Modelagem e Simulação de Problemas de Crescimento Tumoral

Transcrição

1 Universidade Federal de Juiz de Fora Instituto de Ciências Exatas Bacharelado em Ciência da Computação Modelagem e Simulação de Problemas de Crescimento Tumoral Anna Claudia Mello de Resende JUIZ DE FORA FEVEREIRO, 2014

2 Modelagem e Simulação de Problemas de Crescimento Tumoral Anna Claudia Mello de Resende Universidade Federal de Juiz de Fora Instituto de Ciências Exatas Departamento de Ciência da Computação Bacharelado em Ciência da Computação Orientador: Felipe dos Santos Loureiro Coorientadora: Regina Célia Cerqueira de Almeida JUIZ DE FORA FEVEREIRO, 2014

3 Modelagem e Simulação de Problemas de Crescimento Tumoral Anna Claudia Mello de Resende MONOGRAFIA SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS DA UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA, COMO PARTE INTE- GRANTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE BACHAREL EM CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO. Aprovada por: Felipe dos Santos Loureiro D.Sc. em Engenharia Civil - UFRJ Regina Célia Cerqueira de Almeida D.Sc. em Engenharia Nuclear - UFRJ Leonardo Goliatt da Fonseca D.Sc. em Modelagem Computacional - LNCC JUIZ DE FORA 14 DE FEVEREIRO, 2014

4 À vocês, pela companhia, amizade e paciência. Pela divisão do fardo e de todas as alegrias dessa caminhada. Pelas risadas e horas de conversa a fio. Pelos conselhos, sinceridade e serenidade. Obrigada.

5 Resumo O câncer é hoje considerado um sério problema de saúde pública mundial e o uso de modelos matemáticos e computacionais para o crescimento tumoral pode contribuir tanto para auxiliar no entendimento dos mecanismos envolvidos no crescimento de tumores quanto como fundamental ferramental preditivo para o desenvolvimento de novas terapias. Neste trabalho apresenta-se um estudo detalhado de um modelo matemático proposto por Rodrigues 2011, no qual o autor, por meio de um modelo contínuo baseado em equações diferenciais ordinárias, simula a dinâmica do crescimento tumoral. Neste modelo são incluídas as dinâmicas das células proliferativas, normais e endoteliais, além de levar em consideração a angiogênese, fundamental artifício que os tumores possuem para prover seu desenvolvimento. Com a angiogênese, o autor inclui no modelo a ação antiangiogênica da quimioterapia metronômica, permitindo avaliar diferentes protocolos de tratamento da doença por meio da quimioterapia neoadjuvante com a administração de drogas antiangiogênicas ciclo-inespecíficas. A partir desse estudo e com a inclusão de novas hipóteses, o modelo matemático originalmente proposto foi modificado de forma a considerar heterogeneidades espaciais. Para o modelo resultante, baseado em equações de reação-difusão, modelos numéricos e computacionais foram desenvolvidos tendo como base a metodologia clássica de Galerkin e o Método dos Elementos Finitos. Diversos experimentos são apresentados de forma a demonstrar e destacar as principais características relativas ao novo modelo. Palavras-chave: crescimento tumoral, modelagem físico-matemática, equações diferenciais, métodos numéricos.

6 Abstract Cancer is a huge worldwide health problem and the use of mathematical and computational models may help to understand the mechanism responsible for the growth of tumors and as predictive tools towards the development of new therapies. In this work a detailed study of the mathematical model developed in Rodrigues 2011 is performed, in which the dynamics of the tumor growth is represented through a continuous model based on ordinary differential equations. The model includes proliferative, normal and endothelial cells and indirectly includes angiogenesis which is the fundamental strategy tumors acquire to keep and improve the growth. Metronomic chemotherapy is included, and different treatment protocols are considered through neoadjuvant therapy with cell-cycle nonspecific antiangiogenic drugs. New hypotheses are included to consider spatial heterogeneities. For the resulting model, based on reaction-diffusion equations, numerical and computational models are developed based on the Galerkin and Finite Element Methods. Numerical experiments are performed to demonstrate the main features of the proposed model. Keywords: methods. tumor growth, mathematical modeling, differential equations, numerical

7 Agradecimentos Há pessoas sem as quais, por influência direta ou indireta, não teria sido possível concretizar este trabalho. São à vocês os meus eternos agradecimentos. À família, inicialmente, agradeço a confiança, a cumplicidade e o afeto. Peço desculpas também pela ausência desses últimos cinco anos. Vocês fazem falta todos os dias! Aos professores Felipe Loureiro, Leonardo Goliatt e Maicon Ribeiro, agradeço pelos ensinamentos, ajuda sempre solícita e por terem, principalmente, incentivado-me a questionar e a querer buscar respostas aos meus questionamentos. À Regina, agradeço a orientação, a dedicação impecável e a paciência infinita. O brilho em seus olhos demonstrando tamanho gosto por aquilo que faz é um incentivo incomensurável. Obrigada, ainda, por dar-me a certeza de que o que virá, valerá a pena. À vocês, Bárbara, Camila, Isis, Letícia, Liliane e Stephanie, dedico este trabalho. Obrigada por terem tornado essa jornada muito mais agradável e terem acreditado em mim, até mesmo quando eu não mais acreditava. À Lurizam, agradeço o apoio incondicional, as repreensões, o incentivo a cada novo passo e por estar sempre disposto a ouvir e opinar. À Matheus, meus sinceros agradecimentos por ter, com seu sorriso tímido, encantado meus dias e trazido calma em meio à minha inquietação. Aos demais amigos de Barbacena e de Juiz de Fora, muito obrigada pelo companheirismo e momentos de aprendizado compartilhados. À UFJF e ao PIBIC/LNCC, agradeço o auxílio concedido, de fundamental importância para o meu desenvolvimento acadêmico.

8 PARA SER GRANDE, sê inteiro: nada Teu exagera ou exclui. Sê todo em cada coisa. Põe quanto és No mínimo que fazes. Assim em cada lago a lua toda Brilha, porque alta vive. Fernando Pessoa, 1933

9 Sumário Lista de Figuras 7 Lista de Tabelas 9 1 Introdução Objetivos Objetivo Geral Objetivos Específicos Metodologia Estrutura do Trabalho Biologia Tumoral 14 3 Modelo Homogêneo Modelo Matemático Simulações Numéricas Administração Contínua Administração em Ciclos Caso Limite Administração em Ciclos Modelo Heterogêneo Modelo Matemático Adimensionalização Metodologia Numérica Simulações Numéricas Conclusão 49 Referências Bibliográficas 51 A Análise de Estabilidade I 54 B Análise de Estabilidade II 57

10 Lista de Figuras 2.1 Representação esquemática do ciclo celular, por Richard Wheeler. O ciclo celular pode ser dividido em duas fases: mitótica M e intérfase I. Na fase mitótica, a célula-mãe passa por um processo de divisão nuclear a partir do qual dá origem a duas células-filhas com composição genética idêntica à sua. A intérfase, período entre o fim de uma divisão celular e começo de outra, corresponde à fase na qual ocorre a duplicação do material genético necessário à divisão celular Representação esquemática do modelo de quimioterapia anti-neoplásica sob dinâmica angiogênica proposto por Rodrigues Evolução do tumor quando o paciente não é submetido a tratamento. De acordo com Ferrara e Gerber 2001, espera-se que o tumor se desenvolva após o aporte vascular ter sido estabelecido. Este efeito é observado na simulação: a angiogênese precede o crescimento tumoral. Condições iniciais: N 1 0 = 10 8, N 2 0 = e L 1 0 = Diagramas de fase: 3.3a N 1 L 1 e 3.3b N 1 N 2. Observa-se na figura 3.3a que o crescimento tumoral é intensificado quanto maior o número de células endoteliais presentes no sistema. Além disso, ao final da simulação, tem-se que L , valor que representa o tamanho máximo de tumor em humanos Spratt et al., 1996; Weinberg, Em 3.3b verifica-se o decaimento das células normais com o crescimento das células tumorais Diagrama de fase de N 1 t q para o modelo de quimioterapia antineoplásica com infusão contínua considerando η = 0 dia 1 e η = 50 dia 1. Observa-se que a ação antiangiogênica η 0 provoca um efeito adicional de redução do tumor através da diminuição do número de células endoteliais responsáveis pela vascularização tumoral. Condições iniciais: N 1 0 = 10 8, N 2 0 = 10 12, L 1 0 = 0 e Q0 = Comparação entre o regime convencional de tratamento e o esquema antiangiogênico. É possível observar em 3.5a que o protocolo antiangiogênico confere ao paciente oncológico um aumento de sobrevida de aproximadamente 400 dias. Além disso, observa-se em 3.5b que a quimioterapia metronômica resulta em um tumor com menos do que 10 9 células, clinicamente não palpável em humanos Weinberg, As condições iniciais utilizadas são: N 1 0 = , N 2 0 = 10 12, L 1 0 = 10 2 e Q0 = Evolução do tumor quando o paciente não é submetido a tratamento e diagrama de fase N 1 N 2. Na figura 3.6b é possível observar que o decaimento do número de células normais no sistema ocorre com o aumento do número de células tumorais. Condições iniciais: N 1 0 = 10 9 e N 2 0 =

11 3.7 Os valores utilizados para ciclo e tempo entre as infusões do medicamento para o protocolo padrão são aqueles apresentados na tabela 3.2. É possível observar nas simulações que o modelo para o tratamento em ciclos apresenta eliminação de células em proporção constante hipótese log-kill. Além disso, através da Figura 3.7b, que compara o protocolo padrão com outro cuja dose da droga administrada é muito baixa, observa-se que baixas doses implicam em fracasso terapêutico. Na Figura 3.7c é exibida a evolução resultante da aplicação de dois ciclos utilizados na prática clínica: protocolo padrão infusão a cada três semanas e outro cujo ciclo é maior quatro semanas. A diferença entre estes protocolos resulta em tamanhos de tumor similares. Condições iniciais: N 1 0 = , N 2 0 = e Q0 = Modelos homogêneo e heterogêneo avasculares adimensionais. A figura 4.1a apresenta a solução obtida após a adimensionalização do modelo avascular espacialmente homogêneo dado por 3.8 para o caso limite sem angiogênese. É possível observar que o tumor cresce até a capacidade suporte quando o paciente não é submetido a tratamento. A figura 4.1b apresenta o crescimento do tumor até que seja atingido k: o tumor espalhase espacialmente onde ainda há disponibilidade de recurso Modelos homogêneo e heterogêneo vasculares adimensionais. A Figura 4.2a apresenta a solução obtida após a adimensionalização do modelo vascular espacialmente homogêneo dado por 3.2. O tumor cresce mais rapidamente no tempo à medida que o aporte vascular aumenta. As figuras 4.2b, 4.2c e 4.2d mostram comportamentos similares ao caso homogêneo mas com o tumor se espalhando ao longo do domínio. É possível observar que L 1 atinge valores acima da capacidade suporte do tecido que comprometem a qualidade da solução à medida que o tempo evolui Modelos homogêneo e heterogêneo vasculares adimensionais modificados. Os valores de L 1 acima de 1 observados na figura 4.2a foram eliminados na solução apresentada na figura 4.3a, obtida com a alteração do termo de proliferação de L 1 de σl1 para σl 1 1 L 1. A modificação nesse termo não possui o mesmo efeito sobre o modelo heterogêneo. Quando comparado ao resultado obtido na figura 4.2b, observa-se na figura 4.3b que o crescimento de L 1 foi reduzido mas não limitado

12 Lista de Tabelas 3.1 Parâmetros utilizados nas simulações numéricas do modelo matemático de quimioterapia anti-neoplásica sob dinâmica angiogênica Parâmetros utilizados nas simulações numéricas para tratamento de câncer humano com administração contínua e administração em ciclos, considerandose a dinâmica angiogênica Protocolos padrão e antiangiogênico para administração via intravenosa de ciclofosfamida administração em ciclos Parâmetros utilizados nas simulações numéricas para câncer humano, sem dinâmica angiogênica Parâmetros adimensionais utilizados nas simulações numéricas

13 10 1 Introdução O câncer responde atualmente por uma em cada oito mortes ao redor do mundo um valor significativo e maior do que a soma atual das mortes provocadas por HIV/AIDS, tuberculose e malária. Segundo a Organização Mundial de Saúde OMS, se a tendência atual for mantida, são esperados 21.3 milhões de novos casos e 13.1 milhões de mortes causadas pela doença para o ano de Além disso, com a diminuição da letalidade das doenças cardiovasculares, o câncer deverá ser a primeira causa de morte entre os brasileiros em 2020 Chammas, Compreender os mecanismos que atuam nessa doença é, portanto, cada vez mais importante tanto para a prevenção quanto para o planejamento de opções terapêuticas. O aparecimento de tumores é um fenômeno estocástico de proliferação e diferenciação celular que advém, na maior parte dos casos de câncer em humanos, da acumulação de múltiplas alterações genéticas e epigenéticas de uma única célula Foo et al., Podem ser classificados como não-cancerígenos benignos ou cancerígenos malignos, sendo que somente tumores malignos proliferam-se descontroladamente para outras partes do corpo metástases. Uma das principais linhas de pesquisa que explica tal diferenciação é bem representada pelo trabalho de Hanahan e Weinberg 2011, o qual define que o desenvolvimento do tumor só ocorre, a partir das mutações iniciais, devido a obtenção de oito alterações biológicas: auto-suficiência em sinais de crescimento, insensibilidade aos sinais de não-crescimento, resistência à apoptose morte celular natural, potencial de proliferação ilimitado, angiogênese tumoral autossustentada formação de novos vasos sanguíneos, habilidade de invasão e metástase, reprogramação do metabolismo energético e evasão à resposta imune. A ordem para a aquisição das alterações fisiológicas supracitadas varia de acordo com o tipo de tumor, cujo desenvolvimento é afetado por uma série de fenômenos em escala subcelular, celular e tecidual. Os fenômenos da escala subcelular ocorrem no interior da célula ou em sua membrana e.g. síntese de DNA, absorção de nutrientes, ativação de receptores e regulação de atividades celulares; no nível celular destacam-se proprieda-

14 1 Introdução 11 des de agregação, desagregação e interações entre os diversos tipos existentes de células; finalmente, na escala tecidual ocorrem fenômenos típicos de sistemas contínuos como migração celular, convecção e difusão de nutrientes, interações com tecidos externos, difusão de metástases e fatores químicos. Sabe-se que o aparecimento de metástases está diretamente relacionado com as propriedades de adesão celular, sendo um dentre os vários eventos que caracteriza que os fenômenos que ocorrem em determinada escala estão diretamente relacionados com os que ocorrem nas demais. Estas interrelações estão muito bem descritas em Bellomo et al., 2012, no qual são derivados modelos macroscópicos para uma classe de equações que modelam complexos sistemas da microescala através da teoria cinética de partículas ativas Bellomo et al., 1996; Bellomo, Como indicado em Hanahan e Weinberg, 2011, as últimas décadas presenciaram avanços substanciais no entendimento dos mecanismos físicos e biológicos envolvidos no crescimento de tumores. Entretanto, tais avanços na ciência médica ainda não foram suficientes para impactar os tratamentos e as taxas de mortalidade associadas. Isto em grande parte se deve à limitações da pesquisa experimental. De acordo com Byrne 1999, para que um tratamento efetivo seja desenvolvido, é importante identificar os mecanismos que controlam o crescimento cancerígeno, como tais mecanismos interagem entre si e como podem ser manipulados para administrar ou possivelmente erradicar a doença. Estas interrelações estão bem exemplificadas em Cavallo et al., 2011, onde são citados alguns procedimentos que têm-se mostrado efetivos no controle da progressão de certos tipos de câncer através de ações sobre o sistema imunológico via vacinas. Num contexto mais amplo, a modelagem matemática e computacional pode auxiliar pesquisas acerca dessa fenomenologia: diante do desenvolvimento de modelos matemáticos que descrevem os diferentes aspectos do crescimento tumoral e da aplicação de técnicas computacionais para simulação computacional destes, tornam-se disponíveis novos tipos de experimentação que passam a ser conteúdo indispensável para os novos desenvolvimentos na área. Frente à complexidade do câncer, a modelagem de crescimento da doença continua sendo um grande desafio na tentativa de representar os eventos moleculares e fisiológicos característicos da doença. Do ponto de vista matemático, algumas das principais metodologias que têm sido utilizadas para este fim são: equações diferenciais Gatenby, 1996;

15 1.1 Objetivos 12 Pinho et al., 2002, autômatos celulares Reis et al., 2009, otimização Panetta e Fister, 2003 e modelagem multi-escala Stamatakos et al., 2010; Bellomo et al., Independentemente da abordagem utilizada, os modelos matemáticos têm-se centrado principalmente em duas das características necessárias ao crescimento tumoral: a angiogênese e o potencial de proliferação celular ilimitado Bellomo et al., Embora os modelos atuais propiciem avanço no entendimento do crescimento de tumores, ainda há inúmeras questões em aberto que podem ser exploradas através da modelagem matemática em câncer. Particularmente, modelos que incluem tratamentos terapêuticos como a quimioterapia podem contribuir para o desenvolvimento e avaliação de protocolos de prescrição medicamentosa. 1.1 Objetivos Objetivo Geral O objetivo principal deste trabalho é modelar computacionalmente o crescimento tumoral na fase vascular Objetivos Específicos Como objetivos específicos podem ser citados: 1. Estudar modelos matemáticos disponíveis na literatura para a classe de problemas de interesse. O modelo básico de estudo é regido por equações diferenciais ordinárias, o qual pressupõe homogeneidade espacial. Neste trabalho este modelo é estendido de modo a considerar heterogeneidades espaciais. A modelagem numérica do novo modelo é desenvolvida, fundamentada no Método de Diferenças Finitas para a aproximação temporal e no Método dos Elementos Finitos para a aproximação espacial. 2. Estudar ações terapêuticas antiangiogênicas e seus efeitos sobre o crescimento do tumor. São estudados diversos procedimentos terapêuticos e avaliadas suas respectivas modelagens. Experimentos computacionais são realizados para comparar seus efeitos sobre a progressão do tumor.

16 1.2 Metodologia Metodologia A metodologia empregada na modelagem é fundamentada na abordagem dos meios contínuos, a qual fornece um visão macroscópica dos eventos físicos e biológicos envolvidos. Neste trabalho são estudados, numa primeira etapa, modelos espacialmente homogêneos descritos por equações diferenciais ordinárias disponíveis na literatura e métodos matemático-numéricos associados à resolução desta classe de equações. Numa segunda etapa, é considerada a modificação dos modelos homogêneos de modo a considerar heterogeneidades espaciais. Para esses modelos descritos por equações diferenciais parciais, soluções numéricas variacionalmente consistentes são desenvolvidas e obtidas utilizando o Método dos Elementos Finitos para aproximação espacial e o Método de Diferenças Finitas para aproximação temporal. Os modelos matemáticos computacionais provêm ferramental para o estudo das ações terapêuticas antiangiogênicas e seus efeitos sobre o crescimento do tumor. Neste trabalho, isto é realizado considerando somente os modelos espacialmente homogêneos. Diversos protocolos de tratamento são analisados e suas adequações na prática clínica são avaliadas. 1.3 Estrutura do Trabalho Este trabalho está estruturado em cinco capítulos que seguem a presente introdução. No capítulo 2 são apresentados os principais conceitos relativos à biologia do câncer e ao tratamento quimioterápico necessários ao entendimento do problema estudado. O capítulo 3 apresenta os modelos-base homogêneos estudados, as simulações computacionais realizadas e algumas análises matemáticas específicas. No capítulo 4 são apresentados os modelos matemático-numéricos heterogêneos desenvolvidos e algumas das simulações computacionais realizadas. Quando possível, os resultados destas simulações são comparados qualitativamente com aqueles apresentados no capítulo 3. Por fim, no capítulo 5, são apresentadas as considerações finais.

17 14 2 Biologia Tumoral Colocando de forma simples, o câncer ocorre quando genes defeituosos levam ao mau funcionamento celular fazendo com que as células interajam com o corpo de maneira descontrolada e proliferativa. Para compreender parte dessa interação, faz-se necessário conhecer o comportamento cíclico natural das células, denominado ciclo celular. A divisão celular inicia-se no momento em que uma célula é criada a partir de uma célula mãe e prolonga-se até o momento em que ela torna-se apta a dividir-se, sendo regulada por uma série de estágios que compõem o ciclo celular, conforme ilustrado na figura 2.1. No primeiro estágio, G1 gap 1, a célula cresce fisicamente, proteínas são sintetizadas, novas organelas são construídas e a célula prepara-se para replicar seu material genético. Na fase seguinte, S síntese, ocorre a síntese do DNA. Na fase G2 gap 2, preparações finais são feitas no interior do núcleo celular para que possa ocorrer a divisão dessa célula. Na fase final, M mitose, as duas cópias do DNA são preparadas e incorporadas em dois núcleos e o citoplasma e as organelas dividem-se em duas células-filhas semelhantes Cristini e Lowengrub, 2010; Edelstein-Keshet, O ciclo celular contém inúmeros pontos de inspeção que permitem identificar danos no DNA e repará-los caso sejam encontrados bem como permitem controlar ou parar a progressão do ciclo celular. No ponto R restrição, ao final da fase G1, a célula confirma a divisão, avançando para a fase S ou saindo do ciclo celular, caso em que entra no estado G0 gap 0, conhecido por estado quiescente, onde as células apresentam menor atividade metabólica Cristini e Lowengrub, Após o ponto R, as células estão comprometidas com a divisão celular e são menos sensíveis aos sinais ambientais que por ventura possam interromper o processo. Numerosos são os pontos de inspeção nas fases S e G2 para detectar e reparar danos no DNA. As células que falham na reparação nesses pontos induzem a apoptose morte celular, processo no qual estas retraem-se, fazendo com que ocorra perda de aderência com a matriz extracelular e células vizinhas. A membrana celular forma prolongamentos e o núcleo desintegra-se em pequenos fragmentos. Esses prolongamentos, envoltos pela membrana

18 2 Biologia Tumoral 15 celular, aumentam de número e tamanho e rompem, originando estruturas denominadas corpos apoptóticos, as quais são rapidamente fagocitadas por macrófagos e removidas sem causar um processo inflamatório Grivicich et al., G2/M R Figura 2.1: Representação esquemática do ciclo celular, por Richard Wheeler. O ciclo celular pode ser dividido em duas fases: mitótica M e intérfase I. Na fase mitótica, a célula-mãe passa por um processo de divisão nuclear a partir do qual dá origem a duas células-filhas com composição genética idêntica à sua. A intérfase, período entre o fim de uma divisão celular e começo de outra, corresponde à fase na qual ocorre a duplicação do material genético necessário à divisão celular. Sabe-se atualmente que a carcinogênese iniciação do câncer é um processo de vários estágios, o qual especula-se que seja iniciado em decorrência de mutações genéticas. Se uma célula sobrevive e a mutação escapa dos mecanismos de reparação do DNA presentes no ponto de controle R, a célula ou suas descendentes pode, ao longo do tempo, adquirir adicionais mutações. Tais mutações permitem ignorar sinais inibidores de crescimento enviados por células vizinhas e tornam possível burlar processos de controle internos. É possível identificar duas fases de crescimento distintas correspondentes à biologia tumoral: a fase relativamente benigna de crescimento avascular na qual o tumor começa a invadir tecidos adjacentes, e outra mais agressiva e que apresenta riscos de vida denominada fase de crescimento vascular. A principal diferença entre ambas as fases é o surgimento de uma nova rede de vasos sanguíneos, típica dos tumores vasculares. No crescimento avascular, o tumor começa a invadir os tecidos adjacentes até que o fornecimento de nutrientes pelos vasos sanguíneos pré-existentes deixa de ser suficiente para manter o ritmo desgovernado de crescimento, fazendo com que as células entrem em

19 2 Biologia Tumoral 16 estado de hipoxia. Células neste estado apresentam reduzida atividade metabólica e não se proliferam, o que resulta na brusca redução da velocidade de crescimento do tumor. Para contornar esta barreira de crescimento, as células hipóxicas secretam uma variedade de substâncias químicas, denominadas fatores angiogênicos Vascular Endothelial Growth Factor VEGF, que estimulam o crescimento do endotélio vascular. Este processo de criação de novos vasos sanguíneos a partir da vasculatura pré-existente é denominado angiogênese e propicia a retomada do crescimento tumoral. O crescimento nesta fase é denominado vascular, e possui velocidade superior ao experimentado na fase avascular devido à presença de uma fonte praticamente ilimitada de nutrientes. Tal crescimento pode prejudicar o funcionamento de órgãos vizinhos e permitir que fragmentos do tumor entrem na corrente sanguínea ou nos vasos linfáticos e sejam transportados para outras partes do corpo onde, se as condições ambientais forem favoráveis, irão estabelecer tumores secundários ou metástases Byrne, As características desta dinâmica motivaram o desenvolvimento de terapias utilizadas no controle de tumores malignos com o objetivo de inibir ou restringir o crescimento de vasos sanguíneos em tumores sólidos. As formas tradicionais que a medicina disponibiliza para o tratamento e eventual erradicação do câncer são a cirurgia, a radioterapia e a quimioterapia INCA, A cirurgia, forma de tratamento mais antiga conhecida, consiste na retirada de tumores sólidos através de procedimento que tem como objetivo eliminar o tecido doente sem lesionar outras estruturas vitais do organismo. O sucesso nessa modalidade de tratamento advém do tempo que decorre até a descoberta da doença, de forma que a cirurgia cura a maior parte dos casos iniciais de tumores sólidos e é considerada paliativa nos casos em que a doença já sofreu metástases Murad e Katz, O tratamento paliativo tem como objetivo minimizar os sintomas decorrentes da proliferação tumoral, aumentando a sobrevida do paciente em função da redução do número de células neoplásicas Rodrigues, Nos casos em que a remoção total da massa tumoral não ocorre, opta-se pela radioterapia como forma de tratamento. Esta consiste na utilização de radiação ionizante na região tumoral e tem como objetivo principal lesionar o DNA das células cancerígenas bloqueando a divisão celular. A radiação afeta principalmente as células bem oxigenadas

20 2 Biologia Tumoral 17 com alta taxa de proliferação, entretanto, como o tratamento não é seletivo, também lesiona uma minoria de células saudáveis. Outra alternativa para o tratamento de tumores sólidos é a quimioterapia, que consiste na administração de substâncias químicas, isoladas ou combinadas poliquimioterapia, com o objetivo de tratar neoplasias malignas. Os medicamentos administrados atuam a nível celular e interferem no processo de divisão celular previamente explicado. Segundo Rodrigues 2011, tais medicamentos agrupam-se com relação a esta atuação da seguinte forma: Quimioterápicos ciclo-específicos: são aqueles que mostram-se mais ativos nas células que se encontram em fase específica do ciclo celular. Quimioterápicos ciclo-inespecíficos: o efeito citotóxico dessas medicações é obtido em qualquer fase do ciclo celular; esses agentes são eficazes em grandes tumores com número reduzido de células ativas em divisão no momento da administração medicamentosa. Recentemente, a modelagem computacional tem sido utilizada tanto para auxiliar no entendimento dos mecanismos envolvidos no crescimento de tumores quanto como fundamental ferramental preditivo para avaliar e definir protocolos quimioterápicos. Nesse contexto, é de imprescindível interesse partir de um modelo vascular da doença agregando modelos de quimioterapia para, deste modo, propiciar a investigação de suas interações e efetividade no progresso, redução e remissão do câncer. Como mencionado, este é um dos objetivos específicos deste trabalho.

21 18 3 Modelo Homogêneo A angiogênese é um processo de neovascularização no qual as células tumorais estimulam a formação de novos vasos sanguíneos. Segundo evidenciado por Folkman 2002, crescimento tumoral invasivo e metástase não ocorrem sem angiogênese e, portanto, parte das pesquisas nessa área têm sido direcionadas para o estudo de terapias antiangiogênicas nas quais a administração medicamentosa age especificamente sobre as células endoteliais a fim de inibir a formação de novas redes vasculares. O efeito da inibição vascular também pode ser obtido através de determinados protocolos quimioterápicos antiangiogênicos que, de acordo com Rodrigues 2011, consistem em administrar agentes quimioterápicos que não são drogas antiangiogênicas mas provocam tal efeito se o intervalo entre as respectivas administrações for relativamente curto quimioterapia metronômica. Neste capítulo estuda-se o modelo geral de crescimento tumoral regido por equações diferenciais ordinárias proposto por Rodrigues 2011, o qual considera a ação antiangiogênica da quimioterapia metronômica. Vários experimentos numéricos são realizados e situações biológicas de interesse são identificadas, considerando-se a aplicação ou não de tratamento. Como constatado em Rodrigues 2011, tais experimentos permitem investigar possíveis razões que levam ao fracasso clínico da quimioterapia anti-neoplásica. 3.1 Modelo Matemático O modelo geral de câncer desenvolvido em Rodrigues 2011 considera o meio contínuo homogêneo e é fundamentado no princípio básico de conservação de massa ou matéria, o qual especifica que a variação temporal da quantidade desta é igual à diferença entre os fatores que contribuem para seu crescimento e os que contribuem para seu decréscimo. As variáveis modeladas são as populações de células tumorais N 1 e de células normais N 2 ; a capacidade suporte devido a angiogênese L 1, e a quantidade de agente

22 3.1 Modelo Matemático 19 quimioterápico Q, sendo que a angiogênese, implicitamente considerada, influencia na taxa de variação do número de células endoteliais que propiciam alteração da capacidade suporte L 1. Além disso, este modelo contempla tratamentos nos quais há administração de apenas um agente quimioterápico específico monoquimioterapia, sendo que as drogas administradas são ciclo-inespecíficas por atuarem igualmente sobre as células proliferativas e não-proliferativas do tumor. Mais especificamente, o modelo não assume distinções de estágios para as células tumorais. A modalidade de quimioterapia adotada é a neoadjuvante realizada previamente ao tratamento principal e a resistência do tumor à droga e eventuais mudanças na resposta farmacológica no decorrer do tratamento foram negligenciadas por simplicidade. AUMENTO DE NUTRIENTES ANGIOGÊNESE L1 CÉLULAS TUMORAIS N1 CÉLULAS NORMAIS N2 + proliferação L1 + proliferação N1,L1 + proliferação N2 + aumento da vascularização TAFs : tumor angiogenesis factors L1,N1 - inibição da vascularização TIFs : tumor inhibitor factors L1,N1 - competição interespécies N1,N2,L1 - morte celular N1,Q - competição interespécies N2,N1 - morte celular N2,Q - inibição da vascularização L1,Q TRATAMENTO Q Figura 3.1: Representação esquemática do modelo de quimioterapia anti-neoplásica sob dinâmica angiogênica proposto por Rodrigues 2011.

23 3.1 Modelo Matemático 20 As células normais são incluídas explicitamente no modelo pois também são afetadas pela droga, influenciando a limitação de dose, e competem por recursos com as células tumorais competição interespecífica. Na ausência desta competição, as células tumorais e normais crescem até certos limiares especificados por capacidades de suporte intrínsecas de cada tipo celular. Ademais, a angiogênese propicia um aporte de nutrientes adicionais que contribuem para o crescimento mais acelerado das células tumorais fase vascular sendo que, no modelo, este efeito é representado pelo aumento da capacidade suporte destas. Finalmente, leva-se em consideração que a droga interage com N 1, N 2 e L 1 segundo uma resposta funcional com saturação do tipo Michaelis-Menten uma vez que, após uma certa dose, a resposta ao tratamento independe da quantidade de droga administrada. Uma representação esquemática do modelo é apresentada na figura 3.1. A representação matemática das hipóteses descritas nos parágrafos anteriores é expressa pelo seguinte sistema de equações diferenciais ordinárias: dn 1 dt dn 2 dt dl 1 dt = τ 1 N 1 1 N 1 α 1N 2 µn 1Q k + L 1 k + L 1 a + Q ; = τ 2 N 2 1 N 2 α 2N 1 νn 2Q k 2 k 2 b + Q ; = σl 1 + φn 1 ωn 1 L 1 ηl 1Q c + Q ; 3.1 dq dt = qt λq, onde τ 1 e τ 2 denotam as taxas de crescimento das células tumorais e normais, respectivamente; α 1 e α 2 são os coeficientes de competição interespecífica referentes à ação de N 2 sobre N 1 e de N 1 sobre N 2, respectivamente; k é a capacidade suporte tumoral na fase avascular; k 2 é a capacidade suporte das células normais; σ é a taxa de proliferação das células endoteliais, a qual inclui o efeito da migração das células endoteliais das regiões adjacentes ao tumor para dentro deste; φ está relacionado ao crescimento de L 1 devido à liberação dos fatores de crescimento do tumor TAFs; ω modela a inibição da neovascularização através da liberação de fatores inibidores de crescimento do tumor TIFs; a, b e c determinam a velocidade da resposta da droga pelas células tumorais, normais

24 3.2 Simulações Numéricas 21 e endoteliais, respectivamente; µ e ν são as taxas de resposta ao tratamento das células tumorais e normais, respectivamente; η modela a intensidade do efeito da quimioterapia metronômica e, finalmente, λ é a taxa de decaimento do agente quimioterápico cicloinespecífico. Deve-se ressaltar, ainda, que todos os parâmetros descritos são positivos. A taxa de infusão do medicamento é denotada por qt, onde t representa o tempo de infusão deste. Além disso, tem-se que o tratamento pode ser iniciado a partir de administração contínua da droga por alguns dias Baxter, 2005 ou pode ser definido por protocolos, para os quais qt é uma função periódica. As condições iniciais necessárias para a solução do sistema 3.1 são definidas assumindo que a população de células normais é dominante sobre a população de células tumorais, que o tumor está em sua fase avascular presença apenas da vasculatura original e que a quimioterapia só ocorre após o tumor ser diagnosticado, isto é, quando o número de células tumorais é suficientemente grande. Casos particulares do modelo 3.1 podem ser considerados adicionando-se hipóteses simplificadoras. Em particular, neste trabalho estamos interessados nos casos do crescimento de tumores sem tratamento. Nestas situações, com Q0 = 0, o sistema 3.1 reduz-se a: dn 1 dt = τ 1 N 1 1 N 1 α 1N 2 ; k + L 1 k + L 1 dn 2 dt = τ 2 N 2 1 N 2 α 2N 1 ; k 2 k dl 1 dt = σl 1 + φn 1 ωn 1 L 1. A análise de estabilidade do sistema 3.2 pode ser vista no Apêndice A e foi realizada com o intuito de tornar mais ampla a avaliação qualitativa deste, facilitando a interpretação dos resultados obtidos com as simulações numéricas realizadas. 3.2 Simulações Numéricas Nesta seção são apresentados alguns experimentos numéricos que reproduzem os mostrados no trabalho de Rodrigues Aqui, soluções numéricas dos sistemas de

25 3.2 Simulações Numéricas 22 equações diferenciais ordinárias 3.1 e 3.2 foram obtidas utilizando o Método de Runge- Kutta de quarta ordem, sendo que a programação foi feita utilizando a linguagem de programação FORTRAN 95. Para controlar a descontinuidade da função qt presente no sistema 3.1 para o caso em que esta é uma função periódica, uma sentença condicional é levada em consideração. Os parâmetros utilizados nas simulações apresentadas nesta seção são definidos nas tabelas 3.1, 3.2, 3.3 e 3.4 e foram obtidos diretamente de Rodrigues Visando observar a evolução do tumor quando o paciente não é submetido a tratamento, o primeiro experimento consiste na simulação do sistema 3.2. Para as condições iniciais N 1 0 = 10 8, N 2 0 = e L 1 0 = 0, a figura 3.2 apresenta a evolução temporal do sistema. É possível observar que o atraso temporal entre o aumento da vascularização e o crescimento tumoral ocorre tal como esperado a partir da análise de estabilidade do modelo, realizada detalhadamente no Apêndice A. Este atraso pode ser verificado no diagrama de fase apresentado na figura 3.3a, no qual tem-se que o crescimento tumoral é intensificado com o aumento indireto de recursos propiciados pelo crescimento da população de células endoteliais presentes no sistema. Além disso, no diagrama de fase apresentado na figura 3.3b observa-se que à medida em que a população de células tumorais aumenta no sistema 3.2 há o decaimento do número de células saudáveis. Tabela 3.1: Parâmetros utilizados nas simulações numéricas do modelo matemático de quimioterapia anti-neoplásica sob dinâmica angiogênica. Parâmetro Valor Unidade Referência/Comentário τ dia 1 Spratt et al τ dia 1 τ 2 < τ 1 k 10 8 célula Rodrigues k célula corresponde a 1 kg de tecido 2 α Rodrigues α Rodrigues σ 10 3 dia 1 σ τ 2 φ 1 dia 1 Rodrigues ω célula 1 dia 1 Rodrigues De acordo com Spratt et al. 1996, um tumor de 6 mm de diâmetro contém células e segundo Kerbel 2000 um tumor avascular possui não mais que 2 mm de diâmetro. 2 O valor de k 2 foi estimado em Rodrigues 2011 considerando-se que 10 9 células têm massa 1 g e um adulto humano possui cerca de células. 3 Valores adotados segundo a ordem de grandeza das interações célula-célula e célula-droga.

26 3.2 Simulações Numéricas x x N 1, N 2, L 1 células 8.0 x x x x N 1 N 2 L 0.0 x t dias Figura 3.2: Evolução do tumor quando o paciente não é submetido a tratamento. De acordo com Ferrara e Gerber 2001, espera-se que o tumor se desenvolva após o aporte vascular ter sido estabelecido. Este efeito é observado na simulação: a angiogênese precede o crescimento tumoral. Condições iniciais: N 1 0 = 10 8, N 2 0 = e L 1 0 = 0. Tabela 3.2: Parâmetros utilizados nas simulações numéricas para tratamento de câncer humano com administração contínua e administração em ciclos, considerando-se a dinâmica angiogênica. Parâmetro Valor Unidade Referência/Comentário µ 8 dia 1 Rodrigues ν dia 1 ν µ λ 4.16 dia 1 Rodrigues a mg Rodrigues b mg Rodrigues c mg c a 1 Valores adotados segundo a ordem de grandeza das interações célula-célula e célula-droga. 2 O valor de λ foi calculado em Rodrigues 2011 para a meia-vida de 4 horas da ciclofosfamida de acordo com Baxter 2005.

27 3.2 Simulações Numéricas x x x L 1 células 6.0 x x x N 1 X L x N 1 células a Diagrama de fase N 1 L x x x x N 2 células 9.6 x x x x x x N 1 X N x N 1 células b Diagrama de fase N 1 N 2. Figura 3.3: Diagramas de fase: 3.3a N 1 L 1 e 3.3b N 1 N 2. Observa-se na figura 3.3a que o crescimento tumoral é intensificado quanto maior o número de células endoteliais presentes no sistema. Além disso, ao final da simulação, tem-se que L , valor que representa o tamanho máximo de tumor em humanos Spratt et al., 1996; Weinberg, Em 3.3b verifica-se o decaimento das células normais com o crescimento das células tumorais.

28 3.2 Simulações Numéricas Administração Contínua O experimento a seguir foi realizado considerando a infusão ininterrupta de um dado agente quimioterápico, ou seja, quando qt = q > 0 no sistema 3.1. Foram adotadas, inclusive, duas diferentes intensidades do efeito da quimioterapia metronômica nas simulações: η 0 para tratamentos cuja a ação antiangiogênica é contemplada e η = 0 para aqueles que não a consideram. O diagrama de fase apresentado na figura 3.4 mostra N 1 no equilíbrio em função da velocidade de infusão q da droga, para tratamentos com η = 50 dia 1 e η = 0 dia 1. Pode-se observar que a ação antiangiogênica provoca um efeito adicional de redução do tumor através da diminuição do número de células endoteliais responsáveis pela vascularização tumoral N 1 t células η= η= q mg/dia Figura 3.4: Diagrama de fase de N 1 t q para o modelo de quimioterapia antineoplásica com infusão contínua considerando η = 0 dia 1 e η = 50 dia 1. Observa-se que a ação antiangiogênica η 0 provoca um efeito adicional de redução do tumor através da diminuição do número de células endoteliais responsáveis pela vascularização tumoral. Condições iniciais: N 1 0 = 10 8, N 2 0 = 10 12, L 1 0 = 0 e Q0 = 0.

29 3.2 Simulações Numéricas Administração em Ciclos A administração de um dado agente quimioterápico nesta forma de administração dura normalmente de três a quatro semanas e é seguida por um período de repouso. De acordo com Martin e Teo 1993, a velocidade de infusão da droga qt é dada pela seguinte função descontínua: q > 0, n t < n + τ qt = 0, n + τ t < n + T, 3.3 onde T + τ é definido como o ciclo de infusão período entre o início das infusões e, consequentemente, período após o qual as infusões se repetem; n = 0, T, 2T,... e τ é o tempo de infusão, com T τ. Experimentos numéricos foram aqui realizados assumindo, como especificado anteriormente, a administração de apenas um agente quimioterápico ciclofosfamida. Além disso, utilizam-se dados apresentados em Rodrigues 2011 referentes a protocolos de tratamento utilizados na prática clínica. Dentre eles, admitindo que uma dose de 900mg é infundida em três horas 1/8 dia, é estabelecido um esquema de administração de tratamento denominado protocolo padrão definido por: q P = 8 900, l t < l + 1 q P t = 8 0, l + 1, t < l + 21 com l = 0, 21, 42, 63 4 infusões e q P t Visando investigar o efeito antiangiogênico sobre as células endoteliais, a relação entre a quimioterapia metronômica e o aumento de sobrevida em pacientes humanos, Rodrigues 2011 define o seguinte esquema esquema de tratamento, denominado protocolo antiangiogênico: q A = 8 450, l t < l + 1 q A t = 8 0, l + 1, t < l + 6 com l = 6n, com n = 0, 1, 2,..., infusões e q A t 96 0.

30 3.3 Caso Limite 27 Tabela 3.3: Protocolos padrão e antiangiogênico para administração via intravenosa de ciclofosfamida administração em ciclos. Parâmetro Protocolo Padrão Protocolo Antiangiogênico velocidade q de infusão da droga q P = 7200 mg/dia q A = 3600 mg/dia período T + τ entre início das infusões 21 dias 6 dias número de infusões 4 16 tempo de infusão τ da droga 1/8 dia = 3h 1/8 dia = 3h dose total administrada 3600 mg 7200 mg A tabela 3.3 sumariza a caracterização dos protocolos padrão e antiangiogênico que serão aqui utilizados, evidenciando as principais diferenças entre ambos. O protocolo antiangiogênico foi definido assumindo-se dose superior ao protocolo padrão a fim de que pudesse ser investigado tanto o efeito antiangiogênico sobre as células endoteliais quanto a relação entre a quimioterapia metronômica e o aumento de sobrevida em pacientes humanos. A figura 3.5a apresenta a evolução das células tumorais quando submetidas ao protocolo padrão η = 0 e ao protocolo antiangiogênico η = 500. Admitindo-se que humanos não sobrevivem com tumores maiores do que células Weinberg, 2008, observa-se que o protocolo antiangiogênico confere ao paciente oncológico um aumento de sobrevida de aproximadamente 400 dias. Os detalhes da evolução das células tumorais no período de 0 a 100 dias podem ser observados na figura 3.5b. Observa-se nesta que a utilização da quimioterapia metronômica faz com que o tumor deixe de ser clinicamente palpável atinge tamanho menor que 10 9 células em humanos Weinberg, Caso Limite Há algumas circunstâncias sobre as quais os modelos 3.1 e 3.2 podem ser simplificados. De acordo com Rodrigues 2011, quando os efeitos da proliferação de células endoteliais, da inibição e de estímulos angiogênicos estão em equilíbrio, na ausência do efeito antiangiogênico característico da quimioterapia metronômica, considera-se que: dl 1 dt

31 3.3 Caso Limite N 1 células t dias protocolo padrão η=0 protocolo antiangiogênico η=500 a Dinâmica tumoral da quimioterapia anti-neoplásica. protocolo padrão η=0 protocolo antiangiogênico η= N 1 células t dias b Detalhes de 0 a 100 dias. Figura 3.5: Comparação entre o regime convencional de tratamento e o esquema antiangiogênico. É possível observar em 3.5a que o protocolo antiangiogênico confere ao paciente oncológico um aumento de sobrevida de aproximadamente 400 dias. Além disso, observa-se em 3.5b que a quimioterapia metronômica resulta em um tumor com menos do que 10 9 células, clinicamente não palpável em humanos Weinberg, As condições iniciais utilizadas são: N 1 0 = , N 2 0 = 10 12, L 1 0 = 10 2 e Q0 = 0.

32 3.3 Caso Limite 29 Isto implica que L 1 é aproximadamente constante e, portanto, que um determinado valor de equilíbrio lim t L 1 t, denotado L 1 por simplicidade, foi atingido. Sob estas hipóteses, adicionadas as condições biológicas e de tratamento definidas anteriormente, o sistema 3.1, modelo para o caso em que é considerada a administração medicamentosa para tratamento do tumor, passa a ser expresso por: dn 1 dt = τ 1 N 1 1 N 1 α 1N 2 µn 1Q k 1 k 1 a + Q ; dn 2 dt = τ 2 N 2 1 N 2 α 2N 1 νn 2Q k 2 k 2 b + Q ; 3.7 dq dt = qt λq. Além disso, similarmente, o modelo para o caso limite não tratado da doença torna-se: dn 1 dt dn 2 dt = τ 1 N 1 1 N 1 α 1N 2 ; k 1 k 1 = τ 2 N 2 1 N 2 α 2N 1. k 2 k Os modelos 3.7 e 3.8 acima apresentados são denominados caso limite tratado e caso limite não tratado, respectivamente, para os quais se pressupõe que a angiogênese já está estabelecida no sistema. Assim, k 1 = k + L 1 denota a capacidade suporte do tumor logo após a neovascularização atingir o equilíbrio. A análise de estabilidade local do sistema 3.8 foi realizada conforme apresentado no Apêndice B. Permitiu-se estabelecer, a partir desta análise, a hipótese geral do câncer, que assume que o tumor não é eliminado na ausência de tratamento bem como algumas constatações biológicas gerais acerca do modelo utilizado. A evolução do tumor no caso limite quando o paciente não é submetido a tratamento, dada pela simulação do sistema 3.8, é apresentada na figura 3.6a a partir das condições iniciais N 1 0 = 10 9 e N 2 0 = Em concordância com o analisado na Apêndice B, sob a hipótese geral do câncer, observa-se que ambos os tipos celulares considerados coexistem. Sem o tratamento, o tumor atinge cerca de células após aproximadamente 1500 dias, o que dificilmente permitiria a sobrevivência do paciente devido às complicações

33 3.3 Caso Limite 30 decorrentes do tamanho deste Rodrigues, Com um comportamento similar ao observado na figura 3.3b, o diagrama de fase N 1 N 2 apresentado na figura 3.6b indica o decaimento do número de células normais em decorrência do aumento do número de células tumorais. Estes fatos demonstram que o sistema 3.7 modela o tratamento anti-neoplásico de tumores nos quais a vascularização está em equilíbrio e, adicionalmente, situações nas quais não há efeito antiangiogênico ou este pode ser negligenciado. Partindo do pressuposto de que no início de qualquer tratamento o aporte vascular está em equilíbrio, é possível, através de 3.7 comparar diferentes protocolos de administração de agentes quimioterápicos. De acordo com Norton 1987 e Rodrigues 2011, o fracasso clínico da quimioterapia pode resultar das seguintes condições: 1. Tumor resistente ao tratamento devido à terapia ser iniciada para tumor de grande volume com baixa fração de crescimento; 2. Tumor não curado devido à administração de doses de intensidades insuficientes para manter a regressão tumoral; 3. Surgimento de segundo tumor resistente por mutação ou seleção; 4. Tumor resistente ao tratamento devido à administração de dose muito baixa; 5. Tumor resistente ao tratamento devido a um grande intervalo entre a administração das doses de um dado medicamento. Como o modelo considerado não faz distinção entre as células tumorais, as condições 1, 2 e 3 não podem ser aqui observadas. As condições 4 e 5, em contrapartida, são avaliadas a seguir através de tratamento com a administração cíclica de medicamento Administração em Ciclos Os experimentos numéricos realizados nesta subseção utilizando o modelo 3.7 objetivam identificar a característica log-kill dos tratamentos nos quais há administração de apenas um agente quimioterápico ciclo-inespecífico e analisar tratamentos que resultam em fracassos clínicos. Tais experimentos foram realizados usando os parâmetros listados na tabela 3.4.