CAPÍTULO 5 Volume 2 CÁLCULO DE VIGAS 1 1- Cargas nas vigas dos edifícios peso próprio : p p = 25A c, kn/m ( c A = área da seção transversal da viga em m 2 ) Exemplo: Seção retangular: 20x40cm: pp = 25x0,20x0,40 = 2kN/m alvenarias : p = γ th, kn/m ( γ a a a = peso específico da alvenaria, t = espessura ; H = altura da parede) - alvenaria de tijolos cerâmicos furados: γ a = 13 kn/m 3 ; - alvenaria de tijolos cerâmicos maciços: γ a = 18 kn/m 3. ações das lajes : Cálculo das reações conforme o capítulo de lajes. 2
ação de vigas : Nos casos de apoios indiretos, a viga principal recebe uma carga concentrada. ação de pilares : Quando um pilar se apoia em uma viga de transição. Observações: A rigor, as reações de apoio das lajes não são uniformes. A consideração de reações uniformes leva a uma solução contrária à segurança para as vigas de apoio. O esforço cortante e reações de apoio das vigas estarão corretos, mas os momentos fletores serão menores que os reais. É possível corrigir o problema, considerando reações de apoio triangulares e trapezoidais, ou outras formulações, mas isto pode complicar o cálculo da viga. Na prática de projeto, pode-se ignorar esse problema, desde que haja alguma folga no carregamento das vigas. Isto se consegue, por exemplo, desprezando as aberturas de portas e janelas (considerando que as paredes são fechadas até o teto). 3 2- Vãos teóricos O vão teórico (ou vão de cálculo), l, é a distância entre os centros dos apoios. Nas vigas em balanço: l = comprimento da extremidade livre até o centro do apoio. 4
3- Cálculo dos esforços l b o Pórtico plano X M 1 X e M 2 Cálculo simplificado como viga contínua M 1e M 2e 5 A NBR-6118 permite considerar as vigas dos edifícios como contínuas, sem ligações rígidas com os pilares. Entretanto, é necessário fazer um segundo cálculo engastando os apoios internos. a) Momentos positivos para dimensionamento das armaduras dos vãos: Vão 1: maior entre M 1 e M 1 e Vão 2: maior entre M 2 e M 2 e O momento negativo sobre o apoio é X. b) Se bo > 0, 25l, deve-se considerar o maior momento negativo, em valor absoluto, entre X e X e. 6
M eng l vig l sup l inf sup inf vig p Pórtico plano l vig r vig =4I vig /l vig 0,5l sup 0,5l inf I sup I inf I vig r sup =6I sup /l sup r inf =6I inf /l inf Modelo para cálculo do momento negativo na ligação com os pilares de extremidade l vig 7 c) Momento negativo nos apoios de extremidade: rinf + rsup M = M eng rvig + rinf + rsup M eng = momento de engastamento perfeito; r = α I l = coeficiente de rigidez, sendo I o momento de inércia da seção transversal e l o vão. No lugar desse cálculo, pode-se empregar a solução da Fig. YY (seguinte). 8
Fig. YY Armadura negativa nos apoios de extremidade (Alternativa de projeto conforme CEB e EC2) 9 4- Cálculo das armaduras das vigas A) Armaduras longitudinais μ = bd M 2 d σ cd = bd γ f 2 M ( α f ) c k cd α c = 0,85 se fck 50 MPa Armadura mínima: A A = A s s, min ρmin ρ min = taxa mínima de armadura (ver capítulo sobre flexão simples) c μ μ lim armadura simples ( A s ) μ > μ lim armadura dupla ( A s e A s ) Armadura máxima: A s + A s 4 100 A c 10
Escolha das barras: Tabela A3.2 Exemplo: As = 3, 5 cm 2 (área de aço calculada) Opção 1: 3 barras de 12,5mm ( 3φ 12,5) área existente = 3,68 cm 2. Opção 2: 2φ 10,0 + 1φ 16, 0 área existente = 1,57+2,01=3,58cm 2. B) Armaduras transversais estribo simples estribo duplo Ver capítulo sobre esforço cortante. Estribos simples: dois ramos. Estribos duplos: quatro ramos. A sw (cm 2 /m)= área da armadura obtida no dimensionamento. 11 Escolha estribos: A3.3 dos Tabela Exemplo: armadura calculada Asw = 2,60 cm 2 /m. Observação: Se a área da armadura calculada for muito grande, podem-se empregar estribos duplos (4 ramos). Basta multiplicar por 2 as áreas fornecidas na tabela A3.3. Opção 1: φ 5c. 15 (área existente= 2,62 cm 2 /m) Opção 2: φ 6,3c. 24 (área existente= de 2,60cm 2 /m) V 1 diagrama de esforços cortantes V 3 V 2 V=max(V 1,V 2 ) V=max(V 3,V 4 ) φ 5 c. 15 φ 5 c. 20 V 4 12
5- Escalonamento da armadura longitudinal V d1 + - V d2 a l1 a l2 M d a l1 a l2 diagrama deslocado Deslocamento do diagrama de momentos fletores 13 Para escalonar a armadura longitudinal das vigas, é necessário dar um deslocamento a l no diagrama de momentos fletores (ver capítulo sobre esforço cortante). Empregando estribos verticais: τ a wd l = d 0, 5d 2( τ wd τ c ) Simplificação usual: a l = d 14
Exemplo de escalonamento: a a c b b c X d /3 c' b' a' Para o momento positivo Para o momento negativo M d X d a' b' c' M d /3 : resultaram 3 barras de mesmo diâmetro. : resultaram 3 barras de mesmo diâmetro. A partir dos pontos a, b, c : ancoramos as barras da armadura superior (normalmente estão em zona de má aderência). A partir dos pontos a, b, c : ancoramos as barras da armadura inferior (estão em zona de boa aderência). 15 Cálculo de ancoragem. 0,3 A lb s, cal lb, nec = lb 10φ Ase 10cm (Ancoragem reta) l b : Ver capítulo sobre Ancoragem com gancho nos apoios de extremidade: As, cal lb, nec = 0,7 l b l b,min Ase R + 5,5φ ; lb,min ; 6cm A al Vd Vd s, cal = d f yd f yd Tabela A3.4: fornece l b e lbe = 0, 7 l b, para os aços CA-50 e para algumas classes de concreto. Tabela A3.5: fornece l b, min para barras de aço CA-50, além das características geométricas dos ganchos em ângulo reto. 16
17 ancoragem em apoio de extremidade >10φ a a b b c >10φ c >10φ c' >10φ b' b' c' a' a' >10φ >10φ >10φ (dentro do pilar interno) 18
6- Armadura mínima nos apoios >A s1 /3 >A s2 /3 A s1 A s2 >10φ >10φ Prolongar até os apoios pelo menos 1/3 da armadura longitudinal de tração existente no vão. 19 7- Disposições construtivas da NBR-6118 A) Largura mínima >12cm >12 >12 B) Cobrimento das armaduras Tabela 5.7.1 - Cobrimentos nominais para vigas Classe de agressividade I II III IV Cobrimento nominal (cm) 2,5 3,0 4,0 5,0 20
C) Espaçamento das barras e o φ e v 2cm eh φ ; 1,2d max 2cm ev φ 0,5d max e h φ = diâmetro das barras; d max = diâmetro máximo do agregado. 21 φ b si e h φ t c ( n ) e h bsi = nφ + 1 n = número de barras na mesma camada Tabela A3.6: de b si. valores b w =b si +2(c+φ t ) 22
Exemplo: Viga 12x40 bw=12 cm ; h=40 cm ; d= 36 cm Classe de agressividade ambiental I: cobrimento c=2,5 cm Estribos: φ t = 5mm bsi,dip=12-2(2,5+0,5)= 6 cm (largura disponível por dentro dos estribos) Dado Md, dimensina-se a armadura: As=3,0 cm 2 Solução 1: Tabela A3.2: 3 φ 12.5 (Ase= 3,68 cm2) Tabela A3.6: bsi = 8,3 cm > bsi,disp (não cabem em uma camada) Solução 2: Tabela A3.2: 2 φ 16 (Ase= 4,02 cm2) Tabela A3.6: bsi = 5,5 cm < bsi,disp (cabem em uma camada) OK! 23 Exemplo: mesmos dados anteriores Dado Md, dimensina-se a armadura: As=3,9 cm 2 Solução 1: Tabela A3.2: 4 φ 12.5 (Ase= 4,91 cm2) Tabela A3.6: bsi = 11,8 cm > bsi,disp (não cabem em uma camada) Conclusão: Ficou contrário à segurança, pois o dimensionamento foi feito com d=36cm. É necessário dimensionar novamente com d=34,75 cm e ver se a área Ase=4,91 cm2 é suficiente. Daqui para frente, deve-se trabalhar com d=34,75 cm (para dimensionamento ao cortante, cálculo de flecha, etc.). 24
Exemplo: mesmos dados anteriores Dado Md, dimensina-se a armadura: As=3,9 cm 2 Solução 2: Tabela A3.2: 2 φ 16 (Ase= 4,02 cm2) Tabela A3.6: bsi = 5,5 cm < bsi,disp (cabem em uma camada) Conclusão: Ficou a favor da segurança, pois o dimensionamento foi feito com d=36cm e a altura útil real é d=36,2 cm. 25 Determinação do centróide das armaduras d = n i= 1 n A i= 1 si A y si si 26
D) Armadura em várias camadas centróide - Se yo 0, 10h : é permitido considerar toda a armadura concentrada no centroide. y o Posição do centroide da armadura - Se yo > 0, 10h : não é permitido. h = altura da viga Se yo>0,10 h, as equações de dimensionamento desenvolvidas no primeiro bimestre não são válidas. Deve-se verificar a capacidade resistente da seção com a disposição correta das barras (PACON). 27 E) Armadura de pele h d L A sp N S Se h>60 cm: A sp =0,10% b w h em cada face lateral Não é necessário adotar uma armadura superior a 5 cm2/m. b w S menor que d/3 e 20cm F) Armadura construtiva φ>φ t A s φ t 28
G) Estribos >5φ t R >5φ t R >10φ t R Ganchos dos estribos Diâmetro dos estribos, φ t : Espaçamento máximo, s max : 5 mm φ t ; w bw 10 smax = 0,6d 30 cm, se τ wd 0, 67τ wu b = largura da viga. ; smax = 0,3d 20cm, se τ wd 0, 67τ wu d = altura útil da seção transversal. > ; Tabela A3.7: características geométricas dos estribos com ganchos retos nas extremidades. 29 8- Exemplo de cálculo 4 20 480 cm 20 40 36 15kN/m 5m 20 cm 4 concreto: fck = 20 MPa armadura longitudinal: CA-50 estribos: aço CA-60 30
V k + + - M k =46,88 knm V k =37,5 kn Esforços solicitantes de serviço A) Armadura longitudinal M k = 46,88kNm ; M d = 1,4M k = 65, 63 knm f 20 fcd = ck = 14 MPa ; σ cd = 0,85 fcd 12 1,4 1,4 f 50 σ cd = 1,2 kn/cm 2 ; yd = yk = = 43, 48 1,15 1,15 MPa f kn/cm 2 31 M 6563 μ = d = μ = bd 2 σ 20x36 2 cd x1,2 0,21 ; μ lim = 0, 2952 μ < μ lim armadura simples 1 1 2μ σ cd ξ = = 0,298 ; As = 0,8ξbd As = 4, 74 cm 2 0,8 f 0,15 A s, min = ρminbh = x20x40 = 1,20 cm 2 100 A >, adota-se A = 4, 74 cm 2 s A s,min s Tabela A3.2: 4 barras de 12,5mm (área = 4,91cm 2 ) Tabela A3.6: bsi, nec = 11, 8cm (necessário para colocar em uma camada) b si, disp = b w 2( c nom + φ t ) = 20 2(2,5 + 0,5) = 14 cm b si, disp > bsi, nec OK! Solução: 4φ 12, 5 yd 32
B) Cálculo dos estribos V k = 37,5 kn 52,50 τ = Vd wd = = 0,07 kn/cm 2 bwd 20x36 Vd = 1,4Vk = 52,5 kn τ wd = 0,7 MPa τ wu = 0,27α v fcd = 3,5 MPa ; τ wd < τ wu OK! τ ( ) 2 3 0,09( 20) 2 3 c = 0,09 ψ3 fck = = 0, 66 MPa τ d = 1,11( τ wd τ c ) = 1,11( 0,7 0,66) = 0, 044 MPa τ 0,044 = 100 d Asw bw = 100x20x = 0,20 cm 2 /m f yd 435 Asw, min = ρw,min 100 bw = 0,09x20 = 1,8 c ρ w, min = 0,09% m 2 /m Como A sw < A sw, min, deve-se adotar Asw =1, 8 cm 2 /m. 33 Área de estribos: A =1, 8 cm 2 /m. sw Tabela A3.3: estribos de 5 mm espaçados a cada 21 cm. Espaçamento máximo: = 0,6d 30 s max = 22 cm. smax cm, pois τ wd 0, 67τ wu 23φ c Solução: 5. 21cm. 34
C) Ancoragem nos apoios C1) Admitindo que as 4 barras de 12,5mm chegam aos apoios Ase = 4,91 cm 2 (Armadura existente) Tabela A3.4: l b = 55 cm (zona de boa aderência) 52,50, = Vd s cal = = 1,21 f yd 43,48 A cm 2 Ancoragem reta: As, cal 1,21 lb, nec = l b = 55x = 13,6 Ase 4,91 0,3l b = 16,5 cm lb, min 10φ = 12,5 cm l b,min = 16,5 cm 10 cm Logo, deve-se adotar o comprimento mínimo de 16,5 cm. cm Espaço disponível = largura do pilar cobrimento = 20 2,5 = 17,5 cm. Logo, é possível fazer ancoragem reta. Pode-se adotar 17,5cm. 35 C2) Admitindo que apenas 2 barras de 12,5mm chegam aos apoios Ase = 2,45 cm 2 A s, cal = 1,21 cm 2 (Armadura existente) As, cal 1,21 lb, nec l b = Ase 2,45 lb, nec > l b,min = 16, Ancoragem reta: = = 55x 27, 2 cm Como 5cm, deve-se adotar o valor calculado. Porém, não há espaço disponível. Ancoragem com As, cal 1,21 lb, nec lb = Ase 2,45 gancho: = 0,7 = 0,7x55x 19 cm Também não é possível, pois o comprimento disponível é de 17,5cm. 36
C3) Admitindo que 3 barras de 12,5mm chegam aos apoios Ase = 3,68cm 2 As, cal = 1,21cm 2 (Armadura existente) Ancoragem com As, cal 1,21 gancho: l = 0,7 = 0,7x55x 12, 7 cm lb,min R + 5,5φ 6cm b, nec l b = Ase 3,68 lb, min = pode ser obtido na tabela A3.5: 10 cm. Logo, deve-se adotar 12,7cm (menor que o comprimento disponível). Solução: adotar o comprimento disponível de 17,5cm. Obs: a barra que foi cortada deve ser ancorada a partir do diagrama de momentos fletores deslocado de a l d = 36 cm. 37 D) Ancoragem da barra que será cortada l As, cal 4,74 = lb = 55x A 4,91 b, nec = se 53 cm x 1 =125 x 2 =375 cm 250 al=36 al=36 a =53 b 10φ=13 L=250+2(36+13)=348cm 38
E) Armadura negativa nos apoios de extremidade Empregando a alternativa indicada na Fig. YY A s =4,74 cm 2 (calculada para M d =65,63 knm) A s,min =1,20 cm 2 (armadura mínima) Adotar o maior: 0,25A s =1,19 cm 2 ; 0,67A s,min =0,80cm 2 Solução: 2 φ 10 (A s =1,57 cm 2 ) Tabela A3.4: l b =63 cm (má aderência) 0,15l+h=115 cm; l b +h=103 cm; Logo: a=115cm Armadura construtiva 39 F) Desenho de armação da viga Viga V1-20x40 2φ6,3-260 2φ10-145 2φ10-145 15 132 132 15 40 23φ5 c.21 20 480 20 1φ12,5-348 35 20 7 7 15 3φ12,5-539 15 515 15 23φ5 - L=110cm 40
9- Exemplo: Viga contínua p k =20 kn/m 50 5m 5m 20 cm Carregamento de serviço e seção transversal Concreto: f = 20 MPa ck Armadura longitudinal: CA-50 ; Estribos: CA-60 41 A) Esforços solicitantes 62,5 3,75 m - DMF (knm) + 1,25 m + 35,15 1,88 m 35,15 37,5 + - 62,5 + DEC (kn) - 37,5 62,5 Reações (kn) 37,5 125 37,5 42
B.1) Armadura longitudinal nos vãos 20 fcd = 14 MPa 1,4 cd = 0,85 fcd = 1,2 50 yd = = 43,48 1,15 lim = 0,2952 σ kn/cm 2 f kn/cm 2 h=50 μ b=20 d'=4 d=46 M k = 35,15 knm M d = 1,4x35,15 = 49, 21 M 4921 = d μ < μ μ = = 0,097 lim bd 2 σ 20x46 2 cd x1,2 ξ = 0,128 ; A s = 2, 6 cm 2 ; A s, min = 1, 5 cm 2 ; s = 2, 6 Solução: 3 φ 12,5 A s = 3, 68 cm 2 knm Armadura simples A cm 2 43 B.1) Armadura longitudinal no apoio interno M d = 1,4x62,5 = 87,5 knm ; s = 4, 83 Solução: 4 φ 12,5 A = 4, 91 cm 2 C) Estribos s A cm 2 Vd V k = 62,5 kn ; V d = 1,4x62,5 = 87, 5 kn ; τ wd = = 0, 095kN/cm 2 b d τ = 0,95MPa ; = 3, 5 wd τ wu MPa ; wd wu w τ τ OK! τ = 0,66 MPa ; τ = 0, 32 MPa ; A = 1, 47 cm 2 /m c d A 1,8 cm 2 /m ; Logo: A = 1, 8 cm 2 /m sw, min = sw sw Solução: φ 5c. 21cm 44
D) Ancoragem 2φ12,5 2φ6,3 2φ6,3 2φ12,5 1φ12,5 1φ12,5 2φ12,5 2φ12,5 Regra para o escalonamento: preliminar 45 D.1) Armadura positiva x 1 x 2 2M/3 B' B' a l B M=35,15kNm A lb,nec 10φ Seções onde o momento fletor é knm: 2 M 3 = 23,43 20x 2 37,5x = 23,43 2 x = 1 0,79m x2 = 2,96m x 20kN/m Não compensa escalonar a barra em direção ao apoio de extremidade. 37,5 46
Ancoragem da armadura positiva no vão Zona de boa aderência; barra nervurada: f ( ) 2 3 0,42( 14) 2 3 bd = 0,42 fcd = = 2, 44 MPa ; φ f yd 1,25 434,8 lb = = = 55cm 4 fbd 4 2,44 A s, cal = 2,6 cm 2 (obtida do dimensionamento para M k = 35, 15 Ase = 3,68 cm 2 (área adotada: 3φ 12, 5 ) As, cal 2,6 lb, nec = lb = 55x = 39cm (Ancoragem reta) A se 3,68 0,3l b = 0,3x55 = 16,5cm lb, min 10φ = 12,5cm l b,min = 16, 5 cm 10cm Como l b, nec > l b, min, adota-se lb, nec = 39 cm. knm) 47 Ancoragem da armadura positiva no apoio de extremidade V k = 37,5 kn (cortante no apoio) ; Vd = 52, 5 kn A 52,5, = al Vd Vd s cal = = 1,21 d f yd f yd 43,.48 cm 2 Ase = 3,68 cm 2 (armadura que chega ao apoio: 3φ 12, 5 ) Ancoragem com gancho A s, cal 1,21 lb, nec = 0,7lb = 0,7x55x = 13cm A se 3,68 R + 5,5φ = 8φ = 10 cm l b,min l 6cm Como l b, nec > l b, min, deve-se adotar lb, nec = 13 cm ; b, min = 10 cm cm. 48
l b,disp =17 cm 17 P1 P2 P3 20 480 cm 20 480 cm 20 Solução: ancoragem com gancho, adotando o l b, disp para facilitar a concretagem. 49 375 cm 296 cm P1 1φ12,5 P2 108 cm =39 cm A 2φ12,5 a l B 10φ a l =46 cm 10φ dentro do pilar interno Ancoragem em apoio de extremidade 50
1φ ) Barra mais curta ( 12, 5 Marcando lb, nec = 39 cm a partir do ponto A: não ultrapassa o ponto B em 10 φ =13cm prolongar 13 cm além do ponto B. L = 296 + 46 + 13 355cm L = L 10 1 = (até o centro do pilar P1) 2 1 = 345cm (até a face do pilar P1) 2φ ) l cm a partir do ponto B: não penetram 10 φ = 13 Barras mais longas ( 12, 5 Marcando b, nec = 39 pilar interno P2 introduzir 13 cm dentro do pilar P2. L2 = 480 + 13 = 493cm (até a face do pilar P1) cm no 51 P1 15 15 17 345 cm 1φ12,5-374 362 cm 493 cm 2φ12,5-522 510 cm P2 Armaduras positivas 52
D.2) Armadura negativa Zona de má aderência; barra nervurada: f ( ) 2 3 0,7 0,42( 14) 2 3 bd = 0,7x0,42 fcd = x = 1, 71MPa φ f yd 1,25 434,8 l b = = = 79 cm 4 f bd 4 1,71 A s, cal = 4,83 cm 2 (obtida do dimensionamento para M k = 62, 5 Ase = 4,91cm 2 (área adotada: 4φ 12, 5 ) As, cal 4,83 lb, nec = lb = 79x = 78 A se 4,91 cm (Ancoragem reta) knm) 0,3lb = 0,3x79 = 23,7 cm lb, min 10φ = 12,5cm lb,min = 23, 7 10cm Como l b, nec > l b, min, adota-se lb, nec = 78 cm. cm 53 2φ12,5-374 2φ12,5-248 A A' =78 10φ 10φ=13 B 63 63 B' M/2 10φ a l =46 a l 10φ M/2 C 125 cm 125 cm C' Diagrama linearizado: simplificação a favor da segurança 54
Viga V2-20x50 2φ8-335 2φ12,5-374 187 2φ8-335 10 2φ12,5-248 10 124 50 P1 23φ5 c. 21 P2 23φ5 c. 21 P3 20 480 20 480 20 20 7 7 15 15 1φ12,5-374 1φ12,5-374 15 45 362 362 2φ12,5-522 15 15 2φ12,5-522 510 46φ5 - L=130cm 510 Armação com escalonamento segundo a NBR-6118 55 10- Processo simplificado para escalonamento a a b b ancoragem em apoio de extremidade c' b' b' d c d' c' c d >10φ (dentro do pilar interno) a' a' 56
Viga V2-20x50 2φ8-275 2φ12,5-498 249 2φ8-275 10 2φ12,5-374 10 187 50 P1 23φ5 c. 21 P2 23φ5 c. 21 P3 20 480 20 480 20 20 7 7 15 1φ12,5-400 1φ12,5-400 388 388 15 45 15 2φ12,5-522 510 2φ12,5-522 510 15 15 46φ5 - L=130cm Armação com processo simplificado de escalonamento 57 Tabela 1 Consumo de armadura longitudinal Escalonamento NBR-6118 Escalonamento simplificado Diâmetro L (m) Massa (kg) L (m) Massa (kg) 8 13,4 5,3 11,0 4,3 12,5 40,8 39,3 46,3 44,6 44,6 (a) 48,9 (b) Relação: b/a = 1,10 O processo simplificado resulta em um consumo adicional de até 10% na armadura longitudinal. Entretanto, esse processo é mais prático para o cálculo manual. 58