Resumo. Palavras-chave: cones de assimetria e curtose; cones de volatilidade; volatilidade implícita.

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1 Cones De Assimetria E Curtose No Mercado Brasileiro De Opções De Compra De Ações: Uma Análise Dos Cones De Volatilidade Perante A Volatilidade Implícita Calculada Pelos Modelos De Corrado- Su E Black-Scholes Resumo Autoria: Henrique Bauer, Antonio Carlos Figueiredo Pinto, Marcelo Cabus Klotzle O presente estudo tem como objetivo mostrar a existência de cones de assimetria e curtose no mercado de opções. As volatilidades implícitas calculadas pelo modelo de Corrado&Su serão sobrepostas aos cones de volatilidade. O modelo de Black&Scholes também será utilizado para efeito de comparação. Foram realizados testes estatísticos de eficiência para uma correta análise do mercado de opções em momentos de estabilidade e baixa volatilidade como o verificado no ano de O estudo mostra possibilidades de ganhos com as operações feitas através dos cones de volatilidade, porém os resultados obtidos pelos dois modelos não apresentaram diferenças estatisticamente significantes. Palavras-chave: cones de assimetria e curtose; cones de volatilidade; volatilidade implícita. 1

2 1.Introdução O modelo pioneiro mais difundido no que tange ao preço justo para uma opção europeia sem pagamento de dividendos foi o desenvolvido por Black e Scholes (1973), o qual depende de algumas variáveis tais como o valor do ativo no instante da compra, do preço de exercício da opção, do prazo em dias úteis até o exercício, da taxa de juros livre de risco e da volatilidade do ativo objeto do instante da compra até a data de exercício. Conforme Hull (2011), de todas estas variáveis do modelo, a única desconhecida e que não é constante ao longo do tempo é a volatilidade, o que contraria a premissa estabelecida pelos autores. Desta forma, a volatilidade implícita se torna muito importante, pois a mesma faz com que o valor de mercado pago pelo prêmio da opção seja utilizado para se obter a volatilidade, através de um método inverso de aplicação do modelo. Jarrow (1982) e, mais tarde, Corrado e Su (1996) desenvolveram um modelo de precificação de opções alternativo ao modelo de Black e Scholes (1973), em que as variáveis de assimetria e curtose são utilizadas para melhorar a estimativa da distribuição de probabilidade a ser implementada no modelo original, pois, como verificaram, nem sempre os retornos do ativo-objeto seguem uma distribuição log-normal. A partir de tais estudos, é possível elaborar as distribuições de assimetria e curtose dos preços dos ativos-objetos das opções em relação ao tempo restante até a data de exercício das opções, originando desta forma os cones de assimetria e curtose, como observado por Javaheri (2005) e Sinclair (2008). Cerqueira (2010) mostra, em seu estudo sobre o cone de volatilidade no mercado de opções brasileiro, que a comparação da volatilidade implícita com o cone de volatilidade pode ser um indicador eficiente para prever a volatilidade futura. Portanto, o objetivo deste estudo é mostrar a existência destes cones de assimetria e curtose, e como as oportunidades de compra e venda de volatilidade podem ser tomadas dentro dos cones de volatilidade, tomando por base a volatilidade implícita calculada pelo modelo desenvolvido por Corrado e Su (1996). Tais dados serão comparados aos obtidos pelo modelo de Black e Scholes (1973) a fim de testar a eficiência do mesmo no que tange a estas operações. Além disso, serão realizadas estatísticas de teste a fim de buscar uma diferença estatisticamente significante nos resultados obtidos pelos dois modelos, tanto para os resultados obtidos na parte superior do cone quanto para os resultados obtidos na parte inferior do mesmo. 2.Referencial teórico 2.1 O modelo de Black&Scholes Para Black e Scholes (1973), o premio de uma opção de compra ou de venda é função do preço do ativo-objeto, do preço de exercício, do tempo até o exercício, da taxa de juros livre de risco e da volatilidade do ativo-objeto até o exercício e essa relação se dá através da seguinte formula: rt csnd ( ) Xe Nd ( ) (1) 1 2 rt p Xe N( d ) SN( d ) (2) d lns / X r / 2T T (3) 1 d 1 T d 2 (4) 2

3 Onde: c = preço justo da opção de compra segundo o modelo de Black-Scholes; p = preço justo da opção de venda segundo o modelo de Black-Scholes; S = preço do ativo-objeto da opção na data presente; X = preço de exercício da opção; T = período de tempo até a data de vencimento da opção; r = taxa de juros livre de risco ao período; σ = volatilidade do ativo-objeto ao período; N(d) = função de densidade acumulada da distribuição Normal padronizada. Segundo Figueiredo (2011), a principal premissa do modelo é a de que os preços do ativo seguem uma distribuição log-normal, que é aquela em que o logaritmo natural de uma variável é normalmente distribuído. Portanto, a distribuição probabilística dos retornos do ativo-objeto em uma data futura, calculados de forma contínua e composta a partir dos seus preços é uma função de densidade de probabilidade Normal. 2.2 Volatilidade implícita A volatilidade é o único parâmetro desconhecido utilizado no modelo de Black e Scholes (1973), portanto saber como estimá-la é o maior desafio para uma correta precificação das opções, pois uma volatilidade condizente com a volatilidade futura, a ser verificada pela variação dos retornos do ativo-objeto, faz com que uma estratégia seja vencedora em um mercado tão volátil e imprevisível quanto o mercado de opções sobre ações. Em relação ao smile de volatilidade verificado na utilização da volatilidade implícita de uma opção como função do seu preço de exercício, Hull (2011) destacou que: A volatilidade decresce à medida que o preço de exercício aumenta. A volatilidade usada para apreçar a opção com baixo preço de exercício (isto é, put muito fora do dinheiro ou call muito dentro do dinheiro) é significativamente maior que a utilizada para apreçar a opção com alto preço de exercício (isto é, put muito dentro do dinheiro ou call muito fora do dinheiro) (p.409). Portanto, a volatilidade continua sendo uma variável fundamental para a correta precificação pelo modelo de Black e Scholes (1973), tendo em vista que esta é a única variável a ser estimada para utilização no modelo. Embora a volatilidade implícita seja largamente utilizada, a mesma apresenta muitas falhas, tendo em vista que a expectativa de racionalidade dos mercados ainda é muito questionada, e como observa Hull (2011), o mercado é composto de diversos agentes com diferentes expectativas de volatilidade Estrutura a termo de volatilidade O comportamento da volatilidade implícita ao longo do tempo até o exercício é conhecido como estrutura a termo de volatilidade. (Hull, 2011; Christensen; Prabhala,1998). Conforme Hull (2011), a estrutura a termo é o comportamento em relação ao tempo e o sorriso de volatilidade é o comportamento em relação aos diferentes preços de exercício. 3

4 O trabalho elaborado por Cerqueira (2010) estuda este comportamento da estrutura a termo de volatilidade, comportamento este de suma importância para a elaboração dos cones de volatilidade das opções de Petrobrás e Vale desenvolvidos pelo autor Modelos de Corrado e Su Para tentar suavizar os sorrisos de volatilidade verificados no modelo de Black e Scholes (1973), Corrado e Su (1996) adaptam o método desenvolvido por Jarrow e Rudd (1982), onde os coeficientes de assimetria e curtose não eram aqueles observados em uma distribuição normal, ou seja, os coeficientes zero e três, respectivamente. Para que o modelo de Corrado e Su (1996) seja melhor explicado, é de suma importância que seja entendida a restrição de Martingale observada em Harrison e Kreps (1979). O trabalho destes autores mostrou que violações da restrição de Martingale ocorriam nos valores futuros do preço de mercado sobre uma densidade de probabilidade neutra a risco, o que poderia representar oportunidades de ganhos de arbitragem em mercados menos flexíveis. A fórmula do modelo original de Corrado Su (1996) é a seguinte: Onde: = preço justo da opção de compra segundo o modelo de Black-Scholes = parâmetro de Fisher para assimetria; = parâmetro de Fisher para curtose; (5) = ; ; ; ; ; 2.5- Cones de assimetria, cones de curtose e cones de volatilidade Diferentemente da metodologia mais comumente utilizada, que leva em consideração a volatilidade histórica com horizontes de tempo predeterminados, tornando difícil a comparação da volatilidade implícita de em determinada opção com a sua volatilidade histórica, Burghardt e Lane (1990) constroem estruturas a termo de volatilidade para opções de eurodólar, que é o dólar depositado fora dos Estados Unidos da América seja por um banco norte-americano, seja por um banco estrangeiro e de iene japonês, os autores separam os contratos do ativo-objeto em períodos de um mês, três meses, seis meses, um ano e dois anos. A partir dos dados máximos e mínimos os autores constroem os cones com a volatilidade histórica ao longo do tempo, e com os dados de volatilidade implícitas sobrepostos sobre os mesmos, montam operações de compra ou de venda de volatilidade. Além de Burghardt e Lane (1990), Sinclair (2008) mostra que devido a este formato cônico onde quanto menor o tempo até o exercício maior a amplitude da volatilidade que vai 4

5 se estreitando quando o tempo até o exercício vai aumentando, a figura toma uma forma de cone. Javaheri (2005) e Sinclair (2008) observam que o cone com as medidas de assimetria e curtose também podem ser observados e utilizados para oportunidades de compra ou de venda de determinado tipo de opção. Os autores, inclusive, elaboram uma macro no Excel, onde a cada período de tempo até o exercício são calculadas as medidas de assimetria e curtose históricas afim de que fossem utilizadas para a precificação pelo modelo de Corrado e Su (1996). 3- Metodologia da pesquisa e base de dados As opções da Vale e da Petrobras foram escolhidas, pois são as que apresentam maior liquidez dentro do mercado de opções. Para a construção dos cones foram necessários os preços históricos das ações preferenciais da Petrobras e da Vale. A construção dos cones abrange o período de dois anos, como o estudo feito por Burghardt e Lane (1990), porém como o ano de 2008 foi um ano de altíssima volatilidade devido à crise financeira mundial, a análise dos cones de volatilidade para a realização de operações ficaria muito comprometida, conforme estudo feito por Cerqueira (2010). Portanto, visando à construção de cones com dois anos contínuos, o período de 2005 e 2006 foi mais apropriado como previsor de volatilidade para as operações com opções realizadas em Estes dois anos apresentaram volatilidades históricas muito mais parecidas com a do ano a ser estudado. As ações preferenciais da Petrobrás (PETR4) e da Vale (VALE5) foram escolhidas por apresentarem opções de compra com bastante liquidez para vários prazos de vencimento e preços de exercícios. Do sistema Economática foi extraído o período de janeiro de 2005 até dezembro de 2010, com os preços diários de fechamento, abertura, mínimo e máximo. Devido à volatilidade gigantesca causada pela crise financeira mundial, os anos de 2008 e 2009 só foram utilizados para mostrar como a amplitude dos cones ficaria muito maior devido ao aumento dos limites superiores. A segunda parte dos dados refere-se ao preço de fechamento diário das opções de compra da Petrobrás e da Vale para todo o ano de Além disso, para o cálculo do preço justo por Black e Scholes (1973) e Corrado e Su (1996), foram necessários a taxa de juros livre de risco e o preço do ativo objeto para todo o ano de preços estes que serviram para que fossem calculadas a volatilidade, a assimetria e a curtose, que são outros parâmetros necessários para os dois modelos de precificação e para que fosse calculada a volatilidade implícita dos mesmos através da indução retroativa dos mesmos. Porém, buscando reduzir o viés embutido nos fechamentos de preços de algumas opções, resultante da possível ausência de liquidez destas, apenas aquelas opções com no mínimo 100 negociações foram utilizadas para os cálculos deste estudo. Outra restrição aplicada à base de dados foi o conceito de moneyness, ou seja, a razão entre o preço à vista do ativo subjacente e o preço de exercício. Neste trabalho, foi utilizado um intervalo de valor para este parâmetro variando entre 0,95 e 1,05. A escolha deste intervalo consiste em avaliar somente aquelas opções mais perto do dinheiro, porém sempre englobando para cada data de vencimento uma série de opções out-of-the money, uma at-the-money e uma in-the-money. 3.1 Processo de reversão à média Dixit, et al (2007) explica o método da raiz unitária para avaliar se os dados que estudava em seu trabalho seguiam um processo estocástico de reversão à média. Neste 5

6 trabalho também será utilizado este método com as volatilidades implícitas calculadas pelo método inverso de Corrado-Su (1996), com o intuito de verificar o comportamento da volatilidade implícita. Nesta primeira etapa, o diagnóstico de um processo de reversão à média se torna de suma importância para o trabalho, pois mostra que a utilização dos cones de volatilidade pode realmente ser interessante, tendo em vista que a volatilidade implícita tende a algo em torno da média. A equação fundamental para o teste da raiz unitária é a seguinte: Y ay u (6) t t1 t O teste estatístico selecionado para avaliar a hipótese nula foi um teste do tipo Augmented Dickey-Fuller e foi utilizada a ferramenta de teste de raiz unitária do software E- views versão Cones de assimetria O modelo desenvolvido por Corrado e Su (1996) inovou pela expansão do modelo de Black e Scholes com a inserção destas duas medidas estatísticas, a fim de que as opções fossem melhor precificadas. Sinclair (2008) mostra que a assimetria é o terceiro momento centrado na média e no desvio padrão, de acordo com a seguinte fórmula: 3 1 N N i 1 ( xi 3 x) 3 (7) Segundo Black (2010) a assimetria informa se uma distribuição de probabilidade tende a apresentar seus valores mais baixos ou seus valores mais altos com uma maior distância da média. Caso a assimetria seja positiva, a cauda da distribuição tenderá à direita; sendo ela negativa, a cauda da distribuição estará à esquerda e no caso desta medida ser zero, a distribuição será simétrica em relação a sua média, portanto a distribuição normal de probabilidade utilizada no modelo de Black e Scholes (1973) terá coeficiente de assimetria igual a zero, exatamente como mostram Corrado e Su (1996). Os cones de assimetria serão traçados com intervalos de 22, 44,66 e 88 dias úteis para o vencimento da opção, utilizando-se os dados históricos do ativo-objeto, pois o mercado acionário brasileiro trabalha com dias úteis. Além disso, os cones de assimetria deverão ter sua amplitude de curto prazo maior que a de longo prazo, conforme Sinclair (2008). Para cada faixa de tempo estudada (22, 44, 66 ou 88 dias úteis), os cones de assimetria serão traçados com seus dados de máxima, mínima, percentil 90%, percentil 10% e mediana. Estes cones de assimetria serão de suma importância para que o trabalho possa optar pelo modelo de Corrado e Su (1996), pois com um cone de assimetria de grande amplitude para os prazos menores, pode-se prever se as volatilidades implícitas obtidas por este modelo sobrepostas ao cone de volatilidade, sejam mais eficientes que as obtidas pelo modelo de Black e Scholes (1973). 6

7 3.3 Cones de curtose Javaheri (2005) e Sinclair (2008) definem esta medida estatística como o quarto momento centrado na média e no desvio padrão e possui a seguinte fórmula: 4 1 N N i 1 ( xi 4 x) 4 (8) Para Black (2010) a curtose mostra se uma distribuição de probabilidade é achatada ou não. Uma distribuição uniforme que apresente distribuição de probabilidade constante apresentará uma curtose muito baixa e uma distribuição que apresente um pico de probabilidade no meio e uma queda brusca de probabilidade apresentará uma curtose elevada. Assim como os cones de assimetria, os cones de curtose serão traçados com intervalos de 22, 44,66 e 88 dias úteis para o vencimento da opção, utilizando-se os dados históricos do ativo-objeto. E da mesma forma deverão possuir uma amplitude maior quanto menor for o prazo de sua estrutura a termo. Para cada faixa de tempo estudada, os cones de assimetria serão traçados com seus dados de máxima, mínima, percentil 90%, percentil 10% e mediana. 3.4 Cones de volatilidade Diferentemente dos cones de assimetria e curtose, os cones de volatilidade serão utilizados para fins de análise de eficiência da ferramenta, tendo em vista que a volatilidade implícita é uma variável que se pode obter sem a necessidade de estimativas fora da amostra de dados como ocorre no caso da assimetria e curtose implícitas, fato este que pode ser verificado em Corrado e Su (1996). A base de dados para a construção do cone de volatilidade abrangerá o período de janeiro de 2005 até dezembro de 2009 e será composta com o preço de fechamento das ações preferenciais da Petrobras e da Vale. No que tange às faixas de valores selecionadas, como as opções de compra deste ativo que apresentam a liquidez desejada e o número mínimo de negociações não superam a faixa de 66 dias úteis. Como será feita uma análise de eficiência da ferramenta, o cone de eficiência terá quatro faixas de tempo a mais que os cones de assimetria e curtose. O cone de volatilidade terá faixas de 11, 22, 33, 44, 55 e 66, 77 e 88 dias úteis. Para cada faixa de valor serão calculados os valores máximos, mínimos, percentil 90%, percentil 10% e a mediana. Com estes valores serão traçados os cones de volatilidade para Petrobras e Vale. 3.5 Teste de eficiência Para a realização dos testes de eficiência, serão utilizadas as cotações de fechamento diário das opções de compra da Petrobras e da Vale durante todo o ano de Tais cotações servirão para que seja calculada a volatilidade implícita pelos modelos de Corrado e Su (1996) e Black e Scholes (1973). A volatilidade implícita, do ponto de vista de um mercado eficiente, pode trazer informações mais precisas sobre esta variável do que a volatilidade histórica, tendo em vista que em um mercado eficiente e moderno os agentes possuem informações em tempo real do que está acontecendo na economia, e tais informações são de 7

8 suma importância para que se descubra o comportamento futuro da volatilidade, o que acaba se tornando um diferencial em um mercado tão competitivo como o de opções de ações. Também foi calculada a volatilidade realizada pelo ativo-objeto nos dias que restavam para o vencimento de cada opção. Foram analisadas para cada vencimento de A (janeiro) até L (dezembro) três séries de opções com diferentes preços de exercício, a fim de que fossem escolhidas uma série out-of-the-money, uma at-the-money e uma in-the-money, tomando-se o devido cuidado, pois devido à oscilação nos preços do ativo objeto, uma opção com o mesmo preço de exercício pode migrar entre estas três classificações. Ainda foram calculados diariamente para os dados acima o preço justo obtido pelo modelo de Black e Scholes (1973), o preço justo calculado pelo modelo de Corrado e Su (1996) e as volatilidades implícitas obtidas pelos dois modelos.. Assim como o método utilizado por Cerqueira (2010), para se avaliar a confiança estatística dos resultados obtidos foi aplicado o teste z para médias populacionais para as seguintes hipóteses: H0 : 0 H1 : 0 Onde é a média das diferenças entre a volatilidade implícita e a volatilidade realizada. Em caso de rejeição da hipótese nula se rejeita a hipótese de eficiência de mercado, pois a volatilidade implícita deveria conter todas as informações presentes no mercado e no caso da hipótese nula ser rejeitada a volatilidade implícita nas opções seria menor que a ou igual a volatilidade realizada. Logo, a sobreposição da volatilidade implícita com a volatilidade histórica calculada para um mesmo período até o vencimento pode trazer informações que auxiliam a decisão de compra e venda de volatilidade no mercado de opções de compra de ações. 4- Resultados 4.1 Petrobras Ao se observar as volatilidades implícitas obtidas pelo método inverso ao modelo de Corrado e Su (1996), em todo o ano de 2010, em nenhum momento esta estatística superou o topo do cone de volatilidade. O valor máximo encontrado para a mesma foi de 52,20%. Da mesma forma ocorreu com o método de Black e Scholes (1973), em que seu valor máximo foi de 51,31%. Portanto, o cone traçado com os dados históricos deste período turbulento não teria seu limite superior superado em nenhum momento, o que tornaria a análise de venda de volatilidade inviável. Através de uma análise de comportamento dos cones do período de 2005 até 2009, o cone que abrange o período de 2005 e 2006 foi o que se comportou de maneira mais adequada para uma avaliação das opções de compra da Petrobrás para o período de 2010, conforme mostra a figura 1. 8

9 Fonte: Elaborado pelo autor com os dados da Economática Figura 1-Cone de volatilidade anualizada das ações PETR4 no período Após o estudo dos cones de volatilidade, foram analisados os cones de assimetria e curtose, para que no caso de sua existência, o trabalho optasse pela análise das operações com a volatilidade implícita obtida pelo modelo de Corrado e Su (1996). Conforme mostra a Figura 2, realmente existe uma assimetria tanto no percentil superior, quanto no percentil inferior do cone, que difere da assimetria da distribuição de probabilidade normal padrão. Esta distribuição tem esse parâmetro igual a zero, sendo a mesma utilizada no modelo de Black e Scholes (1973), modelo este que em sua fórmula não leva em consideração a medida de assimetria da distribuição a ser estudada. Fonte: Elaborado pelo autor com os dados da Economática Figura 2- Cone de assimetria das ações PETR4 no período Assim como o cone de assimetria mostra que existe uma assimetria nesta distribuição que foge da distribuição normal, o cone de curtose também mostra esta diferença, apresentando um excesso de curtose (diferença da curtose da normal padrão que é igual a três), sempre maior que zero no topo superior do cone e menor que zero em seu limite inferior, conforme mostra a Figura 3. Portanto, através da observação destes cones o trabalho irá utilizar o Modelo de Corrado e Su (1996) para extrair os dados da volatilidade implícita que existe nos preços das opções de compra da Petrobras negociadas no mercado. Fonte: Elaborado pelo autor com os dados da Economática Figura 3- Cone de curtose das ações PETR4 no período

10 Tabela 1 - Teste da raiz unitária para a volatilidade implicita de opções da Petrobras obtidas pelo modelo de Corrado e Su Augmented Dickey-Fuller -13,25459 (estatística de teste) Prob.(p-valor) 0,0000 Valor crítico (5%) -2, Tabela 2 - Teste da raiz unitária para a volatilidade implicita de opções da Petrobras obtidas pelo modelo de Black e Scholes Augmented Dickey-Fuller -11,27063 (estatística de teste) Prob.(p-valor) 0,0000 Valor crítico (5%) -2, Após uma análise da Tabela 1 e da Tabela 2, os testes rejeitam a hipótese nula de raiz unitária. Portanto, pode-se afirmar que a volatilidade implícita obtida pelos dois modelos segue um processo estocástico de reversão a média, o que valida a premissa do modelo, assim como os trabalhos de Burghardt e Lane (1990) e Cerqueira (2010). A Figura 4 ilustra bem as oportunidades de compra ou de venda de volatilidade, pois o cone de volatilidade tem sua principal utilidade na correta identificação destes momentos, que podem resultar em operações bem lucrativas. Nesta figura estão representados os valores do cone de volatilidade, e sobreposto ao mesmo, a evolução da volatilidade de uma série I (vencimento em 20/09/2010) com preço de exercício em R$28,00 do no período de 01 de julho de 2010 até 03 de setembro de O eixo vertical do gráfico representa os valores de volatilidade e o eixo horizontal os dias até o exercício da opção. Cabe ressaltar, que a evolução do gráfico se dá da direita para a esquerda, pois a cada dia que passa o tempo até o exercício da opção diminui. Fonte: Elaborado pelo autor. Figura 4-Cone de volatilidade da PETR4 representado pelos limites máximo, mínimo, percentil 90% e percentil 10%, sobreposto com a avolução das volatilidades implícitas obtidas por Corrado-Su e Black Scholes da série PETRI28 (vencimento em 20/09/2010) A análise gráfica desta série de opções mostra que o limite superior do cone de volatilidade, limite este representado pelo percentil 90%, é superado uma única vez faltando 15 dias úteis para o vencimento, tanto pela volatilidade implícita calculada pelo modelo de Corrado e Su quanto pela volatilidade implícita calculada pelo modelo de Black e Scholes. Já o limite inferior do cone foi superado por duas vezes, uma quando faltavam 32 dias para o vencimento e somente pela volatilidade implícita obtida pelo modelo de Corrado e Su. Nesta data a volatilidade implícita alcança 21,68% pelo modelo de Corrado e Su. Para ilustrar o 10

11 ganho com estas operações, se uma posição de venda de volatilidade fosse aberta quando faltassem 15 dias úteis para o vencimento, haveria um ganho sobre a variação da volatilidade, de 4,17% pela volatilidade implícita calculada pelo modelo de Corrado e Su e 5,11% pelo modelo de Black e Scholes. Por outro lado, se fosse aberta uma posição de compra de volatilidade quando o limite inferior fosse alcançado pela volatilidade implícita calculada por Corrado e Su, quando faltavam 32 dias úteis para o vencimento haveria um ganho sobre a variação da volatilidade da ordem de 16,89%. As tabelas abaixo apresentam os resultados encontrados para os dois modelos estudados, estes resultados são os obtidos através de operações de compra e venda de volatilidade sempre que a volatilidade implícita alcançou o limite superior determinado pelo percentil 90% da distribuição de volatilidade para cada horizonte de tempo ou o limite inferior determinado pelo percentil 10% da mesma distribuição de volatilidade. A tabela 3 mostra os resultados obtidos pelos dois modelos com uma operação de venda de volatilidade a partir da comparação com a volatilidade efetivamente realizada a partir daquela data, ou seja, quando o limite superior do cone fosse superado. Já a tabela 4 apresenta os resultados obtidos pelos dois modelos com uma operação de compra de volatilidade a partir da comparação com a volatilidade efetivamente realizada a partir daquela data, ou seja, quando o limite inferior do cone fosse superado. Tabela 3 Resultado de uma operação de venda de volatilidade quando a volatilidade implícita atinge o limite superior do cone pelos modelos de Corrado Su e Black-Scholes a partir da comparação com a volatilidade realizada até o exercício das opções da Petrobras Ganho com a Variação da Volatilidade Implícita no topo do cone de volatilidade (Corrado e Estatísticas Su) Máximo 27,73% 29,28% Percentil 90% 20,51% 18,53% Média 10,89% 9,94% Percentil 10% 1,78% 1,13% Mínimo -8,84% -9,02% Desvio Padrão 7,49% 7,22% Teste T para amostra simples 16,99 14,89 Sig. 0,000 0,000 Ganho com a Variação da Volatilidade Implícita no topo do cone de volatilidade (Black e Scholes) n Teste T de amostras independentes 1,048 Sig. 0,296 Tabela 4 Resultado de uma operação de compra de volatilidade quando a volatilidade implícita atinge o limite inferior do cone pelos modelos de Corrado Su e Black-Scholes a partir da comparação com a volatilidade realizada até o exercício das opções da Petrobras Ganho com a Variação da Volatilidade Implícita no vale do cone de volatilidade (Corrado e Estatísticas Su) Máximo 24,63% 22,27% Percentil 90% 17,44% 16,38% Média 7,59% 11,58% Percentil 10% -1,45% 3,03% Ganho com a Variação da Volatilidade Implícita no vale do cone de volatilidade (Black e Scholes) 11

12 Mínimo -5,79% -1,08% Desvio Padrão 7,86% 6,30% Teste T para amostra simples 5,201 6,455 Sig. 0,000 0,000 n Teste T de amostras independentes 1,678 Sig. 0,101 Uma análise da tabela 4 mostra que pelo modelo de Corrado e Su, houve um ganho máximo de 27,73%, ou seja, uma operação de venda de volatilidade neste momento resultaria em um lucro de 27,73% sobre a variação da volatilidade implícita e a volatilidade realizada, contra uma perda máxima de 8,84% sobre esta variação. Já pelo modelo de Black e Scholes, haveria um ganho máximo de 29,28% contra uma perda máxima de 9,02%. Na média, os resultados foram positivos para os dois modelos, 10,89% e 9,94%, respectivamente. Os limites superiores e inferiores para as ações da Petrobras foram superados com maior freqüência no modelo de Corrado e Su (1996) devido a maiores coeficientes de assimetria e curtose, com grande divergência em relação aos da distribuição normal de probabilidade no período estudado. Os resultados para as operações de venda de volatilidade mostram que os dois modelos apresentam ganhos estatisticamente significativos, pois a hipótese nula de que a média dos resultados é menor ou igual a zero a qualquer nível de significância é rejeitada. Porém, embora a média dos resultados calculados pelo modelo de Corrado e Su tenha sido maior que a obtida pelo modelo de Black e Scholes, um teste estatístico comparativo entre as amostras não mostrou diferença estatisticamente significante para os dois modelos. Já no que tange a tabela 5 que mensura os resultados obtidos pela compra de volatilidade quando o limite inferior do cone é alcançado, os números não foram muito diferentes, pelo modelo de Corrado e Su houve um ganho máximo de 24,63% contra uma perda máxima de 5,79% e um ganho médio de 7,59%. Para o modelo de Black e Scoles houve um ganho máximo de 22,27% contra uma perda máxima de 1,08% e uma média de 11,58%. Novamente houve rejeição da hipótese nula a qualquer nível de significância, ou seja, a hipótese alternativa de que os ganhos são positivos pode ser aceita para os dois modelos. Mas, mesmo a média dos resultados de Black e Scholes sendo maior que a de Corrado e Su, tal diferença não é estatisticamente significante, conforme mostra o teste feito entre as amostras, não se pode rejeitar a hipótese de igualdade entre as médias dos dois modelos para níveis de confiança menores ou iguais a 5%. 4.2 Vale Ao se observar as volatilidades implícitas obtidas pelo método inverso ao modelo de Corrado e Su (1996), em todo o ano de 2010, em nenhum momento esta estatística superou o topo do cone de volatilidade, e o valor máximo encontrado para a mesma foi de 55,02%. Da mesma forma ocorreu com o método de Black e Scholes (1973), em que seu valor máximo foi de 51,55%. Portanto, o cone traçado com os dados históricos da Vale neste período turbulento não teria seu limite superior em nenhum momento, o que tornaria a análise de venda de volatilidade inviável. O passo seguinte do estudo para as ações da Vale foi a análise dos cones de assimetria e curtose, e assim como ocorreu com a Petrobras, há uma grande diferença entre esses 12

13 parâmetros e o que o modelo de Black e Scholes utiliza, ou seja, assimetria igual a 0 e curtose igual a 3 (excesso de curtose igual a zero). As figuras 8 e 9 ilustram bem a existência destes cones de assimetria e curtose. Tais cones, assim como ocorreu com o cone de volatilidade, possuem uma maior amplitude quanto menor o prazo até o vencimento das opções. Fonte: Elaborado pelo autor com os dados da Economática Figura 8- Cone de assimetria das ações da VALE5 no período Fonte: Elaborado pelo autor com os dados da Economática Figura 9- Cone de curtose das ações da VALE5 no período Os testes de raiz unitária foram aplicados tanto para a volatilidade implícita calculada pelo modelo de Corrado e Su, quanto pela volatilidade implícita calculada pelo modelo de Black e Scholes, conforme mostram as tabelas 3 e 4. Tabela 5- Teste da raiz unitária para a volatilidade implicita de opções da Vale obtidas pelo modelo de Corrado e Su Augmented Dickey-Fuller (estatística de teste) Prob.(p-valor) 0,0000 Valor crítico (5%) Tabela 6 - Teste da raiz unitária para a volatilidade implicita de opções da Vale obtidas pelo modelo de Black e Scholes Augmented Dickey-Fuller (estatística de teste) Prob.(p-valor) 0,0000 Valor crítico (5%) Em ambos os testes a hipótese nula de raiz unitária foi rejeitada, o que valida a premissa do modelo de que a volatilidade implícita segue um processo de reversão a média, da mesma forma que os trabalhos de Burghardt e Lane (1990) e Cerqueira (2010).O próximo passo foi sobrepor ao cone de volatilidade as volatilidades implícitas calculadas pelos dois modelos, a figura 10 mostra as oportunidades de compra ou de venda de volatilidade para a opção VALEE48 com vencimento em 17/05/

14 Fonte: Elaborado pelo autor Figura 10-Cone de volatilidade da VALE5 representado pelos limites máximo, mínimo, percentil 90% e percentil 10%, sobreposto com a avolução das volatilidades implícitas obtidas por Corrado-Su e Black Scholes da série VALEE48 (vencimento em 17/05/2010) A análise da figura mostra que o limite superior do cone foi superado somente pelo modelo de Corrado e Su, quando faltavam 14 e 15 dias úteis para o vencimento das opções. A volatilidade implícita nestes dias alcançou 46,59% e 45,63%, respectivamente. Já os coeficientes de assimetria e excesso de curtose alcançaram -1,2469 e 5,1145 em 14 dias úteis para o vencimento e -1,3332 e 5,2748 em 15 dias úteis para o vencimento. As grandes diferenças encontradas entre os coeficientes de assimetria e curtose nestes dias e tais coeficientes utilizados na distribuição normal de probabilidade servem para explicar as diferenças de volatilidade implícita encontradas para os dois modelos nestes dias. Já o limite inferior do cone de volatilidade só foi superado pelo modelo de Black e Scholes, quando faltavam 26,44 e 48 dias úteis para o vencimento. Os coeficientes de assimetria e excesso curtose fizeram com que a volatilidade implícita calculada pelo modelo de Corrado e Su se situasse acima da volatilidade implícita calculada pelo modelo de Black e Scholes. A seguir serão mostrados os resultados encontrados para todas estas operações, a tabela 7 mostra os resultados obtidos no topo do cone, ou seja, resultados oriundos de uma operação de venda de volatilidade, já a tabela 8 mostra os resultados obtidos em uma operação de compra de volatilidade, ou seja, quando o limite inferior do cone fosse alcançado pelos dados sobrepostos da volatilidade implícita obtida pelos dois modelos estudados. Tabela 7 Resultado de uma operação de venda de volatilidade quando a volatilidade implícita atinge o limite superior do cone pelos modelos de Corrado Su e Black-Scholes a partir da comparação com a volatilidade realizada até o exercício das opções da Vale Ganho com a Variação da Volatilidade Implícita no topo do cone de volatilidade (Corrado e Estatísticas Su) Máximo 31,52% 14,99% Percentil 90% 27,83% 14,24% Média 10,87% 7,77% Percentil 10% -2,90% 0,26% Mínimo -8,84% -2,53% Desvio Padrão 11,07% 5,38% Teste T para amostra simples 7,220 6,128 Sig. 0,000 0,000 Ganho com a Variação da Volatilidade Implícita no topo do cone de volatilidade (Black e Scholes) 14

15 N Teste T de amostras independentes 1,141 Sig. 0,258 Tabela 8 Resultado de uma operação de compra de volatilidade quando a volatilidade implícita atinge o limite inferior do cone pelos modelos de Corrado Su e Black-Scholes a partir da comparação com a volatilidade realizada até o exercício das opções da Vale Ganho com a Variação da Volatilidade Implícita no vale do cone de volatilidade (Corrado e Estatísticas Su) Máximo 33,30% 17,99% Percentil 90% 17,28% 15,48% Média 3,00% 0,62% Percentil 10% -3,81% -4,42% Mínimo -6,81% -7,98% Desvio Padrão 9,30% 6,96% Teste T para amostra simples 3,286 0,720 Sig. 0,001 0,474 N Teste T de amostras independentes 1,786 Sig. 0,076 Ganho com a Variação da Volatilidade Implícita no vale do cone de volatilidade (Black e Scholes) A tabela 7 mostra que no topo do cone de volatilidade a média os resultados obtidos pelo modelo de Corrado e Su foram superiores aos resultados obtidos pelo modelo de Black e Scholes, 10,87% contra 7,77%. Os testes estatísticos mostram que em ambos os modelos os ganhos foram significantes, porém a hipótese de igualdade entre a média dos modelos não pode ser rejeitada a um nível de confiança de 5%. Por outro lado, a tabela 8 que mostra os resultados de operações realizadas no percentil inferior do cone de volatilidade mostra uma média de 3,00% para a compra de volatilidade pelo modelo de Corrado e Su e uma média de 0,62% pelo modelo de Black e Scholes. As estatísticas de teste mostram que os ganhos médios pelo primeiro modelo são estatisticamente significantes a um nível de 5%, já os do segundo modelo não. Porém a esse mesmo nível de confiança não há como afirmar diferença estatisticamente significante entre os modelos. Assim como aconteceu com a Petrobrás, os coeficientes de assimetria e curtose divergiram bastante dos da distribuição normal de probabilidade o que fez com que o modelo de Corrado e Su tivesse um número de observações maior tanto no topo quanto na parte inferior do cone. 4.2 Conclusão O trabalho buscou mostrar a existência de cones de assimetria e curtose no mercado brasileiro de opções e verificar se os ganhos obtidos em operações realizadas com os cones de volatilidade pelos modelos de Corrado e Su (1996), que leva em consideração estas medidas de assimetria e curtose, e o modelo de Black e Scholes (1973), que só leva em consideração a volatilidade, foram estatisticamente diferentes. Os resultados obtidos estão alinhados com os estudos de Burghardt e Lane (1990) e de Cerqueira (2010), que confirmam a hipótese de que a distribuição da volatilidade histórica ao longo do tempo pode ser uma boa previsora para a volatilidade futura. No que tange à 15

16 diferença entre os resultados obtidos pelos modelos, tanto para Petrobras quanto para a Vale, não houve diferença estatisticamente significante entre os mesmos, tanto para as operações no percentil superior do cone de volatilidade quanto no limite inferior do mesmo. A fim de aprimoramento dos resultados, futuros trabalhos poderiam utilizar dados intradiários como sugerido por Cerqueira (2010), buscando sincronizar os dados dos ativos com os das opções, evitando discrepâncias causadas somente pela análise feita com dados de fechamento. Além disso, uma análise futura de opções do ano de 2012 poderia ser feita utilizando os cones do período de 2010 e 2011, pois o comportamento do mercado foi bem apropriado para utilização da ferramenta. Referências Bibliográficas BLACK, F; SCHOLES, M S. The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Journal of Political Economy, vol. 81, p , BLACK, K. Business Statistics: Contemporary Decision Making, Wiley, 6th Edition, BURGHARD, G.,LANE, M. How to Tell If Options Are Cheap. Journal of Portfolio Management 16:72 78,1990. CERQUEIRA, R.J. O cone de volatilidade no mercado de opções brasileiro. 65 p. Dissertação (Mestrado)-IAG/PUC-RJ, Rio de Janeiro, CHRISTENSEN, B. J.; PRABHALA, N. R. The relation between implied and realized volatility. Journal of Financial Economics, 50, p , CORRADO, C.J.; SU, T. S&P 500 index tests of Jarrow and Rudd s approximate option valuation formula. Journal of Futures Markets, pp , DIXIT, A.; YADAV, S.S.; JAIN, P.K. Testing the expectations hypothesis on the term structure of volatilities implied by index options: study of the Indian securities market. Journal of financial management and analysis, 20 (2), p , FIGUEIREDO, A.C. Introdução aos derivativos. 2ª ed. São Paulo: Cengage Learning, HARRISON, J; KREPS, D.Martingales and arbitrage in multiperiod securities markets J. Economic Theory , HULL, J.. Options, futures and other derivatives. Boston:Prentice Hall, 2011, 8th Edition. JARROW, R.; RUDD, A. Approximate option valuation for arbitrary stochastic processes, Journal of Financial Economics, vol. 10, pp , JAVAHERI, A. Inside Volatility Arbitrage: The Secrets of Skewness. New York: Wiley, SINCLAIR, E. Volatility Trading. New York: Wiley,