

198 198 Quadro 30: Respostas dadas pelos alunos ao item (d) da atividade 1 Da tabulação das respostas dadas anteriormente, 44 (80%) dos 55 participantes que responderam esse questionamento, entendem que a escrita simbólica é a representação matemática dessa situação. É importante ressaltar que 15 (21,43%) dos 70 alunos não responderam a esse questionamento. Os dados analisados revelam que a representação dessa situação-problema não foi utilizada por 11 (20,01%) participantes, dos quais 5 (45,45%) não a responderam, enquanto que 5 (45,45%) a explicitaram de maneira retórica. Essa análise também mostra que 1 (9,1%) dos 11 alunos utilizou um desenho para representar essa situaçãoproblema, no entanto, sem uma explicação adequada para essa resolução, que é uma das representações apontadas por Flores (2006) para a representação matemática de funções. A figura 88 mostra a resposta da participante A7, que utilizou o desenho de um quadrado de lado 40 l e uma solução algébrica para essa situação.

199 199 Figura 89: Resposta dada pela participante A7 A falta de dados para serem analisados dificultou o entendimento do professorpesquisador sobre os valores numéricos atribuídos por essa aluna para o diagrama que representa o lado e a área do quadrado da situação-problema proposta, pois não foi realizada uma entrevista de acompanhamento para verificar, detalhadamente, o processo de resolução utilizado por ela para resolver esse item. Por outro lado, a maneira retórica de resolução para esse item foi utilizada por 5 (9,1%) participantes. Por exemplo, o aluno B16 representou matematicamente essa situação-problema, utilizando uma fórmula retórica ao escrever 2 vezes o valor da área mais 24,00 x. Esse aluno utilizou uma notação retórica como empregada por Al- Khowarizmi para expressar as fórmulas usadas na resolução de situações-problema propostas (BELL, 1992). Uma análise detalhada dos dados mostra que dentre os 7 (12,73%) participantes que escreveram x 2 z y como resposta, 5 (71,43%) deles não determinaram o significado das variáveis, pois simplesmente escreveram a fórmula de resolução como a resposta final para o problema. Porém, 2 (28,57%) desses alunos escreveram o que esses valores representavam. A figura 89 mostra a resposta do aluno A12, que apresenta a fórmula x 2A y com o significado de cada símbolo. Figura 90: Resposta dada pelo participante A Item (e): Como você pode relacionar, matematicamente, o comprimento da laje com o formato do quadrado e com o preço cobrado pela empresa? O quadro 31 contém as variadas respostas dadas pelos alunos e sua frequência.

200 200 Quadro 31: Respostas apresentadas ao item (e) A análise dos dados mostra que os 15 (27,28%) alunos que escreveram em linguagem coloquial verbal responderam que o preço da laje varia de acordo com o tamanho do comprimento do lado e relacionaram as medidas do comprimento, área e preço. Por exemplo, a resposta dada pelo aluno B26 ilustra essa afirmação ao argumentar que quanto maior é o comprimento da laje, maior o formato do quadrado e maior o preço cobrado pela empresa. Por outro lado, 1 (1,81%) aluna relacionou a situação descrita com uma função composta e escreveu ao final de sua explicação, em linguagem coloquial, os símbolos de função composta, entretanto, não especificou quais eram as funções a serem compostas. Além disso, em notas contidas no caderno de campo do professorpesquisador, tem-se que essa aluna buscou o auxílio do professor para verificar se essas funções estavam relacionadas e se representavam funções compostas. Já o aluno A2, após ter respondido que quanto maior o comprimento da laje, maior o quadrado e mais caro o valor cobrado pela empresa acrescentou, em uma nota entre parênteses, que não sabe representar matematicamente. O mesmo procedimento foi realizado por esse aluno no item f dessa atividade, que solicitava aos alunos uma relação matemática da área da laje com o formato quadrado e o preço cobrado pela empresa. Contudo, os dados coletados não foram suficientes para afirmar se, para o aluno A2, representar matematicamente significava a representação de funções por meio de fórmulas e símbolos matemáticos.

201 Item (f): Como você pode relacionar, matematicamente, a área da laje com o formato quadrado e com o preço cobrado pela empresa? O quadro 32 mostra as respostas dadas pelos 55 participantes desse estudo ao item (f) da atividade 1 e as respectivas frequências. Quadro 32: Respostas dadas pelos participantes ao item (f) Em relação aos 4 (7,27%) alunos que escreveram uma fórmula em linguagem verbal, o aluno A22 comentou que a cada metro quadrado haverá um acréscimo de R$ 24,00. Além disso, o aluno B12 afirmou que a área do quadrado é o lado ao quadrado. Cada metro quadrado de piso é R$ 24,00. Pela observação dos dados, conclui-se que, dentre os 25 (45,46%) participantes que utilizaram uma notação simbólica, destacam-se 16 (64%) alunos, que escreveram 24 a x, definindo as variáveis, sendo que a representa a área da laje e x representa o preço total a ser pago. Utilizando uma representação simbólica, 4 (16%) dos 25 participantes utilizaram a notação n 2 z, definindo o significado de cada letra. Por exemplo, a figura 90 mostra como a aluna B29 resolveu essa situação-problema.

202 202 Figura 91: Resolução dada pala aluna B29 A análise dos dados também mostra que a aluna A35 utilizou a linguagem simbólica, relacionando o significado de cada símbolo com uma equação do segundo grau em relação ao lado do quadrado, escrevendo que x l² 24. Por outro lado, no item anterior, essa participante utilizou a linguagem verbal ao relacionar o comprimento da laje com o formato do quadrado e, também, com o preço dessa laje, ao argumentar que o comprimento da laje é a raiz da área e a área multiplica o valor do metro² cobrado pela empresa. Nesse sentido, no item seguinte, essa aluna afirmou que essas relações representam funções. Assim, de acordo com essa aluna, a função de primeiro grau é a do preço e área e a de segundo grau é a do preço com o comprimento do lado. A análise desses dados mostra que essa notação corresponde a uma função composta, na qual as funções envolvidas nessa composição foram expressas e apresentadas no item (e) dessa atividade. O aluno A20 e um aluno não identificado utilizaram a representação gráfica para expressar a representação matemática dos itens (d), (e) e (f) dessa atividade, no verso da folha de respostas de representações algébricas. Porém, esses alunos utilizaram outros tipos de representações na parte frontal dessa folha. Dos dados obtidos na entrevista realizada no dia 20 de janeiro, percebeu-se a dúvida do aluno A20, que afirmou não entender o significado da notação atual de função f(x),que foi criada por Euler. A figura 91 mostra como esses participantes representaram graficamente essas situações. Figura 92: Representação gráfica elaborada pelo aluno A20 e pelo aluno não identificado para os itens (d), (e), (f)

203 203 Analisando esses gráficos, o domínio da função dos itens (d) e (f) foi determinado como sendo os números reais positivos, contudo, os planos cartesianos não apresentam esse tipo de escala em sua construção. Por outro lado, no item (e) foi realizada a representação de uma função do segundo grau, que, no entanto, não representa a situação-problema proposta, pois representa uma função sem raízes reais e sem pontos destacados no gráfico. Contudo, não existem dados suficientes para a análise dessa situação, que permitam determinar o domínio da função representada no item (e) pelo aluno A20 e outro não identificado Item (g): Essas relações representam funções? De que tipo? Como é a representação dessas funções? O quadro 33 mostra as respostas dadas pelos participantes a esse item e a frequência de cada uma. Quadro 33: Respostas dadas pelos estudantes ao item (g) da atividade 1 Os dados do quadro 33 mostram que 18 (32,73%) participantes responderam que essas relações representavam uma função do primeiro grau, sendo que 3 (16,67%) desses participantes representaram graficamente essa situação. No entanto, 1 (5,55%)

204 204 desses participantes representou essa função graficamente, escrevendo a fôrmula algébrica, destacando o domínio dessa função. A figura 92 mostra a resposta dada pelo aluno A22, que está atento para o domínio da função, corretamente determinado na forma algébrica ao escrever que o domínio é dado por x 0e, também, graficamente. Figura 93: Respostadada pelo aluno A22 O aluno A22 foi um dos participantes entrevistados no dia 13 de janeiro de Nessa entrevista, esse aluno havia respondido que não via sentido nos símbolos matemáticos, mas que depois que viu um exemplo de domínio de função conseguiu entender o significado e utilidade de alguns desses símbolos. A análise dos dados revela que esse aluno resolveu essa situação-problema com auxílio de outro aluno, pois a atividade foi realizada em dupla. Esses alunos escreveram uma fórmula algébrica, com a utilização de símbolos, para representar a função, destacando que o domínio da função são os números positivos maiores ou iguais a zero. Contudo, em resposta dada ao item (f) dessa atividade, esses mesmos alunos escreveram uma fórmula matemática retoricamente, com a utilização de palavras, pois afirmaram que para cada metro quadrado haverá um acréscimo de R$ 24,00. Nesse sentido, a revisão de literatura desse estudo permite que se formule a hipótese de que o aluno A22 esteja construindo as noções da simbologia matemática. Esse fato mostra a evolução do entendimento desse aluno sobre a utilização dos símbolos, porém, recorrendo ainda à escrita retórica para expressar algumas situações que foram propostas nas atividades iniciais desse estudo. Com relação aos 18 (32,73%) alunos que responderam que essas relações representavam uma função do primeiro grau, destaca-se a resposta de 1 (5,55%) desses participantes, que afirmou que a situação dada representava uma função do 1º grau, determinando a forma geral de uma função desse tipo, ao escrever que f ( x) ax b. A

205 205 análise dos dados também mostra que 4 (22,22%) desses 18 alunos justificaram que a situação proposta representava uma função do primeiro grau. Por exemplo, o aluno B16 afirmou que essa era uma função do primeiro grau, pois o seu gráfico era uma reta e a variável não está elevada ao quadrado. De acordo com essa análise, 3 (16,67%) alunos apenas afirmaram que a situação proposta era representada por uma função do primeiro grau, por ser uma reta. Os demais 5 (27,78%) participantes não justificaram ou apresentaram outra representação para esse item. Por outro lado, 6 (10,91%) participantes responderam, separando as funções dos itens (d), (e) e (f), e escreveram as fórmulas algébricas de cada um deles, classificando os itens (d) e (f) como funções do primeiro grau e o item (e) como uma função do segundo grau. Além disso, outros 6 (10,91%) participantes responderam que as funções são do primeiro grau e do segundo grau. Por exemplo, a aluna A39 justificou que a situação proposta nos itens (d) e (f) era uma de primeiro grau, pois era uma função da área pelo preço. A figura 93 mostra como essa aluna representou graficamente essa função. Figura 94: Gráfico elaborado pela aluna A39 Essa mesma aluna respondeu que o item (e) representava uma função do segundo grau, pois l² pelo preço. Contudo, a aluna A35 respondeu esses questionamentos retoricamente com a utilização de palavras, ao afirmar que essas situações representavam uma função de primeiro grau, a do preço e área; e de segundo grau, a do preço com o comprimento do lado. Continuando com a análise dos dados, nota-se que 8 (14,53%) participantes responderam que as situações descritas nessa atividade representavam uma função do segundo grau e apresentaram, também, uma fórmula algébrica para essas situações.

206 206 Porém, o professor-pesquisador não conseguiu entender o significado da fórmula apresentada, visto que os alunos utilizaram uma mesma variável (x) para representar duas variáveis diferentes. A figura 94 ilustra a resposta dada pela participante A13, e mostra a utilização das variáveis por essa aluna, que especificou o que cada variável representava na situação-problema proposta. Figura 95: Resposta dada pela participante A Atividade 2 A figura 95 mostra o diagrama de elaboração da atividade 2, de acordo com as teorias e instrumentos de coleta de dados utilizados nesse estudo. Figura 96: Diagrama de elaboração da atividade 2 do Registro Documental III A História da Matemática A História da Matemática aparece de maneira explícita na atividade 2 deste registro documental, pois é apresentada uma situação-problema idêntica àquela enfrentada por civilizações passadas (FERREIRA e RICH, 2001 apud DAMBROS,

207 ), embora a contextualização dessa situação não seja a mesma que essas civilizações tenham enfrentado em um determinado período da história da humanidade. Esse fato permitiu que o professor-pesquisador estabelecesse relações entre a maneira pela qual os alunos representaram as funções, como realizaram as atividades e como essa atividade foi desenvolvida por meio da medição da área de um círculo pelos matemáticos gregos da época, como por exemplo, Arquimedes e Eudoxo. De acordo com Cajori (2007), Arquimedes é considerado o matemático mais importante da antiguidade, nascido na cidade grega de Siracusa por volta do ano 287 a.c. Estima-se que esse matemático, que viveu aproximadamente 75 anos, escreveu o livro intitulado Medida do Círculo, no qual provou que a área de um determinado círculo é igual a de um triângulo retângulo, cuja base é dada pelo comprimento desse círculo e cuja altura é dada pelo seu raio. Esse método pode ser considerado como um dos primeiros passos para se calcular a área de um círculo qualquer. Porém, Karlson (1961) afirma que houve contestações de matemáticos da época, alegando que o comprimento da circunferência é incomensurável em relação ao seu raio. Contudo, esse autor argumenta que Eutóquio, contemporâneo de Arquimedes, contra ataca essas objeções, afirmando que, se o comprimento da circunferência tem uma determinada medida, então, pode ser comparado com a medida de outro segmento construído com a mesma medida. Além disso, Eutóquio também apresentou um exemplo prático por meio do qual o perímetro da circunferência é medido, pois o comprimento da circunferência pode (...) ser medido com um cordel, que seria então estendido em linha reta, de maneira semelhante ao que faz o costureiro, que mede os quadris de suas clientes com a fita métrica, reproduzindo a medida sobre a fazenda, em linha reta e com os melhores resultados! (KARLSON, 1961, p. 133). Porém, é preciso enfatizar que Arquimedes não conhecia a fórmula que é utilizada atualmente para calcular o comprimento do círculo. Além disso, esse matemático calculou o valor aproximado de como sendo 22. É importante salientar 7 que Arquimedes também encontrou barreiras para determinar o comprimento da circunferênica do círculo (KARLSON, 1961), pois os gregos não tinham conhecimento sobre os números incomensuráveis. Diante desse contexto, Karlson (1961) argumenta que existe a necessidade de considerar, nesse contexto, a aversão sagrada que os gregos sentiam pelas grandezas incomensuráveis (p.133), o que poderia ter causado

208 208 alguma dificuldade na resolução desse problema. No entanto, Arquimedes atacou esse problema de outra maneira, tentando solucioná-lo por meio da inscrição e circunscrição de figuras no círculo (KARLSON, 1961) Questionário I: Questão 10 A análise dos dados quantitativos mostra que as respostas dadas à questão 10 do questionário I foram dadas por 36 (54,13%) participantes da turma A e por 34 (48,57%) da turma B. Essas respostas estão quantificadas no quadro 8. Os dados analisados também mostram que 56 (80%) alunos afirmaram possuir computador em casa, sendo que 29 (41,43%) são da turma A e 27 (38,57%) da turma B. No entanto, nada pode ser concluído com relação aos 11 (15,71%) alunos que não responderam a essa questão, pois os dados coletados não foram suficientes para uma análise mais detalhada desse item Questionário I: Questão 11 A questão 11 do questionário I refere-se à frequência com que os alunos acessam a internet. A análise dos dados quantitativos mostra que os alunos acessam a internet com regularidade, pois 57 (81,43%) participantes da pesquisa utilizam esse recurso de comunicação virtual pelo menos uma vez ao dia. Desses, 26 (37,15%) alunos acessam a internet uma vez ao dia, enquanto que 31 (44,28%) participantes acessam essa mídia mais que uma vez por dia. O quadro 9 deste capítulo, ilustra a quantidade e os percentuais das respostas dadas pelos alunos das duas turmas, para esse questionamento Questionário I: Questão 12 A análise dos dados referentes às questões 10 e 11 do questionário I mostra que a maioria dos alunos, ou seja, 57 (81,43%) possuem computadores em casa e acessam a internet pelo menos uma vez ao dia. Por outro lado, a questão doze 97 do questionário I tinha como objetivo fornecer esclarecimentos para o professor-pesquisador sobre o objetivo com o qual os alunos acessam a rede mundial de computadores. Nesse sentido, 97 Com qual finalidade você navega na internet? ( ) ver ( ) chats e redes sociais ( ) pesquisar no Google ( ) ver notícias ( ) jogos ( ) ver sites de variados tipos. Quadro 34: Respostas dadas pelos participantes à questão 12 do Questionário I

209 209 os dados constantes no quadro 34 mostram que as pesquisas no Google e as visitas a chats e redes sociais são os destinos mais visitados pelos participantes dessa pesquisa. Os dados mostraram que 56 (80%) dos alunos possuem computador em casa e utilizam o computador com frequência regular, então foi possível para o professorpesquisador elaborar a atividade 2 desse registro documental. Essa atividade foi baseada na História da Matemática, com a utilização de recursos computacionais empregados atualmente no ensino da Matemática. Para isso, foi utilizada a versão 4.0 do software de geometria dinâmica denominado GeoGebra. Esse software foi utilizado para auxiliar o professorpesquisador na elaboração dessa atividade e, também, para ilustrar a situação-problema dada, com o objetivo de confirmar para os alunos o pensamento de Arquimedes com relação às áreas do círculo e do triângulo retângulo, cujos catetos são o raio e o comprimento da circunferência. Assim, o raio do círculo foi definido como sendo a variável pela ferramenta Controle Deslizante do software, que pode ser identificado pelo símbolo na barra de ferramentas do GeoGebra, permitindo que o raio do círculo varie de acordo com a medida que se queira trabalhar. Dessa maneira, as áreas do círculo e do triângulo retângulo também variam. A figura utilizada nessa atividade e apresentada aos alunos foi baseada em uma imagem disponibilizada no livro de Karlson (1961), que foi adaptada para os dias atuais, permitindo a utilização de ferramentas computacionais e, também, a generalização das construções geométricas. A figura 96 mostra essa representação, na qual K representa o círculo, r o raio e P o perímetro. Figura 97: Representação do círculo e do triângulo retângulo com áreas iguais

210 210 Fonte: KARLSON ( 1961, p.133) Na figura 97, pode-se verificar a afirmação de Arquimedes, cuja ilustração foi desenvolvida por meio do software GeoGebra. Nessa figura, o comprimento da circunferência tem a mesma medida do segmento BC, que é a base do triângulo ABC e o raio da circunferência é a altura desse triângulo retângulo. Figura 98: Ilustração da afirmativa de Arquimedes com a utilização do GeoGebra Então, para a verificação da afirmativa de Arquimedes, algumas ferramentas do software GeoGebra foram utilizadas para o cálculo das áreas do triângulo e do círculo. A figura 98 mostra que as áreas do círculo e do triângulo são de 12,57 unidades quadradas, pois se tem um círculo com raio medindo 2 unidades. Figura 99: Determinação das área do círculo e do triângulo Retângulo com a utilização de 2 unidades de medida

211 211 Na figura 99, tem-se que as áreas do círculo e do triângulo são de 32,17 unidades quadradas, pois foi utilizado um raio medindo 3,2 unidades. Figura 100: Determinação das área do círculo e do triângulo retângulo com a utilização de um raio de 3,2 unidades de medida O recurso Área do software permite calcular a área de qualquer polígono, círculo ou elipse. Esse procedimento foi útil ao professor-pesquisador, permitindo-lhe a visualização das áreas das duas figuras geométricas para a confirmação da asserção de Arquimedes a respeito das áreas das figuras em questão. Portanto, essas ilustrações auxiliaram o professor-pesquisador e os alunos a confirmarem a veracidade da afirmação de Arquimedes em relação ao cálculo da área de um círculo por meio do cálculo da área de um triângulo retângulo Item (a): Explicar como você pode calcular o comprimento da circunferência de um determinado círculo e, consequentemente, a sua área, se você dispõe somente de uma régua graduada ou um escalímetro? O quadro 35 mostra as respostas dadas pelos participantes a esse questionamento.

212 212 Quadro 35: Respostas dos participantes ao item (a) da atividade 2 Os dados mostram que 8 (14,55%) participantes afirmaram que recorreriam ao auxílio de uma corda para medir o comprimento da circunferência, 6 (10,61%) participantes não mencionaram como determinaram o cálculo da área e 2 (3,64%) participantes apresentaram maneiras equivocadas para esse cálculo. A aluna A31 mostrou conhecimentos em relação ao conceito de área do círculo, porém não conseguiu calculá-la de maneira correta. Contudo, essa aluna afirma que para determinar a área é preciso saber que a área é o preenchimento da circunferência, portanto ele deveria medir o raio e multiplicá-lo por 4. Por outro lado, a aluna B23 afirma que para determinar a área do círculo, primeiramente pego o comprimento e multiplico por ele mesmo. A utilização de cordas, pelos participantes, para medir o comprimento da circunferência pode ser comparado à maneira pela qual Eutóquio utilizou-as para medir esse comprimento (KARLSON, 1961). Dez (18,18%) participantes afirmaram que rolariam a circunferência para medir o seu comprimento. Por exemplo, o aluno A21 afirmou que para determinar esse comprimento é necessário marcar um ponto no círculo e depois girá-lo até chegar ao ponto marcado. Posteriormente, para determinar o comprimento da circunferência desse círculo meça com uma régua o comprimento que o círculo estiver andado. Por meio de informações anotadas no caderno de campo do professor-pesquisador, esse método de determinar o comprimento da circunferência foi realizado por esses alunos no ano de 2011, durante uma aula de Física Experimental, na qual esses alunos tiveram que descobrir como determinar o comprimento de uma circunferência.

213 213 Dessa maneira, percebe-se que um conhecimento obtido pelos alunos na escola pode tê-los influenciado na resolução da atividade proposta, pois passou a ser um elemento de seus fundos de conhecimento, como membros do grupo sociocultural no contexto escolar. Entretanto, para o cálculo da área do círculo, esses participantes não apresentaram uma solução satisfatória, ou seja, não chegaram à resposta correta para essa situação-problema. A análise desses dados também mostra que 5 (9,1%) alunos utilizaram as informações contidas no enunciado dessa atividade com relação à definição de para calcularem a área da circunferência. A figura 100 mostra como a aluna B39 determinou a fórmula que representa a área do círculo como sendo igual à área do triângulo retângulo. Essa mesma aluna utilizou uma escrita retórica para a definição de e, em seguida, reescreveu o diâmetro do círculo como 2R. Figura 101: Resposta dada pela aluna B39 A utilização da fórmula algébrica para a determinação do comprimento da circunferência foi realizada por 5 (9,1%) alunos, que nãos e preocuparam com a justificativa da origem dessa fórmula e nem com outras estratégias para resolverem essa situação-problema. Além disso, esses alunos não apresentaram justificativas para o cálculo da área da circunferência do círculo da atividade proposta. Contudo, 7 (12,72%) alunos utilizaram fórmulas algébricas para determinarem os cálculos do comprimento e da área, porém, realizados de maneira retórica. Por exemplo, a aluna A39 respondeu que para determinar o comprimento da circunferência deve-se multiplicar o diâmetro (d) ou duas vezes o raio (r) por enquanto que para determinar a área do círculo deve-se efetuar a multiplicação de pelo raio ao quadrado. Por outro lado, 10 (18,18%) participantes afirmaram medir o raio do círculo para calcular o comprimento da circunferência e a área do círculo com a utilização de instrumentos de medição disponíveis, como por exemplo, a régua ou o escalímetro para,

214 214 posteriormente, efetuar esses cálculo com o emprego de fórmulas específicas para essa situação. Assim, o escalímetro foi referenciado no enunciado da questão por ser um instrumento muito utilizado pelos alunos, que estão matriculados no curso de Técnico em Edificações. De acordo com a matriz curricular desse curso, os alunos têm que ser matriculados na disciplina de Desenho Técnico, para a qual o escalímetro é material obrigatório Item (b): Como você pode escrever matematicamente a relação existente entre o raio do círculo e a sua área? O quadro 36 mostra as respostas dadas pelos participantes para esse questionamento. Quadro 36: Respostas dadas pelos participantes ao item (b) da atividade 2 Esses dados mostram que 13 (23,64%) participantes utilizaram as informações contidas no texto introdutório para resolver essa atividade e afirmaram que a área do círculo é dada pela metade do produto da base (comprimento da circunferência) pela altura (raio). Entretanto, esse relacionamento foi enunciado de maneira simbólica pela aluna B39. A figura 101 mostra como essa aluna determinou o relacionamento entre a área e a circunferência do círculo. Figura 102: Resposta dada pela participante B39 De acordo com essa análise, 3 (5,45%) alunos utilizaram uma fórmula escrita em palavras e de maneira simbólica. Esses alunos utilizaram a escrita retórica em

215 215 detrimento ao uso de símbolos convencionais. Por exemplo, a figura 102 mostra como a aluna B43 utilizou a estrutura das fórmulas matemáticas, porém, com as variáveis escritas retoricamente. Figura 103: Resposta dada pela participante B Item (c): A relação descrita anteriormente é uma função? De que tipo? Explique a sua resposta O quadro 37 mostra como os participantes responderam a esse item. Quadro 37: Respostas dos participantes ao item (c) Os dados analisados mostram que 5 (9,1%) alunos afirmaram que a situação descrita representa uma função. A aluna A19 afirmou que a situação-problema proposta é uma função, pois há variáveis como o raio. Já a aluna A25 justificou que essa situação é uma função por causa de sua definição ao escrever que para cada valor de r temos um único valor para A igual a y. Aproxima-se, portanto, do conceito de função elaborado por Dirichlet em 1837, que é adotado atualmente. No entanto, 6 (10,91%) participantes responderam que essas relações representam uma função do primeiro grau. Por exemplo, a aluna B39 respondeu que essa relação é uma função do primeiro grau, pois o valor de R não é uma constante porque varia. O aluno A2 afirmou que se trata de uma função de 1º grau, pois para cada valor para o raio há um valor para a área. Historicamente, a justificativa dada pela aluna B39 se aproxima da definição de função estabelecida por Bernoulli em 1718, na qual afirmou que uma função é uma quantidade

216 216 composta por variável e constante. Contudo, na resposta dada por essa aluna, houve uma restrição em sua justificativa, pois considerou somente a variável, ignorando que existem constantes em funções e, também, funções que são constantes. Dentre os 20 (36,36%) alunos que responderam que as relações representavam funções do segundo grau, 3 (15%) desses alunos forneceram três tipos diferentes de justificativas e 6 (30%) alunos responderam que essas relações representavam uma função do 2º grau. A aluna A29 respondeu que é função de segundo grau com r, porque a área aumenta de forma quadrática. Os dados também mostram a atenção dos participantes com relação à resolução dessa situação-problema, pois definiram o domínio da função como sendo os números reais positivos, escrevendo simbolicamente essa afirmação. Nessa perspectiva, 20 (36,6%) alunos afirmaram que a relação era do segundo grau, pois continha variáveis. Por exemplo, a aluna A23 argumentou que era uma equação do 2º grau, pois existem variáveis de qualquer valor. Finalmente, 4 (20%) alunos afirmaram que a função era do segundo grau, fizeram a representação gráfica da função e destacaram o domínio na forma algébrica e gráfica. A figura 103 mostra a resposta dada pela aluna A17 para esse questionamento. Figura 104: Resposta dada pela participante A17 A análise dos dados revela que 22 (40%) alunos não responderam aos três itens dessa atividade, determinando, dessa maneira, um número alto de participantes que se abstiveram de responder esses questionamentos. No entanto, algumas hipóteses podem ser levantadas para tentar explicar esse fato. Uma hipótese aceitável é em relação ao tempo necessário para que os alunos pudessem concluir as duas atividades desse registo documental, pois ela foi realizada em duas horas/aula, ou seja, uma hora e quarenta minutos. O gráfico 1 mostra um crescimento em relação à quantidade de alunos que não responderam aos itens das atividades 1 e 2 desse registro documental.

217 217 Gráfico 1: Quantidade de alunos que não responderam aos itens das atividades 1 e 2 propostas no Registro Documental III Fonte Dados do professor-pesquisador Os dados desse gráfico mostram um aumento de respostas em branco, principalmente nos últimos dois itens da primeira atividade e um aumento considerável de alunos que deixaram de responder aos itens (b) e (c) da segunda atividade. Ao mesmo tempo em que se tem um elevado número de alunos que deixaram de responder a esses itens, tem-se um aumento percentual ainda maior, pois a quantidade de participantes diminuiu na realização dessas atividades Análise das Representações Gráficas das Atividades propostas nos Registros Documentais I, II e III Em relação aos gráficos construídos pelos participantes desse estudo, o item (f) da atividade 1 do Registro Documental I questionava sobre a representação matemática que relacionava o número de alunos com o valor que cada um deveria pagar pelo almoço. Diante desse questionamento, os dados mostram que 11 (17,19%) dos participantes representaram essa situação graficamente. Desses, 4 (36,36%) participantes utilizaram gráfico de barras. A figura 92 mostra como o aluno A30 elaborou o gráfico desse item

218 218 Figura 105: Resposta dada pelo aluno A30 ao item (f) da atividade 1 proposta no Registro Documental I Porém, 7 (10,93%) desses alunos resolveram essa situação com a representação gráfica dos dados no plano cartesiano por meio de uma reta. Contudo, esses alunos não estavam atentos sobre a condição de continuidade da reta. A figura 21, que mostra a resolução dessa situação pelo aluno A26, representa essa dificuldade. Em relação ao item (c) da atividade 3 do Registro Documental I, a aluna B25 representou essa situação graficamente, da mesma maneira que resolveu a atividade 1. A figura 33 contém a representação gráfica da aluna B25. A análise dos dados do item (d), Como seria a representação gráfica dessa situação?, mostra que a representação gráfica requerida nesse item apresentou diversas peculiaridades e diferenças nas respostas. Por exemplo, 3 (4,68%) alunas elaboraram um gráfico discreto com o valor da passagem do ônibus colocado no eixo das abscissas e a quantidade de passageiros no eixo das ordenadas. O gráfico constante na figura 105 traz a representação elaborada pela aluna A23. Figura 106: Gráfico elaborado por A23 ao item (c) da atividade 3 proposta no Registro Documental I No entanto, 1 (1,61%) desses participantes, a aluna A27 foi mais detalhista, pois destacou os pontos para representar as coordenadas x e y. A figura 106 mostra como essa aluna utilizou a representação gráfica para responder a esse item.

219 219 Figura 107: Resposta da participante A27 ao item (c) da atividade 3 proposta no Registro Documental I Ainda em relação a esse item, 1 (1,56%) participante, a aluna A35 traçou um gráfico contínuo e limitado, sendo que o eixo das abscissas representava o valor pago, enquanto que o eixo das ordenadas representava a quantidade de passageiros. A figura 107 mostra o gráfico elaborado por essa aluna. Figura 108: Gráfico elaborado pela participante A35 ao item (c) da atividade 3 proposta no Registro Documental I A análise dos dados também revelou que 7 (10,93%) alunos elaboraram um gráfico contínuo, no qual o valor da passagem do ônibus representava o eixo das abscissas e a quantidade de passageiros representava o eixo das ordenadas, sendo que o gráfico se iniciava na origem dos eixos ordenados. Por exemplo, a figura 108 mostra a resposta da participante A7 para esse item.

220 220 Figura 109: Gráfico da participante A7 ao item (d) da atividade 3 proposta no Registro Documental I Essa análise também demonstrou que 3 (4,68%) alunos elaboraram um gráfico contínuo como o da figura 108, porém utilizando, também, os quadrantes negativos. A figura 109 mostra como o aluno A4 elaborou o gráfico para representar essa situação. Figura 110: Gráfico elaborado pelo participante A4 ao item (d) da atividade 3 proposta no Registro Documental I Compartilhando esse tipo de raciocínio, 7 (10,93%) alunos construíram um gráfico contínuo, no qual o eixo das abscissas representava o número de passageiros e o eixo das ordenadas representava o valor pago. Porém, esses alunos somente destacaram, no gráfico, os pontos encontrados na tabela do gráfico, ou seja, para um, dois, cinco ou oito passageiros. A figura 110 mostra como a aluna A41 elaborou o gráfico que retrata essa situação.

221 221 Figura 111: Gráfico elaborado pela participante A41 ao item (d) da atividade 3 proposta no Registro Documental I Adotando uma representação menos sofisticada, 3 (4,68%) alunos somente esboçaram o gráfico da situação-problema, sem mencionar os valores nos eixos das abscissas e das ordenadas, pois realizaram essa representação por meio de uma reta. A figura 111 mostra o gráfico construído pela aluna B43 que ilustra essa representação. Figura 112: Gráfico elaborado pela participante B43 ao item (d) da atividade 3 proposta no Registro Documental II Contudo, 12 (18,75%) alunos construíram um gráfico contínuo, sendo que o valor da passagem do ônibus estava representada no eixo das ordenadas e a quantidade de passageiros, no eixo das abscissas. Esses alunos iniciaram a representação desse gráfico na origem dos eixos das abscissas. A figura 33 mostra o gráfico construído pela aluna B25 para exemplificar a representação de um dos 12 alunos referidos. Os gráficos de 2 (3,125%) alunos, B24 e B20, apesar de serem parecidos com o da figura 33, possuem uma particularidade de generalização para os pontos que foram nele destacados. Por exemplo, no gráfico elaborado pelo aluno B20, o ponto geral (y,x) é destacado. No entanto, convém observar que os eixos coordenados estão trocados. A figura 112 mostra como o aluno B20 representou essa situação.

222 222 Figura 113: Gráfico elaborado pelo aluno B20 referente ao item (d) da atividade 3 proposta no Registro Documental I De acordo com essa análise, 3 (4,68%) participantes construíram gráficos contínuos que tiveram como ponto de origem um passageiro e o valor de R$ 7,55, mas não o iniciaram na origem do plano cartesiano, como o mostrado na figura 113. A figura 113 mostra a representação gráfica da aluna A21 enquanto que a figura 114 contém a representação gráfica do aluno B8. Figura 114: Representação gráfica da aluna A21 ao item (d) da atividade 3 Registro Documental I Figura 115:Representação gráfica do participante B8 ao item (d) da atividade 3 do Registro Documental I A análise dos dados mostra que a diferença da representação mostrada na figura 113 daquela mostrada na figura 114 é que as variáveis foram trocadas em sua colocação

223 223 no eixo das abscissas e no das ordenadas. Já a figrua 115 mostra como a aluna B21 destaca a utilização do contínuo na representação que elaborou para essa situaçãoproblema. Figura 116: Gráfico elaborado pela aluna B21 ao item (d) da atividade 3 do Registro Documental I Nessa mesma linha de raciocínio, os gráficos de 2 (3,125%) alunos mostram a utilização da representação contínua, porém, com início no ponto (7,55; 0). A figura 116 mostra como a aluna A5 elaborou o gráfico para essa situação. Figura 117: Representação gráfica elaborada pela alunaa5 ao item (d) da atividade 3 do Registro Documental I A análise dos dados referentes a essa atividade revela que 11 (17,19%) alunos representaram o gráfico de maneira discreta, sendo que o eixo das abscissas representa o valor pago, enquanto que o eixo das ordenadas representa a quantidade de passageiros. A figura 117 mostra o gráfico elaborado pela aluna B3, que ilustra essa situação.

224 224 Figura 118: Representação gráfica da aluna B3 ao item (d) da atividade 3 do Registro Documental I Além das representações gráficas no plano cartesiano, 3 (4,68%) alunos realizaram essa representação por meio de um gráfico de barras. A figura118 mostra a representação elaborada pela aluna B33. Figura 119: Gráfico elaborado pela aluna B33 ao item (d) da atividade 3 do Registro Documental I Além disso, a análise dos dados mostra que gráfico apresentado por essas alunas apresenta uma escala com aproximação razoável por ter sido traçado com o auxílio de uma régua. Por outro lado, 4 (6,25%) alunos não representaram essa situação graficamente, ou seja, de modo semelhante ao que foi realizado no item (f) da atividade 1 do Registro Documental I. Nas respostas dadas ao item (g) da atividade 4 do Registro Documental I, a representação gráfica é realizada somente pela participante B25, que também

225 225 representou de forma gráfica as atividades propostas anteriormente. A figura 119 mostra que o gráfico construído por essa aluna é contínuo, partindo da origem do sistema cartesiano. Nessa representação, as horas estão representadas no eixo das abscissas e a distância, no eixo das ordenadas. Figura 120: Resposta gráfica dada pela participante B25 ao item (g) da atividade 4 do Registro Documental I O item (h) 98 da atividade 4 solicitava que os alunos representassem graficamente a situação-problema na qual um ônibus partia de Itabirito com destino a Ouro Preto e desenvolvia uma velocidade média de 80km/h. O quadro 38 mostra as respostas dadas pelos participantes para esse item. Quadro 38: Respostas dadas pelos participantes dadas ao item (h) da atividade 4 do Registro Documental I 98 Sabe-se que a raiz do conceito de função apareceu pela primeira vez de forma explícita com Oresme ( ) descrevendo graficamente a dependência entre velocidade e tempo. Como seria o gráfico dessa situação descrita?

226 226 A resposta dada pela aluna B25, mostrada pela figura 33, é o gráfico que representa essa situação, ou seja, um gráfico contínuo de tempo versus velocidade, com início em sua origem. Com um raciocínio similar, a participante A21 apresentou um gráfico contínuo de distância versus tempo. Por outro lado, 3 (4,84%) participantes somente desenharam o plano cartesiano enquanto que 8 (12,9%) participantes não responderam essa questão. Por outro lado, os gráficos discretos foram elaborados por 5 (8,06%) participantes. A figura 120 mostra a resposta dada pela aluna A29 enquanto que a figura121 ilustra a resposta dada pela aluna B9. A análise desses gráficos mostra que a escala no eixo das ordenadas não foi obedecida. Figura 121: Resposta dada pela participante A29 ao item (h) da atividade 4 proposta no Registro Documental I Figura 122: Resposta dada pela participante B9 ao item (h) da atividade 4 proposta no Registro Documental I A análise dos dados mostrou que 3 (4,84%) alunos construíram o gráfico dessa situação representando o tempo versus a velocidade, porém, de modo equivocado pois

227 227 representam retas decrescentes, significando que a velocidade diminui com o passar do tempo. A figura 122 mostra a resposta dada pelo participante A31. Figura 123: Resposta dada pela participante A31ao item (h) da atividade 4 proposta no Registro Documental I A análise dos dados mostra que a elaboração desses gráficos pode estar relacionada com a maneira como Oresme representou a Teoria das Latitudes das Formas, ao elaborar um gráfico de movimento com a velocidade constante. A figura 123 mostra a representação de Oresme. Figura 124: Teoria das Laitudes das Formas de Oresme Fonte: WUSSING (1998, p.125) A similaridade entre figura 123, representação de Oresme, e a figura 124, na qual a aluna B3 mostra a representação gráfica que elaborou para essa situação, pode ser claramente notada. Figura 125: Resposta dada pela participante B3

228 228 Historicamente, Oresme utilizou, pela primeira vez, no final da Idade Média, uma representação gráfica para expressar a ideia de variação. No entanto, de acordo com Wussing (1998), Oresme não teria utilizado uma conceituação para função, tendo tratado esse tema somente no campo das ideias. Outros resultados apresentados são os gráficos de barras, que também foram apresentados como respostas para esse item. O quadro 39 apresenta a frequência das respostas dos alunos em relação à utilização do gráfico de barras. Quadro 39: Frequência de gráfico de barras nas respostas dos participantes De acordo com a análise dos dados constantes no quadro 39, os alunos não utilizaram os gráficos de barras como resposta para as duas atividades propostas no Registro Documental III. Nesse contexto, 6 (9,68%) participantes utilizaram o gráfico de barras, sendo que 4 (6,45%) deles construíram o gráfico da distância pelo tempo enquanto que 2 (3,23%) alunos elaboraram o gráfico do tempo versus a velocidade. De acordo com a análise de dados, é possível verificar que, na resposta apresentada pelo participante B43, a velocidade não é constante, pois varia de 1 para 2 e de 2 para 3, enquanto que o tempo, representado pelas barras, tem os valores 80, 160 e 240 para a velocidade. Contudo, para representar situações-problema como aquelas constantes na atividade 1 que foi desenvolvida no Registro Documental I, a utilização de gráficos de barras, que não representam a continuidade das variáveis, não refletem com exatidão a situação apresentada. Por exemplo, as figuras 125 e 126 mostram os gráficos elaborados por um participante sem identificação e pela participante B43, querepresentam a descontinuidade gráfica.

229 229 Figura 126: Gráfico elaborado por um participante sem identificação Figura 127: Resposta dada pela participante B43 Contudo, é importante enfatizar que as representações realizadas com gráficos de barras não são consideradas erradas, pois servem como ponto de partida para que os alunos consigam observar que as informações presentes nesse tipo de gráfico não são suficientes para a representação de situações-problema que contenham valores contínuos, que são mais complexos e difíceis de serem encontrados na vida dos alunos e nos fundos de conhecimentos, sendo um conhecimento abstrato, que deve ser aprendido na escola. Continuando com os tipos de gráficos utilizados pelos alunos no desenvolvimento das atividades dos registros documentais, um gráfico contínuo representando o tempo versus a velocidade foi elaborado por 3 (4,84%) participantes, porém, com o gráfico iniciando no ponto marcando uma hora. Por exemplo, o gráfico construído pelo participante A18 é contínuo e representa a distância versus a velocidade.

230 230 Figura 128: Resposta dada pelo participante A18 ao item (h) da atividade 4 proposta no Registro Documental I Nessa representação, o tempo negativo é considerado por esses alunos. Contudo, não existem dados suficientes para serem analisados para dissertar sobre o porquê dos números negativos estarem sendo utilizados na representação gráfica feita por eles. No entanto, historicamente, determinadas culturas tiveram dificuldade com relação à utilização dos números negativos enquanto outras superaram esse obstáculo (RADFORD, 1997; SMITH, 1958), portanto, essa dificuldade pode ser a mesma enfrentada por esses alunos. Por outro lado, a análise de dados revela a falta de atenção dos alunos quanto à utilização dos números negativos, pois se verifica que somente foram marcados alguns pontos no gráfico e que uma reta foi traçada com o auxílio de uma régua sem a devida atenção para a continuidade da reta em outros quadrantes. Com relação ao Registro Documental II, as figuras 128 e 129 apresentam as respostas das participantes B9 e A9, respectivamente, ao questionamento (b) da atividade 3 desse registro. Figura 129: Resposta dada pela participante B9 ao item (b) da atividade 3 proposta no Registro Documental II

231 231 Figura 130: Resposta dada pela participante A9ao item (b) da atividade 3 proposta no Registro Documental II As figuras 130 e 131 ilustram representações elaboradas pela participante A35 e pela participante sem identificação, respectivamente, nas quais os gráficos foram elaborados de modo contínuo. Figura 131: Resposta dada pela participante A35ao item (b) da atividade 3 proposta no Registro Documental II Figura 132: Resposta dada pela participante sem identificação ao item (b) da atividade 3 proposta no Registro Documental II A representação contida na figura 132 é a resposta de um participante sem identificação, que representou o gráfico de modo contínuo iniciando-o na origem. Por outro lado, a figura 133 mostra uma representação em gráfico de barras elaborado pelo participante A1. Esse participante elaborou o gráfico de barras, utilizando as barras para

232 232 esboçar um traçado de uma linha reta contínua, na tentativa de construir o gráfico de uma função linear. Figura 133: Resposta dada pela participante sem identificação ao item (b) da atividade 3 proposta no Registro Documental II Figura 134: Resposta dada pela participante A1 ao item (b) da atividade 3 proposta no Registro Documental II Outras representações podem ser observadas nas figuras 134 e 135 elaboradas pela participante sem identificação e pela participante A11, respectivamente, que mostram gráficos discretos nos quais os pontos são destacados graficamente, pois os alunos estavam atentos ao fato de o domínio da função não ser contínuo. Figura 135: Resposta dada pela participante sem identificaçãoao item (b) da atividade 3 proposta no Registro Documental II

233 233 Figura 136: Resposta dada pelo participante A11ao item (b) da atividade 3 proposta no Registro Documental II A análise dos dados mostra que as representações por meio de gráficos de barras fora utilizadas por 5 (8,06%) participantes. A figura 136 ilustra a resposta dada pela participante B23. Figura 137: Resposta dada pela participante B23 ao item (b) da atividade 3 proposta no Registro Documental II A partir da análise das atividades desenvolvidas nos Registros Documentais I, II e III, os gráficos de barras que surgiram como respostas dos participantes deste estudo foram quantificados, a fim de gerar subsídios que permitissem compará-los com os resultados obtidos na pesquisa conduzida por Cavacanti et al (2010), para a análise do contexto no qual os alunos estão inseridos. Com a apresentação dos dados constantes nesses registros documentais, a análise desses dados e a apresentação dos resultados foram finalizadas conforme o design do estudo misto, de acordo com a perspectiva proposta por Creswell e Plano Clark (2007), que foi adotada nesse estudo.

234 234 Capítulo 4 Interpretação dos Resultados A interpretação dos resultados obtidos a partir da análise dos dados das categorias de análise, que emergiram da quantificação dos dados qualitativos, é apresentada neste capítulo. A fundamentação teórica utilizada neste estudo e discutida na revisão de literatura também serviu como referencial importante para a análise e a interpretação dos dados coletados. Este capítulo é composto pelas seções denominadas Análise de Conteúdo, Cinco Etapas da Análise de Conteúdo, Quantificação dos Dados Qualitativos: Transformação dos Dados Qualitativos (QUAL) em Quantitativos (QUAN), QUAN+QUAL: Análise e Interpretação Concomitante dos Dados Quantitativos (QUAN) e Qualitativos (QUAL) e Categorias de Análise. 4.1 Análise de Conteúdo Para a interpretação dos resultados obtidos por meio da análise dos dados, utilizou-se a metodologia denominada análise de conteúdo, que é uma técnica empregada em investigações empíricas, que são realizadas nas Ciências Humanas e Sociais. Essa técnica pode ser considerada como um método de análise textual das questões abertas das entrevistas, das transcrições, das observações e das questões abertas que compõem os questionários. Essa análise textual visa a fornecer sentido e significado para as informações contidas nos instrumentos de coleta de dados (GHIGLIONE e MATALON, 1995). Nessa perspectiva, Berelson (1952) afirma que a análise de conteúdo é uma técnica de investigação para a descrição objetiva, sistemática e qualitativa dos dados quantitativos de uma pesquisa. De acordo com Olabuenega e Ispizúa (1989), a análise de conteúdo é uma técnica metodológica, que permite ler e interpretar o conteúdo dos dados coletados, que quando analisados adequadamente favorecem o conhecimento de aspectos e fenômenos da vida social dos participantes de um determinado estudo (MORAES, 1999). Em outras palavras, a análise de conteúdo foi uma interpretação pessoal dos dados, que foi realizada pelo pesquisador, que é também o professor dos participantes deste estudo.

235 Cinco Etapas da Análise do Conteúdo É importante salientar que o processo de análise de conteúdo envolve várias etapas para que seja possível auferir significação e sentido para os dados coletados (FLICK, 2009). Para este estudo, optou-se por utilizar as 5 (cinco) etapas propostas por Moraes (1999) para a análise do conteúdo dos dados coletados por meio dos instrumentos de coleta de dados, que também estão de acordo com as etapas do estudo misto proposto por Creswell e Plano Clark (2003). De acordo com Moraes (1999), essas etapas são: a) Preparação das Informações; b) Unitarização; c) Categorização; d) Descrição; e) Interpretação; Preparação das Informações Primeiramente, diante das informações analisadas, o professor-pesquisador submeteu-as a um processo de preparação, identificando as diferentes informações, que foram analisadas por meio da leitura de todos os instrumentos de coleta de dados, para decidir quais dados, constantes nesses instrumentos, estavam de acordo com os objetivos propostos nesta pesquisa, visando, dessa maneira, a iniciar a codificação desses dados. O desenvolvimento dessa fase ocorreu em todas as etapas deste estudo, por meio da coleta de informações importantes que proporcionaram o resgate dos fundos de conhecimento dos alunos. Essas informações estavam presentes nas respostas dadas pelos participantes aos questionários I e II, na transcrição das respostas fornecidas aos questionamentos dos grupos focais, nas observações anotadas no caderno de campo do professor-pesquisador e, também, nos relatos propiciados pelas conversas informais, que aconteceram individualmente e nas redes sociais/virtuais. A organização dessas informações também serviu como ponto de partida para a elaboração das atividades propostas nos registros documentais. Posteriormente, os dados coletados, a partir das

236 236 respostas dadas pelos participantes deste estudo às atividades propostas nos registros documentais, foram organizados para a análise dos resultados. Essa fase foi importante, pois auxiliou o professor-pesquisador na identificação de alguns fundos de conhecimento dos alunos, e isso possibilitou o prosseguimento da pesquisa. Moraes (1999) argumenta que se deve considerar o contexto do estudo para que se possa entender o significado de uma determinada informação textual coletada para análise. Assim, esse contexto e alguns fundos de conhecimento dos alunos puderam ser determinados por meio da utilização dos instrumentos de coleta de dados. A preparação dos dados ocorreu no início do trabalho de campo e durante o desenvolvimento desta pesquisa, sendo que os dados quantitativos e qualitativos foram coletados, simultaneamente, conforme o design do estudo misto proposto por Creswell e Plano Clark (2007). No entanto, existe a necessidade de enfatizar que nem todos os dados brutos coletados foram utilizados para a análise dos resultados. Essa etapa da análise de conteúdo permitiu que o professor-pesquisador preparasse e transformasse os dados brutos em informações importantes para serem analisadas e interpretadas (MORAES, 1999) Unitarização Terminada a análise da parte empírica desta pesquisa e depois que todos os dados foram devidamente preparados, o professor-pesquisador submeteu-os ao processo de unitarização, que consistiu na: a) Releitura cuidadosa dos dados constantes nos instrumentos de coleta de dados visando à definição da unidade de análise, que é o elemento unitário de conteúdo, que teve por objetivo auxiliar no processo de categorização. De acordo com Marques (1999), é importante que a unidade de análise seja composta por palavras, frases ou temas, sendo definidas pelos pesquisadores, pois dependem da natureza da problematização do estudo, dos objetivos da pesquisa e do tipo de instrumentos de coleta de dados a serem analisados. Para este estudo, o professor-pesquisador definiu as palavras e os temas como unidades de análise, durante a etapa de quantificação dos dados

237 237 qualitativos, conforme proposto pela metodologia do estudo misto (CRESWELL e PLANO CLARK, 2007), procedendo, posteriormente, a sua codificação. b) Isolamento das unidades de análise, para que pudessem ser submetidas à classificação. Esse procedimento foi realizado reescrevendo-se cada uma dessas unidades em um quadro definido por categorias de análise e, também, por subcategorias, de maneira que ficassem individualizadas e isoladas. Marques (1999) argumenta que esse processo de isolar as unidades de análise exige que essas sejam reescritas ou reelaboradas para que possam ser compreendidas fora do contexto original em que se encontravam. Nesse sentido, de acordo com o proposto pelo estudo misto, as categorias de análise devem ser excludentes, não existindo temas que se encaixem em mais de uma categoria (CRESWELL e PLANO CLARK, 2007; TASHAKKORI e TEDDLIE, 2003). c) Definição das unidades de contexto, ou seja, uma prática da análise de conteúdo, que pode ser considerada como uma unidade mais ampla do que a unidade de análise, pois fixa limites contextuais para interpretá-las (MARQUES, 1999). Neste estudo, periodicamente, o professor-pesquisador retornou, inúmeras vezes, ao contexto original, isto é, aos instrumentos de coleta de dados, nos quais cada unidade de análise foi originada para, assim, explorar, de uma maneira mais completa e complexa, o sentido e o significado dessas unidades. d) Preparação para a categorização, já que, após a identificação e codificação das unidades de análise e de conteúdo, o professor-pesquisador envolveu-se com a categorização das informações levantadas nos instrumentos de coleta de dados utilizados neste estudo. É importante enfatizar que, devido à grande quantidade de dados constantes nesses instrumentos, inicialmente, o trabalho de unitarização foi realizado apenas com uma parte dos dados coletados nesses instrumentos. Assim, a partir desse momento, o professor-pesquisador procedeu à primeira categorização, retornando posteriormente à unitarização para completar esse trabalho. Neste estudo, esse procedimento foi importante, pois as categorias de análise foram definidas a partir dos dados analisados. Esse procedimento permitiu que o conceito de unidade de análise

238 238 fosse construído a partir dos conteúdos investigados nos instrumentos de coleta de dados Categorização A categorização é um procedimento utilizado para agrupar informações por meio de características comuns existentes entre os dados (MORAES, 1999). Neste estudo, de acordo com esse procedimento, os dados foram classificados por semelhança ou analogia por meio de critérios previamente estabelecidos e definidos no processo metodológico. Moraes (1999) argumenta que esses critérios podem ser semânticos, pois podem originar categorias de análise temáticas ou podem ser sintáticos quando definem categorias de análise a partir de verbos, adjetivos ou substantivos, que estão presentes nos dados. As categorias podem ainda ser constituídas a partir de critérios léxicos, com ênfase nas palavras e em seus sentidos ou podem ser fundamentadas em critérios expressivos, que focalizam os problemas linguísticos. Para este estudo, o professor-pesquisador utilizou os critérios semânticos para esse agrupamento, pois as categorias de análise temáticas foram originadas por meio da quantificação dos dados qualitativos. Assim, a categorização pode ser entendida como um processo de redução dos dados, no qual as categorias de análise representam as características e os aspectos mais importantes dos dados que foram analisados (OLABUENAGA e ISPIZÚA, 1989). Neste estudo, o professor-pesquisador extraiu sentido e significado dos dados durante vários estágios, pois houve a necessidade de retornar periodicamente aos dados analisados, para a obtenção do refinamento do processo de estabelecimento das categorias de análise Descrição Após a definição das categorias de análise, houve a necessidade de o professorpesquisador comunicar os resultados desta pesquisa. Como neste estudo foi empregada uma metodologia mista, a sua descrição foi realizada quantitativa e qualitativamente. Assim, na abordagem quantitativa, essa descrição envolveu a organização de tabelas, quadros e gráficos com a apresentação das categorias de análise, bem como a computação de suas frequências e percentuais.

239 239 Por outro lado, o aspecto quantitativo das respostas dadas pelos participantes desta pesquisa para as atividades constantes nos Registros Documentais I, II e III, auxiliou o professor-pesquisador a obter uma visão geral do contexto histórico e uma compreensão dos fundos de conhecimento dos alunos, por meio da resolução das atividades propostas nesses instrumentos de coleta de dados. Essa abordagem proporcionou ao professor-pesquisador o entendimento de como os participantes desse estudo se relacionam com o conteúdo matemático de funções. Isso, por sua vez, possibilitou que o professor-pesquisador, por meio da análise de conteúdo dessas atividades, determinasse as categorias de análise, como por exemplo, o sucesso acadêmico conforme definição de Ladson-Billings (1995a, 2006). Além disso, o professor-pesquisador também pode comparar o processo de construção da escrita matemática simbólica dos alunos com a evolução dessa escrita no decorrer da História da Matemática, como exemplificado por Eves (1962). Na abordagem qualitativa, a descrição de cada uma das categorias foi elaborada por meio da produção de um texto síntese, que expressou o conjunto de significados presentes nas diversas unidades de análise incluídas em cada uma dessas categorias. Nessa etapa, o professor-pesquisador também utilizou citações diretas, que foram retiradas dos dados originalmente coletados no decorrer deste estudo. No entanto, para que essa descrição seja objetiva, é importante a elaboração de uma definição precisa das categorias de análise para permitir que os pesquisadores possam utilizá-las, obtendo resultados semelhantes (MORAES, 1999). Contudo, para que a descrição seja sistemática, existe a necessidade de que os conteúdos relevantes do estudo sejam analisados com relação às categorias importantes, pois, assim, a quantificação dos dados qualitativos permite a obtenção de informações mais precisas e objetivas sobre a frequência da ocorrência das características do conteúdo constante nesses dados. Neste estudo, a descrição dos dados foi de extrema importância para a análise do conteúdo constante nos instrumentos de coleta de dados, pois foi o momento de expressar os significados captados e intuídos nos conteúdos analisados. Contudo, é importante enfatizar que é por meio dos textos produzidos como resultado da análise para cada categoria, que se pôde perceber a validade da pesquisa e de seus resultados (MORAES, 1999).

240 240 É importante enfatizar que as descrições dos dados quantitativos e qualitativos foram realizadas simultaneamente, conforme proposto pela metodologia do estudo misto (CRESWELL e PLANO CLARK, 2007). Assim, essas descrições serviram para promover a continuidade do desenvolvimento da parte empírica deste estudo, visto que essas abordagens foram realizadas concomitantemente e que foram necessárias para a concretização da etapa seguinte da pesquisa, permitindo, assim, a continuidade do trabalho de campo. Nota-se, portanto, que as descrições dos resultados da análise de conteúdo foram muito importantes para o desenvolvimento deste estudo. Porém, somente a utilização dessa abordagem não foi suficiente para a interpretação dos resultados, pois houve a necessidade de que estes também fossem interpretados a partir do referencial teórico, que foi elaborado no capítulo 1 desta dissertação Interpretação Existe a necessidade de que análise de conteúdo não se limite somente à descrição dos dados, pois é importante alcançar uma compreensão mais aprofundada do conteúdo constante nesses dados por meio da inferência e interpretação dessas informações (MORAES, 1999). Neste estudo, o momento interpretativo dos resultados obtidos esteve relacionado ao estudo da fundamentação teórica, que foi explicitada e discutida no capítulo 1 deste estudo. Dessa maneira, a interpretação dos resultados foi realizada mediante a exploração dos significados expressos nas categorias de análise por meio da fundamentação teórica discutida na revisão de literatura. Neste estudo, a teorização, a interpretação e a compreensão dos resultados dos dados analisados constituíram um movimento circular, no qual se procurou alcançar uma maior profundidade na análise dos dados coletados (MORAES, 1999). Vale ressalvar que a interpretação dos dados qualitativos e quantitativos também é considerada como a última etapa do estudo misto QUAN + QUAL, que foi realizada conjuntamente com a fundamentação teórica utilizada nesta pesquisa (CRESWELL e PLANO, 2007).

241 Quantificação dos Dados Qualitativos: Transformação dos Dados Qualitativos (QUAL) em Quantitativos (QUAN) Para que a categorização possa ocorrer, existe a necessidade de se quantificar os dados qualitativos, que é uma das etapas do estudo misto (CRESWELL e PLANO, 2007). Assim, por meio dessa quantificação, é possível verificar as categorias de análise que emergiram dos dados, como por exemplo, os fundos de conhecimento e os indícios da aplicação da pedagogia culturalmente relevante que, neste estudo, foi composta pelas subcategorias ou unidades de análise denominadas de sucesso acadêmico e consciência crítica. Nesse sentido, a quantificação dos dados qualitativos foi realizada por meio de duas maneiras distintas: pela contagem da frequência das palavras em cada um dos instrumentos de coleta de dados e, também, pela contagem da ocorrência dos temas contados por participantes. O quadro 27 mostra a quantificação dos dados qualitativos constantes nos instrumentos de coleta de dados utilizados nessa pesquisa, no qual se destacam as categorias de análise e as subcategorias, que também foram definidas como unidades de análise. Quadro 40: Quantificação dos dados qualitativos coletados por frequência de palavras Fonte: Dados do pesquisador Esse quadro foi elaborado por meio da contagem de palavras, que emergiram dos instrumentos de coleta de dados. Essas palavras foram quantificadas conforme a frequência em que apareciam em cada um desses instrumentos, para que se pudesse definir as subcategorias ou unidades de análise. Creswell e Plano Clark (2007) afirmam

242 242 que os pesquisadores normalmente implementam essa estratégia pela simples contagem da frequência de ocorrência de códigos específicos (p.188). Contudo, é importante salientar que as palavras foram contadas de acordo com a frequência de cada uma delas, independentemente, de terem sido utilizadas mais que uma vez pelos participantes deste estudo. Por exemplo, durante a entrevista de acompanhamento realizada em 11 de janeiro de 2012, a participante B25 pronunciou a palavra gráfico sete vezes, conforme apontamento feito no capítulo anterior. Assim, após a contagem das palavras, houve a organização dessas palavras em categorias de análise e subcategorias ou unidades de análise, conforme mostrado pela primeira coluna do quadro 27. Dessa maneira, na segunda coluna desse quadro encontram-se registrados os temas pertencentes a cada uma dessas categorias e, em sequência, o número de ocorrência das palavras em cada instrumento de coleta de dados, com exceção dos registros documentais e do caderno de campo do pesquisador. As duas últimas colunas do quadro 27 apresentam, respectivamente, a frequência total de cada palavra, bem como o seu percentual em relação ao total de 1075 palavras que emergiram dos dados coletados. No entanto, ressalta-se que, após a quantificação dos dados qualitativos, algumas palavras foram excluídas da lista por não pertencerem a nenhuma das categorias emergentes e, portanto, não tiveram importância para a interpretação dos resultados provenientes da análise dos dados. Dessa maneira, essas palavras compuseram os dados brutos que, ao serem organizados, foram desconsiderados por não serem importantes para a interpretação dos resultados obtidos neste estudo (MORAES, 1999). O gráfico 30 mostra a quantidade das categorias de análise e dos temas, que emergiram dos instrumentos de coleta de dados, pois esse tipo de representação gráfica facilita a observação das informações contidas nos instrumentos de coleta de dados (MAGALHÃES e LIMA, 2005).

243 243 Gráfico 30: Quantitativo das categorias e temas que emergiram dos instrumentos de coleta de dados Fonte: Dados do pesquisador De acordo com esse gráfico, os dados mostram que os temas que apareceram um maior número de vezes foram a consciência crítica, com 274 (25,49%) entradas e o sucesso acadêmico, com 480 (44,65%) entradas. Por outro lado, o quadro 28 mostra a quantificação dos dados qualitativos referentes às questões de 9 (nove) a 14 (quatorze) do questionário II, que eram essencialmente qualitativas.

244 244 Quadro 41: Quantificação dos dados qualitativos coletados pelos participantes desse estudo Fonte: Dados do pesquisador A quantificação das questões constantes no quadro 28 ocorreu de maneira distinta da quantificação realizada anteriormente e mostrada no quadro 27, pois não foram contadas as frequências em que as palavras apareceram, mas sim, a quantidade de alunos que citou cada tema referido nesse quadro. Dessa maneira, foram criadas categorias dicotômicas, que indicaram a presença ou a ausência de cada um dos temas levantados, nas respostas dos participantes (TASHAKKORI e TEDDLIE, 2003). Apesar de Creswell e Plano Clark (2007) sugerirem softwares para a quantificação dos dados de acordo com as categorias dicotômicas, empregando 0 (zero) para a ausência e 1 para a presença dos temas nos dados coletados, a quantificação dos dados qualitativos foi realizada manualmente pelo professor-pesquisador, para que pudesse se familiarizar com os dados, facilitando, assim, a unitarização e a categorização destes. Pela quantidade de dados o uso de um software foi considerado desnecessário pelo pesquisador.