Escalas Logarítmicas EDUCAFRO - Núcleo Kalunga derekpva@uspbr 2018
Denição de Logaritmo (Função Logarítmica e Exponencial) Seja x, y, b R, y > 0, b 0 e b > 1 log b y = x b x = y
Denição de Logaritmo (Função Logarítmica e Exponencial) Seja x, y, b R, y > 0, b 0 e b > 1 log b y = x b x = y Exemplo 1 Parte a Seja uma função exponencial do tipo y = b x y = 2 x
Denição de Logaritmo (Função Logarítmica e Exponencial) Seja x, y, b R, y > 0, b 0 e b > 1 log b y = x b x = y Exemplo 1 Parte a Seja uma função exponencial do tipo y = b x y = 2 x Exemplo 1 Parte b A função logarítmica equivalente, nesse caso da exponencial, é do tipo y = log b x y = log 2 x
A função exponencial tem alguns de seus valores expressos na tabela abaixo x y 0 1 1 2 2 4 3 8 10 1024 20 1048576 Tabela: Tabela dos valores da função exponencial y = 2 x
E a função logarítmica (inversa da exponcial anterior) tem alguns de seus valores expressos na tabela a seguir, como na tabela anterior x y 1 0 2 1 3 1,584 4 2 10 3,321 20 4,321 Tabela: Tabela dos valores da função logarítmica y = log 2 x
Representação das funções y = 2 x e y = log 2 x Figura: Representação gráca Em verde, y = 2 x e em vermelho, y = log 2 x
Prpriedades Operatórias Sejam log b a, log b c, c 0 e N R, vale as propriedades seguintes
Prpriedades Operatórias Sejam log b a, log b c, c 0 e N R, vale as propriedades seguintes Logaritmo do Produto log b (a c) = log b a + log b c
Prpriedades Operatórias Sejam log b a, log b c, c 0 e N R, vale as propriedades seguintes Logaritmo do Produto log b (a c) = log b a + log b c Logaritmo do Quociente ( a ) log b = log c b a log b c
Prpriedades Operatórias Sejam log b a, log b c, c 0 e N R, vale as propriedades seguintes Logaritmo do Produto log b (a c) = log b a + log b c Logaritmo do Quociente ( a ) log b = log c b a log b c Logaritmo da Potência log b a N = N log b a
Propriedades Operatórias Mudança de Base Seja log b n 0, temos log n x = log b m log b n
Propriedades Operatórias Mudança de Base Seja log b n 0, temos log n x = log b m log b n Exemplo a log ( a ) b c 3
Propriedades Operatórias Mudança de Base Seja log b n 0, temos log n x = log b m log b n Exemplo a log ( a ) b c 3 Exemplo b Dados log a m = 11 e log a n = 6, quanto vale a expressão log a (m 3 n 2 )?
Escalas Logarítmicas O que é uma escala logarítmica? Uma escala que utiliza do logaritmo de uma grandeza, ao invés da grandeza propriamente dita Temos muitos exemplos de modelos matemáticos que utilizam das escalas logarítmicas para previsões, manuntenções, observações de fenômenos naturais, sociais, econômicos e políticos
Exemplos de Escalas Logarítmicas Terremotos: A Escala Richter Também conhecida como escala de magnitude local, fora desenvolvida por Charles Francis Richter e Beno Gutenberg na intenção de quanticar a magnitude de um sismo A escala se baseia em logaritmo de base 10, bastante comum nas ciências em geral Sua equação é do tipo M L = 2 3 log E E 0 Onde, E é a quantidade de energia liberada em um determinado terremoto e E 0 = 7 10 3 kwh
Escala Richter Figura: Figura explicativa sobre a escala Richter
Exemplo: QUESTÃO 180 - ENEM 2016 (CADERNO AZUL) Em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na escala Richter causou um devastador tsunami no Japão, provocando um alerta na usina nuclear de Fukushima Em 2013, outro terremoto, de magnitude 7,0 na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste da China), deixando centenas de mortos e milhares de feridos A magnitude de um terremoto na escala Richter pode ser calculada por M L = 2 3 log E E 0 sendo E a energia, em kwh, liberada pelo terremoto e E 0 uma constante real positiva Considere que E 1 e E 2 representam as energias liberadas nos terremotos ocorridos no Japão e na China, respectivamente Qual a relação entre E 1 e E 2? (A) E 1 = E 2 + 2 (B) E 1 = 10 2 E 2 (C) E 1 = 10 3 E 2 (D) E 1 = 10 9 7 E 2 (E) E 1 = 9 7 E 2
Exemploe de Esacalas Logarítmicas ph (Potencial Hidrogeniônico) Utilizada em química, a escala de ph tem por nalidade especicar a acidez ou basicidade de uma solução aquosa O ph é o logaritmo na base 10 do inverso da respectiva concentração de H 3 O + (íon hidroxônio) Soluções com valores menores do que 7 são consideradas ácidas e soluções com valores maiores do que 7, são consideradas básicas Temos, então ph = log [ H +]
Exemploe de Esacalas Logarítmicas ph (Potencial Hidrogeniônico) Utilizada em química, a escala de ph tem por nalidade especicar a acidez ou basicidade de uma solução aquosa O ph é o logaritmo na base 10 do inverso da respectiva concentração de H 3 O + (íon hidroxônio) Soluções com valores menores do que 7 são consideradas ácidas e soluções com valores maiores do que 7, são consideradas básicas Temos, então ph = log [ H +] Exemplo O cérebro humano contém um líquido cuja a concentração de H 3 O + é 4, 8 10 8 mol/l (em média) Podemos calcular o ph desse líquido Dados log 2 0, 30 e log 3 0, 47
Escala do ph Figura: Escala de ph com escala de poh
Logaritmos Dados A partir de alguns logaritmos dados, podemos obter o valor aproximado de um grande número de logaritmos, usando as propriedades conhecidas
Logaritmos Dados A partir de alguns logaritmos dados, podemos obter o valor aproximado de um grande número de logaritmos, usando as propriedades conhecidas Dados log 2 0, 30 e log 3 0, 48 Exemplo a log 6 = log(2 3) = log 2 + log 3 = 0, 78
Logaritmos Dados A partir de alguns logaritmos dados, podemos obter o valor aproximado de um grande número de logaritmos, usando as propriedades conhecidas Dados log 2 0, 30 e log 3 0, 48 Exemplo a log 6 = log(2 3) = log 2 + log 3 = 0, 78 Exemplo b log 30 = log(3 10) = log 3 + log 10 = 1, 48
Logaritmos Dados A partir de alguns logaritmos dados, podemos obter o valor aproximado de um grande número de logaritmos, usando as propriedades conhecidas Dados log 2 0, 30 e log 3 0, 48 Exemplo a log 6 = log(2 3) = log 2 + log 3 = 0, 78 Exemplo b log 30 = log(3 10) = log 3 + log 10 = 1, 48 Exemplo c log 8 = log 2 3 = 3 log 2 = 0, 90
Logaritmos Dados Exemplo d log 3 = log 3 1 1 2 = log 3 = 0, 24 2
Logaritmos Dados Exemplo d log 3 = log 3 1 1 2 = log 3 = 0, 24 2 Exemplo e log 2 3 = log 3 = 1, 60 log 2
Logaritmos Dados Exemplo d log 3 = log 3 1 1 2 = log 3 = 0, 24 2 Exemplo e log 2 3 = log 3 = 1, 60 log 2 Vamos lá! Calculem agora! log 9 32 = x