PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO

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1 Exame Nacional de 2011 (2.ª Fase) 1. Em primeiro lugar representaram-se a reta d, pelas suas projeções, bem como o plano ρ, pelos seus traços, em fun ção dos dados. É pedida a reta de interseção entre o plano δ (que está definido pela reta d, uma da suas retas de maior declive) e o plano ρ (definido pelos seus traços). A forma mais simples de resolver este exercício consiste em transformá-lo no caso geral da interseção entre planos, para o que é necessário determinar os traços do plano δ. Assim, começou-se por determinar os traços do plano δ. A reta d é uma reta do plano δ, pelo que tem de verificar a condição para que uma reta pertença a um plano em relação ao plano δ os traços da reta têm de estar sobre os traços homónimos do plano. Nesse sentido, determinaram-se os traços da reta nos planos de projeção o ponto H (traço horizontal da reta d) e o ponto F (traço frontal da reta d). Para determinar o traço horizontal do plano (que é uma reta), são necessários dois pontos ou um ponto e uma direção. O traço horizontal do plano (h δ ) tem de passar pelo traço horizontal da reta d (ponto H), pelo que já temos um ponto para definir a reta (h δ ). Falta-nos outro ponto ou uma direção. Tendo em conta que a reta d é uma reta de maior declive do plano δ, sabe-se que a sua projeção horizontal é perpendicular ao traço horizontal do plano (h δ ), pelo que já temos a direção que nos faltava. O traço horizontal do plano (h δ ) está definido por um ponto (o ponto H, o traço horizontal da reta d) e por uma direção (é perpendicular à projeção horizontal da reta d). Para determinar o traço frontal do plano (que é outra reta), são necessários dois pon tos ou um ponto e uma direção. O traço frontal do plano (f δ ) tem de passar pelo traço frontal da reta d (ponto F), pelo que já temos um ponto para definir a reta (f δ ). Falta-nos outro ponto ou uma direção. Tendo em conta que os traços de um plano têm necessariamente de ser concorrentes entre si num ponto do eixo X, já temos o ponto que nos faltava para definir a reta (f δ ) o ponto de concorrência dos traços do plano. O traço frontal do plano (f δ ) está definido por dois pontos o ponto F (o traço frontal da reta d) e o ponto de concorrência dos traços do plano (que se situa no eixo X). A partir deste momento, e como acima se referiu, a determinação da reta i (a reta de interseção entre os dois planos) processa-se a partir do caso geral da interseção entre planos, pois os dois planos (o plano δ e o plano ρ) estão ambos definidos pelos seus traços. A reta i é a reta de interseção entre os dois planos, ou seja, é o lugar geométrico dos pontos do espaço que pertencem aos dois planos (é a reta que pertence simultaneamente aos dois planos). Para definir uma reta são necessários dois pontos ou um ponto e uma direção. Para a reta i pertencer ao plano δ, o seu traço frontal tem de estar sobre o traço frontal do plano δ (condição para que uma reta pertença a um plano) e para que a reta i pertença ao plano ρ, o seu traço frontal tem também de estar sobre o traço frontal do plano ρ (condição para que uma reta pertença a um plano, mais uma vez). O traço frontal da reta i (ponto F ) é, assim, o ponto de concorrên cia dos traços frontais dos dois planos. Já temos um ponto para definir a reta i. Falta-nos outro ponto ou um ponto e uma direção. Para a reta i pertencer ao plano δ, o seu traço horizontal tem de estar sobre o traço horizontal do plano δ (condição para que uma reta pertença a um plano) e para que a reta i pertença ao plano ρ, o seu traço horizontal tem também de estar sobre o traço horizontal do plano ρ (condição para que uma reta pertença a um plano, mais uma vez). O traço horizontal da reta i (ponto H ) é, assim, o ponto de concorrência dos traços horizontais dos dois planos. Já temos o ponto que nos faltava para definir a reta i. A reta i (a reta pedida no enunciado) está, assim, definida por dois pontos os seus traços nos planos de projeção (o ponto F e o ponto H ). Tenha em conta que, em termos de expressi vidade, os dados do exercício (fornecidos no enunciado) são a traço médio (nomeadamente a reta d e os traços do plano ρ), as construções auxiliares necessárias à resolução do exercício são a traço leve e o pedido (as projeções da reta i) é a traço forte. 73

2 2. Em primeiro lugar representaram-se os pontos P, A, M e F, bem como a reta r, pelas respetivas pro jeções, em fun - ção dos dados. O ponto P, porque pertence ao β 1/3, tem coordenadas iguais (tem 8 cm de cota) e tem as suas projeções simétricas em relação ao eixo X. O ponto F, porque é o traço frontal da reta r, tem afastamento nulo, ou seja, a sua projeção horizontal situa-se no eixo X. É pedida a verdadeira grandeza da distância do ponto P ao plano α, definido pela reta r e pelo ponto A. Para determinar a distância de um ponto a um plano, é necessário o recurso ao método geral da distância de pontos a planos que se executa em três etapas. 1. Conduz - -se, pelo ponto, uma reta ortogonal ao plano. Nesse sentido, há que conduzir, pelo ponto P, uma reta ortogonal ao plano α a reta p. Para que a reta p seja ortogonal ao plano, tem de verificar o critério de ortogonalidade entre retas e planos, ou seja, tem de ser ortogonal ou perpendicular a duas retas concorrentes do plano, ou seja tem de ser ortogonal a duas «famílias» de retas do plano. Essas duas «famílias» de retas deverão ser a «família» de retas horizontais do plano e a «família» de retas frontais do plano, uma vez que a perpendicularidade ou a ortogonalidade entre retas só é direta se uma das retas for paralela a um dos planos de projeção. Nesse sentido, a resolução mais simples consiste em determinar os traços do plano α, que são retas das «famílias» de retas pretendidas o traço horizontal do plano é uma reta horizontal do plano (com cota nula) e o traço frontal do plano é uma reta frontal do plano (com afastamento nulo). Para determinar o traço frontal do plano (f α ), que é uma reta, são necessários dois pontos ou um ponto e uma direção. O traço frontal da reta r (o ponto F) já é um ponto do traço frontal do plano. Já temos um ponto para definir f α falta-nos outro ponto ou uma direção. Tendo em conta que os dados do plano são insuficientes para definir f α, é necessário o recurso a uma reta auxiliar do plano, reta essa que, também ela, tem de estar definida por dois pontos ou por um ponto e uma direção. Recorreu-se à reta s, como reta auxiliar do plano α, passando pelo ponto A e paralela à reta r. A reta s está definida por um ponto (o ponto A, que define o plano) e uma direção (a direção da reta r). Determinou-se o traço frontal da reta s (o ponto F ). Já temos o ponto que nos faltava para definir f α f α está definido por dois pontos (os pontos F e F ). Para determinar o traço horizontal do plano (h α ), que é outra reta, são igualmente necessários dois pontos ou um ponto e uma direção. Os traços de um plano são necessariamente concorrentes num ponto do eixo X e esse ponto está determinado. Já temos um ponto, que é o ponto de concorrência dos traços do plano. Falta-nos outro ponto ou uma direção. Determinou-se o traço horizontal da reta r, o ponto H. Já temos o ponto que nos faltava para determinar h α h α está definido por dois pontos (o ponto H e o ponto de concorrência dos traços do plano, que se situa no eixo X). Note que se determinou, na resolução apresentada, o traço horizontal da reta s (o ponto H ), mas tal não era necessário. De qualquer forma, na resolução apresentada, h α está, na prática, definido por três pontos. Agora há que conduzir a reta p (a reta ortogonal ao plano) pelo ponto P. Assim, a projeção frontal da reta p (p 2 ) passa por P 2 (a projeção frontal do ponto P) e é perpendicular ao traço frontal do plano (f α ), que é uma reta frontal do plano com afastamento nulo a perpendiculari dade entre a reta p e f α é direta em projeção frontal. Por outro lado, a projeção horizontal da reta p (p 1 ) passa por P 1 (a projeção horizontal do ponto P) e é perpendi cular ao traço horizontal do plano (h α ), que é uma reta horizontal do plano com cota nula a perpendicularidade entre a reta p e h α é direta em projeção horizontal. A reta p é a reta que contém o segmento representativo da distância do ponto P ao plano α. Está concluída a primeira etapa do método geral da distância de pontos a planos passemos à segunda etapa. 2. Determina-se o ponto de interseção da reta p com o plano. Nem a reta p nem o plano α são projetantes, pelo que é necessário o recurso ao método geral da interseção entre retas e planos, que se executa igualmente em três etapas. A. Conduz-se, pela reta, um plano auxiliar que a contenha. Conduziu-se, pela reta p, um plano verti- 74

3 cal o plano γ (que é o plano projetante horizontal da reta p). B. Determina-se a reta de interseção entre o plano auxiliar e o plano dado. A reta de interseção do plano γ (o plano auxiliar) com o plano α (o plano dado) determinou-se a partir do caso geral da interseção entre planos a reta i (a reta de interseção entre os dois planos) está definida por dois pontos (os pontos F e H ), que são os seus traços. C. O ponto de interseção da reta de interseção com a reta dada é o ponto de interseção da reta dada com o plano dado. O ponto I é o ponto de interseção da reta i (a reta de interseção entre os dois planos) com a reta dada (a reta p), pelo que o ponto I é o ponto de interseção da reta p com o plano α. Está concluída a segunda etapa do método geral da distância de pontos a planos passemos à terceira etapa para a determinação da distância do ponto P ao plano α. 3. A distância entre os dois pontos é a distância do ponto ao plano. A distância do ponto P ao ponto I é, assim, a distância do ponto P ao plano o segmento [PI], representado pelas suas projeções, é o segmento representativo da distância do ponto P ao plano α.tendo em conta que o segmento [PI] não é paralelo a nenhum dos planos de projeção, o segmento não se projeta em verdadeira grandeza em nenhuma das suas projeções, pelo que é necessário o recurso a um Processo Geométrico Auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano γ (que contém o segmento [PI]) para o Plano Frontal de Projeção. A charneira do rebatimento foi o traço frontal do plano, que se identificou como tal f γ e 2 f γr. Tendo em conta que a charneira do rebatimento é uma reta vertical (cm afastamento nulo), a sua projeção horizontal é um único ponto no eixo X, que se assinalou convenientemente (e 1 ). Rebateram-se os pontos P e I e desenhou-se o segmento [P r I r ], cujo comprimento é a verdadeira grandeza da distância do ponto P ao plano α (o que se assinalou devidamente). Tenha em conta que, em termos de expressividade, os dados do exercício (fornecidos no enunciado) são a traço médio (nomeadamente a reta r), as construções auxiliares necessárias à resolução do exercício são a traço leve e o pedido (a verdadeira grandeza da distância) é a traço forte. Optou-se por destacar, a traço médio-forte, as projeções da distância (as projeções do segmento [PI]) que, não estando em verdadeira grandeza, correspondem a uma primeira etapa do pretendido. 3. Em primeiro lugar representou-se o ponto O, pelas suas projeções, em função dos dados. Os dados permitiram-nos ainda, de forma imediata, desenhar a circunferência que delimita a base de menor afastamento do cilindro. Trata - -se de um cilindro oblíquo cujo eixo está contido numa reta de perfil, pelo que o centro da base de maior afastamento (o ponto O ) tem a mesma abcissa do ponto O. Este raciocínio permitiu-nos, de forma direta, marcar a projeção frontal do ponto O (O 2 ), mas os dados não nos permitem, de forma direta, determinar a projeção horizontal do ponto O. De qualquer forma, foi possível, ainda, desenhar a projeção frontal da circunferência que delimita a base de maior afasta - mento do sólido (que é tangente ao Plano Horizontal de Projeção) e, a partir disso, desenhar a projeção frontal do cilindro. Para tal determinaram-se as geratrizes do contorno aparente frontal do sólido e representaram-se as invisibili dades existentes a semicircunferência inferior da base de menor afastamento do sólido é invisível. Há, agora, que determinar a projeção horizontal do sólido, para o que é necessário determinar a projeção horizontal do ponto O. Acontece que o eixo do sólido está contido numa reta de perfil (a reta p, cujas projeções se desenharam imedia tamente) e as projeções de qualquer reta de perfil não verificam o Critério de Reversibilidade, pelo que é necessário o recurso a um Processo Geométrico Auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano de perfil (o plano π) que contém a reta p o plano π foi representado pelos seus traços. Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projeção a charneira do rebatimento (reta e) foi o traço frontal do plano, que se indicou convenientemente. A projeção frontal da charneira (e 2 ) está coincidente com f π e a sua projeção horizontal (e 1 ) é um ponto no eixo X, pois trata-se de uma reta vertical (com afastamento nulo). A reta p está definida por um ponto (o ponto O, dado no 75

4 enunciado) e a sua direção (é dado, no enunciado, o ângulo que o eixo faz com o Plano Frontal de Projeção). O ponto O é um ponto da charneira (é fixo, pois roda sobre si próprio), pelo que se tem imediatamente O r O 2. A reta p, em rebatimento (p r ), faz, com f πr, um ângulo de 70º (o ângulo dado no enunciado). Rebateu-se o ponto O, pelo rebatimento do plano π, e determinou-se O r sobre p r. Invertendo-se o rebatimento, determinou-se a projeção horizontal do ponto O (O 1 ) sobre p 1, o que nos permi tiu, dessa forma, determinar a altura do sólido e representar o plano frontal que contém a base de maior afastamento do sólido (o plano ϕ). Estes procedimentos permitiram-nos desenhar a projeção horizontal do sólido e, assim, concluir a representação do cilindro em Dupla Projeção Ortogonal. Há, agora, que determinar as sombras própria e projetada do sólido, o que se processa com o recurso à linha separatriz luz/sombra. Esta determina-se a partir dos pla nos tangen tes luz/sombra, através das quatro etapas para o efeito. 1. Por um ponto P, exterior ao sólido, conduzem-se duas retas uma reta paralela às geratrizes do cilindro e um raio luminoso. Estas duas retas definem um plano (o plano λ) para lelo aos planos tangentes luz/sombra. Tendo em conta a dificuldade acrescida da situação apresentada, cujas geratri zes são retas de perfil, optou-se por se considerar o ponto O (o centro da base de maior afastamento do sólido) como o ponto exterior e a reta p (a reta que contém o eixo do sólido) como a reta paralela às geratrizes do cilindro. Este procedimento teve, como objetivo, diminuir o traçado e o tempo de execução do exercício, pois seria sempre necessá rio a um Processo Geométrico Auxiliar para poder trabalhar com a reta paralela às geratrizes do cilindro e, desta forma, reu - tiliza -se o rebatimento já efetuado da reta p. Assim, pelo ponto O conduziu-se um raio luminoso l (com a direção convencional da luz). A reta p e o raio luminoso l (concorrentes no ponto O ) definem um plano (o plano λ) que é para lelo aos planos tangentes luz/sombra (têm a mesma orientação). A primeira etapa para a determinação dos planos tangentes luz/sombra está concluída. 2. Determina-se a reta i, que é a reta de interseção do plano λ (o plano defi nido pelas retas p e l) com o plano da base de referência. Neste caso optou-se por se considerar a base de menor afastamento do sólido como a base de referência, que está contida no Plano Frontal de Projeção. Para determinar a reta i são necessários dois pontos ou um ponto e uma direção. Nesse sentido, há que determinar os pontos de interseção das retas p e l com o Plano Frontal de Projeção. O ponto O (o centro da base de menor afastamento do cilin dro) é, de forma direta, o ponto de interseção da reta p com o Plano Frontal de Projeção (o ponto O é o traço frontal da reta p). Já temos um ponto para definir a reta i, Falta-nos outro ponto ou uma direção. O ponto I é o ponto de interseção da reta l com o Plano Frontal de Projeção (o ponto I é o traço frontal da reta l). A reta i está, assim, definida por dois pontos os pontos O e I. 3. Conduzem-se as retas tangentes à base (de referência) que são paralelas à reta i as retas t e t. As retas t e t determinaram-se a partir dos respetivos pontos de tangência à base de menor afastamento do cilindro os pontos A e B, respetivamente. As retas t e t são as retas de interseção dos dois pla nos tangentes luz/sombra com o plano da base de referência (o Plano Frontal de Projeção). 4. Determinam-se as geratrizes de contacto a retas g e g. As retas t e t são tangentes à base de menor afastamento do cilindro (a base de referência) nos pontos A e B, respetiva mente. Nesse sentido, as geratrizes [AA ] e [BB ] são as geratrizes de contacto (ou de tangência) e são, imediatamente, duas linhas da linha separatriz luz/sombra (são as geratrizes ao longo das quais os planos tangentes luz/sombra são tangentes ao cilindro) são as geratrizes separatrizes luz/sombra. As geratrizes [AA ] e [BB ] separam a parte da superfície lateral do cilindro que está iluminada da parte que está em sombra. Dada a pro veniência da luz (da esquerda, de cima e de trás), a parte da superfície que está iluminada é a parte de maior cota, enquanto que a parte em sombra é a parte de menor cota (a parte mais próxima do Plano Horizontal de Projeção). A base de menor afastamento do cilindro está em som bra e a sua base de maior afastamento está ilumi nada, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha mista fechada [A A B BA ]. Em projeção horizontal, a base de menor afastamento (que está em sombra) é invisível (é projetante horizontal), pelo que a única sombra própria visível é a parte da superfí cie lateral do cilindro compreendida entre a geratriz [AA ] e a geratriz mais à direita do contorno aparente horizontal. Note que a geratriz [BB ] é invisível em projeção horizontal, o que se assinalou devidamente. Em projeção frontal, a base de menor afastamento é invisível, pelo que não há lugar à representação dessa parte da sombra própria. Por outro lado, a única parte visível da superfície lateral do cilindro em sombra própria é a parte compreendida entre a geratriz [AA ] e a geratriz mais à direita do contorno aparente frontal. Salienta-se que a base de maior afastamento do sólido está ilu minada, pelo que a sombra própria visível em projeção frontal está igualmente limitada por um arco da circunferência que delimita aquela base. Salienta-se que a geratriz [BB ] é também invisível em projeção frontal, o que se assinalou devidamente. Em seguida determinaram-se as sombras reais de todos os vértices da li nha separatriz luz/sombra. A s1 e B s1 situam-se no SPHA, enquanto A s2 e B s2 se situam no SPFS. Assim, a sombra projetada do cilindro admite pontos de quebra. Um dos pontos de quebra situa-se entre A s2 e A s1 e o outro entre B s2 e B s1. O primeiro ponto de quebra determi nou-se recorrendo à sombra virtual do ponto A A v2. Constata - -se que a sombra da geratriz [AA ] no Plano Frontal de Projeção está coincidente com a reta t, o que se justifica pelo facto de a reta t ser o traço frontal de um dos planos tangentes luz/sombra a sombra do cilindro no Plano Frontal de Projeção está necessariamente compreendida entre os traços fron tais dos planos tangentes luz/sombra. Assim sendo, o segundo ponto de quebra determinou - -se através deste mesmo princípio a sombra da geratriz [BB ] está sobre a reta t. Seria possível averiguar a eventual existência de pontos de quebra nas sombras dos arcos que integram a linha separatriz luz/sombra, mas tal não se justifica, pois a sombra de um sólido só pode admitir dois pontos de quebra e já foram ambos determinados. Assim sendo, nenhum dos dois arcos que integram a linha separatriz luz/sombra apresenta pontos de quebra na respetiva sombra. Assim sendo, o arco AB (da base de menor afastamento do sólido) produz sobra no SPFS, pois as sombras dos seus extremos situam-se ambas no SPFS. Já o arco A B (da base de maior afastamento do sólido) produz sombra no SPHA, pois as sombras dos seus extremos situam-se ambas no SPHA. Tendo em conta que o arco AB se situa no Plano Frontal de Projeção, a sua sombra no SPFS está coincidente com o próprio arco. A sombra que o arco A B produz no SPHA (que é um seg mento de elipse) obteve-se inscrevendo o arco A B na parte correspondente do quadrado de lados paralelos ao eixo X circunscrito à circunferência que contém o arco a parte necessária desse quadrado é 3/4 do quadrado. Note que o desenho à mão livre de uma elipse é um procedimento que requer a determinação, no mínimo, de 8 dos seus pontos. Em seguida determinou-se a sombra que essa figura (os 3/4 do quadrado) produz no Plano Horizontal de Projeção, recorrendo tanto a um dos seus vértices (o ponto M), como ao ponto O O s1 e M s1 são, respetivamente, as sombras dos pontos O e M no Plano Horizontal de Projeção. Note que as sombras dos lados verticais desse quadrado estão sobre os traços horizontais dos planos luz/sombra que os contêm são planos verticais que contêm a direção luminosa. O lado inferior do quadrado está con - tido no Plano Horizontal de Projeção, elo que a sua sombra está coincidente com esse lado. Os pontos em que a linha horizontal (paralela ao eixo X) que passa por O s1 (e que corresponde à sombra da mediana fronto-horizontal do qua drado) se apoia nas sombras dos lados verticais da figura (a figura que corresponde a 3/4 do quadrado) são, imediata mente, dois pontos da sombra do arco de elipse. Em seguida conduziu-se, por O s1, uma paralela às sombras dos lados do quadrado (que corresponde à sombra da mediana vertical do quadrado) e determinaram-se mais dois pontos do arco de elipse os seus pontos de maior e de menor afastamento (que correspondem às sombras dos pontos de menor e de maior cota da circunferência da base, respetivamente). Por fim, 76

5 desenharam-se as sombras das diagonais da figura (que passam por O s1 ) e transportaram-se, para aí, as sombras dos pontos em que a circunferência que contém o arco A B corta as diagonais do quadrado. Estes procedimentos permitiram-nos determinar sete pontos para desenhar o arco de elipse. No entanto, e porque o arco da elipse terá necessariamente de passar por A s1 e por B s1, já temos nove pon tos para desenhar o arco da elipse. Os nove pontos determinados permitem-nos desenhar a curva com alguma precisão. Note que a parte da elipse situada para cima de A s1 é uma parte virtual da sombra (não existe, em termos práticos), bem como a parte da elipse que se situa para cima de B s1 correspondem a partes da sombra virtual da circunferência que delimita a base de maior afastamento do sólido. Assim sendo, apesar de a parte da elipse que corresponde à som bra real do arco ser a parte da curva compreendida entre A s1 e B s1, considera-se que o desenho das restantes par tes da curva é bastante relevante, para melhor «lançar» a curva, à mão livre. Tenha ainda em conta que o arco da elipse tem de ser concordante com a sombra da geratriz [BB ] (no SPHA) em B s1, tendo igualmente de ser concordante com a sombra da geratriz [AA ] (no SPHA) em A s1. Por fim, desenhou-se o contorno da sombra projetada do cilindro, atendendo às invisibilidades e às concordâncias referidas, e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme note que as duas sombras do sólido (a projetada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uni forme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes. 4. Em primeiro lugar representaram-se as perspetivas dos três eixos, de acordo com os ângulos dados. Uma vez que se trata de uma trimetria, todos os eixos apresentam um coeficiente de deformação diferente. Por outro lado, é dado, no enunciado, que os dois sólidos (a pirâmide e o cubo) têm um eixo comum contido numa reta vertical (uma reta projetante horizontal). Assim sendo, e porque a pirâmide é regular, o eixo é ortogonal ao plano da base, ou seja, a base da pirâmide está necessariamente contida num plano horizontal (um plano paralelo ao plano XY). A partir deste raciocínio, recorreu - -se ao método dos cortes, com vista a representar, em verda deira grandeza, pelo menos uma das projeções do objeto. Nesse sentido, rebateu-se o plano XY para o interior da pirâmide axono - métrica (em torno da charneira, que é perpendicular à perspetiva do eixo Z), obtendo a direção do eixo X r e do eixo Y r (que são perpendiculares entre si no ponto O r ). Note que a opção de rebater o plano XY e não qualquer outro dos planos coordenados teve a ver com a necessidade de construir a base da pirâmide em verdadeira grandeza uma vez que a base da pirâmide é paralela ao plano XY, sabe-se que se projeta em verdadeira grandeza no plano XY e não noutro plano qualquer. Após o rebati mento do plano XY para o interior da pirâmide axonométrica, efetuou-se a translação do plano XY rebatido, através da perpendicular à charneira que passa pela perspetiva do ponto O, para fora da área da representação do desenho o eixo X r é paralelo ao eixo X r e o eixo Y r é paralelo ao eixo Y r (o eixo X r e o eixo Y r são perpendiculares entre si no ponto O r ). No plano XY, rebatido e transladado, representou-se, em rebati- 77

6 mento, a projeção horizontal do ponto C, o único ponto dado da base da pirâmide, em função das respetivas coordenadas este procedimento permitiu-nos obter C 1r. O ponto C é o centro da base da pirâmide, que se considerou ser o hexágono [ABDEFG]. Tenha em conta que, apesar de não ser necessária a atribuição de notações aos vértices do hexágono (não são referidas quaisquer indica ções nesse sentido no enunciado), optou-se por o fazer neste exercício para uma melhor articulação entre este relatório e a resolução gráfica apresentada. Por outro lado, tendo em conta que, no enunciado, é referido que o ponto C é o cen tro da base, nas notações utilizadas para os vértices da base optou-se por «saltar» a letra C na sequência apresentada. Atendendo a que dois lados do hexágono são paralelos ao eixo X e um dos vértices do hexágono pertence ao plano YZ (tem abcissa nula), a circunferência circunscrita ao hexágono da base tem necessariamente de ser tangente ao plano YZ, pelo que, com o compasso, fazendo centro em C 1r, desenhou-se uma circunferência com 5,5 cm de raio. Conside rou-se que o vértice da base que se situa no plano YZ é o vértice A. Por outro lado, uma vez que o eixo da pirâmide está contido numa reta vertical (ou projetante horizontal), tem-se imediatamente V 1r C 1r. Já no que respeita ao cubo, e porque é dado que este tem as suas faces paralelas aos planos coordenados, sabe-se imediatamente que duas faces do sólido são paralelas ao plano XY, ou seja, projetam-se em verdadeira grandeza no plano XY (que já foi previamente rebatido e transladado). Por outro lado, também as restantes faces são paralelas, duas a duas, aos outros dois planos coordenados. Tendo em conta que o cubo tem 2 cm de aresta, desenharam-se duas linhas paralelas ao eixo X r, a 1 cm de C 1r (uma para cada lado as duas linhas distam, assim, 2 cm uma da outra, que é a medida da aresta do cubo). Cada uma dessas linhas será a projeção horizontal (em rebatimento) da reta-suporte de uma das arestas do cubo. Em seguida desenharam-se, também, outras duas linhas, agora paralelas ao eixo Y r e também a 1 cm de C 1r (uma para cada lado as duas linhas distam também 2 cm uma da outra, que é a medida da aresta do cubo). Cada uma dessas linhas será a projeção horizontal (em rebatimento) da reta-suporte de outra das arestas do cubo. Os pontos de interseção das quatro linhas desenhadas correspondem às projeções horizontais (em rebatimento) dos quatro vértices de uma das faces do cubo que é paralela ao plano XY o quadrado [J 1r K 1r L 1r M 1r ], atrás definido, é a projeção horizontal, em rebatimento, do quadrado [JKLM], que se considerou ser a face superior do cubo (que está necessariamente 2 cm acima da base da pirâmide). O quadrado [J K L M ] considerou-se ser a face inferior do cubo a face do cubo que é complanar com a base da pirâmide. Note que, também nesta situação, não é necessária a atribuição de notações aos vértices do cubo (não são referidas quaisquer indicações nesse sentido no enunciado), mas optou-se por o fazer para, tal como referido anteriormente, ser possível uma melhor articulação entre este relatório e a resolução gráfica apresen tada. Em seguida procedeu-se à determinação das perspetivas das cotas da base da pirâmide e da face superior do cubo (note que o vértice da pirâmide tem cota nula, uma vez que pertence ao plano coordenado XY). Para o efeito pode ria ter-se recorrido ao rebatimento de qualquer dos outros dois planos coordenados, mas optou-se por rebater apenas o eixo Z (recorde que os três eixos apresentam um coeficiente de deformação diferente, por se tratar de uma trimetria), o que se processou pelo rebatimento do plano projetante do eixo Z. Neste caso, a charneira do rebatimento é a própria perspetiva do eixo Z e o rebatimento processa-se perpendicularmente à charneira (perpendicularmente à perspetiva do eixo Z). Após o rebatimento do eixo Z, representou-se, no eixo Z rebatido (eixo Z r ), a cota da face base da pirâmide (6 cm, que é a cota do ponto C, dada no enunciado) a partir de O r, bem como a cota da face superior do cubo (que é 8 cm, mais 2 cm que a cota da base da pirâmide), e inverteu-se o rebatimento, com o recurso a duas perpendiculares à char neira do rebatimento (perpendiculares à perspetiva do eixo Z). Este procedimento permitiu-nos obter, sobre a perspetiva do eixo Z, um ponto com a cota da base da pirâmide e um outro ponto com a cota da face superior do cubo. Pelo primeiro desses dois pontos conduziram-se as perspetivas dos traços frontal (f ν ) e lateral (p ν ) do plano horizontal que contém a base da pirâmide e a face inferior do cubo o plano ν. Pelo segundo daqueles dois pontos conduziram-se as perspetivas dos traços frontal (f ν ) e lateral (p ν ) do plano horizontal que contém a face superior do cubo o plano ν. Note que os planos se representaram, cada um deles, por dois traços, pelo que não se recorre à respetiva representa ção entre parêntesis. Em seguida, no plano XY rebatido e transladado, transportaram-se os afastamentos dos vértices do sólido para o eixo Y r. Estes afastamentos foram transportados, através de perpendiculares à charneira do rebati mento do plano XY, para os traços laterais dos respetivos planos horizontais (o plano XY, o plano ν e o plano ν ), obtendo-se, assim, as perspetivas das projeções laterais de todos os vértices do sólido. V 3 situase sobre a perspetiva do eixo Y e é a perspetiva da projeção lateral do vértice V, da pirâmide (V tem cota nula). A 3, B 3, D 3, E 3, F 3 e G 3 são as perspetivas das projeções laterais dos vértices do hexágono da base da pirâmide e situam -se sobre o traço lateral do plano ν p ν. Tendo em conta que o vértice A do hexágono, tem abcissa nula (é o vértice que se situa no plano YZ), a sua perspetiva está coincidente com a perspetiva da sua projeção lateral, pelo que se tem imediatamente A 3 A. J 3, K 3, L 3 e M 3 (cujas notações se omitiram, para não sobrecarregar em demasia o desenho) são as perspetivas das projeções laterais dos vértices do quadrado da face inferior do cubo e situam-se sobre o traço lateral do plano ν p ν. J 3, K 3, L 3 e M 3 são as perspetivas das projeções laterais dos vértices do quadrado da face superior do cubo e situam-se sobre o traço lateral do plano ν p ν. Após estes procedimentos, há que determinar as perspetivas propria mente ditas de cada um dos vértices do sólido. Para determinar a perspetiva do vértice G, por exemplo, conduziu-se, pela perspetiva da sua projeção lateral (G 3 ) uma paralela à perspetiva do eixo X (e paralela à perspetiva do traço frontal do plano ν f ν ), que corresponde à perspetiva da reta projetante lateral do ponto G. Conduziu-se, também, pela projeção horizontal do ponto G em rebatimento (G 1r ) uma perpendicular à charneira do rebatimento do plano XY (que é paralela à perspetiva do eixo Z) e que corresponde, na prática, à perspetiva da reta projetante horizontal do ponto G. O ponto de concor - rência das duas retas é a perspetiva propriamente dita do ponto G. O procedimento descrito para o ponto G repetiu-se para os restantes vértices do sólido, o que nos permitiu determinar as respetivas perspetivas. Note que o vértice V, da pirâmide, tem cota nula, pelo que se tem imediatamente, V 1 V. Por outro lado, e porque o eixo da pirâmide é vertical (projetante horizontal), a projeção horizontal do ponto C (o centro do hexágono) tem necessariamente de estar coinci dente com a projeção horizontal do vértice V, pelo que se tem C 1 V 1 V. A partir das perspetivas de todos os vérti ces dos dois sólidos, desenhou-se a perspetiva do sólido resultante da justaposição daqueles, ocultando as linhas invi síveis, como pede expressamente o enunciado. 78