Amostrador de Gibbs Híbrido com aplicação em Dados de Captura e Recapura

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ESTATÍSTICA Amostrador de Gibbs Híbrido com aplicação em Dados de Captura e Recapura Isabela de Lima Severino e Marina Alves Amorim Novembro de 08 INTRODUÇÃO - GIBBS O amostrador de Gibbs é um algoritmo de Monte Carlo de cadeia de Markov (MCMC), especificamente adaptado para distribuições alvo multidimensionais. O objetivo é construir uma cadeia de Markov cuja distribuição estacionária - ou distribuição marginal - é igual à distribuição alvo f. O amostrador de Gibbs faz isso sequencialmente amostrando de distribuições condicionais univariadas. O amostrador de Gibbs é na verdade um nome genérico para uma família rica de algoritmos adaptáveis. Seja X = (X,..., X p ) T um vetor de variáveis, denote X i = (X,..., X i, X i+,..., X p ) T um vetor de p variáveis, contendo todas as variáveis exceto a i ésima. Supondo que a densidade condicional univariada de X i X i = x i, denotada f (x i x i ), é facilmente amostrado para i =,...p. Um procedimento geral de amostragem de Gibbs pode ser descrito do seguinte modo:. Selecione os valores iniciais x (0) e defina t = 0.

2 . Gerar, por sua vez X (t+). f (x x (t),..., x(t) p ), X (t+). f (x x (t+), x (t) 3,..., x(t) p ), X (t+) p. f (x p x (t+), x (t+),..., x (t+) p x(t) p ) X p (t+). f (x p x (t+), x (t+),..., x (t+) p ) onde. indica condicionamento nas atualizações mais recentes para todos os outros elementos de X. 3. Incremente t e volte no passo. Para muitos problemas, as distribuições condicionais para um ou mais elementos de X não possuem uma forma fechada. Neste caso, um algoritmo MCMC híbrido pode ser desenvolvido, onde, em uma determinada etapa do amostrador de Gibbs, o algoritmo Metropolis-Hastings pode ser usado para amostragem da distribuição condicional apropriada. HYBRID GIBBS SAMPLING Gibbs Híbrido é uma terminologia genérica que é usada para descrever muitos algoritmos diferentes. O exemplo mostrado nas etapas a 4 abaixo é mais precisamente descrito como um amostrador híbrido de Gibbs com passos Metropolis dentro do Gibbs, que às vezes é abreviado como Metropolis-within-Gibbs, e foi o primeiro proposto por P. Muller [99]. Por exemplo, para p = 5, um algoritmo MCMC híbrido pode prosseguir com a seguinte sequência de atualizações: ), com um passo Gibbs, porque essa distribuição condi-. Atualizar X (t+) (x (t), x(t) 3, x(t) cional possui forma fechada. 4, x(t) 5. Atualização (X (t+), X (t+) 3 ) (x (t+), x (t) 4, x(t) 5 ) com um passo Metropolis-Hasting, porque esta distribuição condicional conjunta é difícil de amostrar ou não é disponível em forma fechada. Aqui, a blocagem de X e X 3 pode ser recomendado porque esses elementos são altamente correlacionados. 3. Atualize X (t+) 4 (x (t+), x (t+), x (t+) 3, x (t) 5 ) com um passo de um passeio aleatório, porque esta distribuição condicional não está disponível em forma fechada. 4. Atualize X (t+) 5 (x (t+), x (t+), x (t+) 3, x (t+) 4 ), com um passo de Gibbs. Gibbs Híbrido pode ser formulado de muitas formas, o que vai determinar a formulação é a necessidade do usuário.

3 3 EXEMPLO DE APLICAÇÃO Nesse trabalho aplicaremos o Gibbs Híbrido no exemplo proposto no Capítulo 7..5 do livro Computational Statistics (º edição) (Givens,005). Nesse exemplo o Gibbs Híbrido é usado para estimar a população de filhos de focas na Nova Zelândia, via processo de captura e recaptura. Iremos introduzir brevemente o conceito de captura e recaptura, e o modelo de estimação utilizado, para em seguida aplicar a técnica Gibbs Híbrido. 3. MODELOS DE CAPTURA-RECAPTURA Os modelos de captura-recaptura são utilizados para estimar tamanho de amostra e controle de população. O método consiste em fazer uma amostragem e realizar a marcação dos indivíduos. Em um segundo momento realizar uma segunda amostragem e contar quantos indivíduos estão marcados e assim estimar o valor da população. Ou seja, Estimar a população de certas espécies em uma área por : Captura, Marcação, Libertação e Recaptura. Pode-se observar uma ilustração desse processo na Figura 3.. O tamanho da população pode ser estimado com base no histórico dos dados de captura-recaptura. Podemos destacar algumas aplicações em: Ciências Biológicas/Ecologia - (Pássaros, Mamíferos, Répteis, Peixes, Insetos, Plantas); Ciências da saúde/ Epidemiologia (Populações humanas evasivas/doenças crônicas); Ciências sociais (Imigração ilegal, população de rua); Censo de população; Falhas em softwares de computadores ( bugs ). Métodos de Marcação são utilizados para identificar os indivíduos capturados. Tais métodos podem ser de marcações físicas como, anel (pássaros), colar (gansos), marcadores nasais (patos), recorte da barbatana (peixes), etiquetas de ovelha (mamíferos), recorte do dedo do pé (répteis), ou marcações naturais como, observação de marcas naturais existentes nos animais (golfinhos, ursos, baleias), entre outros. Na Figura 3. pode-se observar alguns desses métodos. 3

4 Figure 3.: Exemplo de Captura e Recaptura Figure 3.: Exemplo de marcação 4

5 Uma motivação para estimar tais quantidades é a gestão e conservação de espécies que dependem do conhecimento de suas efetivas populacionais. Como também, essa técnica permite o monitoramento de perda de biodiversidade, gestão de stocks pesqueiros, controle de pragas e infestações, impacto ambiental, avaliação da eficácia das áreas protegidas, movimentos migratórios e etc. A técnica de captura e recaptura é de grande importância quando nos deparamos com alguns problemas frequentes como: espécies raras que habitam áreas grandes, sendo estas de difícil acesso, ou o fato que muitos espécies são inacessíveis, como cetáceos que passam muito tempo submersos, carnívoros noturnos e etc. Comos existe uma grande variedade de modelos de captura-recaptura, desde modelos bem restritivos (populações fechadas), até modelos bem complexos que nos permitem observar uma população com poucas restrições (populações que apresentam nascimentos, mortes e migrações). Apresentaremos alguns exemplos de modelo para população fechada na Figura3.3 com os seguintes pressupostos. População fechada; Animais não perdem as marcas; Os animais são registrados corretamente; Probabilidade de captura constante em cada ocasião de captura. Figure 3.3: Modelos teóricos de Captura e Recaptura. Para o exemplo utilizado nesse trabalho utilizaremos o modelo M t para População Fechada. 5

6 O Modelo M t, tem como pressuposto que existe uma variação na probabilidade de recaptura, a probabilidade de captura em cada ocasião varia com o tempo. Os indivíduos capturados durante cada "amostra" são liberados com um marcador indicando sua captura. A captura de um indivíduo marcado durante qualquer amostra subsequente é denominada recaptura. O tamanho da população pode ser estimado com base no histórico dos dados de capturarecaptura. Altas taxas de recaptura sugerem que o tamanho real da população não excede em muito o número total de indivíduos únicos já capturados. O Estimador é obtido por máxima verossimilhança através de métodos numéricos. A Verossimilhança para o modelo : L(N,α C,r ) N! (N r )! ( α i ) N C i Especificações I i= αc i i N = Tamanho da população; C i = (C,...,C i ) é o número de indivíduos capturados incluindo as recapturas; m i = (m,...,m i ) é o número de indivíduos únicos capturados; α i = (α,...,α i ) é a probabilidade de captura em cada ocasião de amostragem; r é o número de indivíduos únicos capturados. Assumimos que, a população está fechada durante o período da amostragem, o que significa que mortes, nascimentos e migrações são irrelevantes durante esse período. Este modelo não é Robusto para heterogeneidade e reação a armadilha, ou seja, os indivíduos são igualmente acessíveis. Para essa aplicação trata-se o modelo M t como um modelo Byesiano Hierárquico, para utilização do Gibbs. Modelos hierárquicos podem ser generalizados como modelos em que os parâmetros do modelo são considerados quantidades aleatórias oriundas de uma distribuição de probabilidade, cujos parâmetros são chamados de hiperparâmetros. A distribuição dos parâmetros a priori possui hiperparâmetros, que são estimados pelos dados. Um modelo hierárquico bayesiano pode ser representado considerando, pelo menos,3 níveis de hierarquia: º nível: modelo das observações de X com os parâmetros, º nível: modelo dos parâmetros com seus hiperparâmetros e 3º nível modelo dos hiperparâmetros. 3. APLICAÇÃO DO EXEMPLO No final do século XIX, as focas na Nova Zelândia quase foram levadas à extinção por caçadores. Nos últimos anos, a abundância de focas tem aumentado. Esse aumento tem sido 6

7 de grande interesse para os cientistas. Nosso objetivo é, estimar o número de filhotes em uma colônia de focas, com uma população de tamanho desconhecido, usando uma abordagem de recaptura-captura. Neste estudo, realizado na Península de Otago, na Ilha do Sul da Nova Zelândia, os filhotes de foca foram marcados e soltos em 7 tentativas de amostragem (I = 7) durante uma temporada. É razoável supor que a população de filhotes foi fechada durante o período do estudo. A Figura 3.3 mostra uma tabela do número de filhotes capturados (c i ) e o número dessas capturas correspondendo a filhotes nunca capturados anteriormente (m i ), para tentativas de amostragem i =,...,7. Um total de r = 7 i= m i = 84 focas exclusivas foram observado durante o período de amostragem. Figure 3.4: Número de filhotes capturados em cada amostragem. 3.3 MODELAGEM - EXEMPLO GIBBS SAMPLING Para a estimação, adotou-se uma estrutura Bayesiana hierárquica. Prioris adotadas: Para o tamanho da população (N ): f (N ) /N. Para as probabilidades de captura (α): f (α i θ,θ ) = Bet a(θ,θ ) (Priori não informativa no sentido Jeffreys), sendo θ = θ =. Assumimos que essas são as prioris independentes. Um amostrador de Gibbs ordinário pode ser construido simulando a partir das distribuições posterioris condicionais. Posterioris: 7

8 N (t+) 84. BinNeg (85, 7 i= ( α(t) )) i α (t+) i. Bet a(c i + θ, N (t+) C i + θ ) onde, i =,...,7, (θ,θ ) = e. indica condicionamento entre os outros parâmetros (N,α,θ,θ ). Conclusão - Exemplo Gibbs Sampling Quando plotamos a cadeia gerada, podemos perceber que ela parece convergir para um valor próximo a 90, ou seja, que o tamanho da população está próximo a este valor. Figure 3.5: Cadeia para o tamanho amostral O Gráfico de auto-correlação mostra que, a cadeia não apresenta correlação. 8

9 Figure 3.6: Auto-Correlação para N Para cada ocasião de captura (i =,..., 7), temos as seguintes probabilidades de captura estimada: Média alpha Desvio P. alpha IC.5% IC 97.5% Table 3.: Estimativas para as probabilidades de captura (α) em casa momento i 9

10 Figure 3.7: Boxplot das probabilidades de captura para cada ocasião Após construir a cadeia, temos a seguinte média e desvio padrão para a estimativa do tamanho da população. Média Desvio Padrão I.C..5% I.C.97.5% Table 3.: Descritivas para a estimação do tamanho amostral (N) 0

11 Figure 3.8: Histograma para a cadeia de tamanho amostral A média posteriori de N é 89,39 com um intervalo superior HPD de 95% (95). Para comparação, as estimativas de máximaverossimilhança para N é 88,5 e o intervalo não paramétrico bootstrap de 95% é (85.5;97.3). As probabilidades dadas é apenas uma das muitas formas do modelo de captura e recaptura que poderiam ser consideradas. Exemplo : O modelo com a probabilidade de captura comum a todos poderia ser o mais apropriado. Outras parametrizações podem ser consideradas e investigadas para melhorar as convergências e a mistura do MCMC que é fortemente dependente da parametrização utilizada. 3.4 MODELAGEM - EXEMPLO HYBRID GIBBS SAMPLING O exemplo anterior pode levar a MCMCs menos satisfatórios no comportamento de convergência. Para alguns conjuntos de dados, análises anteriores mostraram sensibilidade aos valores selecionados para θ,θ, para atenuar essa sensibilidade, consideramos uma configuração alternativa com uma distribuição conjunta para θ,θ. Para implementar o amostrador híbrido Gibbs é necessário um passo Metropolis-Hastings para amostrar (θ,θ ), onde θ > 0 e θ > 0, mas essa restrição pode impedir o desempenho do MCMC, particularmente se houver alta densidade da posterior próxima ao limite.

12 Prioris adotadas: Para o tamanho da população (N ): f (N ) /N. Para as probabilidades de captura (α): f (α i θ,θ ) = Bet a(θ,θ ) (Priori não informativa no sentido Jeffreys), sendo θ = θ =. { } f (θ,θ ) exp (θ +θ ) 000 Assumimos que essas são as prioris independentes dos parâmetros. Um amostrador de Gibbs pode então ser construído simulando a partir das distribuições posteriores condicionais. Consideramos o uso de um passeio aleatório para atualizar esses parâmetros, mas para melhorar o desempenho, transformamos (θ,θ ) em U = (U,U ) = (log θ,log θ ). Essa transformação permite uma etapa de caminhada aleatória em (, ) para atualizar o U efetivamente. Especificamente, valores de proposta U pode ser gerado usando U = u (t) +ɛ, onde ɛ N (0,0,085I ) onde I é a matriz identidade x Nós selecionamos um desvio padrão de 0,085 para obter uma taxa de aceitação de cerca de 3% para as atualizações do U. Posterioris: N (t+) 84. BinNeg (85, 7 i= ( α(t) )) i α (t+) i. Bet a(c i + exp(u ), N (t+) C i + exp(u )) [ Γ(exp(u ) + exp(u )) U,U k u exp(u + u ) Γ(exp(u )) + Γ(exp(u )) x 7 i= α exp(u ) exp i { exp(u ) + exp(u ) 000 ] 7 } Conclusão - Exemplo Hybrid Gibbs Sampling Temos agora, a cadeia de interações para o tamanho amostral (N) utilizando o método Gibbs híbrido. Observamos que a cadeia converge para um valor em torno de 90.

13 Figure 3.9: Cadeia para tamanho amostral O Gráfico de auto-correlação mostra que, a cadeia apresenta correlação, diferente do Gibbs simples. Figure 3.0: Gráfico de Auto-Correlação para a cadeia do tamanho amostral A na Figura 3., observamos o passeio aleatório utilizado para a estimação dos θ s via passo Metropolis Hastings. 3

14 Figure 3.: Passeio Aleatório Para cada ocasião de captura (i =,..., 7), temos as seguintes probabilidades de captura estimada Médoa alpha Desvio P. alpha IC.5% IC 97.5% Table 3.3: Estimativas para as probabilidades de captura (α) em casa momento i 4

15 Figure 3.: Boxplot das probabilidades de captura para cada ocasião Após construir a cadeia, temos a seguinte média e desvio padrão para o tamanho da população. Média N Desvio Padrão IC.5% IC 97.5% Table 3.4: Descritivas para a estimação do tamanho amostral (N) 5

16 Figure 3.3: Histograma para a cadeia do tamanho amostral A média posteriori de N é 89,88 com um intervalo superior HPD de 95% (97). Os resultados sugerem uma falta de convergência do algoritmo MCMC ou, pelo menos, o mau comportamento da cadeia para o algoritmo híbrido. A cadeia não se mistura tão bem quanto o modelo mais simples, então preferimos o uniforme/jeffreys antes dos dados do filhote de focas. Apesar desses indícios de falta de convergência, os dois algoritmos produzem resultados muito semelhantes (Jeffreys/ MH). O amostrador híbrido Gibbs, pode ser bastante eficaz para muitos problemas mas, para esses dados a alternativa descrita não gerou resultados superiores ao Gibbs simples. E o algoritmo híbrido gerou uma alta auto-correlação. 4 REFERÊNCIAS Geof H. Givens & Jennifer A. Hoeting (005) Computational Statistics, ª Edição Alpizar Jara, R. (000) Muestro de poblciones animales basado en modelos probabilisticos. Universidad Porto Rico, Pág Bailey, N.T.J. (95) On estimating the size of mobile populations from capture-recapture data Biometrika38, Pág

17 OTIS, D. L.; BURNHAM, K. P; WHlTE, G. C.; ANDERSON, D. R. (978) Statistical inference from capture data on closed animal populations Wildlife Monographs, v. 6, p