1) Escolher e descrever um problema cuja resolução requeira a execução de algoritmos computacionais que não sejam triviais.

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1 Universidade Federal do Rio de Janeiro Escola Politécnica MBA em Engenharia de Software EEL 650 Análise e Implementação de Algoritmos Turma ENGSOFT09 Prof. Heraldo L. S. Almeida Trabalho Prático para Avaliação de Aproveitamento Descrição do Trabalho: 1) Escolher e descrever um problema cuja resolução requeira a execução de algoritmos computacionais que não sejam triviais. 2) Descrever diferentes alternativas de algoritmos e estruturas de dados que possam ser utilizadas para resolver o problema. 3) Analisar as diferentes alternativas de implementação em termos de: a. complexidade de tempo como o tempo de execução aumenta em função com o tamanho do problema b. complexidade de espaço como o consumo de memória aumenta com o tamanho do problema 4) Implementar os diferentes algoritmos na linguagem de programação de sua preferência e medir o tempo de execução para problemas de diferentes tamanhos, comparando a taxa de crescimento observada experimentalmente com a previsão da análise teórica desenvolvida no item 3. 5) Concluir o trabalho com uma avaliação crítica comparativa dos diferentes algoritmos analisados e implementados, fundamentada nos resultados teóricos e experimentais obtidos, indicando vantagens e desvantagens de cada alternativa.. Regras: O trabalho poderá ser feito em grupos de até 4 alunos. Poderão ser escolhidos tanto problemas clássicos da literatura de ciência da computação (ver lista de sugestões em anexo), quanto problemas práticos específicos, relacionados a necessidades reais de pessoas ou de empresas com as quais o aluno se relacione. Cada grupo deve enviar um contendo o nome dos componentes do grupo e o tema escolhido para o endereço eletrônico mba_engsoft09@googlegroups.com até o dia 07/10/2009. No caso de tema existente na lista de sugestões em anexo, basta mencionar o título do tema. Já no caso de um tema proposto pelos próprios alunos, deve ser incluída uma descrição do problema escolhido e dos tipos de algoritmos a serem investigados. Temas escolhidos pelos alunos estarão sujeitos à aprovação do professor. Dois grupos não podem escolher o mesmo tema, ou temas muito semelhantes. No caso de conflito, o grupo que tiver se manifestado mais tarde deverá escolher outro tema. Os trabalhos finais deverão ser enviados em formato Word ou PDF, juntamente com o código-fonte dos programas desenvolvidos, ao endereço eletrônico heraldo@ufrj.br até o dia 04/11/2009. O professor estará à disposição para esclarecer dúvidas e ajudar no que for necessário, podendo ser acessado, a qualquer tempo, até o prazo final de entrega do trabalho, no endereço eletrônico acima.

2 1. Ordenação Topológica (topological sorting) Dado um grafo orientado e acíclico com n vértices v 1, v 2,... v n, ordenar os vértices de modo que, para toda aresta (v i ; v j ), o vértice v i anteceda o vértice v j. A grade curricular de um curso universitário possui n disciplinas v 1, v 2,... v n, sendo que algumas dentre estas disciplinas podem ter uma ou várias dentre as outras disciplinas da grade como prérequisito. O algoritmo deve determinar uma ordem válida em que um aluno possa cursar as n disciplinas da grade sem violar nenhum pré-requisito. Livro Cormen, Leiserson, Rivest & Stein, Algoritmos: Teoria e Prática, capítulo 22.

3 2. Árvore de Cobertura de Extensão Mínima (minimum spanning tree) Dado um grafo com n vértices v 1, v 2,... v n e os custos c ij para inserção de arestas interligando cada par de vértices v i e v j, para i=1,2,...,n e j=1,2,...,n, determinar um conjunto de arestas de custo total mínimo que forme uma árvore abrangendo todos os n vértices. Uma empresa de telefonia precisa interligar n localidades v 1, v 2,... v n por meio de fibras óticas, sendo que o custo necessário para interligar diretamente duas localidades v i e v j é conhecido e dado por c ij, para i=1,2,...,n e j=1,2,...,n. O algoritmo deve determinar uma solução de custo mínimo para implementar uma rede de fibra ótica interligando todas as n localidades. Livro Cormen, Leiserson, Rivest & Stein, Algoritmos: Teoria e Prática, capítulo 23.

4 3. Caminhos mínimos (shortest paths) Dado um grafo orientado com n vértices v 1, v 2,... v n, m arestas a 1, a 2,... a m e custos c 1, c 2,... c m associados a cada aresta, determinar: o caminho de menor custo entre um vértice-origem v i e um vértice-destino v j os caminhos de menor custo entre um vértice-origem v i e todos os demais vértices do grafo os caminhos de menor custo entre todos os demais vértices do grafo e um vértice-destino v j os caminhos de menor custo entre todos os pares de vértices do grafo Em um país existem n cidades v 1, v 2,... v n e as companhias aéreas oferecem m vôos a 1, a 2,... a m interligando algumas dessas cidades, cujos custos são dados por c 1, c 2,... c m. Os algoritmos devem determinar: o roteiro aéreo de menor custo total entre uma cidade-origem v i e um cidade-destino v j os caminhos de menor custo entre um vértice-origem v i e todos os demais vértices do grafo os caminhos de menor custo entre todos os demais vértices do grafo e um vértice-destino v j os caminhos de menor custo entre todos os pares de vértices do grafo Livro Cormen, Leiserson, Rivest & Stein, Algoritmos: Teoria e Prática, capítulos 23 e 24.

5 4. Inspeção de Rotas (route inspection) Dado um grafo orientado com n vértices v 1, v 2,... v n, m arestas a 1, a 2,... a m e custos c 1, c 2,... c m associados a cada aresta, determinar o roteiro de menor custo que percorre cada aresta pelo menos uma vez. Os caminhões de uma empresa de coleta de lixo precisam percorrer diariamente m ruas a 1, a 2,... a m, cujos comprimentos são dados por c 1, c 2,... c m, e que se interceptam em n esquinas. Determinar um roteiro que minimize a quilometragem total rodada diariamente pelos caminhões da empresa.

6 5. Fluxo Máximo em Redes (maximum network flow) Dado um grafo orientado com n vértices v 1, v 2,... v n, m arestas a 1, a 2,... a m e capacidades máximas c 1, c 2,... c m associadas a cada aresta, determinar fluxos f 1, f 2,... f m tais que 0 f i c i, i=1,2,...,n em cada aresta de modo que o fluxo total roteado de um vértice-origem v i para um vértice-destino v j seja o máximo possível. Seja uma rede de comunicação de dados com n roteadores v 1, v 2,... v n interligados por m canais de comunicação a 1, a 2,... a m, cujas capacidades máximas (em pacotes por segundo) disponíveis em um dado momento sejam dadas por c 1, c 2,... c m, respectivamente. Determinar as quantidades de pacotes por segundo f 1, f 2,... f m tais que 0 f i c i, i=1,2,...,n que cada roteador deve transmitir por meio de cada canal de comunicação para que a taxa de transmissão de dados de um roteador-origem v i para um roteador-destino v j seja a máxima possível. Livro Cormen, Leiserson, Rivest & Stein, Algoritmos: Teoria e Prática, capítulo 26.

7 6. Cobertura de Conjunto (set cover) Dados m subconjuntos de um conjunto S composto de n elementos, determinar a menor quantidade de subconjuntos que cobrem todos os elementos de S. Uma empresa de assistência técnica tem contratos de manutenção cobrindo n tipos diferentes de máquinas e possui em seu quadro de funcionários m técnicos. Cada técnico tem capacitação para dar suporte a um ou mais dentre os n tipos de máquinas cobertos pela empresa. Surgiu a necessidade de se reduzir ao mínimo possível a folha de pagamento da empresa, por meio da demissão do maior número possível de técnicos. Determinar uma equipe composta pelo menor número possível de técnicos que, conjuntamente, sejam capazes de dar cobertura a todos os n tipos de máquinas cobertos pelos contratos de manutenção em vigor. Livro Cormen, Leiserson, Rivest & Stein, Algoritmos: Teoria e Prática, capítulo 35.

8 7. Empacotamento de Conjunto (set packing) Dados m subconjuntos de um conjunto S composto de n elementos, determinar a maior quantidade de subconjuntos que são disjuntos. Uma linha de produção possui n máquinas diferentes e produz m produtos diferentes. Cada produto requer a utilização de uma ou mais dentre as m máquinas disponíveis, sendo que produtos que requerem uma mesma máquina não podem ser produzidos simultaneamente. Determinar a quantidade máxima de produtos que podem ser produzidos simultaneamente.

9 8. Casamento de Sequências (string matching) Dados um alfabeto Σ composto por p caracteres (exemplos: Σ={a,b,c,...,z} para textos, Σ={0,1} para sequências binárias ou Σ={A,C,G,T} para sequências genéticas) uma sequência s composta por n caracteres do alfabeto Σ uma sequência r composta por m caracteres do alfabeto Σ, tal que m n localizar todas as subsequências de s que sejam exatamente iguais a r. Localizar todas as ocorrências de uma string de m caracteres em um texto de n caracteres. Livro Cormen, Leiserson, Rivest & Stein, Algoritmos: Teoria e Prática, capítulo 32.

10 9. Casamento Aproximado de Sequências (approximate string matching) Dados um alfabeto Σ composto por p caracteres (exemplos: Σ={a,b,c,...,z} para textos, Σ={0,1} para sequências binárias ou Σ={A,C,G,T} para sequências genéticas) uma sequência s composta por n caracteres do alfabeto Σ uma sequência r composta por m caracteres do alfabeto Σ localizar todas as subsequências de s que possuam a mínima distância de edição de r, onde o conceito de distância de edição corresponde ao número mínimo de operações elementares de inserção, substituição e remoção de caracteres que precisam ser feitas para que a subsequência original seja transformada em uma sequência exatamente igual a r. Exemplos Práticos: Dada uma palavra inexistente em um dicionário, obter uma lista das palavras existentes nesse dicionário que sejam mais parecidas com a palavra dada. Dada a sequência de m nucleotídeos de um gen específico em uma espécie animal, localizar a sequência mais parecida que existir na sequência de n nucleotídeos correspondente ao genoma humano (supõe-se que a sequência a ser encontrada no genoma humano corresponda a um gen com a mesma função do gen localizado no animal, com pequenas modificações evolutivas). Livro Cormen, Leiserson, Rivest & Stein, Algoritmos: Teoria e Prática, capítulo 32.

11 10. Compressão de Dados (data compression) Dados um alfabeto Σ composto por p caracteres (exemplos: Σ={a,b,c,...,z} para textos, Σ={0,1} para sequências binárias ou Σ={A,C,G,T} para sequências genéticas) uma sequência s composta por n caracteres do alfabeto Σ determinar uma sequência r de comprimento mínimo tal que a sequência original s possa ser recuperada a partir da sequência r. Compactar um arquivo de tamanho n, codificado em um alfabeto composto por p símbolos distintos em um arquivo de tamanho mínimo possível, que permita recuperar posteriormente o arquivo original. Livro Cormen, Leiserson, Rivest & Stein, Algoritmos: Teoria e Prática, capítulo 16.

12 11. Máxima Subsequência Comum (longest common subsequence) Dados um alfabeto Σ composto por p caracteres (exemplos: Σ={a,b,c,...,z} para textos, Σ={0,1} para sequências binárias ou Σ={A,C,G,T} para sequências genéticas) m sequências s 1, s 2,...,s m, cada uma composta por n caracteres do alfabeto Σ determinar a mais longa subsequência comum a todas as m sequências. Determinar a mais longa subsequência comum entre gens similares de diferentes espécies, visando identificar características funcionais básicas daquele gen que são comuns em todas as espécies estudadas. Livro Cormen, Leiserson, Rivest & Stein, Algoritmos: Teoria e Prática, capítulo 15.

13 12. Programação de Linha de Montagem (assembly line scheduling) Dado um grafo orientado com n vértices v 1, v 2,... v n, m arestas a 1, a 2,... a m e custos c 1, c 2,... c m associados a cada aresta, determinar o caminho de menor custo entre um vértice qualquer dentre um subconjunto de possíveis vértices-origem e um vértice qualquer dentre um subconjunto de possíveis vértices-destino. Livro Cormen, Leiserson, Rivest & Stein, Algoritmos: Teoria e Prática, capítulo 15.

14 13. Problema do Encaixotamento (bin packing problem) Dados n itens de d dimensões com medidas x i1,x i2,...,x id, pra i=1,2,...,n um número ilimitado de caixotes de d dimensões, todos do mesmo tamanho, com dimensões x o1,x o2,...,x od determinar o número mínimo de caixotes necessários para empacotar todos os n itens, juntamente com a distribuição e organização dos itens no interior dos caixotes. Acomodar n embalagens com dimensões (x 1 ; y 1 ; z 1 ), (x 2 ; y 2 ; z 2 ),..., (x n ; y n ; z n ) em containers com dimensões (x o ; y o ; z o ), utilizando o menor número possível de containers.

15 14. Problema do Caixeiro Viajante (travelling salesman problem) Dado um grafo ponderado completo, com n vértices v 1, v 2,... v n e custos c ij, para i=1,2,...,n, associados a cada aresta interligando os vértices v i e v j, encontrar um caminho fechado de custo mínimo que percorra todos os n vértices. Um braço de robô precisa soldar n pontos em uma placa de circuito impresso. As coordenadas das posições de cada ponto de solda na superfície da placa são dadas por (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ),..., (x n ; y n ). O braço do robô pode se mover em qualquer direção, sempre em velocidade constante. Determine a ordem em que os n pontos de solda devem ser processados para que o tempo total de soldagem da placa seja mínimo. Livro Cormen, Leiserson, Rivest & Stein, Algoritmos: Teoria e Prática, capítulo 35.