Palavras-chaves: Problema do Caixeiro Viajante. Rota Ótima. Heurísticas. Coleta de Resíduos.

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1 OTIMIZAÇÃO DA ROTA ÓTIMA DE COLETA SELETIVA DE RESÍDUOS NA ÁREA RURAL DO MUNICÍPIO DE MISSAL - PARANÁ, UTILIZANDO HEURISTICAS DE SOLUÇÃO DO PROBLEMA DO CAIXEIRO VIAJANTE Matheus Fernando Moro (UTFPR-MD ) morosmi@hotmail.com Wesley Schroeder (UTFPR-MD) wesleyschroeder@hotmail.com Gabriel Cabral de Jesus (UTFPR ) gabrielcabral.j@gmail.com O presente trabalho adapta o Problema do Caixeiro Viajante para o interior de um município de Missal situado na região oeste do Paraná, aplicando-o na otimização de rota para a coleta seletiva de resíduos. Primeiramente, através da revisão bibliográfica são apresentadas algumas definições do Problema do Caixeiro Viajante e métodos para sua resolução através das heurísticas do Vizinho mais Próximo e Subcircuito Inverso, que são programadas no software SCILAB 5.3. Após esta introdução apresenta-se a metodologia empregada para um problema real de coleta de resíduos domésticos rurais. O trabalho por fim compara os resultados obtidos através desta metodologia com o da rota que atualmente é usada para coleta de resíduos, concluindo que as vantagens são significativas já que o ganho aproximado é de 20%. Palavras-chaves: Problema do Caixeiro Viajante. Rota Ótima. Heurísticas. Coleta de Resíduos.

2 1. Introdução A preocupação por parte do poder público está intimamente vinculada à aceitação da administração municipal por parte da população. Os serviços de limpeza absorvem entre 7% e 15% dos recursos de um orçamento municipal, dos quais 50% são destinados exclusivamente à coleta e ao transporte de resíduos. Certamente, a sua otimização leva a uma economia significativa dos recursos públicos (CARVALHO, 2001). Os problemas de otimização de rotas surgem em diversos contextos práticos onde há a necessidade de minimizar rotas, como no presente trabalho, que trata da coleta do lixo no interior de um município. Grandes quantias em dinheiro podem ser economizadas a cada ano por governos e empresas privadas se houver o planejamento e execução destas operações de minimização das rotas ainda mais se tratando da coleta de resíduos no interior dos municípios essa economia pode ser ainda maior já que as distâncias entre as chamadas comunidades são bem maiores do que dentro da área urbana. (KONOWALENKO, 2012). De uma forma geral, em um município existem quatro tipos principais de coletas utilizadas para a captação de resíduos: a dos resíduos urbanos, a dos resíduos rurais, a dos resíduos hospitalares e a coleta seletiva. A coleta de resíduos rurais consiste no recolhimento e transporte do lixo produzido em residências e atividades em propriedades rurais (DETOFENO, 2010). Para Darolt (2002), o lixo rural é composto tanto pelos restos vegetais da cultura e materiais associados à produção agrícolas como: adubos químicos, defensivos e suas embalagens, dejeto de animais, produtos veterinários, quanto por sobras semelhantes às produzidas nas cidades, como restos de alimentos, vidros, latas, papéis papelões, plásticos, pilhas e baterias, lâmpadas etc. O objetivo deste trabalho é minimizar a rota da coleta de lixo rural, aplicando heurísticas de melhoramento do Problema do Caixeiro Viajante: Heurística do Subcircuito Inverso e Heurística do Vizinho mais Próximo, para assim achar uma alternativa na diminuição do gasto que a administração municipal tem com o transporte de resíduos no interior da cidade. 1

3 2. Materiais e Métodos O Problema do Caixeiro Viajante (PCV) tem sido muito utilizado no experimento de diversos métodos de otimização por ser, principalmente, um problema de fácil descrição e compreensão, grande dificuldade de solução, uma vez que e NP-Árduo (Karp, 1975), e larga aplicabilidade (PRESTES, 2006). Sendo um grafo G = (N,E) onde N = {1,...,n} e o conjunto de nos e E = {1,...,m} e o conjunto de arestas de G, e custos, cij, associados com cada aresta ligando os vértices i e j, o problema consiste em localizar o menor ciclo Hamiltoniano do grafo G. O tamanho do ciclo e calculado pelo somatório dos custos das arestas que formam o ciclo. Os nos do grafo são, frequentemente, referenciados como cidades e, em outras palavras, o objetivo e visitar todas as cidades passando apenas uma vez por cada cidade, retornando ao ponto de origem. Este percurso deve ser feito de forma a minimizar a distancia total percorrida. 1.1 Formulação do PCV Dado um conjunto de n cidades c i e uma matriz de distâncias, onde,,, a tarefa passa por encontrar a permutação que faça com que a função objetivo (distância do circuito), onde atinja o seu mínimo. O tamanho do espaço de procura aumenta exponencialmente dependendo de n, o número de cidades, uma vez que existem circuitos possíveis (a posição inicial é arbitrária, e a ordem do circuito pode ser invertida). 2

4 Figura 1 Problema do Caixeiro Viajante Fonte: GUEDES, 2005 Dependendo da importância que poderá ter o sentido das setas (arestas), entre nós, o PCV pode-se distinguir em simétrico ou assimétrico (GUEDES, 2005) Problema do Caixeiro Viajante Assimétrico Para formular o PCV assimétrico em m cidades, introduzem-se variáveis zero ou um: Assim, e dado o fato de que a cada nó do grafo apenas pode corresponder e sair uma seta (Figura 2), um obtém uma atribuição clássica do problema. Estas restrições, contudo não são suficientes, uma vez que esta formulação permite a ocorrência de subcircuitos, ou seja, mesmo respeitando as condições impostas, considera-se a formação de aglomerados de cidades sem ligação. Por esta razão, a formulação do problema tem que possuir condições necessárias para remoção de subcircuitos. Assim, o problema é reformulado da seguinte forma: 3

5 Onde: K é um subconjunto não vazio apropriado das cidades 1,..., m; O custo pode ser diferente do custo ; Existem m(m-1) zero-um variáveis. Figura 2 Entrada e saída de uma seta por cada nó. Fonte: GUEDES, Problema do Caixeiro Viajante Simétrico 4

6 Para formular o PCV simétrico, um demonstra que a direção atravessada é imaterial, de modo que =. Uma vez que a direção não tem interesse, um pode considerar o grafo onde existe apenas um arco, sem direção, entre todos os pares de nós. Assim, é a variável de decisão onde j percorre todos os arcos E do grafo, sem direção, e é o custo de percorrer cada troço. Para encontrar um circuito neste grafo, um, deve selecionar um subconjunto de arcos, tal que todos os nós estejam contidos exatamente em dois dos arcos selecionados. Assim, o problema pode ser formulado como um problema 2-matching no grafo com m(m-1)/2 zeroum variáveis, isto é, metade do número da formulação anterior. Tal como no caso assimétrico, os subcircuitos devem ser eliminados através de restrições de eliminação de subcircuitos. O problema pode então ser formulado como: onde J(j) é o conjunto de todos os arcos, não direcionados, ligados ao nó j e E(K) é o subconjunto de todos os arcos, não direcionados, que ligam as cidades em qualquer subconjunto K não vazio apropriado de todas as cidades. É evidente que o problema simétrico é um caso especial do assimétrico, mas experiências práticas demonstram que os algoritmos para o problema assimétrico, regra geral, desenvolvem mal no simétrico. Assim, este tipo de problemas requerem formulações especiais e tratamentos de soluções (HOFFMAN, 2000). 5

7 No caso deste estudo ele é classificado como PCV Assimétrico, já que necessitamos formar um circuito mais curto para visitar todos os pontos de coleta passando apenas uma vez em cada ponto e não podendo formar subcircuitos. 1.2 Métodos para solução do PCV A solução do PCV pode ser determinada por diferentes métodos. Estes, podem ser agrupados em métodos exatos e heurísticos. Os primeiros têm por base procedimentos branchand-bound, isto é, de enumeração implícita em árvore onde é necessário inserir um limite inferior, no leque de soluções do problema. Existem limites inferiores triviais, como por exemplo, o elemento mínimo das soluções encontradas. Contudo, estes tipos de métodos demonstram muita dificuldade quando aplicados a problemas muito complexos, isto é, um PCV com muitas cidades, uma vez que a árvore de enumeração é muito extensa (CONWAY, 2003). Os métodos heurísticos são procedimentos bastante particulares, o que os torna inflexíveis para a determinação de boas soluções para outro problema ligeiramente diferente (APLEGLATE, 2006). Os métodos heurísticos são procedimentos que tem como objetivo encontrar soluções não necessariamente ótimas, mas que se aproximam do ponto ótimo do problema (BÄCK, 1996). Neste trabalho, iremos utilizar dois métodos heurísticos que serão programados no software SCILAB 5.3, as heurísticas são apresentadas a seguir. Os dados das distâncias e pontos de coletas foram fornecidos pela Secretaria de Obras, Transportes e Urbanismo do município de Missal, Paraná Heurística do Subcircuito Inverso Começa com um circuito viável e tenta melhorá-lo invertendo subcircuitos de duas cidades, 3 cidades, até subcircuitos com n-1 cidades (TEIXEIRA, 2012) Heurística do Vizinho Mais Próximo É caracterizado pela escolha da cidade mais próxima, sempre que o caixeiro se desloque, até que todas as cidades sejam visitadas. 6

8 Comece o algoritmo pela cidade i (i=1,2,...,n), em seguida ligue a cidade i com a cidade j (j=1,2,...,n), sendo j a cidade mais próxima de i. Repita o procedimento até que seja concluído o circuito com as n cidades (TEIXEIRA, 2012). 2. Resultados e Discussões Missal é uma cidade situada no oeste do Paraná, com habitantes, destes 5054 residem na área rural. São 1623 domicílios no interior do município. A cidade conta com programa de coleta de resíduos sólidos na sua área rural, a Secretaria de obras, transporte e urbanismo é responsável pelo serviço e estabeleceu quatorze pontos de coleta, os quais estão representados no Quadro 1. A garagem da prefeitura municipal fica na sede do município, portando o caminhão que faz a coleta tem seu ponto de partida no centro da cidade, representado pela letra A. Quadro 1 Pontos de Coleta de Resíduos Sólidos Fonte: Autores A B C D E F G H I J K L M N O Comunidades Centro Dom Armando São José Boa Esperança Padre Feijó Esquina São Paulo Santa Cecília Três Irmãos Vista Alta São Pedro União da Vitória Esquina Gaucha Vista Alegre São João São Silvestre As distâncias entre as comunidades (pontos de coleta) estão representadas no Quadro 2. 7

9 Quadro 2 - Distâncias em quilômetros entre os Pontos de Coleta A B C D E F G H I J K L M N O A 8 4,6 5, B 8 6,3 2 C 4, D 5,5 6,3 5,7 2,5 8,8 E 5,7 6 3,3 F 2,5 6 G H I 6 3 J 3 3,7 K 3 2 4,3 L 4 8 3,7 2,6 2,6 M 2 2,6 N 4 4,3 2,6 4 O 8,8 3,3 4 Fonte: Secretaria de Obras, Transporte e Urbanismo de Missal 8

10 As células vazias (sem nenhuma distância) significa que não existe um grafo direto entre os pontos de coleta, portanto essas distâncias são consideradas infinitas para resolução deste problema. A secretaria estabeleceu uma rota na qual é empregada pelo caminhão que coleta os resíduos a qual é A L M K N O E F D A C J G H I B A, o percurso pode ser observado na figura 3, totalizando um distância percorrida de 69 Km, o caminhão faz esse trajeto duas vezes por semana. Figura 3 - Rota empregada pelo caminhão de coleta de resíduos Fonte: Autores Através do software SCILAB 5.3, programando os algoritmos das Heurísticas foi obtido os mesmos resultados tanto para a Heurística do Vizinho mais Próximo quanto para o Subcircuito Inverso, pode-se observar a rota ótima na figura 4. 9

11 Figura 4 Rota ótima encontrada pelas Heurísticas empregadas Fonte:Autores Os resultados obtidos pelas duas heurísticas podem ser comparados no quadro 3 com a rota inicial. Quadro 3 - Comparação entre as Rotas obtidas e a atual. Rota Atual Vizinho mais Próximo Subcircuito Inverso Fonte: Autores Rotas A L M K N O E F D A C J G H I B A A - K - M - L - J - C - G - I - H B - D - F - E - O - N - A A - K - M - L - J - C - G - I - H B - D - F - E - O - N - A Distância 69 Km 55,4 Km 55,4 Km Podemos perceber que a nova rota tem um ganho de 19,7% em relação à rota atualmente usada pelo caminhão de coleta, isso pode ser obtido através do quociente entre a distância encontrada e a distância atual. 10

12 Sabendo que o caminhão faz esse percurso duas vezes por semana e a diferença entre as distâncias é de 13,6 Km, durante um mês a distância percorrida economizada será de 108,8 Km, tomando como base quatro semanas por mês. Quando observado durante o ano o ganho é ainda mais significativo, durante o ano o caminhão deixará de percorrer 1305,6 Km. 3. Conclusões Com o objetivo de minimizar a rota de coleta de resíduos no interior do município de Missal os métodos empregados se mostraram eficientes, já que se obteve um ganho aproximado de 20% em relação à rota atual. Conclui-se então que a Secretaria de Obras, Transporte e Urbanismo do município deve mudar a rota de coleta de resíduos, para assim diminuir o gasto com limpeza publica já que com a diferença do percurso encontrado, ao longo do ano a economia com combustível diesel, utilizado pelo caminhão que faz a coleta, pode ser significativa. Outra solução para o problema poderia ser encontrada caso fosse usado outros métodos, assim o resultado poderia ser mais satisfatório, já que as heurísticas empregadas não são comumente utilizadas para resolver problemas mais complexos. 11

13 4. Referências COSTA, Fredson Vieira; VIDAL, Fábio Silveira. Resolvendo o problema do caixeiro viajante utilizando algoritmos genéticos: Sistemas e Computação - Pós-Graduação, Acesso em: 04 de Abril de Disponível em: <URL: > KRIPKA, Rosana Maria; BARÃO, Fábio Roberto; KRIPKA, Moacir - Determinação da rota ótima para a coleta de resíduos sólidos urbanos no município de Passo Fundo RS. Acesso em: 8 de Abril de Disponível em : <URL: IBGE CIDADES - Síntese de Informações da cidade de Missal PR. Acesso em 10 de Abril de Disponível em: <URL: IBGE Domicílios Domicílios particulares ocupados, por situação e localização da área, segundo os municípios, Acesso em 10 de Abril de Disponível em: <URL: DETOFENO, Thober Coradi - Otimização de Rotas de Coleta de Resíduos Sólidos Urbanos, Utilizando Técnicas de Pesquisa Operacional f. Dissertação (Especialização em Métodos Numéricos e Engenharia) Departamento de Matemática, Universidade Federal do Paraná, Curitiba, PAES, Frederico Galaxe. Otimização de Rotas para Coleta do Lixo Doméstico: um Tratamento grasp para o Problema do Carteiro Chinês Misto (PCCM), RIGONETI, Alexandre. Otimização de Rotas de Caminhão de Coleta de Lixo Urbano f. Dissertação (Graduação em Engenharia de Produção) Departamento de Matemática, Universidade Anhembi Morumbi, São Paulo, TEIXEIRA, Levi Lopes. Roteiro de Estudos de Pesquisa Operacional f. Apostila (Graduação em Engenharia de Produção) Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Medianeira, CUNHA, Claudio Barbieri da; BONASSER, Ulisses de Oliveira; ABRAHÃO, Fernando Teixeira Mendes. Experimentos Computacionais com Heurísticas de Melhorias para o Problema do Caixeiro Viajante. ANPET, PRESTES, Álvaro Nunes. Uma Análise Experimental de Abordagens Heurísticas Aplicadas ao Problema do Caixeiro Viajante. Dissertação (Mestrado em Sistemas e Computação) Departamento de Informática e Matemática Aplicada, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, CARVALHO L. E. X. Desenvolvimento de solução integrada de sistemas de limpeza urbanaem ambientes SIG. Dissertação de Mestrado,Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, KONOWALENKO, Flávia. Problema do carteiro chinês não-orientado e misto para a otimização de rotas na cidade de Irati/PR. Dissertação do Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia, Área de Concentração em Programação Matemática, Universidade Federal do Paraná, Curitiba, DAROLT, M. R. Lixo Rural: Entraves, Estratégias e Oportunidades. Ponta Grossa, Acesso em 11 de Abril de Disponível em < HOFFMAN, Karla; PADBERG, Manfred Traveling salesman problem. Fairfax [Virgínia]: Department of Electrical and Computer Engineering - George Mason University, Acesso em 10 de Abril de Disponível em: < GUEDES, Allison da Costa Neves; LEITE, Jéssica Neiva de Figueiredo; ALOISE, Dário José Um algoritmo genético com infecção viral para o problema do caixeiro viajante. Natal [Brasil]: Revista On Line de Iniciação Científica, Acesso em 11 de Abril de Disponível em: <: 1edicao/et/MSIC-ET-011.pdf> 12

14 APPLEGATE, David L. [et al.] The travelling salesman problem: a computational Study. Princeton: Princeton University Press, ISBN BäCK, Thomas Evolutionary algorithms in theory and practice. New York: Oxford University Press, ISBN CONWAY, Richard Walter; MAXWELL, William L.; MILLER, Louis W. Theory of scheduling. Reading, [Mass]: Edição de Courier Dover Publications, ISBN