Agregação em Redes de Autômatos Estocásticos

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1 Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul Faculdade de Informática Pós-Graduação em Ciência da Computação Agregação em Redes de Autômatos Estocásticos Leonardo Brenner Dissertação apresentada como requisito parcial à obtenção do grau de mestre em Ciência da Computação Orientador: Prof. Dr. Paulo Henrique Lemelle Fernandes Porto Alegre, Janeiro de 2004

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3 Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) B838a Brenner, Leonardo Agregação de redes de autômatos estocásticos / Leonardo Brenner. Porto Alegre, p. Dissertação (Mestrado) Fac. de Informática, PUCRS, Cadeias de Markov Computação. 2. Redes de Autômatos Estocásticos. 3. Replicação. I. Título. CDD Ficha Catalográfica elaborada pelo Setor de Processamento Técnico da BC-PUCRS Av. Ipiranga, Prédio 16 Fone: 0 (xx) CEP Porto Alegre - RS - Brasil Fax: 0 (xx) bceadm@pucrs.br

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5 Agradecimentos Dizem que os agradecimentos é a parte mais fácil da dissertação, afinal, ninguém vai corrigir o conteúdo ou criticar suas escolhas. Entretanto, sempre sobra um pouquinho de medo, fica sempre aquele receio: Será que não esqueci ninguém? Afinal, foram tantas pessoas que conheci nestes dois anos de mestrado e sem falar aquelas que estão sempre presentes dando apoio incondicional. Bem, entre todas as pessoas que me ajudaram, eu quero agradecer especialmente a: Meus pais, Neumar e Nelsi, por todo amor e carinho que sempre tiveram por mim, me apoiando, me incentivando e também me cobrando algumas vezes. Tudo o que eu consegui até hoje eu devo a vocês. Eu amo muito vocês dois. Minha namorada, Nina, obrigado por toda a dedicação, pelo apoio, pelo companheirismo em todos os momentos. Eu sei que muitos deles não foram fáceis mas você esteve sempre comigo. Teu amor e teu carinho sempre foram e sempre serão muito importantes para mim. Meus irmãos, Rosália e Ricardo, obrigado por tudo, pela louça lavada, pela comida pronta, mesmo que raramente, e principalmente pela convivência, vocês deixam o meu dia-a-dia muito mais divertido. Meu orientador, Paulo Fernandes, muito obrigado por todo o apoio. A tua presença foi constante em boa parte das minhas conquistas profissionais e acadêmicas e também uma parcela do meu stress, das noites mal dormidas, etc. Desculpe por todos os erros e problemas causados de Meus colegas de turma, por terem feito as minhas horas de trabalho mais agradáveis e divertidas. O CS foi ferramenta essencial para o desenvolvimento do meu trabalho. Em especial, eu agradeço a outros dois loucos que trabalham junto comigo, Thais e Afonso, nossas discussões foram sempre muito produtivas. CPAD e CAPES, pelo apoio financeiro, sem o qual este mestrado não teria sido possível. Ao Projeto CPAD (PUCRS/HP), pelos depósitos mensais na minha conta bancária e a CAPES, que financiou as taxas referentes ao mestrado. Minha banca de defesa, Prof. Avelino Zorzo (PUCRS), Prof. João Batista Oliveira (PUCRS), Prof. Virgilio Almeida (UFMG) e Profa. Brigitte Plateau (INPG), por todas as críticas, sempre construtivas, que colaboraram muito para melhorar a qualidade final do trabalho. Em especial, agradeço a Profa. Brigitte Plateau pelas duas oportunidades de estágios no Laboratório ID em Grenoble e por todo trabalho desenvolvido em conjunto. Se o seu nome não foi lembrado me mande um que talvez eu o cite nos agradecimentos do doutorado daqui a alguns anos.

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7 Resumo O formalismo Redes de Autômatos Estocásticos (SAN) se caracteriza por representar um modelo de forma compacta e modularizada, definindo para isso primitivas de sincronismo e paralelismo. Os métodos de agregação em SAN visam a redução do número de autômatos do modelo trazendo com isto diversas vantagens numéricas para a sua solução. Basicamente dois métodos de agregação são conhecidos para o formalismo SAN: agregação algébrica e agregação semântica. O método de agregação algébrica aplica propriedades da álgebra tensorial generalizada para efetuar tal redução. O método de agregação semântica explora a relação entre autômatos replicados para realizar o agrupamento de autômatos. Esta dissertação define estes dois métodos de agregação após apresentar o formalismo SAN formal e informalmente. A definição informal do formalismo introduz uma visão geral do mesmo, assim como técnicas e primitivas de modelagem utilizadas. A definição formal elimina qualquer equívoco sobre o formalismo e apresenta as regras para a criação do descritor markoviano do modelo. As principais contribuições desta dissertação são a descrição formal de ambas as formas de agregação e o detalhamento de suas implementações na ferramenta de software PEPS2003. Adicionalmente, os benefícios teóricos (redução do espaço de estados) e práticos (redução do tempo de processamento e quantidade de memória requerida) de tais métodos são comprovados pelos resultados obtidos a partir da resolução de alguns modelos SAN pela ferramenta PEPS2003. Palavras Chave: Redes de Autômatos Estocásticos, Cadeias de Markov, replicações, agregação forte.

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9 Abstract Stochastic Automata Networks (SAN) are characterized for representing compact and modularized models. To achieve that, SAN defines synchronism and parallelism primitives. Aggregation methods in SAN aim to reduce the number of automata in the model and bring some numerical advantages for the solution. Basically, two aggregation methods are known for the SAN formalism: algebraic aggregation and semantic aggregation. The algebraic aggregation method applies generalized tensor algebra proprieties to achieve automata reduction. The semantic aggregation method exploits the relationship among replicated automata. This dissertation presents informally and formally the SAN definition. It also decribes the two proposed aggregation methods. The informal definition presents an overview on the SAN formalism, as well as modeling technics and primitives used. The formal definition eliminates any ambiguity about the formalism and it presents the rules for creation of the Markovian descriptor. The main contributions of this dissertation are the formal description of both aggregation methods and the implementation details for the PEPS2003 software tool. Additionally, the theoretical benefits (space state reduction) and practical benefits (processing time and memory reductions) of such methods are shown by the resolution of some SAN models. Keywords: Stochastic Automata Networks, Markov Chains, replication, strong aggregation.

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11 Sumário RESUMO ABSTRACT LISTA DE TABELAS LISTA DE FIGURAS LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIATURAS vii ix xv xvii xix Capítulo 1: Introdução Métodos Analíticos Objetivos Estrutura do Documento Capítulo 2: Redes de Autômatos Estocásticos Visão Geral Notação Utilizada Autômatos Estocásticos Eventos Eventos Locais Eventos Sincronizantes Taxas e Probabilidades Funcionais Outras Funções Capítulo 3: Definição Formal de SAN à Escala de Tempo Contínua Definições Básicas SAN bem definida Descritor markoviano Capítulo 4: Métodos de Agregação em SAN Definições Básicas

12 xii SUMÁRIO Agregação Algébrica de Autômatos Agregação Semântica de Autômatos Eliminação dos Eventos Sincronizantes Eliminação dos Elementos Funcionais Redução do Espaço de Estados Capítulo 5: Implementação de Agregação na Ferramenta PEPS Implementação da Agregação Algébrica Definição dos Grupos de Autômatos Criação do Espaço de Estados do Grupo Agregação da Parte Local e Sincronizante Implementação da Agregação Semântica Detecção de Réplicas Criação do Espaço de Estados de cada Grupo Agregação da Parte Local Agregação da Parte Sincronizada Capítulo 6: Exemplos Compartilhamento de Recursos Modelo Agregado Arquivo SAN para o PEPS Compartilhamento de Recursos com Estado de Pane Modelo Agregado Arquivo SAN para o PEPS Modelo de Fontes On/Off Modelo Agregado Arquivo SAN para o PEPS Cluster com Protocolo de Comunicação UDP Modelo Agregado Arquivo SAN para o PEPS Medidas de Desempenho Ganhos Teóricos Ganhos Práticos Capítulo 7: Conclusão Trabalhos Teóricos Trabalhos Práticos Trabalhos Futuros REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 73

13 SUMÁRIO xiii Apêndice A: Álgebra Tensorial 77 A.1 Álgebra Tensorial Clássica A.1.1 Produto Tensorial A.1.2 Soma Tensorial A.1.3 Propriedades da ATC A.2 Álgebra Tensorial Generalizada A.2.1 Produto Tensorial Generalizado A.2.2 Soma Tensorial Generalizada A.2.3 Propriedades Apêndice B: Gramática para a Ferramenta PEPS B.1 Declaração de Identificadores e Domínios B.2 Declaração de Eventos B.3 Função de Atingibilidade B.4 Descrição do Modelo B.4.1 Descrição dos Autômatos B.4.2 Descrição dos Estados B.4.3 Descrição das Transições B.4.4 Descrição dos Eventos B.5 Descrição dos Resultados B.6 Definição das Expressões

14 xiv SUMÁRIO

15 Lista de Tabelas 2.1 Taxa de ocorrência de cada evento do modelo SAN da Figura Taxa de ocorrência dos eventos do modelo SAN apresentado na Figura Descritor Markoviano Espaço de estados produto original e agregado Quantidade de memória e tempo gasto em cada modelo Tempo gasto para compilação do modelo

16 xvi LISTA DE TABELAS

17 Lista de Figuras 2.1 Modelo SAN com 2 autômatos independentes Cadeia de Markov à escala de tempo contínua equivalente ao modelo SAN com 2 autômatos da Figura Modelo SAN com 2 autômatos, 1 evento sincronizante e uma taxa funcional Cadeia de Markov à escala de tempo contínua equivalente ao modelo SAN com 2 autômatos, 1 evento sincronizante e 1 taxa funcional da Figura Modelo SAN de autômatos decompostos em grupos Modelo SAN para compartilhamento de recursos Modelo SAN agregado do modelo para compartilhamento de recursos por clientes da Figura Modelo SAN para compartilhamento de recursos com estado de pane ( é qualquer índice de autômato entre ) Modelo SAN agregado do modelo para compartilhamento de recursos com estado de pane da Figura Modelo SAN de fontes On/Off e uma fila com capacidade Modelo SAN agregado de fontes On/Off e uma fila com capacidade Modelo SAN para o exemplo de cluster com protocolo comunicação UDP... 61

18 xviii LISTA DE FIGURAS

19 Lista de Símbolos e Abreviaturas QN Redes de Filas de Espera 2 SPN Redes de Petri Estocásticas 2 SAN Redes de Autômatos Estocásticos 3 PEPS Performance Evaluation of Parallel Systems 3 GMRES Generalized Minumum Residual Method 3 CTMC Cadeia de Markov a Escala de Tempo Contínua 7 DTMC Cadeia de Markov a Escala de Tempo Discreta 7 ATC Álgebra Tensorial Clássica 77 ATG Álgebra Tensorial Generalizada 77

20 xx LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIATURAS

21 Capítulo 1 Introdução O início dos estudos sobre métodos analíticos para avaliação de desempenho e confiabilidade de sistemas não está bem definido, visto que muitos métodos e teorias utilizados atualmente já eram conhecidos e utilizados para outras finalidades antes de serem empregados para este propósito. Um exemplo disto é um dos mais antigos e também mais conhecido estudos da área, datando do início do século XX com a pesquisa de Andrei Andreyevich Markov em Teoria dos Números e Análise [27]. Pesquisa que viria posteriormente a resultar no formalismo chamado de Cadeias de Markov. Entretanto, apenas em 1930 essa pesquisa foi mencionada como tal por Andrei Kolmogorov [27] e aplicada a avaliação de desempenho através de métodos analíticos. As pesquisas em métodos analíticos ficaram praticamente estagnadas e atreladas às Cadeias de Markov até quase meados do século XX. A dificuldade de manipulação e armazenamento do grande volume de dados gerados pela descrição de sistemas mais complexos, e conseqüentemente, do cálculo de índices de desempenho do sistema, tornava o uso dos métodos analíticos praticamente inviável para a avaliação de desempenho. Com o surgimento dos sistemas de computação na década de 40 e 50, surgiu a possibilidade de uso de tais sistemas para acelerar a resolução destes métodos. Essa possibilidade fez com que as pesquisas para avaliação de sistemas através de métodos analíticos fossem alvo de numerosos estudos nas áreas de ciência da computação e matemática aplicada. A abordagem de métodos analíticos para avaliação de sistemas consiste em modelar um sistema real através das relações matemáticas existentes no funcionamento deste sistema. Através destas relações matemáticas pode-se descrever o sistema como um conjunto de estados possíveis e transições entre estes estados com um comportamento aleatório definido. Abordagens alternativas aos métodos analíticos para a avaliação de desempenho de sistemas são a monitoração [18] e a simulação [22]. Entretanto essas abordagens pecam em quesitos importantes, para uma boa avaliação, como por exemplo: tempo de observação e principalmente a confiabilidade das amostras utilizadas.

22 2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO Já, a não utilização de um conjunto de amostras na modelagem de uma realidade representa uma das principais vantagens dos métodos analíticos sobre a simulação e monitoração. Porém a complexidade dos modelos analíticos tende a ser maior do que nos modelos de simulação. 1.1 Métodos Analíticos Dentre os métodos analíticos, as Cadeias de Markov [37] são naturalmente empregadas como formalismo para descrever e buscar soluções estacionárias para os mais diversos tipos de realidades. O poder de descrição praticamente ilimitado 1 e a grande simplicidade de compreensão permitem a utilização freqüente deste formalismo, que não se resume apenas à área de avaliação de desempenho e confiabilidade. No entanto, a simplicidade das Cadeias de Markov é também a raiz do principal obstáculo na sua utilização. O conhecido problema de explosão do espaço de estados torna os modelos markovianos inviáveis para a manipulação de sistemas complexos [37], mesmo para resolução através de sistemas computacionais. O drástico aumento no número de estados quando se adicionam componentes em uma cadeia de Markov dificulta a construção de modelos. Adicionalmente, o armazenamento de um modelo fica prejudicado, pois uma matriz quadrada (da ordem do número de estados do sistema), deve ser utilizada. A representação do sistema pode ser feita com a utilização de uma matriz esparsa o que reduz o espaço de armazenamento para matrizes com grande número de elementos nulos. Além do armazenamento, há a necessidade da solução do modelo ser feita através da resolução do sistema linear representado por esta matriz, o que prejudica também a obtenção de resultados numéricos [33]. No intuito de evitar este problema das Cadeias de Markov enquanto solucionadas como sistemas de equações lineares, as soluções à forma-produto [23] 2 têm sido largamente empregadas tanto pela comunidade científica como por projetistas de sistemas em geral. As redes de filas de espera (QN - Queueing Networks) são o principal exemplo deste tipo de abordagem, principalmente devido aos eficientes algoritmos desenvolvidos na década de 70 [2, 31]. A limitação intrínseca desta abordagem é a impossibilidade de descrever realidades mais complexas. Modelos com alocação simultânea de recursos, por exemplo, não podem ser descritos por QN com solução à forma-produto. Outra limitação importante das QN com solução à forma-produto é a necessidade de que as filas não tenham capacidade realmente limitada 3, o que foge a características de vários sistemas. Tentando manter a liberdade de escopo das Cadeias de Markov, abordagens como as Redes 1 Embora as Cadeias de Markov estejam limitadas à descrição de processos estocásticos através de variáveis aleatórias com distribuição exponencial, para escala de tempo contínua e com distribuição geométrica, para escala de tempo discreta, praticamente qualquer outro tipo de distribuição pode ser representado por uma cadeia de Markov se admitirmos a utilização de um número maior de estados [1]. 2 Soluções à forma-produto são bastante eficientes por expressarem a solução do problema sob forma de um produto entre seus termos, não sendo necessário calcular a probabilidade de cada estado possível para obter índices de desempenho do sistema. 3 Mesmo para as redes de filas de espera fechadas, as quais possuem um capacidade virtualmente limitada ao número total de clientes na rede.

23 1.1. MÉTODOS ANALÍTICOS 3 de Petri Estocásticas (SPN - Stochastic Petri Nets) [26] propõem um formalismo compacto e eficiente para descrever problemas complexos com primitivas de sincronismo e paralelismo. Infelizmente, abordagens como esta freqüentemente se limitam a resolver as dificuldades de modelagem, sem adicionar um ganho real ao problema da busca da solução estacionária, a qual permanece o mesmo das Cadeias de Markov tradicionais. Recentemente, a comunidade de pesquisa das Redes de Petri Estocásticas tem buscado remediar este problema com o uso de álgebra tensorial clássica [11], porém os resultados obtidos ainda são insipientes. Neste sentido o formalismo das Redes de Autômatos Estocásticos (SAN - Stochastic Automata Networks) [28, 13], foco central deste trabalho, busca proporcionar uma forma compacta de descrever realidades complexas, além de otimizar a busca de soluções estacionárias. O princípio de modelagem das SAN é descrever um sistema complexo como um conjunto de subsistemas que interagem ocasionalmente. Logo, esta abordagem, além de ser modular, permite descrever primitivas de paralelismo (quando autômatos não interagem) e sincronismo (quando autômatos interagem). O formalismo SAN possui uma equivalência de escopo de aplicação com as Cadeias de Markov, mas ao contrário destas, SAN permite uma estruturação do modelo baseada na álgebra tensorial generalizada [14] que facilita a sua solução estacionária. O formalismo SAN foi inicialmente proposto por Plateau em 1984 [28]. No início da década de 90 as primeiras soluções foram formalizadas para modelos em escala de tempo contínua e discreta [29]. Na virada do século, o formalismo SAN foi novamente revisto face aos eficientes algoritmos para modelos a escala de tempo contínua [14], na mesma ocasião foi disponibilizada a versão da ferramenta PEPS, a qual implementa métodos iterativos 4 para resolução de modelos SAN. A ferramenta de software PEPS (Performance Evaluation of Parallel Systems) é uma ferramenta acadêmica para descrição e resolução de modelos SAN. A primeira versão da ferramenta foi proposta por Plateau, Fourneau e Lee [30] em 1988, desde então a ferramenta tem incorporado novos métodos e facilidades, como por exemplo, métodos de solução iterativa, funções integrações, definição do modelo em alto nível entre outros. Entretanto, a utilização do formalismo SAN nem sempre é suficiente para conter a explosão do espaço de estados e mesmo com a utilização de métodos numéricos eficientes, a quantidade de memória requerida e o tempo de resolução podem ser bastante grandes. Para amenizar tal problema, técnicas de agregação foram desenvolvidas para reduzir o número de estados de um modelo. A idéia básica das técnicas de agregação é representar em apenas um estado um conjunto de estados. Inicialmente as técnicas de agregação foram desenvolvidas sobre o formalismo de Cadeias de Markov [37], visto que em geral as cadeias tinham um série de componentes idênticos ou 4 Para resolução computacional os métodos iterativos de resolução tais como Método da Potência, Método de Arnoldi e GMRES, implementados no PEPS, são mais eficientes que os métodos diretos, Eliminação de Gauss, por exemplo, por aproveitar as características das técnicas de armazenamento esparsas e não requerer tanta memória quanto os métodos diretos.

24 4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO replicados. Explorando essas replicações foram propostas técnicas para efetuar uma agregação exata [21, 32, 38] e para agregação fraca [6, 24, 25], essa última dependente do estado inicial do modelo. Vários estudos sobre as condições de agregação e relações de equivalência foram definidos e discutidos em [7, 9, 15, 16, 34, 35]. Em SAN as primeiras técnicas de agregação e desagregação de autômatos foram propostas por Buchholz em [8] e Siegle em [35], porém tais técnicas não exploram todas as potencialidades do formalismo SAN, como por exemplo a utilização de funções, e principalmente as características e relações de equivalência em SAN com autômatos replicados. 1.2 Objetivos Esta dissertação tem como objetivo principal a apresentação de métodos de agregação em SAN e sua implementação na ferramenta PEPS. Para isso, inicialmente este trabalho apresenta o formalismo SAN de maneira informal, dando uma visão geral e introduzindo novas primitivas ou mesmo modificando definições anteriores de modo a facilitar a modelagem por parte do usuário. Tal redefinição do formalismo visa adequar o mesmo para futuros modelos de simulação e teste de software em SAN. A mesma redefinição do formalismo feita inicialmente de maneira informal é feita de maneira formal. A definição formal visa apresentar as regras e restrições para a criação de uma SAN, além de definir a construção do Descritor Markoviano que representa tal SAN. A apresentação do formalismo SAN formal e informalmente prepara a base teórica para a definição dos métodos de agregação em SAN. Visa-se neste trabalho o estudo dos métodos de agregação algébrica e de agregação semântica. Neste trabalho entende-se por agregação algébrica a simples aplicação de propriedades de álgebra tensorial sobre os autômatos do modelo. Por agregação semântica entende-se o agrupamento de vários estados com a mesma semântica em um único estado agregado. Neste último tem-se especial interesse, apresentando em maiores detalhes as definições e condições para tal agregação. Além das definições teóricas, o lado prático deste trabalho consiste na implementação de tais técnicas de agregação na ferramenta PEPS2003. Para validar a implementação e comprovar os benefícios teóricos e práticos conseguidos com os métodos agregação são apresentados alguns modelos SAN. 1.3 Estrutura do Documento Baseado nos objetivos definidos para esta dissertação, no Capítulo 2 é apresentada a definição informal do formalismo SAN. Esta definição informal dá uma visão geral do formalismo e introduz conceitos e primitivas utilizados na descrição de um modelo SAN. Já redefinindo os conceitos de eventos locais e sincronizantes. O capítulo seguinte (Capítulo 3) descreve formalmente os conceitos e definições apresentadas no Capítulo 2, bem como as restrições a uma SAN

25 1.3. ESTRUTURA DO DOCUMENTO 5 bem definida e as regras para a criação do descritor markoviano. Estes dois capítulos servem de base para os conceitos e técnicas de agregação algébrica e semântica que são apresentados no Capítulo 4. O Capítulo 5 descreve a implementação de tais técnicas na ferramenta PEPS2003, focando principalmente na implementação do método de agregação semântica. Neste capítulo situa-se a principal contribuição desta dissertação. O Capítulo 6 apresenta exemplos de modelos SAN com autômatos replicados bem como os modelos agregados que validam os algoritmos propostos no Capítulo 4 e implementados na ferramenta PEPS2003. Para tais exemplos são apresentados também os resultados numéricos obtidos na resolução dos modelos. Por fim, a conclusão tece um panorama de pesquisa onde se inserem os conteúdos apresentados e vislumbra trabalhos futuros referentes ao tema. Após as referências bibliográficas, dois apêndices expõem os conceitos de álgebra tensorial clássica e generalizada (Apêndice A) e a descrição de gramática definida para descrever modelos SAN na ferramenta PEPS2003 (Apêndice B).

26 6 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

27 Capítulo 2 Redes de Autômatos Estocásticos No decorrer deste capítulo é apresentado uma definição informal do formalismo de Redes de Autômatos Estocásticos (SAN - Stochastic Automata Network) através da descrição das primitivas utilizadas no formalismo. Essa definição informal inicia-se com uma visão geral do formalismo SAN e da notação utilizada no decorrer desse trabalho. Na Seção 2.2 é dada uma definição também informal de autômato estocástico. A Seção 2.3 explica o conceito de eventos locais e sincronizantes bem como a representação gráfica dos mesmos. A Seção 2.4 explica a utilização de funções na representação de taxas e probabilidades funcionais, além de outras funções interessantes ao modelo. 2.1 Visão Geral SAN é um formalismo para modelagem de sistemas com grande espaço de estados. A idéia central do formalismo SAN é modelar um sistema como vários subsistemas, ou seja, um sistema composto de módulos quase independentes. A expressão quase independente denota a possibilidade de ocorrer interação entre cada subsistema. Essa modularização definida pelas SAN permite o armazenamento e a solução eficiente de sistemas complexos por evitar os prejuízos da explosão do espaço de estados que ocorre nas Cadeias de Markov, formalismo com as quais SAN tem equivalência de representação. Cada subsistema é definido por um autômato estocástico e por transições entre os estados deste autômato. As transições entre os estados de cada autômato são modeladas por um processo estocástico na escala de tempo contínua ou discreta definidas por distribuições exponenciais ou geométricas, respectivamente. É interessante ressaltar que toda SAN pode ser representada por um único autômato estocástico que contém todos os estados possíveis do sistema. Esse único autômato corresponde a cadeia de Markov equivalente ao modelo SAN. Note que a visão geral de modelagem em SAN apresentada nesse capítulo se aplica tanto

28 8 CAPÍTULO 2. REDES DE AUTÔMATOS ESTOCÁSTICOS para a escala de tempo contínua como para a escala de tempo discreta. Entretanto, por SAN à escala de tempo contínua ser o foco principal deste trabalho, as explicações e exemplos apresentados ao longo deste trabalho fazem referência à escala de tempo contínua (taxas de ocorrência) e não à escala de tempo discreta (probabilidades de ocorrência). A diferenciação entre as duas escalas de tempo dá-se apenas na construção do Descritor Markoviano de cada modelo. Enquanto um modelo SAN à escala de tempo contínua gera uma cadeia de Markov à escala de tempo contínua (CTMC - Continuous Time Markov Chain), um modelo SAN descrito na escala de tempo discreta gera uma cadeia de Markov à escala de tempo discreta (DTMC - Discrete Time Markov Chain) Notação Utilizada Sejam No decorrer deste trabalho adota-se a seguinte notação na definição das SAN: o -ésimo autômato de um modelo SAN, numerando o primeiro autômato como ; o -ésimo estado do autômato, numerando o primeiro estado do primeiro autômato como ; identificador de um evento (local ou sincronizante) 1 ; identificador de um evento com probabilidade de rotação constante ; identificador de um evento com probabilidade de rotação funcional definida pela função ; As probabilidades alternativas de rotação ( ou ) são utilizadas quando um evento tem duas ou mais alternativas de transição, dessa maneira probabilidades de rotação são utilizadas para indicar em que proporções o evento seguirá por uma transição ou por outra. A probabilidade de rotação pode ser omitida caso esta seja igual a. Outro ponto importante que deve ser destacado é que o somatório das probabilidades de rotação de um evento deve ser sempre igual a. 2.2 Autômatos Estocásticos Autômato estocástico é um modelo matemático de um sistema que possui entradas e saídas discretas. O sistema pode encontrar-se em qualquer um dentre o número finito dos estados do sistema ou das configurações internas. O estado interno em que o sistema se encontra sumariza as informações sobre entradas anteriores e indica ainda o que é necessário para determinar o 1 É utilizado neste capítulo a notação para identificador de um evento. Entretanto qualquer outro identificador poderia ser utilizado.

29 2.2. AUTÔMATOS ESTOCÁSTICOS 9 comportamento do sistema para as entradas seguintes [17]. Baseado nessa definição pode-se descrever um autômato estocástico como um conjunto finito de estados e um conjunto finito de transições entre esses estados. A denominação de estocásticos atribuída a esses autômatos dá-se pela razão do tempo ser tratado como uma variável aleatória, a qual obedece a uma distribuição exponencial na escala de tempo contínua e geométrica no caso de escala de tempo discreta. O estado do modelo SAN, chamado de estado global do sistema é definido pela combinação dos estados locais de todos os autômatos que compõem o modelo. O estado local por sua vez é o estado individual de cada autômato do modelo. A mudança do estado global do sistema dá-se pela mudança do estado local de qualquer um dos autômatos do modelo. A mudança de um determinado estado local para outro estado local é feito através de transições. As transições são construções que indicam a possibilidade de mudança entre um estado e outro. No entanto, cada transição necessita ter ao menos um evento associado a ela para que essa possa ser disparada. A Figura 2.1 apresenta um modelo SAN com dois autômatos completamente independentes. Figura 2.1: Modelo SAN com 2 autômatos independentes Neste primeiro exemplo, o autômato do modelo possui três estados, e, " " " enquanto o autômato possui apenas dois estados e. Dos cinco eventos que são modelados neste exemplo, três eventos (, " e # ) que ocorrem no autômato, enquanto outros dois eventos ( $ e % ) ocorrem no autômato ". Atribuindo-se taxas de ocorrência conforme a Tabela 2.1, apresenta-se na Figura 2.2 a CTMC equivalente ao modelo SAN apresentado na Figura 2.1. Note que no modelo da Figura 2.1 não há interação entre os dois autômatos, ou seja, existe apenas eventos locais em cada um deles. Na seção seguinte (2.3) é vista a definição e os tipos de eventos que podem ser utilizados em SAN.!

30 10 CAPÍTULO 2. REDES DE AUTÔMATOS ESTOCÁSTICOS Evento Taxa de Ocorrência "" # # $ $ % % Tabela 2.1: Taxa de ocorrência de cada evento do modelo SAN da Figura 2.1. Figura 2.2: Cadeia de Markov à escala de tempo contínua equivalente ao modelo SAN com 2 autômatos da Figura Eventos Evento é a ocorrência de uma transição que muda o estado global do modelo. Seja pela mudança do estado local de um único autômato (eventos locais) ou pela mudança sincronizada de dois ou mais autômatos (eventos sincronizantes). Cada transição pode ter associado um ou mais eventos e é disparada quando ocorre qualquer um dos eventos a ela associados. Dois tipos de eventos podem ser modelados no formalismo SAN. Cada evento pode ser classificado como evento local ou como evento sincronizante Eventos Locais Os eventos locais são utilizados em SAN para alterar o estado local de um único autômato, sem que essa alteração ocasione uma mudança de estado em qualquer outro autômato do modelo. Esse tipo de evento é particularmente interessante, pois permite que vários autômatos tenham um comportamento paralelo, trabalhando independentemente sem que haja interação entre eles.

31 2.4. TAXAS E PROBABILIDADES FUNCIONAIS 11 Pode-se ver exemplos de eventos locais na Figura 2.1, a qual é composta exclusivamente por esse tipo de evento Eventos Sincronizantes Um pouco mais sofisticados, os eventos sincronizantes trocam o estado local de dois ou mais autômatos simultaneamente, ou seja, a ocorrência de um evento sincronizante em um autômato força a ocorrência deste mesmo evento nos outros autômatos envolvidos nesse evento. Através dos eventos sincronizantes é possível então fazer a interação entre autômatos. Essa interação dá-se sob a forma de sincronismo no disparo das transições. A classificação de cada evento (local ou sincronizante) é dada pela aparição do identificador do evento ( ) no conjunto de transições de um autômato. Caso o identificador do evento apareça apenas no conjunto de transições de um autômato, o evento é classificado como evento local, caso o mesmo identificador apareça no conjunto de transições de vários autômatos o evento é considerado como evento sincronizante. Cada evento deve ter uma taxa de ocorrência e uma probabilidade de rotação associada ao mesmo. Tanto a taxa de ocorrência como a probabilidade de rotação podem ter associados valores constantes ou valores funcionais. Taxas e probabilidades funcionais assumem valores diferentes conforme os estados dos outros autômatos do modelo. 2.4 Taxas e Probabilidades Funcionais Taxas e probabilidades funcionais constituem a segunda possibilidade de interação entre autômatos nos modelos SAN, a outra possibilidade é a utilização de eventos sincronizantes 2. A utilização de funções para definir taxas e/ou probabilidades permite associar a um mesmo evento diferentes valores conforme o estado global do modelo. As taxas e probabilidades funcionais são expressas por funções que levam em consideração os estados atuais dos autômatos do modelo, podendo desta forma variar seu valor conforme os estados em que se encontram os autômatos envolvidos na função. A Figura 2.3 apresenta um modelo SAN com 2 autômatos de 3 e 2 estados, respectivamente. Da mesma forma que o modelo SAN da Figura 2.1, cinco eventos são utilizados, entretanto o evento $ deixou de ser um evento local e passou a ser sincronizante, visto que envolve os dois autômatos e ainda com probabilidades associadas a diferentes transições no autômato. Outra mudança nos eventos do modelo ocorreu por parte do evento % que passou a ter a função associada a taxa de ocorrência do evento. 2 A utilização de taxas e probabilidades funcionais não está limitada aos eventos locais e podem ser empregadas nos eventos sincronizantes exatamente como nos eventos locais.

32 % "! # % % 12 CAPÍTULO 2. REDES DE AUTÔMATOS ESTOCÁSTICOS Figura 2.3: Modelo SAN com 2 autômatos, 1 evento sincronizante e uma taxa funcional Evento Taxa de Ocorrência "" # # $ $ % Tabela 2.2: Taxa de ocorrência dos eventos do modelo SAN apresentado na Figura 2.3. A função por sua vez é definida por: se autômato ' está no estado "$&% se autômato ' está no estado ' " se autômato está no estado " " Isto significa que a taxa de ocorrência da transição do estado para o estado ocorre com uma taxa de ocorrência, caso o autômato esteja no estado, ocorre com uma taxa " caso o autômato esteja no estado. Caso o autômato esteja no estado a transição não ocorrerá. A Figura 2.4 apresenta a CTMC equivalente ao modelo SAN da Figura 2.3 dada as taxas de ocorrência da Tabela 2.2. Da mesma maneira que as taxas de ocorrência, as probabilidades alternativas de rotação de cada evento podem ser expressas por funções. A definição de funções usadas para expressar as probabilidades funcionais de rotação são exatamente iguais as funções usadas para definir as taxas de ocorrência Outras Funções Outros dois tipos de funções ainda são utilizadas em SAN: a Função de Atingibilidade e as Funções de Integração. As expressões que definem a função de atingibilidade e as funções de integração são descritas da mesma forma que as taxas e probabilidades funcionais. Porém esses dois tipos de funções desempenham papeis diferenciados como explicados a seguir.

33 2.4. TAXAS E PROBABILIDADES FUNCIONAIS 13 Figura 2.4: Cadeia de Markov à escala de tempo contínua equivalente ao modelo SAN com 2 autômatos, 1 evento sincronizante e 1 taxa funcional da Figura 2.3 Função de Atingibilidade Devido a representação em SAN ser de forma modular e o autômato global (equivalente a cadeia de Markov) se dar pela combinação de todos os autômatos do modelo, é necessário especificar uma função que defina quais os estados deste autômato global que representa a SAN podem ser atingidos. A definição de quais destes estados podem ser atingidos ou alcançados em SAN é dado pela função de atingibilidade. Essa função é definida usando-se as mesmas regras adotadas para a definição de taxas e probabilidades funcionais, como já mencionado. A noção de função de atingibilidade (reachability) fica mais clara se pensarmos, por exemplo, em um modelo de compartilhamento de recursos, onde se tem clientes disputando recursos. Este sistema pode ser modelado em SAN usando um autômato com dois estados para cada cliente. O estado representa que o cliente não está usando um recurso e o estado que o cliente está usando o recurso. É fácil imaginar que, tendo um número de recursos menor do que o número de clientes tentando utilizá-lo, o estado global que representa todos os clientes utilizando um recurso, ou seja, todos os autômatos no estado, não pode ser atingido, pois não corresponde a realidade do modelo, visto que, esse conjunto de estados que foge a realidade do modelo são chamados estados inatingíveis e devem ser eliminados do modelo através da função de atingibilidade, pois a probabilidade do modelo encontrar-se em algum destes estados é igual a. A função de atingibilidade correta para o modelo de compartilhamento de recursos descrito acima é 3 : 3 O formato da função de atingibilidade apresentada segue a linguagem definida para a ferramenta PEPS2003, que é descrita no Apêndice B

34 14 CAPÍTULO 2. REDES DE AUTÔMATOS ESTOCÁSTICOS Funções de Integração Da mesma maneira que as taxas e probabilidades funcionais e a função de atingibilidade, define-se Funções de Integração para a obtenção de resultados numéricos sobre o modelo SAN. As funções de integração avaliam qual a probabilidade do modelo SAN encontrar-se em um determinado estado. Com isso, pode-se compor funções de integração que levem em conta a probabilidade do modelo se encontrar num conjunto de estados, podendo assim obter índices de desempenho e confiabilidade do modelo. Essas funções de integração são avaliadas sobre o vetor de probabilidades que contém a probabilidade do modelo de se encontrar em cada um dos estados pertencente a ele. Um exemplo de função de integração, tendo em mente o modelo de compartilhamento de recursos exposto na seção anterior, é dado na função, onde se quer descobrir a probabilidade do autômato não estar usando o recurso, ou seja, encontrar-se no estado. Via de regra, todas as funções são modeladas em SAN da mesma forma, o que as diferenciam é como a função é empregada no modelo. A definição informal de SAN feita neste capítulo apresentou os conceitos e informações necessários à utilização de SAN na modelagem de um sistema qualquer. Os princípios teóricos que dão suporte ao formalismo apresentado são definidos no capítulo seguinte.

35 Capítulo 3 Definição Formal de SAN à Escala de Tempo Contínua Este capítulo apresenta a definição formal de SAN à escala de tempo contínua englobando os conceitos definidos informalmente no Capítulo 2. Para isso são apresentados a definição dos termos necessários a um modelo SAN. Além disso, apresenta-se as restrições para uma SAN bem definida e as regras para a criação do Descritor Markoviano que representa o modelo SAN. 3.1 Definições Básicas e Será considerada nesse trabalho a formalização de uma SAN compreendendo eventos. autômatos Sejam conjunto de autômatos; conjunto de eventos; função de atingibilidade. O conjunto de autômatos compreende autômatos nomeados com 1 ( ]). Sejam conjunto de estados (locais) do autômato ; número de estados de ( um estado local do autômato ( ). ); 1 No decorre deste trabalho é adotada a notação [.. ] referindo-se a um número no intervalo de até, inclusive, pertencendo ao conjunto do números naturais e a notação [, ] referindo-se a um número pertencente ao intervalo e inclusive, no conjunto de números reais.

36 16 CAPÍTULO 3. DEFINIÇÃO FORMAL DE SAN À ESCALA DE TEMPO CONTÍNUA O estado global de uma SAN é obtido pelo combinação dos estados locais de uma SAN de autômatos, onde é o estado local de um autômato ( ). Sejam estado global obtido pela substituição do estado local pelo estado local no autômato ; composição dos estados locais onde, com Note que a definição de um estado local do autômato ( ) e a definição de um estado global ( ) podem ser vistas como casos particulares de. Um estado local é o caso onde, ao passo que o estado global é o caso onde. Definição 1 Um elemento funcional subconjunto de. é uma função de. em, onde é um Os autômatos com são os parâmetros do elemento. Os elementos funcionais servem para definir probabilidades e taxas funcionais conforme descritos a seguir. Seja elemento funcional avaliado para a composição de estados locais. Note que todos os elementos constantes podem ser vistos como elementos funcionais que têm sempre o mesmo valor independentemente do conjunto de parâmetros. Da mesma forma, os elementos funcionais com um conjunto de parâmetros restritos a um subconjunto de podem ser vistos como funções de um estado global com avaliação idêntica para todos com. Desta maneira, todos os elementos de uma SAN podem ser considerados como funções de em. O conjunto de eventos é composto de eventos nomeados, com ( Definição 2 Um evento em uma SAN é definido por: 2.1. identificador, com ; 2.2. índice do seu autômato mestre, com. ). Definição 3 Uma tupla de evento é composta de: 3.1., identificador do evento 2 ; 2 Neste trabalho foi atribuído como o identificador de um evento, entretanto qualquer nome pode ser usado para identificar um evento sem que haja perda de generalidade.

37 3.1. DEFINIÇÕES BÁSICAS , elemento funcional definido de em, que define a taxa de ocorrência do evento. As Definições 2 e 3 caracterizam os eventos envolvidos em uma SAN. Mais especificamente, a Definição 2 identifica cada evento e qual autômato é considerado como autômato mestre do evento. É interessante lembrar que a escolha do autômato mestre é arbitraria e independe do contexto do evento 3. A Definição 3 associa uma taxa de ocorrência a um evento. Definição 4 O conjunto é definida de: contém todas as tuplas de transição. Uma tupla de transição 4.1., identificador do evento; 4.2., elemento funcional definido de em, que representa a probabilidade alternativa de rotação de uma transição quando da ocorrência do evento 4. O conjunto contém ao menos uma tupla de transição para cada evento no conjunto de eventos. Definição 5 é a função de transição contendo os rótulos de transição do autômato definida de em. Sejam um rótulo de transição do estado local para o estado local em contendo uma lista de tuplas de transição em ; conjunto dos índices ( ), tal que o autômato possui ao menos uma tupla de transição com o identificador do evento num dos elementos de. A função de transição de um autômato (Definição 5), informa a associação entre os estados do autômato e quais eventos podem dispará-lo. Essa associação é feita através das tuplas de transição, que compõem o conjunto de tuplas de transição (Definição 4). Cada tupla de transição define, além do identificador do evento, a probabilidade de rotação do evento para aquela transição. O número de tuplas de transição associadas a um rótulo de transição é igual ao número de eventos que podem disparar a transição. é classificado como: 6.1. evento local se ; Definição 6 Um evento 6.2. evento sincronizante se. 3 A utilização do conceito de mestre-escravo, quando um autômato é escolhido o mestre do evento e os outros autômatos escravos, não implica em perda de generalidade para o modelo. 4 O índice associado a uma probabilidade de rotação não tem nenhuma semântica relacionada, apenas diferencia duas ou mais probabilidades de rotação para um mesmo evento.

38 18 CAPÍTULO 3. DEFINIÇÃO FORMAL DE SAN À ESCALA DE TEMPO CONTÍNUA Sejam conjunto dos eventos locais onde ; conjunto dos eventos sincronizantes onde A Definição 6 faz a classificação de cada evento, o qual pode ser um evento local ou um evento sincronizante. Essa diferenciação não é feita na definição do evento, mas é necessária para a construção dos tensores do Descritor Markoviano, o qual é composto por uma parte local (eventos locais) e por outra parte sincronizante (eventos sincronizantes). A classificação de cada evento é feita pelo número de autômatos envolvidos pelo evento ( ). Caso o evento envolva apenas um autômato ( ) este é classificado com evento local e pertence ao conjunto dos eventos locais ( ), caso contrário ( ) o evento é classificado como evento sincronizante e faz parte do conjunto dos eventos sincronizantes ( ). Definição 7 Um autômato é definido por: 7.1. um conjunto de estados ; 7.2. uma função de transição. Um autômato tem como parâmetros a união dos parâmetros de todos os elementos funcionais contidos nos seus rótulos de transição. Sejam autômato que possui como parâmetros os autômatos onde ; autômato com todos seus elementos funcionais avaliados para composição dos estados locais ; a taxa de ocorrência do evento da tupla de transição associada ao rótulo de transição ; a probabilidade alternativa de rotação da tupla de transição associada ao rótulo de transição ; o conjunto dos estados tais que o rótulo possui uma tupla transição com o identificador e, (elementos funcionais não identicamente nulos). O conjunto dos estados sucessores do evento em pode ser vazio, caso a transição não possa ser disparada em pelo evento ; o estado global obtido em substituição de todos os estados locais por em todos os autômatos ( e ). Dizemos que um evento sincronizante é realizável no estado global se e somente se para todos os autômatos envolvidos pelo evento, o conjunto de estados sucessores de para o evento não são vazios (, ). A função de atingibilidade é um elemento funcional definido de em. A função associa aos estados globais de o valor se eles são atingíveis e caso contrário. ;

39 3.2. SAN BEM DEFINIDA 19 Sejam espaço de estados produto da SAN definido como subconjunto de que compreende todos os estados ; tais que. Definição 8 Uma SAN composta de autômatos e eventos é definida por: 8.1. cada um dos autômatos ( ); 8.2. cada um dos eventos ( 8.3. a função de atingibilidade. ); Uma SAN define um único autômato global equivalente. Esta abordagem foi desenvolvida em [13] e não será desenvolvida neste trabalho. 3.2 SAN bem definida A definição de uma SAN deve ser não ambígua, o que quer dizer que um único gerador infinitesimal markoviano pode ser obtido a partir de uma SAN. Para isso algumas restrições devem ser feitas. As SAN que obedecem a estas restrições são denominadas SAN bem definidas. Restrição 1 Um autômato é bem definido se e somente se para todo e para todo tal que não é vazio: ou um elemento funcional que vale, para todo ou Esta primeira restrição impõe que as tuplas de transição referentes a um mesmo evento e referentes à transições de saindo de um mesmo estado devem possuir a mesma taxa de transição (restrição 1.1) e a soma das probabilidades alternativas de rotação de todas as transições saindo desse mesmo estado deve ser igual a um (1.0) ou a um elemento funcional avaliado sobre (restrição 1.2). Estas restrições têm por objetivo garantir a unicidade da definição das taxas de eventos em relação ao conjunto de transições em cada um dos autômatos. Restrição 2 Um evento 2.1. " " " " " tal que é bem definido se e somente se: e

40 20 CAPÍTULO 3. DEFINIÇÃO FORMAL DE SAN À ESCALA DE TEMPO CONTÍNUA A Restrição 2.1 imposta aos eventos afirma que uma tupla de transição deve aparecer uma única vez no conjunto de tuplas de uma transição e o evento deve pertencer ao conjunto de eventos. Restrição 3 A função de atingibilidade é bem definida se e somente se o conjunto de estados atingíveis ( ) é um grafo de transição fortemente conexo. A terceira restrição assegura irredutibilidade da cadeia de Markov correspondente a SAN e permite empregar os teoremas padrões. Restrição 4 Uma SAN é bem definida se e somente se: 4.1. todos seus autômatos são bem definidos; 4.2. todos seus eventos são bem definidos; 4.3. sua função de atingibilidade é bem definida. Todas as restrições precedentes são indispensáveis para determinar uma SAN bem definida. 3.3 Descritor markoviano O descritor markoviano é uma fórmula algébrica que permite escrever de forma compacta o gerador infinitesimal da cadeia de Markov correspondente a uma SAN pelo viés de uma fórmula matemática [13, 28, 29]. Esta fórmula matemática descreve, a partir dos tensores de transição de cada autômato, o gerador infinitesimal da cadeia de Markov associada à SAN. A todo autômato são associados: um tensor agrupando todas as taxas das tuplas de transições dos eventos locais do conjunto, chamada, e tensores agrupando todas as tuplas de transição para os eventos sincronizantes do conjunto, chamada e. Sejam o elemento do tensor ; na linha e na coluna o tensor identidade de ordem, onde., onde e