CONVERGÊNCIA DOS MODELOS DE ÁRVORES BINOMIAIS PARA AVALIAÇÃO DE OPÇÕES AMERICANAS

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1 CONVERGÊNCIA DOS MODELOS DE ÁRVORES BINOMIAIS PARA AVALIAÇÃO DE OPÇÕES AMERICANAS Tara Keshar Nanda Baidya Alessandro de Lima Castro Departamento de Engenharia Industrial, PUC-Rio ABSTRACT: Since Black and Scholes [1973] proposed an analytic formula for the evaluation of European call options, and Merton [1973] extended the model for European put options and asset that pay dividends, many developments were made. Perhaps one of the most important work was proposed by Cox, Ross and Rubinstein [1979], where the stochastic process (for the price of the underlying asset) in time and continuous state (Geometric Brownian Motion) proposed by Black and Scholes was approximated by a time and discrete state process. The model of Cox, Ross and Rubinstein is known as Binomial Model and became one of the methods more used to calculate the value of options, mainly American options, due to your simplicity and easy computational implementation. This work presents the principal models of binomial trees used to calculate options. The problem of the oscillatory convergence will be discussed and how solve it. KEYWORD: Engineering Economics; Binomial Option Pricing; Oscillatory Convergence RESUMO: Desde que Black e Scholes [1973] propuseram uma fórmula analítica para a avaliação de opções européia de compra, e Merton [1973] estendeu o modelo para opções européias de venda e ações que pagam dividendos, muitos desenvolvimentos foram feitos. Talvez um dos mais importantes foi proposto por Cox, Ross e Rubinstein [1979], onde o processo estocástico (para o preço da ação objeto) em tempo e estado contínuo (Movimento Geométrico Browniano) proposto por Black e Scholes foi aproximado por um processo de tempo e estado discreto (Random Walk). O modelo de Cox, Ross e Rubinstein, hoje conhecido como Modelo Binomial, tornou-se um dos métodos mais utilizados para calcular o valor de opções, principalmente opções americanas, devido a sua simplicidade e fácil implementação computacional. Este trabalho apresenta os principais 1

2 modelos de árvores binomiais utilizados para calcular opções. Será discutido o problema da convergência oscilatória dos modelos binomiais e como resolvê-lo. PALAVRAS-CHAVE: Engenharia Econômica; Modelo Binomial; Convergência Oscilatória INTRODUÇÃO Em 1973, Black Fischer e Myron Scholes desenvolveram um modelo para avaliação de opções de compra do tipo européia. Eles partiram do pressuposto que o preço de uma ação segue um processo estocástico conhecido como Movimento Geométrico Browniano. A equação que rege este processo é dada por: ds = rsdt +σsdz [1] onde r é a taxa de juros livre de risco, σ é a variância do preço da ação e dz é o incremento de um processo de Wiener, com média 0 e desvio padrão dt. Os parâmetros r e σ são constantes ao longo do tempo. Da suposição sobre o comportamento do preço da ação, o processo que o título derivativo segue pode ser deduzido usando a idéia chave do modelo de Black e Scholes. A idéia chave era a construção de uma carteira dinâmica livre de risco que resultaria em uma equação diferencial parcial que governava o preço do título derivativo. 1 σ S F S rs F F + rf 0 S + t = [] Ao ser resolvida a equação[], foi encontrado a seguinte fórmula r( T t) C= SNd ( 1) Xe Nd ( ) [3] onde d 1 = S 1 ln( ) + ( r + σ )( T t) X σ T t [4] d = d σ T t 1 Muitos trabalhos surgiram em seguida baseados na metodologia de Black & Scholes, como os mais importantes podemos citar:

3 Merton [1973] estendeu o modelo de Black & Scholes para ações com pagamento de dividendos e mostrou que uma opção de compra americana, onde a ação objeto não paga dividendos, pode ser avaliada como se fosse uma opção de compra européia, ou seja, o exercício antecipado nunca será ótimo; Cox, Ross [1976] estendeu o modelo de Black e Scholes para ativos objeto que seguiam outros processos estocásticos que não o Movimento Geométrico Browniano, como por exemplo, Poisson. Ainda existia uma questão no ar, como avaliar uma opção americana que pode ser exercida antecipadamente? Nenhuma solução analítica fora encontrada, então métodos numéricos ou de aproximação deveriam ser utilizados. Brennan e Schwartz [1977, 1978] desenvolveram métodos de diferença finita para resolver a equação diferencial parcial para uma opção americana. Diferentemente, Cox, Ross e Rubinstein utilizaram um processos discreto no tempo e binomial no espaço para aproximar um processo contínuo e calcular o preço de uma opção americana. Devido a simplicidade, a facilidade de implementação e principalmente a flexibilidade, o modelo de árvores binomiais (como ficou conhecido) tornou-se uma das metodologias mais utilizadas para a avaliação de opções americanas. Desde 1979 até hoje muitos desenvolvimentos foram feitos em cima do modelo binomial. O modelo tornou-se ainda mais abrangente podendo também modelar opções onde a taxa de juros e/ou volatilidade são variantes com o tempo, os dividendos podem ser contínuos, proporcionais ao preço da ação ou valores discretos. Mais recentemente a comunidade acadêmica e o mercado têm-se preocupado com o tempo de processamento de diversos métodos numéricos usados em finanças. Existe a necessidade que esses métodos sejam rápidos e precisos. É claro que nem sempre é possível encontrar métodos numéricos que possuam essas características. O modelo binomial por ser uma aproximação discreta de um evento em tempo contínuo é considerado um método numérico e sofre dessas restrições. Além disso o método binomial possui um problema grave: convergência oscilatória. Vários pesquisadores têm estudado o modelo binomial de modo a eliminar os efeitos da oscilação, mantendo-o simples de entender, fácil de implementar e flexível na hora ser utilizado, ou seja, existe um esforço para tornálo mais rápido em sua convergência para o valor verdadeiro sem que sejam perdidas suas principais características. 3

4 Este trabalho têm como objetivo principal mostrar alguns aprimoramentos sugeridos na literatura nos últimos anos para melhorar a convergência do modelo binomial. Assim serão apresentados modelos que diminuem o efeito da convergência oscilatória. MODELOS DE ÁRVORES BINOMIAIS Em 1979, Cox, Ross e Rubinstein (CRR) propuseram o modelo binomial como alternativa aos trabalhos apresentados até então para avaliação de opções européias ou americanas. Utilizaram o Processo Binomial como aproximação discreta de um Movimento Geométrico Browniano para o preço da ação. Assim o preço de uma ação que segue o Processo Binomial poderia assumir somente dois estados da natureza, subida ou descida. A Figura 1 representa o movimento do preço da ação durante três períodos de tempo S S us p 1-p ds d S u S uds u 3 S u ds ud S d 3 S 0 Figura 1 - Árvore Binomial com três períodos S é o preço da ação no instante zero, u é o multiplicador do preço da ação para estado de alta, d é o multiplicador do preço da ação para o estado de baixa e p é a probabilidade neutra ao risco do preço da ação subir no próximo período. Mas, é importante salientar que o modelo de árvore binomial torna-se atrativo somente quando a árvore for recombinante. Uma árvore recombinante tem a propriedade de que em qualquer tempo, um movimento de subida seguido por um movimento de descida é exatamente o mesmo que um movimento de descida seguido por um movimento de subida. Essa característica diminui drasticamente o número de nós em cada período, a medida que n cresce. Por exemplo, uma árvore recombinante com três períodos possui, 4 nós no terceiro período. A Figura 1 representa uma árvore binomial recombinante. Caso a árvore não fosse recombinante, como mostrado na Figura, então t 4

5 no terceiro período a árvore teria 3 =8 nós. Assim, uma árvore recombinante possui i+1 nós no i- ésimo período e uma árvore não recombinante possui i nós no i-ésimo período. S 0 t Figura - Árvore Binomial cujos nós não são recombinante CRR propuseram os parâmetros dados na equação [5] para o Modelo de Árvore Binomial que aproxima o Movimento Geométrico Browniano quando n u = e d = e p = r t r t 1 1 r + σ t [5] onde t = T / n. Ao supor u=1/d a árvore a árvore binomial mantém-se recombinante. Jarrow e Rudd [1983] (JR) mostraram que os parâmetros u = e d = e p = 1/ ( r 1 / σ ) t+ σ t ( r 1 / σ ) t σ t [6] também leva o Modelo Binomial para o Movimento Geométrico Browniano quando n. A árvore é ainda recombinante. Tanto o modelo de CRR e de JR são boas aproximações de um modelo contínuo quando escolhemos t suficientemente pequeno. Um modelo mais preciso que os anteriores foi proposto por Hull e White [1988] (HW). Nele, HW consideraram também os termos ( t), diferentemente de CRR que consideraram somente os termos em t. Com isso, o modelo torna-se mais preciso que os outros quando n é pequeno. Os parâmetros do modelo são dados por 5

6 u = [( m1 + m + 1) + ( m1 + m + 1) 4m1 ] / ( m1) d = 1 / u [7] p = ( m d)/( u d) 1 onde m 1 e m são dados por m = e r t σ t 1 e m = m1( e 1). Mais tarde, Trigeorgis [199] propôs um outro modelo de parâmetros para a árvore binomial. Neste modelo, a árvore binomial representa o logaritmo do preço da ação ao invés do próprio preço da ação. Através do lema de Ito, Trigeorgis chegou a um novo processo estocástico, agora para a variável de estado x dx = ( r σ / ) dt + σdz [8] onde x = ln S. Igualando-se a média e a variância do processo estocástico contínuo com a média e variância do processo discreto representado pela árvore binomial, obtém-se um sistema cuja solução é dada a seguir: x = σ t + ν t p = 1/ + ( 1/ )( ν t / x) ν = r σ / [9] O modelo para os parâmetros da árvore binomial apresentado por Trigeorgis possui, em média, precisão ligeiramente melhor do que os modelos de JR e HW. Da Figura 4 até Figura 6 são apresentados gráficos comparativos entre os modelos desta seção. AVALIANDO OPÇÕES AMERICANAS As opções americanas são caracterizadas pela possibilidade de exercício antecipado. Como dito anteriormente, opções de compra americana sobre um ativo objeto que não paga dividendos pode ser avaliada como se fosse uma opção de compra européia, ou seja o exercício antecipado não é ótimo. Já as opções de venda americana (independente se o ativo objeto paga ou não dividendos) e opções de compra americana onde o ativo objeto paga dividendos podem ser exercidas antecipadamente. Um grande empecilho surge quando o exercício antecipado pode ser ótimo: não existe solução analítica para tais modelos. Assim, o Modelo Binomial surge como uma aproximação para o valor verdadeiro de tais opções. Amin e Khanna (1994) mostraram que opções americanas, quando 6

7 avaliadas usando Modelo Binomial convergem para o valor verdadeiro. No anexo, são apresentados os algoritmos para implementação computacional dos modelos de árvores binomiais para avaliação de opções. IMPLEMENTANDO OS MODELOS Uma árvore binomial onde o período entre o lançamento da opção e seu vencimento foi dividido em n intervalos de tempo possui n+1 nós no n-ésimo período. Um algoritmo para calcular o valor de uma opção usando os modelos de árvores binomiais não necessita armazenar mais do que n+1 nós. Os nós da árvore serão numerados como na Figura 3. O preço da ação é calculado recursivamente e o valor em cada nó é dado por S u j d n-j. O uso da recursividade é um artifício de programação muito importante, que nesse caso irá reduzir a complexidade do algoritmo, pois evita que operações mais complexas que a multiplicação (potenciação) sejam utilizadas. n,n j 0,0 1,1 1,-1,,0,- n,n- n,n-j n,n-j+ n,-n+ n,-n i Figura 3 - Numeração dos Nós de uma Árvore Binomial A rotina de programação dinâmica é inicializada estabelecendo, por exemplo, o preço da opção de compra para C T =max(s T -K,0) em cada um dos nós terminais, onde K é o preço de exercício da opção (caso a opção fosse de venda, o preço da opção nos nós terminais seria C T =max(k-s T,0)). Considere o nó no alto à direita da Figura 1, C T (u 3 S) é estabelecido para max(u 3 S-K). No nó anterior correspondente ao preço da ação u S no tempo T- t, o valor da opção de compra C T- t (u S) é estabelecido para max{max( us K), e r t 3 [ pc( us) + ( 1 pc ) ( uds)]} T T 7

8 Isto é, o valor da opção de compra do tipo Americana é o máximo entre o valor do exercício imediato e o valor presente de continuação. O valor da opção de compra nos nós restantes são calculados de maneira similar utilizando recursividade. Um cuidado que deve ser tomado ao implementar o algoritmo é que não sejam feitas multiplicações desnecessárias repetidas vezes. Para isso, deve-se verificar com antecedência o que é constante ao longo do algoritmo. Essas constantes serão pré calculadas e, deste modo, serão eliminadas operações redundantes, principalmente dentro dos loops. No apêndice, será apresentado o algoritmo para avaliação de opções americanas utilizando o modelo CRR. ESTENDENDO OS MODELOS PARA AÇÕES QUE PAGAM DIVIDENDOS Até então, os modelos apresentados supõe que a ação objeto não paga dividendos durante a vida da opção. Assim uma opção de compra do tipo americana pode ser avaliada como uma opção de compra do tipo européia. Mas, quando a ação objeto paga dividendos, o exercício antecipado pode ser melhor do que esperar a opção expirar. Logo, torna-se necessário avaliar corretamente uma opção cuja ação objeto pague dividendos. Existem três maneiras dos dividendos serem considerados nos modelos de árvores binomiais. Na primeira, o dividendo é uma taxa por unidade de tempo. Na segunda, o dividendo é um valor proporcional ao preço da ação. Na terceira, o dividendo é um valor discreto. Neste trabalho iremos considerar somente o primeiro caso, ou seja, os dividendos são taxas compostas continuamente por unidade de tempo. Para uma exposição detalhada de como dividendos proporcionais ao valor do ativo e dividendos discretos devem ser considerados, veja Hull [1997], Chriss[1997] ou Clewlow e Strickland[1997]. A equação do Movimento Geométrico Browniano para um ativo objeto que paga uma taxa de dividendos por unidade de tempo (δ) é dado pela equação diferencial estocástica: ds = ( r δ ) Sdt + σdz [10] Existem vários tipos de opções que podem utilizar dividendos contínuos, como exemplo podem ser citados: opções sobre índices de ações, onde δ representa o dividendo obtido sobre o índice; opções sobre taxa de câmbio, onde δ representa a taxa de câmbio; opções sobre contratos futuro, onde δ 8

9 representa a taxa de juros livre de risco; opções sobre commodities, onde δ representa o convenience yield sobre a commodity. A modelagem de uma árvore binomial é direta, quando os dividendos são considerados como uma taxa por unidade de tempo. Na equação [10], se r δ for substituído por r' então teremos uma equação idêntica à equação [1]. Assim, o cálculo dos parâmetros é feito utilizando as equações [5], [6], [7] e [9] exceto que r deve ser substituído por r'. A Tabela 1 mostra as mudanças necessárias para que os modelos propostos anteriormente possam trabalhar com dividendos. Tabela 1 - Parâmetros dos Modelos Binomiais quando o Ativo Objeto paga dividendos contínuo. CRR JR HW TRG u = e σ dt σ dt d = e r p = 1 (1 + dt ) σ u = e u = e p = r dt+σ r dt σ 1 dt dt Basta alterarmos a variável m 1, m = e r t 1 Basta alterarmos a variável ν, ν = r σ / CONVERGÊNCIA E RESULTADOS COMPUTACIONAIS Quando métodos numéricos são utilizados para resolver problemas, é comum verificar se o algoritmo empregado converge para o conjunto de soluções e quão rápido ele o faz. A convergência teórica de algoritmos para pontos no conjunto de soluções é uma propriedade altamente desejável. Se em uma competição entre dois algoritmos convergentes, o primeiro converge mais rápido do que o segundo, então o primeiro algoritmo será selecionado. No caso dos modelos binomiais, a convergência para o valor verdadeiro se dá de forma lenta e oscilatória. Os gráficos apresentados nas Figuras 4 até 6 mostram que é difícil escolher entre os modelos binomiais aquele que converge mais rápido. Assim, alguma técnica de aceleração de convergência deve ser aplicada aos modelos binomiais. Duas técnicas serão analisadas nessa seção: a primeira consiste em substituir o valor de continuação em todos os nós do intervalo anterior à maturação da opção pela fórmula de Black e Scholes; a segunda utiliza extrapolação de Richardson sobre os resultados obtidos com a técnica anterior. Da Figura 4 até Figura 9 são apresentados gráficos do preço da opção pelo número de intervalos de tempo. A opção utilizada em todos os gráficos é uma opção de compra do tipo Americana cujo preço antes do lançamento (S) é $110,00, preço de exercício (K) $100,00, tempo de maturação (T) 9

10 igual a 6 meses, volatilidade dos preços das ações (σ) 30%a.a., taxa de dividendos (δ) 3%a.a. e taxa de juros livre de risco (r f ) 7%a.a.. Na Figura 4 são apresentados os gráficos do preço da opção usando o modelo de CRR e JR em função do número de intervalos de tempo. Repare que o modelo de JR é ligeiramente mais preciso em alguns períodos e o de CRR em outros. Preço da Opção CRR JR Nº de Intervalos Figura 4 - Preço Binomial para CRR e JR versus números de intervalos de tempo Já a Figura 5 mostra que os métodos de CRR e TRG são praticamente idênticos, neste caso, tendo pouca variação. Preço da Opção CRR TRG Nº de Intervalos Figura 5 - Preço Binomial para CRR e TRG versus números de intervalos de tempo Os gráficos da Figura 6 mostram que o modelo de HW é mais preciso que o modelo de CRR quando o número de intervalos de tempo é pequeno e semelhantes à medida que aumenta. Este 10

11 resultado era esperado, já que o modelo de HW leva em consideração potências de ordem de t e o modelo de CRR leva em consideração somente potência de ordem 1 de t. Preço da Opção CRR HW Nº de Intervalos Figura 6 - Preço Binomial para CRR e HW versus números de intervalos de tempo Afim de incrementar a convergência dos modelos binomiais, Broadie e Detemple [1996] sugeriram a substituição do valor de continuação no passo n-1 (passo anterior ao vencimento) r e t [ pc( i+ 1) + ( 1 p) C( i 1)], i = n+ 1, n+,..., n 1 pela fórmula de Black e Scholes dada nas equações [3] e [4] (método Binomial Black e Scholes - BBS). O trabalho computacional para avaliar o valor de continuação em cada nó é de somente duas multiplicações. A computação da fórmula de Black e Scholes requer a avaliação de uma função de distribuição normal cumulativa duas vezes para a cada nó. Mas, como este cálculo é feito somente em n nós, o tempo de processamento é praticamente o mesmo que aquele necessário para calcular uma opção usando o modelo binomial de CRR. Note, no gráfico da Figura 7, que a convergência para o valor verdadeiro deixou de ser oscilatória para ser uma convergência mais suave. 11

12 15.85 Preço da Opção Nº de Intervalos Figura 7 - Preço BBS versus números de intervalos de tempo A principal vantagem do BBS é maior precisão obtida em relação aos modelo binomiais usando o mesmo número de intervalos de tempo. A sobreposição do gráfico da Figura 7 com o gráfico que mostra a convergência do modelo de CRR, mostra o aprimoramento obtido como o modelo BBS sobre os modelos binomiais. Preço da Opção CRR BBS Nº de Intervalos Figura 8 - Preço BBS e CRR versus números de intervalos de tempo Segundo Broadie e Detemple, a convergência mais suave obtida com BBS sugere a utilização da extrapolação de Richardson. Assim, o método Binomial Black e Scholes com Extrapolação de Richardson (BBSR) adiciona uma extrapolação de dois pontos diretamente sobre o número de intervalos de tempo do modelo BBS. Para calcular o preço de uma opção com n intervalos de tempo usando o método BBSR, três passos devem ser seguidos: 1

13 calcular o preço de uma opção usando o modelo Binomial Black e Scholes com n intervalos de tempo (C n ); calcular o preço de uma opção usando o modelo Binomial Black e Scholes com m = n/ intervalos de tempo (C m ); usar a fórmula de extrapolação C n -C m. No artigo de 1996, Broadie e Detemple mostraram que o modelo BBSR é significativamente melhor do que qualquer outro método do tipo binomial. O gráfico da figura 9 compara o modelo binomial com BBS e BBSR e nele já pode-se notar a melhor performance em termos de convergência. Para se ter uma idéia, o modelo BBSR com n=100 é tão preciso quanto um método binomial com n=1000 e cerca de 55 vezes mais rápido. Preço da Opção CRR BBS BBSR Nº de Intervalos Figura 9 - Preço BBSR, BBS e CRR versus números de intervalos de tempo As Tabela e Tabela 3 apresentam os valores de opções americanas de compra calculadas usando vários modelos de parâmetros. Além disso, são apresentados os valores verdadeiros de cada opção calculada. Os valores verdadeiros são obtido usando uma árvore binomial parâmetros de CRR e com n=15000, como proposto por Amin e Khanna [1994]. Os 40 pontos apresentados em cada uma das tabelas não representam uma amostra significativa de opções e por isso não podemos retirar nenhuma conclusão definitiva. As tabelas serão apresentadas como uma forma intuitiva de enxergar a precisão dos métodos apresentados neste trabalho. Para uma análise mais detalhada do desempenho de vários métodos para computar os valores de opções americanas, os artigos de 13

14 Broadie e Detemple [1996, 1997], Leisen [1995, 1998] e Mayhew [1998] trazem gráficos de Velocidade (Número de Opções Calculadas por Segundo) x Erro Médio Quadrático. Note que tanto na Tabela quanto na Tabela 3, o modelo BBSR é, na maioria das vezes, o que mais se aproxima do valor verdadeiro da opção. Tabela - Aproximações e Valores Verdadeiros de Opções Americanas (Maturidade=0,5 anos; Preço de Exercício = $100,00 e Número de Passos = 300) Parâmetros da Opção Preço do Ativo Modelo Cox- Modelo Hull- Modelo Jarrow- Ross-Rubinstein White Rudd Modelo Trigeorgis Binomial Black- Scholes Modelo BBS-ER Valor Verdadeiro K T Volatilidade Taxa de Juros Dividendos Discretização 300 K T Volatilidade Taxa de Juros Dividendos Discretização 300 K T Volatilidade Taxa de Juros Dividendos Discretização 300 K T Volatilidade Taxa de Juros Dividendos Discretização 300 Tabela 3 - Aproximações e Valores Verdadeiros de Opções Americanas (Maturidade=3 anos e Preço de Exercício = $100,00 e Número de Passos=300) Parâmetros da Opção Preço do Modelo Cox- Modelo Modelo Modelo Binomial Modelo Valor Ativo Ross-Rubinstein Hull-White Jarrow-Rudd Trigeorgis Black-Scholes BBS-ER Verdadeiro K T Volatilidade Taxa de Juros Dividendos Discretização 300 K T Volatilidade Taxa de Juros Dividendos Discretização 300 K T Volatilidade Taxa de Juros Dividendos Discretização 300 K T Volatilidade Taxa de Juros Dividendos Discretização

15 CONCLUSÃO Neste trabalho foram apresentados os principais modelos para avaliação de opções usando árvores binomiais. Estes modelos forma estendidos para ativos que pagam dividendos em forma de uma taxa por unidade de tempo. A convergência dos modelos foi analisada usando gráficos de preço da opção por número de intervalos de tempo. A convergência oscilatória ficou evidente nesses gráficos. Dois métodos propostos na literatura para acelerar a convergência dos modelos binomiais foram analisados. Gráficos de convergência mostraram que os métodos propostos são mais precisos que os modelos binomiais para um mesmo nível de discretização. Duas tabelas mostrando o preço de diversas opções calculadas usando os modelos apresentados neste trabalho e o valor verdadeiro da opção reforçam as conclusões retiradas dos gráficos. Os resultados obtidos nesses trabalho mostram que o modelo BBSR é bastante promissor. Mas, conclusões definitivas somente podem ser retiradas quando utilizarmos uma amostra significativa de opções negociadas. APÊNDICE Neste apêndice será apresentado apenas o algoritmo para implementação computacional do Modelo Binomial usando os parâmetros de CRR. Para implementar os modelos de JR, HW e TRG basta substituir o cálculo dos parâmetros no algoritmo por aqueles apropriados. Para implementar o BBS, deve-se escolher um dos modelos para o cálculo dos parâmetros da árvore binomial. Dentro do procedimento de programação dinâmica, deve-se verificar os nós que pertencem ao penúltimo período e a fórmula de Black e Scholes deve ser usada para avaliar o preço da opção em cada um desses nós. A fórmula de Black e Scholes utiliza um algoritmo para cálculo da distribuição normal acumulada.. Veja Abramowitz e Stegun (197) ou Moro (1995) para algoritmos precisos e rápidos. Já o modelo BBSR é o mais fácil de ser implementado, pois a extrapolação é feita sobre o número de intervalos de tempo. A fórmula C = C n - C m deve ser computada, onde C é o preço BBSR da opção com n intervalos de tempo, C n é o preço BBS com n intervalos de tempo e C m é o preço BBS com m = n / intervalos de tempo. 15

16 MODELO DE COX, ROSS E RUBINSTEIN BinomialCRR(s,k,T,sig,r,n) dt=t/n; /* Cálculo dos parâmetros */ u=exp(sig*sqrt(dt)); d=1/u; pu= *(r/sig)*sqrt(dt); pd=1-pu /* Constantes pré calculadas */ disc=exp(-r*dt); dpu=disc*pu; dpd=disc*pd; /*Preenche o vetor com os valores da ação no último período */ s(-n)=s*(d^n); para j de 1 até n faça s(j)=s(j-1)*u; /*Calcula o valor da ação no último período */ para j de -n até n passo faça c(j)=max(s(j)-k, 0); se for opção de compra c(j)=max(k-s(j), 0); se for opção de venda fim_para /* Procedimento de Programação Dinâmica */ para i de n-1 até 0 faça para j de -i até +i passo faça c(j)=dpd*c(j-1) + dpu*c(j+1); c(j)=max(s(j)-k, c(j); se opção de compra c(j)=max(k-s(j), c(j); se opção de venda fim_para fim_para retorna c(0); 16

17 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Amin, K e A. Khanna (1994). Convergence of American Option Values from Discrete to Continuous Time Financial Models, Mathematical Finance 4, Abramowitz, W. e I. Stegun (197). Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications. Broadie, M e J. Detemple (1996). American Option Valuation: New Bounds, Approximations, and a Comparison of Existing Methods. Review of Financial Studies, 9, Broadie, M e J. Detemple (1997).Recent Advances in Numerical Methods for Pricing Derivative Securities, in Numerical Methods in Finance. Cambridge University Press, Cambridge Black, F. e M. Scholes (1973). The Price of Options and Corporate Liabilities. Journal of Political Economy, 81, Chriss, Neil (1995). Black-Scholes and Beyond: Option Pricing Models. McGraw-Hill, Nova York. Clewlow, L. e C. Strickland (1998). Implementing Derivatives Models. John Wiley & Sons, Nova York. Cox, J., S. A. Ross e M. Rubinstein (1979). Option Pricing: A Simplified Approach. Journal of Financial Economics, 7, Hull, J. C. (1997). Options, Futures and Other Derivatives. Prentice Hall, Englewood Cliffs, Nova Jersey. Leisen, D. P. J.(1998). Pricing the American put option: A detailed convergence analysis for binomial models. Journal of Economic Dynamics & Control,, Leisen, D. P. J.(1995). Binomial Models for Option Valuation: Examining and Improving Convergence. Discussion Paper, B-309, University of Bonn. Mayhew, S. (1998). Numerical Results on the Convergence of Binomial Option Pricing Model. Working Paper, Krannert School of Management, Purdue University. Moro, B. (1995). Fast Computation of Cumulative Normal Distribution Function, Working Paper, TMG Financial Products, Greenwich, Connecticut. Trigeorgis, L. (1991). A Log-Transformed Binomial Numerical Analysis Method for Valuing Complex Multi-Option Investments. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 6,