INSTITUTO COPPEAD DE ADMINISTRAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO LUIGGI SENNA

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1 INSTITUTO COPPEAD DE ADMINISTRAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO LUIGGI SENNA APLICAÇÃO DE MODELO TRINOMIAL PARA O APREÇAMENTO DE OPÇÕES REAIS EM PROCESSOS COM REVERSÃO À MÉDIA E COMPARAÇÃO COM MODELOS BINOMIAIS Rio de Janeiro 2010

2 ii LUIGGI SENNA APLICAÇÃO DE MODELO TRINOMIAL PARA O APREÇAMENTO DE OPÇÕES REAIS EM PROCESSOS COM REVERSÃO À MÉDIA E COMPARAÇÃO COM MODELOS BINOMIAIS Dissertação de mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Administração, Instituto COPPEAD de Administração, Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Administração Orientador: Eduardo Facó Lemgruber, Ph.D. Rio de Janeiro 2010

3 S478 Senna, Luiggi. Aplicação de modelo trinomial para o apreçamento de opções reais em processos com reversão à média e comparação com modelos binomiais. / Luiggi Senna f.: il. Dissertação (Mestrado em Administração) - Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto COPPEAD de Administração, Rio de Janeiro, Orientador: Eduardo Facó Lemgruber 1. Opções reais. 2. Modelo trinomial. 3. Administração - Teses. I. Lemgruber, Eduardo Facó. (Orient.). II. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Instituto COPPEAD de Administração. III. Título. CDD 332

4 iii APLICAÇÃO DE MODELO TRINOMIAL PARA O APREÇAMENTO DE OPÇÕES REAIS EM PROCESSOS COM REVERSÃO À MÉDIA E COMPARAÇÃO COM MODELOS BINOMIAIS LUIGGI SENNA Dissertação de mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Administração, Instituto COPPEAD de Administração, Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Administração Aprovada por: Eduardo Facó Lemgruber, Ph.D Orientador (COPPEAD/UFRJ) Luis Eduardo Brandão, Ph.D (IAG/PUC-Rio) Edson Daniel Lopes Gonçalves D.Sc. (FGV-RJ)

5 iv Dedico este trabalho a todos que estiveram comigo durante todos os momentos.

6 v AGRADECIMENTOS Agradeço à minha família por todo o apoio dado até hoje. Agradeço ao COPPEAD, por acreditar na excelência no ensino. Agradeço ao governo federal e aos órgãos responsáveis por financiar meu estudo. Agradeço às empresas que investem na educação. Agradeço ao Prof. Eduardo Facó por transformar complexidade em simplicidade. Agradeço aos outros professores do COPPEAD por ensinarem a destruir e a reconstruir. Agradeço às instituições de ensino pelas quais passei por me formarem como pessoa. Agradeço aos meus amigos por me incentivarem. Agradeço aos meus colegas do COPPEAD por me ajudarem a definir rumos.

7 vi RESUMO SENNA, Luiggi. Aplicação de Modelo Trinomial para o Apreçamento de Opções Reais em Processos com Reversão à Média e Comparação com Modelos Binomiais. Orientador: Eduardo Facó Lemgruber. Rio de Janeiro: COPPEAD/UFRJ, Dissertação (Mestrado em Administração) Este trabalho é motivado principalmente por a maior área de aplicação do método de Análise de Opções Reais ser a avaliação de investimentos onde as funções densidade de probabilidade das incertezas diferem significativamente da distribuição log-normal (Triantis, 1993), assumida pela maioria da literatura sobre o assunto (Pindyck, 1999). Além disto, esta premissa de log-normalidade não é consistente com a crença dos gestores, de que os preços de certos insumos e produtos possuem comportamento de reversão à média (Smith e McCardle, 1999). Por isto, busco neste trabalho modelos que incorporam a premissa de reversão à média (Nelson e Ramaswamy, 1990 e Hull-White, 1990 e 1994) e comparo-os a modelos tradicionalmente utilizados que adotam a premissa de Movimento Geométrico Browniano (Black-Scholes, 1973 e Cox, Ross e Rubinstein, 1979). O modelo de Hull-White (1994) foi desenvolvido para taxas de juro, entretanto, neste trabalho foi realizada uma adaptação para utilização com preços futuros. Primeiro, procuro identificar se há convergência entre estes modelos, para alguns exemplos, assumindo a premissa de Movimento Geométrico Browniano e depois analiso os resultados assumindo que os preços dos ativos subjacentes seguem o processo de Ornstein-Uhlenbeck (1930), um processo de reversão à média, verificando se os preços das opções se alteram. Pude verificar convergência entre os modelos e também que os prêmios das opções realmente se alteram ao mudar a premissa de comportamento dos preços dos ativos subjacentes ao longo do tempo. Esta observação estaria de acordo com a afirmativa de Lo e Wang (1995 in Pindyck 1999), Schwartz (1998) e Laughton e Jacoby (1993), de que ao se assumir a premissa de Movimento Geométrico Browniano os preços das opções sobre ativos que possuem reversão à média estariam sendo super ou subestimados. Palavras-chave: Opções reais. Reversão à média. Modelo trinomial. Não-arbitragem.

8 vii ABSTRACT SENNA, Luiggi. Aplicação de Modelo Trinomial para o Apreçamento de Opções Reais em Processos com Reversão à Média e Comparação com Modelos Binomiais. Orientador: Eduardo Facó Lemgruber. Rio de Janeiro: COPPEAD/UFRJ, Dissertação (Mestrado em Administração) This work is motivated mainly because the main area of Real Option Analysis use is investments valuation where the density probability function of uncertainties are significantly different from log-normal distribution (Triantis, 1993), assumption which is used by the majority of the literature about the subject (Pindyck, 1999). Adding to this, the lognormality assumption is not consistent with managers beliefs, that prices of many resources and products are mean-reverting behaved (Smith & McCardle, 1999). Thus, I have searched for models that incorporate the mean-reversion assumption (Nelson & Ramaswamy, 1990 and Hull-White, 1990 and 1994) and compared them to the traditional models that adopt the Brownian Geometric Movement as a assumption (Black-Scholes, 1973 and Cox, Ross & Rubinstein, 1979). The Hull-White model (1994) was developed to model interest rates, however, in this work it has been adapted for future prices. First, I have tried to identify if the models converge, using a few examples, assuming the Brownian Geometric Movement assumption. Then, I have analyzed the results assuming that prices follow a Ornstein- Uhlenbeck process (1930), a mean-reverting process, and verified if option prices changed. I have verified that the models do converge and that option prices change when the assumption for the behavior along time of underlying assets prices is modified. This observation is in line with Lo & Wang (1995 in Pindyck 1999), Schwartz (1998) and Laughton & Jacoby (1993), who say that when we assume the Brownian Geometric Movement assumption, option prices with mean-reverting underlying assets are over or undervalued. Keywords: Real options. Mean-reversion. Trinomial model. Non-arbitrage.

9 viii SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO REVISÃO DE LITERATURA METODOLOGIA COMPARAÇÃO ENTRE MODELOS MODELOS PARA MOVIMENTO GEOMÉTRICO BROWNIANO Modelo de Cox, Ross e Rubinstein (1979) Modelo Binomial de Nelson e Ramaswamy (1990) Modelo Trinomial de Hull-White (1990) MODELOS PARA PROCESSOS COM REVERSÃO À MÉDIA Modelo Binomial de Nelson e Ramaswamy para Reversão à Média Modelo Trinomial de Hull-White (1994) CONCLUSÃO E ANÁLISE Sugestão para Trabalhos Futuros REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS APÊNDICE 1 Modelos utilizados no software DPL APÊNDICE 2 Adaptação do modelo de Hull-White (1994) para preços futuros APÊNDICE 3 Estruturas a termo utilizadas no modelo de Hull-White (1994)... 54

10 ix LISTA DE SIGLAS CDF Função Distribuição de Probabilidade Cumulativa (Cumulative Distribution Function) CRR Cox, Ross e Rubinstein MGB Movimento Geométrico Browniano N&R Nelson e Ramaswamy RM Processo de Reversão à Média ROA Avaliação por Opções Reais (Real Option Analysis) SDE Equação Estocástica Diferencial (Stochastic Differential Equation)

11 x LISTA DE FIGURAS Figura 1 No gráfico à esquerda observam-se os valores dos exemplos de opções ( = 20, = 20%, = 1, = 22, = 10%) obtidos utilizando o modelo de CRR. As linhas horizontais representam os valores de referência obtidos utilizando Black-Scholes, no caso das Européias, e por CRR (valor hipotético de convergência para = 500), no caso da put americana. O gráfico à direita apresenta a diferença entre os valores obtidos pelo modelo de CRR e os valores de referência Figura 2 Valores obtidos pelos modelos de CRR e N&R para as probabilidades de movimento ascendente, para diversos números de passos. Foram utilizados os parâmetros dos exemplos utilizados neste trabalho ( = 20, = 20%, = 1, = 10%) Figura 3 Funções distribuição de probabilidades dos dos preços na data, obtidas utilizando os modelos de CRR e N&R com 50 passos, assumindo a premissa de que os preços seguem um MGB. As duas funções estão sobrepostas e são coincidentes. Foram utilizados os parâmetros dos exemplos utilizados neste trabalho ( = 20, = 20%, = 1, = 10%) Figura 4 Funções distribuição de probabilidades dos dos preços na data, obtidas utilizando os modelos de CRR, N&R e Hull-White com 100 passos, assumindo a premissa de que os preços seguem um MGB. As três funções estão sobrepostas e são coincidentes. Foram utilizados os parâmetros dos exemplos utilizados neste trabalho ( = 20, = 20%, = 1, = 10%) Figura 5 Média (curva crescente) e desvio padrão (curva decrescente), para a distribuição de probabilidades do dos preços que seguem um processo de RM obtidos na data, em função do coeficiente de reversão. Foram utilizados os parâmetros dos exemplos utilizados neste trabalho ( = 20, = 21, = 20%, = 1) Figura 6 O histograma à esquerda foi gerado a partir do dos preços obtidos na data, gerados por um processo com reversão à média com parâmetros iguais a de nossos exemplos ( = 20, = 21, = 20%, = 1) e coeficiente de reversão =. A figura da direita mostra o QQ-Plot comparando a distribuição dos preços obtida com uma distribuição normal (, )

12 xi Figura 7 Média da distribuição de probabilidades do dos preços que seguem um processo de RM obtidos na data, em função do coeficiente de reversão. A curva crescente foi obtida fazendo com que o valor da média histórica = enquanto a curva decrescente foi obtida para =. Foram utilizados os parâmetros dos exemplos utilizados neste trabalho ( = 20, = 20%, = 1) Figura 8 Funções distribuição de probabilidades dos dos preços na data, obtidas utilizando os modelos de CRR, assumindo a premissa de que os preços seguem um MGB com =, e N&R assumindo a premissa de que os preços seguem um processo de reversão à média com =. As duas funções estão sobrepostas e são coincidentes Figura 9 A árvore binomial no topo desta figura apresenta os valores do ativo e as probabilidades de movimento ascendente em cada um dos nós da árvore, para nosso exemplo. A tabela mostra os valores que as probabilidades de movimento ascendente assumem de acordo com o coeficiente de reversão utilizado no modelo Figura 10 A figura apresenta as três formas de branching possíveis no modelo trinomial de Hull-White. A forma A é forma padrão, utilizada em todos os nós, exceto nos nós que possuam altura máxima ou mínima da árvore, definidos por e, respectivamente. A forma B é utilizada nos nós com altura mínima, enquanto a forma C é utilizada nos nós com altura máxima Figura 11 Funções distribuição de probabilidades dos dos preços na data, obtidas utilizando os modelos de CRR, assumindo a premissa de que os preços seguem um MGB com =, e N&R e Hull-White assumindo a premissa de que os preços seguem um processo de reversão à média com =. As três funções estão sobrepostas e são coincidentes

13 xii LISTA DE TABELAS Tabela 1 Características das opções utilizadas como exemplo ao longo de todo este trabalho Tabela 2 Valores das opções utilizadas como exemplo neste trabalho ( = 20, = 20%, = 1, = 22, = 10%), segundo premissa de que os preços seguem um MGB, obtidos pelos modelos de CRR, N&R e Hull-White com 10 passos. Os valores de referência foram obtidos por Black-Scholes, no caso das européias, e por CRR com 500 passos, no caso da americana Tabela 3 Preço das opções utilizadas como exemplo neste trabalho, obtidos pelos modelos de CRR, N&R e Hull-White, segundo premissa de que os preços seguem um MGB com =, e N&R e Hull-White, segundo premissa de que os preços seguem um processo de reversão à média com k=0. Os valores de referência foram obtidos por Black-Scholes, no caso das européias, e por CRR, no caso da americana Tabela 4 Preços das opções utilizadas como exemplo neste trabalho, obtidos pelos modelos de N&R e Hull-White, segundo premissa de que os preços seguem um processo de reversão à média. Os erros foram calculados com base nos valores encontrados pelo modelo de N&R

14 13 1 INTRODUÇÃO Neste trabalho vou estudar alguns modelos utilizados para o apreçamento de opções de forma a conseguir, ao final, um melhor entendimento sobre os modelos que incorporam a premissa de que os ativos seguem um processo de reversão à média (RM). Mais especificamente, analiso o modelo trinomial proposto por Hull-White (1994) e comparo-o a outro modelo que usa esta mesma premissa, utilizado em artigo de Hahn e Dyer (2008) e baseado no modelo geral de Nelson e Ramaswamy (1990). A motivação para este trabalho reside no fato de se querer aplicar o modelo de Hull-White a opções reais. Primeiro porque diversos casos onde há a aplicação do método de análise de opções reais (ROA) envolvem ativos subjacentes que, há indicações (BASTIAN-PINTO, BRANDÃO; HAHN, 2009), possuem preços que revertem à média. Assim, seria importante assumir esta premissa nos modelos, para um apreçamento mais preciso destas opções embutidas em projetos e para a melhor determinação do ponto ótimo de exercício de opções americanas. Além disto, apesar de Hull e White (1994) e Hull (2002) afirmarem que o modelo trinomial seria mais apropriado para o apreçamento de ativos que seguem processos de RM, devido a sua capacidade de reverter mais rapidamente à média, não encontrei literatura que utilizasse este modelo para o apreçamento de opções reais. Existem ainda alguns pontos levantados por pesquisadores que motivam o desenvolvimento deste trabalho. Triantis (2005), afirma que existem algumas barreiras que dificultam a adoção do método de ROA. Entre elas, este trabalho aborda principalmente dois pontos. O primeiro é relativo à correta especificação da distribuição de probabilidade dos preços dos ativos subjacentes, o que implica em se conhecer o processo estocástico que melhor modela o comportamento dos preços. O segundo é a determinação do preço do risco. Isto é aqui abordado no momento em que proponho a utilização do modelo de Hull-White, um modelo de não arbitragem, que utiliza estruturas a termo do mercado para modelar o comportamento dos preços. Em condições de eficiência de mercado, as estruturas a termo já obteriam o preço do risco e assim, deveria se utilizá-las de forma a obter um modelo que não aponte oportunidades de arbitragem. Este trabalho insere-se em um contexto junto a outros trabalhos realizados, tanto relacionados ao apreçamento de opções reais, como também à pura preocupação em se tratar com mais realismo o processo estocástico que melhor modela o comportamento dos

15 14 preços dos ativos, o que torna o estudo também aplicável a opções financeiras. Inicialmente Black e Scholes (1973) desenvolveram um modelo de tempo contínuo para o apreçamento de opções européias, considerando que o preço do ativo seguia um Movimento Geométrico Browniano (MGB). Em seguida, Cox, Ross e Rubinstein (1979) desenvolveram um modelo de tempo discreto, a partir de uma árvore binomial, que também podia ser utilizado para o apreçamento de opções americanas e que convergia para os resultados encontrados utilizando o modelo de Black e Scholes. A preocupação em se tratar melhor o comportamento real do preço dos ativos veio em seguida. Um dos trabalhos que também utiliza uma árvore binomial para o apreçamento de opções, mas que permite que o ativo subjacente siga outros processos estocásticos, além do MGB, é o de Nelson e Ramaswamy (1990). Hahn e Dyer (2008) utilizam este último trabalho citado para modelar um problema onde os preços dos ativos seguem um processo de RM. Hull e White (1994) propuseram também um modelo trinomial para taxas de juro, que segundo a literatura revertem à média. Em outros trabalhos Hull e White já utilizavam modelos trinomiais, mesmo quando o comportamento do preço dos ativos era modelado por um MGB (HULL; WHITE, 1990; HULL, 2002). Assim, neste trabalho procuro apresentar mais evidências para verificar a importância da premissa a ser utilizada para o comportamento dos preços dos ativos e do modelo a ser utilizado. Os objetivos deste trabalho são, portanto, verificar os resultados obtidos com a modelagem de alguns exemplos de acordo com os modelos de Black-Scholes (1973), Cox, Ross e Rubinstein (1979), Nelson e Ramaswamy (1990) e Hull-White (1990 e 1994) e, principalmente, comparar os resultados obtidos com o modelo de Hull-White de 1994, que incorpora a premissa de que os preços dos ativos seguem um processo de RM, com os obtidos utilizando os outros modelos. Ao verificar estes resultados, procuro identificar se os preços das opções se alteram ao assumirmos a premissa de que os preços dos ativos subjacentes seguem um processo de RM, em comparação com a premissa de que seguem um MGB. Além disso, procuro identificar as principais diferenças entre a utilização dos modelos de Nelson e Ramaswamy (1990) e de Hull-White (1994), ambos considerando a premissa de reversão à média, e as principais dificuldades em se utilizar o modelo trinomial de Hull-White (1994).

16 15 2 REVISÃO DE LITERATURA O termo opções reais foi cunhado há mais de 30 anos, em 1977, por Stewart Myers (Triantis, 2005). Entretanto, a teoria de opções reais só começou a se difundir a partir da década de 1990, na qual diversos artigos começaram a tratar o tema e alguns livros foram lançados e serviram de referência para a construção e disseminação do conhecimento. Em 1994, Dixit e Pindyck lançam Investment Under Uncertainty, em 1996 Trigeorgis lança Real Options: Managerial Flexibility and Strategy in Resource Allocation e, somente em 2001, Copeland e Antikarov lançam Real Options: A Practioner s Guide, livros utilizados hoje como referência no estudo e na prática do método de ROA. Segundo Triantis (2005) a utilização de opções reais ainda é tímida entre os praticantes de análise de investimentos. Entretanto, de acordo com o autor, estudos mostram que a taxa de aceitação é promissora, dado o que ocorreu com outras técnicas muito utilizadas hoje em dia, como a de valor presente líquido, que obteve uma aceitação muito gradual no início de sua utilização. O autor afirma que hoje os teóricos devem se esforçar para ampliar a prática da utilização do método de ROA e sugere caminhos para isso. Entre eles está o refinamento dos modelos de perfeição de mercado, ou seja, aproximar os modelos da realidade, onde muitas vezes o mercado não possui liquidez e certas premissas de mercado perfeito não podem ser utilizadas. Para tal, o autor apresenta três principais problemas: a especificação da distribuição de probabilidade dos preços dos ativos subjacentes; a determinação do preço do risco, por exemplo, através da utilização do preço de contratos futuros na avaliação de opções reais e; o desenvolvimento de modelos computacionais eficientes. Um dos problemas que abordo neste trabalho está entre as críticas de Triantis (2005). A especificação da distribuição de probabilidade dos preços dos ativos está diretamente relacionada à determinação do comportamento destes preços. Vou dividir este problema em duas partes. A primeira e mais ampla é a determinação da distribuição de probabilidade do preço do ativo subjacente a partir do conhecimento da distribuição de probabilidade dos preços de suas componentes. A segunda é a determinação da distribuição de probabilidade dos preços das próprias componentes que formam o preço do ativo subjacente. Se estes preços não são observáveis, deve-se estimar subjetivamente sua distribuição. Se os preços são observáveis deve-se estimar corretamente seu comportamento ao longo do tempo. Neste trabalho me preocupo com a determinação correta do comportamento dos preços

17 16 observáveis das componentes do ativo, o que torna o estudo aplicável também a opções financeiras. Entretanto, vou anteriormente dar uma breve explicação sobre cada uma das interpretações do problema. Determinação da Distribuição de Probabilidade dos Preços do Ativo Subjacente Segundo Jackwerth e Rubinstein (1996), a dificuldade para estimar a distribuição de probabilidade do preço do ativo subjacente é um problema para o apreçamento de opções. Para as opções financeiras, geralmente é considerado que os preços dos ativos possuem distribuição log-normal e a dificuldade reside no cálculo da variância dos retornos. Com este objetivo, pode se aplicar técnicas de estimação que se baseiam no preço negociado em mercado, como o Exponentially Weighted Moving Average (EWMA), o Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity (GARCH), entre outros. Os autores ainda discutem a dificuldade na definição dos parâmetros e séries a serem utilizados nos modelos de estimação de volatilidade, além de haver a possibilidade do ativo apresentar pouca liquidez, ou seja, ser pouco negociado. Neste caso não é possível coletar retornos com a periodicidade necessária para o modelo. Além disto, a própria premissa de normalidade dos retornos vem sofrendo críticas, como Jackwerth e Rubinstein (1996) comentam em seu artigo. No caso de opções reais, o principal problema é não termos o preço do ativo subjacente observável, por serem projetos não negociáveis, ou com muito pouca liquidez. Alguns autores sugerem soluções para este problema. Copeland e Antikarov (2001) sugerem a Simulação de Monte-Carlo como ferramenta para estimar a distribuição de probabilidade dos preços do ativo objeto. O valor do projeto é calculado a partir de certas componentes que formam o preço do ativo, como preço do produto, demanda, custo fixo, custo variável etc. A partir da utilização de dados históricos para a estimativa da distribuição de probabilidade destas componentes é possível calcular, utilizando algum programa de simulação, a distribuição de probabilidade do projeto como um todo. Os autores chamam essa metodologia de Abordagem Consolidada. Caso não existam dados históricos sobre as componentes que formam o preço do ativo, suas distribuições de probabilidade devem ser estimadas subjetivamente, através de educated guess.

18 17 Determinação da Distribuição de Probabilidade dos Preços das Componentes do Ativo Para tentar se aproximar da distribuição de probabilidade dos preços das componentes do ativo subjacente em uma data específica, como, por exemplo, na data de vencimento da opção, é necessário conhecer o comportamento dos preços ao longo do tempo. Desta forma, é possível através de cálculo analítico ou de simulações, encontrar uma distribuição de probabilidades aproximada do preço. Para opções reais, componentes como o custo da matéria-prima ou o preço do produto vendido compõem o preço do ativo objeto, ou seja, o valor da empresa. Para opções financeiras, geralmente a única componente do ativo subjacente é o próprio preço do ativo, para o qual é normal assumir que segue um MGB. Entretanto, para opções de taxas de juro, a premissa de MGB não é verdadeira, como observa Hull (2002, p.539), que afirma que estas possuem um comportamento de reversão à média. Smith e McCardle (1999, p.5) e Pindyck (1999, p.26) afirmam que a maioria da literatura de opções reais assume que a incerteza subjacente segue um MGB. Atualmente este cenário está mudando, já que diversos autores demonstram preocupação maior em modelar corretamente o processo estocástico dos ativos. De acordo com Triantis (1993, p.12), em diversas aplicações em que opções reais são utilizadas, as funções densidade de probabilidade das incertezas diferem significativamente da distribuição log-normal que é assumida pelo modelo de Black-Scholes e por outros modelos relacionados. Triantis (1993, p.10) diz ainda que, para o método de ROA, a maior área de aplicação é a avaliação de investimentos na exploração e desenvolvimento de reservas naturais, em particular minério, óleo e gás. Estudos empíricos de dados históricos mostram que modelos com reversão a média capturam com acurácia a evolução dos preços de commodities (SCHWARTZ, 1997, In: HAHN; DYER, 2008, e BESSEMBINDER et al., 1995, in HAHN e DYER, 2008). Ou seja, a maioria das aplicações de opções reais é relacionada a ativos que dependem do preço de commodities, que parecem ter reversão à média, enquanto que a maioria da literatura assume que os preços seguem o MGB. Além disso, Smith e McCardle (1999, p.6) afirmam que utilizar a premissa de log-normalidade para os preços de certos insumos e produtos não é consistente com a crença dos gestores. Smith e McCardle (1999, p.6), Bastian-Pinto, Brandão e Hahn (2009) e Hahn e Dyer (2008) afirmam que a explicação por traz da lógica do processo de RM é micro-econômica. Quando

19 18 os preços de um produto específico estão abaixo de sua média histórica a demanda por estes tende a aumentar enquanto a oferta tende a diminuir, já que o ramo de atividade se torna menos atrativo para o empresário. O aumento da demanda e a redução da oferta geram uma pressão sobre os preços que tenderão a aumentar, em direção à sua média histórica. Por outro lado, quando os preços estão acima de sua média histórica, a demanda pelos produtos tende a diminuir, enquanto os investimentos dos empresários em capacidade produtiva e na produção dos produtos tende a aumentar, de forma a se aproveitar dos altos preços. A combinação de um aumento na oferta e de uma redução na demanda promove queda de preços, ou seja, faz com que estes voltem a tender para a média histórica. Segundo Pindyck (1999, p.1), a média histórica do preço seria igual ao custo marginal total de longo prazo, que não pode ser observado no mercado. A utilização da premissa de que os preços seguem um MGB estaria super ou subestimando o valor das opções (LO; WANG, 1995 em PINDYCK 1999, p.26 e SCHWARTZ, 1998; LAUGHTON; JACOBY, 1993). Pindyck (1999, p.26) afirma ainda que, no caso de opções reais, geralmente com prazos muito mais longos que o de opções financeiras e que necessitam da determinação do ponto ótimo de exercício, os efeitos de considerar uma premissa errada para o comportamento dos preços teria conseqüências ainda maiores, já que a determinação do ponto ótimo de exercício às vezes é ainda mais importante que determinar o preço da opção. A influência da premissa do comportamento dos preços nas regras de decisão de investimento é melhor explorada por Dixit e Pindyck (1994). Apesar da motivação micro-econômica para a reversão à média e da crença de gestores em relação a este comportamento de certos ativos, Pindyck (1999) buscou comprovação para a existência de reversão a média no preço de algumas commodities. Segundo seu estudo, é possível mostrar que os preços de algumas commodities realmente revertem à média, entretanto, a hipótese de que os preços seguiriam um MGB não pode ser rejeitada, a não ser para séries extremamente longas, com mais de um século de dados. Apesar da dificuldade em se identificar o comportamento de reversão a média, o autor afirma que as séries possuem este comportamento, apesar do coeficiente de reversão ser muito baixo. No presente trabalho também assumo que os preços assumem reversão a média. Pindyck (1999) examina o comportamento de longo prazo dos preços do petróleo, do carvão e do gás natural nos Estados Unidos da América, utilizando até 127 anos de dados. O autor

20 19 busca identificar qual a melhor modelagem para a variação destes preços e verifica se assumir a premissa de que os preços revertem a uma linha de tendência flutuante ajudaria a fazer previsões sobre o preço destes ativos em um horizonte de 20 anos ou mais. Com isto, o autor busca informações sobre o processo de decisão de investimentos que dependam do comportamento dos preços. No modelo que considera reversão à linha de tendência, o autor sugere que esta linha de tendência varia aleatoriamente, mas que é relacionada ao custo marginal de longo prazo, que não pode ser observado, no caso em que o produto é negociado em um mercado competitivo. Assim, choques de preço seriam temporários e em intervalos de tempo suficientemente longos os preços reverteriam à média. Através de testes de raiz unitária, o autor conclui que mesmo utilizando séries que se estendem por um século os resultados são inconclusivos. Ele só consegue rejeitar a raiz unitária para o petróleo e mesmo assim para amostras com quase um século de extensão, mostrando que a hipótese de MGB não pode ser rejeitada. O autor argumenta que o motivo para este resultado pode ser causado pelo próprio método que necessita de amostras muito grandes para conseguir rejeitar a raiz unitária. Entretanto, o MGB só pode ser utilizado caso a volatilidade seja relativamente constante ao longo do tempo. Caso haja variação grande na volatilidade pode haver graves erros na decisão ótima de investimento. Os testes de raiz unitária combinados com testes de taxa de variância mostram que apesar dos preços possuírem reversão a média, o coeficiente de reversão é muito baixo e, além disso, as linhas de tendência para as quais os preços convergem flutuam ao longo do tempo. A variância também é relativamente constante dentro das amostras e, desta forma, a hipótese de que os preços seguem o MGB não poderia ser rejeitada. Entretanto, o autor conclui que a teoria de produção de recursos esgotáveis e o comportamento real dos preços analisados implicam que modelos de previsão não-estruturais devem incorporar a reversão à média para uma linha de tendência que flutua estocasticamente. Outros autores propõem modelos distintos para tratar o comportamento real dos preços dos ativos subjacentes. Em meu trabalho, entretanto, me concentrarei nos modelos propostos por Hull e White (1994) e Hahn e Dyer (2008). Procuro, através da utilização destes modelos, gerar mais indícios para a utilização de modelos que incorporem na prática do método de ROA um comportamento mais realista dos preços das componentes dos

21 20 ativos. Com isto, estaria auxiliando a reduzir a barreira identificada por Triantis (1993) para a utilização do método de ROA, que é o refinamento dos modelos de perfeição de mercado. Em específico, quero verificar o impacto da premissa para o comportamento dos preços das componentes que formam o preço dos ativos reais, no apreçamento de opções. Desta forma, estou também verificando este impacto na precificação de opções financeiras. Além disto, o enfoque principal dado ao modelo de Hull-White (1994) neste trabalho busca analisar um modelo de não arbitragem, que utiliza estruturas a termo do mercado para modelar o comportamento dos preços dos ativos. Com isto, espero auxiliar também na geração de mais informações para a utilização de um modelo que consiga mensurar mais precisamente o preço do risco, em condições de eficiência de mercado. Esta é também uma das críticas que Triantis (1993) faz e que deve ser abordada por pesquisadores. Procuro ainda verificar se realmente não considerar corretamente que os preços dos ativos seguem um processo de RM estaria super ou subestimando os preços das opções, analisando o impacto do coeficiente de reversão nos preços das opções. Por último, este trabalho é motivado por eu não ter encontrado literatura que utilize um modelo trinomial para o apreçamento de opções reais, utilizando a premissa de reversão à média dos preços dos ativos. Desta forma, procuro ao final deste trabalho obter informações que auxiliem na compreensão de cada um dos modelos, seus prós e contras, e que a comparação entre eles permita o desenvolvimento de novos estudos e aplicações baseadas no resultado deste trabalho, tanto para opções financeiras como para opções reais.

22 21 3 METODOLOGIA Para cumprir os objetivos propostos, serão analisados os modelos de Cox, Ross e Rubinstein (1979), Nelson e Ramaswamy (1990) e Hull-White (1990 e 1994). Esta análise será realizada através da comparação entre os resultados obtidos utilizando os diversos modelos em três etapas. Primeiro, serão utilizados os modelos que tem como premissa que os preços do ativo seguem um MGB. Nesta etapa serão utilizados os modelos de Black-Scholes (1973), CRR (1979), N&R (1990) e Hull-White (1990). Estes modelos possuem literatura que os apresenta detalhadamente. Em seguida, serão utilizados os modelos que tem como premissa que o logaritmo neperiano dos preços segue um processo de RM, o processo de Ornstein- Uhlenbeck (1930), considerando que o coeficiente de reversão =0. Os resultados gerados assumindo esta premissa devem ser iguais aos resultados considerando que o ativo segue um MGB com drift =, como será melhor explicado mais a frente. Os modelos utilizados aqui serão os de Black-Scholes (1973), CRR (1979), N&R (1990) para MGB, N&R (1990) para RM, Hull-White (1990) para MGB e Hull-White (1994) para RM. O modelo de Hull-White (1994) para RM foi desenvolvido para taxas de juro, entretanto, neste trabalho foi realizada uma adaptação para utilização com preços futuros, que será melhor descrita em seguida. Por último, serão comparados os resultados entre o modelo de N&R (1990) e Hull- White (1994), ambos modelados considerando a premissa de RM, com 0. Para realizar a comparação entre os modelos serão observadas suas fórmulas analíticas, as distribuições de probabilidade cumulativa (CDF) geradas na data, data de vencimento das opções fictícias criadas para que também se possa comparar seus preços obtidos utilizando os diversos modelos. Estas opções são uma call, uma put européia e uma put americana com características descritas em seguida. Para comparar as CDFs, será utilizado o teste estatístico de Kolmogorov-Smirnov. Os resultados das opções utilizadas como exemplo foram obtidos utilizando o software DerivaGem, no caso dos modelos de Black-Scholes e CRR, e DPL, no caso dos modelos de N&R e Hull-White. O DPL é um software de árvore de decisões utilizado por pesquisadores e praticantes de análise de operações. Entretanto, diversos estudos de opções reais vêm utilizando este software devido a sua simplicidade e facilidade de compreensão (HAHN;

23 22 DYER, 2008). Todos os modelos utilizados no DPL são apresentados nos apêndices a este trabalho. Foi utilizado também o software MatLab e o Excel para gerar os mais diversos resultados apresentados neste trabalho. É importante lembrar que estou analisando apenas três exemplos de opções, uma call, uma put européia e uma put americana, com parâmetros fixos. Ou seja, todos os resultados obtidos se referem somente a estas três opções e não podem ser generalizados ou estendidos a outros exemplos. Entretanto, acredito que a utilização de somente estes exemplos sirva como ilustração de diversos casos mais comuns de opções e que, desta forma, atende aos nossos objetivos propostos. Outra limitação é que ao comparar os resultados obtidos pelas opções americanas, não estou analisando a data de exercício prevista pelo modelo. Para tal deveria se verificar se as CDFs ao final de cada passo convergem utilizando os diversos modelos.

24 23 4 COMPARAÇÃO ENTRE MODELOS Nesta seção apresento os modelos tratados neste trabalho, suas similaridades e principais diferenças. Para tal, tento mostrar, quando possível, convergência entre eles, adotando algumas premissas básicas. Durante a apresentação destes modelos, utilizo alguns exemplos práticos básicos, de forma a elucidar a aplicação do mesmo e verificar os resultados obtidos. 4.1 MODELOS PARA MOVIMENTO GEOMÉTRICO BROWNIANO Modelo de Cox, Ross e Rubinstein (1979) Para iniciar a discussão, apresento o modelo que servirá como base para a comparação com os outros, a árvore binomial proposta por Cox, Ross e Rubinstein (1979). Utilizo este modelo como base, por ser bem aceito e largamente utilizado nas mais diversas aplicações. Detalhes da utilização deste modelo podem ser encontrados no artigo seminal dos autores e também no livro de Hull (2002). Este modelo será chamado ao longo do trabalho de CRR. O principal ponto a ser observado no modelo de CRR é que este considera que o processo do ativo segue um MGB. Assim, quando o número de passos do modelo,, tende para infinito e assim, tende para zero, a distribuição de probabilidades do logaritmo neperiano ( ) dos preços ao final de passos tende para uma normal. Esta é a mesma premissa adotada no modelo de Black-Scholes e por isso, os modelos devem convergir quando é suficientemente grande no modelo de CRR. Esta convergência pode ser observada em alguns exemplos, que serão utilizados ao longo de todo este trabalho, onde é possível comparar o preço obtido por Black-Scholes e pelo modelo de CRR. Estes exemplos são três opções plain vanilla, uma call, uma put européia e uma put americana com características apresentadas na Tabela 1. Variável Símbolo Valor Preço do ativo subjacente em =0 R$ 20 Volatilidade do ativo subjacente anualizada 20% a.a. Data de vencimento 1 ano Preço de exercício R$ 22 Taxa de juro livre de risco com composição contínua, anualizada 10% Tabela 1 Características das opções utilizadas como exemplo ao longo de todo este trabalho.

25 24 Para encontrar os valores analíticos, ou seja, calculados por Black-Scholes, das opções européias e os valores calculados pelo modelo de CRR para as três opções, utilizei o aplicativo DerivaGem. Para os exemplos encontrei os valores calculados por Black-Scholes de 1,6366 para a call e de 1,5430 para a put européia. Não existe fórmula analítica para a put americana. A Figura 1 mostra a convergência do preço das opções européias, calculadas pelo modelo de CRR, para os valores analíticos, com o aumento do número de passos utilizados no modelo. Também é mostrada a convergência da put americana. Uma discussão mais detalhada sobre a convergência entre os modelos pode ser encontrada em Cox, Ross e Rubinstein (1979). A Figura 1 apresenta os erros, ou seja, a diferença entre o valor calculado por CRR e o valor analítico, no caso das opções européias, e o valor de convergência, ou seja, o valor a partir do qual o aumento no número de passos do modelo não altera significativamente o resultado, no caso da put americana. O valor de convergência foi calculado utilizando 500 passos. Observa-se que, neste exemplo, os erros de ambas as opções européias são iguais e, por isso, as duas curvas estão sobrepostas neste gráfico. 2,2000 0,15 2,1000 2,0000 0,10 Valor da Opção 1,9000 1,8000 1,7000 1,6000 1,5000 1,4000 Erro 0,05 0,00-0,05-0, Put Americana Call Européia Put Européia Número de Passos (n) -0,15 Número de Passos (n) Figura 1 No gráfico à esquerda observam-se os valores dos exemplos de opções ( = 20, = 20%, = 1, = 22, = 10%) obtidos utilizando o modelo de CRR. As linhas horizontais representam os valores de referência obtidos utilizando Black-Scholes, no caso das Européias, e por CRR (valor hipotético de convergência para = 500), no caso da put americana. O gráfico à direita apresenta a diferença entre os valores obtidos pelo modelo de CRR e os valores de referência Modelo Binomial de Nelson e Ramaswamy (1990) Apesar da ampla utilização do modelo de CRR, alguns autores apresentaram outros modelos que consideram que o preço do ativo subjacente pode não seguir um MGB e sim outros processos estocásticos, entre eles os processos de RM. Entre estes autores estão Hahn e Dyer (2006), que a partir de uma generalização do modelo binomial proposta por Nelson e

26 25 Ramaswamy (1990), propõem um modelo binomial ajustado para processos de RM. Antes de apresentar o modelo adaptado para a reversão a média, apresento o modelo geral de Nelson e Ramaswamy (1990), que ao longo deste trabalho será chamado de N&R. Nelson e Ramaswamy (1990) propõem um método geral para o desenvolvimento de árvores binomiais recombinantes. O problema é encontrar uma sequência binomial que convirja para a seguinte equação estocástica diferencial (SDE): = (, ) + (, ) Onde é o logaritmo neperiano do preço do ativo no instante, ou seja, =ln, (, ) e (, ) são o drift e o desvio padrão contínuos instantâneos e segue um processo geométrico browniano padrão. Para resolver este problema os autores propuseram uma sequencia binomial simples de períodos, onde cada período tem tamanho, sendo = /, onde é o horizonte de análise, e: Movimento ascendente: = ( ) ( )+ (, ) (, ) Movimento descendente: = ( ) ( ) (, ) (, ) Probabilidade de um movimento ascendente: (, ) 2 (, ) Probabilidade de um movimento descendente: 1 As condições necessárias para que esta sequência convirja para a SDE são apresentadas no artigo dos autores. Modelo Binomial de Nelson e Ramaswamy para Movimento Geométrico Browniano É possível mostrar que o modelo de N&R converge para o modelo de CRR no caso em que o preço do ativo segue um MGB. Neste caso o processo estocástico pode ser descrito como = + = +

27 26 Aplicando o Lema de Itô, verifico que ( )= + Pode-se utilizar a equação acima para encontrar os parâmetros do modelo de N&R, que são apresentados abaixo. Movimento ascendente: ( )= ( )+ = = Movimento descendente: ( )= ( ) = = Probabilidade de um movimento ascendente: = + = Probabilidade de um movimento descendente: 1 É possível verificar que as equações encontradas para o movimento ascendente e descendente pelo modelo de N&R são exatamente iguais às do modelo de CRR. Para verificar a convergência de considero que o numero de passo tende a infinito, ou seja, que 0. Desta forma, é possível observar que tende para 1/2 em ambos os modelos, como pode ser observado na Figura 2, verificando a convergência entre eles. Os parâmetros utilizados foram os mesmos utilizados em nossos exemplos. Probabilidade de Movimento Ascendente (q) 0,7500 0,7000 0,6500 0,6000 0,5500 0,5000 q (CRR) q (N&R) Número de Passos (n) Figura 2 Valores obtidos pelos modelos de CRR e N&R para as probabilidades de movimento ascendente, para diversos números de passos. Foram utilizados os parâmetros dos exemplos utilizados neste trabalho ( = 20, = 20%, = 1, = 10%).

28 27 A Figura 3 mostra a função distribuição cumulativa do dos preços no vencimento dos exemplos deste trabalho utilizando ambos os modelos. É possível verificar que para um número suficientemente grande de passos as distribuições convergem. Neste caso utilizei 50 passos para ambos os modelos. Nos exemplos deste trabalho foi possível perceber convergência entre as distribuições mesmo a partir de dois passos. Probabilidade cumulativa Logaritmo neperiano do preço Figura 3 Funções distribuição de probabilidades dos dos preços na data, obtidas utilizando os modelos de CRR e N&R com 50 passos, assumindo a premissa de que os preços seguem um MGB. As duas funções estão sobrepostas e são coincidentes. Foram utilizados os parâmetros dos exemplos utilizados neste trabalho ( = 20, = 20%, = 1, = 10%). Na Tabela 2 são mostrados os resultados obtidos para os exemplos de opções apresentados neste trabalho, utilizando os modelos de CRR e N&R, considerando a premissa de que os preços seguem um MGB. Pode-se perceber a similaridade dos valores encontrados através da simulação para ambos os modelos, utilizando apenas 10 passos. Os valores de referência são 1,6366 para a call e de 1,5430 para a put européia, encontrados por Black-Scholes, e de 2,1437 para a put americana, valor aproximado de convergência no modelo de CRR. Os erros representam o desvio em relação aos valores de referência. No Apêndice 1 há um breve tutorial explicando como os exemplos foram modelados. No tutorial são apresentados modelos com poucos passos de forma a deixar clara a modelagem. Entretanto, os resultados apresentados ao longo do trabalho foram obtidos utilizando mais passos, de forma a podermos comparar de forma mais apurada os resultados.

29 28 Call Put Européia Put Americana Referência 1,6366 1,5430 2,1437 CRR 1,6360 1,5424 2,1301 (erro) 0,04% 0,04% 0,63% N&R 1,6313 1,5465 2,1319 (erro) 0,32% 0,23% 0,55% Hull-White 1,6070 1,5197 2,0290 (erro) 1,81% 1,51% 5,35% Tabela 2 Valores das opções utilizadas como exemplo neste trabalho ( = 20, = 20%, = 1, = 22, = 10%), segundo premissa de que os preços seguem um MGB, obtidos pelos modelos de CRR, N&R e Hull-White com 10 passos. Os valores de referência foram obtidos por Black- Scholes, no caso das européias, e por CRR com 500 passos, no caso da americana Modelo Trinomial de Hull-White (1990) O modelo trinomial proposto por Hull-White (1990) que considera que os preços seguem um MGB, possui os seguintes parâmetros: Movimento ascendente: = = Movimento descendente: = = Probabilidade de um movimento ascendente: = Probabilidade de um movimento estável: = 2 3 Probabilidade de um movimento descendente: = Pode-se verificar a convergência entre os modelos de CRR, N&R e Hull-White aplicando os modelos aos exemplos utilizados neste trabalho e comparando as distribuições cumulativas

30 29 do dos preços obtidas na data. A Figura 4 mostra as funções de distribuição cumulativas do dos preços utilizando os três modelos. Deve-se observar que, como as distribuições são muito similares, os gráficos se sobrepõem. Assim, pode-se verificar que para um número suficientemente grande de passos as distribuições convergem. Neste caso utilizei 100 passos para todos os modelos. Nos exemplos deste trabalho pude perceber que mesmo a partir de 10 passos as distribuições já eram bastante similares. Através do teste de Kolmogorov- Smirnov a hipótese nula de que as distribuições na data eram iguais não foi rejeitada nem mesmo para apenas um passo. Probabilidade cumulativa Logaritmo neperiano do preço Figura 4 Funções distribuição de probabilidades dos dos preços na data, obtidas utilizando os modelos de CRR, N&R e Hull-White com 100 passos, assumindo a premissa de que os preços seguem um MGB. As três funções estão sobrepostas e são coincidentes. Foram utilizados os parâmetros dos exemplos utilizados neste trabalho ( = 20, = 20%, = 1, = 10%). De posse da informação de que a distribuição converge quando 0, pode-se afirmar que os preços da call e da put européia convergem para os preços obtidos com os outros modelos anteriormente utilizados. Entretanto, resta testar se o preço da put americana também converge para o preço obtido com os outros modelos. Através da utilização do software DPL, calculei o valor de 2,0290 para a put americana utilizando o modelo de Hull- White. Posso comparar este número com o valor de referência utilizado anteriormente de 2,1437, obtido como valor de convergência do modelo de CRR. A Tabela 2, exibida anteriormente, apresenta os resultados utilizando o modelo de Hull-White. 4.2 MODELOS PARA PROCESSOS COM REVERSÃO À MÉDIA O processo de RM considerado ao longo deste trabalho será o processo de Ornstein- Uhlenbeck (1930), por ser mais comumente utilizado em outros trabalhos, dado por

31 30 = ( ) +, Onde é o do preço do ativo em, é o da média histórica de longo-prazo do preço do ativo, é o coeficiente de reversão à média, é a volatilidade do processo e é um processo de Wiener com média zero e variância. A função distribuição de probabilidades em uma data do dos preços de um ativo que segue um processo de Ornstein-Uhlenbeck, tende a uma normal, quando 0. Entretanto a média e a variância desta distribuição são dependentes do coeficiente de reversão à média. Quando =0 o processo é um MGB simples (Dixit e Pindyck, 1994, p.75), já que ao aplicar o Lema de Itô à expressão do MGB a componente da volatilidade se resume a. Neste caso, a distribuição na data deveria ser centrada no do preço inicial, ou seja, em ( ) quando =0, e ter desvio padrão igual a ou, para o modelo discreto, onde é o número de passos utilizados no modelo. Através dos exemplos deste trabalho, pode-se verificar o comportamento do processo de RM quando se altera o coeficiente de reversão. Nos exemplos utilizei o preço inicial =20, a média histórica =21, a volatilidade =20%.. e o prazo de análise =1. Através de simulação confirmo as afirmações feitas anteriormente, como pode se verificar na Figura 5. É possível observar que quando =0, a função distribuição de probabilidades do dos preços do ativo ao final do período possui volatilidade de aproximadamente 20% e sua média é aproximadamente igual ao preço inicial =20. A aproximação decorre do fato de estarmos trabalhando com simulações. Foram utilizadas simulações com passos cada uma. É possível verificar também que quanto maior o coeficiente de reversão, menor o desvio padrão da função distribuição de probabilidade na data e, neste caso específico, maior a média da distribuição. O fato da média ser crescente de acordo com o coeficiente de reversão indica que quanto maior o coeficiente de reversão, mais rápido os preços tendem para a média histórica. Neste exemplo, como a média histórica é maior que o preço inicial, a média tende a aumentar quanto maior for o coeficiente de reversão, como pode ser observado na Figura 5.

32 Media Desvio Padrao k Figura 5 Média (curva crescente) e desvio padrão (curva decrescente), para a distribuição de probabilidades do dos preços que seguem um processo de RM obtidos na data, em função do coeficiente de reversão. Foram utilizados os parâmetros dos exemplos utilizados neste trabalho ( = 20, = 21, = 20%, = 1). Realizei o teste estatístico de Kolmogorov-Smirnov para diversos valores de média histórica, volatilidade e coeficiente de reversão, obtendo sempre o mesmo resultado, para ordens de grandeza dos parâmetros coerentes entre si: não foi rejeitada a hipótese nula de que as amostras possuem distribuição normal com média e desvio padrão calculados dentro da própria amostra. Na Figura 6 pode ser observado o histograma do dos preços na data, utilizando os parâmetros dos exemplos deste trabalho quando o coeficiente de reversão =0, bem como o QQ-Plot desta amostra contra a distribuição normal padronizada. 3.8 QQ Plot of Sample Data versus Standard Normal Número de ocorrências na amostra Logaritmo neperiano do preço Quantiles of Input Sample Standard Normal Quantiles Figura 6 O histograma à esquerda foi gerado a partir do dos preços obtidos na data, gerados por um processo com reversão à média com parâmetros iguais a de nossos exemplos ( = 20, = 21, = 20%, = 1) e coeficiente de reversão =. A figura da direita mostra o QQ-Plot comparando a distribuição dos preços obtida com uma distribuição normal (, ) É interessante notar que quanto maior o coeficiente de reversão, mais a média da distribuição dos preços na data se aproxima da média histórica. Pode se observar este efeito na Figura 7, para a média histórica =30 e =15.