MATEMÁTICA - 3o ciclo Posição relativa de retas e planos (9 o ano)

MTMÁT - 3o ciclo Posição relativa de retas e planos (9 o ano) xercícios de provas nacionais e testes intermédios 1. No transporte marítimo de gás, usam-se, frequentemente, navios com tanques esféricos. Na figura seguinte, à direita, está representado, em esquema, o casco de um desses navios. ste esquema é composto pelo paralelepípedo retângulo [ ] e pela pirâmide retangular irregular [], cujo vértice pertence ao plano que contém a face [] do paralelepípedo retângulo. Navio de transporte de gás dentifica, usando letras da figura anterior, uma reta perpendicular ao plano definido pelas retas e. Prova inal 3 o iclo 2018, Época especial Página 1 de 18

2. asa das istórias Paula Rego é um museu de arte localizado em ascais. Na figura ao lado, em baixo, representa-se, em esquema, uma das partes desse edifício. No esquema, estão representados o prisma reto de bases quadradas [ ] e o tronco de pirâmide [ KL], da pirâmide reta de base quadrada [ V ]. s faces [ ] e [KL], do tronco de pirâmide, são paralelas. V Relativamente ao esquema, admite que: = 9 cm, = 6 cm e KL = 3 cm; a altura da pirâmide [ V ] é 24 cm; a distância entre os planos [ ] e [KL] é 16 cm. K L Qual das seguintes retas é perpendicular ao plano que contém a face [KL]? () () () () L Prova inal 3 o iclo 2018, 2 a fase 3. Na figura seguinte, está representado o prisma reto [ST UV W XY Z], que é o esquema da secção inclinada de uma cama articulada. s bases do prisma são trapézios. Relativamente ao prisma, sabe-se que: [ST U V ] é um trapézio de bases [V S] e [U T ], retângulo no vértice V [SXW V ] é um quadrado cujos lados têm 15 cm de comprimento; UV = 7 cm. dentifica, usando letras da figura, a reta de intersecção do plano que contém a face [SXW V ] com o plano que contém a face [SXY T ]. U V W Z T S Y X Prova inal 3 o iclo 2018, 1 a fase Página 2 de 18

4. onsidera o prisma hexagonal regular KL representado na figura seguinte. Relativamente às retas e, qual das afirmações seguintes é verdadeira? () s retas não são complanares. () s retas são paralelas. L K () s retas são concorrentes perpendiculares. () s retas são concorrentes não perpendiculares. Prova inal 3 o iclo 2017, Época especial 5. Na figura ao lado, estão representados o cubo [ ] e a pirâmide [V ] Sabe-se que: o vértice V da pirâmide coincide com o centro do cubo; o volume do cubo é igual a 729 cm 3. m qual das opções seguintes está designada uma reta secante e não perpendicular ao plano que contém a face []? () () () () V Prova inal 3 o iclo 2017, 2 a fase 6. Na figura ao lado, está representado o cubo [ ] onsidera a afirmação seguinte. Quaisquer dois planos perpendiculares ao plano que contém a face [] do cubo são perpendiculares entre si. dentifica, recorrendo a letras da figura, dois planos que permitam mostrar que esta afirmação é falsa. Prova inal 3 o iclo 2017, 2 a fase Página 3 de 18

7. Qual das afirmações seguintes, relativas a quaisquer retas e planos do espaço, é falsa? () uas retas distintas paralelas a uma terceira são paralelas entre si. () ois planos distintos paralelos a um terceiro são paralelos entre si. () Por um ponto exterior a um plano passa um único plano paralelo ao primeiro. () Por um ponto exterior a um plano passa um único plano perpendicular ao primeiro. Prova inal 3 o iclo 2017, 1 a fase 8. Na figura ao lado, estão representados o prisma reto [ ] de bases quadradas [] e [ ] e as pirâmides triangulares [ ] e [ST R], cujas bases [ ] e [ST R] estão contidas em planos paralelos. Os vértices S, T e R da pirâmide [ST R] pertencem, respetivamente, às arestas [ ], [] e [] da pirâmide [ ] dentifica uma reta paralela ao plano que contém a base [ ] do prisma, recorrendo a letras da figura. S R T Prova inal 3 o iclo 2017, 1 a fase 9. onsidera, no espaço euclidiano, dois planos paralelos, α e β. onsidera, também, dois pontos, P e Q, pertencentes ao plano α. Qual é a posição da reta P Q relativamente ao plano β? Prova inal 3 o iclo 2016, Época especial 10. Na figura ao lado, estão representados um cilindro e um prisma quadrangular regular [ ] de bases [] e [ ], inscritas nas bases do cilindro. altura do cilindro é igual a 5,3 cm e o raio da sua base é igual a 3 cm. figura não está desenhada à escala. dentifica, recorrendo a letras da figura, uma reta paralela ao plano que contém a base [] do prisma. Prova inal 3 o iclo 2016, 2 a fase Página 4 de 18

11. Na figura ao lado, estão representados um prisma reto [ ], de bases quadradas, e um cilindro cujas bases estão inscritas nas bases do prisma. Sabe-se que: = 20 cm ; a diferença entre o volume do prisma e o volume do cilindro é igual a 3000 cm 3. figura não está desenhada à escala. dentifica, recorrendo a letras da figura, uma reta perpendicular ao plano que contém a base [] do prisma. Prova inal 3 o iclo 2016, 1 a fase 12. O centro geodésico de Portugal continental situa-se na Serra da Melriça, próximo de Vila de Rei. Nesse local, foi construído o marco geodésico que se pode observar na figura seguinte, à esquerda. Na figura da direita, está representado um modelo geométrico desse marco geodésico. O modelo não está desenhado à escala. O modelo do marco geodésico é um poliedro composto pelo tronco de pirâmide quadrangular regular [ ] e pela pirâmide quadrangular regular [ ] O ponto é o centro do quadrado [] Qual das retas seguintes é perpendicular ao plano? () () () () Prova inal 3 o iclo 2015, Época especial Página 5 de 18

13. figura seguinte, à esquerda, é uma fotografia da Sé atedral de Lisboa, um dos monumentos mais antigos de Portugal. figura seguinte, à direita, representa um modelo geométrico de parte dessa catedral. O modelo não está desenhado à escala. O modelo representado P Q na figura, à direita, é um sólido que pode ser O R decomposto nos prismas L K quadrangulares regulares [ ], [LKN M ] e [P QROT S] M N dentifica, usando letras da figura da direita, uma reta perpendicular ao plano S T Prova inal 3 o iclo 2015, 2 a fase 14. O queduto das Águas Livres é um sistema de abastecimento de água à cidade de Lisboa, construído no século XV. o longo do seu percurso, existem várias claraboias. figura ao lado, à esquerda, é uma fotografia de uma dessas claraboias. Na figura da direita, está representado um modelo geométrico dessa claraboia. O modelo representado na figura da direita é um sólido que pode ser decomposto no prisma quadrangular regular [ ], de base [], e na pirâmide quadrangular regular [ ]. O modelo não está desenhado à escala. Qual das seguintes retas é concorrente com o plano? () Reta () Reta () Reta () Reta Prova inal 3 o iclo 2014, 2 a chamada 15. Na figura ao lado, está representado um modelo geométrico de uma caixa. ste modelo é um sólido que pode ser decomposto em dois prismas retos: o paralelepípedo retângulo [ ] e o prisma cujas bases são os triângulos [] e [] dentifica, usando letras da figura, uma reta paralela ao plano que não esteja contida neste plano. Prova inal 3 o iclo 2014, 1 a chamada Página 6 de 18

16. Na figura seguinte, à esquerda, está representado um recipiente cilíndrico que se encheu com um líquido colorido. Nesse líquido, mergulhou-se um cubo cuja aresta é igual à altura do cilindro. Tal como figura da direita, sugere, o cubo ficou assente na base do recipiente. Qual é a posição do plano que contém a face superior do cubo em relação ao plano que contém a base do recipiente? 17. Na figura seguinte, está representado o prisma triangular reto [ ] Prova inal 3 o iclo 2013, 2 a chamada Sabe-se que: o triângulo [] é retângulo em =2 cm =6 cm o volume do prisma é 42 cm 3 dentifica, usando as letras da figura, uma reta que seja concorrente com a reta e que não contenha qualquer aresta do prisma. Prova inal 3 o iclo 2013, 1 a chamada 18. figura ao lado, à esquerda, é uma fotografia de uma calculadora. figura da direita, representa um modelo geométrico simplificado, em tamanho reduzido, dessa calculadora. O modelo não está desenhado à escala. L K O modelo representado na figura anterior, à direita, é um sólido que pode ser decomposto no paralelepípedo retângulo [ ] e no prisma triangular reto [KL]. Sabe-se que: o ponto pertence ao segmento de reta [ ] o ponto pertence ao segmento de reta [K] Qual das seguintes afirmações é verdadeira? () reta K é paralela ao plano () reta é paralela ao plano K () reta K é perpendicular ao plano () reta é perpendicular ao plano K Teste ntermédio 9 o ano 12.04.2013 Página 7 de 18

19. figura seguinte representa um modelo geométrico de uma rampa de skate. O modelo não está desenhado à escala. ste modelo é um sólido que pode ser decomposto no cubo [ ] e nos prismas triangulares retos [ ] e [KL], geometricamente iguais. s bases dos prismas são triângulos retângulos. Sabe-se ainda que: = 5 m Ĥ = 32 dentifica, usando as letras da figura, a interseção dos planos e K L Prova inal 3 o iclo - 2012, 2 a chamada 20. figura seguinte, à esquerda, é uma fotografia de um barco rabelo, atualmente usado para transportar turistas na travessia do rio ouro. figura da direita representa um modelo geométrico, em tamanho reduzido, da parte coberta desse barco. O modelo representado na figura da direita é um sólido que pode ser decomposto no cubo [KLM N] e no paralelepípedo retângulo [ ]. O modelo não está desenhado à escala. Sabe-se ainda que: L K M N o ponto pertence ao segmento de reta [L] e = 1 3 L = 2 o volume total do sólido é 25 cm 3 ndica, usando as letras da figura da direita, uma reta que passe no ponto e seja perpendicular ao plano Prova inal 3 o iclo 2012, 1 a chamada Página 8 de 18

21. Na figura ao lado, à esquerda, está representado um recipiente com tinta. Nesse recipiente mergulhou-se um cubo branco, tal como se ilustra na figura da direita. esta forma, a parte do cubo que ficou submersa adquiriu a cor da tinta. m qual das opções seguintes pode estar uma planificação desse cubo depois de retirado do recipiente? () Planificação () Planificação () Planificação () Planificação Prova inal 3 o iclo 2012, 1 a chamada 22. Na figura ao lado, está representada uma planificação de um cubo. No cubo que se pode construir com esta planificação, considera o triângulo [] Qual é a amplitude do ângulo desse triângulo? ustifica a tua resposta. Teste ntermédio 8 o ano 29.2.2012 Página 9 de 18

23. Na figura ao lado, está representado o sólido [], que se pode decompor num prisma reto de bases quadradas e num prisma triangular reto. Uma das faces laterais do prisma triangular coincide com uma das bases do prisma quadrangular. ste sólido não está desenhado à escala. Qual dos seguintes planos é concorrente, não perpendicular, com o plano? () () () () 24. Na figura ao lado, está representado o prisma triangular [ ] Prova inal 3 o iclo 2011, Época especial Sabe-se que: o quadrilátero [] é um quadrado; o triângulo [] é retângulo em 24.1. Usa as letras da figura para identificares duas retas que sejam concorrentes não perpendiculares. 24.2. Qual das opções seguintes apresenta uma planificação reduzida do prisma [ ]? () Planificação () Planificação () Planificação () Planificação xame Nacional 3 o iclo - 2011, 2 a chamada Página 10 de 18

25. Na figura ao lado, estão representados um paralelepípedo [ ] e uma pirâmide [P ], sendo P um ponto de [] Qual das afirmações seguintes é verdadeira? () s retas P e são concorrentes () s retas P e são não complanares () s retas e são concorrentes () s retas e são não complanares P xame Nacional 3 o iclo - 2011, 1 a chamada 26. Na figura ao lado, à esquerda, podes observar um comedouro de um camelo. figura da direita representa um modelo geométrico desse comedouro. ste modelo não está desenhado à escala. Relativamente à figura da direita, sabe-se que: [] é uma pirâmide reta de base retangular; [ ] é um tronco de pirâmide de bases retangulares e paralelas. 48 30 40 25 Qual é a posição da reta relativamente ao plano? () oncorrente perpendicular () stritamente paralela () oncorrente oblíqua () ontida no plano Prova inal 3 o iclo 2010, 2 a chamada Página 11 de 18

27. figura ao lado, à esquerda, é uma fotografia de uma caixa de chocolates que o Manuel fez para vender num arraial. figura da direita representa um modelo geométrico dessa caixa. Relativamente à figura da direita, sabe-se que: [ ] é um prisma quadrangular regular [ ] é uma pirâmide quadrangular regular, de altura Qual é a posição da reta relativamente ao plano? () oncorrente perpendicular () oncorrente oblíqua () stritamente paralela () ontida no plano Prova inal 3 o iclo 2010, 1 a chamada 28. família oelho vai mandar fazer floreiras em cimento. figura 2 é um esquema dessas floreiras: a região mais clara é a parte de cimento, e a mais escura é a cavidade que vai ficar com terra, para as flores. M L P N O K O modelo geométrico das floreiras tem a forma de um cubo com 50 cm de aresta. cavidade que vai ficar com a terra tem a forma de um prisma quadrangular reto, com a mesma altura da floreira e 40 cm de aresta da base. Utilizando as letras da figura, identifica uma reta perpendicular ao plano que contém a base da floreira. 50 40 m m Prova inal 3 o iclo 2009, 2 a chamada Página 12 de 18

29. figura seguinte, à esquerda, é a imagem de um monumento situado no centro de uma cidade. Todos os blocos desse monumento resultam de um corte de um prisma quadrangular reto. figura da direita representa o modelo geométrico de um dos blocos do mesmo monumento. m relação à figura da direita, qual das seguintes afirmações é verdadeira? () reta é paralela ao plano que contém a face [] () reta é perpendicular ao plano que contém a face [] () reta é paralela ao plano que contém a face [] () reta é perpendicular ao plano que contém a face [] xame Nacional 3 o iclo - 2009, 1 a chamada 30. No jardim do clube desportivo Os Medalhados, existem duas balizas como a representada na figura seguinte, à esquerda. figura anterior, à direita, representa um esquema da baliza da figura da esquerda. Os triângulos [] e [ ] são retângulos em e em, respetivamente. [ ] é um retângulo. Nota: a figura da direita não está desenhada à escala. Qual é a posição relativa entre o poste da baliza representada na figura da direita pelo segmento [] e o plano que contém a parte lateral representada na figura da direita pelo triângulo [ ]? () oncorrente oblíqua. () oncorrente perpendicular. () stritamente paralela. () ontida no plano. Teste ntermédio 9 o ano 09.02.2009 Página 13 de 18

31. Na figura ao lado, em cima, podes observar uma rampa de pedra, cujo modelo geométrico é um prisma em que as faces laterais são retângulos e as bases são triângulos retângulos; esse prisma encontra-se representado na figura de baixo. m relação à figura de baixo, qual das seguintes afirmações é verdadeira? () O plano que contém a face [] é perpendicular ao plano que contém a face [ ]. () O plano que contém a face [] é paralelo ao plano que contém a face [ ]. () O plano que contém a face [] é oblíquo ao plano que contém a face [ ]. () O plano que contém a face [] é coincidente com o plano que contém a face [ ]. β xame Nacional 3 o iclo - 2008, 2 a chamada 32. Na figura seguinte, à esquerda, podes observar um pacote de pipocas cujo modelo geométrico é um tronco de pirâmide, de bases quadradas e paralelas, representado a sombreado na figura da direita. pirâmide de base [] e vértice, da figura da direita, é quadrangular regular. m relação à figura da direita, qual das seguintes afirmações é verdadeira? () reta é paralela ao plano que contém a face [ ] () reta é oblíqua ao plano que contém a face [ ] () reta é perpendicular ao plano que contém a face [ ] () reta é concorrente com o plano que contém a face [ ] 15 cm 5 cm xame Nacional 3 o iclo - 2008, 1 a chamada Página 14 de 18

33. Na praia do parque de campismo existem barracas como as da fotografia ao lado. K o lado da fotografia está um esquema da estrutura de uma dessas barracas. 1,7 m 1,2 m 1,2 m No esquema: [ ] é um prisma quadrangular regular; [ ] é uma pirâmide quadrangular regular; [K] é a altura da pirâmide [ ] [] é a altura do triângulo [ ] s medidas de comprimento indicadas estão expressas em metro (m). Qual das seguintes retas é paralela ao plano? () () () () Teste ntermédio 9 o ano 07.05.2008 34. família osta costuma juntar-se para tomar o pequeno-almoço. Na figura ao lado, está representado um dos pacotes de leite que a família utilizou esta manhã. ste pacote tem a forma de um paralelepípedo retângulo. Qual é a posição relativa da base do pacote de leite e de uma das suas faces laterais? () Paralelas, mas não coincidentes. () oncorrentes, mas não perpendiculares. () oincidentes. () Perpendiculares. Teste ntermédio 8 o ano 30.04.2008 35. Na figura ao lado, podes ver um cubo e, sombreada a cinzento, uma pirâmide quadrangular regular. base da pirâmide coincide com a face [] do cubo. O vértice P da pirâmide pertence à face [ ] do cubo. Utilizando as letras da figura, indica uma reta que seja complanar com a reta [] e perpendicular a esta reta. P xame Nacional 3 o iclo - 2007, 1 a chamada Página 15 de 18

36. Na figura, está representado um esquema da piscina da casa do Roberto, esquema que não está desenhado à escala. No esquema: as medidas estão expressas em metros; [ ] é um paralelepípedo retângulo; [KL] é uma rampa retangular que se inicia a 0,6 m de profundidade da piscina e termina na sua zona mais funda. 0,6 L 20 K 10 10 2 Utilizando as letras da figura, indica dois planos concorrentes. xame Nacional 3 o iclo - 2006, 2 a hamada 37. m cada uma das seis faces de um dado equilibrado, com a forma de um cubo, desenhou-se um símbolo diferente. Numa das faces, está desenhado o símbolo. Nas figuras ao lado, podes observar o mesmo dado em duas posições distintas. Qual das quatro planificações seguintes é uma planificação desse dado? () Planificação () Planificação () Planificação () Planificação xame Nacional 3 o iclo 2005, 2 a hamada Página 16 de 18

38. Uma tenda de circo (figura ao lado, à esquerda) está montada sobre uma armação. K figura ao lado, à direita, representa uma parte dessa armação. Os pontos,, e são alguns dos vértices de um polígono regular, contido no plano do chão da tenda. Os ferros representados pelos segmentos de reta [], [ ], [] e [] têm todos o mesmo comprimento e estão colocados perpendicularmente ao chão. O mastro representado pelo segmento de reta [] também está colocado perpendicularmente ao chão. O ponto K pertence a esse segmento de reta. Utilizando as letras da figura da direita, indica: 38.1. uma reta paralela ao plano. 38.2. um plano não perpendicular ao chão. xame Nacional 3 o iclo 2005, 1 a hamada 3 39. Na figura ao lado encontrar-se a planificação de um dado de jogar, cujas faces têm uma numeração especial. 2 0 2 Qual é o número que se encontra na face oposta ao do 0 (zero)? 3 1 Prova de ferição 2004 Página 17 de 18

40. Teresa e a arla compraram uma tenda de campismo. tenda tem a forma de um prisma triangular, cuja base é um triângulo equilátero. Nas instruções de montagem vinha o esquema representado a seguir. Para montar esta tenda são precisos os 7 ferros que estão assinalados com as letras de a a g, no esquema de montagem. d e f g ndica dois ferros que, depois da tenda montada, fiquem: 40.1. Paralelos 40.2. Perpendiculares c b 1,8 m a 2,3 m Prova de ferição 2003 41. o lado apresenta-se um esquema da casa timorense da figura. O 2,25 m P O chão da casa - [] - tem a forma de um retângulo e [ ] tem a forma de um prisma quadrangular reto. ndica, utilizando as letras da figura, um plano perpendicular ao plano que contém o chão da casa. 4,5 m 4,5 m 2,25 m 2,25 m Prova de ferição 2002 Página 18 de 18