Duração da Prova (Caderno 1+ Caderno 2): 150 minutos. Tolerância: 30 minutos. Nome do aluno: N.º: Turma:

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1 Prova-Modelo de Exame de Matemática A 2017 / 2018 Prova-Modelo de Exame Matemática A Duração da Prova (Caderno 1+ Caderno 2): 150 minutos. Tolerância: 30 minutos. 12.º Ano de Escolaridade Nome do aluno: N.º: Turma: Esta prova é constituída por dois cadernos: Caderno 1 com recurso à calculadora; Caderno 2 sem recurso à calculadora. Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta indelével, azul ou preta. Não é permitido o uso de corretor. Em caso de engano, deve riscar de forma inequívoca aquilo que pretende que não seja classificado. Escreva de forma legível a numeração dos itens, bem como as respetivas respostas. As respostas ilegíveis ou que não possam ser claramente identificadas são classificadas com zero pontos. Para cada item, apresente apenas uma resposta. Se escrever mais do que uma resposta a um mesmo item, apenas é classificada a resposta apresentada em primeiro lugar. A prova inclui um formulário. As cotações encontram-se no final de cada caderno. Para responder aos itens de escolha múltipla, não apresente cálculos nem justificações e escreva, na folha de respostas: o número do item; a letra que identifica a única opção escolhida. A prova integra alguns itens em alternativa que estarão identificados na prova da seguinte forma: P2001/2002 (Programas de Matemática A, de 10.º, 11.º e 12.º anos, homologados em 2001 e 2002) e PMC2015 (Programa e Metas Curriculares de Matemática A, homologado em 2015). Em cada conjunto de itens apresentados em alternativa, o aluno pode optar por qualquer um dos itens, independentemente do referencial curricular em que se enquadrou o seu percurso de aprendizagem. Na resposta aos itens de resposta aberta, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato. Prova-Modelo de Exame de Matemática A _12.º Ano

2 Formulário Comprimento de um arco de circunferência α (α amplitude,em radianos,do ângulo ao centro; raio) Área de um polígono regular: Semiperímetro Apótema Área de um setor circular:! (α amplitude,em radianos, do ângulo ao centro; raio) Área lateral de um cone: π # ( raio da base; # geratriz) Área de uma superfície esférica: 4 π! ( raio) Volume de uma pirâmide: ' Área da base Altura ( Volume de um cone: ' Área da base Altura ( Volume de uma esfera: * ( π ( ( raio) Progressões Soma dos + primeiros termos de uma progressão (, - ) Progressão aritmética:. /0. 1 +! Progressão geométrica:, ' '21 '2 Trigonometria sen(3+5)=sen3 cos5+sen5 cos3 cos(3+5)=cos3 cos5 sen3 sen5 sen 7 3 = sen 8 5 = sen 9 : 3! =5! +:! 2 5 :cos7 Complexos (ρ cis θ) - =ρ - cis (+θ) ou B - = 1 CD :EF G 1 = Cρ cish A0!IJ 1 K - (P R0,,+ 1V e + N) NO 1 K Probabilidades X =Y ' Z ' +...+Y - Z - σ=cy ' (Z ' μ)! +...+Y - (Z - μ)! Se ^ é _(μ,σ), então: `(μ σ<^ <μ+σ) 0,6827 `(μ 2σ<^<μ+2σ) 0,9545 `(μ 3σ<^<μ+3σ) 0,9973 Regras de derivação (,+i) j =, j + i (,.i) j =, j.i+,.i H, i K j =,j.i,.i i! (, - ) j = +., -2'., j (+ R) (sen,) j =, j.cos, (cos,) j =, j.sen, (tg,) j =, j cos 2, (?. ) j =, j.?. (3. ) j =, j.3..ln3 (3 R 0 R1V) (ln,) j =,j, (log n,) j = Limites notáveis,,.ln3 (3 R0 R1V) lim H K+ =? (+ N) senz lim =1 o q Z? lim o 1 =1 o q Z lnz lim o 0r Z =0 lim o 0r? o =+ (Y R) Zs Prova-Modelo de Exame de Matemática A _12.º Ano

3 CADERNO 1: 75 MINUTOS TOLERÂNCIA: 15 MINUTOS É PERMITIDO O USO DA CALCULADORA. Prova-Modelo de Exame de Matemática A _12.º Ano

4 1. Considere todos os números naturais de seis algarismos diferentes que se podem formar com os algarismos 0,1,2,3,4 e 5. Destes números, quantos são múltiplos de 5 e têm os algarismos pares todos juntos? (A) 24 (B) 32 (C) 36 (D) Sejam u um conjunto finito, não vazio, ` uma probabilidade no conjunto vu e 7 e 8 dois acontecimentos, ambos com probabilidade não nula. Sabe-se que: `7 8y6 q,'z { ~ `76 ' z`7 8 `860,5 Qual é o valor de `7? (A) '!q (B) ' (C) ( q (D) * q 3. Na figura está representado, em referencial o.n. Z, um cone de revolução. Sabe-se que: a base do cone está contida no plano α definido por 2Z 4 64; o ponto 9, centro da base do cone, tem coordenadas 1,1,1; o vértice ƒ do cone tem cota positiva Seja β o plano definido pela condição Z Averigúe se os planos α e β são perpendiculares Sabendo que a altura do cone é igual a 4 6 unidades de comprimento, determine as coordenadas do vértice ƒ do cone. 4. Seja a função, de domínio l 0, definida por Z6lnH ˆ K. Considere a sucessão de números reais, - tal que, - 6H1 ' - K*-. Qual é o valor de lim - 0r, -? (A) 0 (B)? 2* (C) 1 (D)? o Prova-Modelo de Exame de Matemática A _12.º Ano

5 5. Num jardim, uma criança está a andar num baloiço. Atrás do baloiço, há um muro que limita esse jardim. Num determinado instante, em que a criança está a dar balanço, é iniciada a contagem do tempo. Quinze segundos após esse instante, a criança deixa de dar balanço e procura parar o baloiço, arrastando os pés no chão. Admita que a distância, em decímetros, da posição da cadeira ao muro, segundos após o instante inicial, é dada por: 204 cosπ se 0Œ a15 Š( )= 20415? '2 cosπ se Ž15 (o argumento da função cosseno está expresso em radianos) Resolva o item 5.1. recorrendo exclusivamente a métodos analíticos Justifique que houve, pelo menos, um instante, entre os catorze segundos e os dezasseis segundos após o início da contagem do tempo, em que a distância da posição da cadeira ao muro foi igual a 30 decímetros. Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais Determine, recorrendo à calculadora gráfica, o instante em que a distância da posição da cadeira ao muro é máxima e o valor da distância máxima. Apresente os dois valores arredondados às unidades. Na sua resposta, reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora que lhe permite(m) resolver o problema. 6. Considere a função, de domínio l 0, definida por Z6logZ, e a função #, de domínio l, da qual se sabe que é par, tem um único zero e parte da sua representação gráfica encontra-se na figura abaixo. Qual das seguintes igualdades é verdadeira? (A) #3a0 (B) H KH ' Ka0! (C)( #)(4Ž1 (D) 2' Prova-Modelo de Exame de Matemática A _12.º Ano

6 Itens em alternativa P2001/2002 PMC Considere uma variável aleatória ^ que segue uma distribuição normal de valor médio 10. Se `(10 ^ 12)=0,2, então qual das seguintes afirmações é necessariamente verdadeira? (A) `(^<12)>`(^ >7) (B) `(9 ^ 11)=0,2 (C) `(8 ^ 12)>0,4 (D) `(^ 8 ^ 12)=0, Seja a função definida por (Z)= π+arccos(2z+1). Quais são, respetivamente, o domínio e o contradomínio desta função? (A) 1,0 e π,0 (B) 0,1 e π,0 (C) 1,0 e (J!, J! (D) 0,1 e (J!, J! 8. Considere duas caixas, 9 ' e 9!. A caixa 9 ' tem 10 bolas, das quais seis são brancas e as restantes são pretas. A caixa 9! tem sete bolas, umas brancas e outras pretas. Considere a experiência que consiste em retirar, ao acaso, duas bolas da caixa 9 ', colocá-las na caixa 9! e, em seguida, retirar, também ao acaso, duas bolas da caixa 9!. Considere os acontecimentos: 7: As bolas retiradas da caixa 9 ' têm a mesma cor. 8: As bolas retiradas da caixa 9! são brancas. Sabe-se que `(8 7 )= '. '! Interprete o significado de `(8 7 ) e determine quantas bolas brancas e quantas bolas pretas existiam inicialmente na caixa 9!. FIM DO CADERNO 1 COTAÇÕES (Caderno 1) Item Cotação (em pontos) Pontos Prova-Modelo de Exame de Matemática A _12.º Ano

7 CADERNO 2: 75 MINUTOS TOLERÂNCIA: 15 MINUTOS NÃO É PERMITIDO O USO DA CALCULADORA. Prova-Modelo de Exame de Matemática A _12.º Ano

8 Itens em alternativa P2001/2002 PMC Um estudo revela que, num determinado centro de saúde, 2% das seringas fornecidas por determinada empresa têm defeito. Considere um lote de 40 seringas produzidas por essa empresa. Indique qual dos acontecimentos tem probabilidade igual a 1 0,98 *q 40 0,02 0,98 (. (A) Pelo menos duas seringas terem defeito. (B) Pelo menos uma seringa ter defeito. (C) No máximo duas seringas terem defeito. (D) No máximo uma seringa ter defeito Considere, num plano munido de um referencial o.n. Z, a elipse definida pela condição o + œ =1 e um triângulo 789.! 'z Os vértices 7 e 9 são focos da elipse. O vértice 8 é um ponto da elipse. Qual é o perímetro do triângulo 789? (A) 12 (B) 14 (C) 16 (D) Considere uma função, de domínio R. Sabe-se que: lim o 0r ( (Z) 2Z) = 0; j (Z)>0, para qualquer número real Z; lim ž (o0 )2 ž (o) existe e é negativo, para qualquer número real Z. q Considere as afirmações seguintes: (I) O gráfico da função apresenta a concavidade voltada para baixo em todo o seu domínio. (II) O gráfico da função admite uma assíntota horizontal quando Z +. (III) A reta de equação =2Z é perpendicular à reta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa 0. Elabore uma composição na qual indique, justificando, se cada uma das afirmações é verdadeira ou falsa. Na sua resposta, apresente três razões diferentes, uma para cada afirmação. Prova-Modelo de Exame de Matemática A _12.º Ano

9 11. De uma função, diferenciável em todo o seu domínio R, sabe-se que a inclinação da reta tangente ao seu gráfico no ponto de abcissa 3 é 60. De uma função #, de domínio,3, sabe-se que a reta de equação Z =3 é assíntota vertical ao seu gráfico. O valor de lim o ( (o2( ( (o)2 (() +lim o ( (o) (o) pode ser: (A) 0 (B) 1 (C) ( ( (D) Seja (, - ) uma sucessão real em que todos os termos são negativos. Sabe-se que, para todo o número natural +,. 1 /. 1 <1. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) A sucessão (, - ) é decrescente. (B) A sucessão (, - ) não é limitada. (C) A sucessão (, - ) é uma progressão aritmética. (D) A sucessão (, - ) é convergente. 13. Seja a função, de domínio R\R 1V, definida por: (Z)= o (2o) ª (!o) «2' se Z <0 Z 1 P se Z =0 +3Z se Z >0, com P R Mostre que não existe nenhum valor real P tal que a função seja contínua em Z = Estude a função quanto à existência de assíntotas oblíquas ao seu gráfico e, caso existam, escreva as suas equações Considere agora a função #, de domínio R 2, definida por #(Z)= (2o) o. Estude a função # quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos. 14. Considere, no plano complexo, um ponto 7, afixo de um certo número complexo. Sabe-se que 7 pertence ao primeiro quadrante e que Re( )>Im( ). A que quadrante do plano complexo pertence o afixo (A) Primeiro (B) Segundo (C) Terceiro (D) Quarto Prova-Modelo de Exame de Matemática A _12.º Ano

10 15. Seja C o conjunto dos números complexos Considere ' = 1 3E e! =cosh J K EsenHJK Determine o menor valor de + natural para o qual ( '! ) - é um número real positivo Prove que 4E! E! 64Im( ). FIM COTAÇÕES (Caderno 2) Item Cotação (em pontos) Pontos TOTAL (Caderno 1 + Caderno 2) 200 Prova-Modelo de Exame de Matemática A _12.º Ano

11 Prova-Modelo de Exame Proposta de resolução Caderno 1 1. Opção (D) Pretende-se determinar a quantidade de números constituídos por seis algarismos diferentes, múltiplos de 5 e com os algarismos pares todos juntos, usando apenas os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5. Assim, existem três casos mutuamente exclusivos (terminar em 0, ou terminar em 5 e começar por um algarismo par, ou terminar em 5 e começar por um algarismo ímpar): P P 0_ ou _P P P 5_ ou _I P P P _5_ + 2 ( ) = = = Opção (C) = 0,16 ( ) ( )=0,16 1 ( ) ( )=0,16 ( ) +( ) 0,16=0 ( ) = ± () (,) ( ) =0,2 ( )=0,8 Como ( ) (), então ( )=0,2. ()= ( ) ()= (()+() ( )) ()= ()+ () ()=! ()= ()=! Dois planos são perpendiculares se e só se o produto escalar entre dois quaisquer vetores normais a cada um dos planos for igual a zero. Prova-Modelo de Exame de Matemática A_12.º Ano

12 "#$ % (2, 1,1) é um vetor normal ao plano α. "#$ ' (1,6,4) é um vetor normal ao plano β. (2, 1,1).(1,6,4)=2 6+4=0 Logo, α e β são perpendiculares Vamos começar por definir vetorialmente a reta perpendicular ao plano α e que contém o ponto +: (,,-,.)=(1, 1,1)+/(2, 1,1),/ R Como 2 pertence a esta reta, então as suas coordenadas são do tipo (1+2/, 1 /,1+/), com / R. Pretende-se que 3+2 #####$3= #####$ =(1+2/, 1 /,1+/) (1, 1,1)=(2/, /,/) 4/ +/ +/ =4 6 6/ =4 6 Se / =4, então 2(9, 5,5). Se / = 4, então 2( 7,3, 3). 6 / =4 6 / =4 / = 4 Como a cota de 2 é positiva, então 2(9, 5,5). 4. Opção (A) lim =?@ A1 = B= =Clim =?@ A1+ = B= D =E limf(g = )=lim H I JKF(,)= =lim H I JKlnA IJK H B= =ln (1) = M é contínua em N0,15N e em O15,+ N, uma vez que, nestes intervalos, a função é definida pela soma de funções contínuas. M é contínua em 15, pois lim Q JM(R)=lim Q SM(R)=M(15). lim Q JM(R)=lim Q J(20+Rcos(πR))= =20+15 cos(15π)= =20 15= =5 Prova-Modelo de Exame de Matemática A_12.º Ano

13 lim Q SMRlim Q S2015E Q cos πr 2015E cos 15π M152015E cos15π ) M é contínua em N14,16O. 2) M16X30XM14 M142014cos14π34 M162015E cos16π20 I Y25,52 Logo, pelo teorema de Bolzano-Cauchy, conclui-se que [ O14,16N:M[30, isto é, houve, pelo menos, um instante entre os 14 s e os 16 s após o início da contagem do tempo em que a distância da posição da cadeira ao muro foi igual a 30 dm P(a,b) h Y14 i Y34 A distância máxima é 34 dm para R 14 s, aproximadamente. 6. Opção (B) F]3F3]3log3]35log3_0 A` B`A b a BA c B b c B aa b c BdefA aa b c BX0, pois loga BX0 e ]A B]A B_0. F ]4F]4F]4F5log5Xlog101 F F1F 1F1 10log1 10 Prova-Modelo de Exame de Matemática A_12.º Ano

14 Opção (D) j~l(10,m Então: j X12j X1010XjX120,50,20,7 j _77Xj X8j _87Xj X80,7, logo, j X12Xj _7. 9j 11_8j 100,2, pois a área da região limitada pelo eixo n,, pela curva de Gauss e pelas retas de equação, 9 e, 11 é superior à área da região limitada pelo eixo n,, pela curva de Gauss e pelas retas de equação, 8 e, 10. 8j 120,4 j 80,3 j o120,3 j 8 j o120, Opção (C) 12,11 22, 0 1, 0 p` N1,0O 0arccos2,1π,, N1,0O ππarccos2,10,, N1,0O p ` Nπ,0O 8., no contexto da situação descrita, significa a probabilidade de se retirarem da caixa 2 duas bolas brancas, sabendo que as bolas retiradas da caixa 1 não tinham a mesma cor. Se as bolas retiradas da caixa 1 não tinham a mesma cor, tal significa que se colocou na caixa 2 uma bola branca e uma bola preta, ficando a caixa 2 com 9 bolas, das quais, são brancas (, _0 e 9, são pretas. Assim, a probabilidade pedida é igual a HH uv. HH uv 12,,72 12, 12,720,,60,,3, 2 Como, _0, então, 3. Logo, existiam inicialmente 2 bolas brancas e 5 bolas pretas. Prova-Modelo de Exame de Matemática A_12.º Ano

15 Caderno Opção (A) j: número de seringas com defeito no lote de 40 seringas j~40;0,02) (j =0)=0,98 (j =1)=40 0,02 0,98!u (j 2)=1 (j =0) (j =1) Assim, a probabilidade dada é a probabilidade do acontecimento pelo menos duas seringas terem defeito. Os restantes acontecimentos não têm igual probabilidade, pois: a probabilidade de no lote de 40 seringas pelo menos uma seringa ter defeito é dada por: (j 1)=1 (j =0)=1 0,98 a probabilidade de no lote de 40 seringas no máximo duas seringas terem defeito é dada por: (j 2)=0, ,02 0,98!u ,02 0,98!v a probabilidade de no lote de 40 seringas no máximo uma seringa ter defeito é dada por: (j 1)=0, ,02 0,98!u 9.2. Opção (C) h =25 e i =16, então h =5 e i =4. [ =h i =25 16=9, logo 2[ =6. NxyzO =+{ +++ }~~ =6+10= Como lim `ƒ (H? )`ƒ (H) existe e é negativo, para qualquer número real,, significa que a segunda derivada existe e é sempre negativa, pelo que o gráfico da função F tem a concavidade voltada para baixo em todo o seu domínio. Conclui-se, assim, que a afirmação (I) é verdadeira. Como lim H?@ (F(,) 2,) = 0, tal significa que - =2, é a equação reduzida da assíntota oblíqua ao gráfico de F quando, +, logo não admite assíntota horizontal ao gráfico de F quando, +, tornando assim a afirmação (II) falsa. Relativamente à afirmação (III), podemos afirmar que é falsa. Supondo que a reta de equação -=2, é perpendicular à reta tangente ao gráfico da função F no ponto de abcissa 0, então o declive da reta tangente ao gráfico da função F no ponto de abcissa 0 deveria ser (visto as retas serem perpendiculares), o que é absurdo, pois sabemos que F (,)>0, para qualquer número real,. Prova-Modelo de Exame de Matemática A_12.º Ano

16 11. Opção (B) R reta tangente ao gráfico de F em, =3. Q =tg60 = 3=F (3) Sabemos que lim H! J](,)=±. Logo:!H!! lim H! + lim `(H) `(H)`(!) H! J = lim a(h) H!!(H!) + `(!) `(H)`(!) ±@ contínua em R; em particular, é contínua em, =3 e lim H! JF(,)=F(3).) (F é diferenciável em R, então F é = 3 lim ˆ ( )J (ˆ) Jˆ = 3 `ƒ(!) = = 3! = =1 +0= 12. Opção (D) Š Sb Š <1, " N G =? >G =, " N, pois G = <0, " N. Logo, (G = ) é crescente. (1) Assim, G G = <0, " N, ou seja, (G = ) é limitada. (2) Por (1) e (2), conclui-se que (G = ) é convergente. Como (G = ) é crescente e limitada, então (G = ) não pode ser uma progressão aritmética F é contínua em, =0 se e só se existir lim H F(,), isto é: Sabe-se que F(0)=/. E: lim H SF(,)= lim H Ž (H) SA I lim H SF(,)= lim H JF(,)=F(0) +3,B= lim H S = dž c SA (c ) B dž Jb S = = =2, lim H JF(,)= lim 2 H J ln(,) = S ln( S ) = S =0 (c ) Jb + lim H S(3,)= +0= Como lim H SF(,) lim H JF(,), pode concluir-se que não existe um valor de / tal que F seja contínua em, =0. Prova-Modelo de Exame de Matemática A_12.º Ano

17 13.2. F(,)= š H c d (H) ž (H) I se, <0, 1 / se, =0 +3, se, >0, com / R Para Ÿ + : F(,) = lim H?@, = (c ) =lim Jb?!H H?@ = H =lim H?@ A ž (H) H(I ) +3B= =lim H?@ Asen(2,) B+3= H(I ) =0+3= =3 Cálculos auxiliares ž (H) lim H?@ = 0, pois 1 sen(2,) 1,, R H(I ) e lim H?@ = H(I ) = =0.?@(I S )?@ i= lim H?@ sen(2,) E H 1 +3, 3, = =lim H?@ ž (H) I = =lim H?@ Asen(2,) I B= =0 A reta de equação - =3, é assíntota oblíqua ao gráfico de F quando, +. Para Ÿ : =lim H =lim c (J ) = H H =lim c = H d (H) =lim H d (H) = Consideremos a mudança de variável -=,. Se,, então - +. =lim?@ d ( ) = = dž S ( ) = S = = = lim H?@ ž (H) I =0, pois 1 sen(2,) 1,, R e lim H?@ I = I S =?@ =0. Como R, o gráfico de F não admite assíntotas não verticais quando,. Prova-Modelo de Exame de Matemática A_12.º Ano

18 13.3. Em R : ] (,)= Nd (H)Oƒ H c H c d (H) (H c ) c = Ab BHc H d (H) H K = = HH d (H) H K d (H) Hˆ = = ] (,)=0 1 2ln(,),! =0 = 1 2ln(,)=0,! 0 ln(,)=, 0, =E b c, 0,= E b c, 0 Assim:, E 0 1 2ln(,) 0 + S.S.,! S.S. Sinal de ] + 0 S.S. Variação de ] Máx. S.S. S.S.: sem significado Cálculos auxiliares 1 2ln(,)>0 2ln(,)> 1 ln(,)<, <E b c, > E b c ]µ E lnµe 1 = ( E = 2 ) E = 1 2E ] é estritamente crescente em D, E b c D e estritamente decrescente em C E b c,0c; ] admite um máximo relativo (absoluto) igual a I para, = Eb c. 14. Opção (C). =h+i,h,i R h >i. =? (h i )= (? ) h+i = = h +i h+i = =(i h) }~~ žf ±Ž²e +(i h) }~~ žf ±Ž²e Como Re A.B<0 e ImA.B<0, conclui-se que o afixo de. pertence ao 3.º quadrante. Prova-Modelo de Exame de Matemática A_12.º Ano

19 = 1 3. = ( 1) + 3 = 1+3=2 tgθ=! tgθ= 3 θ 3.º Q θ=»!, por exemplo.. =2E K¼ˆ. =cosa» B sena» B=cosA» B+ sena» B= =E ¼ ½ = =E ¼ ½ (.. ) = =µ2e»! E» = =2 = E A¾ =B 2 = E AbÀÁ b½ =B é um número real positivo se e só se: ¾ "=2/π,/ Z "=!/,/ Z. ¾ / =17 "=30 ( N) 30 é o menor valor de " natural nas condições pretendidas =(.+ ).+ (. ). = =(.+ ).+ (. ). = =(.+ )(. ) (. )(.+ )= =...+. (..+.. )= = = = = = 2 (..)= = 2 2Im(.) = = 4Im(.) = =4Im(.) Prova-Modelo de Exame de Matemática A_12.º Ano