FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO EDUARDO AUGUSTO AUN

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1 FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO EDUARDO AUGUSTO AUN PREVENDO A VOLATILIDADE REALIZADA DE AÇÕES BRASILEIRAS: EVIDÊNCIAS EMPÍRICAS SÃO PAULO 2012 FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS

2 ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO EDUARDO AUGUSTO AUN PREVENDO A VOLATILIDADE REALIZADA DE AÇÕES BRASILEIRAS: EVIDÊNCIAS EMPÍRICAS Dissertação apresentada à Escola de Economia da Fundação Getúlio Vargas, como requisito para obtenção do título de Mestre Profissional em Economia. Campo do Conhecimento: Finanças Orientador Prof. Dr. Pedro Luiz Valls Pereira SÃO PAULO

3 Aun,Eduardo Augusto. Prevendo a volatilidade realizada de ações brasileiras: Evidências empíricas /Eduardo Augusto Aun f. Orientador: Pedro Luiz Valls Pereira Dissertação (MPFE) - Escola de Economia de São Paulo. 1. Ações (Finanças) - Brasil. 2. Finanças - modelos matemáticos. 3. Bolsa de Valores de São Paulo. 4. Previsão estatística. I. Valls, P. (Pedro). II. Dissertação (MPFE) - Escola de Economia de São Paulo. III. Título. CDU

4 ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO EDUARDO AUGUSTO AUN PREVENDO A VOLATILIDADE REALIZADA DE AÇÕES BRASILEIRAS: EVIDÊNCIAS EMPÍRICAS Dissertação apresentada à Escola de Economia da Fundação Getúlio Vargas, como requisito para obtenção do título de Mestre Profissional em Economia. Data de aprovação: / / Banca Examinadora: Prof. Dr. Pedro Luiz Valls Pereira (Orientador) Prof. Dr. Emerson Fernandes Marçal Profa. Dra. Gabriela Bertol Domingues SÃO PAULO

5 RESUMO Este estudo compara previsões de volatilidade de sete ações negociadas na Bovespa usando 02 diferentes modelos de volatilidade realizada e 03 de volatilidade condicional. A intenção é encontrar evidências empíricas quanto à diferença de resultados que são alcançados quando se usa modelos de volatilidade realizada e de volatilidade condicional para prever a volatilidade de ações no Brasil. O período analisado vai de 01 de Novembro de 2007 a 30 de Março de A amostra inclui dados intradiários de 5 minutos. Os estimadores de volatilidade realizada que serão considerados neste estudo são o Bi-Power Variation (BPVar), desenvolvido por Barndorff-Nielsen e Shephard (2004b), e o Realized Outlyingness Weighted Variation (ROWVar), proposto por Boudt, Croux e Laurent (2008a). Ambos são estimadores não paramétricos, e são robustos a jumps. As previsões de volatilidade realizada foram feitas através de modelos autoregressivos estimados para cada ação sobre as séries de volatilidade estimadas. Os modelos de variância condicional considerados aqui serão o GARCH(1,1), o GJR (1,1), que tem assimetrias em sua construção, e o FIGARCH-CHUNG (1,d,1), que tem memória longa. A amostra foi divida em duas; uma para o período de estimação de 01 de Novembro de 2007 a 30 de Dezembro de 2010 (779 dias de negociação) e uma para o período de validação de 03 de Janeiro de 2011 a 31 de Março de 2011 (61 dias de negociação). As previsões fora da amostra foram feitas para 1 dia a frente, e os modelos foram reestimados a cada passo, incluindo uma variável a mais na amostra depois de cada previsão. As previsões serão comparadas através do teste Diebold-Mariano e através de regressões da variância ex-post contra uma constante e a previsão. Além disto, o estudo também apresentará algumas estatísticas descritivas sobre as séries de volatilidade estimadas e sobre os erros de previsão. PALAVRAS-CHAVE: Volatilidade realizada, previsão de volatilidade, volatilidade de ações 4

6 ABSTRACT This study compares volatility forecasts of seven publicly traded companies using 2 different models of realized volatility and 3 models of conditional volatility. The intention is to find empirical evidence as to the difference in results that are achieved when using models of realized volatility and conditional volatility to predict the volatility of shares in Brazil. The sample period runs from 1 November 2007 to 30 March The sample includes 5 minutes intraday data. The realized volatility estimators that are considered in this study are the Bi-Power Variation (BPVar) developed by Barndorff-Nielsen and Shephard (2004b), and Weighted Realized Outlyingness Variation (ROWVar) proposed by Boudt, Croux and Laurent (2008a). Both estimators are non-parametric, and are robust to jumps. The realized volatility forecasts were made by autoregressive models estimated for each share on the estimated volatility series. The conditional variance models considered here are the GARCH (1,1), the GJR (1,1), having asymmetries in its construction, and FIGARCH- CHUNG (1, d 1), having long memory. The sample was divided into two, one for the estimation period from 01 November 2007 to 30 December 2010 (779 trading days) and one for the validation period of 03 January 2011 to 31 March 2011 (61 trading days). The out of sample forecasts were made to 1 day ahead, and the models were reestimated at each step, including one more variable in the sample after each prediction. The predictions will be compared using the Diebold-Mariano test and through regressions of the variance ex-post against a constant and the prediction. Moreover, the study also shows some descriptive statistics on the estimated volatility series and on the forecasting errors. Keywords: Realized volatility, volatility forecast, stock volatility 5

7 Agradecimentos Ao meu orientador, Prof. Dr. Pedro Valls, por todo o apoio e dedicação ao longo deste trabalho. Ao Wagner Oliveira Monteiro, pelo suporte, e por dividir seus conhecimentos. Ao Michel Haddad, por compartilhar deste momento. Ao meu irmão Carmo, pela inspiração. Aos meus pais, Carlos Eduardo e Marisa, pelo exemplo, suporte e incentivo para trilhar este caminho. À minha mulher Flávia, pela compreensão e apoio. 6

8 LISTA DE TABELAS Tabela 1 - Estatísticas descritivas dos retornos diários Tabela 2 - Estatísticas descritivas dos retornos diários padronizados pelas estimativas de volatilidade Tabela 3 - Estatísticas descritivas das estimações de volatilidade Tabela 4 - Estatísticas descritivas do logaritmo das estimações de volatilidade. Tabela 5a - Estatísticas sobre os erros das previsões usando a estimação BPVar como benchmark Tabela 5b - Estatísticas sobre os erros das previsões usando a estimação ROWVar como benchmark Tabela 6a - Regressões do log da variância realizada BPVar contra o log das previsões Tabela 6b - Regressões do log da variância realizada ROWVar contra o log das previsões Tabela 7a - Teste Diebold-Mariano sobre as previsões, comparando o modelo AR(5) sobre a estimativa BPVar Tabela 7b - Teste Diebold-Mariano sobre as previsões, comparando o modelo AR(5) sobre a estimativa ROWVar 7

9 SUMÁRIO 1. Introdução Revisão Bibliográfica Volatilidade Realizada Bi-power variation and realized outlyingness weighted variance Bi-power variation Realized outlyingness weighted variance Dados Resultados Conclusão Tabelas Bibliografia

10 1. INTRODUÇÃO Este estudo compara previsões de volatilidade de sete ações negociadas na Bovespa usando 02 diferentes modelos de volatilidade realizada e 03 de volatilidade condicional. A intenção é encontrar evidências empíricas quanto à diferença de resultados que são alcançados quando se usa modelos de volatilidade realizada e de volatilidade condicional para prever a volatilidade de ações no Brasil. O estudo usa sete das ações mais líquidas negociadas na Bovespa, que são BRADESCO (BBDC4), PETROBRÁS (PETR4), VALE DO RIO DOCE (VALE5), ITAÚ (ITUB4), BANCO DO BRASIL (BBAS3), SIDERÚRGICA NACIONAL (CSNA3) e GERDAU (GGBR4). O período analisado vai de 01 de Novembro de 2007 a 30 de Março de A amostra inclui dados intradiários de 5 minutos. Os estimadores de volatilidade realizada que serão considerados neste estudo são o Bi-Power Variation (BPVar), desenvolvido por Barndorff-Nielsen e Shephard (2004b), e o Realized Outlyingness Weighted Variation (ROWVar), proposto por Boudt, Croux e Laurent (2008a). Ambos são estimadores não paramétricos, e são robustos a jumps. As previsões de volatilidade realizada foram feitas através de modelos autoregressivos estimados para cada ação sobre as séries de volatilidade estimadas. Os modelos de variância condicional considerados aqui serão o GARCH(1,1), o GJR (1,1), que tem assimetrias em sua construção, e o FIGARCH-CHUNG (1,d,1), que tem memória longa. São modelos paramétricos bastante populares, que usam dados diários em sua construção. A amostra foi divida em duas; uma para o período de estimação de 01 de Novembro de 2007 a 30 de Dezembro de 2010 (779 dias de negociação) e uma para o período de validação de 03 de Janeiro de 2011 a 31 de Março de 2011 (61 dias de negociação). As previsões fora da amostra foram feitas para 1 dia a frente, e os modelos foram reestimados a cada passo, incluindo uma variável a mais na amostra depois de cada previsão. Com base no arcabouço teórico demonstrado por Andersen, Bollerlev, Diebols e Labys (2001), consideraremos as estimações de variância realizadas a própria variância 9

11 integral (variância ex-post). As previsões serão comparadas através do teste Diebold- Mariano e através de regressões da variância ex-post contra uma constante e a previsão. Além disto, o estudo também apresentará algumas estatísticas descritivas sobre as séries de volatilidade estimadas e sobre os erros de previsão. 10

12 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA A característica da distribuição dos retornos dos ativos é de crucial importância para muitas questões nos estudos das finanças. Elas são peças fundamentais para a precificação de instrumentos financeiros, e explicam bastante do trade-off entre risco e retorno, que é central na questão de alocação de portfólio, avaliação de desempenho e de decisões administrativas. O conteúdo mais importante da distribuição do retorno condicional é a estrutura do seu segundo momento, que é empiricamente a característica dominante da distribuição. Este fato levou a uma vasta literatura sobre modelagem e previsão da volatilidade dos retornos. Com o tempo vimos grande evolução na disponibilidade de dados com horizontes de tempo menor, o que permitiu aumentar a frequência da modelagem, de trimestres e meses para semanas, dias e até frações dos dias. A variância condicional pode ser estimada, dentre outras maneiras, pela família de modelos GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity), propostos por Engle (1982) e Bollerslev (1986), por modelos de volatilidade estocástica (Taylor 1986), ou pelo EWMA (Exponentially Weighted Moving Averages), como demonstrado pela Riskmetrics Methodology (J.P.Morgan 1996). Em McAleer (2005) encontra-se uma exposição detalhada deste assunto. Porém, como observado por Bollerslev (1987), Malmsten e Terasvirta (2004) e Carnero, Peña e Ruiz (2004), a maior parte dos modelos de volatilidade latente falham em descrever satisfatoriamente diversos fatos estilizados observados nas séries de tempo financeiras. Por exemplo, retornos padronizados continuam tendo excesso de curtose, e os modelos não conseguem descrever a baixa e lenta desaceleração das autocorrelações nos quadrados dos retornos, associados ao alto excesso de curtose dos retornos. Descrever corretamente a dinâmica dos retornos é importante para obter previsões precisas da volatilidade futura. Neste sentido suposições de retornos padronizados gaussianos têm sido criticadas em diversos estudos, e distribuições com caudas pesadas têm sido usadas em contrapartida. 11

13 Ficou aparente que os modelos de volatilidade usados até então para previsão com dados diários não conseguem acomodar informação dos dados intradiários, e modelos até então endereçados diretamente para dados intradiários falham em capturar os movimentos de volatilidade mais longos. Dessa forma a procura por um ferramental adequado para a estimação e previsão da variância condicional do retorno dos ativos financeiros levou a analise de dados intradiários de alta frequência. Merton (1980) notou que com uma amostra de dados intradiários com uma frequência suficientemente grande, a variância pode ser estimada através da soma das realizações. Deste ponto evoluiu o conceito de volatilidade realizada. A soma dos quadrados dos retornos intradiários é conhecida como variância realizada, enquanto sua raiz quadrada é a volatilidade realizada. Ignorando erros de medida, a volatilidade ex-post torna-se observável. A volatilidade realizada explora eficientemente a informação dos dados intradiários, sem ter que explicitamente modelar os mesmos, resultando em significativas melhoras na performance da previsão, se comparados com procedimentos padrões que utilizam dados diários. Como discutido em Andersen, Bollerlev, Diebols e Labys (2001) e Barndorff-Nielsen e Shephard (2002, 2001a), a teoria da variação quadrática sugere que, dentro de certas condições, a volatilidade realizada é um estimador altamente eficiente e não viesado da volatilidade dos retornos. Além disso, considera-se que os retornos padronizados pela volatilidade realizada têm distribuições próximas à normal, o que é relevante a diversos tipos de modelagem presentes na literatura. O uso de dados de alta frequência tem uma desvantagem. Andersen et al. (2007) notam que obter um estimador da volatilidade realizada diária é viesado, pelo resultado de significativo volume de ruído associado à microestrutura do mercado observada em dados intradiários. Os autores apontam que este ruído é causado pelo fato de que os preços observados não são contínuos, são cotados de forma discreta. Dessa forma, a observação de um preço intradiário não é um preço único em um exato instante de tempo, mas um preço com ruído de microestrutura de mercado. Andersen et al. (2007) discutem prováveis fontes de microestrutura de mercado, apontando que as fontes mais frequentes são o spread de preço de compra e de venda e os diferentes 12

14 preços entre diferentes participantes do mercado, causados por diferenças de crenças, informações e decisões de comprar ou vender. Andersen e Bollerslev (2001) mostraram que a volatilidade diária ex-post de moedas são melhores mensuradas ao agregar 288 retornos quadrados de 5 minutos. A frequência de 5 minutos é um trade-off entre precisão, que teoricamente é otimizada quanto maior for a frequência dos dados, e ruídos de microestrutura que podem surgir através da movimentação do spread de compra e venda, falta de sincronia no trading, infrequência no trading e não continuidade na movimentação dos preços, além de outros fatores. Para mais informações, sugiro a leitura dos trabalhos de Madhavan (2000) ou Biais, Golsten e Spatt (2005). O desempenho das previsões melhorou com a incorporação de dados intradiários, não só porque dados de alta frequência tendem a ser mais previsíveis, mas também porque a informação em dados de alta frequência se tornou útil em previsões de horizontes mais longos, como mensal e trimestral. Neste contexto mais entusiasmante, modelar a volatilidade do retorno das ações tem sido um grande foco de pesquisa nos últimos anos. Modelos que estimam a volatilidade realizada através de dados intradiários têm sido os mais estudados. Como a volatilidade se torna observável, a mesma pode ser modelada diretamente, ao invés de ser tratada como uma variável latente. Baseados em resultados teóricos apresentados por Andersen, Bollerslev, Diebold e Labys (2001), Barndorff-Nielsen e Shephard (2002) e Meddahi (2002), diversos estudos documentaram as propriedades das volatilidades realizadas, e foram registradas diversas características importantes dos retornos e das volatilidades realizadas: A distribuição não condicional dos retornos diários mostra excesso de curtose; retornos diários padronizados pela medida de variância realizada são quase gaussianos; as distribuições não condicionais da variância realizada e da volatilidade realizada não são normais e são assimétricas; o logaritmo natural da volatilidade tem distribuição próxima da normal; o logaritmo da volatilidade realizada mostra um grau alto e positivo de autocorrelação, que morre lentamente; volatilidade realizada parece não ter raiz unitária, mas existem evidencias de integração fracionária de ordem em torno de 0,40. 13

15 Andersen e Bollerslev (2001), Hansen e Lunde (2005) e Patton (2005) usaram a volatilidade realizada para avaliar o desempenho das previsões fora da amostra para diferentes modelos de volatilidade latente e de volatilidade realizada. Muito da metodologia de estudo usada aqui neste trabalho tem como referencia estes estudos. 14

16 3. VOLATILIDADE REALIZADA De acordo com McAleer e Medeiros (2008), é assumido que o processo continuo do logaritmo do preço de uma ação em particular obedece a seguinte difusão: (1) Onde é o logaritmo do preço no período é o componente de drift, é a volatilidade instantânea (ou desvio padrão), estritamente estacionária, e é o movimento Browniano padrão. Usualmente o drift é assumido como constante. Os retornos da amostra com seguinte forma: observações por período podem ser calculados da (2) Definindo retornos esperados como iguais a zero para qualquer horizonte de tempo, padronizando os intervalos de tempo com observações intradiárias, e também assumindo que e são independentes e condicionando a expectativa matemática na trajetória da volatilidade na amostra, a variância do retorno para períodos pode ser descrita como se segue: (3) 15

17 A equação (3) descreve a chamada Variância Integral, que é uma medida de volatilidade ex-post. Dessa forma a volatilidade para períodos é idêntica a integral das volatilidades intradiárias passadas. A, no entanto, não é observável, e como é o objeto de nosso interesse, deve ser estimada. O retorno intradiário no período e no dia é definido como se segue: para e (4) A variância realizada diária (RV) é definida da seguinte maneira: (5) Andersen et al. (2003) demonstraram que em certas condições envolvendo a falta de autocorrelação dos retornos, a variância realizada definida em (5), usando todos os dados disponíveis, é um estimador consistente da Variância Integral quando não existe ruído de microestrutura. (6) Volatilidade realizada é a raiz quadrada da variância realizada. Barndorff- Nielsen et al. (2002) derivaram a distribuição assintótica do estimador da Variância Integral como se segue:. (7) 16

18 Onde é o Integrated Quarticity e é definido por: (8) Sob a hipótese de falta de correlação dos retornos intradiários, consistentemente estimado pelo Realized Quarticity, definido por: pode ser (9) De forma que: (10) 17

19 4. BI-POWER VARIATION E REALIZED OUTLYINGNESS WEIGHTED VARIANCE Na ausência de jumps, a volatilidade realizada é um estimador consistente da volatilidade integral. Porém, na presença de jumps o estimador não é mais consistente. Bollerslev e Diebold (2007) mostraram que jumps são menos persistentes e previsíveis do que componente contínuo, ou a volatilidade integral, do processo de variação quadrática. Dessa forma, ficou claro que é útil separar os dois componentes (continuo e jumps) presentes no processo de variação quadrática. Isso foi pela primeira vez feito por Barndorff-Nielsen e Shephard (2004b) através do uso do chamado Bi-Power Variation (BPVar). Neste trabalho também é analisada uma alternativa ao BPVar, chamado Realized Outlyingness Weighted Variation (ROWVar), proposto por Boudt, Croux e Laurent (2008a) 4.1. Bi-Power Variation Barndorff-Nielsen e Shephard (2004b) mostram que, para uma subclasse de difusão de preços BSMJ (i.e. BSM com jumps finitos), a soma normalizada dos produtos do valor absoluto dos retornos contíguos (i.e. bi-power variation) é um estimador consistente para a Variância Integral O BPVar é definido da seguinte forma: (11) Onde: (12) 18

20 e: (13) Em oposição a volatilidade realizada (Rvar), o BPVar é construído para ser robusto a jumps porque seu componente principal é o produto de dois retornos consecutivos ao invés do quadrado do retorno. Se um dos retornos corresponde a um jump e o próximo segue o processo de difusão BSM, então o produto dos dois tem um impacto pequeno no BPVar, já que este é a soma de vários destes componentes. Se o processo de jumps tem uma atividade finita então os jumps não podem afetar dois retornos contíguos para e o processo de jump tem um impacto negligente na probabilidade limite do BPVar, o que coincide com a. Em um BSM com jumps finitos (BSMFAJ) temos: (14) 4.2. Realized Outlyingness Weighted Variance Para que o impacto de jumps no BPVar seja negligente, os retornos de alta frequência precisam ser observados em períodos extremamente curtos para evitar que jumps afetem dois retornos contíguos e que o efeito dos jumps no processo dos preços não suma nesses intervalos de tempo. Quando retornos são registrados em períodos um pouco mais longos de tempo, como 05 ou 15 minutos, estas condições podem ser violadas. Além disto, BPVar é sensível a ocorrências de retorno zerado na série, já que trabalha com o produto de retornos contíguos. Boundt, Croux e Laurent (2008a) propuseram uma alternativa ao BPVar, que é robusto para jumps afetando dois ou mais retornos contíguos, o Realized Outlyingness 19

21 Weighted Variance (ROWVar). O estimados ROWVar é mais eficiente que o BPVar sob as especificações do modelo BSM. O estimador ROWVar é construído da seguinte forma: Estimador do Local Outlyingness Boundt, Croux e Laurent (2008a) medem o outlyingness do retorno como o quadrado do robustly studentized return: 2. (15) Onde é um estimador robusto da volatilidade instantânea registrado por todos os retornos pertencentes a mesma janela local que. No artigo de Boundt, Croux e Laurent (2008a), é o desvio absoluto mediano (Median Absolute Deviation MAD) sobre a mediana de todos os retornos pertencentes a mesma janela local, que aqui é a igual a 1 dia. A sequência MAD de observações é definida como: (16) Onde é um fator de correção que garante que o MAD é estimador de escala consistente em uma distribuição normal. Devido a presença de forte periodicidade intradiária na volatilidade, Boundt, Croux e Laurent (2008b) na sua aplicação empírica propõem computar com retornos 20

22 filtrados ao invés de retornos absolutos onde é um filtro robusto de peridiocidade. Neste trabalho foi usado o filtro de peridiocidade O estimador MAD para o fator de peridiocidade de é:. (17) Tendo obtido a medida de outlyingness para todos os retornos de alta frequência no intervalo uma weight function precisa ser escolhida. A weight function é igual a 1 para retornos nos quais a outlyingness não levanta suspeitas de que o retorno correspondente pode ter sido afetado por jumps, e vai em direção a quanto mais extremo for. Os weight functions mais populares são o Hard Rejection weight function: (18) E o Soft Rejection Huber weight function:. (19) Com sendo um parâmetro de sensibilidade a ser selecionado. 21

23 Sob o modelo BSM e algumas suposições descritas em Boundt, Croux e Laurent (2008a), a medida outlyingness tem uma distribuição assintótica qui-quadrada com 1 grau de liberdade. O outlyingness do retorno afetado por um jump vai estar então no extremo da causa da distribuição Consequentemente para o ROWVar o limiar de rejeição o quartil da função de distribuição. pode ser colocado como Boundt, Croux e Laurent (2008a) recomendaram fortemente o uso da SR weight function com como uma boa ponderação entre eficiência e robustez. Estas recomendações foram seguidas neste estudo. Dada uma série de retornos de alta frequência, suas estimações de outlyingness e weight functions, o ROWVar é construido da seguinte forma: (20) O fator de correção assegura que o ROWVar é consistente com o dentro do modelo BSM. A tabela abaixo mostra os fatores de correção para os diferentes weight functions e valores críticos : β c w HR c w SR θ HR θ SR d w HR

24 5. DADOS O estudo usa sete das ações mais líquidas negociadas na Bovespa durante o período estudado, que são BRADESCO (BBDC4), PETROBRÁS (PETR4), VALE DO RIO DOCE (VALE5), ITAÚ (ITUB4), BANCO DO BRASIL (BBAS3), SIDERÚRGICA NACIONAL (CSNA3) e GERDAU (GGBR4). O período analisado vai de 01 de Novembro de 2007 a 30 de Março de Como foi discutido em McAleer e Medeiros (2008), existe um debate na literatura no que diz respeito à seleção da frequência dos dados intradiários. Conforme a frequência aumenta, a precisão também aumenta, assim como a possibilidade de que o ruído de microestrutura de mercado aumente também. Andersen et al. (2001) propõe intervalos de 5 minutos. Oomen (2002) argumenta que o intervalo ótimo é de 25 minutos. Giot e Laurent (2004) observaram que a frequência ótima é de 15 minutos. Junior e Valls Pereira (2012) realizaram trabalho usando amostra relativamente próxima com dados de 05, 15 e 30 mins, e analisaram o tamanho médio do intervalo de confiança de 95% do estimador. O resultado encontrado por eles sugere que o menor intervalo de confiança é gerado pela frequência de 05 mins em todas as ações estudadas. Dessa forma, neste presente trabalho foi escolhido o intervalo intradiário de 5 minutos para se trabalhar os dados. Para evitar os períodos de leilão de abertura e leilão de fechamento, que acontecem nos primeiros minutos e nos últimos minutos do horário do pregão, os primeiros vinte minutos e os últimos seis minutos de negociação de todos os dias foram eliminados da amostra. Foi usado o preço referente ao primeiro negócio depois de iniciado o intervalo de tempo. Tem-se então 79 observações para cada dia de negociação, para cada ação. Vale ressaltar que o processo de obtenção dos dados intradiários não é trivial. No caso deste estudo os dados foram fornecidos pela Bovespa, a bolsa de valores de São Paulo. O material disponibilizado envolvia todas as ações listadas na bolsa, as informações estavam discriminadas negócio a negócio, sem ajuste de proventos. Para realizar o estudo foi necessário um extenso trabalho computacional de extrair os dados 23

25 referentes às ações trabalhadas, dividi-los em intervalos de 05 minutos e ajusta-los pelos proventos distribuídos no período. Como já foi mencionado, o período de 01 de Novembro de 2007 a 30 de Dezembro de 2010 foi usado para a estimação dentro da amostra, enquanto o período de 03 de Janeiro de 2011 a 30 de Março de 2011 foi usado para a estimação fora da amostra. Dessa forma temos 779 dias de negociação na amostra de estimação, e 61 dias de negociação na amostra de validação. A Tabela 1 apresenta estatísticas descritivas dos retornos diários das ações. Estão apresentados na tabela a média e o desvio padrão dos retornos, e o P-valor da assimetria, do excesso de curtose, do teste Jarque-Bera, da vigésima autocorrelação e a da vigésima autocorrelação do quadrado dos retornos. Pode-se observar que somente ITUB4 e BBDC4 apresentam assimetrias significantes, ambas positivas (0, e 0, respectivamente). Os excessos de curtose da amostra são todos significativos, e indicam caudas mais pesadas do que a distribuição normal. Como era de se esperar, os testes de Jarque-Bera rejeitam a hipótese de que as distribuições dos retornos das ações são normais. As estatísticas do teste Ljung-Box indicam que existe autocorrelação nos retornos e nos retornos ao quadrado. Os resultados são consistentes com a extensa literatura documentando caudas pesadas e cluster de volatilidade nos retornos de ativos financeiros. A Tabela 2 apresenta estatísticas descritivas dos retornos diários das ações padronizados pela volatilidade estimada pelos respectivos modelos. As estatísticas apresentadas são as mesmas da Tabela 1. Os retornos padronizados apresentam resultados contrastantes comparados aos retornos simples. Os excessos de curtose da amostra indicam que os retornos padronizados tendem a se aproximar mais de uma distribuição Gaussiana, e o excesso de curtose em geral é menor nos retornos padronizados pela volatilidade realizada se comparado aos retornos padronizados pela volatilidade condicional. Em alguns casos como PETR4, VALE5, BBAS3 e CSNA3, o teste Jarque-Bera indica probabilidade significativamente maior de que os retornos padronizados pela volatilidade realizada seguem uma distribuição normal se comparados com os retornos padronizados pelas volatilidades condicionais. Somente 24

26 no caso de GGBR4 os retornos padronizados pelas variâncias condicionais apresentam excessos de curtose consistentemente menores, e os testes de Jarque-Bera indicam probabilidade expressivamente maior de que as distribuições são Gaussianas. Além disto, os retornos padronizados em geral não mostram evidencias de cluster de volatilidade da amostra. Nota-se também que as médias dos retornos diários padronizados pela volatilidade realizada são maiores do que as médias dos retornos padronizados pela volatilidade condicional. A Tabela 3 se refere à distribuição das estimativas de volatilidade referentes aos respectivos modelos trabalhados. As estatísticas usadas nesta tabela são a média, o desvio padrão, o P-valor da assimetria e o P-valor do excesso de curtose. Como já foi comentado, as estimações de volatilidade referentes aos estimadores de volatilidade realizada BPVar e ROWVar foram calculadas com retornos intradiários de 5 minutos (79 observações diárias), enquanto as estimações volatilidade referentes aos modelos de variância condicional, GARCH (1,1), GJR(1,1) e FIGARCH-CHUNG(1,d,1) foram calculados com dados diários. Todas as séries invariavelmente apresentam assimetria positiva e parecem ser leptocurticas. Nota-se também que as séries de volatilidade realizada invariavelmente apresentam curtose expressivamente maior. Além disto, a média das volatilidades realizadas estimadas pelos modelos BPVar e ROWVar é menor do que as médias dos retornos padronizados pela volatilidade condicional. A Tabela 4 se refere à distribuição do logaritmo das estimativas de volatilidade referentes aos respectivos modelos trabalhados. As estatísticas usadas nesta tabela são a média, o desvio padrão, o P-valor da assimetria e o P-valor do excesso de curtose e o P-valor da vigésima autocorrelação dos retornos. Nota-se que as assimetrias e as curtoses das séries estimadas parecem mais próximas de ser Gaussianas, mas ainda encontram-se assimetrias positivas e excesso de curtose que rejeitam os testes de normalidade. As estatísticas de Ljung-Box indicam forte autocorrelação nas séries, de acordo com as estatísticas encontradas dos retornos ao quadrado na Tabela 1. Porém nota-se que as autocorrelações das séries de volatilidade realizada são de magnitude inferior as das autocorrelações das séries de volatilidade condicional. 25

27 6. RESULTADOS Diversos estudos serão apresentados agora com o intuito de encontrar evidencias empíricas no mercado acionário brasileiro a respeito do desempenho da previsão de modelos baseados em variância realizada comparada ao desempenho de previsões de modelos de variância condicional que usam dados diários. As previsões de modelos de variância realizadas foram obtidas através de simples modelos autorregressivos estimados sobre as séries de variância realizadas calculadas pelos estimadores BPVar e ROWVar, apresentados anteriormente. As previsões de modelos de variância condicional serão obtidas através do modelo GARCH(1,1), do modelo GJR(1,1), que apresenta assimetria, e do modelos FIGARCH-CHUNG(1,d,1), que tem memória longa. O número de defasagens p nos modelos autorregressivos AR(p) de cada ação (PETR4, VALE5, ITUB4, BBDC4, BBAS4, GGBR4 e CSNA3) e referentes a cada estimação de variância realizada (BPVar e ROWVar) foram selecionadas comparando os critérios de informação AIC de modelos que trabalham de 1 defasagem até 10 defasagens (p=1 ate p=10), controlando pelo tamanho da amostra (de 19 de Novembro de 2007 a 30 de Março de 2011). Abaixo segue a tabela com os modelos mais indicados para as respectivas ações e estimações de variância realizada. BPVar AR(p) ROWVar AR(p) Ação p P PETR4 5 5 VALE5 5 5 ITUB4 5 6 BBDC4 5 5 BBAS3 5 5 GGBR4 5 5 CSNA

28 A amostra do dia 01 de Novembro de 2007 a 31 de Março de 2011 foi divida em duas; uma para o período de estimação, de 01 de Novembro de 2007 a 30 de Dezembro de 2010 (779 dias de negociação), e outra para o período de validação de 03 de Janeiro de 2011 a 31 de Março de 2011 (61 dias de negociação). As previsões fora da amostra foram feitas para 1 dia a frente, e os modelos foram reestimados a cada passo, incluindo uma variável a mais na amostra depois de cada previsão. A Tabela 5a e a Tabela 5b apresentam estatísticas referentes aos erros de previsão fora da amostra, usando a estimação de variância realizada referente ao estimador BPVar e ROWVar respectivamente como observação de variância ex-post. O erro foi calculado simplesmente pela diferença entre a variância ex-post e variância referente à previsão. O RMSE calcula a raiz da media dos erros ao quadrado. O MAE calcula a media dos erros absolutos. A média, o desvio padrão, o máximo e o mínimo se referem às series de erro em seu estado natural. Pode-se observar que invariavelmente, tanto para o BPVar quanto para o ROWVar, as medidas de magnitude dos erros RMSE e MAE produzidos pelas previsões usando modelos de volatilidade realizada são menores. Os desvios padrões e as médias também foram todos menores para os modelos de volatilidade realizada. Analisando a Tabela 5a e 5b conclui-se também que foi grande o número de ocorrências em que as previsões referentes ao modelo GJR(1,1) indicam erro maior se comparado a outros modelos (de fato isto só não ocorreu com PETR4). Nota-se que em geral PETR4 apresentou os menores RMSE e MAE de previsão, se comparada com as outras ações, enquanto que GGBR4 apresentou as maiores RMSE e MAE, assim como os maiores valores absolutos de máximos e mínimos e de desvio padrão. As Tabelas 5a e 5b também mostram que o RMSE, o MAE e o desvio padrão dos modelos AR(p) sobre o BPVar são em todos os casos menores do que os referentes aos modelos AR(p) sobre o ROWVar. Além disto, a média de quase todos os erros referentes aos modelos de volatilidade realizada é negativa (com exceção de BPVar AR(5) de PETR4), enquanto que para os modelos de variância condicional sua grande maioria é positiva. 27

29 As Tabelas 6a e 6b apresentam resultados de regressões estimadas por MQO do logaritmo da variância ex-post (BPVar para Tabela 6a e ROWVar para Tabela 6b) contra o logaritmo das previsões de variância fora da amostra dos diferentes modelos estudados, e uma constante. Com exceção do ROWVar AR(5) para PETR4 e do ROWVar AR(5) para BBAS3, todos os R 2 referentes aos modelos de variância realizada são superiores aos R 2 dos modelos de variância condicional. No universo de modelos de volatilidade realizada, somente no caso do BPVar AR(5) para PETR4 não podemos rejeitar com 95% de significância do teste t que o coeficiente é diferente de zero. Em todos os outros casos os coeficientes para os modelos de volatilidade realizada são significantes. Além disto, todos estes coeficientes são positivos, maiores do que 0,45 e menores do que 0,89. Para todos os casos, exceto para PETR4, o R 2 dos modelos AR(p) do BPVar são maiores do que os dos modelos AR(p) do ROWVar, assim como seus coeficientes são mais significativos. Quanto aos modelos de variância condicional, encontra-se evidencias divergentes para as diferentes ações estudadas. Para o caso de PETR4, os coeficientes dos modelos de variância condicional são todos significativos (nos casos de BPVar, Tabela 6a, são todos mais significativos do que os dos modelos de variância realizada), porém para os modelos GARCH(1,1) e GJR(1,1) são maiores do que 1, tanto para o BPVar quanto para o ROWVar. Para a VALE5, ITUB4 e BBDC4 o modelo GJR (1,1) é significante tanto se comparado com o BPVar quanto com o ROWVar. O coeficiente do FIGARCH-CHUNG (1,d,1) é significativo para BBDC4. Os coeficientes de todos os modelos de variância condicional são significativos para BBAS3. Para CSNA3 os coeficientes são fortemente rejeitados para os modelos de variância condicional. A Tabela 7a e a Tabela 7b apresentam os resultados dos testes Diebold-Mariano envolvendo os erros das previsões dos modelos de variância condicional contra os erros das previsões de variância dos modelos AR(p) para os estimadores de volatilidade realizada (BPVar para Tabela 7a e ROWVar para Tabela 7b). Para a construção do teste, o erro foi calculado simplesmente pela diferença entre a variância ex-post e variância referente à previsão. Foram criadas séries compostas da diferença entre os erros de um modelo contra os erros de outro modelo, e séries compostas pelo 28

30 quadrado dos erros de um modelo contra o quadrado dos erros de outro determinado modelo. Estas séries foram todas rodadas contra uma constante. O campo P-Valor indica o nível de significância máximo sem rejeitar que o coeficiente estimado é igual à zero. O teste é aplicado para os erros absolutos e para os erros ao quadrado. Em sua grande maioria, os testes confirmam a superioridade das previsões usando os modelos de volatilidade realizada. Pode-se constatar que na maior parte das ocorrências as constantes são significativas, sendo todas maiores do que zero, indicando que os erros dos modelos de variância condicionais são estatisticamente superiores do que os erros dos modelos de volatilidade realizada. Além disto, verificase que consistentemente a significância da constante é maior para os testes envolvendo o modelo BPVar, se comparado ao ROWVar. Olhando com mais detalhes, verifica-se algumas exceções, como no que no caso de PETR4 em que as constantes são menos significantes se rodadas contra o erro ao quadrado, tanto para o BPVar quanto para o ROWVar (corroborando com os resultados das Tabelas 6a e 6b). Além disto, tanto para BBAS3 quanto para GGBR4 o nível de significância das constantes dos testes envolvendo os erros ao quadrado são menores para o ROWVar. Finalmente, CSNA3 mostrou resultados muito diferentes do resto das ações, com significâncias muito baixas para as constantes na maior parte dos seus testes. 29

31 7. CONCLUSÃO Usando o arcabouço teórico até proposto por Andersen et al. (2003) e amplamente desenvolvido até então na literatura, o objetivo deste trabalho era encontrar evidencias empíricas no mercado acionário brasileiro à respeito do desempenho de previsão de modelos baseados em volatilidade realizada comparada a performance de previsões de modelos de variância condicional que usam dados diários. Foram usados dados intradiários de 5 minutos de 7 das ações mais liquidas da BOVESPA (PETR4, VALE5, ITUB4, BBDC4, BBAS3, GGBR4 e CSNA3) do período 01 de Novembro de 2007 a 31 de Março de 2011 para a construção das séries e dos modelos de volatilidade realizada. Esta amostra foi divida em uma amostra de estimação de 01 de Novembro de 2007 a 30 de Dezembro de 2010 (779 dias de negociação) e uma amostra de validação de 03 de Janeiro de 2011 a 31 de Março de 2011 (61 dias de negociação). As previsões fora da amostra foram feitas para 1 dia a frente, e os modelos foram reestimados a cada passo, incluindo uma variável a mais na amostra depois de cada previsão. Comparando as previsões gerados pelos modelos autorregressivos sobre as séries de variância realizada (BPVar e ROWVar) com as previsões geradas pelos modelos de variância condicional que usam dados diários, pode-se concluir que os simples modelos Gaussianos AR(p) sobre as variância realizada produzem previsões superiores. Este resultado vai de acordo com os resultados de outros trabalhos de construção similar, como em Andersen, Bollerslev, Diebold e Labys (2003), em que foram comparadas as previsões geradas por um VAR Gaussiano sobre series de volatilidade realizada de moedas contra previsões de modelos que usam dados diários. Além disto, evidências menos expressivas sugerem que as previsões geradas pelos modelos autorregressivos sobre a estimação BPVar são superiores as previsões geradas pelos modelos autorregressivos sobre a estimação ROWVar. Existem inúmeras outras possibilidades de trabalhos que podem dar procedimento a este, e que envolvem o mercado financeiro brasileiro. Por exemplo, recomendo que 30

32 estudos futuros considerem filtros de correção de microestrutura de mercado e que apliquem outros modelos de volatilidade realizada. 31

33 8. TABELAS Tabela 1 Estatísticas descritivas dos retornos diários Ação Média Desvio Padrão Assimetria Curtose Jarque Bera PQ(20) PQ 2 (20) P-valor PETR4-0, , , , ,00 0,012 0,00 VALE5-0, , , , ,00 0,000 0,00 ITUB4 0, , , , ,00 0,003 0,00 BBDC4 0, , , , ,00 0,001 0,00 BBAS3-0, , , , ,00 0,060 0,00 GGBR4-0, , , , ,00 0,000 0,00 CSNA3 0, , , , ,00 0,000 0,00 Notas: A amostra cobre o período de 01 de Novembro de 2007 a 30 de Março de A tabela acima se refere à distribuição dos retornos diários das ações. A coluna Jarque Bera indica o grau de significância em que podemos aceitar a hipótese de que a distribuição é normal. As colunas chamadas PQ(20) e PQ 2 (20) contém o P-valor das estatísticas do teste Ljung-Box para a vigésima autocorrelação dos retornos e a vigésima autocorrelação dos retornos ao quadrado, respectivamente. 32

34 Tabela 2 PETR4 Estatísticas descritivas dos retornos diários padronizados pelas estimações de volatilidade Assimetria Curtose Padronização Média Desvio Padrão P-valor P-valor Jarque Bera PQ 2 (20) PQ 2 (20) BPVar 0, , , , , ,201 0,176 ROWVar 0, , , , , ,253 0,837 GARCH(1,1) -0, , , , , ,216 0,822 GJR (1,1) -0, , , , , ,188 0,782 FIGARCH (1,d,1) -0, , , , , ,227 0,561 VALE5 Assimetria Curtose Padronização Média Desvio Padrão P-valor P-valor Jarque Bera PQ 2 (20) PQ 2 (20) BPVar 0, , , , , ,016 0,560 ROWVar 0, , , , , ,013 0,691 GARCH(1,1) -0, , , , , ,048 0,980 GJR (1,1) -0, , , , , ,064 0,860 FIGARCH (1,d,1) -0, , , , , ,040 0,995 ITUB4 Assimetria Curtose Padronização Média Desvio Padrão P-valor P-valor Jarque Bera PQ 2 (20) PQ 2 (20) BPVar 0, , , , , ,395 0,642 ROWVar 0, , , , , ,289 0,932 GARCH(1,1) 0, , , , , ,265 0,838 GJR (1,1) 0, , , , , ,330 0,891 FIGARCH (1,d,1) 0, , , , , ,285 0,786 BBDC4 Assimetria Curtose Padronização Média Desvio Padrão P-valor P-valor Jarque Bera PQ 2 (20) PQ 2 (20) BPVar 0, , , , , ,327 0,056 ROWVar 0, , , , , ,359 0,118 GARCH(1,1) 0, , , , , ,077 0,366 GJR (1,1) 0, , , , , ,159 0,597 FIGARCH (1,d,1) 0, , , , , ,083 0,461 BBAS3 Assimetria Curtose Padronização Média Desvio Padrão P-valor P-valor Jarque Bera PQ 2 (20) PQ 2 (20) BPVar 0, , , , , ,180 0,009 ROWVar 0, , , , , ,334 0,627 GARCH(1,1) 0, , , , , ,668 0,838 GJR (1,1) -0, , , , , ,602 0,828 FIGARCH (1,d,1) 0, , , , , ,641 0,875 33

35 Tabela 2 cont. GGBR4 Estatísticas descritivas dos retornos diários padronizados pelas estimações de volatilidade Padronização Média Desvio Assimetria Curtose Jarque Bera PQ 2 (20) PQ 2 (20) Padrão P-valor P-valor BPVar 0, , , , , ,334 0,769 ROWVar 0, , , , , ,476 0,585 GARCH(1,1) -0, , , , , ,229 0,866 GJR (1,1) -0, , , , , ,226 0,560 FIGARCH (1,d,1) -0, , , , , ,224 0,957 CSNA3 Padronização Média Desvio Assimetria Curtose Jarque Bera PQ 2 (20) PQ 2 (20) Padrão P-valor P-valor BPVar 0, , , , , ,124 0,214 ROWVar 0, , , , , ,058 0,099 GARCH(1,1) 0, , , , , ,072 0,640 GJR (1,1) 0, , , , , ,089 0,636 FIGARCH (1,d,1) 0, , , , , ,068 0,799 Notas: A amostra cobre o período de 01 de Novembro de 2007 a 30 de Março de A tabela acima se refere à distribuição dos retornos diários das ações padronizados pela volatilidade estimada pelos diferentes modelos. A coluna Jarque Bera indica o grau de significância em que podemos aceitar a hipótese de que a distribuição é normal. As colunas chamadas PQ(20) e PQ 2 (20) contém o p-valor das estatísticas do teste Ljung-Box para a vigésima autocorrelação dos retornos e a vigésima autocorrelação dos retornos ao quadrado, respectivamente. 34

36 Tabela 3 Estatísticas descritivas das estimações de volatilidade PETR4 Estimação Média Desvio Padrão Assimetria Curtose BPVar 0, , , , ROWVar 0, , , , GARCH(1,1) 0, , , , GJR (1,1) 0, , , , FIGARCH (1,d,1) 0, , , , VALE5 Estimação Média Desvio Padrão Assimetria Curtose BPVar 0, , , , ROWVar 0, , , , GARCH(1,1) 0, , , , GJR (1,1) 0, , , , FIGARCH (1,d,1) 0, , , , ITUB4 Estimação Média Desvio Padrão Assimetria Curtose BPVar 0, , , , ROWVar 0, , , , GARCH(1,1) 0, , , , GJR (1,1) 0, , , , FIGARCH (1,d,1) 0, , , , BBDC4 Estimação Média Desvio Padrão Assimetria Curtose BPVar 0, , , , ROWVar 0, , , , GARCH(1,1) 0, , , , GJR (1,1) 0, , , , FIGARCH (1,d,1) 0, , , , BBAS3 Estimação Média Desvio Padrão Assimetria Curtose BPVar 0, , , , ROWVar 0, , , , GARCH(1,1) 0, , , , GJR (1,1) 0, , , , FIGARCH (1,d,1) 0, , , ,

37 Tabela 3 cont. Estatísticas descritivas das estimações de volatilidade GGBR4 Estimação Média Desvio Padrão Assimetria Curtose BPVar 0, , , , ROWVar 0, , , , GARCH(1,1) 0, , , , GJR (1,1) 0, , , , FIGARCH (1,d,1) 0, , , , CSNA3 Estimação Média Desvio Padrão Assimetria Curtose BPVar 0, , , ,30648 ROWVar 0, , , ,92431 GARCH(1,1) 0, , , , GJR (1,1) 0, , , , FIGARCH (1,d,1) 0, , , , Notas: A amostra cobre o período de 01 de Novembro de 2007 a 30 de Março de A tabela acima se refere à distribuição das estimativas de volatilidade referentes aos respectivos modelos expostos. As estimações de volatilidade referentes aos estimadores BPVar e ROWVar foram calculadas com retornos intradiários de 05 minutos (79 observações diárias), enquanto as estimações de volatilidade referentes aos modelos de variância condicional, GARCH (1,1), GJR(1,1) e FIGARCH-CHUNG(1,d,1), foram calculados com dados diários. A coluna chamada Q(20) contém estatísticas do teste Ljung-Box para a vigésima autocorrelação dos retornos. 36

38 Tabela 4 Estatísticas descritivas do logaritmo das estimações de volatilidade PETR4 Estimação Média Desvio Padrão Assimetria Curtose Q(20) P-valor BPVar -4, , , , ,9 ROWVar -3, , , , ,5 GARCH(1,1) -3, , , , ,0 GJR (1,1) -3, , , , ,0 FIGARCH (1,d,1) -3, , , , ,0 VALE5 Estimação Média Desvio Padrão Assimetria Curtose Q(20) P-valor BPVar -4, , , , ,6 ROWVar -3, , , , ,2 GARCH(1,1) -3, , , , ,0 GJR (1,1) -3, , , , ,0 FIGARCH (1,d,1) -3, , , , ,0 ITUB4 Estimação Média Desvio Padrão Assimetria Curtose Q(20) P-valor BPVar -4, , , , ,5 ROWVar -3, , , , ,3 GARCH(1,1) -3, , , , ,0 GJR (1,1) -3, , , , ,0 FIGARCH (1,d,1) -3, , , , ,0 BBDC4 Estimação Média Desvio Padrão Assimetria Curtose Q(20) P-valor BPVar -4, , , , ,2 ROWVar -3, , , , ,4 GARCH(1,1) -3, , , , ,0 GJR (1,1) -3, , , , ,0 FIGARCH (1,d,1) -3, , , , ,0 BBAS3 Estimação Média Desvio Padrão Assimetria Curtose Q(20) P-valor BPVar -3, , , , ,2 ROWVar -3, , , , ,7 GARCH(1,1) -3, , , , ,0 GJR (1,1) -3, , , , ,0 FIGARCH (1,d,1) -3, , , , ,0 37

39 Tabela 4 cont. Estatísticas descritivas do logaritmo das estimações de volatilidade GGBR4 Estimação Média Desvio Padrão Assimetria Curtose Q(20) P-valor BPVar -3, , , , ,1 ROWVar -3, , , , ,5 GARCH(1,1) -3, , , , ,0 GJR (1,1) -3, , , , ,0 FIGARCH (1,d,1) -3, , , , ,0 CSNA3 Estimação Média Desvio Padrão Assimetria Curtose Q(20) P-valor BPVar -3, , , , ,5 ROWVar -3, , , , ,1 GARCH(1,1) -3, , , , ,0 GJR (1,1) -3, , , , ,0 FIGARCH (1,d,1) -3, , , , ,0 Notas: A amostra cobre o período de 01 de Novembro de 2007 a 30 de Março de A tabela acima se refere à distribuição do logaritmo das estimativas de volatilidade referentes aos diferentes. As estimações BPVar e ROWVar foram calculadas com retornos intradiários de 05 minutos (79 observações diárias), enquanto as estimações de volatilidade referentes aos modelos de variância condicional, GARCH (1,1), GJR(1,1) e FIGARCH-CHUNG(1,d,1), foram calculados com dados diários. A coluna chamada Q(20) contém estatísticas do teste Ljung-Box para a vigésima autocorrelação dos retornos. 38