Um estudo comparativo entre o algoritmo genético padrão e uma versão nebulosa do mesmo, com o fim de ajustar a probabilidade de mutação

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1 Um estudo comparativo entre o algoritmo genético padrão e uma versão nebulosa do mesmo, com o fim de ajustar a probabilidade de mutação Luiz A. Carlos amorim@dimap.ufrn.br André G. C. Pereira andre@ccet.ufrn.br Maio de 2012 Resumo Neste artigo propõe-se um algoritmo genético nebuloso, denominado, com o fim de ajustar a probabilidade de mutação em auxílio ao algoritmo genético padrão, denominado, e realiza-se um comparativo de desempenho entre os mesmos. A versão nebulosa é obtida com o auxílio de um controlador nebuloso, definido com o fim de realizar o ajuste da probabilidade de mutação, p m, sendo estabelecida a dependência desta à diversidade da população presente, d p. Em [1, 8, 7], o ajuste proposto é feito nos parâmetros de mutação, p m, e de cruzamento, p c. O algoritmo genético padrão pode ser modelado por cadeia de Markov homogênea, como em [13] e também em [14], com suas próprias condições de convergência. Entretanto quando se ajusta parâmetros, ajuste esse que pode ser feito tanto de forma precisa, como em [2], quanto de forma nebulosa, como se faz aqui, a cadeia de Markov que o modela passa a ser não-homogênea e, em virtude disso, o controlador nebuloso deve ser definido a fim de garantir as particulares condições de convergência, exigidas para o caso nãohomogênea. Estes algoritmos são submetidas a testes computacionais a fim de gerar um conjunto de dados que ofereçam elementos ao estudo comparativo desejado. 1 O problema e sua representação O algoritmo, aqui abordado, tem como objetivo resolver o problema max{f(x) : x B} x onde B R n é o domínio de f, dado por [a 1,b 1 ],..., [a n,b n ], e, além disso, f é uma função positiva limitada superiormente, sobre seu domínio. Depto. de Informática e Mat. Aplicada da Universidade Federal do Rio Grande do Norte Depto. de Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Norte 1

2 Uma malhagéestabelecida de acordo com a precisão desejada, sobre o domínio B, onde cada elemento será representado por um arranjo binário π de tamanho m n, o que faz G ter cardinalidade 2 n m. Este arranjo π é obtido pela concatenação de arranjos binários π i, de tamanhos m i, sendo m i escolhido a fim de satisfazer às precisões desejadas para a malha. O binário m i corresponde ao inteiro int(m i ) e, portanto, cada componente é dada por x i = a i +int(π i ) b i a i 2 m i 1 2 O algoritmo genético padrão O algoritmo genético padrão, tal como descrito em [10], parte de uma amostra de pontos da malha, chamada de população, de tamanho t p, chamado de tamanho da população, e evolui realizando, sobre esta amostra, operações de seleção, S, de cruzamento, C e de mutação, M. A operação seleção é baseada em alguma definida medida de adequabilidade dos elementos da população presente, p i, enquanto que o cruzamento e a mutação são definidos a partir de parâmetros, chamados respectivamente de probabilidade de cruzamento, p c, e probabilidade de mutação, p m, que definem, respectivamente, quantos dos pontos da população presente devem passar pelos operadores de cruzamento e de mutação. Nesse algoritmo os parâmetros t p, p c e p m são mantidos fixos durante a execução. Maiores detalhes podem ser visto em [10]. Sendo assim, o algoritmo toma a seguinte descrição. Uma população inicial é gerada e repetem-se as operações: Seleção, com uso da adequabilidade Cruzamento, com parâmetro p c Mutação, com parâmetro p m Até que algum critério de parada seja satisfeito. 2.1 Os operadores S, C e M Os operadores seguintes são os elementos de construção do algoritmo genético padrão, cujos detalhes podem ser vistos em [10] A seleção - S Uma grandeza que tem sido frequentemente usada na definição do mecanismo de seleção, p i, chamada de adequabilidade do elemento, é dada por p i = f(x i ) tp i=1 f(x i) onde t p é o tamanho da população, e assim, p i, é a chamada adequabilidade do ponto X i. Com esta adequabilidade, um mecanismo padrão de seleção tem sido usado onde se define 2

3 uma roleta, com setores de tamanhos p i que deve ser rodada t p vezes, selecionando em cada rodada um elemento para a nova população. Esta seleção pode levar a uma convergência prematura para um ótimo local, ainda distante do ótimo global, quando a adequabilidade de um dos representantes, na população, for comparativamente grande, o que determina o predomínio do mesmo, pela forte pressão seletiva que este ponto exerce sobre os demais. O controle da pressão seletiva através de mecanismos tais como: classificação de soluções através de pesos, escalamento nos valores da função, uso do simulated annealing, cujos detalhes podem ser vistos em [10], têm sido usados para exercer equilíbrio entre diversificação e intensificação O cruzamento - C No cruzamento usa-se p c na determinação da quantidade de elementos sujeitos a cruzamento, podendo os pares e o ponto de corte serem gerados aleatoriamente A mutação - M Este operador é o principal responsável pela diversidade da população e seu parâmetro p m é usado na determinação da quantidade de bits sujeitos à mutação, podendo o parâmetro ser fixo, como no algoritmo padrão, ou variável com a iteração, como no caso em estudo. A dinâmica do algoritmo garante que a população resultante da aplicação destes operadores só depende da população anterior e não de toda história do processo e, em consequência, garante que o algoritmo genético é uma cadeia de Markov, homogênea como em [5, 11, 14] e não-homogênea como em [3]. Em [14] mostrou-se que o algoritmo genético padrão não converge quase certamente para uma população que tenha o ponto de ótimo como um de seus elementos, por isso, o mesmo trabalho propõe a introdução na população do melhor elemento encontrado até o presente, sem submetê-lo aos operadores, pelo que passou a chamar de algoritmo genético elitista. 3 O algoritmo genético não-homogêneo Uma versão não-homogênea, poderia ser obtida pela variação dos três parâmetros t c, p c e p m, entretanto em [3] foi permitida variação de p c e p m, passando os mesmos a dependerem da iteração k e ficando assim denominados por p k m e pk c, com as quais a convergência do algoritmo é provada. Neste artigo somente o parâmetro p m é variável e, com isso, a descrição do algoritmo fica assim Uma população inicial é gerada e repetem-se as operações: Seleção, com uso de p i Cruzamento, com parâmetro de p c 3

4 Mutação, com o parâmetro de p k m Até que algum critério de parada seja satisfeito. Em muitos trabalhos, como em [8, 7, 1], foram realizados estudos numéricos usando parâmetros variáveis entretanto em nenhum deles se faz referência às condições de convergência, dadas em [3]. Para isso, o controlador nebuloso, desccrito a seguir, é estabelecido com fim de garantir essas condições. 4 O controlador nebuloso Um controlador nebuloso é constituído de três módulos sendo o primeiro deles aquele no qual se estabelece o processo de fuzificação, ou passagem do universo preciso para o universo nebuloso, enquanto que o segundo é o módulo de inferência nebulosa e o último é o módulo de defuzificação, ou volta ao universo preciso. Para definir o primeiro módulo identificam-se, no problema, as variáveis x i, que assumem valores no domínio preciso X, que se tornarão nebulosas, pela escolha da partição nebulosa no domínio X. Com essas escolhas define-se entre elas quais são de entrada, aqui referida por x entrada e quais são de saída, aqui referida por x saída, sendo esta última dependente da primeira e usada no ajuste do que se pretende controlar. Para isto, associa-se a cada variável a sua correspondente variável linguística, de mesmo nome, que assume valores linguísticos, como no caso em estudo, baixa - B, média - M e alta - A, valores linguísticos estes escolhidos de conformidade com a conveniente partição nebulosa. Em cada universo linguístico X definem-se as funções de pertinências µ j, sendo j um valor linguístico, (1) µ j : X [0,1] onde cada ponto x X é associado ao seu grau de pertinência dado pelo valor µ j (x), para o valor linguístico j. Com isto conclui-se o módulo de fuzificação. O principal módulo do controlador, o de inferência, é realizado em duas etapas sendo a primeira a que faz uso da matriz de regras para, posteriormente, fazer uso da regra de inferência. A matriz de regras incorpora a experiência de alguém que tenha bastante conhecimento do processo para o qual se destina o controlador e, portanto, substitui esse alguém na operação do processo. O último módulo é aquele onde se define a regra de defuzificação, ou seja, quando se estabelece o critério de passagem do universo nebuloso para o universo preciso. 5 O controlador nebuloso no algoritmo genético O controlador nebuloso seguinte destina-se a auxiliar o algoritmo genético no ajuste do parâmetro probabilidade de mutação, p m, que tem esta como variável de saída e estabelece a dependência desta ao parâmetro diversidade da população, d p, como variável de entrada. 4

5 5.1 O módulo de fuzificação Uma vez escolhidas no problema as variáveis que farão parte do controlador, no caso apenas uma de entrada e uma de saída, define-se em cada um dos respectivos universos, onde essas variáveis assumem valores, as partições nebulosas e os seus respectivos valores linguísticos caracterizados pelo valor de sua respectiva função de pertinência. Para o caso em estudo, o controlador da probabilidade de mutação, p m, no algoritmo genético decidiuse, para cada um dos 2 universos diversidade da população e probabilidade de mutação, por partições nebulosas idênticas, dadas pelos 3 valores linguísticos, baixa - B, média - M e alta - A, resultando dessa escolha na definição de 6 funções de pertinências, todas chamadas de µ j, j = A,B,C, a seguir definidas. Variável de entrada Como a diversidade da população, d p, depende do estado da população presente, tp será usada a média, f = i=1 f(x i), para indexá-las, ficando assim definidas t p 1 para 0 d p < 0.45 f µ B f (d p ) = dp +4 para 0.45 f d 0.15 f p < 0.6 f 0 para d p 0.6 f 0 para 0 d p < 0.45 f d p 3 para 0.45 f d µ M f 0.15 f p < 0.6 f (d p ) = 1 para 0.6 f d p < 0.75 f dp 0.15 f +6 para 0.75 f d p < 0.9 f 0 para d p 0.9 f 0 para 0 d p < 0.75 f µ Ā f (d d p) = p 5 para 0.75 f d 0.15 f p < 0.9 f 1 para d p 0.9 f Variável de saída Estas funções são indexadas por, a fim de garantir, junto com a definição da matriz de regras, as condições de convergência. µ B (p m ) = 1 para 0 p m < ng p m ( +1) para p m < para p m 1 5

6 µ M (p m ) = 0 para 10 3 p m < p m (1 2) para p m < para p m < ng p m +2 +2/3 para p m < para p m 1 0 para 10 3 p m < µ A n (p m ) = ( g )p m 2 +1/3 para p m < para p m O módulo de inferência Da lógica clássica, a tautologia chamada modus pones, dada por p (p q) q para as proposições p e q, é bastante usada como regra de inferência. É com base nesta regra que se define a chamada regra modus pones generalizada dada por, [p (p q)] q sendo p, p, q e q proposições nebulosas. Esta implicação também torna-se tautológica, independente do valor verdade de p q e isto se deve pelo fato de ser p q uma regra, da matriz de regras, que a despeito de ser responsável pela substituição da experiência do especialista no processo, não se pode admitir que a experiência não possa falhar. Sendo assim, a primeira etapa desse módulo é a que faz uso da matriz de regras e é dela que se tira o valor linguístico com o qual se faz uso na segunda etapa da regra de inferência, para, por fim, se chegar à função de pertinência do consequente, q, conclusão do processo de inferência. A seguir a descrição das matrizes de regras para p m A matriz de regras para p m Para este caso, a matriz de regras tem como variável de entrada a diversidade da população, d p, e como variável de saída a probabilidade de mutação, p m, como segue 1. Se d p é B p m é A; 2. Se d p é M p m é M; 6

7 3. Se d p é B d p é M p m é M; 4. Se d p é A p m é B; 5. Se d p é M d p é A p m é A; Realização da regra de inferência Para tal tome, como exemplo, na matriz de regras para p m aquela da forma Se [d p é i d p é j, i j] p m é k A regra de inferência pressupõe a realização das operações de relação e de implicação, aqui denominadas respectivamente por µ e por, µ. A operação de relação é responsável por garantir o valor verdadeiro para o antecedente da regra de inferência generalizada, (p (p q), principalmente quando este tem funções com domínios diferentes pois quando não é este o caso basta conjugar o antecedente com o antecedente da regra da base em uso, ou seja, basta fazer p = p para se chegar ao resultado desejado. Esta operação fica bem definida com o operador t norma, cuja formalização pode ser encontrada em [12]. As regras usadas são as chamadas regras disparadas ou aquelas que tornam o antecedente, p, verdadeiro pela avaliação do mesmo nos valores adequados, que no caso em estudo trata-se dos valores de d p, gerados a partir da população presente. Observe que quando p é do tipo µ i (d p ) µ j (d p ) o mesmo exige o uso do operador. Com isto, chega-se à proposição µ q que precisa ser realizada por meio do operador µ e, para esse fim, usa-se um dos critérios listados em [4]. Desta forma é que se garante o valor verdadeiro para a regra de inferência generalizada, [p p q] q, valor esse obtido independente do valor verdadeiro de p q pois, como se observa, o valor linguístico de q é o mesmo de q, mudando apenas o grau de pertinência do mesmo. É importante observar que essas operações foram descritas apenas para constatar o valor tautológico da regra de inferência generalizada mas tudo se resume ao uso do operador µ, pelo corte de q, por algum valor da entrada, para se obter q, podendo o corte ser feito pelo critério do mínimo, do produto ou por qualquer outro dentre aqueles definidos em [4]. O consequente, q representa o grau de pertinência, µ out, da saída do módulo de inferência que será usado no módulo seguinte, o de defuzificação. 5.3 O módulo de defuzificação O objetivo da escolha das funções de pertinência parametrizadas por deve-se ao fato das mesmas serem convergentes para o mesmo bloco trapezoidal, quando, e, em consequência, garante-se que o uso das regras de defuzificação geram sequências convergentes, tanto para a regra do menor maximizador, também conhecido por mom, quanto para a regra do centróide, dada por xi µ out (x i ) µ out (x i ) 7

8 6 Os problemas teste Os problemas usados foram escolhidos por terem graus de dificuldades diferentes e constam de testes em [10] e [6], sendo os seguintes: f 1 (x 1,x 2 ) = 6+x 2 1 3cos(2πx 1 )+x 2 2 3cos(2πx 2 ), para [ 2,1] 2 f 2 (x 1,x 2 ) = 0.5 sin2 x 2 1 +x (10.001x 2 1 +x2 2 )2, para [ 1280/63,1240/63] 2 f 3 (x 1,x 2 ) = 1, para [ 4,1] x 2 1 +x 2 2 f 4 (x 1,x 2 ) = [1+(x 1 +x 2 +1) 2 (19 14x 1 +3x x 2 +6x 1 x 2 +3x 2 2)] [30+(2x 1 3x 2 ) 2 (18 32x 1 +12x x 2 36x 1 x 2 +27x 2 2], para [ 2,2] 2 f 5 (x 1,x 2 ) = (x π 2x2 1 5 π x 1 6) 2 +10(1 1 8π )cos(x 1)+10, para [5,10] [0,15] f 6 (x 1,x 2 ) = 3(1 x 1 ) 2 exp( x 2 2 (x 2 1) 2 ) exp( (x 1 1) 2 x 2 2 ), para [ 2,4]2 10( x 1 5 x3 1 x5 2 )exp(x2 1 x2 2 ) + 7 Os resultados computacionais Cada uma das duas versões do algoritmo genético, e, foi executada 100 vezes para cada um dos problemas acima e cada execução realiza 1000 iterações. Como se conhece, a priori, o ótimo do problema, a taxa de sucesso do algorimo é a soma dos sucessos nas 100 execuções. O ganho obtido, do sobre o, fica evidenciado nos gráficos seguintes o que mostra ser promissora a modificação aqui sugerida no. O ganho fica evidenciado pois mesmo quando há aproximação nos ganhos esta se deve, em parte, pelo fator escala, pois apesar da razão eixo-vertical/eixo-horizontal ser igual a 1/10, na realidade a razão de apresentação do gráfico é de 1/1, o que significa um alongamento vertical da figura, indesejável mas necessário, como se observa a seguir 8

9 taxa_sucesso taxa_sucesso Figura 1: função 1 Figura 2: função 2 taxa_sucesso taxa_sucesso Figura 3: função 3 Figura 4: função 4 9

10 taxa_sucesso taxa_sucesso Figura 5: função 5 Figura 6: função 6 Referências [1] Burdelis, M. A. P., (2009). Ajuste de taxas de mutação e de cruzamento de algoritm A.G.os genéticos utilizando inferências nebulosas, Dissertação de mestrado apresentada à Universidade Politécnica de São Paulo. [2] Campos, V. S. M. and Pereira, A.G.C., Carlos, L.A., and de Assis, I.A.S., (2011) Algoritmo Genético por Cadeia de Markov homogênea versus não-homogênea: Um estudo Comparativo, Revista de Investigación de Operaciones del Instituto Chileno de Investigación Operativa.(a aparecer) [3] Campos, V. S. M. and Pereira, A.G.C., and Rojas Cruz, J.A., (2012). Modelling the Genetic Algorithm by a Non-Homogeneous Markov Chain: Weak and Strong Ergodicity, Theory of Probability and its Applicaations. Vol 57, Issue 1, pp [4] Cavalheiro, Andreia Philipp. (2003). Lógica difusa no controle de parâmetros do algoritmo genético para o problema do caixeiro viajante, Dissertação de mestrado apresentada à Universidade Federal do Rio Grande do Norte. [5] Eiben, A.E., Aarts, E.H.L. and Van Hee, K.M., (1991). Global convergnce of genetic algorithms: A Markov chain analysis, in Parallel Solving from Nature, H.P. Schewefel and R. Manner (Eds.), Berlim and Heidelberg: Springer, pp

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