II Noções da Física Ondulatória

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1 II Noções da Física Ondulatória A Luz como um Fenômeno Eletromagnético A luz e o Eletromagnetismo Por centenas de anos filósofos e cientistas questionaram sobre a natureza da luz. Isaac Newton ( ) acreditava que a luz consistia de um feixe de partículas, enquanto o físico holandês Christian Huygens ( ) assumia que a luz era um tipo de movimento ondulatório. A disputa sobre a natureza e o comportamento da luz foi aparentemente resolvida pelos trabalhos do físico James Clerk Maxwell ( ). 1

2 Maxwell mostrou que todas as propriedades conhecidas da luz poderia ser explicadas através de quatro equações, conhecidas como as equações de Maxwell. Ele baseou-se na hipótese de que a luz visível, assim com outras formas de radiação, tal como a luz ultravioleta e as ondas de rádios são ondas formadas por campos elétrico e magnético, denominada ondas eletromagnéticas, que se propagam no espaço. 2

3 Uma onda eletromagnética consiste de campos elétrico e magnético que oscilam em direções perpendiculares um ao outro e que a direção de propagação desta onda é perpendicular aos campos e, veja Fig.2.1, por isto estas ondas são denominadas transversais. Fig.2.1a - Propagação de uma onda eletromagnética de acordo com Maxwell 3

4 Todas as ondas podem ser descritas em termos de sua velocidade, freqüência, comprimento de onda e amplitude como ilustrado na figura Fig.2.2. O comprimento de onda (letra grega lambda) é a distância entre dois máximos ou mínimos sucessivos. Conseqüentemente tem unidade de comprimento. A freqüência (letra grega nu) é o número de cristas de ondas que passam em um dado ponto de referência por unidade de tempo. A unidade de freqüência é igual ao inverso da unidade de tempo. 4

5 A simulação abaixo representa a propagação de uma onda eletromagnética na direção Z. Veja que os campos E e B são sempre ortogonais. Fig.2.1b - Propagação de uma onda eletromagnética 5

6 Freqüentemente usa-se a unidade denominada hertz (Hz), 1Hz = 1 s -1. A freqüência de 10 Hz significa que 10 cristas da onda passam por segundo em um dado ponto de referência. Se existem n ondas por segundo passando por um ponto, e se o comprimento de onda de cada onda é, a distância viajada pela onda em 1 segundo é igual ao produto, o que corresponde a sua velocidade de propagação, isto é, v 6

7 A luz e todos os outros tipos de radiação eletromagnética têm velocidade de propagação constante que é igual a c = 2, x 10 8 m/s, no vácuo. Este resultado pode ser mostrado a partir das equações de Maxwell. Para muitos propósitos, neste curso, será suficientemente acurado usar um valor arredondado para a velocidade da luz com três algoritmos significativos, isto é, 7

8 Fig Propriedades das ondas 8

9 2.1.2-Equações de Maxwell Um dos resultados mais importantes advindo da formulação de Maxwell para o eletromagnetismo é a existência de ondas eletromagnéticas, ou campos elétricos e magnéticos que se propagam no espaço e no tempo. Pode-se mostrar que as equações de Maxwell, tabela 2.1, são suficientes para descrever este fenômeno. Com isto, pode-se concluir que os campos elétrico e magnético se propagam no espaço com velocidade constante e independente do referencial. Tabela As equações de Maxwell na forma integral e diferencial 9

10 Destas equações podemos concluir que : Os campos elétricos criados por cargas elétricas são divergentes ou convergentes. Os campos magnéticos são rotacionais, isto é, não existem monopolos magnéticos. Campos magnéticos variáveis no tempo geram campos elétricos rotacionais. Campos elétricos variáveis no tempo geram campos magnéticos rotacionais. Correntes elétricas ou cargas em movimento geram campos magnéticos 10

11 A Equação de Onda Eletromagnética e sua Velocidade Das equações de Maxwell, apresentadas na Tabela 2.1, pode-se deduzir um conjunto de equações que descrevem a propagação das ondas eletromagnéticas, isto é, a propagação dos campos elétricos e magnéticos, as quais têm a seguinte forma. No caso geral, as soluções destas equações são complexas pois temos que resolver, simultaneamente, um sistema de seis equações diferenciais de segunda ordem, no espaço e tempo. Estas equações têm soluções simples quando tratamos uma onda se propagando no vácuo. 11

12 Neste caso, os campos elétricos e magnéticos, que são soluções das equações de onda têm a seguinte forma; Das equações acima pode-se mostrar que a velocidade de propagação da onda é igual a 12

13 Destas análises, pode-se concluir que os campos elétrico e magnético se propagam no espaço com velocidade constante e independente do referencial. Nos anos que precederam a unificação da teoria de Maxwell, os físicos consideravam que a teoria da luz não estava relacionada à teoria da eletricidade e magnetismo Maxwell mostrou com sua teoria unificada, não só o comportamento ondulatório do eletromagnetismo como também que as ondas eletromagnéticas são geradas sempre que cargas elétrica são aceleradas. Portanto, ele foi capaz de explicar o fato de que as ondas eletromagnéticas seriam radiadas por qualquer circuito no qual correntes alternadas fluem. Esses resultados foram confirmados através do primeiro transmissor-receptor de rádio, construído por Hertz - em 1887, logo após a morte de Maxwell. 13

14 TEORIA DA RELATIVIDADE 2 TEORIA DA RELATIVIDADE A Teoria do Eletromagnetismo de Maxwell, foi um dos grandes trunfos da ciência no século XIX. Fenômenos físicos aparentemente descorrelacionados, envolvendo a eletricidade, o magnetismo e a ótica, passaram a ser compreendidos em termos de um único conjunto de leis e princípios físicos fundamentais. Como já vimos, uma consequência fundamental da teoria de Maxwell é a propagação de ondas eletromagnéticas. O exemplo mais importante de onda eletromagnética é a luz. Ao observarmos o céu à noite, detectamos a luz emitida por estrelas muito distantes. Para chegar até nós, a luz se propaga através do espaço vazio, ou vácuo, com a velocidade

15 De acordo com essa equação, constantes fundamentais associadas a eletricidade (a permissividade elétrica do vácuo e ) e ao magnetismo (a permeabilidade magnética do vácuo m ) determinam a velocidade de propagação da luz no vácuo c. Portanto, essa equação resume a unificação da eletricidade, do magnetismo e da ótica sob uma mesma teoria fundamental, descrita pelas Equações de Maxwell. Todas as ondas eletromagnéticas, e não apenas a luz, se propagam no vácuo com a velocidade c, não importando o valor do comprimento de onda, nem os detalhes do processo de geração da onda _ por exemplo, se o emissor da onda está ou não em movimento. Essa e uma previsão fundamental das equações de Maxwell: c e uma constante universal da Física, que representa a velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas no vácuo.

16 Entretanto, a noção de uma velocidade absoluta, representada por uma constante universal, parece estar em conflito direto com algumas das noções básicas da Mecânica, estudadas no curso de Física 1. Vamos relembrar rapidamente alguns desses conceitos e introduzir o Princípio da Relatividade: O movimento de partículas e a propagação de ondas são descritos do ponto de vista de um referencial, associado a um sistema de eixos coordenados. Como exemplo, considere um avião em movimento em relação ao aeroporto. Temos dois referenciais naturais nesse problema: o referencial do avião, que corresponde a perspectiva de observação de um passageiro sentado em seu interior, e o referencial terrestre, que corresponde, por exemplo, a perspectiva de um observador em repouso no aeroporto.

17 As leis de Newton valem numa classe especial de referenciais: os referenciais inerciais. Qualquer referencial em movimento com velocidade constante em relação a um referencial inercial também e inercial.como essa velocidade é arbitrária, ha uma infinidade de referenciais inerciais, cada um dos quais em movimento relativo com velocidade constante em relação a qualquer outro. Em muitas situações, o referencial terrestre pode ser considerado inercial como boa aproximação. Nesse caso, o referencial do avião é inercial se ele se move em relação ao aeroporto com velocidade constante.

18 Princípio da Relatividade: a equivalência entre os referenciais inerciais. Como as leis da Mecânica são as mesmas em todos os referenciais inerciais, é impossível, por uma questão de primeiros princípios, distinguir entre dois referenciais inerciais por meio de uma experiência mecânica. Vamos tomar, como Galileu, o exemplo de um navio em movimento. Se a velocidade é constante (movimento uniforme), então o referencial em que o navio está em repouso e inercial. Nesse caso, qualquer experimento mecânico feito no interior do navio fornece os mesmos resultados que seriam obtidos no referencial terrestre. Por exemplo, podemos pendurar uma bola de ferro no teto e verificar que sua posição de equilíbrio será vertical, mesmo que o navio esteja em alta velocidade. Mais geralmente, podemos supor que todas as leis da Física, e não só as da Mecânica, são as mesmas em todos os referenciais inerciais.

19 Em consequência desse princípio, não há como descobrir se o navio está ou não em movimento uniforme, se estivermos no porão do navio, sem janelas para olhar para fora e verificar se há movimento em relação a alguma referência externa ao navio. Não há como definir o estado de repouso absoluto ou de movimento uniforme absoluto: apenas o movimento relativo tem significado físico. Isso explica por que ficamos confusos quando estamos no interior de um trem inicialmente estacionado ao lado de um outro trem. Quando há movimento relativo entre os dois trens, pode ser difícil decidir qual dos dois está em repouso em relação à estação. Apenas quando o trem está acelerado podemos verificar o estado de movimento: basta pendurar uma bola no teto e verificar que a sua posição de equilíbrio não é vertical, ou que ela oscila mesmo estando inicialmente na vertical e em repouso em relação ao trem.

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21 Velocidades de propagação de ondas em diferentes referenciais Vamos agora examinar a propagação da luz a partir das perspectivas de dois referenciais distintos. Se, no referencial R; a velocidade de propagação é c, então, de acordo com a lei de composição de velocidades de Galileu, a velocidade no referencial R, em movimento com velocidade V ao longo da mesma direção e sentido da propagação da luz, seria c V. De acordo com esse argumento, a velocidade da luz valeria c apenas em um referencial específico. Como a velocidade c foi derivada das equações de Maxwell, seria preciso concluir também que estas só valeriam nesse referencial especial. No referencial terrestre, a velocidade de propagação de um feixe de luz ao longo da direção de movimento do planeta Terra seria c - V; onde V é a velocidade da Terra..

22 A hipótese do éter era importante para justificar a existência de um referencial privilegiado, em analogia ao caso de ondas sonoras e outras ondas mecânicas. Entretanto, ainda no final do século XIX, a hipótese de um éter material foi aos poucos sendo substituída pelo conceito de um éter vazio, que seria equivalente a um referencial privilegiado, onde valeriam as equações de Maxwell, sem a justificativa decorrente da presença de um meio material. Isso implicava abandonar o princípio de relatividade introduzido por Galileu. Assim, o éter vazio, como referencial privilegiado, introduziria o conceito de movimento absoluto, um preço alto a ser pago, mas aparentemente necessário para a interpretação da constante universal c como uma velocidade absoluta associada à propagação da luz no espaço vazio.

23 Ao longo do século XIX, foram realizadas varias tentativas de medir a modificação da velocidade da luz em experimentos terrestres. Experimentos terrestres são aqueles em que a fonte e o detector da luz estão na Terra. Isso exclui, por exemplo, experimentos de observação de estrelas. Todos os experimentos terrestres obtiveram uma modificação nula para a velocidade da luz. Varias teorias alternativas a do eletromagnetismo de Maxwell foram propostas durante esse período de crise, mas nenhuma sobreviveu à passagem do tempo. No início do século XX, a Física se encontrava num impasse. Parecia difícil conciliar o eletromagnetismo de Maxwell com o princípio de relatividade, no quadro da Mecânica de Galileu e Newton. A solução para o impasse foi obtida por Albert Einstein de uma forma extremamente audaciosa. Em vez de modicar o Eletromagnetismo de Maxwell, era necessário romper com a Mecânica Newtoniana.

24 A Teoria da Relatividade foi uma das duas grandes revoluções científicas do século XX { a segunda revolução foi a Mecânica Quântica, que também contou com contribuições fundamentais de Einstein.. Einstein apresentou as bases da Teoria da Relatividade Restrita no artigo Sobre a Eletrodinâmica de Corpos em Movimento, publicado pela revista alemã Annalen der Physik em Na introdução do artigo, Einstein argumenta que o eletromagnetismo não parece ser intrinsicamente incompatível com a ideia central ao princípio de relatividade, de que apenas o movimento relativo tem sentido físico. Assim como os fenômenos mecânicos, nenhum fenômeno eletromagnético seria capaz, por uma questão de primeiros princípios, de definir o estado de repouso absoluto, ou de movimento uniforme absoluto. Em particular, experimentos terrestres de medida da velocidade da luz jamais poderiam medir uma modificação devido ao movimento da Terra.

25 Se as equações de Maxwell valem em todos os referenciais inerciais (princípio da relatividade), então, em todos eles, a luz se propaga no vácuo com a mesma velocidade c = 3x10 8 m/s, porque a equação para as ondas eletromagnéticas é uma consequência matemática das equações de Maxwell. Essa hipótese audaciosa e claramente incompatível com a lei de composição de velocidades de Galileu. Por sua vez, essa lei está na base de construção da Mecânica de Newton. Assim, a teoria de Einstein representou uma ruptura com uma das teorias mais bem-sucedidas da historia da Física, que, durante séculos, tinha representado o papel de exemplo (ou paradigma) para a ciência de uma forma geral. O ponto de partida para a revisão da Mecânica Newtoniana é a reformulação do conceito de tempo, tendo como base a hipótese, elevada por Einstein ao status de postulado, de que a velocidade da luz é a mesma em todos os referenciais.

26 Relatividade Restrita Formulada por Einstein em A velocidade da luz é a mesma em qualquer referencial inercial. Contração de Lorentz: comprimentos dependem do observador. Dilatação temporal: intervalos de tempo dependem do observador. 26

27 A relatividade restrita muda a geometria: geometria de Minkowski. Na geometria Euclidiana: comprimentos são constantes. Na relatividade restrita: comprimentos e intervalos de tempo dependem do observador.de restrita: comprimentos A força gravitacional Newtoniana propaga-se instantaneamente. Einstein demorou 10 anos para compatibilizar a relatividade restrita com a gravitação. Relatividade geral = teoria da gravitação relativística

28 2.3 A luz e a Teoria Quântica Os dois aspectos mais importantes da revolução científica que chocaram o mundo da física, no início do século XX foram primeiramente a teoria da relatividade de Einstein e o segundo a teoria quântica. A revolução da teoria quântica necessitou de aproximadamente três décadas e a contribuição de vários cientistas para torná-la concreta. Os primeiros passos nesta direção foram dados por Planck (1900) a partir dos seus estudos sobre o corpo negro, os quais proporcionaram o desenvolvimento da mecânica quântica de Schrödinger e Heisenberg. 28

29 Um dos fenômenos mais intrigantes estudados no final do século XIX era o da distribuição espectral da radiação do corpo negro. Um corpo negro é um sistema ideal que absorve toda a radiação que nele incide. Na prática ele pode ser materializado por uma cavidade com uma abertura muita pequena, como por exemplo, os fornos de uma industria siderúrgica. As características da radiação desta cavidade dependem somente da temperatura das paredes do radiador. Por este método, imaginava-se um hipotético objeto totalmente negro (chamado de 'corpo negro', porque absorveria 100% de qualquer luz que incidisse sobre ele) que, ao ser aquecido, passaria a emitir luz. E, além disso, a luz emitida iria mudando gradualmente de cor. 29

30 Nas temperaturas ordinárias (abaixo de 600 o C), a radiação térmica emitida por um corpo negro não é visível, pois a energia está concentrada na região do infravermelho do espectro eletromagnético. Quando o corpo negro é aquecido, a quantidade de energia irradiada aumenta com a quarta potência da temperatura e a concentração de energia se desloca para os comprimentos de ondas menores. Fig Radiância espectral de um radiador de cavidades ou corpo negro 30

31 A Fig.2.3, mostra a potência irradiada por um corpo negro, neste caso um forno de uma industria siderúrgica, em função do comprimento de onda para três temperaturas diferentes. Os resultados experimentais relacionados ao espectro de emissão, não foram entendidos na época e conseqüentemente não se tinha modelos teóricos para a sua descrição. 31

32 Escala de Radiações Eletromagnéticas Sabemos que o comprimento das ondas eletromagnéticas varia desde valores da ordem de 103 m ( ondas de rádio) até m ( raios X). A luz visível constitui uma parte minúscula do espectro das ondas eletromagnéticas. No entanto, só quando se estudou esta pequena parte do espectro é que se descobriam outras radiações com propriedades pouco habituais. Espectro eletromagnético é o intervalo completo da radiação eletromagnética, que contém desde as ondas de rádio, as microondas, o infravermelho, a luz visível, os raios ultravioleta, os raios X, até aos radiação gama. 32

33 Veja a escala completa das ondas eletromagnéticas, com a indicação do comprimento de onda e da freqüência de radiações diferentes. 33

34 Lei de Stefan-Boltzmann Com a realização de experimentos com o corpo negro constatou-se que a radiância da cavidade ( ) varia com a quarta potência da temperatura do radiador e que a radiação é tanto maior quanto mais quente for o corpo. Esta relação ficou conhecida como lei de Stefan-Boltzmann, isto é, a energia total que emerge do orifício da cavidade é dada pela integral da curva experimental, mostrada na Fig.2.3, onde é a constante de Boltzmann, T é a temperatura, é a freqüência e u é a densidade de energia espectral. De acordo com o cálculo integral a equação (1) fornece a área sobre a curva u. 34

35 Uma das preocupações da época era de encontrar uma modelo teórico que explicasse os resultados experimentais obtidos para o corpo negro e conseqüentemente encontrar a função u em termos do comprimento de onda e da temperatura. Stefan foi um dos primeiros pesquisadores a propor uma solução para este caso, assumindo que a função u deveria variar com o cubo da freqüência, como na expressão a seguir, 35

36 Com isto, Stefan postulava que a densidade de energia fosse função da freqüência ( ) da radiação emitida. Fazendo algumas mudanças de variáveis nas duas equações acima, pode-se facilmente verificar que a equação (2) satisfaz a lei de Stefan-Boltzmann (eq.1). Isto é, seja Substituindo estes resultados na equação integral anterior (eq.1) e usando as propriedades de integração de funções, pode-se mostrar que: onde a integral é a constante de proporcionalidade que aparece na lei de Stefan-Boltzmann. 36

37 A explicação teórica dos resultados experimentais e a compreensão dos efeitos envolvidos com a radiação de cavidades, foram os problemas insolúveis mais importantes durante os anos que precederam o século XX. Vários físicos propuseram diversas teorias baseadas na Física Clássica, as quais, no entanto, tiveram apenas sucesso limitado. Uma das questões teóricas da época, mais importantes, girava em torno da determinação explicita da função F que aparece na lei de Stefan (eq.2). Várias propostas foram feitas sem sucesso. A seguir discutiremos duas das mais importantes propostas, as quais referenciamos como a lei Wien e a lei de Rayleigh-Jeans, e no final da seção, apresentaremos a proposta mais realista para a descrição do comportamento de radiação em corpo negro dada por Planck. 37

38 Lei de Wien Avançando um passo na direção da proposta de Stefan, W. Wien encontrou a lei do deslocamento (1893) que tem o seu nome e que enuncia que a distribuição espectral da densidade de energia é dada por uma equação da forma Deve-se notar, que a lei de Wien inclui a lei de Stefan já que ela depende da freqüência ao cubo. 38

39 A razão da denominação lei do deslocamento é que verificou-se experimentalmente que a intensidade da radiação emitida por um corpo incandescente, mantido a determinada temperatura, se representa graficamente, em função do comprimento de onda, por uma curva da forma indicada na Fig.2.3. Para ondas curtas, assim como para ondas muito longas, a intensidade é infinitamente pequena, por isso, ter um valor máximo para determinado comprimento de onda. Se fizermos variar a temperatura do corpo radiante, o gráfico da intensidade também varia; em particular, a posição do máximo é desviada. Verificou-se desta maneira, pelas medições realizadas, que o produto da temperatura pelo comprimento de onda é constante, para o correspondente máximo de intensidade; ou máximo T = constante (6) 39

40 Esta relação explica-se imediatamente pela lei de Wien. Referimo-nos até agora à distribuição da energia em função da freqüência, representando u a energia da radiação no intervalo de freqüência d. A conversão de u em u é fácil: deverá ser evidentemente u d = u d ; e como = c, a relação entre d e d ser d / =. Daí tira-se que a distribuição espectral da energia, expressa em função do comprimento de onda, é igual a 40

41 Observou-se, também, que a lei de Wien está em concordância com os resultados experimentais apenas no caso de comprimento de ondas pequenos (ou freqüências altas). Isto leva-nos a concluir que a teoria proposta por Wien falha para grandes comprimentos de onda. Lei de Rayleigh-Jeans Paralelamente dois outros pesquisadores (Rayleigh e Jeans), desenvolveram uma nova teoria na tentativa de explicar os fenômenos experimentais relativos ao corpo negro. De acordo com as teorias da época, a termodinâmica, por si só, nada tinha a dizer sobre a função F proposta por Stefan e para determiná-la os cientistas concordavam que era preciso recorrer a representações especiais por meio de modelos. 41

42 No entanto, era evidente por considerações do domínio da termodinâmica que a forma da lei dada pela função F, deve ser independente do mecanismo especial usado no modelo. Como exemplo mais simples de um corpo radiante é o oscilador harmônico linear de freqüência própria. Para este oscilador podemos determinar a energia radiada por segundo; sendo esta radiação equivalente a aquela emitida por um dipolo oscilante a qual é dada pela seguinte relação matemática. 42

43 Pela lei da eqüipartição na física estatística, a energia média dos osciladores pode ser expressa por Neste usa-se a integral para calcular o valor médio das energias dos osciladores, pois supõe que eles emitem energia no espectro contínuo. Usando algumas relações matemáticas, podemos calcular o valor da energia média como a seguir, 43

44 então e conseqüentemente onde k é a constante de Boltzmann e T é a temperatura. Substituindo o valor da energia média na equação para u obtém-se a qual é denominada de lei de Rayleigh-Jeans. 44

45 Quando comparamos os valores para u dados pela equação acima com os resultados experimentais, observamos também que eles não concordam para toda região do espectro, conseqüentemente a lei de Jeans é apenas parcialmente válida. Veja os gráficos da Fig.2.4. Nota-se então que a função u encontrada por Rayleigh-Jeans, só explica uma parte dos espectro de emissão dos radiadores, exatamente na região de grandes comprimentos de onda ou baixa freqüência. É importante ressaltar que a lei de Rayleigh-Jeans descreve o comportamento dos radiadores exatamente na região oposta do espectro de emissão descrita pela lei de Wien. Isto é, a lei de Wien concorda com o experimento na região de baixo comprimento de onda e a de Rayleigh- Jeans na região grande comprimento de onda. Podemos dizer que elas quase se completam. Veja Fig

46 Lei de Planck Para resolver este problema e completar a teoria, Planck postulou que a energia emitida por cada oscilador harmônico se desse em pacotes (quantum). Com isto ele queria dizer que a energia de cada pacote era igual a um número inteiro de um dado valor mínimo de energia, isto é, e = ne o, sendo n um número inteiro, n=1,2,3... Matematicamente isto significa substituir a soma contínua na equação de Rayleigh-Jeans por uma soma discreta, como mostramos a seguir 46

47 Sabendo que A equação 14 pode ser escrita como Conseqüentemente temos que 47

48 Substituindo este resultado na equação da lei de Rayleigh-Jeans obtemos a expressão de Planck para a radiação emitida no corpo negro, Esta equação é denominada lei de Planck. Com esta hipótese, Planck conseguiu um modelo teórico que reproduzisse de forma mais realista os resultados experimentais, no caso da radiação do corpo negro. 48

49 Fig Esta figura mostra em que região do espectro de emissão as leis de Wien e Rayleigh-Jeans concordam com a lei de Planck. 49

50 Um outro fato interessante na lei de Planck, é que ela contém as leis de Wien e Rayleigh-Jeans como caso particular. Mostraremos estas afirmações a seguir. No sentido de completar a hipótese de Planck, foi necessário assumir que a energia de cada radiador fosse proporcional à freqüência emitida, isto é eo= h. Dessa forma a equação de Planck assume a forma; Com isto, podemos mostrar matematicamente, sob dadas condições, que a lei de Planck é um caso mais geral que as anteriores. 50

51 Caso da lei de Wien Para freqüências altas (h >>kt), região de validade da lei de Wien, temos que o fator exponencial é grande comparado com 1, assim em primeira aproximação e que nos leva ao seguinte resultado, Este resultado é exatamente igual ao obtido na hipótese de Wien. 51

52 Caso da lei de Rayleigh-Jeans A validade da lei de Rayleigh-Jeans se dá na região de freqüências baixas, isto é (h << kt). Dessa forma podemos expandir o termo, substituindo este resultado na equação de Planck temos a qual é exatamente a lei de Rayleigh-Jeans. 52

53 Em suma, podemos dizer que o ponto chave na hipótese de Planck foi assumir que os osciladores, nos radiadores do tipo corpo negro, emitem energia quantizada e que quantum ou a porção mínima é proporcional a freqüência da energia. O valor da constante h, conhecida como constante de Planck, é nos dias de hoje igual a Planck não foi capaz de enquadrar a sua constante h no esquema da física clássica. A importância fundamental da sua hipótese sobre a quantização da energia não foi valorizada até que Einstein (1905) aplicou idéias semelhantes para explicar o efeito fotoelétrico. Para isto ele sugeriu que a quantização era uma propriedade fundamental da radiação eletromagnética. Este foi o passo mais importante para o desenvolvimento da física moderna ou a teoria quântica. 53

54 2.3.1 O efeito fotoelétrico Enquanto Planck considerava a quantização da energia, na sua teoria da radiação do corpo negro, como um artifício de cálculo, Einstein enunciou a audaciosa hipótese da quantização da energia ser uma propriedade fundamental da energia eletromagnética. Três anos mais tarde, aplicou a idéia da quantização da energia às energias moleculares para resolver outro enigma da física - a discrepância entre os calores específicos, calculados pelo teorema da equipartição da energia, e os calores observados experimentalmente em temperaturas baixas. Depois, as idéias da quantização da energia foram aplicadas às energias atômicas, por Niels Bohr, na primeira tentativa de explicar os espectros atômicos. A hipótese de Einstein sugere que a luz, ao atravessar o espaço, não se comporta como uma onda, mas sim com uma partícula. 54

55 Fig Diagrama esquemático do aparelho básico para investigar o efeito fotoelétrico O efeito fotoelétrico foi descoberto por Hertz, em 1887, e estudado por Lenard em A Fig.2.5 mostra o diagrama esquemático do aparelho básico para a realização do experimento de investigação do efeito fotoelétrico. Quando a luz incide sobre a superfície metálica limpa, no catodo C, provoca a emissão de elétrons pela superfície. Se alguns destes elétrons atingirem o anodo A, haverá uma corrente no circuito externo. O número de elétrons emitidos que atingem o anodo, pode ser aumentado ou diminuído fazendo-se o anodo mais positivo, ou mais negativo, em relação ao catodo. 55

56 Seja V a diferença de potencial entre o catodo e o anodo.a Fig. 2.6a mostra a corrente em função da ddp (V) para dois valores diferentes da intensidade da luz incidente aplicada sobre o catodo. Quando V for positivo, todos os elétrons emitidos atingem o anodo e a corrente tem o seu valor máximo. Fig Independência de V 0 em relação à intensidade da luz 56

57 Observa-se, experimentalmente, que um aumento extra de V não afeta a corrente. Lenard observou que a corrente máxima era proporcional à intensidade da luz. Quando V for negativo, os elétrons são repelidos pelo anodo. Somente os elétrons que tenham as energias cinéticas iniciais mv 2 /2 maiores que ev podem atingir o anodo. Pela Fig. 2.6 podemos ver que se V for menor que Vo, nenhum elétron consegue chegar ao anodo. O potencial Vo é o potencial frenador o qual está relacionado com a energia cinética máxima dos elétrons emitidos pela superfície pela relação: O resultado experimental, da independência de Vo em relação à intensidade da luz incidente, era surpreendente. 57

58 Na visão clássica, o aumento da taxa da energia luminosa incidente sobre a superfície do catodo deveria aumentar a energia absorvida pelos elétrons e deveria, por isso, aumentar a energia cinética máxima dos elétrons emitidos. Aparentemente, não era o que acontecia. Em 1905, Einstein demonstrou que este resultado experimental poderia ser explicado se a energia luminosa não fosse distribuída continuamente no espaço, mas fosse quantizada, como pequenos pulsos, cada qual denominado um fóton. A energia de cada fóton é h, onde é a freqüência e h a constante de Planck. Um elétron ejetado de uma superfície metálica exposta à luz, recebe a energia necessária de um único fóton. 58

59 Quando a intensidade da luz, de uma certa freqüência, for aumentada, maior será o número de fótons que atingirão a superfície por unidade de tempo, porém a energia absorvida por um elétron ficará imutável. Se for a energia necessária para remover um elétron de uma superfície metálica, a energia cinética máxima dos elétrons emitidos pela superfície será Esta equação é conhecida como a equação do efeito elétrico. A grandeza é a função trabalho, característica do metal. Alguns elétrons terão energias cinéticas menores que h em virtude da perda de energia que sofrem ao atravessar o metal 59

60 Em resumo podemos ressaltar três pontos importantes da hipótese de Einstein: A energia cinética de cada elétron não depende da intensidade da luz. Isto significa que dobrando a intensidade da luz teremos mais elétrons ejetados, mas as velocidades não serão modificadas. Quando a energia cinética de um elétron for igual a zero significa que o elétron adquiriu energia suficiente apenas para ser arrancado do metal. A ausência de um lapso de tempo entre a incidência da radiação e a ejeção do fotoelétron. 60

61 A verificação experimental da teoria de Einstein era bastante difícil. Experiências cuidadosas de Millikan, publicadas pela primeira vez em 1914, e depois com maior detalhe em 1916, mostraram que a equação de Einstein estava correta e que as medidas de h concordavam com o valor encontrado por Planck. Os fótons com as freqüências menores que o limiar fotoelétrico, e portanto com comprimentos de onda maiores que o limiar fotoelétrico em comprimento de onda, não tem energia suficiente para arrancar um elétron de uma certa superfície metálica. O limiar fotoelétrico, e o comprimento de onda correspondente podem ser relacionados à função trabalho, igualando-se a zero a energia cinética máxima dos elétrons na equação de Einstein. 61

62 2.3.2 O efeito Compton Seguido das descobertas de Planck e Einstein, foram feitos muitos outros experimentos, que só poderiam ser explicados usando o comportamento corpuscular (fótons) da luz. Um desses experimentos é o efeito Compton proposto por A. H. Compton (1923). Compton estudou o espalhamento de raio-x em materiais. Em seus experimentos ele mostrou que a luz espalhada tinha uma freqüência mais baixa do que a incidente, indicando com isto uma perda de energia no processo de espalhamento. Este fenômeno não pôde ser explicado usando a luz como um fenômeno ondulatório. Compton explicou este fenômeno ao estudar a colisão de elétrons com fótons, aplicando as leis de conservação de energia e momento. Veja Fig

63 Fig Espalhamento de Compton 63

64 Para analisar o efeito Compton, é necessário levar em conta que o efeito é relativístico já que o fóton é uma partícula relativística e viaja à velocidade da luz. Então devemos usar as equações da relatividade para a variação da massa, da energia e do momento linear. A massa m de uma dada partícula é dada por sendo m o a massa de repouso, c a velocidade da luz. As energias total antes e depois do choque são dadas respectivamente por: 64

65 Aplicando a conservação da energia e momento linear, obtemos: - Sobre a conservação da energia Reorganizando a equação acima e elevando ambos lados ao quadrado obtemos ou 65

66 - Sobre a conservação do momento linear Conservação do momento linear (veja Fig. 2.7b), componente x e componente y respectivamente A seguir eliminaremos os termos contendo nas equações acima. Para isto tomemos o quadrado de ambos lados das duas equações acima. 66

67 somando ambas equações, multiplicando por c 2 ambos lados da equação acima, temos que 67

68 Subtraindo a equação (2) da equação (1), obtemos O lado direito da equação acima pode ser rescrito por Com isto a equação (3) assume a forma 68

69 Simplificando ambos lados da equação anterior, obtemos onde temos usado a relação trigonométrica Definindo como sendo o comprimento de onda de Compton, temos que 69

70 Esta é a variação do comprimento de onda e conseqüentemente da freqüência, observado experimentalmente, no choque de um elétron com fóton. Isto significa que realmente o fóton perde energia no choque. Esta energia perdida é transformada em energia cinética usada pelo elétron. Com isto, mostramos que a descrição do efeito Compton fica bem estabelecida quando a sua interpretação é feita a partir do choque entre um fóton e um elétron, assumindo o comportamento corpuscular da luz. 70

71 Antes do desenvolvimento da teoria quântica, esses complicados espectros de linha foram tomados como evidência de uma estrutura interna mais envolvida por átomos. Acreditava-se então que os átomos tinham muitos modos possíveis de oscilações, como cordas de violinos ou tubos de órgãos, e que a excitação destes modos davam origem à radiação correspondente às suas freqüências individuais. Até 1885, 14 linhas espectrais de hidrogênio tinham sido identificadas e seus comprimentos de onda precisamente medidos. Johann Balmer então conseguiu achar uma expressão matemática empírica que descreveu precisamente todos estes comprimentos de ondas conhecidos. 71

72 Ele achou que as séries observadas de comprimentos de onda espectrais poderiam ser expressas por onde n se supôs serem valores inteiros, isto é, n = 3,4,5,6,... e R é uma constante que agora é denominada de constante de Rydberg. Na época o valor desta constante era de 72

73 Em seguida outras séries espectrais foram determinas teoricamente com base na expressão de Balmer. A primeira delas foi apresentada por Paschen (1908) usando a relação; Depois vieram as séries de Lyman e Brackett, as quais se referiam à região do infravermelho e ultravioleta do espectro de emissão do gás de hidrogênio, respectivamente. Estes espectros podem ser descrito pelas equações de Balmer modificada, 73

74 Foi assim que determinou-se, empiricamente, que os espectros de linhas distintas emitidos pelo hidrogênio poderiam ser ajustados pela relação de Balmer generalizada; onde m e n são números inteiros. Como é positivo, os inteiros m e n devem satisfazer a desigualdade m < n. 74

75 A Fig. 2.8 mostra as séries espectrais conhecidas e descritas pela regra de Balmer. Fig Diagrama de níveis de energia do hidrogênio: transições de Paschen, Balmer e Lyman. 75

76 Investigações do espectro de hidrogênio levaram Niels Bohr a postular que as órbitas circulares dos elétrons (Fig. 2.9) fossem quantizadas, ou seja, que os seus momentos angulares pudessem assumir apenas múltiplos inteiros de um certo valor básico. Bohr propôs um modelo de átomo de hidrogênio, com notável sucesso no cálculo dos comprimentos de onda das linha do espectro conhecido do hidrogênio e na previsão das linhas nos espectros de infravermelhos e de ultravioleta. Fig Átomo de Bohr: órbitas circulares e estáveis. Os raios estáveis são dados por rn = n 2 ro 76

77 A seguir discutiremos as idéias de Bohr. Esse modelo, embora deficiente sob diversos pormenores, ilustra as idéias da quantização dentro da moldura matemática mais simples da Física Clássica. As idéias clássicas usadas na descrição das órbitas eletrônicas eram incapazes de explicar os espectros do átomo de hidrogênio. Usando a idéia dos osciladores de Planck, Bohr propôs um modelo que explicasse o espectro do átomo de hidrogênio. De acordo com Bohr, no átomo de hidrogênio, só existem estados estacionários, nos quais não há irradiação, mesmo que os elétrons estejam em movimento. A irradiação só aparece quando o átomo efetua uma mudança de um dado estado, de energia E k, para outro de menor energia E j. 77

78 Matematicamente podemos equacionar esta hipótese por, onde h é o quantum de energia associado ao fóton que é emitido pelo átomo durante a transmissão. Para saber as freqüência permitidas na equação de Bohr, será necessário conhecer as energias dos diversos estados estacionários em que um átomo de hidrogênio pode existir. Esse cálculo foi efetuado, pela primeira vez, por Bohr baseando-se em um modelo específico do átomo de hidrogênio por ele imaginado. O modelo de Bohr teve sucesso apenas no caso do átomo de hidrogênio, mas mesmo assim influenciou muito o desenvolvimento posterior na Física Quântica. 78

79 Suponha-se que o elétron do átomo de hidrogênio percorra uma órbita circular de raio r, concêntrica com o núcleo. Admita-se, ainda, que o núcleo, que consiste de um único próton que tenha uma massa muito superior à do elétron. Neste caso, pode-se considerar que o centro de massa do átomo esteja em cima do núcleo. Usando as leis de Newton, podemos escrever algumas equações relacionadas ao movimento do elétron em torno do núcleo, como por exemplo. Para o elétron ficar fixo na órbita é necessário que as forças centrípeta e coulombiana sejam iguais; onde v é a velocidade do elétron em torno do núcleo. 79

80 Com isto podemos calcular as energias cinética e potencial do elétron, por onde r é o raio da órbita do elétron e o a constante dielétrica. Dessa forma a energia total é igual a Percebemos que estas grandezas são todas dependentes de r, então se quantizarmos r, conseqüentemente a energia será quantizada. Vamos escrever outras equações, para este problema, que também dependem de r. 80

81 Como por exemplo a freqüência, o momento linear e o momento angular, respectivamente Portanto, conhecendo-se r, todos parâmetros da órbita, discutidos até agora serão determinados. Até este estágio, Bohr não dispunha de regras que o orientassem, de modo que foi forçado a fazer a hipótese de quantização do momento angular, isto é, o momento angular deveria ser igual a um múltiplo inteiro da constante de Planck dividida por 2. Assim, 81

82 onde n é um número inteiro ou um número quântico. Combinando esta equação com a equação anterior para o momento angular percebemos que r será quantizado, Onde r o é o raio de Bohr. Substituindo r na equação para a energia temos que, O sinal menos indica que é necessário ceder energia ao átomo para retirar elétrons. Com isto podemos determinar os valores das energias dos estados estacionários permitidos. A Fig. 2.8, mostra o diagrama de níveis de energias para o átomo de hidrogênio, levando em conta a hipótese de Bohr. Podemos perceber que a medida que n cresce tendendo ao infinito, os níveis de energia se aglomeram, isto é as distâncias entre eles diminui. 82

83 Procedendo de forma análoga ao que fizemos na quantização da energia podemos encontrar uma equação para a freqüência em termos do número quântico n; sendo k e j números inteiros, os quais descrevem duas órbitas consecutivas. Para um elétron passar de um nível para outro ele deve emitir ou receber energia em quantidade bem determinada, isto é receber um quantum de energia. Seja por exemplo dois níveis eletrônicos k e j, sendo j superior a k, então a diferença de energia para ir de j até k o átomo deve emitir energia na forma de luz cuja freqüência pode ser determinada calculando a diferença de energia entre os dois níveis, como a seguir, 83

84 se k = 1 e j = 2, temos que Assim a freqüência da radiação associada no processo de transição de um nível para o outro: 84

85 Analisando a equação para a diferença de energia juntamente com a Fig. 2.8, notamos que para níveis altos ou n grande, observamos que o espaçamento entre eles passa a ser quase um contínuo. Este limite seria, em princípio, um dos limites entre a teorias clássica e quântica. Pode se mostrar matematicamente, usando a equação para diferença de energia, que para n no infinito temos um contínuo na separação entre os níveis. Este limite é conhecido como o princípio da correspondência, o qual será discutido na próxima seção. 85

86 2.3.3 Princípio da correspondência Embora todas as teorias da Física tenham suas limitações, geralmente não perdem a validade abruptamente, mas sim de uma maneira contínua, dando resultados que concordam cada vez menos com a experiência. É assim que as previsões da Mecânica Newtoniana se vão tornando menos precisas, à medida que a velocidade tende à velocidade da luz. Uma correlação semelhante deve existir entre as Físicas Quântica e Clássica; resta achar as circunstâncias sob as quais a última passa a constituir um caso especial da primeira. 86

87 O raio da órbita do átomo de hidrogênio, correspondente ao estado de mais baixa energia (chamado estado fundamental), é obtido fazendo-se n = 1 na equação para o raio quantizado e ele vale r = 5,3x Para n = , entretanto, o raio tornar-se-á (10.000) 2 vezes maior, ou seja 5,3mm. A este nível de separação espera-se que as freqüências calculadas tanto pela teoria quântica quanto pela teoria clássica devem ser praticamente iguais. Isto significa que os resultados deverão divergir para números quânticos pequenos e concordar para números quânticos grandes. 87

88 O fato da Física Quântica se reduzir à Física Clássica, para números quânticos muito grandes, é denominado Princípio da Correspondência, e foi proposto por Niels Bohr no início do desenvolvimento da física moderna. A seguir faremos algumas comparações para as freqüências clássicas e quânticas no caso de números quânticos grandes. As freqüências clássicas e quânticas são dadas por: para uma órbita n, temos que 88

89 Daí tiramos que a freqüência clássica, ou de forma simplificada No caso quântico a freqüência é dada pela diferença de energia, 89

90 para n grande (n ) temos as seguintes aproximações : 2n-1 2n n 1 n. Assim a freqüência quântica vem dada por, e Comparando os resultados obtidos para as freqüências clássicas e quânticas concluímos que elas são iguais, no caso de números quânticos grandes, confirmando assim o Princípio da Correspondência de Bohr. 90

91 Postulado de De Broglie O movimento dos elétrons dentro de um feixe não é limitado na direção deste. Pode-se fazer a analogia com uma onda sonora produzida em um tubo longo cheio de gás, com uma onda propagandose em corda longa, ou ainda com um onda eletromagnética atravessando um guia de ondas comprido. Todos os quatro casos podem ser descritos por ondas progressivas convenientes e, o que é importante, essas ondas podem propagar-se com qualquer comprimento de onda (dentro de um certo intervalo). Sejam as últimas três ondas acima limitadas por meio de restrições físicas. 91

92 No caso das ondas sonoras, isso corresponderia a inserir paredes rígidas nas extremidades de uma seção do tubo, formando uma cavidade acústica ressonante. Para ondas produzidas na corda, consistiria em se remover uma seção finita desta, fixando-a pelas extremidades, como acontece com uma onda de violino. Quanto às ondas eletromagnéticas, equivaleria a obturar os extremos de um trecho finito de uma guia de ondas, construindo, assim, uma cavidade eletromagnética ressonante. 92

93 Em conseqüência, vão ocorrer duas mudanças importantes (a) os movimentos passarão a ser representados por ondas estacionárias em vez de ondas progressivas e (b) somente poderão ocorrer certos comprimentos de onda (ou freqüências). Esta quantização do comprimento de onda é um resultado direto de se limitarem ou imporem condições às ondas. 93

94 É de se esperar que, se os elétrons forem limitados em seus movimentos pelo fato de se acharem localizados dentro do átomo, (a) o movimento do elétron poderá ser representado por uma onda estacionária de matéria, e (b) o movimento do elétron se tornará quantizado, isto é, sua energia poderá ter, apenas, certos valores discretos. 94

95 Em 1924, Louis de Broglie, lembrando-se da natureza dualística dos fótons (sugerida por Einstein ao estudar o efeito fotoelétrico), e considerando que todos os fenômenos naturais envolviam certa forma de matéria e de radiação (ondas eletromagnéticas), sugeriu que assim como "as ondas de luz" tinham propriedades de partículas o inverso também deveria ser válido, isto é: " A toda partícula de momento p estaria associada uma onda de comprimento isto é : = h/p, onde h é a constante de Planck e p o momento linear da partícula. Esta relação implicaria que todos os corpos massivos ou partículas, tais como uma bola de bilhar e um elétron, teriam também propriedades de ondas, cujas características seriam regidas pela mesma teoria das radiações. 95

96 Com base nesta hipótese de Broglie conseguiu deduzir a condição de quantização (de Bohr) do movimento angular aplicando condições de contorno adequadas às ondas de matéria do átomo de hidrogênio. 96

97 Fig Ondas estacionárias 97

98 A Fig.2.10, apresenta três instantes de uma onda estacionária de matéria, associada com uma corda presa nas extremidades e uma órbita de raio r. O comprimento de onda de De Broglie ( = h/p) foi escolhido de tal modo que a órbita de raio r contivesse um número inteiro n de ondas de matéria, ou seja, Isto dá imediatamente que é a condição de quantização de L, de acordo com Bohr. 98

99 2.3.5 A mecânica ondulatória e o significado de Vimos que com as observações experimentais sobre o efeito de interferência no caso da matéria, assim como da luz, tornou-se claro que ambas, matéria e radiação, têm comportamento ondulatório. Por outro lado, o efeito fotoelétrico indica que a luz se comporta como uma coleção de partículas viajando como velocidade c = km/s. Estas partículas foram chamadas de fótons. Sabemos também, que os elétrons comportam-se como se fossem partículas, mesmo sabendo que eles podem produzir também efeitos de interferência. Como podemos reconciliar este aparente conflito? Isto é, tanto a matéria quanto a luz têm comportamentos duais onda-corpúsculo? 99

100 Em 1926, Max Born sugeriu uma unificação pictórica para estes conceitos introduzindo o significado de amplitude de onda de matéria. Primeiro, vamos lembrar que a densidade de energia de uma onda eletromagnética, ou energia por unidade de volume, é proporcional ao quadrado de sua amplitude (A 2 ), o que pode ser demonstrado usando as equações de Maxwell para o eletromagnetismo. Isto significa que: Levando em conta o comportamento corpuscular da luz (fóton), sua energia é igual a E = n(h ), onde é a freqüência da luz e n é o número de fótons. Dai tiramos que: 100

101 Das duas últimas equações vemos que o número de fótons por unidade de volume é proporcional ao quadrado da amplitude da radiação eletromagnética. Isto é, Isto levou Born assumir que a onda de matéria, representada pela função (x,t), tem uma amplitude tal que o seu quadrado é igual ao número de partículas por unidade de volume, Esta conexão, tanto para as radiações eletromagnéticas quando para as ondas de matéria, produzia um casamento perfeito entre os conceitos onda e partícula. 101

102 Para entender um pouco dessas perturbações vamos estudar um problema simples, unidimensional, dado pelos movimentos possíveis de uma partícula de massa m situada entre paredes rígidas, separadas entre si por uma distância d, como se vê na Fig A função de onda pode ser obtida por analogia com um problema conhecido de Mecânica, o dos modos naturais de vibração de uma corda de comprimento d, fixa em uma de suas extremidades, como mostra a Fig As condições de contorno para uma corda vibrante impõem que em cada extremidade, haja um nó. Isso significa que o comprimento de onda deve ser escolhido de tal forma que o que implica na quantização do comprimento de onda 102

103 Equivalentemente, a perturbação ondulatória de uma corda é representada por uma onda estacionária, cuja dependência espacial e temporal é igual a Asen(kx-wt), onde A é uma constante e k = 2 / é o número de onda. Visto que é quantizado, k também deverá ser, isto é, o que nos leva a Examinando-se esta equação para t = 0, conclui-se que, qualquer que seja o valor de n, existirão sempre nós em x = 0 e x = d, como as condições de contorno o exigem. 103

104 Considere-se agora uma partícula confinada entre duas paredes rígidas. Como as paredes são supostas perfeitamente rígidas, a partícula não pode penetrar nelas, e portanto,, que de alguma forma representa o movimento da partícula, deve anular-se para x = 0 e x = d. Os comprimentos de onda permitidos para as ondas de matéria devem ser dados por =2d/n. Substituindo por h/p, tem-se o que mostra que o momento linear da partícula é quantizado. De acordo com a mecânica Newtoniana o momento linear p (=mv) pode ser relacionado com a energia E ( que é inteiramente cinética e igual, portanto, a mv 2 /2) pela expressão 104

105 Combinando entre si as duas equações anteriores, obtém-se a condição de quantização de E, a saber, A partícula não pode ter uma energia qualquer, como seria de se esperar classicamente, mas apenas os valores dados por E. Dessa forma a onda de matéria pode ser descrita, em estrita analogia com a equação 105

106 para o caso de uma onda em mecânica em cordas, isto é, onde a amplitude A = o. A Fig.2.10, pode servir, igualmente, para mostrar como variam dentro da caixa, as amplitudes das ondas estacionárias para os estados de movimento correspondentes a n = 2, 3 e 5. Vê-se claramente neste problema, como o fato de se localizar ou confinar uma partícula provoca a quantização de sua energia. 106

107 Max Born foi o primeiro a sugerir que o valor da grandeza 2 em um ponto qualquer exprimiria a probabilidade da partícula estar próxima desse ponto. Mais exatamente, considerando-se um elemento de volume dv que contenha esse ponto, a probabilidade da partícula ser aí encontrada, num dado instante, é dada por 2 dv. Esta interpretação de fornece uma conexão estatística entre a partícula e a onda a ela associada; diz-nos onde a partícula provavelmente estará e não onde de fato está. 107

108 Fig Representação da função de probabilidade 2 108