UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Reitora: Profa. Dra. SUELY VILELA. Vice-Reitor: Prof. Dr. FRANCO M. LAJOLO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS

Transcrição

1 São Carlos, v. n

2 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Reitora: Profa. Dra. SUELY VILELA Vice-Reitor: Prof. Dr. FRANCO M. LAJOLO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS Diretor: Profa. Dra. MARIA DO CARMO CALIJURI Vice-Diretor: Prof. Dr. ARTHUR JOSÉ VIEIRA PORTO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS Chefe do Departamento: Prof. Dr. CARLITO CALIL JUNIOR Suplente do Chefe do Departamento: Prof. Dr. SERGIO PERSIVAL BARONCINI PROENÇA Coordenador de Pós-Graduação: Prof. Dr. MARCIO ANTONIO RAMALHO Editor Responsável: Prof. Dr. MÁRCIO ROBERTO SILVA CORRÊA Coordenadora de Publicações e Material Bibliográfico: MARIA NADIR MINATEL minatel@sc.usp.br Editoração e Diagramação: FRANCISCO CARLOS GUETE DE BRITO MARIA NADIR MINATEL MASAKI KAWABATA NETO MELINA BENATTI OSTINI RODRIGO RIBEIRO PACCOLA TATIANE MALVESTIO SILVA

3 SUMÁRIO Estudo numérico-experimental da rigidez da conexão vertical em vigas mistas de madeira-concreto Julio Cesar Molina & Carlito Calil Junior Método dos Elementos de Contorno aplicado à análise de sólidos multi-fraturados Edson Denner Leonel & Wilson Sergio Venturini 7 O Método de Galerkin Descontínuo aplicado na investigação de um problema de elasticidade anisotrópica Maria do Socorro Martins Sampaio & Adair Roberto Aguiar 37 Estudo e aplicação de um elemento de contorno infinito na análise da interação solo-estrutura via combinação MEC/MEF Dimas Betioli Ribeiro & João Batista de Paiva 57 Comportamento de prismas de blocos vazados de concreto sob compressão axial e análise das propriedades mecânicas de seus materiais constituintes Claudius de Sousa Barbosa & João Bento de Hanai 75 Deterioração da tensão de aderência entre barras de aço e concretos (CC, CAA E CAAFA), sob influência de ações cíclicas Fredy Enrique Garzón Reyes e Ana Lúcia Homce de Cresce El Debs 9 Modelagem numérica de pilares mistos curtos de seção circular de aço preenchido com concreto em situação de incêndio Rodrigo Tadeu dos Santos & Jorge Munaiar Neto 3 Modelos constitutivos para materiais hiperelásticos: estudo e implementação computacional João Paulo Pascon & Humberto Breves Coda 3 Análise das reações nas estacas em blocos com pilares submetidos à ação de força centrada e excentrica considerando a interação solo-estrutura Filipe Antonio de Coan Ramos & José Samuel Giongo 55

4

5 São Carlos, v. n

6 Departamento de Engenharia de Estruturas Escola de Engenharia de São Carlos USP Av. Trabalhador Sãocarlense, 400 Centro CEP: São Carlos SP Fone: (6) Fax: (6) site:

7 ISSN ESTUDO NUMÉRICO-EXPERIMENTAL DA RIGIDEZ DA CONEXÃO VERTICAL EM VIGAS MISTAS DE MADEIRA-CONCRETO Julio Cesar Molina & Carlito Calil Junior Resumo Este trabalho tem a finalidade de avaliar a perda de rigidez de conectores verticais, formados por barras de aço comum, do tipo CA-50, utilizados em tabuleiros mistos de madeira - concreto para pontes, a partir de flexão em vigas mistas de seção transversal T. O comportamento dos referidos conectores foi avaliado experimentalmente a partir da manutenção do número de ciclos de carga, para um total de x0 6 ciclos aplicados. Foram também realizadas simulações numéricas para um total de 0 ciclos de carga, a partir de um modelo numérico tridimensional de viga mista, proposto para verificação do referido comportamento, sendo a simulação efetuada, neste caso, a partir da utilização do software ANSYS, versão 9.0. Os resultados numéricos mostraram uma boa concordância com os resultados obtidos experimentalmente e a perda de rigidez da conexão foi em média,9% após x0 6 ciclos de carga. Palavras-chave: Conectores de cisalhamento. Carregamento cíclico. Tabuleiros mistos. NUMERICAL AND EXPERIMENTAL STIFFNESS STUDY OF VERTICAL CONNECTION IN WOOD-CONCRETE COMPOSITE BEAMS Abstract In this paper was evaluated the numerical and experimental stiffness behavior of vertical connectors with CA-50 bonded-in steel rods for wood-concrete composite deck bridge, using bending tests of composite girders with T- shaped cross section. The dynamic behavior of connectors was evaluated for a total of x0 6 applied cycles. They were accomplished numeric simulations for a total of 0 load cycles using a three-dimensional numeric model of composite beam, analyzed in the software ANSYS, version 9.0. The numeric results show a good agreement with experimental tests and the stiffness declining connection efficiency was.9% after x0 6 load cycles. Keywords: Shear connections. Cyclical load. Log-concrete composite deck bridge. INTRODUÇÃO Os sistemas estruturais mistos, em especial os tabuleiros mistos de madeira - concreto para pontes, têm sido frequentemente utilizados no campo da engenharia civil. Para um adequado comportamento desse sistema estrutural faz-se necessária a interação entre ambos os materiais, a qual é garantida por elementos metálicos, denominados conectores de cisalhamento, cuas principais funções são transferir o fluxo de cisalhamento na interface dos materiais e impedir a separação vertical entre a lae de concreto e as vigas de madeira, movimento este conhecido como uplift. A utilização de barras de aço como elementos de conexão entre a madeira e o concreto, neste caso, consiste numa alternativa simples, segura e econômica. As cargas cíclicas, aplicadas pelos veículos em movimento, incidem com valores diferentes ao longo da vida útil da ponte. Essas cargas cíclicas caracterizam-se principalmente por imprimir uma determinada amplitude de tensão. Assim, um veículo que trafega sobre uma ponte gera tensões e Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, uliocm@sc.usp.br Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, calil@sc.usp.br Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. -5, 009

8 Julio Cesar Molina & Carlito Calil Junior deformações na estrutura que são geralmente maiores quando comparadas com os valores causados pelas mesmas cargas aplicadas estaticamente. A análise da estrutura requer então um conhecimento prévio, se não exato ao menos aproximado, das solicitações que agem sobre o tabuleiro, seam elas estáticas ou dinâmicas. Nesse contexto, torna-se fundamental o conhecimento das conseqüências dos efeitos causados por estas solicitações nos materiais que compõem a estrutura. É evidente que existe uma grande dificuldade associada à incertezas na quantificação das variáveis necessárias para a análise do sistema em questão. Por esta razão, a consideração de um comportamento, intrinsecamente dinâmico, em toda a sua complexidade, na área de engenharia de estruturas é um grande desafio para o engenheiro. O ensaio de flexão em vigas consiste no meio mais efetivo de simular, experimentalmente, o efeito do tráfego dos veículos em tabuleiros de pontes, possibilitando a obtenção de valiosas informações sobre a interação dos materiais na flexão. Neste trabalho verificou-se a perda de rigidez do sistema misto de conexão vertical a partir de ensaios experimentais realizados em vigas mistas com seção transversal T e também a partir de um modelo numérico proposto para a referida analise em questão. Na seqüência são apresentadas as principais considerações para realização dos ensaios estáticos e numéricos efetuados no presente trabalho de pesquisa. ENSAIOS EXPERIMENTAIS DE FLEXÃO. Considerações para os ensaios estáticos e dinâmicos Na confecção das vigas mistas utilizou-se a espécie de reflorestamento Eucalipto Citriodora tratada com CCA. Para a colagem das barras de aço nas vigas de madeira foi utilizada a resina bicomponente do tipo epóxi: Sikadur 3. As barras de aço foram coladas na umidade U=30%. Na confecção dos conectores de cisalhamento foram utilizadas oito barras de aço comum (superfícies com mossas), galvanizadas, do tipo CA-50, com 9 mm de diâmetros. Figura Configuração utilizada para as vigas mistas submetidas aos ensaios estáticos e dinâmicos de flexão. Para a condução dos ensaios estáticos até a ruptura foi utilizado um pórtico de reação, com cilindro hidráulico com capacidade de 480kN (48.000kgf), acionado por um atuador de controle manual. Para a condução dos ensaios dinâmicos foi utilizada a máquina universal DARTEC M000/RC, com atuador servo hidráulico de capacidade 00KN (0.000kgf) e sistema de aquisição de dados totalmente informatizado. Para a medida das flechas das vigas foi utilizado um transdutor mecânico de deslocamento (relógio comparador) com sensibilidade de 0,0mm e curso máximo de 50 mm no centro do vão das vigas mistas. Os ensaios estáticos e dinâmicos de flexão foram conduzidos com controle de deslocamento do pistão. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. -5, 009

9 Estudo numérico-experimental da rigidez da conexão vertical em vigas mistas de madeira-concreto 3.. Ensaios estáticos de flexão Um total de três vigas mistas V07, V08 e V09 foram submetidas a ensaios estáticos de flexão para a determinação das suas cargas últimas de ruptura. Os ensaios estáticos de flexão foram realizados, neste caso, em três ciclos de carga (carga P aplicada no meio do vão a uma velocidade aproximada de 0,0 kn/seg.), sendo o primeiro e o segundo ciclo com carga aplicada até 50% da resistência última da viga (determinada a partir de uma viga gêmea). O terceiro ciclo de carregamento foi aplicado progressivamente até a ruptura da viga... Ensaios dinâmicos de flexão Outras três vigas mistas V0, V e V foram submetidas a ensaios dinâmicos de flexão para um total de x0 6 ciclos de carga com freqüência de excitação de 3Hz e com aplicação de ambas as cargas, máximas e mínimas, de compressão. Em cada uma das vigas V0, V e V foi considerado um nível de carregamento cíclico diferente. Portanto, os ensaios dinâmicos de flexão foram conduzidos com carregamento cíclico variando entre 30% e 5% (nomeados por P 30% e P 5% ) da força estática média de cisalhamento prevista para as conexões das vigas sendo com relação de carga R=0,67, neste caso. Posteriormente, os ensaios foram também conduzidos com carregamento cíclico variando entre 40% e 5% (P 40% e P 5% ), sendo R=0,5 e então, entre 50% e 5% (P 50% e P 5% ) com R=0,00. A cada ciclos de carga foram verificadas as flechas das vigas, no meio do vão, na resposta da carga de serviço dos conectores, através de ensaios estáticos de flexão. Os valores de flecha, a cada ciclos, foram verificados para as cargas cíclicas máximas aplicadas em cada viga, ou sea, para P 30%, P 40% e P 50%. P rup Força (kn) P rup Força (kn) P rup Força (kn) P 30% P 40% P 50% P 5% Tempo (seg) (a) Carregamento cíclico - R=0,67 P 5% Tempo (seg) (b) Carregamento cíclico - R=0,5 P 5% Tempo (seg) (c) Carregamento ciclico - R=0,00 Figura Parâmetros considerados para os ensaios dinâmicos de flexão das vigas mistas. A partir dos valores das flechas das vigas mistas, sueitas aos ciclos de carga, foram calculados os valores de rigidez (EI) das vigas, a cada ciclos de carga. A rigidez (EI) das vigas foram verificadas, neste caso, a partir da seguinte relação: 3 Pmax L (EI) = 48 f () onde: P max = valor da carga cíclica máxima no ensaio de flexão, P 30%, P 40% ou P 50% ; L = vão considerado para a viga mista; f = valor obtido para a flecha no ensaio de flexão referente a carga P max. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. -5, 009

10 4 Julio Cesar Molina & Carlito Calil Junior (a) Detalhe da realização do ensaio dinâmico de flexão. (b) Detalhe do ensaio estático de flexão após os ciclos de carga. Figura 3 Detalhes dos ensaios estático e dinâmico de flexão. 3 MODELAGEM NUMÉRICA 3. Elementos finitos utilizados Na discretização das peças de concreto foi utilizado o elemento solid65. A opção por este elemento se deu pelo fato da possibilidade de simulação dos efeitos localizados como, por exemplo, a concentração de tensões unto aos conectores de cisalhamento. Este elemento é capaz de simular o comportamento do concreto com fissuração na tração e esmagamento na compressão, bem como um comportamento com não-linearidade física, o que permite avaliar as deformações plásticas. Além disso, as armaduras podem ser incluídas sob a forma de taxas, denominadas armaduras dispersas, orientadas, neste caso, segundo os ângulos φ e θ, ou ainda, pela utilização de elementos barra na forma discreta, procedimento esse adotado para os modelos numéricos do presente trabalho. Na discretização das peças de madeira e dos conectores de cisalhamento foi utilizado o elemento solid45 que consiste num elemento hexaédrico, com oito nós, tendo cada nó três graus de liberdade (translações segundo os eixos x, y e z). Esse elemento permite a consideração de efeitos importantes como, por exemplo, plasticidade e ortotropia para os materiais. O elemento link8 foi utilizado na discretização das armaduras de aço e consiste num elemento tridimensional de barra, que possui dois nós, cada nó com três graus de liberdade (translações segundo os eixos x, y e z), e responde a esforços de tração e compressão axiais. O eixo x do elemento é orientado segundo o seu comprimento e nenhuma flexão no elemento é considerada. Porém, é possível admitir a ocorrência de deformação plástica para o material. Na interface entre os materiais madeira-concreto, aço-concreto e aço-madeira foram utilizados os elementos de contato conta73 e targe70 a fim de representar os possíveis deslocamentos entre os materiais nessas interfaces. Esses elementos são utilizados em análises tridimensionais, com contato do tipo superfície-superfície, que surge do trabalho em conunto dos elementos targe70 (definido pelo ANSYS como superfície alvo) e conta73 (definido como superfície de contato). Esses elementos são capazes de simular também a existência de pressão entre os elementos, quando há contato, e separação entre os mesmos elementos quando não há contato. O par de contato utilizado permite ainda a consideração do atrito entre as partes. Os valores dos coeficientes de atrito utilizados entre os materiais foram: aço-madeira (0,5) aço-concreto (0,9) e madeira-concreto (0,0). O valor de atrito entre o par de contato madeira-concreto foi admitido em função da utilização de sacos plásticos de polietileno neste interface visando a eliminação do atrito durante a realização dos ensaios experimentais. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. -5, 009

11 Estudo numérico-experimental da rigidez da conexão vertical em vigas mistas de madeira-concreto 5 3. Malha de elementos finitos Para diminuição do tempo de processamento dos modelos, optou-se pela modelagem de ¼ de estrutura, a partir das condições de simetria do modelo. Figura 4 Esquema de simetria, vinculação e carregamentos, com destaque (cor vermelha) das regiões consideradas na composição do modelo de viga mista. Figura 5 Modelo de viga mista com conectores verticais (modelagem de ¼ da estrutura). 5. Os detalhes das malhas de elementos finitos utilizadas no modelo são apresentados na Figura 3.3 Relações constitutivas utilizadas para os materiais O comportamento do concreto na tração foi representado pelo modelo concrete, disponibilizado na biblioteca do ANSYS, que tem como base o modelo de Willan-Warnke, através do qual é possivel a simulação da fissuração do concreto quando submetido a tensões de tração. O modelo constitutivo adotado para o concreto na compressão foi do tipo multilinear com encruamento isótropo que tem como base o critério de von Mises. A curva tensão-deformação utilizada, neste caso, foi obtida a partir de ensaios experimentais, realizados em corpos-de-prova cilíndricos de concreto, com dimensões de 0cmx0cm. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. -5, 009

12 6 Julio Cesar Molina & Carlito Calil Junior s f c,m 0,4.f c,m Comportamento da curva Ec,m ec ec,u Figura 6 Modelo constitutivo adotado para o concreto na compressão. e Na primeira tentativa de modelagem da madeira, admitiu-se para o material um comportamento isotrópico (mesmas propriedades físicas independentemente da direção considerada), com critério de resistência de von Mises, associado ao encruamento isótropo. Porém, os resultados obtidos para a curva Força versus Deslocamento, neste caso, não foram satisfatórios. Optou-se então pela consideração de um comportamento ortotrópico (diferentes propriedades físicas para cada uma das três direções consideradas) para a madeira, com a utilização do critério de resistência de resistência de Hill, associado ao encruamento isótropo. O critério de Hill é uma extensão do critério de von Mises (critério da máxima energia de distorção), para consideração da anisotropia dos materiais, onde a ruptura do material independe das tensões hidrostáticas e considera, neste caso, uma regra de fluxo associada, um endurecimento de trabalho, unto com diferentes tensões de plastificação nas três direções principais do material. Por simplicidade, os comportamentos da madeira na tração e na compressão foram considerados iguais. Além disso, nenhuma distinção foi feita entre as direções radial e tangencial (isotropia transversal) e os valores considerados, neste caso, corresponderam à direção perpendicular às fibras da madeira (direção radial). O modelo constitutivo, adotado para a madeira, simula um comportamento elasto-plástico, através de curvas bilineares, dependendo das direções principais do material. s f u f y ey eu e Figura 7 Modelo constitutivo adotado para a madeira. Para os conectores de cisalhamento foi adotado um modelo bi-linear, com encruamento isótropo, e critério de plastificação de von Misses. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. -5, 009

13 Estudo numérico-experimental da rigidez da conexão vertical em vigas mistas de madeira-concreto s 7 f u f y e y e u e Figura 8 Modelo constitutivo adotado para o aço dos conectores. A relação constitutiva utilizada para o aço da armadura também seguiu o critério de von Misses, sendo representada, neste caso, por meio da curva tensão versus deformação, com base em um modelo elasto-plástico perfeito. A fim de evitar problemas numéricos no trecho da curva que vai de ε y a ε u foi considerada uma pequena inclinação de E/000. s f y ey eu Figura 9 Modelo constitutivo adotado para o aço da armadura. e 3.4 Condições de contorno, vinculação para o modelo numérico Para garantir a estabilidade do modelo durante a aplicação dos carregamentos foram respeitadas as condições de simetria, indicadas pelos planos AA e BB, e também de vinculação dos nós dos apoios, conforme Figura 4. Figura 0 Condição de simetria. Detalhe A e vinculação no apoio, Detalhe B para o modelo de viga mista com conectores verticais. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. -5, 009

14 8 Julio Cesar Molina & Carlito Calil Junior O modelo analisado foi vinculado e carregado em concordância com os ensaios experimentais. Vale lembrar que os nós dos elementos utilizados no modelo apresentam apenas três graus de liberdade que são referentes às translações em x, y e z (coordenadas locais). 3.5 Considerações sobre a aplicação dos carregamentos A simulação numérica foi dividida em duas etapas. Na primeira efetuou-se a calibração do modelo numérico a partir do carregamento estático aplicado para valores últimos de ruptura experimentais. A validação do modelo foi efetuada, neste caso, a partir do deslocamento vertical (flecha), obtido experimentalmente no meio do vão em função da carga aplicada. Numa segunda etapa, o modelo numérico foi submetido a carregamentos cíclicos, variando entre 40% e 5% dos valores das resistências estáticas das ligações, para um total de 0 ciclos. O número total de ciclos aplicados na análise numérica, neste caso, foi definido em função das limitações de memória computacional, além da grande demanda de tempo para o processamento do mesmo. A aplicação de um elevado número de ciclos de carga, neste caso, inviabilizaria a análise. Na verificação da rigidez do modelo, os valores das flechas foram verificados em concordância com os ensaios experimentais para um total de 0 ciclos de carga aplicados. A intensidade de força aplicada foi definida por meio da divisão da força de ruptura estimada na análise experimental (considerando ¼ de estrutura) pelo número de nós presentes na região relativa a aplicação da força. Figura Ponto de verificação dos valores de flecha após a aplicação dos ciclos de carga. 3.6 Aspectos da análise não linear Os carregamentos nos modelos analisados foram aplicados de forma incremental, devido à consideração da não linearidade física. O incremento de carga foi controlado utilizando-se o recurso do ANSYS denominado Automatic Time Stepping. De acordo com a documentação do ANSYS, o recurso citado reduz o valor do incremento quando a previsão do número de iterações ultrapassa o limite estabelecido, caso se obtenha incrementos de deformações plásticas maiores que 5%, ou ainda, deslocamentos excessivos. O valor do incremento pode também ser aumentado, caso o processo venha a convergir de forma sistemática na primeira iteração. O controle dos passos de carga foi efetuado a partir da opção Time increment, onde foram admitidos os seguintes valores: Time Step Size =,0; Minimum Time Step = 0, e Maximum Step Size =,0. Utilizou-se como parâmetro de convergência uma tolerância igual a 0,00. Os valores admitidos para as cargas cíclicas máximas, neste caso, foram os seguintes: P 30% =44,54kN para a viga V0, P 40% =59,39kN para a viga V, e P 50% =74,4kN para a viga V. O carga cíclica mínima admitida para os três níveis máximos de carga foi igual a P 5% =7,4 kn. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. -5, 009

15 Estudo numérico-experimental da rigidez da conexão vertical em vigas mistas de madeira-concreto 9 Após a aplicação de x0 6 ciclos de carga, as vigas mistas V0, V e V foram carregadas até a ruptura a uma velocidade de 0,30kN/seg. 4 RESULTADOS 4. Ensaios experimentais Tabela Propriedades físicas dos materiais das vigas com conectores verticais Concreto Madeira Vigas Tipo de ensaio ) f c,m (MPa) ) E c,m (MPa) f c0,m (MPa) 3) E fl,m (MPa) 4) E c,m U (%) ρ (kg/m 3 ) 07 Estático 9, ,46 6,7 8886,7 9997,6 9, Estático 9, ,46 45, ,3 984, 30, Estático 9, ,46 5,07 659,8 9993,3 9, Dinâmico 8,78 667,4 49,99 540,3 976,3 9, 90 Dinâmico 30,46 843,5 5, ,8 993,7 9,7 970 Dinâmico 9, ,4 55,54 760,3 9876,4 30, 040 ) Resistência média do concreto, referente à lae no dia do ensaio; ) Módulo de elasticidade médio, referente à lae no dia do ensaio; 3) Módulo de elasticidade médio do Eucalipto Citriodora na flexão; 4) Módulo de elasticidade médio do Eucalipto Citriodora na compressão paralela as fibras. As vigas mistas V07, V08 e V09, após levadas a ruptura, através de ensaios estáticos de flexão, apresentaram basicamente dois modos de falha, conforme apresentados na figuras seguintes. (a) Ruptura ultima por cisalhamento na LN. (b) Fissuração do concreto na mesa da viga. Figura Modos de ruptura observados nos ensaios estáticos de flexão até a ruptura. Essas vigas foram dimensionadas para que a falha ocorresse primeiramente na conexão e, no estado limite último, por cisalhamento na LN. A força média limite de cisalhamento na conexão das vigas, neste caso, correspondeu a aproximadamente 77,3% do valor médio da força última de ruptura das referidas vigas, ou sea, 48,47kN. Este valor foi utilizado na determinação dos níveis máximos (P 30%, P 40% e P 50% ) e mínimos (P 5% ) de carga cíclica aplicadas nos ensaios dinâmicos de flexão das vigas V0, V e V. As vigas mistas V0, V e V, após os ensaios dinâmicos de flexão, apresentaram modos de falha conforme apresentados na figuras seguintes. Os valores de ruptura última obtidos para todas as vigas mistas analisadas estão apresentados na tabela. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. -5, 009

16 0 Julio Cesar Molina & Carlito Calil Junior (a) Fissuração na mesa de concreto verificada após x0 6 ciclos para a carga P 50%. (b) Ruptura última por cisalhamento na LN, após x0 6 ciclos e condução até a ruptura. Figura 3 Situação da viga mista V (submetida ao carregamento cíclico P50% ) após a aplicação de x0 6 ciclos de carga a partir de ensaios de flexão. Tabela Resistências últimas das vigas após os ensaios estáticos e dinâmicos de flexão Vigas Número de ciclos Resistência última (kn) V ,05 V08 0 9,4 V ,83 V0 x06 00,6 V x06 99,4 V x06 89,43 Na tabela seguinte estão apresentados os valores de flecha obtidos para as vigas mistas durante a manutenção dos ciclos de carga. Tabela 3 Flechas das vigas com a manutenção do número de ciclos Flecha (mm) Numero de ciclos V0 (P 30% =44,54kN) V (P 40% =59,39kN) V (P 50% =74,4kN),77,4 3, ,00,65 3, ,,79 3, ,8,9 3, , 3,0 3, ,6 3,08 3,93 A partir dos resultados das flechas das vigas foram obtidos os valores de rigidez EI conforme apresentados na tabela 4 a seguir. Tabela 4 Valores de (EI) para vigas a partir do número de ciclos EI (kn.cm ) Número de ciclos V0 (P 30% =44,54kN) V (F 40% =59,39kN) V (F 50% =74,4kN) 57700, , , , , , , , , , , , , , , , , ,9 Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. -5, 009

17 Estudo numérico-experimental da rigidez da conexão vertical em vigas mistas de madeira-concreto As curvas apresentadas mostram a degradação da rigidez (EI) para as vigas V0, V e V, a partir dos resultados experimentais apresentados na Tabela EI (kn.cm ) V0 V V Número de ciclos (N) Figura 4 Perda de rigidez (EI) das vigas V0, V e V com conectores verticais. As vigas V0, V e V, sueitas aos ciclos de carga, tiveram seus valores de rigidez (EI) reduzidos ao longo do número de ciclos de carga. Em um total de x0 6 ciclos aplicados o valor de rigidez (EI) para a viga V0 passou de 5x0 5 kn. cm para 90x0 5 kn.cm, representando uma perda de,68%. Na viga V, o valor de rigidez (EI) passou de x0 5 kn.cm para 88x0 5 kn.cm, representando uma perda de,43% e, na viga V, o valor de rigidez (EI) passou de x0 5 kn.cm para 86x0 5 kn.cm sendo a perda, neste caso, de,65%. 4. Modelagem numérica A curva experimental para calibração do modelo numérico foi plotada até o último ponto de leitura efetuado antes da retirada dos transdutores de deslocamentos, valores estes correspondentes a aproximadamente 70% dos valores de ruptura finais. As curvas numéricas foram plotadas até o ponto máximo onde foi possivel a obtenção de convergência dos resultados em correspondência a uma tolerância de 0,000. Vale ressaltar ainda, que não foi possível a obtenção do comportamento da curva numérica Força versus Flecha para valores próximos aos valores de ruptura. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. -5, 009

18 Julio Cesar Molina & Carlito Calil Junior Figura 5 Calibração do modelo numérico a partir da curva experimental obtida a partir de ensaios estáticos. Os valores de flecha obtidos numericamente no meio do vão, para o primeiro e para o décimo ciclo de carga foram de 0,45mm e 0,5mm, respectivamente. Os valores experimentais obtidos, neste caso, foram 0,4mm e 0,53mm. Os valores de flechas foram obtidos para um total de oito conectores verticais. Tabela 5 Resultados numéricos e experimentais de rigidez EI, (P 40% =59,39kN) Ciclos de carga Rigidez/conector (kn/cm ) (Experimental) Rigidez/conector (kn/cm ) (Numérico) o 3767, ,64 0 o , ,7 As figuras apresentadas na seqüência ilustram as distribuições das tensões para o modelo numérico analisado após o processamento do mesmo no ANSYS. Figura 6 Estado de tensão (kn/cm) verificado numericamente após a aplicação de 0 ciclos de carga (consideração de ¼ da viga). Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. -5, 009

19 Estudo numérico-experimental da rigidez da conexão vertical em vigas mistas de madeira-concreto 3 Os valores de tensão foram apresentados para cada um dos diferentes materiais envolvidos nas conexões mistas analisadas, a partir de uma escala gradativa fornecida pelo ANSYS referente a cada dos materiais. Esses valores também são visualizados nas figuras apresentadas a partir de diferentes cores que representam os níveis de tensão para cada um dos materiais envolvidos no sistema misto. 5 DISCUSSÃO DOS RESULTADOS As vigas mistas V0, V e V, sueitas a carregamentos repetidos, apresentaram deformações permanentes para um total de x0 6 ciclos aplicados. Essas deformações podem ser atribuídas aos danos causados na madeira e também no concreto, nas regiões dos conectores, pela ação das cargas cíclicas aplicadas nas vigas durante os ensaios de flexão. Para a carga cíclica máxima P 50%, ao final de x0 6 ciclos aplicados, observou-se a abertura de fissuras na mesa de concreto nas regiões próximas aos conectores; O modelo numérico proposto considerou as deformações residuais sob ações cíclicas e, dessa forma, foi possível estimar a perda de rigidez do sistema misto de conexão vertical para um total de 0 ciclos de carga aplicados. O erro obtido entre os resultados numéricos e experimentais, neste caso, foi de aproximadamente %. A partir do modelo proposto não foi possível prever o comportamento das curvas Força versus Deslocamento para valores últimos de ruptura, pois os elementos finitos utilizados nos referidos modelos consideram somente efeitos de elasticidade e plasticidade dos materiais. As simulações numéricas possibilitaram também a análise do comportamento do sistema misto analisado, não somente sobre o aspecto global, a partir da relação Força versus Deslocamento, mas também com relação aos aspectos localizados, como a verificação das tensões nas regiões dos conectores e demais componentes do modelo. 6 CONCLUSÕES As vigas mistas V0, V e V, submetidas aos carregamentos cíclicos, perderam rigidez (EI) com a manutenção dos ciclos de carga sem, no entanto, ocorrência de ruptura no sistema de ligação; Os conectores verticais, dispostos na interface das vigas mistas, submetidos aos carregamentos cíclicos, trabalharam em conunto na transmissão dos esforços de cisalhamento na interface dos materiais. Os conectores dispostos verticalmente nas vigas mistas provocaram concentrações de tensões nas regiões dos conectores, prováveis locais onde foram constatadas as aberturas de fissuras da mesa de concreto. A maior parcela da perda de rigidez (EI) das vigas foi verificada para os ciclos iniciais de carga, tendendo a se estabilizar para em x0 6 ciclos; As perdas de rigidez (EI), das vigas com conectores verticais submetidas aos ciclos de carga, foram de,68% para a V0, de,43% para a V e de,65% para a V. A perda média de rigidez (EI) das vigas mistas de seção T, com dimensões da alma 8,5cmx0cm e da mesa 5,0cmx8,0cm, com,30m de comprimento, com oito conectores verticais, colados com a resina epóxi Sikadur 3, na umidade (U=30%), submetidas a cargas cíclicas máximas com até 50% do valor da resistência estática ao cisalhamento da ligação, foi em média,9%, para um total de x0 6 ciclos aplicados. O valor médio da resistência última, obtido para as vigas V07, V08 e V09, não submetidas aos ciclos de carga, foi de 9,04 kn. Para as vigas V0, V e V, submetidas aos ciclos de carga, o valor médio da carga última de ruptura foi de 96,49kN. Portanto, as vigas mistas V0, V e V, Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. -5, 009

20 4 Julio Cesar Molina & Carlito Calil Junior submetidas a um total de x0 6 ciclos de carga, não perderam suas capacidades últimas de resistência. O modelo numérico proposto foi capaz de simular o comportamento mecânico do sistema misto de conexão vertical não somente na fase elástica linear, mas também no inicio da fase não linear, quando se inicia o processo de plastificação dos materiais. Após a aplicação dos ciclos carga no modelo, observou-se que as tensões equivalentes nos materiais madeira e concreto, nas regiões dos conectores, ultrapassaram as resistências médias à compressão, f co,m e f c,m, admitidas para os respectivos materiais. Em decorrência desse fato surgiram nestas regiões deformações permanentes que provocaram a perda de rigidez dos sistemas mistos de conexão com relação ao primeiro ciclo de carregamento aplicado. As tensões nas peças de concreto, assim como nas peças de madeira, apresentaram-se elevadas nas regiões das conexões, sendo estas tensões de quatro a cinco vezes maiores quando comparadas com as tensões nas regiões de apoio dos modelos. 7 AGRADECIMENTOS Agradecemos à FAPESP pelo apoio financeiro, sem o qual esta pesquisa não poderia ter sido realizada. 8 REFERÊNCIAS ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 790: Proeto de estruturas de madeira. Rio de Janeiro, 997. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 5739: Concreto Ensaio de compressão de corpos-prova cilíndricos. Rio de Janeiro, 994. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 85: Concreto Determinação dos módulos estáticos de elasticidade e de deformação e da curva tensão - deformação. Rio de Janeiro, 003. HELLMEISTER, J. C. Pontes de eucalipto citriodora p. Tese (Livre-docência) Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 978. MAGALHÃES, L. N., CHAHUD, E. Análise experimental de vigas T composta por madeira/concreto. In: ENCONTRO BRASILEIRO EM MADEIRAS E EM ESTRUTURAS DE MADEIRA, 6., Florianópolis, ul., 998. Anais... Florianópolis, SC: Universidade Federal de Santa Catarina. p MOLINA, J. C. Análise do comportamento dinâmico da ligação formada por barras de aço coladas para tabuleiros mistos de madeira e concreto para pontes Tese (Doutorado em Engenharia de Estruturas) Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, 008. NATTERER, J. et al. Composite wood-concrete floors for multi-story buildings. In: INTERNATIONAL WOOD ENGINEERING CONFERENCE, New Orleans, USA, 996. Proceedings New Orleans: Lousiana State University. p Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. -5, 009

21 Estudo numérico-experimental da rigidez da conexão vertical em vigas mistas de madeira-concreto 5 WEAVER, C. A. Behavior of FRP-reinforced glulam-concrete composite bridge girders. 00. Thesis (MS) Dept. of Civil and Environmental Engineering, Univ. of Maine, Orono, Me. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. -5, 009

22 6

23 ISSN MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO APLICADO À ANÁLISE DE SÓLIDOS MULTI-FRATURADOS Edson Denner Leonel & Wilson Sergio Venturini Resumo Este trabalho trata da análise de corpos com múltiplas fissuras utilizando o método dos elementos de contorno. Esse método numérico é conhecido por ser robusto e preciso nesse tipo de problema e também por requerer pequeno esforço computacional na criação da malha de elementos durante o crescimento das fissuras. Duas metodologias para a análise do comportamento estrutural das fissuras são consideradas. A primeira é a á consagrada metodologia dual por meio da qual duas equações integrais distintas são utilizadas na discretização das faces da fissura. Na segunda metodologia a fissura é considerada como uma descontinuidade no domínio sendo as suas faces separadas por uma pequena distância. Nesse último modelo emprega-se somente a equação integral escrita em termos de deslocamentos. O processo de crescimento das fissuras é efetuado considerando-se um procedimento adaptativo obetivando a correta determinação da direção de crescimento das fissuras. Os fatores de intensidade de tensão são calculados por meio da técnica de correlação de deslocamentos enquanto a direção de propagação das fissuras é determinada via teoria da máxima tensão circunferencial. Foram analisadas estruturas com os resultados sendo comparados aos previstos analiticamente e também numericamente. As respostas obtidas foram satisfatórias validando assim a metodologia proposta nesse trabalho. Palavras-chave: Método dos Elementos de Contorno. Mecânica da fratura. Propagação de fissuras. BOUNDARY ELEMENT METHOD APPLIED TO ANALYSIS OF MULTI- FRACTURED BODIES Abstract This work deals with analysis of multi-fractured bodies using boundary element method. This numerical method is recognized as a robust and accurate tool for numerical analysis of problems involving crack propagation, requiring reduced computational efforts when generation of new elements are necessary to capture crack growth. Two methodologies to analyze the structural behavior of cracks are considered. The first one is the dual formulation of boundary elements where it adopts two types of integral equations in the discretization of crack lips. In the second methodology the cracks are considered as a discontinuity in the domain being your lips separate by a small distance. In this last model the integral equation written in terms of displacements is employed. The crack growth process is made using an adaptive procedure which deals with the correct determination of crack growth direction. The stress intensity factors are calculated using the displacement correlation technique while the crack growth direction is determined with the maximum circumferential stress theory. Examples of multi-fractured bodies that are loaded to the rupture are shown to illustrate the applicability of the proposed scheme. Keywords: Boundary Element Method. Fracture mechanics. Crack propagation. Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, edleonel@sc.usp.br Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, venturin@sc.usp.br Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 7-35, 009

24 8 Edson Denner Leonel & Wilson Sergio Venturini INTRODUÇÃO O A análise do comportamento de corpos contendo fissuras é um problema de grande importância em engenharia estrutural. A coalescência das fissuras, decorrente da ação do carregamento, gera concentração da danificação e assim a estrutura pode entrar em colapso com carregamentos muito inferiores a aqueles previstos em proeto. Para tratar esses tipos de problemas o método dos elementos de contorno tem-se mostrado uma ferramenta robusta e muito precisa. Além de fornecer bons resultados, nesse método numérico os esforços na redefinição da malha, durante o processo de propagação das fissuras, são pequenos o que o torna um método eficiente para a análise de problemas de fratura. Cruse (97) foi o primeiro a utilizar o método das equações integrais no estudo de fissuras. Depois desse trabalho o estudo do método apresentou substanciais melhoramentos tornando-se muito eficiente para modelos lineares e também não-lineares. Muitas formulações foram propostas e testadas sendo várias delas apontadas como de grande potencialidade na determinação dos fatores de intensidade de tensão e em modelos de propagação. Dentre os trabalhos que empregam esses tipos de formulação alguns podem ser destacados como Cen & Maier (99), Bladford et al (98), Cruse (988) e Portela et al (99), que utilizam a formulação singular, sub-regiões, funções de Green e metodologia Dual respectivamente. Pode-se destacar também uma interessante alternativa proposta em Venturini (994) o qual emprega campo de tensões iniciais. Neste artigo serão utilizadas as formulações singular e dual do método dos elementos de contorno para a análise de corpos, cuo material obedeça às condições previstas pela teoria da mecânica da fratura elástico-linear, com o obetivo de estudar o crescimento de fissuras em domínios multi-fraturados. O tamanho e a direção do incremento no comprimento das fissuras são efetuados por meio de um procedimento que minimiza o erro relacionado à determinação dessas duas grandezas. Além disso, um processo de otimização de malha é utilizado para a redução do número de equações presente na análise. Foram analisadas, neste trabalho, estruturas bidimensionais sueitas à presença de múltiplas fissuras. Serão apresentados os resultados da análise da propagação das fissuras obetivando-se determinar a linha de ruína formada pela coalescência das fissuras. METODOLOGIA Serão apresentados nesse item alguns tópicos importantes sobre mecânica da fratura e método dos elementos de contorno utilizados neste trabalho.. Técnica de correlação de deslocamentos A determinação dos fatores de intensidade de tensão, por meio da técnica de correlação de deslocamentos, é efetuada mediante o correlacionamento dos deslocamentos determinados numericamente, nos pontos nodais dos elementos localizados na extremidade da fissura, com soluções analíticas. Por meio das funções de tensão de Westergaard (939) é possível obter as equações que descrevem o campo de deslocamentos na região próxima a extremidade da fissura as quais são apresentadas nas Eq. () e Eq. (). K u = μ K v = μ K μ I r θ θ II r θ θ cos ( κ ) + sin + sin ( κ + ) + cos () π K μ π I r θ θ II r θ θ sin ( κ + ) cos + cos ( κ ) + sin () π π Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 7-35, 009

25 Método dos Elementos de Contorno aplicado à análise de sólidos multi-fraturados 9 em que: E μ módulo de elasticidade ao cisalhamento. Pode ser definido como: μ = ( + υ) κ igual a 3 4 υ se Estado Plano de Deformação e 3 4 υ Estado Plano de Tensão. + υ θ ângulo de inclinação do ponto considerado em relação a extremidade da fissura. r distância do ponto considerado a extremidade da fissura. u deslocamento paralelo as faces da fissura. v deslocamento normal as faces da fissura. υ coeficiente de Poison. A determinação das expressões para a avaliação dos fatores de intensidade de tensão é efetuada avaliando-se as Eq. () e Eq. () para ângulos iguais a π e π, ou sea, nas faces da fissura conforme apresenta a Figura. π Faces da Fissura π Figura Avaliação equações de deslocamentos nas faces da fissura. Em seguida as expressões obtidas para os ângulos á citados devem ser subtraídas de forma a se obter equações que seam função da diferença de deslocamentos entre as faces da fissura. Efetuando essa operação são obtidas as Eq. (3) e Eq. (4) as quais referenciam os fatores de intensidade de tensão aos deslocamentos relativos das faces da fissura. π μ K r ( ) COD I = κ + (3) π μ K r ( ) CSD II = (4) κ + sendo: COD Crack Opening Displacement diferença entre os deslocamentos perpendiculares ao plano da fissura. CSD Crack Sliding Displacement diferença entre os deslocamentos paralelos ao plano da fissura. No código computacional desenvolvido os fatores de intensidade de tensão são calculados considerando os deslocamentos dos dois pares de nós mais próximos à ponta da fissura.. Critério da máxima tensão circunferencial O critério da máxima tensão circunferencial foi proposto por Erdogan e Sih (963) e define que a fissura irá crescer perpendicularmente à direção de atuação da máxima tensão circunferencial Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 7-35, 009

26 0 Edson Denner Leonel & Wilson Sergio Venturini atuante na extremidade da fissura. Assim a formulação para a determinação do ângulo de propagação é baseada nas expressões que relacionam o estado de tensão na extremidade da fissura aos fatores de intensidade de tensão. Empregando as funções de tensão de Westergaard (939) o estado de tensão na extremidade da fissura é dada pelas seguintes relações: σ θθ θ θ 3 = cos KI cos KII sen( θ ) π r (5) θ σ cos ( ) ( 3 cos( ) ) r θ = K sen θ + K θ π r I II θ θ 3 θ σ = cos K sen K sen( θ) K tan rr π r I + + II II sendo: σ θθ Tensão Circunferencial. (6) (7) σ rr Tensão Radial. τ r θ Tensão Cisalhante. K I fator de intensidade de tensão para o modo I de fraturamento. K II fator de intensidade de tensão para o modo II de fraturamento. Para a determinação do ângulo de propagação a tensão circunferencial, σ θθ, deve ser máxima e conseqüentemente uma tensão principal. De acordo com os conceitos da Mecânica dos Sólidos para que essa situação ocorra a tensão de cisalhamento deve ser nula. Assim para determinar a direção de propagação da fissura, θ, deve-se fazerσ = 0. ( ) ( θ ) ( θ ) K sen + K 3cos = 0 I p II p p rθ (8) Empregando relações trigonométricas é possível reescrever a relação acima como: θ p tan = 4 K K I II ± K K I II + 8 (9) Através da resolução da Eq. (9) são obtidos dois ângulos sendo que o ângulo a ser considerado como o de propagação é aquele que maximiza o valor da tensão circunferencial, Eq. (5). Essa teoria também prevê a determinação do fator de intensidade de tensão equivalente calculado numericamente. Na literatura, Mi (996), essa grandeza é obtida pela seguinte expressão: θ 3 p θ p θ p K = cos 3 cos sin Eq K I K II (0) A denominação de fator de intensidade de tensão equivalente é atribuída por ser essa variável uma combinação dos fatores de intensidade de tensão para os modos I e II. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 7-35, 009

27 Método dos Elementos de Contorno aplicado à análise de sólidos multi-fraturados.3 Equações do Método dos Elementos de Contorno Tomando um domínio bidimensional homogêneo, Ω, limitado externamente por um contorno, Γ, o equilíbrio escrito em termos de deslocamentos pode ser expresso segundo a Eq. () bi u + i, u, i 0 υ + μ = () onde: u componentes de deslocamento. Empregando o teorema de Betti é possível a obtenção da representação integral dos deslocamentos, desconsiderando a ação de forças de corpo, a qual pode ser visualizada na Eq. (). sendo: () c f c u f + P f c u c dγ= P c u f c dγ * * il (, ) l ( ) il (, ) l ( ) l ( ) il (, ) Γ Γ integral de valor principal de Cauchy. δ il Nessa equação o termo c il é igual a para contornos do tipo suave. Já os termos contendo * representam as soluções fundamentais do problema elástico as quais são apresentadas nas Eq. (3) e Eq. (4). ( f, c) (3 4 υ) ln δ lk + r, l r 8 π μ ( υ) r * = u lk, k P [ r [ ( υ) δ + r r ] + ( υ) ( η r r )] f, c) =, n lk, l, k l, k ηk 4 π ( υ) r * lk (, l A Eq. () pode ser diferenciada com o obetivo de obter a representação integral de contorno em termos de força de superfície. Efetuando esse procedimento obtém-se: em que: P ( f ) + η S ( f, c) u ( c) dγ = η D ( f, c) P ( c dγ (5) k ki k k ki k ) Γ Γ (3) (4) integral de valor principal de Hadamard. D ki {( υ) ( r δ + r δ r ) + r r r } ( f, c) =, k i, ki, i k, i, 4 π ( υ) r δ ki (, ) = E {, n ( υ), k δi + υ (, δik +, i δ k ) 4, i,, k S f c r r r r r r r 4 π ( υ ) r + υ ( η r r + η r r ) (7) + ( υ) ( η, i,, k,, i, k, k r, i r, + η, δik + η, i δ k ) ( 4 υ), k, k η δ i } (6) A Eq. (5) requer a continuidade dos deslocamentos e também de suas derivadas. Assim nos contornos onde essa equação é aplicada somente elementos de contorno do tipo descontínuos devem ser utilizados. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 7-35, 009

28 Edson Denner Leonel & Wilson Sergio Venturini Escrevendo as Eq. () e Eq. (5) convenientemente para todos os pontos de colocação do modelo tem-se um sistema resultante da ordem de duas vezes o número de nós da malha e que pode ser representado genericamente como: [ ]{} u [ G]{ P} H = (8) A resolução do sistema matricial apresentado na Eq.(8) é possível aplicando-se as condições de contorno do problema. Para introduzi-las no sistema as matrizes [ H ] e[ G] devem ser manipuladas de tal forma que todas as variáveis conhecidas esteam no primeiro membro da equação enquanto as incógnitas são reunidas no segundo membro. Esse procedimento é feito mediante troca de colunas entre as duas matrizes citadas obtendo-se o seguinte sistema: sendo: e B [ ]{ Inc} [ B]{ VP} A = (9) [ A] [ ] formas modificadas das matrizes [ ] e[ G] { Inc } { VP } vetor das incógnitas. vetor das variáveis prescritas. H respectivamente..4 Estratégias de modelagem e discretização No processo de discretização a malha de elementos de contorno é definida para aproximar tanto a geometria do contorno quanto as variáveis envolvidas no problema. Além dos elementos e nós o processo de discretização gera também pontos fontes ao longo do contorno, os quais são usualmente relacionados ao posicionamento dos nós, e que são de grande importância para o emprego e definição das equações integrais. Para a realização da discretização torna-se necessária a definição de uma estratégia a qual está intrinsecamente ligada às exigências da análise como, por exemplo, das condições de existência das equações integrais. O atendimento dessas exigências conduz a uma correta utilização da formulação possibilitando assim análises consistentes do problema. No método dos elementos de contorno Dual algumas condições devem ser observadas para a definição de uma estratégia de discretização dentre as quais podem ser citadas: Discretização simétrica das faces da fissura para obtenção dos valores principais de Cauchy e Hadamard. Para a existência das equações integrais de deslocamento e força de superfície a continuidade de deslocamento e força de superfície deve ser observada. As continuidades necessárias na formulação são: 0,α u( f ) C para valor principal de Cauchy.,α u( f ) C e 0,α T ( f ) C para valor principal de Hadamard. Devido principalmente as condições de continuidade exigidas pelos deslocamentos e forças de superfície para a existência de suas respectivas equações integrais considerações especiais devem ser efetuadas a respeito do tipo de elemento a ser utilizado na discretização das faces da fissura o qual deve ser descontínuo. Já em termos do emprego das equações integrais via método dos elementos de contorno Dual a estratégia de utilização das mesmas podem ser enunciadas: Para cada fissura a equação integral de deslocamentos é aplicada aos pontos fontes pertencentes a uma face da fissura. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 7-35, 009

29 Método dos Elementos de Contorno aplicado à análise de sólidos multi-fraturados 3 Para os pontos fontes pertencentes a face oposta é aplicada a equação integral de força de superfície. Para as partes do contorno não pertencentes às fissuras a equação integral em deslocamentos é aplicada. Por meio dessas considerações sobre a modelagem a formulação do método dos elementos de contorno Dual torna-se uma ferramenta robusta para a análise de fissuras que esteam totalmente imersas no domínio do problema quanto aquelas que interceptam o contorno do problema (trincas de aresta). A Figura apresenta o emprego das equações integrais via metodologia dual. ED ED EFS ED EFS ED ED ED ED ED EFS Localização do Nó Localização do Ponto de Colocação Equação em Deslocamento Equação em Força de Superfície Figura Estratégia de discretização para o Método dos Elementos de Contorno Dual. Via formulação singular a estratégia de modelagem e discretização é consideravelmente mais simples se comparada a formulação dual. A discretização de todo o contorno do problema, através da formulação singular, é efetuada empregando somente a equação integral escrita em termos de deslocamentos. Nessa discretização podem ser utilizados tanto elementos contínuos quanto descontínuos, á que por essa formulação somente a continuidade dos deslocamentos é exigida. Os elementos das faces da fissura não precisam ser necessariamente simétricos. No entanto a simetria da malha é considerada para a correta determinação do fator de intensidade de tensão pela técnica de correlação dos deslocamentos. A única exigência dessa formulação é a presença de um espaço entre as faces da fissura de forma a não tornar o sistema final de equações singular. Assim a fissura é representada geometricamente como uma descontinuidade no domínio. 3 DESENVOLVIMENTO Serão discutidos nesse item os modelos construídos para a realização do crescimento das fissuras e também da otimização da malha. 3. Modelo para o crescimento das fissuras O programa computacional desenvolvido neste trabalho tem como obetivo a análise de corpos sueitos a presença de múltiplas fissuras em seu domínio. Assim torna-se necessária a correta avaliação do comportamento das fissuras bem como do seu processo de crescimento. Para a correta definição do comprimento e do ângulo na propagação das fissuras é efetuado um procedimento com o obetivo de minimizar os erros provenientes desse processo. Inicialmente o crescimento das múltiplas fissuras é efetuado admitindo-se proporcionalidade com o fator de intensidade de tensão equivalente presente em cada uma. Dessa forma admite-se que o crescimento Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 7-35, 009

30 i+ 4 Edson Denner Leonel & Wilson Sergio Venturini de cada fissura é linearmente proporcional ao fator de intensidade de tensão equivalente atuante em cada uma das diversas fissuras. A fissura que apresentar o fator de intensidade de tensão equivalente mais elevado terá seu comprimento acrescido por um valor pré-definido na análise enquanto as demais fissuras apresentarão comprimento de propagação linearmente proporcional ao comprimento de propagação pré-definido na análise de acordo com o fator de intensidade de tensão equivalente atuante. Definidos os comprimentos iniciais de propagação deve-se então determinar o ângulo de propagação. Para a correta definição dessa grandeza propõe-se aqui uma metodologia a qual pode ser executada em duas etapas. Na primeira o comprimento de propagação da fissura é igual ao determinado inicialmente sendo proporcional ao fator de intensidade de tensão equivalente atuante. Após a criação dos nós e elementos da fissura é calculada a direção da propagação do próximo incremento do comprimento. Na segunda etapa o procedimento é repetido, no entanto o comprimento no incremento da fissura considerado é igual a metade do incremento inicial da fissura. Compara-se o ângulo de propagação obtido na primeira etapa com o ângulo de propagação fornecido na segundo etapa. Se a diferença entre eles encontrar-se dentro de uma tolerância pré-estabelecida na análise o incremento no comprimento empregado na primeira etapa é criado e o fator de intensidade de tensão equivalente é novamente calculado. Caso contrário o processo é repetido, efetuando-se uma nova iteração, considerando como comprimento de propagação da primeira etapa o comprimento do tramo de propagação da segunda etapa da iteração anterior. Essa metodologia pode ser entendida mais facilmente com o auxilio das Figuras 3 e Figura 4. i θ L i L / i i θ Erro = θ θ i i Faces da Fissura Faces da Fissura Figura 3 Procedimentos para cálculo da º iteração para cálculo do ângulo de propagação. i+ L. θ i+ i+ L / θ L = i+ Erro = θ L i i+ θ i+ Faces da Fissura Faces da Fissura Figura 4 Procedimentos para cálculo da º iteração para cálculo do ângulo de propagação. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 7-35, 009

31 Método dos Elementos de Contorno aplicado à análise de sólidos multi-fraturados 5 3. Modelo para a otimização da malha Foi desenvolvido também um algoritmo com o obetivo de otimizar a malha de elementos de contorno existente na discretização. Esse algoritmo reduz o número de elementos presentes nas partes da fissura á distantes de sua extremidade. Dessa forma a discretização é mais refinada na região próxima a extremidade da fissura, ou sea, onde grandes concentrações de tensões e deformações estão presentes. Esse modelo pode ser entendido com o auxílio da Figura 5. Primeiramente a fissura inicial presente no domínio do problema é discretizada utilizando elementos com comprimento máximo igual ao pré-especificado na análise. Durante o processo de propagação da fissura a determinação do comprimento de crescimento da fissura bem como do seu ângulo de inclinação são determinados segundo os procedimentos descritos na seção anterior. Durante esse processo a discretização do trecho que será acrescido à fissura também é efetuada observando-se o comprimento máximo de elemento pré-especificado na análise. Após determinado o comprimento e ângulo de propagação a discretização do trecho anterior é eliminada sendo esse trecho representado somente por dois elementos de contorno cada um discretizando uma face da fissura. Esse processo é repetido sendo otimizada a discretização dos trechos distantes da extremidade da fissura. Por fim apenas os dois trechos mais próximos à ponta da fissura, o último convergido e o trecho em que é efetuado o processo descrito na seção anterior, apresentam discretização conforme especificado pelo usuário. A grande vantagem desse procedimento é a utilização da discretização refinada somente onde necessário. Neste trabalho todos os exemplos empregam esse procedimento de otimização de malha. Testes preliminares mostraram que os resultados obtidos com o processo de otimização são iguais aos verificados sem a otimização da malha. Assim esse procedimento reduz o tempo de processamento levando a resultados também confiáveis. Verificação Comprimento e ângulo Verificação Comprimento e ângulo Discretização º tramo Discretização Fissura Inicial Nova discretização Fissura Inicial Figura 5 Procedimentos para otimização de malha. 4 RESULTADOS OBTIDOS Serão apresentadas nesse item algumas aplicações do modelo desenvolvido nesse trabalho. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 7-35, 009

32 6 Edson Denner Leonel & Wilson Sergio Venturini 4. Chapa com fissura central Nesse exemplo será apresentada a análise da propagação da fissura presente na estrutura mostrada na Figura 6. Trata-se de uma chapa quadrada com o comprimento do lado igual a dois metros contendo uma fissura simetricamente posicionada em seu centro. A estrutura é engastada em sua base sendo em seu topo prescrito um deslocamento igual a 5 mm. 6 O módulo de elasticidade do material foi admitido igual a E = 0 0 kn m e o coeficiente de Poisson υ = 0,30. O valor do fator de intensidade de tensão resistente da estrutura foi adotado igual a kn/m 3/. Esse valor corresponde a liga metálica INCONEL 600 cuas características foram determinadas por Godefroid et. al. (004). Δ y 5,0 mm,00 0,0,00 Figura 6 Estrutura e carregamentos para o exemplo. Dimensões em m. Foram utilizados 60 elementos na discretização do contorno externo da geometria sendo que os elementos utilizados nas faces da fissura apresentam comprimento máximo igual a 0,0 m. A análise foi realizada empregando a teoria da máxima tensão circunferencial sendo utilizada a técnica de correlação dos deslocamentos para a determinação dos fatores de intensidade de tensão. O carregamento foi aplicado considerando 50 passos de carga com tolerância à convergência igual a %. Nesse exemplo as formulações dual e em deslocamentos foram utilizadas. Por meio dessa última metodologia a distância de separação das faces da fissura é igual a 0,00 m. Os resultados para a análise realizada podem ser observados nas figuras a seguir. Inicialmente será comentado o caminho de propagação das fissuras. Por meio das duas formulações empregadas constatou-se que o caminho de crescimento das fissuras foi o mesmo. As Figura 7, Figura 8, Figura 9 e Figura 0 apresentam o caminho da propagação da fissura em alguns incrementos no comprimento. Figura 7 Configuração inicial. Figura 8 º Incremento. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 7-35, 009

33 Método dos Elementos de Contorno aplicado à análise de sólidos multi-fraturados 7 Figura 9 5º Incremento. Figura 0 Separação do corpo. Esse exemplo é conhecido na literatura, Cruse (988) e Mi (996), por apresentar somente modo de fratura I. Assim os resultados obtidos são coerentes á que a propagação da fissura ocorreu sem mudanças consideráveis de inclinação em relação à inclinação inicial da fissura. O campo de deslocamentos apresenta também interessante resultado. O processo de crescimento da fissura evoluiu até a ocorrência da separação da estrutura em duas partes. Como o carregamento aplicado é constituído por um deslocamento não nulo a configuração de equilíbrio da estrutura após a ruína é obtida com a parte superior do corpo apresentando um deslocamento igual ao aplicado enquanto a parte inferior do corpo permanece com deslocamento nulo, ou sea, sem deformação. Esse comportamento é o encontrado na análise. Pode-se verificar esse resultado na Figura. Deve-se notar que essa resposta somente é possível devido ao fato do carregamento externo ser um deslocamento não nulo. Assim é possível obter uma configuração de equilíbrio após a ruptura do corpo em duas partes. Sendo o carregamento composto por uma força de superfície o sistema de equações seria singular no momento da ruptura do corpo. Figura Campo de deslocamento direção y final. Outro resultado de grande importância é o apresentado na Figura. Trata-se do comportamento da tensão principal de tração, σ. Pode-se verificar a grande concentração de tensão presente nas extremidades da fissura. Deve-se notar também a simetria das tensões em relação às faces da fissura o que torna mais evidente o caminho de crescimento da fissura. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 7-35, 009

34 8 Edson Denner Leonel & Wilson Sergio Venturini Figura Diagrama de tensão principal de tração σ º incremento no comprimento. 4. Viga sob flexão em três pontos Nesse exemplo considera-se a análise da viga apresentada na Figura 3. Trata-se de uma sob flexão em três pontos contendo uma fissura posicionada em sua face inferior. A viga apresenta comprimento de dois metros sendo oitenta centímetros sua altura. O carregamento da análise é formado por uma carga concentrada igual a,0 kn posicionada no centro da face superior da 6 estrutura. O módulo de elasticidade do material foi admitido igual a E = 0 0 kn m e o coeficiente de Poisson υ = 0, 0. O valor do fator de intensidade de tensão resistente da estrutura foi adotado igual a kn/m 3/. Esse procedimento foi considerado pois não se está interessado nesse exemplo na determinação da estabilidade ao crescimento da fissura mas sim no caminho de propagação a ser desenvolvido no crescimento da fissura. F 0,04 0,80,00 Figura 3 Estrutura analisada. Dimensões em m. A análise do problema foi realizada empregando a teoria da máxima tensão circunferencial sendo utilizada a técnica de correlação dos deslocamentos para a determinação dos fatores de intensidade de tensão. Foram empregados 560 elementos na discretização do contorno externo da geometria sendo que os elementos utilizados nas faces da fissura apresentam comprimento máximo Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 7-35, 009

35 Método dos Elementos de Contorno aplicado à análise de sólidos multi-fraturados 9 igual a 0,0 m. O carregamento foi aplicado considerando-se 0 passos de carga com tolerância à convergência igual a %. Nesse exemplo optou-se por utilizar somente a formulação dual. Os resultados desse exemplo foram comparados aos previstos pelo programa FRANCD desenvolvido pela Universidade de Cornell/EUA. Esse programa trata problemas de mecânica da fratura utilizando as equações do método dos elementos finitos. Será analisado o caminho percorrido pela fissura durante a sua propagação. A Figura 4 mostra um comparativo entre a traetória de propagação da fissura obtida pelo modelo via método dos elementos de contorno e pelo FRANCD. Por meio da Figura 4 pode-se verificar que o caminho de propagação desenvolvido pela fissura, através dos dois programas considerados, é muito semelhante. A coordenada cartesiana em que a fissura analisada corta a face superior da viga é a mesma por meio dos dois modelos considerados. Dessa forma considera-se validado o procedimento proposto para o crescimento das fissuras. Figura 4 Comparativo da traetória de crescimento da fissura. Modelo Método dos Elementos de Contorno e FRANC D. Deve-se destacar também a substancial redução do número de elementos na análise pelo procedimento desenvolvido via método dos elementos de contorno em comparação ao utilizado pelo FRANCD. Considerando o modelo criado no FRANCD foram empregados 5075 elementos. Já pela análise via método dos elementos de contorno esse número cai bruscamente sendo necessários somente 630 elementos. Assim pode-se dizer que a metodologia de análise proposta via método dos elementos de contorno é mais eficaz na modelagem desse tipo de problema. 4.3 Viga engastada multi-fissurada Esse exemplo trata da análise da estrutura mostrada na Figura 5. Trata-se de uma viga em balanço com quatro metros de comprimento e dois metros de altura onde são prescritos dois deslocamentos posicionados em sua face lateral direita. Nessa estrutura são posicionadas cinqüenta fissuras aleatoriamente distribuídas no domínio da viga. A distribuição das fissuras na estrutura está mostrada na Figura 6. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 7-35, 009

36 30 Edson Denner Leonel & Wilson Sergio Venturini Figura 5 Geometria e carregamentos para a análise. O carregamento aplicado à viga refere-se a dois deslocamentos prescritos não nulos na extremidade do balanço sendo seus valores iguais a u x = m e y = m. O fator de intensidade de tensão resistente do material foi considerado igual a kn/m 3/, que corresponde ao aço SAE 00. u Figura 6 Distribuição inicial das fissuras. O problema foi analisado considerando-se a teoria da máxima tensão circunferencial sendo utilizada a técnica de correlação dos deslocamentos para a determinação dos fatores de intensidade de tensão. Foram utilizados 300 elementos na discretização do contorno externo da geometria sendo que os elementos utilizados nas faces da fissura apresentam comprimento máximo igual a 0,05 m. O carregamento externo foi aplicado por meio de 50 passos de carga com tolerância à convergência igual a 3%. Nesse exemplo foi utilizada somente a formulação dos elementos de contorno dual. Inicialmente é analisado o comportamento do crescimento das fissuras e sua coalescência. Nas Figura 7, Figura 8 e Figura 9 são apresentados os diagramas ilustrativos do crescimento das fissuras e da localização da danificação para alguns incrementos no comprimento das fissuras. Figura 7 3º Incremento no comprimento das fissuras. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 7-35, 009

37 Método dos Elementos de Contorno aplicado à análise de sólidos multi-fraturados 3 Figura 8 º Incremento no comprimento das fissuras. Figura 9 Separação do corpo em duas partes. Por meio das figuras que ilustram o crescimento das fissuras apresentadas anteriormente pode-se perceber que grande parte das fissuras que tiveram seu comprimento aumentado estavam localizadas no centro do vão. Portanto para a distribuição das fissuras iniciais considerada é nessa a região que ocorre a localização de dano e a linha ruína do corpo. Após a coalescência das fissuras houve a ruptura da viga a qual foi dividida em duas partes. O campo de deslocamento é também analisado. Na Figura 0 é apresentado o campo de deslocamento atuante na direção x obtido para o último incremento de carga da análise. Figura 0 Campo de deslocamento final da análise. 4.4 Placa com furos Nesse último exemplo será analisada a estrutura mostrada na Figura. Trata-se de uma estrutura plana contendo três furos distribuídos em seu interior. Esse sistema estrutural analisado é largamente utilizado na indústria mecânica para a ligação de elementos estruturais. A estrutura é formada por uma chapa quadrada com 00 cm de comprimento de lado tendo três furos de diâmetro igual a 5 mm simetricamente posicionados em seu centro. A chapa está vinculada somente na metade inferior dos furos conforme ilustra a Figura sendo que em seu topo é aplicado um deslocamento Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 7-35, 009

38 3 Edson Denner Leonel & Wilson Sergio Venturini não nulo. Existem seis fissuras presentes no corpo em análise. Essas fissuras são posicionadas nas bordas dos furos conforme indica a Figura. Figura Geometria e condições de contorno para este exemplo. O carregamento é composto por um deslocamento prescrito na extremidade superior sendo o valor aplicado igual a v,0 mm. O fator de intensidade de tensão resistente adotado para o material é igual a kn/m 3/, que corresponde ao aço SAE 00. A análise dessa estrutura foi realizada empregando a teoria da máxima tensão circunferencial sendo utilizada a técnica de correlação dos deslocamentos para a determinação dos fatores de intensidade de tensão. Foram utilizados 640 elementos na discretização do contorno da geometria sendo que os elementos utilizados nas faces da fissura apresentam comprimento máximo igual a 0,06 m. O carregamento foi aplicado considerando-se 00 passos de carga com tolerância à convergência igual a 3%. Nesse exemplo foi utilizada somente a formulação em elementos de contorno dual. A análise da propagação das fissuras foi efetuada considerando-se duas hipóteses para o comprimento inicial das fissuras. Em ambas hipóteses o comprimento é gerado aleatoriamente, no entanto a diferença encontra-se no intervalo considerado para a determinação do comprimento. Na primeira hipótese as fissuras apresentam comprimento máximo igual a 6,0 0 5 m e mínimo de 4,0 0 5 m, enquanto na segunda hipótese o intervalo de consideração dos comprimentos é limitado por, 0 5 m e, m. Nas Figura e Figura 3 são apresentadas as traetórias de propagação das fissuras para as duas hipóteses consideradas. De acordo essas figuras constata-se que em ambas hipóteses houve a ruptura do corpo em duas partes, sendo o caminho de propagação muito semelhante. Constate-se a coalescência das fissuras no centro da chapa e a interseção das fissuras com a borda da chapa. Esse resultado é coerente uma vez que a estrutura é solicitada predominantemente ao modo I de fraturamento. Assim o modo II de fraturamento é solicitado na proximidade da ponta da fissura com algum contorno da estrutura. Esse comportamento pode ser claramente observado na coalescência das fissuras onde as fissuras mudam de direção para se interceptarem. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 7-35, 009

39 Método dos Elementos de Contorno aplicado à análise de sólidos multi-fraturados 33 Figura Traetória de crescimento das fissuras º hipótese. Figura 3 Traetória de crescimento das fissuras. º hipótese. O campo de deslocamento final da análise é apresentado na Figura 4. Por meio dessa figura observa-se a ruptura do corpo em duas partes. Na parte superior do corpo é observado o deslocamento de corpo rígido indicando a sua separação da estrutura original. Figura 4 Campo de Deslocamento final após a separação da chapa em duas partes. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 7-35, 009

40 34 Edson Denner Leonel & Wilson Sergio Venturini O trabalho necessário para o rompimento da chapa pode ser analisado por meio do diagrama Carga x Deslocamento. Esse diagrama é apresentado na Figura 5 destacando-se o fato da ruptura frágil para a análise realizada. Figura 5 Diagrama carga x deslocamento para a estrutura em análise. 5 CONCLUSÕES Neste trabalho alguns aspectos relacionados às formulações do método dos elementos de contorno bem como das teorias da mecânica da fratura foram apresentados. Foi também discutido um modelo para a propagação de fissuras considerando o erro no ângulo de crescimento das fissuras. Nesse modelo a traetória de propagação das fissuras é mais preciso á que o incremento no comprimento é controlado. Além disso, foi também apresentado um modelo de otimização de malha com o obetivo de se reduzir os elementos presentes na malha, assim tornando o sistema de equações a resolver menor e conseqüentemente mais rápido computacionalmente. Em relação às estruturas tratadas pode se perceber que o modelo dual forneceu resultados confiáveis e precisos consagrando ainda mais esse método no campo da análise de problemas de fratura. Sem dúvida o método dos elementos de contorno Dual é um método robusto e confiável para a análise do comportamento e da estabilidade ao crescimento arbitrário de fissuras. A formulação singular também foi considerada. No entanto, por meio dessa metodologia, a geometria da fissura não é corretamente descrita levando a erros na determinação dos fatores de intensidade de tensão. O erro na avaliação dessas grandezas compromete substancialmente a determinação da direção da propagação o que torna essa metodologia pouco eficaz na análise do problema. Nos exemplos de crescimento de fissuras tratados somente em um foi utilizada a formulação singular. O exemplo em questão é bastante simples, no entanto em exemplos com maior grau de complexidade do estado de tensão atuante na estrutura os resultados não são satisfatórios. Os procedimentos desenvolvidos de determinação da traetória de crescimento das fissuras bem como de otimização de malha mostraram-se muito estáveis levando a resultados precisos. 6 AGRADECIMENTOS Os autores agradecem à FAPESP pelo apoio financeiro, sem o qual esta pesquisa não poderia ter sido realizada. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 7-35, 009

41 Método dos Elementos de Contorno aplicado à análise de sólidos multi-fraturados 35 7 REFERÊNCIAS BLANDFORD, G. E; INGRAFFEA, A. R; LIGGET, J. A. Two-dimensional stress intensify factor computations using the boundary element method. Int. J. Num. Meth. Engn., v. 7, p , 98. CEN, Z; MAIER, G. Bifurcations and instabilities in fracture of cohesive-softening structures: a boundary element analysis. Fatigue Fract. Engng Mater., v. 5, p. 9-98, 99. CRUSE, T. A. Numerical Evaluation of elastic stress intensity factor by the boundary integral equation method. In: SWEDLON, J. L., (Ed.). The surface crack: physical problems and computational solutions. New York, 97. CRUSE, T. A. Boundary element analysis in computational fracture mechanics. Dordrecht: Computational Mechanics Publications, 988. ERDOGAN, F; SIH, G. C. On then crack extension in plates under plane loading and transverse shear. J. Basic Engng., v. 85, p , 963. GODEFROID, L. M; LOPES,M; AL-RUBAIE, K.S. (004). Tenacidade à fratura e propagação de trinca de fadiga de uma superliga INCONEL 600, Revista Matéria, v.9, p , 004. LEONEL, E. D. Método dos Elementos de Contorno aplicado à análise de sólidos multifraturados Dissertação (Mestrado em Engenharia de Estruturas) Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, 006. MI, Y. Three-dimensional analysis of crack growth. Topics in Engineering, v.8, Comp. Mech. Publications, 996. PORTELA, A; ALIABADI, M. H; ROOKE, D. P. Dual boundary element method: efficient implementation for cracked problems. Int. J. Num. Meth. Engn., v. 33, p , 99. VENTURINI, W. S. A new boundary element formulation for crack analysis. In: BREBBIA, C. A. (Ed.). Boundary element method. v. 6. Southampton/Boston: Computational Methods Publ., p , 997. WESTERGAARD, H. M. Bearing pressures and cracks. J. Appl. Mechanics, n. 6, p , 939. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 7-35, 009

42 36

43 ISSN O MÉTODO DE GALERKIN DESCONTÍNUO APLICADO NA INVESTIGAÇÃO DE UM PROBLEMA DE ELASTICIDADE ANISOTRÓPICA Maria do Socorro Martins Sampaio & Adair Roberto Aguiar Resumo Estuda-se o problema de equilíbrio de uma esfera anisotrópica sem força de corpo e sob compressão radial uniformemente distribuída no contexto da teoria da elasticidade linear clássica e aplica-se o Método dos Elementos Finitos utilizando Galerkin Descontínuo (MEFGD) para obter soluções aproximadas para este problema. Introduz-se uma formulação alternativa do MEFGD, onde o campo de deformação infinitesimal não é obtido diretamente da inversão do sistema de equações lineares resultante, mas por pós-processamento, a partir do campo de deslocamento. Os resultados numéricos obtidos empregando-se ambas as formulações do MEFGD são comparados com a solução analítica do problema da esfera e com resultados numéricos obtidos com o Método dos Elementos Finitos utilizando Galerkin Clássico (MEFGC). Análises de erros e de convergência são realizadas. Palavras-chave: Elasticidade anisotrópica. Problema de equilíbrio. Método dos Elementos Finitos. Método de Galerkin Descontínuo. THE DISCONTINUOUS GALERKIN METHOD APPLIED TO THE INVESTIGATION OF AN ANISOTROPIC ELASTICITY PROBLEM Abstract The equilibrium problem without body force of an anisotropic sphere under uniform radial compression on the sphere s boundary is investigated in the context of the classical linear elasticity theory. The Finite Element Method using Discontinuous Galerkin (MEFGD) is used to obtain approximate solutions for the unconstrained problem. An alternative formulation of the MEFGD is introduced, where the strain field is not obtained directly from the inversion of the resulting linear system of equations, but from a post-processing calculation using the approximate displacement field. The approximate solutions obtained with both formulations of the MEFGD are compared with the exact solution of the sphere problem without restriction and with approximate solutions obtained with the Finite Element Method using Classical Galerkin (MEFGC). Keywords: Anisotropic elasticity. Equilibrium problem. Finite Element Method. Discontinuous Galerkin Method. INTRODUÇÃO O Método dos Elementos Finitos com Galerkin Descontínuo (MEFGD) é um método para resolução aproximada de equações diferenciais, no qual as funções aproximativas e ponderadoras adotadas são descontínuas entre elementos adacentes, sendo, portanto, diferente do Método dos Elementos Finitos com Galerkin Clássico (MEFGC) em que se assume a continuidade destas funções admissíveis. O método foi introduzido em 973 por Reed e Hill para resolver a equação de transporte de nêutrons. Uma variedade de métodos de Galerkin descontínuo foi desde então proposta para a resolução de problemas hiperbólicos e quase-hiperbólicos (Reed; Hill, 973; Lesaint; Raviart, 974). Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, ssampaio@sc.usp.br Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, aguiarar@sc.usp.br Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

44 38 Maria do Socorro Martins Sampaio & Adair Roberto Aguiar Para equações diferenciais elípticas, o desenvolvimento dos métodos de Galerkin descontínuo deu-se de forma independente, sendo inicialmente chamado de Método das Penalidades Interiores (Arnold, 976; Baker, 977; Douglas; Dupont, 976; Wheeler, 978). Os métodos de Galerkin descontínuo são localmente conservativos, estáveis, paralelizáveis, apresentam alta ordem de precisão, adaptam-se facilmente a geometrias complexas e malhas irregulares e suportam aproximações com polinômios de graus diferentes em elementos diferentes, tornando-os ideais para o uso em estratégias hp-adaptativas (Cockburn, 003). Neste trabalho, empregam-se duas formulações do MEFGD para obter soluções aproximadas para o problema de equilíbrio da esfera anisotrópica sob compressão radial uniformemente distribuída. A primeira formulação do MEFGD baseia-se no procedimento utilizado por Castillo (003) e consiste em aproximar diretamente os campos de deslocamento e de deformação infinitesimal da esfera. A consideração do campo adicional de deformação infinitesimal na formulação variacional do MEFGD aumenta o número de graus de liberdade associados aos nós dos elementos finitos e, consequentemente, o custo computacional. Com o obetivo de reduzir o número de graus de liberdade, introduz-se uma formulação alternativa do MEFGD, onde o campo de deformação infinitesimal não é obtido diretamente da inversão do sistema de equações lineares resultante, mas por pós-processamento, a partir do campo de deslocamento. O PROBLEMA DA ESFERA Os vetores que contêm as componentes de deslocamento, tensão e deformação infinitesimal de um ponto material de um sólido em um sistema de coordenadas esféricas, ( ρφθ,, ), são dados, respectivamente, por T T = { ρ φ θ}, T { ρρ, φφ, θθ, θφ, φρ, ρθ} { ρρ φφ θθ θφ φρ ρθ} u u,u,u T = σ σ σ σ σ σ, E = ε, ε, ε, ε, ε, ε. () Neste sistema de coordenadas, as relações entre as componentes de deslocamento e as componentes de deformação são dadas por u ε = ρ, ρ ρρ uφ cotθ uρ ε φφ = + uθ + ρsenθ φ ρ ρ, u u θ ρ ε θθ = + ρ θ ρ, u u θ φ cotθ ε θφ = + uφ ρsenθ φ ρ θ ρ, () uρ uθ uθ ε ρθ = + ρ θ ρ ρ, uρ uφ uφ ε φρ = + ρsenθ φ ρ ρ. Além disso, as equações de equilíbrio são dadas por σρρ σθρ σφρ ( σρρ σθθ σ φφ +σθρ cot θ ) + b ρ = 0, ρ ρ θ ρsenθ φ ρ Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

45 O Método de Galerkin Descontínuo aplicado na investigação de um problema de elasticidade anisotrópica 39 σρφ σθφ σφφ ( σθφ cot θ+ 3 σ ρφ ) + b φ = 0, (3) ρ ρ θ ρsenθ φ ρ σρθ σ σ θθ φθ ( σθθ σφφ ) cot θ+ 3σ ρθ + bθ = 0 ρ ρ θ ρsenθ φ ρ, onde b = (b ρ,b φ,b θ) é a força de corpo por unidade de volume. por Considera-se que o comportamento do corpo é regido pela Lei de Hooke Generalizada, dada T = CE, (4) onde C = [C αβ], αβ=,,...,6, é uma matriz simétrica que contém as constantes elásticas Cαβ = Cβα do material. Sea agora uma esfera homogênea de raio ρ e radialmente comprimida ao longo do seu contorno externo por uma força normal p uniformemente distribuída por unidade de área. A esfera é constituída pelo material esfericamente uniforme investigado por Ting (999), de modo que as constantes C αβ da matriz C na Eq. (4) satisfazem as seguintes relações C = C, C = C33 e C = αβ 0 para α 3 e 4 β 6. (5) 3 Além disto, estas constantes devem satisfazer as desigualdades C > 0, C > 0, C3 < C, C C > C + C 3 (6) para que o comportamento do sólido sea termodinamicamente admissível. Assume-se que o campo de deslocamento é radialmente simétrico em relação ao centro da esfera (Ting, 999; Aguiar, 006), de modo que as componentes de deslocamento de um ponto da esfera no sistema de coordenadas esféricas são dadas por u(, ρφθ ρ, ) = u() ρ, u u 0 φ = θ =. (7) Desta forma, as relações deformação-deslocamento dadas pela Eq. () são expressas por du ε ρρ =, d ρ u ε =ε =, ε =ε =ε = 0. (8) ρ φφ θθ θφ ρθ φρ Substituindo as Eqs. (.a) e (.c) na Eq. (4) e utilizando as Eqs. (8) untamente com a Eq. (5), chega-se a Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

46 40 Maria do Socorro Martins Sampaio & Adair Roberto Aguiar du u σ ρρ = C + C dρ ρ, du u σ θθ =σ φφ = C + (C + C 3) dρ ρ. (9) Substituindo as Eqs. (9) nas Eqs. (3) e assumindo que b = 0, obtém-se uma única equação diferencial não-trivial para o problema da esfera anisotrópica sob compressão radial uniformemente distribuída, dada por du du u + γ = 0 dρ ρ dρ ρ, 0 <ρ<ρ e, (0) onde C + C C C 3 γ. () As condições de contorno essencial e natural deste problema são dadas, respectivamente, por u(0) = 0, σ ( ) p ρρ ρ e =, () onde a tensão radial σ ρρ é dada pela Eq. (9.a). Desea-se achar o campo de deslocamento u:(0, ρe) R que satisfaça a Eq. (0) untamente com a Eq. () e as condições de contorno dadas pela Eq. (), untamente com a Eq. (9.a). A solução deste problema é dada por u( ) q ρ = ρe + λ ρ ρe, (3) onde q C p λ + C +, + λ ( + 3 κ ), κ + 8 γ (4) 3 e γ é dado pela Eq. (). 3 MÉTODO DE GALERKIN CLÁSSICO Utilizando o Teorema dos Trabalhos Virtuais (Gurtin, 98), lembrando da Seção que a força de corpo é nula e considerando que o volume de uma parte infinitesimal do sólido é dado por ρ sen θ d θ d φ d ρ, chega-se a Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

47 O Método de Galerkin Descontínuo aplicado na investigação de um problema de elasticidade anisotrópica 4 ρe du du u + γ vρ dρ= 0 0 dρ ρ dρ ρ, v V, (6) onde, aqui, V { v C 0 (0, e):v(0) 0} = ρ = e γ é dado pela Eq. (). Integrando-se a Eq. (6) por partes e utilizando-se as condições de contorno dadas pela Eq. (), chega-se à formulação variacional fraca do problema da esfera, que consiste em achar u V, tal que du dv C ρ dρ+ γuvdρ+ u( ρ )v( ρ ) ρ + pρ v( ρ ) = 0 ρe ρ e ˆ 0 0 e e e e e dρ dρ C, v V, (7) onde ˆp= p/c. (8) Sea agora { } n + n ρ e = i. Sea h i= [0, ] I = ρ a partição de [0, ρ e] : 0 = ρ <ρ... <ρ n+ =ρ e, I i = ( ρi, ρ i+ ), T h i i = V um subconunto de V dado por 0 { } V = v C (0, ρ ):v (0) = 0, (9) h h e h onde v h é linear em cada sub-intervalo I i e v h é contínua em (0, ρ e). O problema variacional discreto correspondente à Eq. (7) consiste em achar uh Vh, tal que: du dv C ρ dρ+ γu v dρ+ u ( ρ )v ( ρ ) ρ + pρ v ( ρ ) = 0 ρe ρ e h h ˆ 0 0 h h h e h e e e h e dρ dρ C, vh Vh, (0) onde γ é dado pela Eq. () e ˆp é dado pela Eq. (8). Uma função vh Vh pode ser escrita na forma n+ v() ρ = v φ () ρ, ρ (0, ρ e), vi R, () h i i i= onde v são coeficientes arbitrários, o conunto { : (0, ) R,i,..., n } i espaço finito-dimensional φ ρ = + é uma base para o i e V h e os elementos φ i desta base satisfazem as condições de normalidade Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

48 4 Maria do Socorro Martins Sampaio & Adair Roberto Aguiar se i =, φi( ρ ) = i, =,...n+. () 0 se i, As funções base adotadas são lineares por partes e contínuas. Para os elementos intermediários do intervalo (0, ρ ), ou sea, para i =,...,n, as funções base são dadas por e ρ ρi, ρi ρ ρi, ρ ρ i i ρ i+ ρ φi( ρ ) =, ρi ρ ρi+, ρ i+ ρ i 0, de outra forma. (3) Para os elementos próximos às extremidades do intervalo, tem-se que φ( ρ ) = ρ ρ, 0 =ρ ρ ρ, ρ ρ i 0, de outra forma, e φ n+ ρ ρn, ρn ρ ρ n+ = ρe, ρ n+ ρ n ( ρ ) = 0, de outra forma. (4) Substituindo-se a Eq. () na Eq. (0), levando-se em consideração as Eqs. (3) e (4) e uma vez que v(0) = 0, chega-se a h du n+ ρe ρ e h v i φ i( ρ) ρ dρ+ γu ˆ 0 0 hφi( ρ)dρ+ u h( ρe) δi(n+ ) ρ e + pρeδ i(n+ ) = 0 i= dρ C C (5) vi R, onde i Como δ é o Delta de Kronecker. v i é arbitrário, tem-se que du φ C ( ρ ) ρ d ρ+ γ u φ ( ρ )d ρ+ u ( ρ ) δ ρ + p ρ δ = 0 ρe ρ e h ˆ 0 i 0 h i h e i(n+ ) e e i(n+ ) dρ C, (6) onde i =,...,n +. Substituindo-se n+ u = u φ ( ρ) na Eq. (6) e uma vez que u(0) h = 0, tem-se que h = Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

49 O Método de Galerkin Descontínuo aplicado na investigação de um problema de elasticidade anisotrópica 43 n+ ρe ρ e u φ ( ρ) φ 0 i( ρ) ρ dρ+ γφ ˆ 0 ( ρ) φi( ρ)dρ+ φ( ρe) δi(n+ ) ρ e + pρeδ i(n+ ) = 0 = C, (7) C onde i =,...,n +. As expressões apresentadas na Eq. (7) fornecem um sistema de n equações com n incógnitas u, onde as funções φ i, i =,...,n +, são dadas pelas Eqs. (3) e (4.b). 4 MÉTODO DE GALERKIN DESCONTÍNUO 4. Formulação original Introduzindo-se a variável de primeira ordem da forma du q =, a Eq. (0) pode ser escrita como um sistema de equações d ρ du d = q ρ dq u q 0 ρ ρ ρ d + γ = em em (0, ρ e), (8) (0, ρ e), (9) onde γ é dado pela Eq. () e as condições de contorno essencial e natural são dadas pelas Eqs. (). Sea V i o conunto de funções com suporte no intervalo I i, i =,...,n e sea V = U = VxV xv3x...xvn. Considera-se que toda função v Vi, i =,...,n, é diferenciável em I i. Sea novamente { } n + = ρ a partição de [0, ρe]: 0 = ρ <ρ... <ρ n+ =ρ e, I i = ( ρ i, ρ i + ), [0, e] I T h i i= n ρ =. Seam ( t,v ) em VxU funções diferenciáveis por partes com suporte em I i. Multiplicando-se as Eqs. (8) e (9) em cada elemento I i pelas funções sobre o intervalo I i, obtêm-se as equações tρ e i= vρ, respectivamente, e integrando-se i ρi+ ρ i+ ρi du t ρ d ρ= qt ρ d ρ dρ ρi, (30) dq u dρ ρ ρ ρ i + ρ v+ q v γ v ρ dρ= 0 ρ. (3) i Utilizando integração por partes no lado esquerdo das Eqs. (30) e (3), chega-se às equações dt ρ ρ ρ ρ ρ + ρ ρ= ρ ρ dρ + ( )( i+ ) ( )( i) ρ i+ ρ i+ ut ut u ut d qt d ρ i ρi, (3) Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

50 44 Maria do Socorro Martins Sampaio & Adair Roberto Aguiar UxV h h dv ρ ρ ρ ρ = ρ + γ ρ dρ. (33) + ( )( i+ ) ( )( i) ρ i + qv qv q uv d ρ i As equações (3) e (33) são bem definidas para quaisquer funções ( u,q ) e ( t,v ) em VxU. Aproxima-se a solução exata ( u,q ) por funções ( h h) UxVonde U = V = P ( I ). O espaço de elementos finitos local ( ) h h p i Ii u,q no espaço de elementos finitos P I é o conunto dos polinômios de grau menor ou igual a p definidos sobre I i. Desta forma, a formulação variacional fraca do problema descrito pelas Eqs. (0)-() consiste u,q UxV t,v UxV que satisfaça em achar ( ) para qualquer ( ) h h h h p i ρi+ ρ + i+ qt h ρ dρ= ut ˆh ρ ( ρi ) ut ˆ + h ρ ( ρi ) uh ρ + ut h ρ dρ, (34) ρi dv dρ ρi dt dρ + ( ) ˆ + ( ) ρ i + qh u ˆ hv d qhv i qhv ρ ρ + γ ρ= ρ ρ ρ ρ, (35) i i onde û h e fluxos numéricos ˆq h são fluxos numéricos. Para os nós pertencentes ao interior do intervalo û h e ˆq h adotados neste trabalho são dados, respectivamente, por (0, ρ ), os e + ( ρ ) + u ( ρ ) uh i h i û( h ρ i) =, (36) + + ( ρ ) + ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) qh i qh i uh i uh i ˆq h( ρ i) =, (37) h i onde ρ, i =,...,n, e i h i =ρi+ ρ i. Para as extremidades do intervalo (0, ρ e), os fluxos û(0), h neste trabalho são dados, respectivamente, por ˆq h (0), h e û( ρ ) e ˆq h( ρ e) adotados û h(0) = u0 = 0, ρ = ρ, ( ) û( ) u( ) h e h e + ( ) uh 0 + ˆq h(0) = q(0) h +, (38) h p C ˆqh ρ e = C C u e h ( ρe ) ρ. (39) Aqui, as funções ( ) elementos, sendo dadas, respectivamente, por u,q são lineares por partes e descontínuas nas interfaces entre os h h Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

51 O Método de Galerkin Descontínuo aplicado na investigação de um problema de elasticidade anisotrópica 45 u( ρ ) u( ρ ) u( ρ ) u( ρ ) u ( ρ ) = u ( ρ ) ρ + ρ, (40) h i+ h i h i+ h i h h i i ρi+ ρi ρi+ ρi q( ρ ) q( ρ ) q( ρ ) q( ρ ) q() ρ = q( ρ ) ρ + ρ, (4) h i+ h i h i+ h i h h i i ρi+ ρi ρi+ ρi onde ρ ( ρi, ρ i+ ). Similarmente, as funções (t,v) são polinômios de primeiro grau, de modo que t = a+ bρ e v= c+ dρ, onde a, b, c e d são coeficientes arbitrários. Constroem-se então três sistemas de equações lineares, sendo um para os elementos intermediários do intervalo (0, ρ e), I i, i =,...,n, um para o elemento I e um para o elemento I n. Para obter o sistema de equações dos elementos intermediários substituem-se as funções t = a+ bρ e v= c+ dρ, a Eq. (36), a Eq. (37), a Eq. (40) e a Eq. (4) nas Eqs. (34) e (35). Agrupandose os termos que possuem os coeficientes a e b em comum na equação resultante da Eq. (34) e procedendo-se de maneira semelhante com a equação resultante da Eq. (35) em relação aos termos associados aos coeficientes c e d, chega-se a um sistema de duas equações e doze incógnitas válidas para todo a, b, c e d. Uma vez que estes coeficientes são arbitrários, obtém-se um sistema de quatro equações em cada elemento I i = ( ρ i, ρ i + ), i =,...,n, para oito incógnitas. Para obter o sistema de equações do elemento I substituem-se as funções t e v, a Eq. (38), a Eq. (40) e a Eq. (4) nas Eqs. (34) e (35). Para o elemento I n substituem-se as funções t e v, a Eq. (39), a Eq. (40) e a Eq. (4) nas Eqs. (34) e (35). Procedendo-se de maneira similar ao descrito para os elementos intermediários, obtém-se um sistema de quatro equações e seis incógnitas para o primeiro e para o último elemento. Sendo n o número de elementos finitos utilizados para discretizar o domínio, tem-se um sistema de 4n equações com 4n incógnitas a serem determinadas. A solução deste sistema são os valores de u h e q h pela direita e pela esquerda dos nós intermediários e os valores de u h e q h sobre os nós das extremidades do intervalo (0, ρ e). Uma vez que as aproximações u h e q h são descontínuas sobre os nós aproximam-se a solução u e sua derivada u, sobre os nós, pelos valores de û h e ˆq h, respectivamente. Estes valores são calculados das Eqs. (36)-(39). 4. Formulação alternativa Considerando-se o elevado número de graus de liberdade associados aos nós da formulação anterior, introduz-se uma formulação variacional alternativa para a aplicação do MEFGD em que apenas os valores de u são obtidos diretamente da inversão do sistema de equações resultantes, sendo os valores de h q h obtidos por pós-processamento a partir dos valores de Similarmente ao realizado na Seção 4., introduz-se a equação diferencial du q d ρ = e reescreve-se a Eq. (0) no sistema de duas equações dado pelas Eqs. (8) e (9). Aqui, no entanto a Eq. (8) não é integrada, sendo o sistema de duas equações dado pelas Eqs. (30) e (3) substituído por u h. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

52 46 Maria do Socorro Martins Sampaio & Adair Roberto Aguiar du d ρ = q, (4) ρe dq uρ v+ q v γ v ρ dρ= 0 0 dρ ρ ρ. (43) Integrando-se apenas a Eq. (43) por partes sobre I i, chega-se ao sistema de equações du d ρ = q, (44) + dv ρ ( ρi+ ) ρ ( ρ i) = ρ + γ ρ dρ. (45) ρ i + qv qv q uv d ρ i UxV h h Aproximando-se a solução exata ( u,q ) com funções ( ) UxVpara qualquer v Vh, tem-se que u,q no espaço de elementos finitos h h duh dρ = q h, (46) dv dρ + ( ) ˆ + ( ) ρ i + qh u ˆ hv d qhv i qhv ρ ρ + γ ρ= ρ ρ ρ ρ. (47) i i Observa-se das Eqs. (46) e (47) que apenas o fluxo numérico ˆq h aparece nestas equações. Estes fluxos são os mesmos adotados na Seção 4., ou sea, para os elementos pertencentes ao interior do intervalo (0, ρ e), utiliza-se a Eq. (37) e para os elementos próximos às extremidades deste intervalo, utilizam-se as Eqs. (38.b) e (39.b), respectivamente. Sobre cada intervalo, a solução aproximada u h é dada pela Eq. (40) e a solução aproximada da Eq. (4), q h, é dada por + u h( ρi+ ) u h( ρi ) q() h ρ = ρ ρ i+ i ρ ( ρ, ρ ). (48), i i+ De forma similar ao realizado na Seção 4., constroem-se três sistemas de equações lineares, sendo um para os elementos intermediários do intervalo (0, ρ e), I i, i =,...,n, um para o elemento I e um para o elemento I n. Para obter o sistema de equações dos elementos intermediários substitui-se a função v= a+ bρ, a Eq. (37), a Eq. (40) e a Eq. (48) na Eq. (47) e agrupam-se os termos que multiplicam os coeficientes a e b. Uma vez que estes coeficientes são arbitrários, obtém-se um sistema de duas equações lineares em cada elemento para seis incógnitas. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

53 O Método de Galerkin Descontínuo aplicado na investigação de um problema de elasticidade anisotrópica 47 Para o elemento I, substitui-se a função v, a Eq. (38.b), a Eq. (40) e a Eq. (48) na Eq. (47) e para o elemento I n substitui-se a função v, a Eq. (39.b), a Eq. (40) e a Eq. (48) na Eq. (47). Procedendo-se de maneira semelhante ao descrito para os elementos intermediários, obtêm-se duas equações e quatro incógnitas para o primeiro e para o último elemento. Sendo n o número de elementos utilizados na discretização do domínio, tem-se um sistema de n equações lineares com n incógnitas a serem determinadas. A solução deste sistema são os valores de u à direita e à esquerda dos nós pertencentes ao interior do intervalo (0, ρ ) h untamente com o valor de u h pela esquerda do nó localizado em ρ e. Os valores de calculados da Eq. (48). Igualmente à formulação anterior, as aproximações u h e Aproxima-se a solução u e sua derivada u, sobre os nós, pelos valores de respectivamente. Estes valores são calculados das Eqs. (36)-(39). e q() h ρ são q h são descontínuas sobre os nós. û h e ˆq h, 5 RESULTADOS OBTIDOS Apresentam-se os resultados numéricos obtidos com a aplicação das formulações original e alternativa do MEFGD descritas nas Seções 4. e 4., respectivamente. Os resultados numéricos são comparados com a solução exata do problema dada pelas Eqs. (3), (4) e (), e com resultados numéricos obtidos da formulação do MEFGC descrita na Seção 3. Para a obtenção das soluções, foram utilizados os seguintes valores em unidades 5 adimensionais: ρ e =, κ= 0, 4 que fornece γ= 0,055 da Eq. (), η C /C = /, C = 0, C 4 = 5x0 e, da Eq. (8), ˆp 0 =. Na Figura mostra-se o gráfico do campo de deslocamento u versus o raio ρ no intervalo (0,). A linha cheia representa a solução exata dada pelas Eqs. (3), (4) e (), e as demais linhas, traceadas, representam soluções numéricas obtidas com o emprego do MEFGC, MEFGD original e MEFGD alternativo para uma malha uniforme com 04 elementos. Observa-se deste gráfico que todas as soluções numéricas aproximam bem a solução exata. 0-0,00-0,00-0,003-0,004 u -0,005-0,006-0,007-0,008-0,009-0,0 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 ρ Exata MEFGC MEFGD ORIGINAL MEFGD ALTERNATIVO Figura Deslocamento u versus raio ρ no intervalo (0,). Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

54 48 Maria do Socorro Martins Sampaio & Adair Roberto Aguiar Na Figura mostra-se o campo de deformação ε ρρ = u versus o raio ρ (0,). Similarmente ao exposto acima, a linha cheia representa a expressão exata de u e as demais linhas representam soluções numéricas obtidas com o emprego do MEFGC, MEFGD original e MEFGD alternativo para uma malha uniforme com 04 elementos. Lembra-se do exposto nas Seções 3 e 4 que as aproximações de u obtidas de ambos, MEFGC e MEFGD alternativo, são constantes sobre cada elemento e que as aproximações de u obtidas do MEFGD original são lineares sobre cada elemento. Observa-se deste gráfico que todas as expressões numéricas aproximam bem a expressão exata de u. Observa-se ainda que as aproximações obtidas com todas as formulações tendem ao infinito à medida que ρ tende a zero. 0 - u' , 0 0, 0,4 0,6 0,8 ρ Exata MEFGC MEFGD ORIGINAL MEFGD ALTERNATIVO Figura Deformação infinitesimal u versus raio ρ no intervalo (0,). A Figura 3 mostra curvas de erros entre a solução exata u e as soluções aproximadas geradas pelas formulações do MEFGC, MEFGD original e MEFGD alternativo, utilizando-se malhas uniformes com, 4, 8, 6, 3, 64, 8, 56, 5 e 04 elementos. Para o cálculo destes erros utilizou-se a norma Euclidiana u h e n = e i i=, (49) onde e i é o erro da aproximação por elementos finitos definido por ( ) ˆ ( ) e = u ρ u ρ. (50) i i h i Observa-se das Eq. (36), (38.a) e (39.a) que ( ) û ρ = u ( ρ ) no caso do MEFGC. h i h i Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

55 O Método de Galerkin Descontínuo aplicado na investigação de um problema de elasticidade anisotrópica 49 -,5-3 -3,5 log 0 e -4-4, ,5,5,5 3 3,5 log 0 n MEFGC MEFGD ORIGINAL MEFGD ALTERNATIVO Figura 3 Curvas de erro obtidas de resultados gerados pelo MEFGC, MEFGD original e MEFGD alternativo. As curvas mostradas na Figura 3 referem-se ao logaritmo na base dez do erro e dado pela Eq. (49) versus o logaritmo na base dez do número de elementos finitos utilizados para discretizar o domínio em todos os métodos. Observa-se destas curvas que os resultados gerados pelas formulações original e alternativa do MEFGD são bem mais precisos que os resultados gerados pelo MEFGC. Observa-se ainda que os erros obtidos com a formulação alternativa do MEFGD são um pouco maiores que os erros obtidos com a formulação original do MEFGD. A Figura 4 mostra curvas de erros entre a solução exata u e as soluções aproximadas geradas pelas formulações do MEFGC, MEFGD original e MEFGD alternativo, utilizando-se malhas uniformes com, 4, 8, 6, 3, 64, 8, 56, 5 e 04 elementos. Para o cálculo destes erros utilizou-se a definição de erro médio q h e m n+ = e n +, (5) = onde n é o número de elementos finitos e e é o erro dado por ( ) ˆ ( ) e = u ρ q ρ. (5) h Observa-se das Eqs. (37), (38.b) e (39.b) que ( ) ˆq ρ = q ( ρ ) no caso do MEFGC. h h As curvas mostradas na Figura 4 referem-se ao logaritmo na base dez do erro médio dado pela Eq. (5) versus o logaritmo na base dez do número de elementos finitos utilizados para discretizar o domínio. Observa-se destas curvas que, à medida que se refina a malha de elementos finitos, o erro médio diminui para todas as formulações. Para uma dada malha, os resultados gerados pela formulação original do MEFGD são mais precisos que os resultados gerados pela formulação alternativa do MEFGD. Além disso, os erros obtidos com ambas as formulações do MEFGD são bem inferiores àqueles obtidos com o MEFGC. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

56 50 Maria do Socorro Martins Sampaio & Adair Roberto Aguiar - -,5-3 log 0e -3,5-4 -4, ,5,5,5 3 3,5 log 0n MEFGC MEFGD ORIGINAL MEFGD ALTERNATIVO Figura 4 Curvas de erro obtidas de resultados gerados pelo MEFGC, MEFGD original e MEFGD alternativo. Analisa-se agora a convergência das aproximações de u em dois pontos do intervalo (0,]. O primeiro ponto corresponde a ρ= e pertence a uma região onde a solução exata fornece um campo de deformação infinitesimal. O segundo ponto corresponde a ρ = / 56 e pertence a uma região onde não somente as deformações são grandes, mas também ocorre o fenômeno da auto-intersecção investigado por Aguiar (006). Mostra-se na Figura 5 um gráfico do deslocamento calculado em ρ = versus o logaritmo na base dois do número de elementos finitos. A linha cheia horizontal corresponde ao valor exato deste deslocamento e as outras linhas correspondem aos valores aproximados obtidos com o MEFGC, MEFGD original e MEFGD alternativo. -0,008-0,0083-0,0084-0,0085-0,0086 u -0,0087-0,0088-0,0089-0,009-0,009-0, log n Exata MEFGC MEFGD ORIGINAL MEFGD ALTERNATIVO Figura 5 Deslocamento u em ρ= versus logaritmo na base dois do número n de elementos finitos. Observa-se da Figura 5 que os deslocamentos nodais obtidos com o MEFGC convergem assintoticamente para o deslocamento nodal obtido da solução exata à medida que se refina a malha de elementos finitos utilizada para discretizar o domínio. Os deslocamentos nodais obtidos com ambas as formulações do MEFGD aproximam melhor os deslocamentos nodais obtidos da solução exata do que os deslocamentos nodais obtidos com o MEFGC. Em particular, observa-se que para uma Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

57 O Método de Galerkin Descontínuo aplicado na investigação de um problema de elasticidade anisotrópica 5 discretização com apenas dois elementos ambas as formulações do MEFGD produzem aproximações da solução exata que são sensivelmente melhores do que a aproximação produzida com dois elementos do MEFGC. Observa-se ainda que a convergência do MEFGC é monótona conforme predito na literatura para métodos de elementos finitos conformes (Soriano, 003). Mostra-se na Figura 6 um gráfico do deslocamento calculado em ρ= / 56 versus o logaritmo na base dois do número de elementos finitos. A linha cheia horizontal corresponde ao valor exato deste deslocamento e as outras linhas correspondem aos valores aproximados obtidos com o MEFGC, MEFGD original e MEFGD alternativo. Observa-se da Figura 6 que a curva obtida com o MEFGC indica tendência de convergência assintótica para a solução exata. Os deslocamentos nodais obtidos para ambas as formulações do MEFGD convergem para os deslocamentos nodais obtidos da solução exata. Os erros obtidos com ambas as formulações do MEFGD são bem menores do que os erros obtidos com o MEFGC. -0,0043-0,0044-0,0045-0,0046-0,0047 u -0,0048-0,0049-0,005-0,005-0,005-0, log n Exata MEFGC MEFGD ORIGINAL MEFGD ALTERNATIVO Figura 6 Deslocamento u em ρ=(/56) versus logaritmo na base dois do número n de elementos finitos. A Figura 7 mostra uma ampliação da Figura 6 na vizinhança do valor exato u(/ 56) para as soluções aproximadas obtidas com ambas as formulações do MEFGD. Observa-se que ambas convergem de forma não-monótona para a solução exata do problema. -0,0055-0,005-0,0055-0,0053 u -0, ,0054-0, , ,5 9 9,5 0 0,5 log n Exata MEFGD ORIGINAL MEFGD ALTERNATIVO Figura 7 Ampliação do gráfico da Figura 6 na vizinhança do valor exato de u(/56). Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

58 5 Maria do Socorro Martins Sampaio & Adair Roberto Aguiar Mostra-se na Figura 8 um gráfico da deformação calculada em ρ = versus o logaritmo na base dois do número de elementos finitos. A linha cheia horizontal corresponde ao valor exato desta deformação e as outras linhas, traceadas, correspondem aos valores aproximados obtidos com o MEFGC, MEFGD original e MEFGD alternativo. Observa-se desta figura que as deformações obtidas das soluções aproximadas pelo MEFGC convergem assintoticamente para o valor exato de deformação e que ambas as formulações do MEFGD fornecem aproximações mais precisas do que as aproximações obtidas com o MEFGC. -0,0005-0,00-0,005 u' -0,00-0,005-0, log n Exata MEFGC MEFGD ORIGINAL MEFGD ALTERNATIVO Figura 8 Deformação u em ρ= versus logaritmo na base dois do número n de elementos finitos. A Figura 9 mostra uma ampliação da Figura 8 na vizinhança do valor exato u() para destacar as curvas das deformações aproximadas obtidas com ambas as formulações do MEFGD. Observa-se que as deformações nodais obtidas com ambas as formulações do MEFGD convergem assintoticamente para o deslocamento nodal obtido da solução exata do problema à medida que se refina a malha de elementos finitos. As aproximações obtidas com a formulação original do MEFGD são melhores do que as aproximações obtidas com a formulação alternativa do MEFGD. -0, ,0009-0,0009 u' -0, , , , log n Exata MEFGD ORIGINAL MEFGD ALTERNATIVO Figura 9 Ampliação do gráfico da Figura 8 na vizinhança do valor exato u (). Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

59 O Método de Galerkin Descontínuo aplicado na investigação de um problema de elasticidade anisotrópica 53 Mostra-se na Figura 0 um gráfico da deformação calculada em ρ = / 56 versus o logaritmo na base dois do número de elementos finitos. A linha cheia horizontal corresponde ao valor exato desta deformação e as outras linhas correspondem aos valores aproximados obtidos com o MEFGC, MEFGD original e MEFGD alternativo. Observa-se da Figura 0 que a curva obtida com a formulação do MEFGC indica tendência de convergência assintótica para o valor exato de deformação. Observase também que ambas as formulações do MEFGD fornecem resultados numéricos que estão de muito bom acordo com o valor exato de deformação e que estes resultados são mais precisos do que os resultados obtidos com o MEFGC. Com o obetivo de melhor visualizar as soluções aproximadas obtidas com ambas as formulações do MEFGD, mostra-se na Figura uma ampliação da Figura 0 na vizinhança do valor exato de u (/ 56). -0, -0, -0,3 u' -0,4-0,5-0,6-0, log n Exata MEFGC MEFGD ORIGINAL MEFGD ALTERNATIVO Figura 0 Deformação u em ρ=/56 versus logaritmo na base dois do número n de elementos finitos. Observa-se da Figura que aqui também os valores nodais de deformação obtidos com ambas as formulações do MEFGD indicam tendência de convergência assintótica para o valor exato u (/ 56). Os erros obtidos com a formulação original do MEFGD são menores do que os erros obtidos com a formulação alternativa do MEFGD. Observa-se também que ambas as formulações do MEFGD fornecem resultados numéricos que estão de muito bom acordo com o valor exato de deformação e que estes resultados são mais precisos do que os resultados obtidos com o MEFGC. -0,335-0,345-0,355 u' -0,365-0,375-0, log n Exata MEFGD ORIGINAL MEFGD ALTERNATIVO Figura Ampliação do gráfico da Figura 0 na vizinhança do valor exato u (/56). Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

60 54 Maria do Socorro Martins Sampaio & Adair Roberto Aguiar 6 CONCLUSÕES A partir dos resultados obtidos neste trabalho observa-se que ambas as formulações do MEFGD fornecem melhores aproximações tanto para o campo de deslocamento quanto para o campo de deformação do que as aproximações obtidas com o MEFGC. Os erros entre a solução exata e as soluções aproximadas obtidas com a formulação alternativa do MEFGD são um pouco maiores do que os erros correspondentes obtidos com a formulação original do MEFGD. Este aumento nos erros é compensado pelo menor esforço computacional exigido pela formulação alternativa. 7 AGRADECIMENTOS Os autores agradecem ao CNPq e à FAPESP, Proc. No. 008/ pelo apoio financeiro, sem o qual esta pesquisa não se realizaria. 8 REFERÊNCIAS AGUIAR, A. R. Local and global inective solutions of the rotationally symmetric sphere problem. Journal of Elasticity, 99-9, 006. ARNOLD, D. N. An interior penalty procedures for elliptic and parabolic Galerkin method, Lectures Notes in Physics 58, Springer-Verlag, Berlin, 976. BAKER, G. A. Finite element methods for elliptic equations using nonconforming elements. SIAM J. Numer. Anal. v. 9, p , 977. CASTILLO, P. A superconvergence result for discontinuous Galerkin methods applied to elliptic problems. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. v. 9, p , 003. COCKBURN, B. Discontinuous Galerkin Methods. ZAMM Z. Angew. Math. Mech., v. 83, n., p , 003. DOUGLAS, J.; DUPONT, T. Interior penalty for elliptic and parabolic Galerkin methods. Lectures Notes in Phys. 58, Springer-Verlag, Berlin, 976. GURTIN, M. E. An introduction to continuum mechanics. New York: Academic Press, 98. LeSAINT, P.; RAVIART, P. A. On a finite element method for solving the neutron transport equation. In: BOOR, C. (Ed.). Mathematical aspects of finite elements in partial differential equations. Academic Press, 974, p REED, W. H.; HILL, T. R. Triangular mesh method for the neutron transport equation. Tech. Report LA-UR , Los Alamos Scientfic Laboratory, 973. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

61 O Método de Galerkin Descontínuo aplicado na investigação de um problema de elasticidade anisotrópica 55 SAMPAIO, M. S. M. O Método de Galerkin Descontínuo aplicado na investigação de um problema de elasticidade anisotrópica Dissertação (Mestrado em Engenharia de Estruturas) Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 009. SORIANO, H. L. Método de Elementos Finitos em análise de estruturas. São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, p. TING, T. C. T. The remarkable nature of radially symmetric deformation of spherically uniform linear anisotropic elastic solids. Journal of Elasticity, v. 53, p , 999. WHEELER, M. F. An elliptic collocation-finite element method with interior penalties. SIAM J. Numer. Anal. v. 5, n., p. 5-6, 978. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

62 56

63 ISSN ESTUDO E APLICAÇÃO DE UM ELEMENTO DE CONTORNO INFINITO NA ANÁLISE DA INTERAÇÃO SOLO-ESTRUTURA VIA COMBINAÇÃO MEC/MEF Dimas Betioli Ribeiro & João Batista de Paiva Resumo Neste trabalho, é desenvolvido um programa de computador para a análise estática e tridimensional de problemas de interação solo-estrutura. Todos os materiais considerados são homogêneos, isotrópicos, elásticos e lineares. O solo é modelado com o método dos elementos de contorno, empregando as soluções fundamentais de Kelvin e uma técnica alternativa na consideração do maciço não-homogêneo. É utilizada uma malha de elementos de contorno infinitos nas bordas da malha de elementos de contorno para modelar o comportamento das variáveis de campo em longas distâncias. Todas as estruturas que interagem com o solo são simuladas empregando o método dos elementos finitos. Exemplos são apresentados para demonstrar a abrangência e precisão da formulação desenvolvida, comparando-a com resultados de outros autores. Palavras-chave: Interação solo/estrutura. Elementos de contorno infinitos. Edifício. STUDY AND APPLICATION OF AN INFINITE BOUNDARY ELEMENT FOR SOIL-STRUCTURE INTERACTION ANALYSIS VIA FEM/BEM COUPLING Abstract In this work, a computer code is developed for the static analysis of three-dimensional soil-structure interaction problems. All materials are considered homogeneous, isotropic, elastic and linear. The soil is modeled with the boundary element method, employing Kelvin fundamental solutions and an alternative multi-region technique. An infinite boundary element mesh is employed at the boundary element mesh limits to model the far field behavior. All structures that interact with the soil are simulated with de finite element method. Examples are presented to demonstrate the formulation accuracy and coverage, comparing results with other authors. Keywords: Soil-structure interaction. Infinite boundary elements. Building. INTRODUÇÃO A simulação numérica de problemas de interação do solo com a estrutura pode ser considerada um atual desafio da engenharia, dada a complexidade dos subsistemas e a variabilidade de materiais envolvidos. Focando mais especificamente o solo, é fato que sua modelagem representa um problema da mecânica dos sólidos complexo em virtude de que não houve controle tecnológico para a formação de seu material, como acontece, por exemplo, na confecção do aço ou mesmo do concreto armado. Sua formação se deu em função de diversas condições de intemperismo sobre rochas, o que tornou o meio heterogêneo, anisótropo, com descontinuidades presentes ao longo de seu volume, além de outras características que dificultam sua simulação numérica. Além disto, sendo a interação solo-estrutura um problema interdisciplinar, surgem dificuldades na definição de critérios únicos para a análise do conunto integrado. Desta forma, podem ser encontrados na literatura diversos trabalhos dedicados ao estudo deste tema, os quais empregam diferentes técnicas em suas formulações. Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, dimasbetioli@gmail.com Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, paiva@sc.usp.br Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

64 58 Dimas Betioli Ribeiro & João Batista de Paiva No modelo de Winkler, o meio contínuo é substituído por um sistema de molas equivalente e discreto, citando-se o trabalho de Mylonakis & Gazetas (998). Outra técnica que pode ser encontrada na literatura, baseada na teoria da elasticidade, parte do manuseio de equações diferenciais e integrais com o intuito de encontrar soluções para problemas específicos de interação do solo com a estrutura. Neste contexto, pode ser citado Burmister (945). Um modelo conhecido que pode ser aplicado na simulação do solo é o método da camada finita (MCF), podendo o solo ser elástico, anisotrópico e formado por camadas de diferentes propriedades físicas. Um trabalho relacionado ao MCF que pode ser citado é o de Ta & Small (998). Uma técnica que pode ser considerada mais abrangente é o método dos elementos finitos (MEF). O MEF, na maioria dos casos, é a opção mais eficiente e prática para a análise de estruturas. No entanto, as vantagens do MEF são poucas quando aplicado em situações que envolvem domínios infinitos, que é o caso de problemas de interação do solo com a estrutura. Em tais situações se torna necessário aplicar as condições de contorno do problema a grandes distâncias, resultando em um grande número de elementos, nós e, conseqüentemente, equações a serem resolvidas. Estes problemas se acentuam quando a análise é tridimensional, mas mesmo assim é possível encontrar autores que optam pelo MEF em tais situações, como por exemplo Karakus et al. (007). Uma forma de tornar o MEF mais atraente é empregando técnicas especiais para tornar infinitos os elementos convencionais, como feito por Sadecka (000). Uma ferramenta numérica mais eficiente na simulação de domínios infinitos é o método dos elementos de contorno (MEC). Como somente o contorno do domínio do problema é dividido em elementos, a análise fica reduzida em uma dimensão. Isto diminui o custo computacional envolvido na resolução de equações, além de simplificar o armazenamento de dados. Devido a estas vantagens vários autores utilizam o MEC na análise da interação do solo com a estrutura, sendo citados abaixo aqueles especificamente ligados a este trabalho. Em Almeida & Paiva (004) é proposta uma formulação para a análise tridimensional da interação de um edifício com um solo composto por uma ou mais camadas apoiadas em uma superfície de deslocamento nulo. Esta formulação foi ponto de partida para o trabalho de Ribeiro et al. (005), o qual foi bem sucedido no estudo de problemas de alta complexidade. Entre estes problemas, cita-se a interação de um edifício 3D, modelado pelo MEF, com um solo não-homogêneo e modelado pelo MEC. Os resultados obtidos demonstraram a coerência da formulação, no entanto surgiram problemas relacionados ao elevado custo computacional necessário para simular edificações inteiras. Em exemplos mais abrangentes, eram necessários dias para obter os dados de saída do programa. Tendo isto em vista, este trabalho visa reduzir o número de graus de liberdade da formulação de Ribeiro et al. (005) sem preudicar a precisão dos resultados. São empregados elementos de contorno infinitos (ECIs) para simular o comportamento das variáveis de campo a longas distâncias. As estacas, previamente modeladas como sólidos tridimensionais, são substituídas por linhas de carga. Além disto, é utilizada uma técnica alternativa no cálculo de deslocamentos no solo nãohomogêneo, visando melhorar a precisão dos resultados. São apresentados exemplos para comprovar a maior eficiência da formulação apresentada, e a redução no tempo de processamento a torna mais atraente para utilização em escritórios de engenharia. O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO O equilíbrio de um sólido pode ser representado por uma equação integral denominada Identidade de Somigliana. Para domínios homogêneos, isotrópicos e elástico-lineares essa equação pode ser escrita como: i * * ( y) u ( y) + p ( x, y) u ( x) ds( x) = u ( x y) p ( x) ds( x) c, S i S i () Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

65 Estudo e aplicação de um elemento de contorno infinito na análise da interação solo-estrutura via Esta equação é escrita para um ponto fonte y no contorno, onde o deslocamento é u ( y). A constante c i depende do coeficiente de Poisson e da geometría do contorno em y. O ponto campo x percorre todo o contorno S onde os deslocamentos são u ( x) e as tensões são p ( x). Os termos * * u i ( x, y) e p i ( x, y) são as soluções fundamentais tridimensionais de Kelvin de deslocamento e * * u i x, y tem ordem r e o termo p i ( x, y) tem ordem r sendo tensão, respectivamente. O termo ( ) r = x y, por isso as integrais apresentam problemas de singularidade quando x se aproxima de y. Por esse motivo, a integral com singularidade mais forte, sobre a solução fundamental de tensão, é definida como Valor Principal de Cauchy (VPC). Para resolver a Eq. () numericamente o contorno é dividido em sub-domínios denominados elementos de contorno, nos quais os deslocamentos e tensões são aproximados por funções de forma conhecidas. A contribuição de todos os elementos deve ser somada como segue para que todo o contorno sea integrado: 59 c i u + ne ne * * p = Φ = = iφdse u ui dse p e S e e Se () em que Φ representa as funções de forma adotadas, ne é o número de elementos e os termos u e p são os deslocamentos e tensões, respectivamente, nos nós de cada elemento. Quando o ponto campo não pertence ao elemento integrado a integral não é singular e pode ser calculada numericamente. Caso contrário, é recomendado empregar técnicas de integração mais avançadas para manter a precisão da formulação. Uma opção é dividir os elementos singulares em domínios menores denominados subelementos, como feito em Ribeiro et al. (005), ou avaliar o VPC analíticamente. O termo livre c i pode ser determinado indiretamente com movimentos de corpo rígido. Caso um cálculo direto se torne necessário, em Mantic (993) uma formulação válida para geometrias completamente arbitrárias é apresentada. Escrevendo a Eq. () para todos os pontos do contorno, conforme descrito em Brebbia & Dominguez (99), o seguinte sistema de equações é obtido: Hu = Gp (3) * As contribuições das integrais sobre p i, incluindo o termo livre c i, são computadas na matriz * H e a matriz G recebe as contribuições das integrais sobre as integrais de u i. Os vetores u e p contêm todos os deslocamentos e tensões do contorno, respectivamente. Para cada direção de cada nó um valor de contorno é prescrito e outro é incógnito. Para determinar os incógnitos, o sistema deve ser reorganizado para separá-los dos que foram prescritos. Esse procedimento é descrito com mais detalhes em Brebbia & Dominguez (99), e consiste em uma troca de colunas entre as matrizes H e G. 3 TÉCNICA ALTERNATIVA DE SUBREGIÕES Na Figura é apresentado um problema com duas regiões em contato e submetido a condições de contorno arbitrárias. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

66 60 Dimas Betioli Ribeiro & João Batista de Paiva Figura Problema com duas regiões. As regiões têm o mesmo coeficiente de Poisson e módulos de elasticidade diferentes. O contorno Γ da região Ω é dividido em duas partes, a parcela em contato com a subregião Ω é denominada por Γ e o restante do contorno por Γ. Analogamente, o contorno Γ está dividido em Γ para o contato e Γ para a superficie livre. Assim: Γ (4) = Γ + Γ, Γ = Γ + Γ As soluções fundamentais de deslocamento de Kelvin para as regiões Ω e Ω podem ser escritas como: [( 3ν ) + r r ] = δ * u i 4 i, i, 6πμ( ν ) r (5) [( 3ν ) + r r ] = δ * u i 4 i, i, 6πμ ( ν ) r (6) em que E μ=, μ = E ( + ν ) ( + ν ) (7) u Dessa forma, as soluções fundamentais podem ser relacionadas como segue: ΔE = u + u (8) * * * i i i E em que Δ Ei = Ei E (9) A solução fundamental de tensão de Kelvin, por sua vez, não depende do módulo de elasticidade, sendo portanto a mesma para os domínios Ω e Ω e podendo ser representada Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

67 Estudo e aplicação de um elemento de contorno infinito na análise da interação solo-estrutura via 6 unicamente como p * i para ambos os domínios. Inicia-se a dedução escrevendo a identidade de Somigliana, representada na Eq. (), para a região Ω : Γ * * ci u + piu dγ = ui p dγ (0) Γ Considerando as Eq. (4), as integrais da Eq.(0) podem ser divididas em duas partes conforme mostrado abaixo: * * * * u + piu dγ + piu dγ = ui p dγ + ui p d Γ Γ Γ Γ ci Γ () Uma expressão análoga pode ser escrita para a região Ω : * * * * u + piu dγ + piu dγ = ui p dγ + ui p d Γ Γ Γ Γ ci Γ () Quando a Eq. () é somada à Eq. (), uma única equação que considera ambas as regiões é obtida para o ponto: ( c + c ) i = i Γ u u * i + Γ * i p dγ + p u dγ + Γ u * i Γ p dγ p u dγ * i + Γ u * i + Γ * i p dγ + p u dγ + Γ u * i Γ p u dγ * i p dγ Alguns termos da Eq. (3) podem ser relacionados. Começando com o lado esquerdo da igualdade, a integral sobre Γ é igual à integral sobre Γ com o sinal trocado. Isso ocorre porque funções idênticas são integradas, apenas o sentido de integração é invertido. Assim: Γ * * pi u dγ + piu dγ = 0 (4) Γ Analisando agora o lado direito da Eq. (3) e considerando a Eq. (8), as seguintes simplificações podem ser feitas: (3) Γ = u * i Γ u p dγ * i + p dγ Γ + u * i Γ u p dγ * i p dγ = Γ u * i ΔE + E p dγ Γ u + * i Γ u * i p dγ ΔE + E ΔE = E u * i Γ u p * i dγ p dγ (5) As duas integrais somadas dentro do parênteses são iguais a zero pelo mesmo motivo que a Eq. (4) é zero. Mais uma simplificação é possível no lado direito da Eq.(3) substituindo a Eq. (8) em mais um termo, conforme mostrado abaixo: Γ ΔE ΔE u i Γ (6) * * * * * p dγ = ui + ui p dγ = ui p dγ + ui p d Γ E E Γ Γ Depois dessas deduções, as Eq. (4), Eq. (5) e Eq. (6) são substituídas na Eq. (3) e seus termos são reorganizados. O resultado é: Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

68 Dimas Betioli Ribeiro & João Batista de Paiva Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , ( ) Γ + Γ Δ + Γ + + Γ = Γ + Γ + + Γ Γ Γ Γ Γ Γ * * * * * * d p u d p u E E d p u d p u d u p d u p u c c i i i i i i i i (7) Os termos dentro do parênteses são função das tensões no contono, entretanto é necessário transformá-los em funções dos deslocamentos no contorno. Essa transformação é possível usando a Eq. (), isolando um de seus termos para posterior substituição na Eq. (7). Dessa forma: Γ Γ Γ Γ Γ Γ + Γ + = Γ * * * * d p u d u p d u p u c d p u i i i i i (8) Substituindo a Eq. (8) na Eq. (7) e combinando as integrais dentro do parênteses, a subsequente equação é obtida: Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ + Γ = Γ + Γ + + Γ + Γ Δ Δ + * * * * * * d p u d p u d u p d u p d u p d u p E E u E E c c i i i i i i i i (9) Nota-se que duas integrais do lado esquerdo da igualdade ainda podem ser combinadas como segue: Γ Γ Γ Γ Γ = Γ Δ = Γ Δ Γ * * * * d u p E E d u p E E d u p E E d u p i i i i (0) O resultado da substituição da Eq. (0) na Eq. (9) é: Γ Γ Γ Γ Γ Γ + Γ = Γ Δ Γ + Γ + + * * * * * d p u d p u d u p E E d u p E E d u p u c E E c i i i i i i i () A Eq. () é válida apenas para dois domínios. Estendendo-a para um número qualquer de regiões, ela se torna: = Γ = Γ = Γ = Γ = Γ Δ + Γ + nl l l il l nc c mn i mn nl l l i l nd k ik k l mn l d p u E E d u p E E d u p E E u c E E * * * () Na Eq. (), o sinal da segunda soma é positivo porque o sentido de integração foi alterado de nm Γ para mn Γ. O número total de domínios é nd, o número de contornos de contato é nc e o número de contornos livres é nl. A primeira soma representa o coeficiente ( ) y c i da Eq. () e antes de calculálo todos os coeficientes ik c, um para cada região k, devem ser determinados em função da posição do ponto em relação a cada domínio. Para chegar ao sistema de equações, basta repetir os passos descritos na Seção anterior mas empregando a Eq. () como ponto de partida no lugar da Eq. (). O número total de incógnitas é reduzido quando comparado à tecnica clássica de subregiões descrita em

69 Estudo e aplicação de um elemento de contorno infinito na análise da interação solo-estrutura via 63 Brebbia & Dominguez (99), pois as tensões de contato não estão incluídas nesse caso. Isso ustifica o fato da formulação alternativa levar a um menor tempo de processamento. 4 ELEMENTO DE CONTORNO INFINITO MAPEADO São considerados três tipos de mapeamento. No primeiro deles somente a direção ξ é mapeada, conforme ilustrado na Figura. Figura Mapeamento na direção ξ. Dada uma direção i no sistema de coordenadas retangular global, a coordenada x i é escrita em função das coordenadas globais do EC de origem, x i k, e das funções de mapeamento M k. No lado esquerdo da Figura é indicado o EC de origem, com a numeração local dos nós e suas respectivas coordenadas homogêneas. No lado direito é apresentado o ECI, que é definido no sistema de coordenadas global, sendo que a numeração de cada nó indica o correspondente do EC de origem. Conforme pode ser observado, somente o nó foi mapeado ao infinito. Por este motivo este nó não possui função de mapeamento, além de não possuir função de forma. Para auxiliar o mapeamento é criado um quarto nó, indicado na Figura como nó 4. Convém ressaltar que o nó 4 possui função de mapeamento mas não possui função de forma. Isto significa que somente os nós e 3 contribuem quando este ECI é integrado. O segundo tipo de mapeamento a ser considerado é quando somente a direção ξ é mapeada. Isto é apresentado na Figura 3. Figura 3 Mapeamento na direção ξ. Assim como na Figura são representados, na Figura 3, o EC de origem e o ECI. Neste caso somente o nó foi mapeado ao infinito, portanto este nó não possui função de mapeamento nem função de forma. Se torna necessária, novamente, a criação de um nó auxiliar para o mapeamento, o qual é indicado na Figura 3 como nó 5. Como o nó auxiliar não possui função de forma, no caso do mapeamento da direção ξ somente os nós e 3 contribuem na integral do elemento. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

70 64 Dimas Betioli Ribeiro & João Batista de Paiva Figura 4 Mapeamento nas direções ξ e ξ. No terceiro e último caso as duas direções, ξ e ξ, são mapeadas. A Figura 4 ilustra a situação. Assim como nas Figuras anteriores, na Figura 4 são representados o EC e o ECI. Como neste caso dois nós são mapeados ao infinito, torna-se necessária a criação de dois nós auxiliares. Estes nós são indicados na Figura 4 com os números 4 e 5, e assim como anteriormente eles possuem função de mapeamento mas não possuem função de forma. Portanto, para mapeamento em duas direções, somente o nó 3 contribui na integral do elemento. O passo seguinte é a definição das funções de mapeamento. Como o sistema de coordenadas local é oblíquo, neste trabalho isto é feito empregando uma estratégia diferente das abordagens difundidas na literatura. Sendo ξ i uma direção a ser mapeada, é criada uma coordenada auxiliar com a função de definir este mapeamento. A escolha da função foi fundamentada no trabalho de Davis & Rabinowitz (975), resultando na seguinte expressão: ξ ξ = i i ξ i (3) Portanto, caso se queira mapear a direção ξ, escreve-se: ξ ξ = (4) ξ e para mapear a direção ξ : ξ ξ = (5) ξ Definida a Eq. (4) e a Eq. (5), a estratégia para a obtenção das funções de mapeamento consiste em substituir estas expressões nas funções de forma do EC de origem. Estas funções de forma são: φ = ξ (6) φ = ξ (7) φ = ξ ξ 3 (8) Serão apresentadas somente as deduções para o caso em que se queira mapear somente a direção ξ (Figura ), pois a dedução dos dois outros casos (Figuras 3 e 4) são análogas. Assim, substitui-se somente a Eq. (4) nas Eq. (6), (7) e (8). O resultado é: Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

71 Estudo e aplicação de um elemento de contorno infinito na análise da interação solo-estrutura via Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , ,, 4 ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ = = = = = M M M (9) O símbolo subscrito indica que somente a direção ξ foi mapeada. É importante observar que o nó não possui função de mapeamento, sendo substituído pelo nó auxiliar 4. Também deve ser salientado que a função de mapeamento do nó é exatamente igual à função de forma original. Isto significa que a direção ξ não sofreu influência do mapeamento. é necessário também calcular as derivadas das funções de mapeamento. Portanto: ( ) 0 4, 4 = = ξ ξ ξ M M (30) 0, = = ξ ξ M M (3) ( ) 3, 3 = = ξ ξ ξ M M (3) Definidas as funções de mapeamento, elas dever ser utilizadas para relacionar o sistema de coordenadas global ao sistema local do elemento. Assim: i x M i x M i x M i x + + = (33) Para o cálculo do Jacobiano, é necessário definir as derivadas da Eq. (33). Portanto: i x M i x M i x M i x ξ ξ ξ ξ + + = (34) i x M i x M i x M i x ξ ξ ξ ξ + + = (35) As derivadas que compõem as Eq. (34) e (35) são definidas nas Eq. (30), (3) e (3). Após relacionar o sistema de coordenadas global ao sistema local, torna-se possível calcular o Jacobiano desta transformação. Desta forma, o Jacobiano é dado por: ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ = = x x x x x x x x J (36) O símbolo sobrescrito indica que o Jacobiano se refere a um ECI. Desta forma, o Jacobiano é:

72 66 Dimas Betioli Ribeiro & João Batista de Paiva J = A ( ξ ) (37) em que A é a área do triângulo definido pelos nós, 3 e 4 do ECI (ver Figura ). 5 O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 5. Formulação do Método dos Elementos Finitos O MEF é uma prática e poderosa ferramenta para a modelagem problemas de domínio finito de geometria qualquer. A superestrutura empregada neste trabalho é composta por um conunto de lâminas (cascas e folhas poliédricas) e/ou elementos de barras. Eles são formulados com a utilização do MEF na sua forma mais convencional, ou sea, usando o Método dos Deslocamentos. Para cada elemento finito existente na estrutura devem ser definidos uma matriz de rigidez e um vetor de cargas nodais. Fazendo um somatório para todos os elementos que compõe o domínio em estudo, chega-se a uma matriz de rigidez global e a um vetor de cargas nodais global. Estes termos computam a influência de toda a estrutura, e em conunto com seus parâmetros nodais compõe o sistema: K u nodal = F (38) em que nodal u é o vetor dos deslocamentos nodais incógnitos, K é a matriz de rigidez global e F é o nodal vetor de cargas nodais global. Resolvendo-se o sistema obtém-se o vetor de incógnitas u. 6 ACOPLAMENTO MEC/MEF As formulações advindas do MEC e do MEF podem ser acopladas mediante a consideração das condições de equilíbrio e compatibilidade existentes nos pontos nodais em comum aos domínios modelados pelos dois métodos. Para que isto sea feito de forma coerente, deve-se compatibilizar as forças externas do MEC com as do MEF. Entretanto, a representação das forças externas no MEC é tomada como forças de superfície, ou sea, forças por unidade de área, enquanto que as ações externas formuladas pelo MEF empregam o conceito de força nodal equivalente, ou sea, forças concentradas. Neste contexto, para acoplar as duas formulações, é necessário empregar um campo de forças comum ao dois métodos. Ou se representam as forças de superfície em termos forças nodais equivalentes ou vice-versa. Neste trabalho, as forças de superfície são convertidas em forças nodais equivalentes. Justifica-se tal escolha pelo menor tempo de processamento necessário quando comparado à outra opção. O desenvolvimento mostrado será feito para o carregamento transversal ao elemento triangular, sendo válido para as outras duas direções. As forças de superfície transversais e as cargas nodais equivalentes são mostradas na Figura 5. Figura 5 Forças de superfície e cargas nodais equivalentes de um elemento. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

73 Estudo e aplicação de um elemento de contorno infinito na análise da interação solo-estrutura via Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , O trabalho das cargas externas pode ser expresso por: = A e da x x w x x g T ), ( ), ( (39) em que ( ) x, x w são os deslocamentos transversais no domínio do elemento e A é a sua área. Para o caso em que este campo possui variação linear (Figura 6), tem-se: 3 ξ ξ ξ k i w w w w + + = (40) Analogamente, as forças de superfície podem ser expressas por: 3 ξ ξ ξ k i w w w w + + = (4) Figura 6 Variação linear do deslocamento transversal e da força de superfície no interior do elemento finito. Transformando-se as coordenadas dos eixos cartesianos para as coordenadas homogêneas e substituindo-se as expressões (40) e (4) em (39), obtém-se: ( ) ( )da w w w g g g T k i A k i e 3 3 ξ ξ ξ ξ ξ ξ = (4) Minimizando-se a energia potencial devido às cargas externas e sabendo-se que a integral ( )da f A 3,, ξ ξ ξ pode ser calculada como: ( )!!!! = η η η η η η ξ ξ ξ η η η A da A (43) Chega-se ao vetor de cargas nodais transversais dado por: = k i k i g g g A F F F (44) Seguindo-se o mesmo procedimento para as outras direções, a relação entre forças as nodais e as forças de superfície para o caso do elemento laminar DKT-FF pode ser escrita como: = k i k i g g g Q F F F ] [ (45)

74 68 Dimas Betioli Ribeiro & João Batista de Paiva para l=,,3, representando as três direções e i, e k os três nós locais do elemento, e a matriz Q dada por: A [ Q ] = (46) (a) lâmina malha a (MEF) (b) f i f lâmina solo malha b (MEC) R MEF MEC P solo Malha a (MEF) Malha b (MEC) Figura 7 (a) Rede empregada para o solo e a lâmina em contato e (b) forças de superfície e cargas nodais equivalentes. Na expressão (38), pode-se incorporar as forças reativas da seguinte maneira: [ K mef mef ] { U mef } = { Fmef } { R } (47) em que o vetor R representa as forças concentradas de reação. Assim, o acoplamento entre as forças de superfície advindas do MEC e as forças concentradas reativas advindas do MEF pode ser feito com o uso da matriz da relação (46), chegando-se a: K ] { U } = { F } [ Q ] [ K] { U } (48) [ mef mef mef solo em que K mef, U mef e F mef são, respectivamente, a matriz de rigidez, os vetores dos parâmetros nodais de deslocamentos e forças concentradas da estrutura discretizada pelo MEF. Q e U solo são, respectivamente, a matriz de transformação expandida relativa à contribuição de todos os elementos e o vetor de deslocamentos nodais da rede discretizada pelo MEC. É possível reagrupar a relação (48), chegando-se a: K U = F tot ~ tot tot (49) Com K tot = K + Q K (50) mef mec Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

75 Estudo e aplicação de um elemento de contorno infinito na análise da interação solo-estrutura via 69 E U tot e F tot são os deslocamentos e as forças totais do sistema solo-estrutura. Esta matriz é não-simétrica e altamente esparsa, á que as influências entre os graus de liberdade dos dois modelos só ocorrem na região de contato, não havendo ligação entre as estruturas. 7 EXEMPLO O obetivo deste exemplo é apresentar uma aplicação que demonstre a abrangência da ferramenta numérica desenvolvida neste trabalho, permitindo a análise de diversos tipos de sistemas estruturais diferentes interagindo entre si. O problema a ser estudado, conforme apresentado na Figura 8, é o de um edifício com suas estruturas de fundação e apoiado em um maciço de solos nãohomogêneo. Em 8a é ilustrada uma vista em perfil de todo o conunto, em 8b é apresentado o pavimento tipo considerado no edifício e em 8c é demonstrada uma vista em planta das estruturas de fundação consideradas. Figura 8 Interação edifício-radier-estaca-solo. O coeficiente de Poisson é constante e igual a zero em todo o maciço, sendo o módulo de elasticidade das camadas igual a 60, 80 e MPa, e suas espessuras de 5 m e 0 m. As estacas possuem 0,5 m de diâmetro, 0 m de comprimento e estão espaçadas de 5 m, enquanto que o radier possui 0 m de aresta e 0,5 m de espessura. Todos os materiais modelados com o MEF possuem módulo de elasticidade igual a 5000 MPa e coeficiente de Poisson 0,. Isto inclui todas as laes, vigas, pilares, estacas e o radier. O edifício é composto por quatro pavimentos, conforme ilustrado na Figura 8a. Todos os pavimentos são iguais ao apresentado na Figura 8b, sendo compostos por uma lae de 0,3 m de espessura, quatro vigas que sustentam a lae e quatro pilares que sustentam as vigas. Todas as vigas e pilares considerados possuem a mesma seção transversal, a qual é quadrada e com m de aresta. No radier, a base dos pilares é conectada no topo das estacas de canto, as quais estão numeradas como, 3, 7 e 9 na Figura 8c. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

76 70 Dimas Betioli Ribeiro & João Batista de Paiva Figura 9 Cargas verticais aplicadas. As cargas externas consideradas são carregamentos de 0,04 MPa distribuídos sobre as quatro laes, conforme ilustrado na Figura 9. Figura 0 Malha de EF/EC/ECI empregada. A Figura 0 apresenta as malhas de elementos finitos (EF), elementos de contorno (EC) e elementos de contorno infinitos (ECI) empregadas na simulação do problema. Em 0a é ilustrada uma visão em planta da malha utilizada para modelar a superfície e os contatos entre camadas, totalizando 480 ECs e 96 ECIs. O quadrado destacado no centro indica a posição da placa na superfície. Em 0b pode ser visualizada a malha com 3 EFs empregada para simular o radier, untamente com a posição das estacas. Por fim, em 0c pode ser visualizada a malha de 3 EFs empregada em cada lae. As linhas destacadas nas bordas da lae indicam os EFs de barra utilizados para simular as vigas, somando 6 por pavimento. Além disto, cada trecho de pilar entre pavimentos é dividido em 4 elementos de barra, totalizando 6 EFs por pavimento. Somando todos os pavimentos e o radier, foram empregados no total 60 EFs triangulares e 8 EFs de barra. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

77 Estudo e aplicação de um elemento de contorno infinito na análise da interação solo-estrutura via 7 Figura Deslocamento vertical para cargas nas laes. O primeiro resultado, ilustrado na Figura, é o deslocamento vertical do eixo das estacas. São apresentadas apenas as estacas numeradas como, e 5 na Figura 8c, pois o resultado foi simétrico para as demais. Os pilares de canto foram os que apresentaram maior deslocamento, sendo o valor no topo igual a, mm. Este resultado pode ser considerado coerente, pois a base dos pilares está posicionada exatamente sobre estas estacas. O deslocamento de topo obtido para as demais estacas foi de 7,3 mm para a estaca e 6,9 mm para a estaca 5. Figura Deslocamento vertical no quarto pavimento. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

78 7 Dimas Betioli Ribeiro & João Batista de Paiva São apresentados na Figura resultados calculados para o pavimento número 4, conforme a numeração apresentada na Figura 8a. Considera-se os valores ao longo de uma linha diagonal ao pavimento, com extremos nos pilares P e P4 conforme indicado na Figura 8b. Além do resultado calculado considerando a base flexível ilustrada na Figura 8a, são colocados também os valores obtidos quando é considerada uma base rígida para o edifício, ou sea, aplicando restrições de deslocamento na base dos pilares. É possível observar que os deslocamentos da lae são significativamente superiores quando a base flexível é considerada, o que pode ser considerado um resultado previsível. O deslocamento máximo da lae para o caso rígido é de 8,8 mm, enquanto que para o caso flexível este valor atinge 4,0 mm. Figura 3 Cargas horizontais aplicadas. Na segunda parte deste exemplo, os carregamentos distribuídos sobre as laes são substituídos por duas forças concentradas horizontais aplicadas na lateral da edificação, conforme apresentado na Figura 3. Em 3a é ilustrada a vista lateral da estrutura, com as forças aplicadas no plano do pavimento 4. A posição em planta na qual as forças são aplicadas pode ser visualizada na Figura 3b. Figura 4 Deslocamento horizontal no pilar P. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

79 Estudo e aplicação de um elemento de contorno infinito na análise da interação solo-estrutura via 73 Para este segundo carregamento, apresenta-se na Figura 4 os deslocamentos horizontais calculados ao longo do pilar P, cua posição pode ser observada na Figura 8b. Também para este caso foram feitas duas simulações, uma considerando a base flexível ilustrada na Figura 8a e outra considerando uma base rígida, ou sea, aplicando restrições de deslocamento na base dos pilares. Conforme esperado, o pilar se desloca mais quando a base flexível é considerada. Para a base rígida o deslocamento calculado para o topo do pilar foi de 8,9 mm, enquanto que para o caso flexível este valor atinge,3 mm. Além disto, analisando os deslocamentos ao longo de todo o pilar nos dois casos, conclui-se que no caso flexível ocorre uma maior inclinação da estrutura. Como os deslocamentos horizontais se tornam excentricidades para as cargas aplicadas na direção vertical, estas diferenças introduzem esforços relevantes que podem agir contra a segurança da estrutura. Isto demonstra a importância de considerar-se a flexibilidade do solo no cálculo de edificações. 8 CONCLUSÕES Neste trabalho foi desenvolvida uma ferramenta numérica para a simulação estática de problemas tridimensionais de interação solo-estrutura, audando a preencher lacunas existentes nas pesquisas que tratam deste assunto. Os resultados apresentados demonstraram a consistência do programa de forma coerente. Os diferentes domínios em contato no maciço são agrupados utilizando uma técnica alternativa de subregiões, a qual contribuiu na melhora da precisão dos resultados. Além disto, foram utilizados ECIs, permitindo que resultados precisos fossem obtidos com um número de graus de liberdade relativamente reduzido. Apesar de não terem sido feitas comparações com outros autores, os valores obtidos no exemplo podem ser considerados coerentes. Chegou-se à conclusão final de que a desconsideração da flexibilidade da fundação no cálculo de edificações pode omitir importantes excentricidades e conseqüente esforços na estrutura, os quais podem alterar as previsões calculadas em proeto. 9 AGRADECIMENTOS Ao Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC/USP, onde este trabalho foi desenvolvido, e à Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo. 0 REFERÊNCIAS ALMEIDA, V. S.; PAIVA, J. B. A mixed bem-fem formulation for layered soil superstructure interaction. Engineering analysis with boundary elements, v. 8, p. -, 004. BREBBIA, C. A.; DOMINGUEZ, J. Boundary elements: an introductory course. London: Computational Mechanics Publications, 99. BURMISTER, D. M. The general theory of stresses and displacementsin layered systems III. Journal of Applied Physics, v.6, p , 945. DAVIS, P. J.; RABINOWITZ, P. Methods of numerical integration. New York: Academic Press, 975. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

80 74 Dimas Betioli Ribeiro & João Batista de Paiva KARAKUS, M.; OZSAN, A.; BASARIR, H. Finite element analysis for the twin metro tunnel constructed in ankara clay, turkey. Bulletin of Engineering Geology and the Environment, v. 66, p. 7-79, 007. MYLONAKIS, G.; GAZETAS, G. Settlement and additional internal forces of grouped piles in layered soil. Géotechnique, v. 48, n., p. 55-7, 998. OTTAVIANI, M. Three-dimensional finite element analysis of vertically loaded pile groups. Géotechnique, v. 5, n., p.59-74, 975. RIBEIRO, D. B. Estudo e aplicação de um elemento de contorno infinito na análise da interação solo-estrutura via combinação MEC/MEF Tese (Doutorado em Engenharia de Estruturas) Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 009. RIBEIRO, D. B.; ALMEIDA, V. S.; PAIVA, J. B. Uma formulação alternativa para analisar a interação solo não-homogêneo/fundação/superestrutura via acoplamento MEC-MEF. Revista Sul-Americana de Engenharia Estrutural, v., N., p. 7-46, 005. SADECKA, L. A finite/infinite element analysis of thick plate on a layered foundation. Computers and Structures, v. 76, p , 000. TA, L. D.; SMALL, J. C. Analysis and performance of piled raft foundations on layered soils-case studies. Soil and Foundations, v. 38, n. 4, p , 998. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

81 ISSN COMPORTAMENTO DE PRISMAS DE BLOCOS VAZADOS DE CONCRETO SOB COMPRESSÃO AXIAL E ANÁLISE DAS PROPRIEDADES MECÂNICAS DE SEUS MATERIAIS CONSTITUINTES Claudius de Sousa Barbosa & João Bento de Hanai Resumo O obetivo deste trabalho é identificar e correlacionar as propriedades mecânicas do concreto e da argamassa de assentamento com o comportamento estrutural de prismas de blocos vazados de concreto, por meio de modelagem física e numérica. Realizou-se detalhada investigação experimental, recorrendo à premissa metodológica de se utilizar um mesmo concreto, de consistência plástica, para a moldagem de blocos vazados e corpos-de-prova cilíndricos, para assegurar propriedades idênticas dos materiais em cada série de ensaios. Analisou-se a influência do efeito de confinamento e do processo de cura das untas de argamassa e se associou parâmetros indicativos do seu comportamento à capacidade resistente e ao modo de ruína dos prismas. As propriedades mecânicas dos materiais, obtidas experimentalmente, foram implementadas em um modelo numérico de elementos finitos, que se mostrou capaz de representar o comportamento dos prismas de alvenaria submetidos à compressão, com boa predição de sua resistência. Associou-se o efeito da resistência e da deformabilidade da argamassa no comportamento estrutural dos prismas. Palavras-chave: Alvenaria estrutural. Blocos vazados de concreto. Prismas. Propriedades mecânicas dos materiais. Análise teórica e experimental. BEHAVIOUR OF CONCRETE MASONRY PRISMS UNDER AXIAL LOAD AND ANALYSES OF THEIR MECHANICAL PROPERTIES CONSTITUENT MATERIALS Abstract This work aims to identify and correlate the mechanical properties of concrete and bedding mortar to the structural behavior of hollow concrete block prisms by mean of physical and numerical modeling. A detailed experimental investigation was carried out by assuming as a premise the use of plastic consistency concrete to produce hollow blocks and cylindrical samples. This was done to assure the same material properties in each test series. Confinement effect and influence of water loss during the curing of mortar oints were also considered. Indicative parameters about bedding mortar behavior were obtained and the resistant capacity and the failure mode of prisms were associated to them. The mechanical properties of materials obtained in tests were implemented in a finite elements numerical model to analyze the behaviour of masonry elements under compression. The numerical analysis gave good predictions of strength. Key-words: Structural masonry. Hollow concrete blocks. Prisms. Materials mechanical properties. Experimental and numerical analysis. Professor do Departamento de Estruturas da FEC-UNICAMP, claudiusbarbosa@yahoo.com.br Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, bhanai@sc.usp.br Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

82 76 Claudius de Sousa Barbosa & João Bento de Hanai INTRODUÇÃO Os métodos de dimensionamento e verificação da segurança estrutural da alvenaria ainda se baseiam em dados empíricos, em muitos aspectos. Por exemplo, embora as normas brasileiras esteam em fase adiantada de revisão, o Método das Tensões Admissíveis ainda é o preconizado pela norma em vigor NBR 0837 (989) para o dimensionamento de pilares de alvenaria e paredes solicitadas à compressão axial. Lourenço e Pina-Henriques (006) ressaltam que os avanços na Mecânica Computacional, conquistados ao longo das últimas décadas, permitiram o crescimento da utilização de ferramentas numéricas com a padronização de modelos não-lineares em diversos programas baseados em elementos finitos. Apesar disso, as micro-modelagens dos elementos de alvenaria são limitadas pela falta de dados experimentais relativos às propriedades não-lineares dos materiais: (...) os ensaios com unidades à compressão fornecem uma resistência que não é real devida à restrição ocasionada pelas placas de ensaios e as diferentes formas das unidades não permitem o estabelecimento de correlações consistentes entre a resistência à tração e resistência à compressão; além disso, são escassos os ensaios que apresentam o comportamento pós-pico dos elementos e, em relação às argamassas, os corpos-de-prova são obtidos a partir de ensaios padronizados em fôrmas metálicas tendo o efeito da absorção da água pelas unidades ignorado. (LOURENÇO, 996). Assim, Stewart e Lawrence (007) comparam as diretrizes para proeto de estruturas de alvenaria com os dados existentes de ensaios com paredes para estimar um modelo de erro em termos probabilísticos para estas estruturas submetidas à compressão, abordando modelos para as propriedades dos materiais e carregamentos. O obetivo do trabalho é o desenvolvimento de um modelo probabilístico para determinação da confiabilidade estrutural, mostrando tanto a importância do aprofundamento do conhecimento das propriedades dos materiais como do entendimento do carregamento atuante. Na mesma linha, Graubner e Glowienka (008) apresentam um modelo de incertezas com parâmetros e modelos estatísticos para consideração probabilística de estruturas de alvenaria submetidas à compressão axial. Para a aplicação do conceito de estados limites, é necessário isolar e conhecer melhor cada uma das variáveis que intervêm no comportamento estrutural em serviço e estado limite último. É preciso estabelecer coeficientes de ponderação a essas variáveis, como os coeficientes de minoração da resistência dos materiais, coeficientes de ponderação relativos à correlação de resistências dos corpos-de-prova e blocos e argamassas de assentamento, à transposição de situações peculiares, à produção/controle dos blocos, aos efeitos de ações de longa duração, aos efeitos de escala e de forma, etc. É necessário também definir coeficientes de segurança para situações específicas. Pretende-se com o presente trabalho investigar detalhadamente os efeitos de algumas das variáveis que influenciam o comportamento da alvenaria, particularizando neste trabalho o estudo de prismas com o emprego de métodos de análise teórica e experimental. Especificamente, obetiva-se analisar o efeito da resistência e da deformabilidade das argamassas de assentamento no comportamento estrutural de prismas e desenvolver métodos especiais para caracterização da argamassa de assentamento, considerando o efeito da absorção dos blocos e o confinamento da argamassa na camada de pequena espessura. Finalmente, pretende-se aplicar os resultados obtidos a partir da caracterização experimental do concreto e argamassa em um modelo numérico em elementos finitos e validá-lo por meio da comparação com os valores da resistência e deformabilidade de prismas obtidos em testes em laboratório. METODOLOGIA EXPERIMENTAL A idéia central e diferenciada adotada neste trabalho é a utilização de um mesmo concreto, de consistência plástica, com o qual são moldados tanto os blocos quanto os corpos-de-prova cilíndricos. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

83 Comportamento de prismas de blocos vazados de concreto sob compressão axial e análise das 77 Embora se saiba que para a produção de blocos em fábricas o concreto empregado é de consistência seca e não plástica, a premissa de se utilizar, nos ensaios ora descritos, um mesmo concreto tanto nos blocos como nos corpos-de-prova, possibilita confrontar resultados com a garantia de que se trata de um único material. Os ensaios foram realizados com controle de deslocamento na máquina de ensaios universal Instron Blocos vazados de concreto Os blocos vazados de concreto, com os quais serão construídos os primas, possuem dimensões de 40 x 90 x 390 mm, com área líquida de mm², o que corresponde a aproximadamente 56% de sua área bruta. A espessura das paredes longitudinais e dos septos transversais é de 8 mm, com exceção do septo transversal central que possui 30 mm de espessura, conforme ilustra a Figura a. Os vazios dos blocos são definidos pela inserção de dois prismas de EPS (poliestireno expandido) escolhidos por prevenirem eventuais fissuras decorrentes do efeito de retração do concreto às primeiras horas, á que estes ficam em contato com as fôrmas por 4 h. Ensaios de absorção realizados previamente indicam que a quantidade de água absorvida por estes elementos não alteram a relação a/c original do traço de concreto. Na Figura b ilustra-se a fôrma dos blocos (constituídas por chapas metálicas e parafusadas entre si), os prismas de EPS e a barra de travamento superior para a fixação deste material de enchimento. (a) (b) Figura Dimensões do bloco de concreto em centímetros (a) e fôrma para sua produção (b).. Prismas Os prismas são elementos formados por três blocos interligados por untas de argamassa assentadas sobre os septos transversais e paredes longitudinais. As untas têm espessura de 0±3 mm conforme recomendação da NBR 85 (983), portanto, a altura total dos prismas é de 590 mm. Não há a necessidade do acabamento do topo e base do bloco, das extremidades dos prismas e que estarão em contato com as placas de ensaio, á que estes possuem superfícies planas que ficam em contato com o fundo da fôrma metálica. Desta forma, os blocos extremos do prisma têm estas superfícies em contato com as placas de ensaio e as superfícies irregulares em contato com a unta de argamassa. Após a produção dos blocos e a realização de sua cura em câmara úmida durante sete dias executa-se a marcação dos pontos de instrumentação nos blocos para a fixação de extensômetros mecânicos, transdutores de deslocamento e relógios comparadores. Tal estratégia de instrumentação obetiva obter os deslocamentos longitudinais e transversais ao longo das paredes tanto do bloco central como da altura total do prisma (Figura ). Assim, procura-se analisar o comportamento global do prisma utilizando-se instrumentos com maior base de medição e o comportamento do bloco central Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

84 78 Claudius de Sousa Barbosa & João Bento de Hanai com instrumentação específica para este. Para aferir o deslocamento da placa de ensaio, utiliza-se um relógio comparador de cada lado, próximo à região central do elemento. Também são dispostos instrumentos para aferir a deformação da unta de argamassa, unicamente na interface com os blocos de concreto. Figura Instrumentação utilizada nos ensaio dos prismas: extensômetros mecânicos (vertical), transdutores de deslocamento (vertical e horizontal) e relógios comparadores (vertical). Os prismas são submetidos à compressão axial, com velocidade de carregamento constante de 0,00 mm/s. Obtém-se a resistência à compressão axial e deformações do prisma, de seu bloco central e da unta de argamassa. A fissuração nos prismas é observada a 60% da força máxima do ensaio, localizada comumente em ambos os lados bloco intermediário, próximas à região do septo transversal central. Estas fissuras tendem, primeiramente, a se prolongar em direção a um dos blocos da extremidade; em alguns casos observam-se fissuras na região central do septo transversal do bloco central. Com o aumento da força e iminência da ruína, as fissuras do bloco central aumentam sua abertura, e as localizadas no septo transversal expandem-se para os blocos das extremidades. Após o patamar da força máxima, a fissuração é generalizada, intensificando-se na fase de descarregamento do ensaio. Ocorre destacamento das paredes longitudinais dos blocos e, ao fim do ensaio, é nítida a tendência de separação nos septos transversais, instante em que também é identificado o esmagamento da argamassa da unta. Quando a argamassa apresenta baixa resistência à compressão, comprando-se com a resistência dos blocos, o modo de ruína dos prismas é alterado, com o esmagamento da argamassa sendo identificado anteriormente à fissuração dos prismas, que surgirá no prenúncio da ruína. A estas formas de ruína associam-se as propriedades mecânicas do concreto e argamassa que estão descritas no item 3..3 Corpos-de-prova Paralelamente à produção dos blocos de concreto e execução dos prismas, foram moldados corpos-de-prova de concreto e argamassa. Os corpos-de-prova cilíndricos de 00 x 00 mm (diâmetro x altura) e vigas com 50 x 50 x 500 mm (largura x altura x comprimento) são produzidos com o concreto do mesmo lote de mistura utilizado na moldagem dos blocos, adensados sobre mesa vibratória. Os CP s cilíndricos são destinados aos ensaios de compressão axial e compressão diametral, determinando-se a resistência à compressão, resistência à tração e o módulo de elasticidade do material. Realizam-se ensaios à Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

85 Comportamento de prismas de blocos vazados de concreto sob compressão axial e análise das 79 flexão de três pontos em vigas de concreto com entalhe, obtendo-se o valor da resistência à tração e a energia de fraturamento. Os corpos-de-prova de concreto permanecem em câmara úmida por sete dias e são retirados untamente com os blocos. O acabamento das superfícies de ensaio dos CP s cilíndricos é feito por meio do processo de retífica. Após a retirada das vigas da câmara úmida, executa-se um entalhe na parte inferior, ao longo de sua largura e com profundidade de 5 m. Para a obtenção das propriedades mecânicas relativas à argamassa utilizada na construção de prismas e paredes, moldaram-se corpos-de-prova cilíndricos 50 x 00 mm e vigas com dimensões de 50 x 50 x 500 mm. O adensamento destes elementos também é realizado sobre mesa vibratória. Os corpos-de-prova de argamassa permanecem em cura ao lado dos respectivos prismas, em ambiente de laboratório. Realizaram-se ensaios de confinamento com CP s de argamassa com célula triaxial de uma máquina servo-hidráulica com capacidade total de 700 kn. A carga partiu do zero e seguiu até a ruptura, sendo a pressão de confinamento mantida em valores pré-determinados e constantes durante todo o ensaio. Utilizam-se dois extensômetros elétricos de resistência para obtenção das deformações longitudinais e dois para obtenção das deformações transversais. O modo de ruína dos CP s ocorre por cisalhamento diagonal. Os resultados obtidos nas análises experimentais indicam que o aumento na tensão lateral produz um aumento na resistência à compressão do corpo-de-prova e nas deformações longitudinais últimas. As curvas apresentam trecho próximo a uma reta até 40%-60% da resistência à compressão, ocorrendo a partir deste ponto, como conseqüência das falhas de aderência na interface pasta-agregado, o início de uma maior microfissuração. Isso leva ao aumento das deformações com o surgimento de um trecho fortemente não-linear com significativa alteração de rigidez do material. Em virtude do comportamento fortemente não-linear da argamassa no estado triaxial, os valores do módulo de elasticidade e do coeficiente de Poisson dependem do nível desse estado de tensões, mas também podem ser influenciados pela quantidade de cimento. Identifica-se ainda que a deformação lateral decresce com o aumento da tensão de confinamento e em cada análise a envoltória da resistência última pode ser representada por uma linha (envoltória de Mohr-Coulomb). Além da não-linearidade apresentada pelas curvas tensão-deformação, diferenças significativas entre os comportamentos podem ser destacadas, separando-as em três grupos: o frágil, o dúctil e o bilinear, dependendo do nível de confinamento e da resistência da argamassa. A Figura 3a apresenta as curvas tensão-deformação longitudinal e lateral obtidas nos ensaios, para cada nível de carregamento lateral. Todas as curvas apresentam um comportamento claramente não-linear destacando-se o comportamento frágil na ausência de tensão lateral, o comportamento dúctil ao primeiro incremento de carga lateral e, com os posteriores aumentos de tensão lateral, a mudança para o comportamento bilinear. Destacam-se ainda, com o incremento da tensão lateral, o aumento das deformações longitudinais e a redução das deformações transversais na ruína. Um comportamento não esperado é identificado para o nível de tensão lateral de 3,5 N/mm². Esta curva apresenta maiores valores de deformação que os obtidos na argamassa sob tensão lateral de 4,5 N/mm², para um mesmo nível de tensão. Uma análise mais detalhada deve considerar as relações σ / σ0 e σ3 / σ0, sendo σ 0 a resistência à compressão axial, σ a resistência à compressão triaxial e σ 3 a tensão de confinamento. O gráfico apresentado na Figura 3b considera simultaneamente a comparação dessas tensões para 63 ensaios à compressão triaxial, os quais apresentam variação do traço da argamassa e da tensão de confinamento. Nesta análise obteve-se uma boa aproximação polinomial de segunda ordem a partir dos resultados encontrados durante o desenvolvimento do programa experimental da presente pesquisa e dos obtidos por Khoo (97), McNary (984) e Mohamad (998). Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

86 80 Claudius de Sousa Barbosa & João Bento de Hanai (a) (b) Figura 3 Curvas tensão-deformação (longitudinal e lateral) das argamassas obtidas nos ensaios à compressão triaxial. Relações entre as tensões principais nos ensaios triaxiais com argamassas (b). O efeito de perda de água que ocorre na unta de argamassa quando em contato com blocos de concreto foram simulados idealizando-se fôrmas cilíndricas e cúbicas constituídas de gesso e concreto para induzir a perda de água da argamassa ainda em seu estado fresco. Para obtenção de dados comparativos de absorção do gesso e do concreto, utilizaram-se fôrmas cúbicas (com 00 mm de aresta) compostas por blocos de concreto (Figura 4). No dia seguinte à moldagem com argamassa, os corpos-de-prova das fôrmas metálicas foram retirados e os que estavam em contato com material absorvente permaneceram nas fôrmas até o dia anterior ao ensaio. Foram utilizados sempre os mesmos tipos de materiais, portanto neste trabalho não foi focada a influência da qualidade dos materiais constituintes da argamassa. Figura 4 Fôrmas cilíndricas e cúbicas de gesso e concreto utilizadas para a moldagem de corpos-de-prova de argamassa. 3 RESULTADOS EXPERIMENTAIS Neste item são apresentados e discutidos os resultados obtidos durante os testes em laboratório com prismas e corpos-de-prova dos seus materiais constituintes e com amostras de argamassa submetidas aos ensaios de perda de água e compressão triaxial. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

87 Comportamento de prismas de blocos vazados de concreto sob compressão axial e análise das 8 3. Comportamento mecânico dos prismas Na Tabela estão apresentadas as resistências à compressão dos prismas ( f p ), dos seus respectivos componentes blocos vazados de concreto ( f b ) e argamassa ( f a ) e as relações entre estes valores. Tabela Resistência à compressão dos blocos, argamassas e prismas Grupo fp f a N/mm² f b f c f p / f b f a / f b P 7,8 (3,7%) 7,5 (4,%) 0,0 8,6 (4,4%) 0,890 0,686 P 8, (,9%) 9,4 (0,5%) 4,5,8 (3,5%) 0,743 0,683 P3,5 (4,8%) 5,5 (,3%) 6,8 4,9 (4,0%) 0,80, P4 30, (3,9%), (7,0%) 38,9 36, (5,7%) 0,773,09 Entre parênteses: coeficiente de variação Valor relativo à área bruta do bloco Na Tabela estão apresentadas a resistência à compressão ( f c ), à tração ( f ct ) e o módulo de elasticidade do concreto ( E c ) que constitui os blocos utilizados na construção dos prismas. O coeficiente de Poisson em todos os grupos de resistência vale 0,. Tabela Resistência à compressão, à tração e módulo de elasticidade do concreto que constitui os blocos dos prismas Grupo f c E c N/mm² BP 8,6 (4,4%) 7449,7 (%) BP,8 (3,5%) 0595, (0,%) BP3 4,9 (4,0%) 75,4 (9,3%) BP4 36, (5,7%) 704 3, (0,8%) Entre parênteses: coeficiente de variação Resistência à tração do concreto por meio de compressão diametral fct Os valores médios da resistência à compressão ( f a ) e à tração indireta da argamassa ( f at ) utilizada na construção dos prismas e seus respectivos módulos de elasticidade ( E a ) estão apresentados na Tabela 3. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

88 8 Claudius de Sousa Barbosa & João Bento de Hanai Tabela 3 Resistência à compressão, módulo de elasticidade e resistência à tração na compressão diametral da argamassa Grupo fa f at E a N/mm² AP 7,5 (4,%) 0,9 (3,8%) 8085 (,3%) 0,3 0,0 AP 9,4 (0,5%), (8,3%) 9745 (5,0%) 0,3 0,7 AP3 5,5 (,3%),8 (,7%) 395 (4,8%) 0,5 0,8 AP4, (7,0%),6 (4,8%) 667 (7,5%) 0,5 0,7 ν f at / f a Os resultados apresentados a seguir são referentes aos prismas do grupo P3. A Figura 5a apresenta um croqui dos pontos instrumentados nos prismas durante a análise experimental e que servem de referência na análise dos resultados tanto para o comportamento do bloco central isolado quanto para o comportamento global do prisma constituído por blocos e argamassas. No gráfico da Figura 5b estão apresentadas as relações provenientes da medição de deslocamentos verticais do bloco central, em que há uma maior uniformização das deformações em relação à medição do comportamento global do prisma (Figura 5c). Estas curvas não apresentam um patamar com grandes deformações, o que caracterizaria a ruína do bloco por compressão. Como visto, a ruína do bloco central ocorre por tração com fissuras verticais, ou sea, a capacidade portante à compressão do bloco não é atingida. As deformações dos blocos apresentam valores na ruína entre 850μ e 300μ. (a) (a) (b) Figura 5 Diagramas tensão-deformação referentes aos distintos pontos do bloco central do prisma (a) e obtidos em toda a altura do prisma (b). Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

89 Comportamento de prismas de blocos vazados de concreto sob compressão axial e análise das 83 Na Figura 6a é apresentado o diagrama tensão-deformação da argamassa obtido diretamente na unta do prisma e no seu respectivo corpo-de-prova. Observa-se a maior capacidade de absorção de carga e deformação da unta de argamassa em comparação com o corpo-de-prova, conseqüência do efeito de confinamento a que ela está submetida. Entretanto, o módulo de elasticidade inicial permanece praticamente inalterado. Não há mudança no comportamento da unta de argamassa no centro do vazio do septo transversal externo, comparando-se com a medição que ocorre no centro do vazio da parede longitudinal, inclusive com as rigidezes iniciais semelhantes. A deformação transversal do bloco obtida na parede longitudinal é apresentada na Figura 6b, destacando-se o patamar horizontal na carga de ruína, que caracteriza o esgotamento da capacidade resistente do bloco à tração. (a) (b) Figura 6 Diagrama tensão-deformação da argamassa obtido no ensaio de corpo-de-prova e na unta do prisma (a). Diagrama tensão-deformação transversal do bloco de concreto (b). As diferenças obtidas nos parâmetros referentes à argamassa por meio do ensaio de corposde-prova e diretamente na unta do prisma estão sumarizadas na Tabela 4. Tabela 4 Propriedades mecânicas da argamassa obtidas no ensaio de corpo-de-prova e diretamente na unta do prisma, do bloco e do prisma Elemento f c, elem E elem ε ult (N/mm²) ν elem ( μ ) Comportamento Corpo-de-prova 5, ,5 044 dúctil Junta do prisma trilinear Bloco central 7, ,84 96 (6403) 3 - Prisma, , dúctil Módulo de elasticidade aparente, com instrumentação localizada no ponto A. Deformação longitudinal relativa a cada elemento na força máxima do prisma. 3 O número entre parênteses refere-se à deformação transversal. μ = 0 6 mm/ mm Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

90 84 Claudius de Sousa Barbosa & João Bento de Hanai 3. Comportamento mecânico da argamassa de assentamento sob influência de efeitos não-padronizados Em todos os casos analisados, o contato com a fôrma de gesso induziu à perda de água da argamassa, acarretando aumento na sua resistência à compressão axial, em relação ao processo padrão. O fenômeno é ustificado pelo fato de que a quantidade de água adicionada aos materiais secos é superior à necessária para a hidratação dos materiais aglomerantes, devida à necessidade da trabalhabilidade da argamassa; com a redução da relação a/c, obteve-se o aumento da resistência à compressão do material. O coeficiente de variação não foi superior a 5% e 0% nos processos padrão e modificado, respectivamente. A Figura 7 apresenta a evolução da resistência à compressão no processo modificado em função da resistência à compressão alcançada no ensaio normalizado, obtendo-se uma relação exponencial com baixa variabilidade. Todavia, salienta-se que a alteração do índice de retenção de água, dependente das características dos materiais utilizados, deve influenciar na quantidade da perda de água de uma determinada argamassa e, consequentemente, no valor final da sua resistência quando executado o processo modificado. Figura 7 Evolução da resistência à compressão da argamassa no processo modificado em função da resistência obtida por meio do processo padrão. Procurou-se avaliar a capacidade de absorção de água do gesso empregado e compará-la com o concreto dos blocos por meio da realização de ensaios à compressão de corpos-de-prova cúbicos, moldados em fôrmas de gesso e de concreto (composta pela disposição de quatro blocos). A resistência à compressão obtida com cubos provenientes da fôrma de concreto apresentou valor médio 3% maior que o obtido com cubos provenientes da fôrma de gesso, indicando que os materiais apresentam índices de absorção semelhantes. Os resultados dos ensaios com cubos moldados em fôrmas de gesso estão na Tabela 5 e apresentam correlação semelhante com os corpos-de-prova cilíndricos nos dois traços analisados. Em ambos os casos observa-se o aumento do valor da resistência à compressão no ensaio modificado. Contudo, a relação entre a resistência de um cubo e seu respectivo cilindro para um mesmo traço é diferente em virtude das distintas relações entre a área de contato com a fôrma e o volume dos corpos-de-prova. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

91 Comportamento de prismas de blocos vazados de concreto sob compressão axial e análise das 85 Tabela 5 Resistência à compressão da argamassa em corpos-de-prova cúbicos Traço (em volume) Data ensaio (dias) Processo Padrão Processo Modificado 3 (N/mm²) Relação entre resistências ::5 3 dd 5, 0,8,07 :0,5:3 7 dd 5,7 8,5,8 cimento:cal:areia Fôrma de aço 3 Fôrma de gesso A alteração na constituição do traço original também modifica as demais propriedades mecânicas da argamassa, como a resistência à tração e o módulo de elasticidade, conforme os resultados da Tabela 6. O módulo de elasticidade apresenta aumento de mais de duas vezes, seguindo o crescimento obtido no valor da resistência à compressão. O aumento da resistência à tração é próximo a 5%. Tabela 6 Resistência à tração e módulo de elasticidade da argamassa obtido em corpos-de-prova cilíndricos Traço (em volume) Data ensaio (dias) ::5 5 dd cimento:cal:areia * Processo modificado f at E * f at a * E a (N/mm²),3, ,7, - - Um aspecto adicional deve ser enfatizado: as dimensões de uma unta de argamassa são distintas dos corpos-de-prova utilizados nos ensaios, originando diferentes relações entre a área em contato com o bloco e o volume da argamassa. Isto pode acarretar distintos índices de perda de água, possivelmente com maior perda na unta de argamassa por esta possuir pequena espessura. Além do mais, um corpo-de-prova envolvido por gesso deve estar sueito a uma melhor condição de cura até a data do ensaio, ao contrário dos CP s que são desmoldados e deixados nas condições ambientes no ensaio padrão. 4 ANÁLISE NUMÉRICA Utilizou-se o programa computacional DIANA (005), baseado na formulação em deslocamentos do Método dos Elementos Finitos, para a realização das análises numéricas. O comportamento constitutivo dos materiais quase-frágeis é caracterizado pela fissuração em decorrência da tração e esmagamento sob compressão. Sendo assim, nas análises combinou-se um modelo de fissuração a um modelo de plasticidade. O comportamento dos materiais é representado pelo modelo de Drucker-Prager, sob compressão, e o modelo de Fissura Dispersa é utilizado como critério de ruptura à tração. Realizam-se três abordagens com os modelos representativos dos prismas: considerando o estado plano de tensões (EPT), o estado plano de deformações (EPD) e uma abordagem tridimensional (3D), com quatro modelos de prismas de blocos vazados de concreto, denominados P, P, P3 e P4, os quais têm propriedades mecânicas do concreto e argamassa distintas. As análises no estado plano de tensões são efetuadas com a consideração da parede longitudinal e septo transversal do prisma. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

92 86 Claudius de Sousa Barbosa & João Bento de Hanai Os parâmetros elásticos e inelásticos para a implementação do modelo, que também foram obtidos durante o programa experimental exceto o ângulo de atrito e o ângulo de dilatância estão apresentados na Tabela 7. As propriedades mecânicas da argamassa sob os efeitos da perda de água para as unidades e da compressão triaxial não foram consideradas neste modelo. Tabela 7 Propriedades elásticas e inelásticas do concreto e da argamassa utilizados na análise numérica com prisma P P P3 P4 Componente f comp trac f E G f ν (N/mm²) (N/mm) Argamassa 7,7 0,9 8 0,3 0,07 Concreto 8,6, ,0 0,063 Argamassa 9,4, ,3 0,08 Concreto,8, ,0 0,77 Argamassa 5,5, ,5 0,0386 Concreto 4,9,4 75 0,0 0,375 Argamassa,, ,5 0,0653 Concreto 36, 3, 704 0,0 0,548 f : resistência à compressão; comp f : resistência à tração; trac E : módulo de elasticidade; ν : coeficiente de Poisson; G : energia de fratura à tração. f Uma área elementar representativa do modelo físico foi definida, contudo, para reduzir o esforço computacional, apenas um oitavo desta é modelada, assumindo-se as condições adequadas para os contornos no plano por meio de simetrias. Nas análises bidimensionais, discretiza-se a parede longitudinal com 704 elementos finitos quadrilaterais, totalizando nós e 444 graus de liberdade. Considerando-se o septo transversal, a malha gerada apresenta 308 elementos e 997 nós. No modelo tridimensional também se utilizou a simetria concernente ao caso, ilustrada na Figura 8. A malha é constituída por 968 elementos tridimensionais, totalizando 649 nós e 987 graus de liberdade. Além da consideração da simetria, como condição de contorno restringiu-se os deslocamentos dos nós da base do modelo apenas no sentido do eixo y. No topo, todos os deslocamentos dos nós estão liberados. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

93 Comportamento de prismas de blocos vazados de concreto sob compressão axial e análise das 87 (a) (b) (c) (d) Figura 8 Prisma de blocos vazados de concreto com indicação de sua área elementar representativa (a) e detalhe da região a ser modelada (b e c). Dimensões em milímetros. Vista da malha de elementos finitos correspondente a um oitavo da área elementar representativa (d). A comparação entre os valores numéricos e experimentais é apresentada na Tabela 8. Tabela 8 Força teórica e experimental máxima obtida nas análises com prismas Modelo F exp (kn) F num (kn) EPT EPD 3D F exp F num Fnum (kn) F exp F num Fnum (kn) F exp Fnum P ,50 668, 438 0,80 P ,60 86, ,90 P ,83 98, ,9 P ,84 3,4 93,0 Cada abordagem corresponde a um diferente nível de confinamento fora do plano xy. No EPT, as deformações na direção perpendicular a ele não são restringidas e o espécime pode deformar-se livremente. Ao contrário, no EPD as deformações são restringidas. O estado intermediário a essas Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

94 88 Claudius de Sousa Barbosa & João Bento de Hanai duas condições extremas está aproximado pelo modelo 3D, sobretudo pelo fato de uma estrutura de alvenaria de blocos vazados de concreto apresentar regiões que se aproximam desses dois estados: o centro da unta de argamassa fica sueito a condições similares ao estado plano de deformação e as paredes do bloco a uma condição equivalente ao estado plano de tensão. A abordagem no EPT considerou a discretização da parede longitudinal e do septo transversal, separadamente, para analisar se algum dos casos é condicionante na ruína. Obteve-se uma pequena diferença entre os modelos em relação ao valor da tensão máxima: os modelos relativos à parede longitudinal apresentam valores, aproximadamente, 5% maiores que os obtidos considerando-se apenas o septo transversal. Como este variação não considerada relevante, optou-se por adotar o modelo com discretização da parede longitudinal para representar as abordagens EPT e EPD. Os modelos P e P, que possuem as mais baixas resistências à compressão da argamassa, apresentam as menores relações entre as forças teórica e experimental considerando-se a abordagem no estado plano de tensões. O fato é ustificado em virtude da desconsideração de tensões transversais na direção ortogonal ao plano de análise, o que acarretaria o efeito de confinamento, permitindo ao material alcançar maior resistência e, consequentemente, os respectivos modelos matemáticos apresentariam maior capacidade portante. A abordagem EPT, considerando-se apenas os modelos P3 e P4, mostram-se satisfatórios em relação à previsão da força teórica, se levadas em consideração as simplificações em relação ao modelo físico tridimensional e utilização do meio contínuo. A resistência mais baixa está associada à condição de confinamento na unta de argamassa. Por não permitir deslocamentos na direção ortogonal ao plano de análise, na consideração do EPD obtêm-se maiores valores de força teórica para todos os modelos, com acréscimo de aproximadamente 40% em relação à curva experimental. Neste caso, além da consideração extrema do efeito triaxial na unta de argamassa na direção ortogonal ao plano, contempla-se também restrição de deformações do bloco de concreto, o que não representa o modelo físico, sendo, desta forma, plenamente ustificado o aumento na resistência à compressão dos prismas. Com a abordagem 3D, os valores da força teórica sempre apresentam valores intermediários em relação às duas abordagens bidimensionais. Um estado intermediário entre o EPT e o EPD é o que melhor representa as condições de contorno a que está submetido o modelo físico. As relações forças teórica e experimental são entre 0,80 e,00 para todos os modelos analisados. Barbosa (008) descreve maiores detalhes relativos à análise numérica além de apresentar um modelo algébrico desenvolvido com base nos resultados experimentais e numéricos. 5 CONCLUSÕES A diferenciação das propriedades mecânicas da argamassa, quando nas untas de assentamento dos blocos em relação àquelas obtidas em ensaios de corpos-de-prova padronizados, foi efetuada experimentalmente. A perda de água durante a cura eleva os valores da resistência à compressão e do módulo de elasticidade em, aproximadamente,3 e vezes, respectivamente. Todavia, a deformabilidade da argamassa, quando analisada diretamente na unta, é aumentada também em duas vezes. Da mesma forma, quanto maior a tensão de confinamento atuante, maior será sua capacidade resistente. A forma de ruína dos prismas depende diretamente dessas condições, ou sea, do comportamento diferenciado da argamassa de assentamento perante esses fenômenos. Por exemplo, não se pode associar a ruína de uma estrutura apenas à relação entre a resistência da argamassa e a do bloco, devendo-se também ser avaliar a capacidade de retenção de água da argamassa e o nível de confinamento a que estará sueita. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

95 Comportamento de prismas de blocos vazados de concreto sob compressão axial e análise das 89 O comportamento dos prismas, observado durante a análise experimental, é bem representado pelo modelo numérico tridimensional quanto à resistência. Quanto mais baixa a relação entre as propriedades mecânicas da argamassa e do concreto que constitui o bloco, maior será a tendência de ruína por esmagamento da unta. O oposto indica a ruína do prisma por fissuração dos blocos. A partir das propriedades mecânicas dos materiais constituintes dos prismas concreto e argamassa foi possível validar um modelo numérico em elementos finitos que representasse a capacidade portante de prismas de alvenaria. Obtiveram-se boas correlações, entre os modelos numéricos e experimentais, tanto em relação à força máxima atingida quanto às suas deformações. Ainda em relação aos modelos numéricos, realizaram-se três estratégias de modelagem, considerando-se as análises bidimensionais e tridimensional. Ao contrário das análises tridimensionais, os modelos planos utilizados para avaliação da capacidade resistente de prismas de blocos vazados de concreto podem superestimar ou subestimar a capacidade resistente em virtude das condições de confinamento atuante sobre os componentes da estrutura. 6 AGRADECIMENTOS O desenvolvimento desta pesquisa não seria possível sem o apoio da FAPESP (Fundação de Amparo a Pesquisa do Estado de São Paulo), pela bolsa de estudos de Doutorado e Auxílio à Pesquisa concedidos, e da CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior), pelo suporte financeiro para a realização de estágio de Doutoramento no exterior. 7 REFERÊNCIAS ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 85: Prismas de blocos vazados de concreto simples para Alvenaria Estrutural Preparo e ensaio à compressão. Rio de Janeiro, 983. BARBOSA, C. S. Resistência e deformabilidade de blocos vazados de concreto, prismas e paredes e suas correlações com as propriedades mecânicas dos materiais constituintes p. Tese (Doutorado) Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 008. DIANA. Finite Element Code: User s Manual Release 9. TNO Building and Construction Research, Delft, The Netherlands, 005. GRAUBNER, C. A.; GLOWIENKA, S. Stochastic modelling of modern masonry. In: INTERNATIONAL BRICK & BLOCK MASONRY CONFERENCE, 4., Sydney, Australia, 008. Proceedings. KHOO, C. L. A failure criterion for brickwork in axial compression p. PhD Thesis University of Endiburgh, 97. LOURENÇO, P. B. Computational strategies for masonry structures. The Netherlands: Delft University Press, p. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

96 90 Claudius de Sousa Barbosa & João Bento de Hanai LOURENÇO, P. B.; PINA-HENRIQUES, J. Validation of analytical and continuum numerical methods for estimating compressive strength of masonry. Computers and Structures, v. 84, p , 006. ISSN: McNARY, W. S. Basic properties of clay-unit masonry in compression p. MSc. Thesis University of Colorado. MOHAMAD, G. Comportamento mecânico na ruptura de prismas de blocos de concreto p. Dissertação (Mestrado) Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 998. STEWART, M. G.; LAWRENCE, S. J. Model error, structural reliability and partial safety factors for structural masonry in compression. Masonry International, v. 0, n. 3. p. 07-6, 007. ISSN: Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

97 ISSN DETERIORAÇÃO DA TENSÃO DE ADERÊNCIA ENTRE BARRAS DE AÇO E CONCRETOS (CC, CAA E CAAFA), SOB INFLUÊNCIA DE AÇÕES CÍCLICAS Fredy Enrique Garzón Reyes & Ana Lúcia Homce de Cresce El Debs Resumo Atualmente, está cada vez mais comum a utilização de concretos de alto desempenho, devido aos requisitos de durabilidade, resistência e trabalhabilidade. Esta situação requer maiores taxas de armadura, o que resulta em locais de difícil concretagem, geralmente submetidos a ações cíclicas. Dessa forma torna-se necessário o desenvolvimento de um material que garanta a homogeneidade da secção transversal, bem como da aderência entre armadura e concreto; neste sentido, o CAA torna-se uma alternativa técnica com grande potencial para atingir essas propriedades e ainda mais quando se lhe são incorporadas fibras de aço. O propósito desse trabalho é comparar os resultados da resistência de aderência entre o Concreto Comum (CC), o Concreto Auto- Adensável (CAA) e o Concreto Auto-Adensável com Fibras de Aço (CAAFA), quando submetidos a ações cíclicas. Foram utilizadas barras de aço de diâmetro 0 mm e 6 mm (tensão de escoamento 500 MPa), em concretos com resistência à compressão na faixa dos 30 MPa e 60 MPa, aos 8 dias. A resistência de aderência foi avaliada em ensaios de arrancamento sob ações cíclicas conforme as recomendações do ACI 408.R-9. Os resultados obtidos indicaram que os ensaios de arrancamento, sob ações cíclicas, são eficazes para a análise da deterioração da tensão de aderência nos tipos de concreto nas condições testadas. Verificou-se, além disso, que os modelos de arrancamento em CAA e CAAFA apresentam comportamento similar aos de CC e o diâmetro da barra possui influência significativa na resistência à aderência. Palavras-Chave: Aderência. Concreto Convencional (CC). Concreto Auto-Adensável (CAA). Fibras Metálicas. Carregamento Cíclico. Arrancamento. DETERIORATION OF THE BOND STRESS BETWEEN STEEL BARS AND CONCRETES (OC, SCC AND SCCSF) UNDER INFLUENCE CYCLIC LOADING Abstract Currently, it is increasingly common the use of high-strength concrete, due to the durability, strength and workability. This requires higher reinforcement ratio which results in places with difficult cast, and these regions generally are subect to cyclical loading. Hence, it is necessary to develop a material that ensures the crosssection homogeneity, as well as the bond between reinforcement and concrete; like this, the SCC became a technical alternative with great potential to achieve these required properties and even more when is incorporated steel fibers.the aim of this work is to compare the bond strength results between the ordinary concrete (OC), the self-compacting concrete (SCC) and the self-compacting concrete with steel fiber reinforced (SCCSF) when subected to cyclic loads.) Bars of 0 mm and 6 mm (yield stress of 500 MPa) in concrete compressive strength in the range of 30 MPa and 60 MPa at 8 days were used. The bond strength was evaluated by the pull-out tests under cyclic loading according with the recommendations of ACI 408.R-9. The results indicated that the pull-out tests are effective to analyze the bond stress in the used concretes and conditions of test. Furthermore it was verified that the SCC and SCCSF pull-out specimens have similar behavior to those in OC and the diameter of the bar has significant influence on bond strength. Keywords: Bond. Ordinary Concrete (OC). Self-Compacting Concrete (SCC). Fiber Steel. Cyclic Loading. Pullout. Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, fredyg0@sc.usp.br / fredyg0@yahoo.com Professora do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, analucia@sc.usp.br Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 9-, 009

98 9 Fredy Enrique Garzón Reyes & Ana Lúcia Homce de Cresce El Debs INTRODUÇÃO Diferentes pesquisadores têm desenvolvido alguns estudos sobre a aderência e os fatores que afetam suas propriedades, principalmente na resistência e durabilidade das estruturas. É conhecido, por exemplo, que a maioria dos elementos estruturais estão submetidos a ações de carregamento dinâmico e estático, em forma de deslocamento (e.g. vento, sismo e peso próprio), as quais diminuem a resistência e portanto, também a durabilidade da estrutura. Além disso, as reações que ocorrem nas estruturas durante as ações estáticas e dinâmicas, a aderência entre os materiais de concreto armado (aço-concreto) dos elementos estruturais (laes, pilares, vigas e nós entre eles) é um dos problemas a ter em conta quando nos referimos a movimentos cíclicos ou dinâmicos. Conforme ACI COMMITTEE 408 (005), existem dois tipos de carregamento nas estruturas: o estático e o dinâmico. O primeiro, atuando permanentemente na estrutura, pode ser de longa duração, de curta duração ou com cargas monotônicas. No segundo tipo, a duração do carregamento na estrutura é variável. Entre as ações dinâmicas também estão situadas as ações cíclicas, que se subdividem conforme com o número de ciclos. Para baixos ciclos (low-cycles), menos de 00 ciclos por segundo, representa-se bem o comportamento sísmico. Altas cargas de vento e ciclos altos (highcycles), na faixa de.000 a , assemelham-se ao comportamento de pontes e estruturas que sustentam máquinas sueitas a vibrações. De acordo com o tipo de tensão aplicada, as ações cíclicas podem ser repetitivas ou unidirecionais (caso típico de carregamento de fadiga) e alternadas (que se assemelha a um sismo). Sismo ou terremoto é definido como um fenômeno de vibração brusca e passageira da superfície da terra; o movimento é causado pela liberação rápida de grandes quantidades de energia sob a forma de ondas sísmicas. Embora a energia liberada pelos fenômenos naturais sea absorvida, em grande parte, pelos elementos estruturais das construções cíveis em forma de deslocamentos laterais, é onde fatores como resistência e durabilidade dos concretos estruturais som a ter em conta. Além disso, a aderência entre os materiais aço e concreto tem um papel importante para absorver e resistir a esses tipos de ações. Esta situação requer maiores taxas de armadura, o que resulta em locais de difícil concretagem (e.g. nós de pórtico). Dessa forma, torna-se necessário o desenvolvimento de um material que garanta a homogeneidade da secção transversal, bem como da aderência com a armadura existente; neste sentido, o concreto auto-adensável torna-se uma alternativa técnica com grande potencial para atingir essas propriedades. Okamura e Ochi (003), na década de 80, propuseram um protótipo de mistura utilizando materiais disponíveis no mercado, que, diferentemente das misturas convencionais, podia ser compactada em qualquer lugar do local de trabalho. Assim, surgiu o Self-Compacting Concrete (SCC) ou Concreto Auto-Adensável (CAA). O novo tipo de concreto apresentou vantagens como: redução de tempo em obra, redução gradual da mão-de-obra, compactação em todos os lugares da estrutura, ausência de vibrador, trabalhabilidade, resistência à segregação, entre outras. Segundo Okamura (003), a diferença com outros tipos de concretos encontra-se principalmente em: Limitar o conteúdo do agregado Baixa relação água/cimento Uso de superplastificante Alta viscosidade, que permite inibir a segregação. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 9-, 009

99 Deterioração da tensão de aderência entre barras de aço e concretos (CC, CAA E CAAFA), sob influência 93 A intenção com o desenvolvimento deste protótipo é que este tipo de concreto sea usado com a mesma confiança que o concreto convencional. Para isto se faz necessário realizar mais estudos sobre o desenvolvimento de novos sistemas de desenho, manufatura e construção. De acordo com Wu (003), uma solução efetiva para aumentar resistência e durabilidade na mistura de um concreto é adicionar pequenas quantidades de fibras, que podem ser: de madeira, metálicas ou poliméricas, além de outras. Autores como Campione, et al (005), Lee (003) verificaram que a adição de fibras no concreto melhora as propriedades mecânicas da mistura, capacidade de absorção de energia, resistência ao corte, resistência à fadiga e distribuição de fissuras, além de apresentar alta resistência á flexão. De acordo com Swamy e Al-Nooki (974), a presença de fibras metálicas em corpos de prova de concreto, em ensaios de arrancamento, aumenta em 40% a resistência de aderência em relação ao concreto sem fibras. A nova norma da ABNT NBR 5530 (007), Fibras de aço para concreto, estabelece parâmetros de classificação para as fibras de aço de baixo teor de carbono, definindo os requisitos mínimos de forma geométrica, tolerâncias dimensionais, defeitos de fabricação, resistência à tração e dobramento. Fernandes (000) define a aderência como o mecanismo de transferência de tensões que existe na interface entre as barras de aço da armadura e o concreto que a envolve; ressalta que esse fenômeno é tão importante que a própria definição de concreto armado se condiciona à sua existência. Diferentes pesquisadores desenvolveram estudos sobre os fatores que afetam a aderência. Haddad (004) cita que, entre os fatores que influem significativamente na resistência à aderência e na resistência mecânica, encontram-se: tamanho da barras e suas características, espessura da cobertura de concreto, longitude embebida, pressão de confinamento lateral, no entanto também, levantam a possibilidade de melhorar a aderência entre concreto e aço quando se adicionam fibras, especialmente metálicas. Desta forma, o trabalho proposto pretende englobar os três aspectos relacionados anteriormente, (Concreto Auto-Adensáveis CAA - Fibras Metálicas - Estudo de Aderência), sob ações cíclicas alternadas, condições que se assemelham a de um sismo. Segundo Fernandes (000), o uso de fibras de aço, em quantidades apropriadas no concreto, poderia ser adequado em zonas sísmicas, principalmente por aumentar a resistência de aderência, a absorção de energia, a ductilidade e a confiabilidade contra desastres das estruturas sueitas a carregamentos cíclicos alternados. A utilização de três classes de concreto (Concreto Convencional, Concreto Auto-Adensáveis e Concreto Auto-Adensáveis Reforçado com Fibras de Aço), visa suprir a falta de informação sobre o comportamento da aderência aço-concreto sob ações cíclicas alternadas, com a presença de fibras metálicas. METODOLOGIA Para os três traços do concreto estudados (CC, CAA e CAAFA) foram utilizados os mesmos materiais (cimento e agregados). As propriedades do cimento Portland de Alta Resistência Inicial (CP V ARI FÁCIL), obtidas conforme as normas NBR 5733 (99) podem ser observadas na Tabela. A água empregada na mistura foi a proveniente da rede pública de abastecimento de São Carlos. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 9-, 009

100 94 Fredy Enrique Garzón Reyes & Ana Lúcia Homce de Cresce El Debs Tabela Propriedades físico-químicas do cimento Parâmetros Valores obtidos # 35 3% Superfície Blaine 4500 Tempo de pega 30 min Resistência à compressão 8 dias = 53 MPa Coloração Clara e uniforme O agregado miúdo classifica-se conforme norma NBR 7 (983). A massa específica resultou em,630 g/cm3, com diâmetro máximo de, mm. Na Tabela podem ser observados os valores obtidos das características do agregado graúdo, segundo recomendações da norma NBR 9937 (987). Tabela Características do agregado graúdo Características Valores obtidos Massa especifica (γ s ),88 g/cm 3 Condição saturada e superfície seca (γ sss ),876 g/cm 3 Absorção (a),7 % O superplastificante utilizado GLENIUM 5 foi o de 3 geração, baseado em Policarboxilatos, que atende às prescrições das normas ASTM C 494/C 494M (00) (tipos A e F), ASTM C097 (00) e é compatível com todos os cimentos que atendem à norma ASTM C50 (000). Os dados técnicos podem ser observados na Tabela 3. Tabela 3 Dados técnicos superplastificante GLENIUM 5 Parâmetros Valores obtidos Aspecto Líquido viscoso Cor Bege Densidade,067 a,07 g/cm 3 ph 5 a 7 Sólidos 8,5 a 3,5 % Viscosidade 95 a 60 cps A sílica ativa é considerada um material importante para o CAA. Os dados técnicos da sílica ativa utilizada são apresentados na Tabela 4, conforme as recomendações da norma ASTM C40 (000). Tabela 4 Dados técnicos sílica ativa Parâmetros Valores obtidos Aspecto Pó ultrafino Cor Cinza clara Densidade, gramas/cm 3 Base química Dióxido de Silício Vale salientar que, de acordo com a relação A/C utilizada para o CAA, na faixa de 30 MPa, aos 8 dias, a sílica ativa não foi utilizada nesse concreto. A Tabela 5 ilustra as características físico-químicas do filler (pó de calcário) utilizado. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 9-, 009

101 Deterioração da tensão de aderência entre barras de aço e concretos (CC, CAA E CAAFA), sob influência 95 Tabela 5 Propriedades físico-químicas do filler calcáreo Parâmetro Resultados Cor Cinza Diâmetro médio 45 µm Características Químicas CaO 55,7% MgO 0,3% Fe O 3 0,07% Al O 3 0,30% SiO 0,77% Características Físicas Absorção DOP (%) 8 3 ph (sol. Aqu. 5%) 0 Densidade aparente (g/cm 3 ), Perda ao fogo (850 C) 45% máx. Absorção óleo de linhaça (%) 3 7 As fibras de aço utilizadas para os concretos (CAAFA) foram de tipo (A) e classe (I) e apresentam as seguintes propriedades, segundo as NBR 5530 (007): (Ver Tabela 6). Tabela 6 Dados das microfibras de aço Características Valores Obtidos Comprimento (l) 3 mm Diâmetro (d) 0,75 mm Fator de forma (λ=l/d) 7,33 Resistência à tração 00 N/mm Peso Específico 7850 kg/m 3 Nesta pesquisa foram utilizados aços CA-50, de 0 mm e de 6 mm de diâmetros, caracterizados conforme as recomendações das normas NBR 65 (99) e NBR 7480 (996) (Ver Figura ). 3 DESENVOLVIMENTO 3. Dosagem dos materiais 3.. Concretos Convencionais (CC) A composição do traço para o CC foi iniciada com um estudo de dosagem para resistência à compressão de 30 MPa e de 60 MPa, aos 8 dias; os respectivos traços em massa são apresentados na Tabela 7. Tabela 7 Composição do traço do CC por m3 MATERIAL QUANTIDADE f c 30 MPa QUANTIDADE f c 60 MPa Cimento 365,30 488,30 Água 60,80 7,00 Areia 883,90 766,60 Brita 94,30 94,40 CC f c 30 MPa :0,7:,4:,58 CC f c 60 MPa :0,46:,57:,93 Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 9-, 009

102 96 Fredy Enrique Garzón Reyes & Ana Lúcia Homce de Cresce El Debs 3.. Concretos Auto-Adensáveis (CAA) Para a determinação da composição do traço para o CAA, a metodologia foi a seguida pelos pesquisadores de Gomes (000) e Almeida Filho (006), para os concretos de resistência à compressão de 30 MPa e dec60 MPa, aos 8 dias. Os valores obtidos, em massa, são apresentados na Tabela 8. Tabela 8 Composição do traço do CAA por m3 MATERIAL QUANTIDADE f c 30 MPa QUANTIDADE f c 60 MPa Cimento 377,74 39,89 Sílice 0,00 39,9 Água 6,65 57,6 Filler 3,3 57,6 Areia 750,9 785,96 Brita 8,93 860,9 Superplastificante 0,57 5,30 CAA f c 30 MPa :0,00:0,60:0,30:,99:,8:0,00 CAA f c 60 MPa :0,:0,48:0,48:,38:,6: Concretos Auto-Adensáveis com Fibras Aço (CAAFA) Na composição do CAAFA, trabalhou-se com as mesmas quantidades em massa do CAA, mais uma adição de % de fibras de aço de 3 mm para os concretos de resistência à compressão de 30 MPa e de 60 MPa, aos 8 dias. 3. Geometria dos modelos de arrancamento e montagem Conforme comentado anteriormente, os modelos de arrancamento foram adaptados da Rilem- Ceb-Fip (973), para ensaios cíclicos. Na Figura ilustra-se a geometria para os modelos de arrancamento em função do diâmetro da barra (db). db 5db Zona nao-aderente 5db 0db 5db Zona aderente A 0db A 5db Zona nao-aderente db CORTE A-A Figura Modelo (Rilem-Ceb-Fip, 973). Os modelos utilizados nos ensaios de arrancamento cíclicos alternados foram feitos utilizandose barras de aço (0 mm e 6 mm), envoltas por corpos-de-prova de concreto (CC, CAA e CAAFA), com determinado comprimento aderente (ld= 5 cm para a barra de aço de 0 mm e ld= 8 cm para a barra de aço de 6 mm). O deslocamento da barra de aço foi medido em relação ao corpo-de-prova de concreto. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 9-, 009

103 Deterioração da tensão de aderência entre barras de aço e concretos (CC, CAA E CAAFA), sob influência 97 O tamanho e a forma do corpo-de-prova foram proporcionais ao diâmetro da barra de aço e ao comprimento do trecho de aderência da barra (comprimento de aderência ld). Para conseguir simetria nos ensaios cíclicos alternados, o comprimento de aderência situou-se no terço médio do comprimento total do corpo-de-prova (Figuras e 3). MODELOS DE ENSAIOS COM BARRA DE AÇO DE O0 mm 0 Ø 6 Ø.6 MODELOS DE ENSAIOS COM BARRA DE AÇO DE O6 mm A A 0 A 6 A CORTE A-A 0 CORTE A-A Figura Modelo de corpos de prova para ensaios de arrancamento com barras de 0 mm e 6 mm. Figura 3 Corpos-de-prova com barras de aço de 0 mm e 6 mm. Os modelos de arrancamento e montagem foram adaptados para facilitar a operação durante a concretagem e posicionamento na máquina de ensaio. Desta forma, facilitaram também os procedimentos para se medir o deslizamento entre a barra de aço e o prisma de concreto nos dois tipos de ensaios, como se observa nas Figuras 4 a.) e 4 b.) Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 9-, 009

104 Fredy Enrique Garzón Reyes & Ana Lúcia Homce de Cresce El Debs (a) (b) Prismas de concreto Prismas de concreto Barras de aço DIREÇÀO CARGA Barras de aço (a) DIREÇÀO CARGA Figura 4 (a) Montagem do corpo-de-prova com barras de aço de 0 mm e (b) montagem do corpo-de-prova com barras de aço de 6 mm. (b) 4 RESULTADOS OBTIDOS Como pode ser observado nas Figuras 5, 6 e 7, as propriedades mecânicas dos diferentes tipos de concretos (CAA, CC e CAAFA), em estado endurecido, apresentaram valores aproximados para os concretos de resistência à compressão média e uma maior variabilidade para os concretos de alta resistência à compressão. O valor médio para os concretos de média resistência à compressão foi de 34,50 MPa e para os de alta resistência, de 59,85 MPa, na faixa de 30 MPa e 60 MPa. RESISTENCIA (MPa) ,70 3,333,47 CAA CC CAARFA 66,49 50,08 Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 9-, 009 6,99 fc,8 SERIE 30 fc,8 SERIE 60 TIPOS DE RESISTENCIA DE CONCRETO Figura 5 Comparativo entre ensaios de resistência à compressão (f c ), aos 8 dias, por tipos de resistências (30 MPa e 60 MPa).

105 Deterioração da tensão de aderência entre barras de aço e concretos (CC, CAA E CAAFA), sob influência 99 Nas Tabelas 9, 0 e estão apresentados os resultados das análises estatísticas dos ensaios mecânicos dos concretos em estado endurecido. Tabela 9 Comparativo estatístico para os ensaios de resistência à compressão (f c ) M (MPa) D. P. (MPa) C. V. (%) V. P. (MPa) B. F. (λ) fc 8 (30 MPa) 34,50 ±,83 8, 30,00,5 fc 8 (60 MPa) 59,85 ± 8,64 4,44 60,00,00 O Valor Previsto (V.P.) é tomado da média do valor médio esperado para os concretos. CAA CC CAARFA RESISTENCIA (MPa) 5 4 3,88 3,3,86 4,70 3,49 4,0 0 ft,8 SERIE 30 ft,8 SERIE 60 TIPOS DE RESISTENCIA DE CONCRETO Figura 6 Comparativo entre ensaios de resistência à tração na compressão diametral (fct), aos 8 dias,por tipos de resistência (30 MPa e 60 MPa). Tabela 0 Comparativo estatístico para os ensaios de resistência à tração (f ct ) M (MPa) D. P. (MPa) C. V. (%) V. P. (MPa) B. F. (λ) fct 8 (30 MPa),96 ± 0,5 5,09,90,0 fct 8 (60 MPa) 4,3 ± 0,6 4,7 4,60 0,90 O Valor Previsto (V.P.) é tomado da média dos valores teóricos. CAA CC CAARFA TENSÃO (GPa) ,56 38,73 36,00 9,788,84 6,74 TIPOS DE TENSÃO DE CONCRETO Figura 7 Comparativo entre ensaios de módulo de elasticidade (Ec) de concreto, aos 8 dias, por tipos de resistência (30 MPa e 60 MPa). Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 9-, 009

106 00 Fredy Enrique Garzón Reyes & Ana Lúcia Homce de Cresce El Debs Tabela Comparativo estatístico para os ensaios de módulo de elasticidade (Ec) M (GPa) D. P. (GPa) C. V. (%) V. P. (GPa) B. F. (λ) Ec 8 (30 MPa) 8,45 ±,56 5,47 6,07,09 Ec 8 (60 MPa) 38,0 ±,86,89 36,07,03 O Valor Previsto (V.P.) é tomado da média dos valores teóricos. Os ensaios para a caracterização do aço foram feitos com três corpos-de-prova da barra de aço, para cada diâmetro utilizado (0 mm e 6 mm), submetidos a esforço de tração até a ruptura, na máquina universal, servo-hidráulica. INSTRON. Para cada diâmetro utilizado, as extremidades dos corpos-de-prova foram presas pelas garras da máquina. As deformações na região central da amostra, medidas através de um extensômetro, foram registradas em intervalos discretos muito pequenos, como se observa na Figura Barra de aço de 0 mm Barra de aço de 6 mm Tensão (MPa) Es (0mm) = 0,84 GPa Es (6mm) =,63 GPa ,000 0,00 0,004 0,006 0,008 0,00 Deformacão (mm/mm) Figura 8 Diagramas tensão vs deformação para aços de 0 mm e 6 mm. 4. Resultados de ensaios da aderência sob carregamentos cíclicos O comportamento histerético dos concretos estruturais reforçados, sob várias excitações dinâmicas, depende altamente da interação entre as barras de aço e o concreto. Os ensaios apresentam o deslizamento da longitude das barras de aço embebidas no concreto, quando se aplicam diferentes tipos de carregamentos. Nas Figuras 9 a, 4 a 6, 9 a, e 4 a 6, são apresentadas as histereses dos ensaios de cíclicos e a curva de ensaio monotônico no diagrama tensão - deslizamento para os diferentes tipos de concreto (CAAFA, CAA e CC), resistências à compressão de concreto (30 MPa e 60 MPa) e diâmetros de barra de aço (0 mm e 6 mm), com suas possíveis combinações. 4.. Deterioração da tensão de aderência A tensão de aderência entre barras de aço e concretos vai se deteriorando gradualmente com o incremento dos ciclos. O aumento de força controlado nos ciclos apresenta uma rápida deterioração na aderência, de acordo com os resultados experimentais apresentados nas Tabelas, 4, 6 e 8. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 9-, 009

107 Deterioração da tensão de aderência entre barras de aço e concretos (CC, CAA E CAAFA), sob influência 0 Uma relação entre Ts (tensão de aderência no primeiro ciclo) e Tsn (tensão de aderência após n número de ciclos) foi calculada sob o controle da força de aplicação para ciclos de baixa força, para ciclos de média força e ciclos de alta força ou últimos, como se observa nas Tabelas, 4, 6 e 8. A relação entre tensões de aderência (Ts/Tsn), controle de força aplicada, números de ciclos e tipos de concreto são apresentados nas Figuras, 7, e 7. A deterioração de tensão de aderência é apresentada em porcentagem nas Tabelas 3, 5, 7 e 9 e nas Figuras 3, 8, 3 e 8. Tensão (MPa) ,00-3,00 -,00 -,00-4 0,00,00,00 3,00 4, Deslizamento (mm) Tensão (MPa) ,00 -,00-5 0,00,00, Deslizamento (mm) ENSAIO CICLICO CAAFA BARRA DE 0mm - CONCRETO 30 MPa ENSAIO MONOTÔNICO CAAFA BARRA DE 0mm - CONCRETO 30 MPa ENSAIO CÍCLICO CAA BARRA DE 0mm - CONCRETO 30 MPa ENSAIO MONOTÔNICO CAA BARRA DE 0mm - CONCRETO 30 MPa Figura 9 CAAFA 30 MPa-0 mm. Figura 0 CAA 30 MPa-0 mm. Tensão (MPa) ,00 -,00 -,00-5 0,00-0,00,00 3, Deslizamento (mm) ENSAIO CÍCLICO CC BARRA DE 0mm - CONCRETO 30 MPa ENSAIO MONOTÔNICO CC BARRA DE 0mm - CONCRETO 30 MPa Figura CC 30 MPa-0 mm. Tabela Razões de Ts a Tsn sob carregamentos cíclicos para concretos (CAAFA-CAA-CC) 30 MPa-0 mm TIPOS DE CONCRETOS F (kn) Número De Ciclos Ciclos baixos Ts/Tsn Ciclos médios Ciclos altos ou últimos CAAFA 30MPa-0mm 0 4 0, ,4 CAA 30MPa-0mm 0 4 0,68 CC 30MPa-0mm 5 5 0, , ,4 Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 9-, 009

108 0 Fredy Enrique Garzón Reyes & Ana Lúcia Homce de Cresce El Debs Tabela 3 Porcentagens de deterioracão por ciclos para concretos (CAAFA-CAA-CC) 30 MPa-0 mm TIPO DE CICLOS CAAFA 30MPa-0mm CAA 30MPa-0mm CC 30MPa-0mm BAIXOS 5% 3% 34% MÉDIOS 4% 8% 5% ALTOS 9% TOTAL 76% 50% 58%,0 CAARFA 30MPa-0mm CAA 30MPa-0mm CC 30M Pa-0mm 0,8 Ts/Tsn 0,6 0,4 0, 0, N Figura Relações entre a deterioração e o número de ciclos para concretos (CAAFA-CAA-CC) 30 MPa-0 mm. 00% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 0% 4% 5% 8% 3% 9% 5% 34% 0% 0% CAARFA 30MPa- 0mm CAA 30MPa- 0mm CC 30MPa- 0mm ALTOS MEDIOS BAIXOS Figura 3 Porcentagens de deterioração por ciclos para concretos (CAAFA-CAA-CC) 30 MPa-0 mm. Resultados dos ensaios: As relações entre aderência e tensão deslizamento para os modelos CAAFA 30 MPa-0 mm, CAA 30 MPa-0 mm e CC 30 MPa-0 mm são mostradas nas Figuras 9 à, respectivamente, onde o controle de força varia entre 0 a 0 kn, para um número, em média, de 9 ciclos. Segundo a Tabela Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 9-, 009

109 Deterioração da tensão de aderência entre barras de aço e concretos (CC, CAA E CAAFA), sob influência 03, a deterioração da aderência para a relação Ts/Tsn, em média, foi de 39% nos primeiros ciclos baixos, como se observa na Tabela 3 e Figuras e 3. Tensão (MPa) ,00 -,00 -, ,00,00,00 3, Deslizamento (mm) ENSAIO CICLICO CAAFA BARRA DE 0mm - CONCRETO 60 MPa Tensão (MPa) ,00 -,00 -,00-0 0,00,00,00 3, Deslizamento (mm) ENSAIO CÍCLICO CAA BARRA DE 0mm - CONCRETO 60 MPa ENSAIO MONOTÔNICO CAAFA BARRA DE 0mm - CONCRETO 60 MPa ENSAIO MONOTÔNICO CAA BARRA DE 0mm - CONCRETO 60 MPa Figura 4 CAAFA 60 MPa-0 mm. Figura 5 CAA 60 MPa-0 mm Tensão (MPa) ,00 -,00 -,00-0 0,00,00,00 3, Deslizamento (mm) ENSAIO CÍCLICO CC BARRA DE 0mm - CONCRETO 60 MPa ENSAIO MONOTÔNICO CC BARRA DE 0mm - CONCRETO 60 MPa Figura 6 CC 60 MPa-0 mm. Tabela 4 Razões de Ts a Tsn sob carregamentos cíclicos para concretos (CAAFA-CAA-CC) 60 MPa-0 mm TIPOS DE CONCRETOS F (kn) Número De Ciclos Ciclos baixos Ts/Tsn Ciclos médios Ciclos altos ou últimos CAAFA 60MPa-0mm 0 5 0, , ,7 CAA 60MPa-0mm 0 4 0, , ,4 CC 60MPa-0mm 0 4 0, ,33 Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 9-, 009

110 04 Fredy Enrique Garzón Reyes & Ana Lúcia Homce de Cresce El Debs Tabela 5 Porcentagens de deterioração por ciclos para concretos (CAAFA-CAA-CC) 60 MPa-0 mm TIPO DE CICLOS CAAFA 60MPa-0mm CAA 60MPa-0mm CC 60MPa-0mm BAIXOS 49% 5% 50% MÉDIOS 6% 6% 7% ALTOS 8% 9% TOTAL 73% 76% 67%,0 CAARFA 60MPa-0mm CAA 60MPa-0mm CC 60M Pa-0mm 0,8 Ts/Tsn 0,6 0,4 0, 0, N Figura 7 Relações entre a deterioração e o número de ciclos para concretos (CAAFA-CAA-CC) 60 MPa-0 mm. 00% 90% 80% 70% 60% 8% 6% 9% 6% 7% 50% 40% 30% 0% 49% 5% 50% 0% 0% CAARFA 60MPa- 0mm CAA 60MPa- 0mm CC 60MPa- 0mm ALTOS MEDIOS BAIXOS Figura 8 Porcentagens de deterioração por ciclos para concretos (CAAFA-CAA-CC) 60 MPa-0 mm. Resultados dos ensaios: As relações de aderência tensão deslizamento para os modelos CAAFA 60 MPa-0 mm, CAA 60 MPa-0 mm e CC 60 MPa-0 mm, são mostrados nas Figuras 4 à 6 respectivamente, onde o controle de força varia entre 0 a 40 kn para um número, em média, de ciclos. Segundo a Tabela Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 9-, 009

111 Deterioração da tensão de aderência entre barras de aço e concretos (CC, CAA E CAAFA), sob influência 05 4, a deterioração da aderência para a relação Ts/Tsn, em média, foi de 50% nos primeiros ciclos baixos, como se observa na Tabela 5 e Figuras 7 e 8. Tensão (MPa) ,00 -,00 -,00-4 0,00,00,00 3, Deslizamento (mm) ENSAIO CICLICO CAAFA BARRA DE 6mm - CONCRETO 30 MPa ENSAIO MONOTONIO CAAFA BARRA DE 6mm - CONCRETO 30 MPa Figura 9 CAAFA 30 MPa-6 mm. Tensão (MPa) ,00 -,00 -,00-4 0,00,00,00 3, Deslizamento (mm) ENSAIO CÍCLICO CAA BARRA DE 6mm - CONCRETO 30 MPa ENSAIO MONOTÔNICO CAA BARRA DE 6mm - CONCRETO 30 MPa Figura 0 CAA 30 MPa-6 mm. Tensão (MPa) ,00 -,00 -,00-4 0,00,00,00 3, Deslizamento (mm) ENSAIO CÍCLICO CC BARRA DE 6mm - CONCRETO 30 MPa ENSAIO MONOTÔNICO CC BARRA DE 6mm - CONCRETO 30 MPa Figura CC 30 MPa-6 mm. Tabela 6 Razões de Ts a Tsn sob carregamentos cíclicos para concretos (CAAFA-CAA-CC) 30 MPa-6 mm TIPOS DE CONCRETOS F (kn) Número De Ciclos Ciclos baixos Ts/Tsn Ciclos médios Ciclos altos ou últimos CAAFA 30MPa-6mm , , ,3 CAA 30MPa-6mm , ,30 CC 30MPa-6mm , ,34 Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 9-, 009

112 06 Fredy Enrique Garzón Reyes & Ana Lúcia Homce de Cresce El Debs Tabela 7 Porcentagens de deterioração por ciclos para concretos (CAAFA-CAA-CC) 30 MPa-6 mm TIPO DE CICLOS CAAFA 30MPa-6mm CAA 30MPa-6mm CC 30MPa-6mm BAIXOS 49% 50% 48% MÉDIOS 6% 0% 8% ALTOS 4% TOTAL 69% 70% 66%,0 CAARFA 30MPa-6mm CAA 30MPa-6mm CC 30M Pa-6mm 0,8 Ts/Tsn 0,6 0,4 0, 0, N Figura Relações entre a deterioração e o número de ciclos para concretos (CAAFA-CAA-CC) 30 MPa-6 mm. 00% 90% 80% 70% 60% 50% 4% 6% 0% 8% 40% 30% 0% 0% 49% 50% 48% 0% CAARFA 30MPa- 6mm CAA 30MPa- 6mm CC 30MPa- 6mm ALTOS MEDIOS BAIXOS Figura 3 Porcentagens de deterioração por ciclos para concretos (CAAFA-CAA-CC) 30 MPa-6 mm. Resultados dos ensaios: As relações de aderência tensão deslizamento para os modelos CAAFA 30 MPa-6 mm, CAA 30 MPa-6 mm e CC 30 MPa-6 mm, são mostrados nas Figuras 9 à respectivamente, onde o controle de força varia entre 40 a 60 kn, para um número de ciclos em média de 9 ciclos. Segundo a Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 9-, 009

113 Deterioração da tensão de aderência entre barras de aço e concretos (CC, CAA E CAAFA), sob influência 07 Tabela 6, a deterioração da aderência para a relação Ts/Tsn, em média, foi de 49% nos primeiros ciclos baixos, como se observa na Tabela 7 e nas Figuras e 3. Tensão (MPa) ,00 -,00 -,00-4 0,00-8,00,00 3, Deslizamento (mm) ENSAIO CICLICO CAAFA BARRA DE 6mm - CONCRETO 60 MPa ENSAIO MONOTÔNICO CAAFA BARRA DE 6mm - CONCRETO 60 MPa Tensão (MPa) ,0-4,0-3,0 -,0-4 -,0-8 0,0,0,0 3,0 4,0 5, Deslizamento (mm) ENSAIO CÍCLICO CAA BARRA DE 6mm - CONCRETO 60 MPa ENSAIO MONOTÔNICO CAA BARRA DE 6mm - CONCRETO 60 MPa Figura 4 CAAFA 60 MPa-6 mm. Figura 5 CAA 60 MPa-6 mm. Tensão (MPa) ,00 -,00 -,00-4 0,00,00,00 3, Deslizamento (mm) ENSAIO CÍCLICO CC BARRA DE 6mm - CONCRETO 60 MPa ENSAIO MONOTÔNICO CC BARRA DE 6mm - CONCRETO 60 MPa Figura 6 CC 60 MPa-6 mm. Tabela 8 Razões de Ts a Tsn sob carregamentos cíclicos para concretos (CAAFA-CAA-CC) 60 MPa-6 mm TIPOS DE CONCRETOS F (kn) Número De Ciclos Ciclos baixos Ts/Tsn Ciclos médios Ciclos altos ou últimos CAAFA 60MPa-6mm , , ,9 CAA 60MPa-6mm , , ,7 CC 60MPa-6mm , , ,6 Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 9-, 009

114 08 Fredy Enrique Garzón Reyes & Ana Lúcia Homce de Cresce El Debs Tabela 9 Porcentagens de deterioração por ciclos para concretos (CAAFA-CAA-CC) 60 MPa-6 mm TIPO DE CICLOS CAAFA 60MPa-6mm CAA 60MPa-6mm CC 60MPa-6mm BAIXOS 5% 49% 49% MÉDIOS 7% 7% 7% ALTOS 3% 7% 8% TOTAL 8% 83% 74%,0 CA A RFA 60M Pa-6mm CA A 60M Pa-6mm CC 60M Pa-6mm 0,8 Ts/Tsn 0,6 0,4 0, 0, N Figura 7 Relações entre a deterioração e o número de ciclos para concretos (CAAFA-CAA-CC) 60 MPa-6 mm. 00% 90% 80% 70% 60% 3% 7% 7% 7% 8% 7% 50% 40% 30% 0% 5% 49% 49% 0% 0% CAARFA 60MPa- 6mm CAA 60MPa- 6mm CC 60MPa- 6mm ALTOS MEDIOS BAIXOS Figura 8 Porcentagens de deterioração por ciclos para concretos (CAAFA-CAA-CC) 60 MPa-6 mm. Resultados dos ensaios: As relações de aderência tensão deslizamento para os modelos CAAFA 60 MPa-6 mm, CAA 60 MPa-6 mm e CC 60 MPa-6 mm, são mostradas nas Figuras 4 à 6, respectivamente, onde o controle de força varia entre 40 a 00 kn, para um número, em média, de 5 ciclos. Segundo a Tabela Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 9-, 009

115 Deterioração da tensão de aderência entre barras de aço e concretos (CC, CAA E CAAFA), sob influência 09 8, a deterioração da aderência para a relação Ts/Tsn, em média,foi de 50% nos primeiros ciclos baixos, como se observa na Tabela 9 e Figuras 7 e Comparações de resultados de ensaios de aderência sob carregamentos cíclicos Na Tabela 0 observa-se um aumento de força média aplicada nos modelos, tanto em a tração como em a compressão, uma vez que se aumenta o diâmetro da barra de aço e a resistência do concreto. Tabela 0 Propriedades estatísticas dos modelos cíclicos por força máxima TRAÇÃO COMPRESSÃO 30MPa-0mm 60MPa-0mm 30MPa-6mm 60MPa-6mm MEDIA (kn) 9,59 3,68 67, 97,97 D. P. ± 3,39 ± 8,5 ± 4,37 ± 5,8 C. V. (%) 7,8 4,94 6,5 5,49 V. P. (kn) 30,00 45,00 80,00 0,00 λ 0,65 0,73 0,84 0,8 MEDIA (kn) 6, ,98 89,6 D. P. ± 3,45 ± 5,9 ± 0,4 ± 6,79 C. V. (%) 0,39 8, 0,68 8,84 V. P. (kn) 30,00 45,00 80,00 0,00 λ 0,56 0,65 0,76 0,74 O Valor Previsto (V. P.) é tomado do valor esperado, com respeito ao diâmetro da barra de aço e à resistência do concreto, de acordo com os ensaios monotônicos. Através da Tabela observa-se que o modelo que apresentou, em média, o máximo deslizamento, tanto em tração como à compressão, foi o de 60 MPa - 6 mm. Tabela Propriedades estatísticas dos modelos cíclicos por deslizamento máximo TRAÇÃO COMPRESSÃO 30MPa-0mm 60MPa-0mm 30MPa-6mm 60MPa-6mm MEDIA (mm),7,43,7,95 D. P. ± 0,80 ± 0,4 ± 0,40 ± 0,38 C. V. (%) 46,67 9,36 3,39 9,53 V. P. (mm),50,0,50 3,00 λ,5 0,65 0,69 0,65 MEDIA (mm) 0,94,3,59,68 D. P. ± 0,36 ± 0,36 ± 0,36 ± 0,6 C. V. (%) 38,74 7,66,49 9,7 V. P. (mm),5,0,50 3,00 λ 0,63 0,66 0,64 0,56 O Valor Previsto (V.P.) é tomado do valor esperado com respeito ao diâmetro da barra de aço e à resistência do concreto, de acordo com os ensaios monotônicos. O modelo com a máxima tensão, tanto à tração quanto à compressão, em média, foi 60 MPa - 0 mm, o mesmo que os ensaios monotônicos, segundo a Tabela. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 9-, 009

116 0 Fredy Enrique Garzón Reyes & Ana Lúcia Homce de Cresce El Debs Tabela Propriedades estatísticas dos modelos cíclicos por tensão máxima 30MPa-0mm 60MPa-0mm 30MPa-6mm 60MPa-6mm MEDIA (MPa) 5,89 6,50 3,30 9,38 D. P. ±,75 ± 6,6 ± 0,87 ± 3,00 TRAÇÃO C. V. (%) 7,8 4,94 6,5 5,49 V. P. (MPa) 4,33 36,49 5,83 3,74 λ 0,65 0,73 0,84 0,8 MEDIA (MPa) 3,74 3,56,07 7,64 D. P. ±,80 ± 4,9 ± 0,08 ± 3,3 COMPRESSÃO C. V. (%) 0,39 8, 0,68 8,84 V. P. (MPa) 4,33 36,49 5,83 3,74 λ 0,56 0,65 0,76 0,74 O Valor Previsto (V.P.) é tomado de um valor teórico segundo a Equação τ = F π. l. φ / d 5 CONCLUSÕES PARCIAIS De acordo com a relação Ts/Tsn, observa-se que, para os modelos de arrancamento cíclicos testados, a maior deterioração da aderência (30% a 50%) ocorreu nos primeiros ciclos, com baixo carregamento aplicado. A deterioração da aderência depende estreitamente do diâmetro da barra de aço (Ø b ) e da resistência à compressão do concreto (f c ). Porém, quando foram utilizados carregamentos dinâmicos, os modelos com barras de aço de diâmetro Ø=0,00 mm apresentaram maior variabilidade em relação à deterioração de aderência, enquanto que os modelos com barras de aço de diâmetro Ø=6,00 mm mostraram deterioração de 50%. Vale destacar que, nos modelos 30 MPa 0 mm, a maior deterioração de aderência foi verificada nos concretos CAAFA. Como observado nos ensaios cíclicos, a força máxima aplicada tem o mesmo comportamento, ou sea, quanto maiores (f c ) e (Ø b ), maior a força de aplicação. Analogamente, para o caso de tensão máxima, a tendência dos resultados é similar, isto é, não depende do diâmetro da barra de aço (Ø b ) tanto quanto da resistência à compressão do concreto (f c ). Em relação ao deslizamento máximo, observa-se que o comportamento é similar para todos os modelos ensaiados. Quando as magnitudes de deslizamentos forem pequenas, nem o diâmetro da barra de aço (Ø b ), nem a resistência à compressão do concreto (f c ) exerce variações consideráveis. Os ensaios com carregamento cíclico com concretos de 60 MPa e barras de aço de 6 mm apresentaram um comportamento quase como monotônico. O principal tipo de ruptura apresentada nos CC foi por fendilhamento do concreto, contrárias às rupturas por atrito dos CAA e CAAFA. Os modelos com concreto CAAFA foram os que alcançaram, em média, maior número de ciclos, semelhante aos modelos de 6 mm 60 MPa, o que significa que as fibras de aço apresentam bom comportamento sob ações de carregamento cíclico e que os concretos de maior resistência à compressão e maior diâmetro de barras são mais resistentes à fadiga. O tipo de ruptura por flambagem da barra de aço de 0 mm ocorre pela sua pequena rigidez em comparação com a da barra de 6 mm. Além de o flambagem foi causado na compreensão do modelo. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 9-, 009

117 Deterioração da tensão de aderência entre barras de aço e concretos (CC, CAA E CAAFA), sob influência 6 AGRADECIMIENTOS Os autores expressam seus agradecimentos pelo apoio financeiro à Fundação de Amparo Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP), ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) e ao Laboratório de Engenharia de Estruturas do Departamento de Estruturas (Escola de Engenharia de São Carlos Universidade de São Paulo USP), pelo apoio técnico e logístico. 7 REFERÊNCIAS AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. Reported by ACI Committee 408. Bond Under Cyclic Loads. 3 p AMERICAN SOCIETY FOR TESTING AND MATERIALS. ASTM C 50: Standard Specification for Portland Cement. West Conshohocken, 000. AMERICAN SOCIETY FOR TESTING AND MATERIALS. ASTM C 494/C 494M: Standard Specification for Chemical Admixtures for Concrete. West Conshohocken, 00. AMERICAN SOCIETY FOR TESTING AND MATERIALS. ASTM C 097: Standard Specification for Hydrated Lime for use in Asphaltic-Concrete Mixtures. West Conshohocken, 00. AMERICAN SOCIETY FOR TESTING AND MATERIALS. ASTM C 40: Use of Silica Fume as a Mineral Admixture in Hydraulic-Cement Concrete, Mortar, and Grout. West Conshohocken, 000. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 65: Materiais metálicos: Determinação das propriedades mecânicas à tração Método de ensaio. Rio de Janeiro, 99. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 7: Agregado para concreto. Rio de Janeiro, 983. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 7480: Barras e fios de aço destinados a armaduras para concreto armado. Rio de Janeiro, 996. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 9937: Agregados: Determinação da absorção e da massa específica de agregado graúdo. Rio de Janeiro, 987. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 5530: Fibras de aço para concreto Especificações. Rio de Janeiro, 007 CAMPIONE, G.; CUCCHIARA, C.; LA MENDOLA, L.; PAPIA, M. Steel concrete bond in lightweight fiber reinforced concrete under monotonic and cyclic actions. Engineering Structures, v. 7, p , 005. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 9-, 009

118 Fredy Enrique Garzón Reyes & Ana Lúcia Homce de Cresce El Debs FERNANDES, R. M. A influência das ações repetidas na aderência aço-concreto p. Dissertação (Mestrado) Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos GARZÓN REYES, F. E. Análise da aderência entre barras de aço e concretos (CC, CAA e CAAFA), sob influência de ações monotônicas e cíclicas Dissertação (Mestrado em Engenharia de Estruturas) Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 009. HADDAD, R. M.; ABENDEH, R. M. Effect of thermal cycling on bond between reinforcement and fiber reinforced concrete. Cement & Concrete Composite, v. 6, p , 004. OKAMURA; H. Self-Compacting High-Performance Concrete. Concrete International, v. 9, n. 7, p , July, 997. OKAMURA, H.; OUCHI, M. Self-compacting concrete. Journal of Advanced Concrete Technology, v., n., Apr., p. 5-5, 005. RILEM-FIP-CEB. Bond test for reinforcing steel: -Beam test (7-II-8). -Pullout test (7-II-8): Tentative recommendations. Materials and Structures, v. 6, n. 3, p Mar./Apr Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 9-, 009

119 ISSN MODELAGEM NUMÉRICA DE PILARES MISTOS CURTOS DE SEÇÃO CIRCULAR DE AÇO PREENCHIDO COM CONCRETO EM SITUAÇÃO DE INCÊNDIO Rodrigo Tadeu dos Santos & Jorge Munaiar Neto Resumo Os pilares mistos de aço e concreto, além de apresentar comportamento estrutural bastante satisfatório, reduzem o fenômeno denominado spalling presente em elementos de concreto submetidos a elevadas temperaturas, devido ao confinamento imposto pelo tubo de aço, mais pronunciado em seções tubulares circulares. Destaca-se ainda a reduzida taxa de aquecimento desse mesmo elemento misto em razão da baixa condutividade térmica do concreto, aspecto de grande interesse para fins de dimensionamento. O presente trabalho tem como obetivo principal modelar numericamente, em campo tridimensional, pilares mistos curtos com seções tubulares circulares de aço preenchidos com concreto submetidos ao incêndio-padrão ISO 834:999. A modelagem se faz com vistas à simular o comportamento estrutural em situação de incêndio e a influência da elevação de temperatura na resistência e no confinamento desses mesmos elementos. Para a modelagem numérica, em campo térmico e estrutural, se utiliza o pacote comercial ANSYS V9.0, elaborado com base no Método dos Elementos Finitos, o qual permite a análise transiente do gradiente térmico nos elementos estruturais. Os resultados das análises são comparados com valores obtidos por meio do código computacional TCD 5. Palavras-chave: Estruturas de aço. Pilares mistos de aço e concreto. Incêndio. Análise térmica. Análise numérica. NONLINEAR NUMERICAL ANALYSIS OF CIRCULAR CONCRETE FILLED STEEL SHORT COLUMNS UNDER FIRE CONDITION Abstract Concrete-filled steel columns when subected to high temperatures present satisfactory structural behavior and the reduction of the spalling phenomenon in the concrete. The aim of this work is to develop 3D numerical models of circular concrete-filled steel short columns under fire exposure according to the ISO-834:999 standard. The numerical models are developed to simulate the structural behavior of those composite short columns under fire condition, in order to evaluate the influence of increasing temperature in the strength of the structural element. To perform the numerical model of thermal, structural and thermal-structural fields, a commercial finite element analysis package ANSYS V9.0 is used, which allows transient analysis of the thermal gradient effects in the structural elements. The results from thermal, structural and coupled analyses are previously compared with the ones obtained with TCD 5.5 package. The coupled analysis is performed for three different columns, changing the diameter and concrete compression strength to be used in a parametric analysis. Keywords: Composite structures. Composite steel-concrete columns. Fire situation. Thermal analysis. Numerical analysis. Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, santosrt@sc.usp.br Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, munaiar@sc.usp.br Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-9, 009

120 4 Rodrigo Tadeu dos Santos & Jorge Munaiar Neto INTRODUÇÃO A consideração do trabalho em conunto dos elementos de aço e de concreto para a concepção de elementos mistos como, por exemplo, as laes mistas de aço e concreto, as vigas mistas de aço e concreto e os pilares mistos de aço e concreto, surgiu, inicialmente, como forma de proteção ao fogo e à corrosão dos elementos estruturais de aço, em que o concreto não possuía qualidade estrutural, contribuindo pouco com a resistência do elemento e, consequentemente, do sistema ao qual estava inserido. Posteriormente, se passou a considerar a contribuição do concreto na resposta estrutural desses mesmos elementos, garantindo uma considerável eficiência estrutural em termos de resistência e de rigidez. No caso dos pilares mistos de aço e concreto, o elemento de aço (tubular) pode ser utilizado na forma de perfis laminados, soldados ou formados a frio, enquanto que o concreto pode ser simples ou armado. Os pilares mistos preenchido com concreto, quando analisado em temperatura ambiente, asseguram uma maior e mais adequada eficiência estrutural para fins de utilização em estruturas correntes. Apresentam como vantagens: ausência de fôrmas, redução ou até mesmo a ausência de armaduras, o núcleo de concreto é responsável por aumentar a rigidez e a resistência do perfil tubular, redução da seção transversal, redução no consumo dos materiais, aumento da área útil no pavimento e uma melhora na ductilidade do pilar. No contexto do presente trabalho, cabe ressaltar que as atenções serão direcionadas aos pilares de aço de seção circular preenchidos com concreto e, em particular, voltadas para a análise desses elementos submetidos a temperaturas elevadas. Atualmente, as pesquisas referentes às estruturas em situação de incêndio crescem de forma significativa no cenário mundial. Tal fato se ustifica pela necessidade de se avaliar o desempenho das estruturas quando essas são submetidas à ação térmica. O aumento gradativo de temperatura provoca alterações nas propriedades mecânicas dos materiais, fazendo com que ocorra redução de resistência e rigidez, podendo levar a estrutura ao colapso prematuro. No caso de pilares mistos de aço preenchidos por concreto, Fig., quando submetidos a ação térmica, além de apresentar comportamento estrutural bastante satisfatório, reduz ou mesmo evita o fenômeno do lascamento, denominado spalling (presente em elementos de concreto submetidos a elevadas temperaturas), devido ao efeito do confinamento do concreto imposto pelo tubo de aço. perfil de aço concreto perfil tubular (a) (b) Figura Pilares mistos de aço preenchidos por concreto: (a) seção circular e (b) seção quadrada. Fonte: De Nardin (006). Conforme descrito em Han (003), o tubo de aço começa a se expandir axialmente no início da fase de aquecimento, passando a receber a maior parte da carga aplicada, fazendo com que a tensão de compressão no núcleo de concreto diminua. Posteriormente, com o aumento da temperatura, o aço passa a se deformar localmente e a carga passa também a ser resistida pelo concreto. Em um estágio final o aço, axialmente, não suporta mais a carga aplicada, porém, ainda mobiliza restrição à deformação radial do núcleo de concreto até o instante de ruptura do elemento misto como um todo. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-9, 009

121 Modelagem numérica de pilares mistos curtos de seção circular de aço preenchido com concreto em situação... 5 Segundo Ding e Wang (008), a maioria dos pesquisadores assume como hipótese simplificadora, durante a exposição ao fogo, o contato perfeito na interface entre o aço e o concreto nos pilares mistos preenchidos. No entanto, essa última referência ressalta o fato de a dilatação do aço ser maior que a do concreto, impondo um descolamento no contato dando origem à existência de uma folga (Gap de ar) entre ambos, fenômeno que deve ser levado em conta em análises experimental e numérica. No entanto, a mesma referência destaca que tal consideração deve ser melhor estudada em trabalhos futuros, tendo em vista que ocorrem casos em que o tempo de resistência ao fogo cresce devido à folga, mostrando que as análises por meio de modelos convencionais (sem Gap) estão a favor da segurança, e, para os casos em que o contrario se verifica, a diferença se mostra pouco expressiva. Em razão dos aspectos citados nos parágrafos anteriormente apresentados, o presente trabalho tem como obetivo principal modelar numericamente, em campo tridimensional, pilares mistos curtos com seções tubulares circulares de aço preenchidos com concreto submetidos ao incêndiopadrão, determinando o tempo e a temperatura de colapso referente a uma determinada carga aplicada. Para tanto, utiliza-se como proposta modelos numéricos do tipo termo-estrutural acoplado, elaborado com o auxílio do código de cálculo ANSYS V9.0. INCÊNDIO O incêndio caracteriza-se pela existência de fogo sem controle, e só ocorrerá se houver fonte de calor, combustível e oxigênio (comburente), untos denominado triangulo do fogo. A reunião desses três elementos origina uma reação química exotérmica que libera calor em grande intensidade. O risco de ocorrer um incêndio, sua intensidade e duração, está diretamente associado à quantidade, ao tipo e ao posicionamento da carga de incêndio (material combustível) que constitui o mobiliário ou equipamentos de um dado ambiente. Devido à grande dificuldade em se determinar a curva temperatura-tempo para o incêndio natural, dependente das condições de ventilação e aberturas do compartimento, da distribuição e da quantidade de carga de incêndio, entre outros aspectos, se convencionou adotar um modelo de curva temperatura-tempo, para análises de estruturas, elementos estruturais, materiais e elementos de proteção térmica. Esse modelo é conhecido como incêndio-padrão, representado pela equação (), a qual determina a temperatura dos gases (T g ) em função do tempo, de acordo com a norma ISO 834:999. Na equação (), t é o tempo em minutos e a temperatura dos gases é dada em C. A Fig. representa graficamente a curva de incêndio-padrão. ( 8t ) T g = 0 345log + + () 000 Temperatura ( C) Tempo (h) Figura Curva referente ao incêndio-padrão de acordo com a ISO 834:999. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-9, 009

122 6 Rodrigo Tadeu dos Santos & Jorge Munaiar Neto A verificação estrutural em situação de incêndio deve-se ao fato de as propriedades mecânicas do aço e do concreto resultarem reduzidas quando expostas a elevadas temperaturas, podendo provocar o colapso da estrutura em um tempo reduzido, não garantindo a desocupação da edificação. A influência da temperatura na resistência ao escoamento e na rigidez do aço e do concreto, pode ser observada, de maneira geral, conforme informações apresentadas nas Fig. 3 e Fig. 4, elaboradas com base em SILVA (000). Nota-se, com base na mesma figura, que a capacidade resistente, tanto do aço como do concreto, diminui consideravelmente com o aumento da temperatura. Resitência relativa 0,75 0,5 0,5 concreto aço Temperatura (oc) Figura 3 Reduções da resistência, do aço e do concreto, em função da temperatura. Mód. Elastic. relativo 0,75 0,5 0,5 concreto aço Temperatura (oc) Figura 4 Reduções do módulo de elasticidade, do aço e do concreto, em função da temperatura. Um primeiro parâmetro de interesse para fins de análise térmica é o calor específico (C a ), que representa a quantidade de calor requerida para aumentar em uma unidade de temperatura a massa unitária do material. A norma brasileira ABNT NBR 433:999 disponibiliza valores de calor específico, em J/kg C, em função do tempo, para o aço e para o concreto, conforme Fig. 5a e Fig. 5b, respectivamente. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-9, 009

123 Modelagem numérica de pilares mistos curtos de seção circular de aço preenchido com concreto em situação... 7 c a c a T ( C) T ( C) (a) (b) Figura 5 Representação gráfica - calor específico para: (a) aço e (b) concreto. Outro parâmetro de interesse é condutividade térmica (λ), parâmetro que estabelece a razão com a qual o calor é conduzido para o interior do material em análise. A norma brasileira ABNT NBR433:999 disponibiliza valores para a condutividade térmica, em W/m C, em função do tempo, para o aço e para o concreto, conforme Fig. 6a e Fig. 6b, respectivamente. λ a λ a,6,4, 0,8 0,6 0,4 0, T( C) T( C) (a) (b) Figura 6 Representação gráfica - condutividade térmica para: (a) aço e (b) concreto. É importante ressaltar que as informações disponibilizadas nas figuras 3, 4, 5 e 6 foram utilizadas (fornecidas ao ANSYS) nas análises realizadas no presente trabalho. Também foram adotados os seguintes valores: α c = 5 W/m ºC (coeficiente de transferência de calor por convecção) e ε r = 0,5 (emissividade resultante). É também importante destacar que a ABNT NBR433:999 recomenda o dimensionamento em situação de incêndio realizado por meio de resultados de ensaios, por meio de métodos avançado ou simplificado de dimensionamento. A modelagem numérica aqui desenvolvida, apresentada nos item que se seguem, se enquadra em métodos avançados. 3 MODELAGEM NUMÉRICA PILARES MISTOS PREENCHIDOS Para a modelagem numérica dos pilares mistos de seção circular preenchidos foi utilizado o pacote comercial ANSYS V9.0, o qual permite a análise transiente do gradiente térmico nos elementos estruturais, conforme descrito em Rigobello (007). Foi realizada em campo tridimensional, conforme esquematiza a Fig. 7, modelando pilares mistos curtos com seções tubulares circulares de aço preenchidos com concreto submetidos ao incêndio-padrão. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-9, 009

124 8 Rodrigo Tadeu dos Santos & Jorge Munaiar Neto (a) (b) Figura 7 Esquematização da malha de elementos finitos utilizada: (a) tubo de aço e (b) núcleo de concreto. A modelagem aqui proposta é feita com vistas a simular satisfatoriamente o comportamento estrutural, bem como a influência da elevação de temperatura na resistência e no confinamento desses mesmos elementos em situação de incêndio. A modelagem foi dividida em duas etapas: a análise térmica e aplicação do campo térmico no modelo numérico e, em seguida, análise termoestrutural, com aplicação do carregamento (axial) untamente com a influência da temperatura no comportamento dos materiais. Tomando como ponto de partida a análise em temperatura ambiente, foram utilizados valores de resultados experimentais apresentados em Oliveira (008), os quais se referem a pilares mistos circulares preenchidos e servirão como valores de comparação (referência) para os resultados em temperaturas elevadas. As características do modelo experimental utilizado no presente trabalho, é aqui denominado PMC-9 e se refere a um pilar misto curto de seção circular preenchido com concreto, com relação D/t = 9 e com seguintes dimensões: D (diâmetro total) = 4 mm, t (espessura de chapa) = 6 mm e h (altura) = 343 mm; Resistência característica à compressão do concreto (f ck = 3 MPa) Resistência ao escoamento do aço (f y = 343 MPa) 3. Elementos finitos adotados Na elaboração dos modelos numéricos para a análise térmica se seguiu a mesma estratégia adotada em Rigobello (007), em que foram utilizados dois tipos de elementos finitos: o SOLID70 para modelar o pilar misto de aço preenchido por concreto, e o SURF5, para aplicar ao modelo as condições de contorno respectivas à carga térmica (referente à convecção e à radiação). O SOLID70, apresentado na Fig. 8, é um elemento finito sólido que possui oito nós, com um grau de liberdade em cada nó, no caso, a temperatura. O SURF5, apresentado na Fig. 9, possui de quatro a nove nós, além de um nó extra para simular efeitos térmicos, todos com apenas um grau de liberdade, no caso, também a temperatura. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-9, 009

125 Modelagem numérica de pilares mistos curtos de seção circular de aço preenchido com concreto em situação... 9 Figura 8 Elemento finito utilizado: SOLID70. Figura 9 Elemento finito utilizado: SURF5. Na elaboração dos modelos numéricos para a análise termo-estrutural também se segue a mesma estratégia adotada em Rigobello (007), em que foram utilizados quatro tipos de elementos finitos: o SOLID45 para modelar o tubo de aço, o SOLID85 para modelar o concreto, e os elementos de contato TARGE70 e CONTA74, para representar o contato entre os materiais aço e concreto. O SOLID45, apresentado na Fig. 0, possui oito nós, com três graus de liberdade, em cada nó, referentes às translações nas direções X, Y e Z (coordenadas globais). O SOLID85, apresentado na Fig., possui oito nós, com três graus de liberdade, em cada nó, referentes às translações nas direções X, Y e Z (coordenadas globais), diferenciando-se do SOLID45 apenas por permitir simular materiais com características hipoelásticas e hiperelásticas, aspectos que não representam interesse no presente trabalho. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-9, 009

126 0 Rodrigo Tadeu dos Santos & Jorge Munaiar Neto Figura 0 Elemento finito utilizado: SOLID45. Figura Elemento finito utilizado: SOLID85. O elemento finito TARGE70, ilustrado na Fig., é um elemento finito tridimensional utilizado em conunto com o elemento de contato CONTA74, ilustrado na Fig. 3, estes dois elementos apresentam as mesmas características, possuem oito nós, com três graus de liberdade por nó, referentes às translações nas direções X, Y e Z (coordenadas globais). Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-9, 009

127 Modelagem numérica de pilares mistos curtos de seção circular de aço preenchido com concreto em situação... Figura Elemento finito utilizado: SOLID85. Figura 3 Elemento finito utilizado: SOLID Modelos constitutivos adotados As relações constitutivas σ x ε adotadas para representar o comportamento dos materiais aço e concreto foram baseadas no EUROCODE. No caso do aço foi utilizado o EN 993--:005, para temperaturas variando de 0 a 00 ºC. A relação constitutiva adotada para o concreto foi adaptada daquela apresentada no EN 99--:004, em que se considera como simplificação, regime plástico perfeito após a ruptura, tanto por tração quanto por compressão. A não consideração do softening se faz com vistas a evitar problemas de convergência nos modelos numéricos. A Fig. 4 esquematiza o diagrama f y x ε para o aço. A Fig. 5 e a Fig. 6 esquematizam os diagramas f c x ε para o concreto solicitado à tração e solicitado à compressão, respectivamente. Em Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-9, 009

128 Rodrigo Tadeu dos Santos & Jorge Munaiar Neto todas as figuras citadas, elaboradas por meio do ANSYS, seguem a temperatura com unidade em o C e a tensão com unidade em N/m. Figura 4 Relações Tensão x Deformação para aço, em função da temperatura. Figura 5 Relação Tensão x Deformação para o concreto tracionado em função da temperatura. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-9, 009

129 Modelagem numérica de pilares mistos curtos de seção circular de aço preenchido com concreto em situação... 3 Figura 6 Relação Tensão x Deformação para o concreto comprimido, em função da temperatura. 3.3 Condições de contorno e de carregamento Na face inferior (base) do modelo que representa o pilar misto curto os deslocamentos foram impedidos nas três direções (X, Y e Z), enquanto que na face superior foram permitidos apenas os deslocamentos na direção vertical (Z). Optou-se ainda por acoplar os nós da seção superior do pilar (na direção Z), possibilitando atribuir um nó de referência (chamado nó mestre). A força é aplicada no nó mestre, tal que todos os nós acoplados na seção apresentem o mesmo deslocamento. Nas direções (X e Y) os deslocamentos foram impedidos. O impedimento no deslocamento nas direções (X e Y) se fez com vistas a simular o forte atrito entre as faces do corpode-prova com os apoios, comumente observado nos experimentos realizados em laboratório. 4 ANÁLISE TÉRMICA RESULTADOS OBTIDOS O pacote computacional ANSYS é reconhecido pelo seu grande potencial quando aplicado em análises de interesse por meio da aplicação do Método dos Elementos Finitos. Porém, é importante ressaltar que o mesmo não foi construído especificamente para análise térmica, razão pela qual se faz necessária a validação dos seus resultados, em campo térmico, para uma adequada calibração e análise dos modelos de pilares a serem aqui analisados. Para a validação do campo térmico, o mesmo modelo de pilar misto foi analisado via ANSYS e via SuperTempCalc (TCD 5.5), em ambos os casos submetido ao incêndio padrão, bem como se adotando as mesmas propriedades térmicas, coeficiente de transferência de calor por convecção e emissividade resultante. A Fig. 7, extraída do ANSYS, e a Fig. 8, extraída do TCD representam a distribuição da temperatura na seção transversal do pilar misto, para um TRRF igual a 60 minutos. Na mesma Fig. 9 também pode ser visualizada a malha gerada pelo TCD para fins de análise térmica. Vale destacar que os resultados obtidos via TCD foram gentilmente cedidos por Valdir Pignatta e Silva, atualmente professor da Escola Politécnica da USP. Para comparação dos resultados obtidos entre ambos os programas, foram construídos dois gráficos referentes ao modelo numérico PMC-9, apresentados na Fig. 9 e na Fig. 0. A Fig. 9 representa a elevação da temperatura na seção transversal para tempos (TRF-Tempo de Resistência ao Fogo) iguais a 5 minutos, 30 minutos e 60 minutos, enquanto a Fig. 0 representa a elevação da temperatura em relação a alguns dos pontos da seção transversal, apresentados na Tabela.. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-9, 009

130 4 Rodrigo Tadeu dos Santos & Jorge Munaiar Neto Figura 7 Distribuição da temperatura na seção transversal via ANSYS. Figura 8 Distribuição da temperatura na seção transversal via TCD. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-9, 009

131 Modelagem numérica de pilares mistos curtos de seção circular de aço preenchido com concreto em situação Temperatura ( C) ,000 0,00 0,00 0,030 0,040 0,050 Raio (m) t=5min Ansys t=5min TCD t=30min Ansys t=30min TCD t=60min Ansys t=60min TCD Figura 9 Elevação da temperatura na seção transversal Temperatura ( C) Tempo (min.) ISO 834 Ponto- Ansys Ponto- TCD Ponto-3 Ansys Ponto-3 TCD Ponto-5 Ansys Ponto-5 TCD Figura 0 Elevação da temperatura nos pontos. Tabela Pontos analisados na seção mista Pontos Raio (cm) 0,0 3 35,7 5 57,0 Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-9, 009

132 6 Rodrigo Tadeu dos Santos & Jorge Munaiar Neto De acordo com a tabela, o ponto está localizado no centro da seção transversal, o ponto 3 está localizado dentro do núcleo de concreto e o ponto 5 na face externa do tubo de aço. As Figuras 9 e 0 mostram que as curvas de temperatura extraídas do ANSYS e do TDC resultam muito próximas e, portanto, em concordância com as necessidades da análise termo-estrutural apresentada no item que segue. 5 ANÁLISE TERMO-ESTRUTURAL RESULTADOS A análise termo-estrutural (análise acoplada) consiste basicamente em aplicar uma carga axial de compressão no modelo de pilar misto curto e, após a aplicação do referido carregamento, acoplar o campo térmico, determinando o tempo de ruptura para a força aplicada, bem como determinar o deslocamento axial do pilar misto em função da elevação da temperatura. A análise acoplada que será realizada permite a determinação do tempo crítico (ou temperatura crítica) para cada nível de carregamento aplicado e, com isso, permitir apresentar uma dada curva referente ao fator de redução da força resistente do pilar misto curto, aqui definido pelo parâmetro K PM, obtido em função do tempo de incêndio. Na Fig. está apresentado o gráfico de Deslocamento Axial x Tempo para vários níveis de carregamento aplicados, com o qual passa a ser possível determinar o tempo de ruptura do pilar misto para cada nível de carregamento e, com isso, construir o gráfico da curva de redução de resistência (K PM ) para o Modelo - PMC-9. 4 PMC-9-A (M.4) 3 Deslocamento (mm) Tempo (min.) F/Fu=5% F/Fu=30% F/Fu=45% F/Fu=60% F/Fu=75% F/Fu=90% F/Fu=95% Figura Deslocamento x Tempo para vários níveis de carregamento aplicados no modelo PMC -9. O tempo crítico (máximo) de exposição ao incêndio para cada nível de carregamento, a ser utilizado na construção futura do gráfico K PM x Tempo, foi adotado como sendo aquele correspondente ao último passo de carga alcançado quando do processamento do modelo numérico em análise. Como é possível observar nos gráficos da Fig. para os últimos passos de carga, os valores de deslocamentos são praticamente assintóticos. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-9, 009

133 Modelagem numérica de pilares mistos curtos de seção circular de aço preenchido com concreto em situação... 7 Na Fig. é apresentado um gráfico da relação de força crítica em incêndio (F c,ti ) com a força crítica em temperatura ambiente (F c,ta ), denominado fator de redução de força resistente (K PM ) do elemento em situação de incêndio, conforme equação (). Na mesma figura também são comparados os resultados obtidos pelo TCD, agora utilizado também para fins de análise termo-estrutural, com os resultados obtidos pelo ANSYS, permitindo a determinação do tempo de ruptura do pilar misto para um determinado nível de carregamento. F c,ti K PM = () Fc,ta CURVA K - PMC-9-A Relação F c,ti /F c,ta 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, TCD ANSYS Tempo (min.) Figura Curva de redução de força resistente, para o Modelo PMC-9. Figura 3 Configuração deformada para níveis de deformação do modelo PMC-9, para K PM igual a 0,75 e tempo de exposição ao fogo igual a 7 minutos. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-9, 009

134 8 Rodrigo Tadeu dos Santos & Jorge Munaiar Neto A Fig. 3 apresenta a configuração deformada final para o Modelo : PMC-9 obtida via ANSYS, para K PM =0,75 e tempo de 7 minutos. Com base nos resultados obtidos e apresentados no gráfico da Fig., se constata concordância bastante satisfatória dos resultados obtidos por meio do ANSYS, quando comparados àqueles obtidos por meio do programa TCD. 6 CONSIDERAÇÕES E CONCLUSÕES O presente trabalho aborda o estudo de um modelo numérico de pilar misto curto de seção circular de aço preenchido com concreto em situação de incêndio, com o obetivo de avaliar a redução o efeito do confinamento, sempre presente nesse tipo de elemento misto. No modelo aqui proposto, foram considerados o acoplamento dos nós da face superior e a existência de elementos de contato entre ambos os materiais, bem como a não consideração de gap de ar na interface entre tubo de aço e núcleo de concreto. Primeiramente, com relação à análise térmica, a comparação dos resultados obtidos no ANSYS e no TCD se mostra bastante satisfatória, indicando a potencialidade do código ANSYS para a análise do campo térmico de pilares mistos, fato á constatado em estudos realizados em Rigobello (007). A identificação do tempo crítico para os vários níveis de carregamento considerados possibilitou a construção da Curva de Redução de Força Resistente para o Modelo PMC-9, denominada curva K PM (determina o tempo de colapso do pilar misto em função do nível de carregamento aplicado). Nesse caso, os resultados obtidos pelas análises acopladas utilizando o ANSYS foram comparados com resultados obtidos via TCD, e resultaram praticamente coincidentes. Vale destacar que, nesta etapa, foi considerada carga térmica uniforme ao longo de todo o contorno da seção transversal do pilar analisado. Tendo em vista a boa representatividade da curva de redução de força resistente do elemento em situação de incêndio (curva K PM ) do ANSYS, quando comparada com a curva do TCD, e sua fácil utilização, fica simples a determinação do tempo de ruptura para um determinado carregamento em situação de incêndio com a proposta de modelagem aqui sugerida. Tal aspecto ainda sugere o fato de as instabilidades locais não resultarem pronunciadas em pilares curtos, quando da análise dos modelos no ANSYS, tendo em vista o fato de o TCD não considerar este mesmo fenômeno em seu equacionamento. Diante do exposto pode-se afirmar que a proposta de modelagem numérica aqui apresentada, com o uso do pacote computacional ANSYS, mostra-se adequada para o estudo de modelos numéricos de pilares mistos curtos de seção circular de aço preenchido com concreto em situação de incêndio, quando empregada para a análise térmica e termo-estrutural. 7 AGRADECIMENTOS Agradecemos ao CNPq e ao Departamento de Engenharia de Estruturas pelo o auxílio e apoio à pesquisa aqui desenvolvida. 8 REFERÊNCIAS ANSYS INC. Ansys Release 9.0 Documentation. 004 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS - ABNT. NBR Dimensionamento de estruturas de aço de edifícios em situação de incêndio - Procedimento. Rio de Janeiro, 999. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-9, 009

135 Modelagem numérica de pilares mistos curtos de seção circular de aço preenchido com concreto em situação... 9 DE NARDIN, S. et al. Pilares mistos aço-concreto: novos procedimentos e recomendações normativas no Brasil. In: JORNADAS SULAMERICANAS DE ENGENHARIA ESTRUTURAL, Campinas, São Paulo, 006. DING; WANG Y. C. Realistic modelling of thermal and structural behaviour of unprotected concrete filled tubular columns in fire. Journal of Constructional Steel Research, 008. EUROPEAN COMMITTEE FOR STANDARDIZATION. EN Eurocode : Design of concrete structures Part -: General and rules for building e wangs. Brussels, Belgium, 004. EUROPEAN COMMITTEE FOR STANDARDIZATION. EN Eurocode : Design of concrete structures Part -: General rules - Structural fire design. Brussels, Belgium, 004. HAN, L. H.; ZHAO, X. L.; YANG, Y. F.; FENG, J. B. Experimental study and calculation of fire resistance of concrete-filled hollow steel columns. Journal of Structural Engineering, v. 9, n. 3, p , 003. OLIVEIRA, W. L. A. Análise teórico-experimental de pilares mistos preenchidos de seção circular Tese (Doutorado em Engenharia de Estruturas) Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. São Carlos, 008. RIGOBELLO, R. Modelagem numérica da elevação de temperatura em seções transversais de elementos estruturais com base em modelo de incêndio-padrão Dissertação (Mestrado em Engenharia de Estruturas) Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. São Carlos, 007. SANTOS, R. T. Modelos numéricos de pilares mistos curtos de seções circulares de aço preenchidos com concreto em situação de incêndio Dissertação (Mestrado em Engenharia de Estruturas) Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, 009. SILVA, V. P. O Comportamento de sistemas estruturais básicos de aço em situação de incêndio. In: JORNADAS SUDAMERICANAS DE INGENIERIA ESTRUCTURAL, 9., Punta Del Este, 000. Anais Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-9, 009

136 30

137 ISSN MODELOS CONSTITUTIVOS PARA MATERIAIS HIPERELÁSTICOS: ESTUDO E IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL João Paulo Pascon & Humberto Breves Coda Resumo O obetivo central deste trabalho é implementar modelos constitutivos hiperelásticos não lineares em um código computacional que faz análise não linear geométrica de cascas. São necessários, para este propósito, conceitos sobre álgebras linear e tensorial, cinemática, deformação, tensão, balanços, princípios variacionais, métodos numéricos e hiperelasticidade. Tal programa usa a formulação Lagrangiana posicional, o Método dos Elementos Finitos, o Princípio dos Trabalhos Virtuais e o método iterativo de Newton-Raphson para solução das equações não lineares. O elemento finito de casca possui sete parâmetros nodais e variação linear da deformação ao longo da espessura. Para dedução dos novos modelos usou-se a decomposição multiplicativa do gradiente da função mudança de configuração, o tensor deformação de Green-Lagrange e o tensor da tensão de Piola-Kirchhoff de segunda espécie. O código desenvolvido foi usado em simulações de diversos exemplos e apresentou boa precisão na análise mecânica de polímeros naturais altamente deformáveis. A ocorrência do fenômeno travamento não se manifestou. Nas análises realizadas a presente pesquisa confirmou outros trabalhos, reforçou a necessidade de se usar modelos hiperelásticos não lineares para simular o comportamento mecânico de polímeros naturais e apresentou resultados condizentes aos dados experimentais existentes na literatura científica e às respectivas soluções analíticas. Palavras-chave: Hiperelasticidade. Análise não linear geométrica. Cascas com sete parâmetros nodais. Método dos Elementos Finitos. Formulação Lagrangiana Posicional. Materiais poliméricos altamente deformáveis. CONSTITUTIVE MODELS FOR HYPERELASTIC MATERIALS: STUDY AND COMPUTATIONAL IMPLEMENTATION Abstract The obective of this work is to implement nonlinear hyperelastic constitutive models in a computational code which makes geometrically nonlinear analysis of shells. Are needed for this purpose, concepts of linear algebra and tensor, kinematics, strain, stress, balance equations, variational principles, numerical methods and hyperelasticity. This program uses the positional Lagrangian formulation, the Finite Element Method, the principle of virtual work and the iterative method of Newton-Raphson method for solution of nonlinear equations. The finite element shell has seven nodal parameters and linear variation of strain along the thickness. For deduction of the new models, were used the multiplicative decomposition of the gradient of the function change of configuration, the Green-Lagrange strain tensor and the second Piola-Kirchhoff stress tensor. The code developed was used in simulations of various examples and showed good precision in the mechanical analysis of highly deformable natural polymers. The occurrence of locking phenomenon did not arise. In tests carried out, this research confirmed other studies, reinforced the need to use non-linear hyperelastic models to simulate the mechanical behavior of natural polymers and showed consistent results with experimental data from the scientific literature and with their analytical solutions. Keywords: Hyperelasticity. Geometrically nonlinear analysis. Seven nodal parameters shells. Finite Element Method. Positional Lagrangian Formulation. Highly deformable polymeric materials. Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, ppascon@sc.usp.br Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, hbcoda@sc.usp.br Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-53, 009

138 3 João Paulo Pascon & Humberto Breves Coda INTRODUÇÃO Está cada vez mais amplo o uso de elementos estruturais altamente deformáveis e elásticos, como é o caso dos polímeros naturais ou vulcanizados preenchidos ou não com negro de carbono. Entre suas aplicações na engenharia, podem ser citados os seguintes casos: suportes para máquinas e construções, untas estruturais e de dilatação flexíveis, vedações para portas de veículos automotivos, pneus, estruturas costeiras, arruelas de vedação, anéis elastoméricos e polímeros reforçados com fibra de carbono para o setor aeronáutico. É de extrema importância, para fins de proeto e dimensionamento, o conhecimento das propriedades dos elementos estruturais a serem utilizados, para que se possa prever a resposta do material frente às possíveis solicitações. O modelo que melhor se adapta aos componentes estruturais poliméricos é, segundo pesquisadores e estudiosos sobre o assunto, a chamada hiperelasticidade. Com o surgimento e a constante evolução dos micro-computadores, os quais possibilitam maior velocidade de processamento de dados e, portanto, maior eficiência na realização de cálculos, os métodos numéricos, também chamados de aproximados, têm recebido, a um bom tempo, grande atenção por parte de pesquisadores em todo o mundo. Uma das ferramentas numéricas desenvolvidas é o Método dos Elementos Finitos (MEF), que tem sido amplamente estudado e implementado em códigos computacionais para análise e simulação de várias estruturas. Devido à crescente utilização de materiais hiperelásticos em estruturas, torna-se necessário buscar melhorias no proeto e no dimensionamento destes componentes. Para isto, deve-se ampliar o conhecimento com relação ao comportamento mecânico destes materiais, desenvolver eficientes ferramentas numéricas de simulação de carregamento, as quais podem fornecer previsões mais realistas, e adaptar os modelos hiperelásticos existentes aos dados experimentais. O obetivo precípuo desta pesquisa foi a implementação de modelos constitutivos não lineares para materiais hiperelásticos, homogêneos e isotrópicos em um código computacional de análise não linear geométrica de cascas. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Os trabalhos de Malvern (969), Coimbra (98), Ogden (984), Ciarlet (993), Belytschki et al. (000) e de Holzapfel (000) reuniram vários conceitos e equações sobre álgebra linear e tensorial, cinemática, análise do movimento de um corpo, equações de balanço, deformações, tensões, elasticidade, hiperelasticidade, problemas de valor de contorno (PVC) e princípios variacionais. Para o tratamento matemático de sólidos sueitos a deformações consideradas grandes, tais conceitos são bastante úteis para análise estrutural não linear geométrica. El-Abbasi & Meguid (000) complementaram o trabalho de Büchter et al. (994), ao propor uma formulação, para elementos finitos de casca, com sete parâmetros nodais e variação linear das tensões e deformações ao longo da espessura. Coda & Paccola (006) estudaram a formulação posicional para análise não linear geométrica de cascas, considerando a variação linear da espessura e o possível uso de elementos finitos curvos. Assim como El-Abbasi & Meguid (000), incluíram a taxa de variação linear da espessura. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-53, 009

139 Modelos constitutivos para materiais hiperelásticos: estudo e implementação computacional 33 3 NÃO LINEARIDADE GEOMÉTRICA (NLG) A análise não linear geométrica busca a descrição do equilíbrio de forças na configuração atual ou final do corpo, isto é, leva em consideração os deslocamentos e deformações ocorridos. Portanto, apesar de apresentar uma complexa formulação matemática, a NLG é essencial para análises estruturais de problemas com grandes deslocamentos, nos quais as configurações de referência e atual podem ser bastante distintas. 4 DEFINIÇÕES DA MECÂNICA NÃO LINEAR DO CONTÍNUO Cinemática é a descrição do movimento de um corpo ou de uma estrutura, sem consideração das causas desta mudança de configuração. A configuração ou posição desse corpo é uma função contínua que faz a correspondência única entre o ponto material e sua coordenada no espaço em relação a um referencial. A configuração inicial, indeformada ou de referência, é representada por X, e a atual ou deformada por x. Tais vetores recebem o nome de vetores posição. Uma forma de descrevê-los é a seguinte: X X = X X 3 ou x x = x x 3 () Movimento, também chamado de alteração de forma ou mudança de configuração, é uma função que associa a posição inicial e a atual, no instante t, de um ponto material. Essa relação pode ser matematicamente expressa por: ( X t) χ t ( X ) x = χ, = x ( X X X t) ou i = χ i,, 3, (.a), para i =, ou 3 (.b) onde χ caracteriza movimento e χ(x,t) é a traetória percorrida pelos pontos com coordenadas materiais X, X e X 3. Para se expressar o movimento, existem dois tipos de descrição. A Lagrangiana, ou material, caracteriza a mudança de configuração do corpo em relação às coordenadas materiais e ao tempo, e a Euleriana, ou espacial, caracteriza a alteração de forma em relação às coordenadas espaciais e ao tempo. Optou-se, neste trabalho, pela formulação Lagrangiana, pois as principais equações que descrevem o comportamento dos sólidos são escritas em função das coordenadas materiais. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-53, 009

140 34 João Paulo Pascon & Humberto Breves Coda x Configuração Atual Configuração Inicial Movimento X x ( instante t ) ( instante t = 0 ) X e3 ( Referencial ) e e Figura Movimento de um corpo genérico. 4. Medidas de deformação O chamado gradiente da função mudança de configuração, ou simplesmente gradiente, além de auxiliar na definição de outras medidas, fornece a variação, no espaço, da função mudança de posição: A i xi = X ( X, t) χ i ( X, t) = X (para i, =,, 3) (3) onde χi são as componentes da função mudança de configuração, xi são as coordenadas espaciais e Xi são as materiais. Outra medida bastante útil é o alongamento à direita de Cauchy-Green, que é um tensor de segunda ordem positivo definido, dado por: T T C = A A C i = ( A ik )( Ak ) ou (4) onde A T é a matriz transposta do gradiente A. Há também a deformação de Green-Lagrange, dada pela seguinte expressão: E = ( C I ) ou E i = ( C I ) i i (5) onde I é o tensor identidade de segunda ordem. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-53, 009

141 Modelos constitutivos para materiais hiperelásticos: estudo e implementação computacional 35 Uma grandeza de interesse prático é o chamado alongamento relativo, também chamado de estiramento, razão de extensão ou, simplesmente, alongamento. Ele é definido como sendo a razão entre os comprimentos final e inicial de uma fibra ou linha material: λ dx dx t t t ( u) = = u A Au = u Cu (6) onde λ(u) é o alongamento de uma fibra que estava, inicialmente, na direção do vetor unitário u. Podese concluir, pelo fato do tensor C ser positivo definido, que 0 < λ(u) <, para qualquer u. A deformação específica de engenharia é a razão entre a extensão de uma fibra, inicialmente na direção do vetor unitário u, e seu comprimento inicial: ε dx dx dx ( u) = = λ( u) (7) Segundo Ogden (984), para que possa quantificar, de fato, a mudança de configuração de um corpo, a medida de deformação adotada deve ser obetiva, isto é, deve fornecer valores nulos para movimentos nos quais ocorrem apenas rotação e translação do corpo. 4. Medidas de tensão A mais importante grandeza para cálculo de esforços internos é a tensão. A tensão real de Cauchy mede a força por unidade de área na presente configuração. Tal grandeza pode ser descrita na forma tensorial com o Teorema da Tensão de Cauchy: t ( x, t, n) = σ ( x, t) n t i = σ in (8) onde t é o vetor de tensão real, σ é o tensor das tensões de Cauchy e n o vetor normal à superfície deformada. Outra medida de tensão é o tensor simétrico de Piola-Kirchhoff de segunda espécie, que apesar de não ter interpretação física, é de grande importância para cálculo da energia e suas derivadas em problemas estruturais. Ele é definido pela seguinte fórmula: S T T Si = J ( A ik )( σ kl )( A l ) ou = JA σa (9) onde A - é a inversa do gradiente A. Por questões de praticidade, define-se a tensão de engenharia, que é a razão entre força atual e área inicial. Assim: σ real ds = σ eng ds 0 (0) onde ds é a área superficial na posição atual e ds 0 é a área superficial na configuração de referência. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-53, 009

142 36 João Paulo Pascon & Humberto Breves Coda 4.3 Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) O PTV é de fundamental importância para formulações numéricas. Ele estabelece que, dado um deslocamento virtual compatível e admissível, o corpo analisado está em equilíbrio se, e somente se, o trabalho virtual das forças internas for igual ao das externas. Define-se, em problemas estáticos, a energia potencial total como sendo a soma das energias interna e externa: 0 Π = TF ext + U e TF ext = Ω Ω0 0 U e = ψdv 0 B0 udv0 T uds 0 Ω0 0 (.a) (.b) (.c) onde TF ext é o trabalho das forças externas, U e 0 é a energia de deformação, B 0 é o vetor material de forças de campo, T é o vetor material de forças de superfície e Ψ é a chamada energia específica de deformação por unidade de volume inicial. 4.4 Princípio da Mínima Energia Potencial Total (PMEPT) O PMEPT, que é equivalente ao PTV, diz que a estrutura encontra-se em equilíbrio quando, dado um deslocamento virtual infinitesimal, a primeira variação do funcional Π, representada por δπ, deve ser igual a zero: Π = Π Π Π ( Y ) δπ = δy = 0 δyk = 0 Y Y K () onde o funcional Π depende das componentes variáveis do vetor Y. Devido ao fato de δyk ser arbitrário, é válida a seguinte expressão: Π Y K = 0, para qualquer K =, n (3) 5 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (MEF) Discretiza-se, no MEF, a estrutura em um número finito de regiões, denominadas elementos, e pontos, chamados de nós. 5. Formulação Lagrangiana Posicional Usou-se, neste trabalho, a formulação Lagrangiana posicional, descrita por Coda (003), na qual o campo incógnito é a posição final da estrutura, após a deformação, as tensões e deformações são calculadas em relação à configuração de referência e o equilíbrio é expresso pela minimização do Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-53, 009

143 Modelos constitutivos para materiais hiperelásticos: estudo e implementação computacional Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-53, funcional energia de deformação, dada por expressões adequadas a cada material e escritas em função da deformação de Green-Lagrange. Para o sólido mostrado na Figura, são escolhidas, com o uso da configuração auxiliar, as funções aproximadoras das mudanças de posição inicial e final: ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = i i i X X f X f f ,,,,,,,, ξ ξ ξ φ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = i i i Y Y f Y f f ,,,,,,,, ξ ξ ξ φ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ (4) onde ξ, ξ e ξ 3 são as coordenadas adimensionais de Gauss, X é o vetor posição inicial, Y é o vetor posição final, X i é a coordenada inicial, na direção i, do nó, Y i é a final, f 0 é o mapeamento da configuração adimensional auxiliar para a inicial, f é da auxiliar para a final e Φ são as funções de forma relativas ao nó. Figura Mapeamento das configurações inicial, final e auxiliar. Assim, é possível concluir, a partir da Figura e da definição do gradiente da função mudança de configuração as seguintes equações: ( ) 0 = = f f X f f (5.a) ( ) ( ) = = ,,,, ξ ξ ξ ξ ξ ξ f Grad A A (5.b) ( ) f A i i ξ = 0 0 (5.c) ( ) ( ) = = 3 3,,,, ξ ξ ξ ξ ξ ξ f Grad A A (5.d)

144 38 João Paulo Pascon & Humberto Breves Coda ( A ) i f i = ξ (5.e) f 0 ( f ) = = ( A )( ) A = Grad A X (5.f) Calculado o gradiente, podem ser obtidos os tensores alongamento à direita de Cauchy-Green e deformação de Green-Lagrange: 0 T 0 [( A )( A ) ] ( A )( ) T C = A A = A E = [ ] T 0 0 [ A A ] [( A )( A ) ] I ( C I ) = ( )( ) (6.a) (6.b) A energia específica de deformação, que é usada para descrever a lei constitutiva para materiais hiperelásticos, é útil para obtenção da tensão de Piola-Kirchhoff de segunda espécie, que é conugada da deformação de Green-Lagrange, ou sea: S = ψ Si = ψ E ou E i (7) A energia potencial total é dada por: Π = Π 0 ( Y ) = U e + TFext = ψdv0 FKYK V0 ( k =, n ) (8) onde Y K é um grau de liberdade, F K é a força correspondente a este parâmetro nodal e n é o número total de graus de liberdade do elemento finito. O equilíbrio estático de forças na posição final, via Princípio da Mínima Energia Potencial Total (PMEPT), e a consideração de forças conservativas, que não variam com a posição, resultam em: 0 Π U e = 0 Y Y V 0 ψ dv Y 0 TF + Y = F K ext Y K Y = 0 Y ψdv0 = V Y 0 [ F Y ] K K (9) onde F K é o carregamento externo aplicado correspondente ao grau de liberdade K. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-53, 009

145 Modelos constitutivos para materiais hiperelásticos: estudo e implementação computacional Método iterativo de Newton-Raphson Devido ao caráter, geralmente, não linear da Equação (9), é extremamente difícil encontrar sua solução exata. Assim, é necessário usar uma estratégia numérica para resolver o problema. Optou-se neste trabalho pelo Método Iterativo de Newton-Raphson, cuo procedimento está descrito a seguir. Estima-se a posição final Y e calcula-se o chamado resíduo: ( g 0 ) i = [ g 0 ( Y = Y0 )] i = ( F ) i ( F ext ) i g 0 = Fint F ext int (0) onde Y 0 é a primeira posição final estimada, ou primeira tentativa, e g 0 é o resíduo inicial. Calcula-se, em seguida, a matriz Hessiana: H 0 i ( g ) ( F ) ( F ) 0 = Y i = int Y i ext Y i Y = Y0 = V 0 ψ Yi Y Y = Y0 dv 0 () Calcula-se, na tentativa de se anular o resíduo da próxima iteração, o incremento no vetor Y: 0 0 ( ΔY ) = ( Y ) ( Y ) = ( H i ) ( g ) ΔY = ( H ) g i () Atualiza-se a posição final Y e repete-se a iteração até que o resíduo ou ΔY sea suficientemente pequeno. A partir dos sistemas locais, isto é, dos sistemas para cada elemento finito obtidos com as Equações (0), () e (), montou-se o sistema global - de toda a estrutura - e introduziu-se as condições de contorno, ou sea, as vinculações do corpo. 6 HIPERELASTICIDADE 6. Modelos hiperelásticos O modelo mais adequado para materiais elásticos altamente deformáveis é a hiperelasticidade. O material hiperelástico ou material elástico de Green postula, segundo Holzapfel (000), a existência da função energia específica de deformação Ψ, chamada também de energia livre de Helmholtz, por unidade de volume inicial, que pode ser descrita, no caso de materiais homogêneos, isotrópicos e incompressíveis 3 3, da seguinte forma: ( C) p( ) ψ = ψ J ou (3.a) ψ = ψ N i 3 i, = 0 i ( I, I ) = c ( I 3) ( I ) ( C) = tr( C) = C = C + C 33 I ii + = I C (3.b) (3.c) 3 Neste trabalho, material incompressível é aquele que não apresenta, na deformação, variação de volume. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-53, 009

146 40 I I {[ tr( C) ] tr( )} = I ( C) = C ( C) = det( C) = 3 = I 3 J = João Paulo Pascon & Humberto Breves Coda (3.d) (3.e) onde p é a pressão hidrostática a ser determinada pelas condições de contorno, I, I e I 3 são os invariantes de deformação e tr( ) indica o traço de uma matriz. Para o caso de materiais pouco compressíveis, isto é, com pequenas alterações volumétricas, pode-se usar o artifício da decomposição multiplicativa do gradiente: A = AA ˆ (4.a) ( A) J A ˆ 3 = J I det ˆ = A = J 3 A det( A) = (parcela volumétrica) (parcela isocórica) (4.b) (4.c) Tal decomposição permite calcular o modificado alongamento à direita de Cauchy-Green e seus invariantes: C = T T ( A ) A 3 = J A A = 3 J C ( C) (5.a) I = tr (5.b) ( C) tr( C ) = tr( ) I = det C ( C) = [ det( )] I 3 = det A = (5.c) (5.d) É possível, segundo Düster et al. (003), expressar a energia específica de deformação da seguinte maneira: ( J C) = ψ vol ( J ) ψ ( C) ψ = ψ, + iso (6) onde Ψ vol se refere à parcela de deformação com alteração de volume e Ψ iso àquela com preservação do mesmo. Devido à simplicidade matemática e à presença, em artigos encontrados durante a pesquisa, de comentários e gráficos obtidos de ensaios em laboratório, foram escolhidos, neste trabalho, os seguintes modelos hiperelásticos não-lineares: Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-53, 009

147 ψ = k ψ = k ψ = + c 0 ψ = ψ = Modelos constitutivos para materiais hiperelásticos: estudo e implementação computacional n n ( J + J ) + c ( I 3) + c ( I 3) + c ( I 3) ( J + J ) + α ( I 7) ( 3) ( 3 3) 3 / + c0 I + c0 I 5 5 k( J + J ) + c0 ( I 3) + c0 ( I 3) + c30 ( I 3) ( I 3) + c ( I 3) C 0 k 4 [ ] [ I 3 ln( J )] + J ln( J ) 0 k C + [ I 3 ln( J )] [ ( J )] 0 ln (7.a) (7.b) (7.c) (7.d) (7.e) onde n, que é o coeficiente empírico, pode ser calibrado de acordo com o ensaio. A tensão de Piola-Kirchhoff de segunda espécie, para os referidos modelos, é obtida com uso das seguintes expressões: ψ E ( E) ψ ( E) ψ ( E) vol iso S = = + = Svol + ( S ) vol ( S ) iso i i ψ vol = C ψ iso = C E ( C) i ( C) i E S iso (8.a) (8.b) (8.c) Para se resolver, com o processo iterativo de Newton-Raphson, determinado problema estrutural não linear, é necessário calcular o tensor elástico material, também chamado por Düster et al. (003) de operador tangente consistente, que é utilizado para cálculo da matriz Hessiana, na Equação (). Os referidos tensor e cálculo são dados, respectivamente, pelas seguintes fórmulas: T e = ( T ) e ( T ) e ( T ) + ( T ) = = ( T ) vol iso e vol ψ vol = E E e iso ψ E E ψ vol = 4 C C ψ iso ψ iso = = 4 E E C C S E uesp uesp E u kl E mn esp Y Y i = E kl E mn Y i Y + E kl e i ikl E kl Y Y ψ = E E i kl S = E i kl (9.a) (9.b) (9.c) (9.d) Este tensor simétrico de quarta ordem quantifica a mudança na tensão provocada por uma alteração infinitesimal na deformação. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-53, 009

148 4 João Paulo Pascon & Humberto Breves Coda 6. Estimativa dos coeficientes Os coeficientes das relações constitutivas escolhidas, expressas em (7), foram obtidos com a interpolação pelo Método dos Mínimos Quadrados (MMQ). Foram utilizados, para isto, dados experimentais da literatura científica, os quais foram obtidos em ensaios de tração e compressão uniaxiais, tração biaxial, tração equi-biaxial e cisalhamento simples. 6.3 Existência de solução Hartmann & Neff (003) disseram que as chamadas condições de policonvexidade e coercividade são suficientes para garantir a existência de uma única solução, com a minimização do funcional de energia Π. Ademais, é possível mostrar que as relações () são policonvexas e respeitam as condições de coercividade. 7 CÓDIGO COMPUTACIONAL 7. Elemento finito de treliça plana Foi desenvolvido um código computacional para análise não linear geométrica de barras de treliça plana. As aproximações usadas foram: 0 ( ) ( ) ( ) ξ = ξ x + ξ x 0 ( ) ( ) ( ) ξ = ξ x + ξ x ( ) ( ) ( ) ξ = ξ y + ξ y ( ) ( ) ( ) ξ = ξ y + ξ y ( ξ ) = ξ ( ξ ) ξ f (30.a) f (30.b) f (30.c) f (30.d) φ (30.e) φ = (30.f) onde ξ é a coordenada adimensional, Φ (ξ) e Φ (ξ) são as funções de forma, x i é a coordenada material ou inicial, na direção i, do nó e y i é a coordenada espacial ou final, na direção i, do nó. Nota-se facilmente, pela análise das Equações (30), que este elemento finito possui dois nós e dois parâmetros nodais. Foram utilizadas as seguintes leis constitutivas: ψ = ψ iso p( J ) (3.a) u ( ε ) eng esp 3 σ = σ = σ = = Eε + Bε + Dε + C ln( ε + ) ε (3.b) Δ ( L L0 ) L eng L f f ε = ε = = = L0 L0 L0 (3.c) onde Ψ iso é a parcela isocórica da energia específica de deformação, que pode ser uma das parcelas isovolumétricas das equações (7), σ é a tensão longitudinal de engenharia, ε é a deformação específica longitudinal de engenharia, L f é o comprimento final da barra, L 0 o inicial e os coeficientes E, B, D e C são as constantes elásticas do material. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-53, 009

149 Modelos constitutivos para materiais hiperelásticos: estudo e implementação computacional Elemento finito de casca A Figura 3 ilustra a superfície média do elemento finito de casca usado, que possui dez nós e sete parâmetros nodais. Figura 3 Elemento finito de casca. As equações usadas na cinemática deste elemento finito são: 0 ( ξ,, X Li ) g i ( ξ, Y ) g 0 m f i = xi ξ + (3.) m f i = yi, ξ Li + i (3.) 0 ho 0 g i = ei ( ξ, ξ ) ξ 3, - < ξ 3 < (3.3) 0 ei ( ξ, ξ ) = φl ( ξ, ξ ) N Li (3.4) h0 gi = φl ( ξ, ξ ) GLi [ ξ3 + Aξ 3 ] (3.5) A( ξ, ξ ) = φ L ( ξ, ξ ) A L (3.6) onde f 0 é o mapeamento da configuração auxiliar para a inicial, f para a final, g 0 é o vetor generalizado na posição inicial, g na final, h 0 é a espessura inicial, h é a atual, N L é o vetor normal à superfície média inicial referente ao nó L, e 0 é o vetor unitário na direção de N L, e é o vetor unitário na direção de g, G L é o vetor generalizado na presente configuração referente ao nó L, A é a taxa de variação linear da deformação ao longo da espessura e A L é valor dessa taxa no ponto correspondente ao nó L. Deve-se comentar que o vetor generalizado serve para mapear os pontos que não pertencem à superfície média da casca. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-53, 009

150 44 João Paulo Pascon & Humberto Breves Coda 7.3 Integração numérica Devido à extrema dificuldade de se fazer a integração exata, foi preciso usar a integração numérica para cálculo das Equações (0) e (). Para isto, foram utilizados sete pontos nas superfícies paralelas à média e variável número de pontos ao longo da espessura da casca. Desta forma, calculou-se o resíduo e a Hessiana com as seguintes fórmulas: g = H = u 7 NP esp 0 J w w3 i= = Y i, 7 NP i= = uesp J Y Y 0 w w 3 F i, ext (33.a) (33.b) onde NP é o número de pontos de integração ao longo da espessura, w é o peso relativo ao ponto na superfície paralela à média e w3 é o peso relativo ao ponto na espessura da casca. 7.4 Algoritmo desenvolvido Está descrito, a seguir, o algoritmo simplificado usado tanto no programa de treliça plana quanto no de casca:. INÍCIO DO PROGRAMA.. Descrição das variáveis não alocáveis;.. Descrição das variáveis alocáveis;.3. Alocação das variáveis;. LEITURA DOS DADOS.. Abertura dos arquivos de entrada e saída;.. Leitura do número de nós e de elementos finitos;.3. Leitura das coordenadas dos nós;.4. Leitura da incidência dos elementos;.5. Leitura das propriedades elásticas dos elementos;.6. Leitura das dimensões das seções transversais dos elementos;.7. Leitura do carregamento;.8. Leitura das condições de vinculação;.9. Leitura do valor da tolerância para o erro; 3. CÁLCULO 3.. Divisão do carregamento em passos de carga; 3.. Cálculo das deformações; 3.3. Cálculo das tensões; 3.4. Cálculo do tensor elástico; 3.5. Cálculo do resíduo para cada elemento; Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-53, 009

151 Modelos constitutivos para materiais hiperelásticos: estudo e implementação computacional Cálculo da Hessiana para cada elemento; 3.7. Montagem do sistema global; 3.8. Solução do sistema; 3.9. Atualização da posição; 3.0. Cálculo do erro; 3.. Realização do teste: Se ERRO > TOLERÂNCIA => retorna ao item 3.; Caso contrário => avança até o próximo passo de carga; 4. SAÍDA 4.. Impressão dos dados nos arquivos de saída. 8 RESULTADOS Estão descritos, neste capítulo, resultados dos principais exemplos simulados com os programas de treliça plana e casca. 8. Exemplo Barra de treliça plana sob tração uniaxial homogênea A Figura 4 mostra a barra de treliça submetida à tração uniaxial homogênea com carga concentrada em uma das extremidades. u 0,00 cm F e e Figura 4 Treliça plana hiperelástica submetida à tração uniaxial (exemplo ). A interpolação dos coeficientes, com o MMQ, resultou em: c c c = 0,33737 = 0, = 0, (modelo de Yeoh) (34.a) Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-53, 009

152 46 João Paulo Pascon & Humberto Breves Coda α = 0, c c c c c c c = 0,93383 = 0,04455 = 0, = 0,00749 = 0, = 0,3079 = 0, c 0 = 0,34750 c c 0 0 = 0, = 0, E = 0,7039 B = 0,8654 D = 0,05364 C =, (modelo de Hartmann-Neff) (modelo de Bechir-Boufala-Chevalier) (modelo neo-hookeano) (modelo de Mooney-Rivlin) (modelo elástico simplificado) (34.b) (34.c) (34.d) (34.e) (34.f) Deve-se ressaltar que os valores dos coeficientes supramencionados são dados em MPa, o módulo de compressão volumétrica utilizado é igual a 0000 MPa - para simular deformação isocórica - e o coeficiente empírico usado é igual a,0. As Figuras 5 e 6 ilustram, respectivamente, a comparação entre os resultados obtidos com as simulações realizadas com os dados experimentais existentes em Yeoh (997) e a comparação entre a solução analítica e o modelo de Yeoh. 6,00 Artigo Yeoh Hartmann Bechir neo-hookeano Mooney-Rivlin Elástico 5,00 Tensão de Engenharia (MPa) 4,00 3,00,00,00 0,00 0,00 0,50,00,50,00,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 Deformação de Engenharia Figura 5 Comparação entre as simulações e os dados experimentais do artigo (exemplo ). Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-53, 009

153 Modelos constitutivos para materiais hiperelásticos: estudo e implementação computacional 47 Solução Analítica Simulação 0,60 0,50 Força Aplicada F (kn) 0,40 0,30 0,0 0,0 0,00 0,0 5,0 0,0 5,0 0,0 5,0 30,0 35,0 40,0 45,0 50,0 Deslocamento u (cm) Figura 6 Comparação entre o modelo de Yeoh e a solução analítica (exemplo ). 8. Exemplo Casca sob cisalhamento simples Para simulação do cisalhamento simples foram usados, de acordo com a Figura 7, 8 elementos finitos, 49 nós e pontos de integração numérica na espessura. O módulo de compressão volumétrica e o coeficiente empírico adotados são os mesmos do exemplo. t 5, ,00,50 5,00 Figura 7 Discretização da casca submetida ao cisalhamento simples (8 elementos finitos e 49 nós). Os coeficientes interpolados são: c c c = 0, = 0,04673 = 0, (modelo de Yeoh) (35.a) Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-53, 009

154 48 João Paulo Pascon & Humberto Breves Coda α = 0, c c 0 0 = 0,93383 = 0,04455 c 0 = 0, (modelo de Hartmann-Neff) (modelo neo-hookeano) (35.b) (35.c) As Figuras 8 e 9 mostram, respectivamente, a comparação entre as simulações com os dados experimentais presente em Yeoh (990) e a posição final do corpo para o modelo de Yeoh.,50 Artigo Yeoh neo-hookeano Hartmann,00 Tensão Cisalhante (MPa),50,00 0,50 0,00 0,00 0,50,00,50,00,50 Deformação Figura 8 Comparação entre os dados experimentais do artigo com as simulações (exemplo ). Figura 9 Deslocamentos horizontais, dados em cm, da casca sob cisalhamento simples para o modelo de Yeoh para tensão cisalhante de,0 MPa (exemplo ). Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-53, 009

155 Modelos constitutivos para materiais hiperelásticos: estudo e implementação computacional Exemplo 3 Membrana de Cook Este exemplo foi extraído de Düster et al. (003). A Figura 0 ilustra as dimensões da membrana, assim como o carregamento e as condições de vinculação. Figura 0 Membrana de Cook (exemplo 3). Foi usado o modelo de Hartmann-Neff, descrito pela fórmula (7.b), e os coeficientes são os mesmos do artigo: α = 0,00367 c c 0 0 = 0,7880 = 0,9580 K = 5000,0 (36) Na simulação foram usados pontos de integração numérica ao longo da espessura e foram impedidos os deslocamentos na direção normal ao plano da membrana. As Figuras e mostram, respectivamente, a comparação entre as simulações com os resultados do artigo e as posições finais para as duas discretizações usadas. A malha MCook possui elementos finitos e 6 nós e a MCook possui 8 elementos e 49 nós. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-53, 009

156 50 João Paulo Pascon & Humberto Breves Coda Artigo MCook MCook,0,00 Tensão Aplicada (MPa) 0,80 0,60 0,40 0,0 0,00 0,00 5,00 0,00 5,00 0,00 5,00 30,00 35,00 Deslocamento Vertical do Ponto A (mm) Figura Comparação entre os resultados da simulação com os do artigo (exemplo 3). Figura Deslocamentos Verticais, dados em mm, para as duas malhas sob tensão cisalhante igual a,0 MPa (exemplo 3). 8.4 Exemplo 4 Comparação entre modelos hiperelásticos na tração uniaxial Comparou-se o modelo hiperelástico não linear de Yeoh com o linear de St.Venant-Kirchhoff, com a simulação de tração uniaxial com o elemento finito de treliça plana. Os coeficientes para o primeiro modelo são os mesmos usados no exemplo e a interpolação do módulo de Young, para o modelo linear, resultou em: Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-53, 009

157 Modelos constitutivos para materiais hiperelásticos: estudo e implementação computacional E = 0, 07075MPa S = 0, 07075E (37.a) (37.b) 5 A Figura 3 mostra a comparação entre os dados experimentais do artigo, a simulação com o modelo não linear de Yeoh e o a simulação com o modelo linear de St.Venant-Kirchhoff. 6,0 Artigo Yeoh St.Venant-Kirchhoff 5,0 Tensão de Engenharia (MPa) 4,0 3,0,0,0 0,0 0,00 0,50,00,50,00,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 Deformação de Engenharia Figura 3 Comparação entre os dados experimentais e os modelos hiperelásticos linear e não linear na tração uniaxial (exemplo 4). 9 CONCLUSÕES Estão presentes, neste item, as principais conclusões do trabalho, baseadas nos resultados do capítulo anterior. Na tração uniaxial homogênea de polímeros naturais, os modelos de Yeoh, de Hartamann- Neff e de Bechir-Boufala-Chevalier mostraram excelente conformidade entre os resultados da simulação e os dados experimentais da literatura científica. Já os modelos neo-hookeano e de Mooney-Rivlin foram adequados para pequenas e médias deformações. Tais considerações confirmam trabalhos de outros pesquisadores. O modelo de Yeoh também se mostrou eficiente, com relação à acurácia dos resultados da simulação, no caso de cisalhamento simples de polímeros preenchidos com negro de carbono na proporção, em massa, de 40 partes por centena de elastômero. O modelo de Hartamann-Neff não foi capaz de simular esta situação e o neo-hookeano apresentou conformidade com os dados experimentais, apenas, para pequenas deformações, o que era esperado de acordo com a literatura científica. O código computacional desenvolvido mostrou-se adequado para simular, além dos casos supramencionados, a membrana de Cook, que é um caso extremo de cisalhamento. Pode-se comentar que a simulação realizada com o modelo hiperelástico não linear de Yeoh mostrou-se mais adequada do que o linear de St.Venant-Kirchhoff, com relação à precisão entre os resultados e os dados experimentais obtidos com ensaio de tração uniaxial. Por fim, o elemento finito de casca com sete parâmetros nodais, a formulação Lagrangiana posicional não linear geométrica, os métodos energético e iterativo usados, untamente com os Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-53, 009

158 5 João Paulo Pascon & Humberto Breves Coda modelos hiperelásticos não lineares implementados, foram capazes de simular diversos casos de solicitação estrutural com grandes deformações sem ocorrência de travamento. Foi possível, no decorrer desta pesquisa, notar a complexidade da análise estrutural para materiais altamente deformáveis. Faz-se necessário, portanto, dar continuidade ao estudo destes componentes, que possuem grande potencial de utilização na engenharia, para que se possa prever com maior precisão seu comportamento estrutural em diversas situações. 0 AGRADECIMENTOS Agradecemos à Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pelo auxílio financeiro e ao Dr. Rodrigo Ribeiro Paccola pelo apoio concedido ao desenvolvimento desta pesquisa. REFERÊNCIAS BECHIR, H.; BOUFALA, K.; CHEVALIER, Y. Strain energy density function for carbon black filled rubber vulcanized for industrial applications. Mécanique & Industries, 3, p. 45-5, 00. BELYTSCHKO, T.; LIU, W. K.; MORAN, B. Nonlinear finite elements for continua and structures. Chichester, England: John Wiley & Sons Ltd., 000. BÜCHTER, N.; RAMM, E.; ROEHL, D. Three-dimensional extension of non-linear shell formulation based on the enhanced assumed strain concept. International Journal for Numerical Methods in Engineering 37, p , 994. CIARLET, P. G. Mathematical elasticity: three dimensional elasticity. Amsterdam, The Netherlands: Elsevier Science Publishers B. V., 993. v.. CODA, H. B. Análise não linear geométrica de sólidos e estruturas: uma formulação posicional baseada no MEF. São Carlos: SET-EESC-USP, 003. v.. CODA, H. B.; PACCOLA, R. R. An alternative positional FEM formulation for geometrically non-linear analysis of shells - curved triangular isoparametric elements. Computational Mechanics, 006. DOI: 0.007/s COIMBRA, A. L. Novas lições de mecânica do contínuo. São Paulo: Edgard Blucher, 98. DÜSTER, A.; HARTMANN, S.; RANK, E. p-fem applied to finite isotropic hyperelastic bodies. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 9, p , 003. EL-ABBASI, N.; MEGUID, S. A. A new shell element accounting for through-thickness deformation. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 89, p , 000. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-53, 009

159 Modelos constitutivos para materiais hiperelásticos: estudo e implementação computacional 53 HARTMANN, S.; NEFF, P. Polyconvexity of generalized polynomial-type hyperelastic strain functions for near-incompressibility. International Journal of Solids and Structures, 40, p , 003. HOLZAPFEL, G. A. Nonlinear solid mechanics: a continuum approach for engineering. Chichester, England: John Wiley & Sons Ltd., 000. MALVERN, L. E. Introduction to the mechanics of a continuous medium. Englewood Cliffs, New Jersey, USA: Prentice-Hall, 969. PASCON, J. P. Modelos constitutivos para materiais hiperelásticos: estudo e implementação computacional Dissertação (Mestrado em Engenharia de Estruturas) Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, 008. OGDEN, R. W. Non-linear Elastic deformations. Chichester, England: Ellis Horwood Ltd., 984. YEOH, O. H. Characterization of elastic properties of carbon-black-filled rubber vulcanizates. Las Vegas, Nevada, American Chemical Society, Rubber Division, 990. YEOH, O. H. Hyperelastic material models for finite element analysis of rubber. J. Nat. Rubb. Res., v., n. 3, p. 4-53, 997. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p. 3-53, 009

160 54

161 ISSN ANÁLISE DAS REAÇÕES NAS ESTACAS EM BLOCOS COM PILARES SUBMETIDOS À AÇÃO DE FORÇA CENTRADA E EXCENTRICA CONSIDERANDO A INTERAÇÃO SOLO-ESTRUTURA Filipe Antonio de Coan Ramos & José Samuel Giongo Resumo Blocos sobre estacas ou de coroamento são elementos estruturais usados para transferir as ações da superestrutura para um conunto de estacas. O conhecimento de seu real comportamento estrutural é de fundamental importância, pois são elementos estruturais que garantem a segurança de toda a estrutura. Ainda não há consenso no meio técnico quanto ao real comportamento estrutural. O processo de cálculo usualmente empregado para a determinação das reações nas estacas é o método da superposição dos efeitos. Esse método não considera a interação do elemento estrutural com o tipo de solo em que as estacas estão apoiadas. A análise numérica foi feita com programa de computador baseado nos Métodos dos Elementos Finitos (MEF) e foram simulados blocos sobre dez estacas com dois tipos de solos: solo deformável e solo indeformável. Ambos foram submetidos à ação de força centrada e excêntrica. Os resultados mostram que o tipo de vinculação das estacas é um fator relevante. Palavras-chave: Blocos sobre estacas. Análise numérica. Concreto armado. Fundação. ANALYSIS OF REACTION IN PILES CAP WITH COLUMN SUBMITTED TO THE ACTION OF CENTERED AND ECCENTRIC FORCE CONSIDERING SOIL-STRUTURE INTERACTION Abstract Piles cap are structural elements used to transfer actions of the superstructure to a group of piles. The knowledge of its real structural behavior presents fundamental importance, once piles caps are structural elements that guarantee the safety of all the structure. There is no consensus yet between specialists on its real structural behavior. The traditional calculation process usually used to determine piles reaction is the superposition effect method. This method does not consider the interaction of the structural element with the type of soil where piles are supported, nor the height of the cap. With the aid of numerical analysis made in computer program based on the Finite Elements Method (FEM), caps with ten piles have been simulated considering two types of soil: compressible soil and incompressible soil. The caps analyzed were submitted the action where centered force and eccentric have been considered. The results show that the type of pile support is an important factor. Keywords: Piles cap. Numerical analysis. Reinforced concrete. Foundation INTRODUÇÃO A escolha do tipo de fundação para uma determinada construção é feita após estudo que considere as condições técnicas e econômicas da obra. Por meio do conhecimento dos parâmetros do solo, das intensidades das ações, das posições de edifícios limítrofes e dos tipos de fundações disponíveis no mercado, o engenheiro pode escolher a melhor alternativa para satisfazer técnica e economicamente o caso em questão. Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, filipecoan@yahoo.com Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, sgiongo@sc.usp.br Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009

162 56 Filipe Antonio de Coan Ramos & José Samuel Giongo As fundações em estacas são adotadas quando o solo em suas camadas superficiais não é capaz de suportar ações oriundas da superestrutura sendo necessário, portanto, buscar resistência em camadas mais profundas. Quando se utiliza fundação em estacas, faz-se necessário construir outro elemento estrutural denominado bloco de coroamento, também conhecido como bloco sobre estacas. O bloco sobre estacas é um importante elemento estrutural cua função é transferir as ações da superestrutura para um grupo de estacas. Esse elemento estrutural, apesar de ser fundamental para a segurança da superestrutura, geralmente não permite a inspeção visual quando em serviço sendo, assim, importante o conhecimento de seu real comportamento. A ABNT NBR 68:003 define blocos sobre estacas (Figura ) como sendo estruturas de volume usadas para transmitir às estacas as ações atuantes na superestrutura. O elemento bloco sobre estacas é utilizado em construções prémoldadas (blocos sobre estacas com e sem cálice embutido) e em construções moldadas no local. Para o dimensionamento dos blocos para os dois sistemas estruturais, é necessária a determinação correta das reações nas estacas. a) blocos sobre duas estacas para estruturas moldadas no local b) blocos sobre duas estacas com cálice embutido para estruturas pré-moldadas Figura Bloco sobre estacas. c) blocos sobre duas estacas com cálice externo para estruturas pré-moldadas A maioria das pesquisas desenvolvidas em relação ao tema nos últimos anos concentra-se em duas análises: análise teórica elástica linear compreendendo a analogia das bielas e tirantes e a teoria de viga e a análise de ensaios experimentais de modelos. O comportamento estrutural de blocos sobre estacas pode ser definido utilizando-se a analogia de bielas e tirantes, por se tratarem de regiões descontínuas, onde não são válidas as hipóteses de Bernoulli. No modelo de bielas e tirantes as verificações de compressão nas bielas são as mesmas que as do Modelo de BLÉVOT & FRÉMY (967), porém as tensões nas regiões nodais (entende-se por regiões nodais as ligações estaca-bloco e pilar-bloco) têm valores diferentes. O Código Modelo do CEB-FIP (990) sugere geometrias para os nós das regiões nodais, sendo possível realizar as verificações de tensões nessas regiões. O modelo de bielas e tirantes pode ser adotado considerando o fluxo de tensões na estrutura, utilizando o processo do caminho das mínimas forças, sugerido por SCHLAICH et al. (987). Estas tensões podem ser obtidas por meio de uma análise elástica e linear ou não, utilizando métodos numéricos, como por exemplo, o método dos elementos finitos. Os blocos são tratados como elementos estruturais especiais, que não respeitam a hipótese das seções planas permanecerem planas após a deformação, por não serem suficientemente longos para dissiparem as perturbações localizadas. A ABNT NBR 68:003 classifica o comportamento estrutural dos blocos em rígidos ou flexíveis. No caso de blocos rígidos o modelo estrutural adotado para o dimensionamento pode ser tridimensional, linear ou não, e modelos de biela-tirante tridimensionais, sendo esse último o preferido por definir melhor a distribuição de forças nas bielas e tirantes. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v., n. 50, p , 009