Subvariedades Lagrangianas e a equação de Hamilton-Jacobi

Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Dissertação de Mestrado Subvariedades Lagrangianas e a equação de Hamilton-Jacobi por Justino Muniz Júnior Orientador: Mário Jorge Dias Carneiro 29

Subvariedades Lagrangianas e a equação de Hamilton-Jacobi Este exemplar corresponde à redação final da dissertação defendida por Justino Muniz Júnior. Belo Horizonte, 16 de fevereiro de 29. Prof. Mário Jorge Dias Carneiro. Orientador Banca examinadora: Prof. Mário Jorge Dias Carneiro Prof. José Antônio Gonçalves Miranda Prof. Alberto Berly Sarmiento Vera Prof. Carlos Maria Carballo Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Exatas, ICEX, como requisito para obtenção do título de MESTRE EM MATEMÁTICA. 2

O homem vive de razão e sobrevive de sonhos. Miguel de Unamuno 3

Agradecimentos Primeiramente a Deus. Meus pais Justino e Carolina pelo apoio incondicional. Meus pais reservas Magela e Izabel por me acolherem sempre. Minhas irmãs e sobrinhos pela vibração. Júnior pelo incentivo. Minha prenda Ana Gabriela e toda sua família pela torcida. Família Cosa Nostra pela cumplicidade. Pelo lado acadêmico, ainda na graduação, a todos da UFOP, em especial os professores Antônio, Gonzalo, Adilson, João e Paulo. Este último que me apontou o difícil caminho a ser trilhado. Na transição, ao professor Gastão por toda confiaça e credibilidade depositadas. Já no mestrado a todos os amigos da pós-graduação pela boa vontade, especialmente o Alexandre. No que diz respeito à elaboração e conclusão deste trabalho agradeço à banca examinadora pelas correções e sugestões apresentadas, não esquecendo que nesta esteve presente meu orientador, o professor Mário Jorge, um matemático de excelência a quem tenho muita admiração. Finalizando agradeço ao suporte financeiro da Capes que, certamente, foi indispensável e a todos que não mencionei, mas que tiveram importante papel nesta tão esperada conquista. Obrigado a todos! 4

Sumário Introdução 6 1 Definições e Resultados Básicos 8 1.1 Lagrangianos................................... 8 1.1.1 O Campo de Euler-Lagrange e seu Fluxo................ 13 1.2 Hamiltonianos................................... 14 1.2.1 Subvariedades Lagrangianas....................... 19 1.2.2 A equação de Hamilton-Jacobi...................... 22 2 Teorema de Tonelli 23 2.1 Existência de Minimizantes de Tonelli...................... 23 2.2 Regularidade das Minimizantes de Tonelli................... 27 3 Ação Potencial e Valor Crítico de Mañé 29 3.1 Propriedades do Valor Crítico.......................... 3 3.2 Minimizantes Globais............................... 35 3.3 Barreira de Peierls................................ 41 4 Subvariedades Lagrangianas e Subsoluções de Hamilton-Jacobi 46 4.1 Gráficos Lagrangianos.............................. 46 4.2 Subsoluções de Hamilton-Jacobi......................... 5 4.3 O Teorema: Existência de Gráficos Lagrangianos Exatos........... 52 4.4 Subsoluções Críticas de Hamilton-Jacobi.................... 58 Referências Bibliográficas 6 5

Introdução A Dinâmica Lagrangiana descreve o movimento em um sistema mecânico e é dada por uma variedade M e uma função L (Lagrangiano) em seu fibrado tangente T M. A Mecânica Newtoniana está aí contida. Já a Hamiltoniana é dada por uma variedade N de dimensão par, uma estrutura simplética ω (uma 2-forma fechada não-degenerada) e uma função H (Hamiltoniano) definida na variedade simplética (N, ω). Se L for superlinear e convexo nas fibras, então a Dinâmica Lagrangiana relaciona-se com a Hamiltoniana no seguinte sentido: a variedade N em questão é o fibrado cotangente T M de M e a Transformada de Legendre L do Lagrangiano L é um difeomorfismo global de T M em T M. O presente trabalho se propõe a estudar Subvariedades Lagrangianas. Estas são subvariedades de T M invariantes pelo Fluxo Hamiltoniano φ H t, cuja dimensão n é a metade da dimensão de T M. Faremos também um pequeno estudo da equação de Hamilton-Jacobi no caso autônomo, cujas soluções regulares definem Subvariedades Lagrangianas especiais (Gráficos Lagrangianos). O exemplo mais famoso de Subvariedade Lagrangiana é o gráfico. Em particular, no caso em que M = T n, o toro de dimensão n, os toros invariantes do tipo KAM são Gráficos Lagrangianos. Trataremos também a equação de Hamilton-Jacobi, cujo desenvolvimento detalhado nos foge o objetivo. Para um estudo aprofundado consulte [5, capítulo 9]. A equação de Hamilton-Jacobi é considerada a peça central da mecânica analítica, que é responsável pelo grande desenvolvimento de fundamentos matemáticos da mecânica quântica como também na análise em variedades. A teoria de Hamilton-Jacobi é baseada não apenas nos trabalhos de Hamilton e Jacobi, como de seus precursores: Fermat, Newton, Huygens, Johann Bernoulli, Euler, Lagrange, Legendre, Monge, Plaff, Poisson, etc.. As contribuições de Lie, Poincaré e E. Cartan tiveram grande influência em seu entendimento atual. Apresentaremos aqui um esboço do que será trabalhado em cada capítulo. No capítulo 1 daremos suporte preliminar aos demais capítulos. Desenvolveremos aspectos centrais no estudo Lagrangiano e Hamiltoniano via equação de Euler-Lagrange (usada na solução de 6

problemas de otimização, cujo objetivo é minimizar ou maximizar um certo funcional) usando o cálculo das variações. Devido à importância do Teorema de Tonelli reservamos o capítulo 2 para sua demonstração. O capítulo 3 se refere ao estudo de curvas especiais (minimizantes globais), cuja existência é caracterizada pelo Valor Crítico de Mañé c (L). Definiremos a Barreira de Peierls, uma aplicação que caracteriza o conjunto de Aubry projetado (ou conjunto de Peierls). No último capítulo trabalharemos algumas propriedades de Gráficos Lagrangianos. Nosso resultado principal será um teorema que relaciona a existência de tais subvariedades com o valor crítico c (L), cuja versão original pode ser encontrada em [6]. Este está diretamente ligado à existência de subsoluções regulares da equação de Hamilton-Jacobi. Finalizaremos com alguns resultados recentes sobre a existência de tais subsoluções. 7

Capítulo 1 Definições e Resultados Básicos Como o próprio título sugere este capítulo destina-se a fornecer suporte aos desenvolvimentos posteriores. Abordaremos aqui a Dinâmica Lagrangiana e Hamiltoniana em sua essência. 1.1 Lagrangianos Sejam M uma variedade C sem bordo, T M seu fibrado tangente e π : T M M, (x, v) x, a projeção canônica tal que π 1 (x) = T x M para todo x M. Um Lagrangiano de M é uma função contínua L : T M R. Uma curva γ : [, T ] M é dita absolutamente contínua se, dado ɛ > existe δ > tal que para cada família {(a i, b i ), i = 1,..., N} de subintervalos de [, T ] disjuntos dois a dois satisfazendo N i=1 (b i a i ) < δ tivermos que N i=1 d M (γ (b i ), γ (a i )) < ɛ. Apesar de vários resultados tratados serem válidos para situações mais gerais, faremos algumas restrições. Nossas hipóteses serão: 1. M compacta; 2. L de classe C r, r 2; 3. L estritamente convexo nas fibras, ou seja, para cada x M e todos v, w T x M tem-se L (x, tv + (1 t) w) < tl (x, v) + (1 t) L (x, w), t (, 1) ; 4. L superlinear, isto é, dado A > existe B > tal que L (x, v) A v B (x, v) T M. 8

9 Capítulo 1. Definições e Resultados Básicos Um Lagrangiano L satisfazendo as hipóteses 2, 3 e 4 é dito Lagrangiano de Tonelli. Definição 1.1. Se L é um Lagrangiano de M e γ : [, T ] M é uma curva absolutamente contínua, definimos a ação A L (γ) de γ para L por A L (γ) = L (γ (t), γ (t)) dt. Dada uma classe C de curvas absolutamente contínuas em M, dizemos que γ é uma minimizante para a classe C se A L (γ) A L (δ) para toda δ C. Definição 1.2. Se γ : [, T ] M é uma curva C r, uma variação C r de γ é uma aplicação Γ : [, T ] ] ɛ, ɛ[ M de classe C r, com ɛ >, tal que Γ (t, ) = γ (t) para todo t [, T ]. Definição 1.3. (Curva Extremal) Dizemos que uma curva γ : [, T ] M de classe C r é uma extremal de L se para cada variação de classe C r Γ : [, T ] ] ɛ, ɛ[ M de γ, com Γ (t, s) = γ (t) em uma vizinhança de (, ) e (T, ), tivermos d ds L (Γ s) s= =. Lema 1.1. Se γ : [, T ] M é tal que A L (γ) A L (δ) para toda δ de classe C r tal que δ() = γ() e δ(t ) = γ(t ) então γ é extremal. Prova: Para cada variação de classe C r Γ : [, T ] ] ɛ, ɛ[ M de γ, com Γ (t, s) = γ (t) em uma vizinhança de (, ) e (T, ) defina λ (s) = A L (Γ) dλ ds () = d ds A L (Γ) s=. Como λ () = A L (γ) λ (s) para todo s ] ɛ, ɛ[, logo dλ () =. ds Trataremos de alguns resultados locais. Podemos supor, via cartas coordenadas, que M seja um aberto de R n. A equação d L dt v = L x é conhecida como a equação de Euler-Lagrange. Proposição 1.1. (Primeira Fórmula da Variação) Se [, T ] M de classe C r satisfaz à equação de Euler-Lagrange, então para qualquer variação Γ de classe C r temos d ds L (Γ s) s= = L Γ L Γ (γ (T ), γ (T )) (T, ) (γ (), γ ()) (, ). v s v s

1.1. Lagrangianos 1 Prova: Tem-se que d ds L (Γ s) = = d ds [ L x [ ( L Γ (t, s), Γ t ( Γ (t, s), Γ (t, s) t )] (t, s) dt ) Γ s (t, s) + L v ( Γ (t, s), Γ ) ] 2 Γ (t, s) (t, s) dt. t t s Logo d T [ ] L ds L (Γ Γ L s) s= = (γ (t), γ (t)) (t, ) + x s v (γ (t), γ (t)) 2 Γ (t, ) dt. t s Além disso, donde d ds L (Γ s) s= = d L L (γ (t), γ (t)) = (γ (t), γ (t)), dt v x [ ] d L Γ L (γ (t), γ (t)) (t, ) + dt v s v (γ (t), γ (t)) 2 Γ (t, ) dt. t s Mas o integrando da equação acima é a derivada da aplicação t L Γ (γ (t), γ (t)) (t, ) v s que é de classe C r 1. Portanto d ds L (Γ s) s= = L Γ L Γ (γ (T ), γ (T )) (T, ) (γ (), γ ()) (, ). v s v s A seguinte proposição a caracteriza a equação de Euler-Lagrange em termos de extremais: Proposição 1.2. (Euler-Lagrange) γ é extremal se, e somente se, satisfaz Euler-Lagrange. Prova: Primeiramente provemos a recíproca. Pela Primeira Fórmula da Variação, observando que Γ Γ (T, ) = (, ) =, obtemos γ extremal. Suponha agora γ extremal e considere uma variação Γ de classe C r definida por Γ (t, s) = γ (t) + sγ 1 (t) onde γ 1 : [, T ] s s M é uma curva C tal que γ 1 = em uma vizinhança de e de T. Então a aplicação é de classe C r 1 e vale em e T. Logo t L v (γ (t), γ (t)) (γ 1 (t)) [ ] d L dt v (γ (t), γ (t)) (γ 1 (t)) dt =,

11 Capítulo 1. Definições e Resultados Básicos o que resulta em L T v (γ (t), γ (t)) ( γ 1 (t)) dt = [ ] d L (γ (t), γ (t)) (γ 1 (t)) dt. dt v Pela demonstração da Primeira Fórmula da Variação temos que d T [ L ds L (Γ s) s= = x (γ (t), γ (t)) (γ 1 (t)) + L ] v (γ (t), γ (t)) ( γ 1 (t)) dt { L = x (γ (t), γ (t)) d [ ]} L (γ (t), γ (t)) (γ 1 (t)) dt. dt v Como d ds L (Γ s) s= =, temos { L x (γ (t), γ (t)) d [ ]} L (γ (t), γ (t)) (γ 1 (t)) dt =, dt v para qualquer curva γ 1 : [, T ] M que vale zero em uma vizinhança de e de T. Segue do lema de Dubois-Raymond abaixo que se γ é extremal, então γ satisfaz Euler-Lagrange. Lema 1.2. (Dubois-Raymond) Seja A : [, T ] L (R n ; R) = (R n ) contínua tal que, para toda curva γ 1 : [, T ] R n de classe C que se anula em uma vizinhança de e T satisfaz Então A. A (t) γ 1 (t) dt =. Prova: Suponha por contradição que existam t [, T ] e v R n tais que A (t ) v. Trocando v por v se necessário, podemos supor A (t ) v >. Pela continuidade fixamos ɛ > tal que A (t) v > para todo t ]t ɛ, t + ɛ[ ], T [. Tomemos uma função bump ϕ : [, T ] [, 1] tal que Logo = ϕ (t) =, t / ]t ɛ, t + ɛ[ e ϕ (t ) = 1. A (t) (ϕ (t) v ) dt = t +ɛ t ɛ A (t) (ϕ (t) v ) dt. Por outro lado ϕ (t) A (t) v é contínua, não-negativa em ]t ɛ, t + ɛ[ e A (t ) v >. Com isso t +ɛ t ɛ A (t) (ϕ (t) v ) dt >.

1.1. Lagrangianos 12 Considere a aplicação L : T M T M, (x, v) ( x, L v (x, v)), onde T M denota o fibrado cotangente da variedade M. Como L é estritamente convexo e de classe C r, r 2, então 2 L é não-degenerada como forma quadrática e L é de classe C r 1. Afirmamos que L v 2 é um difeomorfismo sobre sua imagem. Prova: Com efeito, DL (x, v) = [ I n 2 L (x, v) x v 2 L (x, v) v 2 Como 2 L v 2 é não-degenerada, logo DL (x, v) é isomorfismo. Portanto segue do teorema da função inversa que L é um difeomorfismo local. Mostraremos agora que L é injetiva. Suponhamos que L v (x, v) = L v (x, w). Defina ψ por ψ (t) = L v (x, tv + (1 t) w) (v w). Note que ψ (1) = L v (x, v) (v w) = L v (x, w) (v w) = ψ (). Médio existe c (, 1) tal que ψ (c) =. Mas L é não-degenerado e ψ (t) = (v w) L vv (x, tv + (1 t) w) (v w) > se v w. Portanto v = w e com isso L é injetiva. ]. Pelo Teorema do Valor A aplicação L é conhecida como Transformada de Legendre associada ao Lagrangiano L. Mostraremos adiante usando a superlinearidade de L que a transformada de Legendre é na verdade um difeomorfismo global. Enunciaremos agora um lema que admitiremos sem demonstração. A prova deste pode ser encontrada em [1, lema 2.2.8]: Lema 1.3. Se γ : [, T ] M é uma extremal de classe C 1, então existe p (R n ) tal que, para todo t [, T ], L v (γ (t), γ (t)) = p + t L (γ (s), γ (s)) ds. x Usaremos este e o fato da transformada de Legendre ser um difeomorfismo sobre sua imagem para provar o seguinte: Proposição 1.3. Toda extremal de classe C 1 é na verdade de classe C r. Prova: Seja γ : [, T ] M uma extremal de classe C 1. Fixado t considere (γ (t ), γ (t )) = (x, v ) T M.

13 Capítulo 1. Definições e Resultados Básicos Logo Para t suficientemente próximo de t, Pelo lema 1.3, ( L 1 x, L ) v (x, v ) = (x, v ). ( (γ (t), γ (t)) = L 1 γ (t), L ) (γ (t), γ (t)). v L v (γ (t), γ (t)) = p + t L (γ (s), γ (s)) ds. x Temos que L é de classe v C1, a mesma classe de diferenciabilidade de p+ t L (γ (s), γ (s)) ds. x Como L 1 é de classe C r 1, segue que γ é de classe C 1, obtendo assim γ de classe C 2. Repetindo o processo sucessivamente obtemos γ de classe C r 1. O seguinte teorema é apenas uma versão mais formal de como obter a caracterização da proposição 1.2 para variedades: Teorema 1.1. (Euler-Lagrange) Seja L um Lagrangiano em uma variedade M. Uma curva de classe C r γ : [a, b] M é uma extremal se só se satisfaz, em coordenadas, a equação de Euler-Lagrange. Prova: O resultado segue da proposição 1.2. Se γ é uma extremal, então para cada subintervalo [α, β] [, T ] tal que γ ([α, β]) está contido em uma carta coordenada, a restrição γ [α, β] satisfaz em coordenadas à equação de Euler-Lagrange. Reciprocamente, se para c [, T ] existir uma vizinhança [α, β] [, T ] de c tal que γ ([α, β]) está contida em uma carta coordenada satisfazendo Euler-Lagrange, então γ é uma extremal. 1.1.1 O Campo de Euler-Lagrange e seu Fluxo Se v = ẋ, Como L é não-degenerado, L x (x, v) = d L dt v (x, v) = 2 L x v (x, v) v + 2 L (x, v) v. v2 [ ] 2 1 [ ] L L v = (x, v) v2 x (x, v) 2 L (x, v) v. x v

1.2. Hamiltonianos 14 O campo ẋ = v [ ] 2 1 [ ] L L v = (x, v) v2 x (x, v) 2 L (x, v) v x v é dito Campo de Euler-Lagrange e denotado por X L. Claramente X L é de classe C r 2. Se r = 2 não podemos garantir unicidade de soluções. Posteriormente mostraremos que este é na verdade de classe C r 1. Suponhamos a priori r 3 para que faça sentido φ L t associado conhecido como o Fluxo de Euler-Lagrange. ser o fluxo 1.2 Hamiltonianos Seja T M o fibrado cotangente de uma variedade M. Defina a 1-forma de Liouville Θ em T M por Θ (x,p) (ξ) = p (dπ(x,p) ξ) com (x, p) T M e ξ T (x,p) (T M), onde π : T M M é a projeção e dπ : T (T M) T M sua derivada. A forma simplética canônica em T M é definida como ω = dθ, que é uma 2-forma fechada e não-degenerada (ω(w, ) é um isomorfismo). Uma carta local x = (x 1,..., x n ) de M induz uma carta local de T M da forma (x, p) = (x 1,..., x n ; p 1,..., p n ), onde, para cada (x, p) T M temos p = Σ i p i (x) dx i. Nessas coordenadas as formas Θ e ω são dadas por Θ (x,p) = p dx = Σ i p i dx i, ω (x,p) = dp dx = Σ i dx i dp i. Um Hamiltoniano é uma função H : (N, α) R definida em uma variedade simplética de classe C r, r 2. O Campo Hamiltoniano X H associado a H é definido por ω(x H, ) = dh ( ). Estaremos interessados apenas em Hamiltonianos definidos no fibrado cotangente. caso, em cartas locais, o Campo Hamiltoniano define o sistema Neste ẋ = H p ṗ = H x,

15 Capítulo 1. Definições e Resultados Básicos onde H x e H p são derivadas parciais de H com relação a x e p, ou seja, X H = J dh com J = ( In I n Uma Integral Primeira para um campo é uma função que é constante ao longo das órbitas deste. Temos portanto que H é uma integral primeira de X H. De fato, d dt H(x, p) = H x ẋ + H p ṗ = H(x, p) = c R. Seja φ H t : T M T M o Fluxo Hamiltoniano. Temos que φ H t é canônico ( ( φ H t seja, preserva a forma simplética ω. Com efeito, sabendo que L X η = lim t φ t η η t ). ) ω = ω), ou denota a derivada de Lie de uma forma η com respeito a um campo X e de posse da fórmula de Cartan temos que d dt (( φ H t L X η = d i X η + i X dη ) ω) = LXH ω = d i XH ω + i XH dω = dω (X H, ) + i XH () = d(dh) =, onde i X η = η (X, ) é a contração por X. Logo L XH ω = lim t ( φ H t ) ω ω t = ( φ H t ) ω = ( φ H ) ω = ω. L(x,v) Observação 1.1. L é superlinear se, e somente se, lim v v superlinear dado A > existe B > tal que = +. De fato, se L é L (x, v) + B A v L (x, v) lim v v = +. Reciprocamente dado A > existe B > tal que, se v B, então L (x, v) A v. Por outro lado, se v B, seja M = min v B L (x, v) e B = AB + M. Mas sabemos que L (x, v) M e A ( v B ), L (x, v) A ( v B ) M = A v B.

1.2. Hamiltonianos 16 Lema 1.4. Se L é convexo para cada x M é verdade que L (x, w) L (x, v) L v (x, v) (w v) v, w T x M. Prova: Defina f (t) = L (x, tv + (1 t) w). Logo f (t) = L v (x, tv + (1 t) w) (v w). Se t > 1, f (t) f (1) t 1 L (x, tv + (1 t) w) L (x, v) t 1 (t 1) L (x, v) + (1 t) L (x, w) t 1 = L (x, v) L (x, w). Logo L v (x, v) (w v) = lim t 1 + f (t) f (1) t 1 L (x, v) L (x, w). Dada f : R n R definimos sua Transformada de Fenchel f : (R n ) R por Lema 1.5. Se f : R n convexa. Além disso f = f. f (p) = sup x R n {px f (x)}. Prova: Dados p 1, p 2 R n e λ 1 temos R é contínua, superlinear e convexa, então f é superlinear e f (λp 1 + (1 λ) p 2 ) = sup x R n {(λp 1 + (1 λ) p 2 ) x f (x) ± λf (x)} λ sup {p 1 (x) f (x)} + (1 λ) sup {p 2 (x) f (x)} x R n x R n = λf (p 1 ) + (1 λ) f (p 2 ) o que mostra a convexidade de f. Para a superlinearidade, dado A > seja pela continuidade. Logo B (A) = sup f (x) < + x =A f (p) sup px sup f (x) = A p B (A). x =A x =A

17 Capítulo 1. Definições e Resultados Básicos Agora, dados x R n e p R n temos f (p) px f (x). Então f (x) sup p R n {px f (p)} = f (x). Por outro lado, pela convexidade, f (y) f (x) df (x) (y x). Portanto f (df (x)) = sup x R n {df (x) y f (y)} df (x) x f (x) x R n. Segue que f (x) df (x) x f (df (x)) sup p R n {px f (p)} = f (x). Estaremos interessados em Hamiltonianos da forma H(x, p) = sup { p v L(x, v)}. v T x M Observação 1.2. Pela superlinearidade de L, como p v v é limitado, p v L(x, v) v v quando v, logo p v L(x, v) quando v e o máximo em v de p v L(x, v) será atingido em um compacto. Portanto H(x, p) = max { p v L(x, v)}. v T x M Lema 1.6. H(x, p) = p v L(x, v) se, e somente se p = L v (x, v). Prova: Se H (x, p ) = p v L (x, v ), como p v H (x, p ) + L (x, v), Em particular para v = v + ɛw, p (v v ) L (x, v) L (x, v ) v T x M. p w L (x, v + ɛw) L (x, v ) ɛ Portanto p w L v (x, v ) w para todo w T x M, então Reciprocamente, pelo lema 1.4, L v (x, v ) w quando ɛ. p ( w) L v (x, v ) ( w) p w L v (x, v ) w. L (x, v) L (x, w) L v (x, w) (v w) L v (x, w) w L (x, w) L v (x, w) v L (x, v).

1.2. Hamiltonianos 18 Tomando o máximo em v obtemos H(x, L v (x, w)) L v (x, w) w L (x, w) H(x, L v (x, w)). A função E : T M R dada por E (x, v) = L v (x, v) v L (x, v) é dita função energia. Lembramos que a transformada de Legendre é dada por L (x, v) = (x, L v (x, v)). observação acima temos que E = H L. Sob as hipóteses de L ser um Lagrangiano de Tonelli vimos que L é difeomorfismo sobre sua imagem. Mostraremos que L é sobrejetiva e, portanto, um difeomorfismo global. Com efeito, dado (x, p) T M, pela observação 1.2 existe v T x M tal que Logo, pelo lema 1.6, p = L v (x, v). H(x, p) = p v L(x, v). Observação 1.3. A função energia é constante ao longo de extremais. Segue imediatamente do fato de extremais satisfazerem Euler-Lagrange, d dt [L v (γ (t), γ (t)) γ (t) L (γ (t), γ (t))] = d dt [L v (γ, γ)] γ + L v (γ, γ) γ L x (γ, γ) γ L v (γ, γ) γ =. Teorema 1.2. A Transformada de Legendre L : T M T M, L(x, v) = (x, L v (x, v)) conjuga o campo lagrangiano X L com o campo hamiltoniano X H. Prova: Pelo lema 1.5 H = L = L. Se p = L v (x, v), pelo lema 1.6 v = H p (x, p). Então Derivando em relação a x, H (x, p) = L v (x, v) v L (x, v) = p H p (x, p) L (x, H p (x, p)). H x (x, p) = p H px (x, p) L x (x, H p (x, p)) L v (x, H p (x, p)) H px (x, p) = [p L v (x, H p (x, p))] H px (x, p) L x (x, H p (x, p)) = L x (x, H p (x, p)). Usando Euler-Lagrange obtemos ẋ = v = H p e ṗ = d dt L v = L x = H x. Pela

19 Capítulo 1. Definições e Resultados Básicos Assim, [ In DL X L = L vx onde X L = [L vv ] 1 [L x L vx v]. Portanto L vv ] [ ] [ v = X L v L vx v + L vv XL X H (L (x, v)) = DL X L (x, v). ] [ v = L x ], Mas d dt Como φ H ( φ L t ) = XL, logo d [ φ H dt t L ] = X H Im (L) = DL X L = d [ ] L φ L dt t. L = L φ L segue o resultado. Corolário 1.1. O campo de Euler-Lagrange X L é de classe C r 1. Prova: Basta mostrar que X H Im (L) é C r 1, pois, como DL é isomorfismo, segue que X L tem a mesma classe de X H. Com efeito, se γ é uma extremal, então γ é C r 1. Como L x é C r 1, logo H p, H x C r 1, ou seja, X H é C r 1. 1.2.1 Subvariedades Lagrangianas Seja (E, α) um espaço simplético, ou seja, um espaço vetorial E de dim E = 2n munido de uma forma bilinear alternada α : E E R não-degenerada (α # : E E, v α (v, ) é um isomorfismo). Dado um subespaço F E definimos seu ortogonal simplético por F := {v E α (v, w) = w F }. Se u F e α (v, w) = para todo w F, então v F. Neste caso dizemos que u é simpleticamente ortogonal a v e denotamos por u v. É facil ver que u v implica em v u. Observe que este conceito de ortogonalidade é muito diferente do euclideano, pois F e F podem não ser complementares. Para qualquer subespaço F E tem-se que dim E = dim F + dim F. Prova: O isomorfismo α # : E E implica que a aplicação linear α # F injetiva. Logo dim F dim (E/F ) = dim E dim F. : F ( E F ) é Considere agora ˆα # : E ( F ) F tal que ˆα # (v) = τ ( α # (v) ), onde τ : E ( F ) F é dada por τ (p) = p F. Logo dim F = dim ( F ) ( ) ) posto ˆα # = dim E dim ker (ˆα #F = dim E dim F, F

1.2. Hamiltonianos 2 ) pois ker (ˆα #F = { v E α (v, w) = w F } = F. Um subespaço F é dito isotrópico se F F. Note que, se F é isotrópico, dim F n, pois, caso contrário, como dim F dim F, 2n = dim F + dim F > 2n. F é dito Lagrangiano se é isotrópico e dim F = n. Definição 1.4. Uma transformação linear T : (E, α) (E, α) é dita ser simplética se T α = α. Sabe-se que existe uma base na qual podemos escrever α (v, w) = v, Jw, ( ) In onde J =. I n Outro fato conhecido é que Ω = α... α (n parcelas) é uma forma volume em E. Se T α = α, T Ω = T (α... α) = T α... T α = Ω. Portanto o determinante de uma transformação simplética é sempre positivo (caso contrário contradizeria o teorema de mudança de variáveis). Lema 1.7. Se T : (E, α) (E, α) é simplética da forma de T, então λ, 1 λ e 1 λ também são autovalores. ( A B C D ) e λ é um autovalor Prova: Primeiramente, como p (λ) = det (T λi n ) tem coeficientes reais, logo os autovalores ocorrem em pares, ou seja, se λ é autovalor λ também é. Resta mostrar que 1 λ é autovalor, pois, pelo argumento acima 1 λ também será. De T α = α e α (v, w) = v, Jw obtemos que α (T v, T w) = α (v, w) T v, JT w = v, T t JT w = v, Jw. Logo T t JT = J, implicando no determinante de T ser mais ou menos 1 (portanto 1) e JT J 1 = (T t ) 1. Portanto p (λ) = det (T λi n ) = det ( J (T λi n ) J 1) ( (T t = det ) ) 1 λin = det ( (T t ) 1 ( In λt t)) = det ( (I n λt ) T 1) = det (I n λt ) = det ( λ ( λ 1 I n + T )) = λ 2n p ( λ 1).

21 Capítulo 1. Definições e Resultados Básicos Como não é autovalor (Se T v =, então α (v, ) = α (T v, T ( )) não é isomorfismo), p (λ) = se só se p (λ 1 ) =. Definição 1.5. Uma subvariedade N T M é dita lagrangiana se, para cada (x, p) N, T (x,p) N T (x,p) T M é um subespaço lagrangiano. Vejamos alguns exemplos: Exemplo 1.1. As variedades estáveis/instáveis (veja, por exemplo [4]) dos pontos fixos hiperbólicos do Fluxo Hamiltoniano φ H t T M. Prova: no tempo 1 são Subvariedades Lagrangianas de Se p é um ponto fixo hiperbólico e λ é um autovalor da transformação linear simplética dφ H 1 (p), também são autovalores λ, 1 λ e 1 λ. Logo o número de autovalores de módulo maior que um é igual ao número de autovalores de módulo menor que um. Portanto a dimensão da variedade estável W s (p) de p é igual a n. Por outro lado, se z W s (p), do fato de ( ) φ H t ω = ω, (( ω z (u, v) = ω φ H 1 (z) dφ H 1 (z) ) u, ( dφ H 1 (z) ) v ) ( (dφ H =... = ω ( φ H 1 ) k (z) 1 (z) ) k ( u, dφ H 1 (z) ) ) k v. Mas ω é limitada, logo ω z (u, v) ω ( dφ H 1 (z) ) k ( u dφ H 1 (z) ) k v quando k. Exemplo 1.2. Seja f : (M 1, ω 1 ) (M 2, ω 2 ) um difeomorfismo com dim M 1 = dim M 2. Um fato conhecido em geometria simplética é que M = M 1 M 2 com Ω = π1ω 1 π2ω 2 é uma variedade simplética, onde π i : M M i é a projeção canônica. Considere a subvariedade N = {(p, f (p)) M : p M 1 }. N é Lagrangiana se, e somente se, f é simplético. Prova: Sejam j : N M a inclusão, q = (p, f (p)) N e T q N = {(u, df p (u)) : u T p M 1 }. Se û = (u, df p (u)), ˆv = (v, df p (v)) e x N, j Ω (x) (û, ˆv) = Ω (x) (dj x (û), dj x (ˆv)) = ω 1 (u, v) ω 2 (df p (u), df p (v)) = (ω 1 f ω 2 ) (u, v). Portanto Ω N = f ω 2 = ω 1. Em particular, se M 1 = M 2 e f simplético, então o gráfico de f é uma Subvariedade Lagrangiana.

1.2. Hamiltonianos 22 1.2.2 A equação de Hamilton-Jacobi por Dado um Hamiltoniano H : T M R a equação de Hamilton-Jacobi associada é dada H (x, du x ) = c, (1.1) onde c R. Uma solução de 1.1 é uma função u : M R de classe C 1 tal que H (x, du x ) = c para cada x M. A equação de Hamilton-Jacobi para o caso não-autônomo é dada por ( s (x, t) + H x, s ) (x, t) =. (1.2) t x Uma solução de 1.2 é uma função s : W R de classe C 1, onde W M R aberto. Um resultado conhecido por Método das Características (que pode ser encontrado em [1, teorema 2.8.11]) afirma que, localmente, sempre existe uma solução de 1.2.

Capítulo 2 Teorema de Tonelli Este capítulo se trata de um importante teorema que nos será muito útil no desenvolvimento dos demais capítulos. A princípio este nos dá a falsa impressão de ser uma generalização do teorema de Hopf-Rinow, porém a sutileza está no fato de as curvas tomadas estarem em uma classe de intervalo de definição fixo. A demonstração aqui apresentada foi baseada em [1, capítulo 3] 2.1 Existência de Minimizantes de Tonelli Teorema 2.1. Sejam M uma variedade compacta e conexa e L : T M R um Lagrangiano de Tonelli (de classe C r, r 2, convexo e superlinear). Dados dois pontos p, q M e T > existe uma curva γ C T (p, q) := { γ : [, T ] M absolutamente contínua : γ() = p, γ(t ) = q } tal que, para toda curva γ 1 C T (p, q), A L (γ) A L (γ 1 ). A curva γ assim obtida é chamada de minimizante de Tonelli. Fixando uma Métrica Riemanniana para referência, consideremos C ([, T ], M) o conjunto das curvas contínuas munido da topologia uniforme: Se γ 1, γ 2 C ([, T ], M), então Dist (γ 1, γ 2 ) = sup {d M ( γ 1 (t), γ 2 (t)), t [, T ]}. Se C ab ([, T ], M) C ([, T ], M) denota o subconjunto das curvas absolutamente contínuas definimos d ac (γ 1, γ 2 ) = d T M (dγ 1 (t), dγ 2 (t)) dt, 23

2.1. Existência de Minimizantes de Tonelli 24 onde d T M : T M R induzida pela métrica Riemanniana e dγ i (t) = (γ i (t), γ i (t)). Lema 2.1. Dados c, K U R n compacto e ɛ >, existe η > tal que, para todos x K e y U com y x < η temos L (y, w) L (x, v) + L v (x, v) (w v) ɛ, v, w Rn com v c. Prova: Pela compacidade de K seja η > tal que V η (K) = {y R n / x K, y x η } U. Seja A = sup { L v (x, v), v c, x K }. Pela superlinearidade existe C1 tal que L (y, w) (A + 1) w + C 1 com y V η (K). Se C 2 = sup { L (x, v) L v (x, v) v : v c e x K} e w C 2 C 1, L (y, w) A w + C 2 L v (x, v) w + L (x, v) L v L (x, v) + L v Se w C 2 C 1, pela convexidade (lema 1.4), L v (x, v) v (x, v) (w v) ɛ. (x, v) (w v) L (x, w) L (x, v). A continuidade de L (, w) implica em existir η 1 > tal que Logo y x η 1 e L (y, w) L (x, w) ɛ. L (y, w) L (x, w) ɛ L (x, v) + L v Tomando η = min {η, η 1 } segue o resultado. (x, v) (w v) ɛ. Antes de enunciarmos uma proposição, vejamos uma definição: uma família de curvas S, definidas no intervalo [, T ] é dita ser absolutamente eqüicontínua se, dado ɛ > existir δ > tal que, se (a i, b i ) < δ tivermos dm ( γ (a i ), γ (b i )) < ɛ, γ S, para cada família {(a i, b i )} de subintervalos de [, T ] dois a dois disjuntos.

25 Capítulo 2. Teorema de Tonelli Proposição 2.1. Para todo c R o conjunto S c = {γ C T (p, q)/a L (γ) c} é compacto na topologia uniforme. Prova: Pela superlinearidade existe D > tal que L (x, v) v D e podemos supor L, pois L é limitado inferiormente. Dados γ S c e s (, T ], s L (γ (t), γ(t)) dt L (γ (t), γ(t)) dt A L (γ) c ou seja, d M ( γ (), γ (s)) Ds Portanto s s γ(t) dt Ds c, γ(t) dt Ds c d M ( γ (), γ (s)) c + DT. d M ( γ 1 (s), γ 2 (s)) d M ( γ 1 (s), γ 2 ()) + d M ( γ 2 (), γ 2 (s)) = d M ( γ 1 (s), γ 1 ()) + d M ( γ 2 (), γ 2 (s)). Com isso Dist (γ 1, γ 2 ) 2 [c + DT ], γ 1, γ 2 S c, o que garante a eqüilimitação de S c. Para provarmos a eqüicontinuidade, temos, pela superlinearidade que L(x,v) lim v v =, ou seja, dado k > B > tal que v > B implica L (x, v) k v. Se γ S c e E = {t [, T ] / γ(t) B}, logo γ(t) dt 1 L (γ (t), γ(t)) dt A L (γ) E k k E c k. Tomando uma partição qualquer a 1 < b 1 a 2 < b 2... < b n T de [, T ] seja J = n i=1 [a i, b i ], então dm ( γ (a i ), γ (b i )) b i γ(t) dt = a i E γ(t) dt + J E γ(t) dt c + Bm (J), k onde m é a medida de Lebesgue. Agora, dado ɛ > seja k tal que kɛ > 2c. Tome δ > de forma que 2δB < ɛ. Se m (J) = (a i, b i ) < δ, logo dm ( γ (a i ), γ (b i )) c k + Bm (J) < ɛ 2 + Bδ < ɛ, γ S c. Concluimos portanto que S c é absolutamente eqüicontínua. Pelo Teorema de Arzelà-Ascoli, toda γ i em S c possui uma subsequência γ ij uniformemente convergente em C ([, T ], M). Como γ ij é absolutamente contínua e a convergência de γ ij γ é uniforme segue que

2.1. Existência de Minimizantes de Tonelli 26 γ é absolutamente contínua, pois, dado ɛ > tome δ > tal que k i=1 (b i a i ) < δ implica k ( i=1) d M (γ n (a i ), γ n (b i )) < ɛ, n N. Além disso, existe n 3 (k) > tal que Dist γ n(k), γ < ɛ e portanto se k 3k i=1 (b i a i ) < δ, então k d M (γ (a i ), γ (b i )) i=1 k d M (γ (a i ), γ n (a i )) + i=1 + k d M (γ n (b i ), γ (b i )) i=1 < ɛ 3 + k i=1 ɛ 3k + ɛ 3 = ɛ. k d M (γ n (a i ), γ n (b i )) i=1 Para concluirmos resta provar o seguinte lema: Lema 2.2. Se γ n γ C ([, T ], M) com γ n S c uniformemente, então γ S c, ou seja, A L (γ) c. Prova: Pela convergência uniforme podemos supor que γ n ([, T ]) está contida em um compacto K contido em uma vizinhança coordenada U γ ([, T ]). Dado D > considere E D = {t [, T ] / γ(t) < D} Seja ɛ > qualquer. Pelo lema 2.1 existe η > e pela convergência uniforme existe n > tais que n n implica que d M ( γ n (t), γ (t)) < η e L (γ n (t), γ n (t)) L (γ (t), γ(t)) + L v (γ (t), γ(t)) ( γ n (t) γ(t)) ɛ em quase todo ponto. Integrando temos [ L (γ n (t), γ n (t)) dt L (γ (t), γ(t)) + L ] E D v (γ (t), γ(t)) ( γ n (t) γ(t)) dt ɛm (E D ). E D Como existe C () tal que L (γ n (t), γ n (t)) C (), podemos supor L. Logo Então c A L (γ) E D L (γ n (t), γ n (t)) dt L (γ n (t), γ n (t)) dt. E D [ L (γ (t), γ(t)) + L ] v (γ (t), γ(t)) ( γ n (t) γ(t)) dt ɛm (E D ).

27 Capítulo 2. Teorema de Tonelli L Afirmação: lim (γ (t), γ(t)) ( γ n E D v n (t) γ(t)) dt =. Usando a afirmação obteremos, fazendo ɛ, que c L (γ (t), γ(t)) dt. E D Como γ existe e é finita q. t. p. obtemos que m ([, T ] \E D ) quando D. Pelo Teorema da convergência monótona (veja, por exemplo [1, teorema 22.15]), como χ En (t) L (γ (t), γ(t)) L (γ (t), γ(t)) são mensuráveis não-negativas, então E D L (γ (t), γ(t)) dt = o que nos fornece A L (γ) c. χ En (t) L (γ (t), γ(t)) dt L (γ (t), γ(t)) dt, A prova da afirmação acima pode ser encontrada em [1, proposição 3.1.4]. Prossigamos com a demonstração do teorema 2.1: Prova: Considere a sequência de compactos encaixados S n = { γ C T (p, q) A L (γ) C inf + 1 }, n onde C inf = inf {A L (γ)}. Como A L (γ), logo C inf. S n, pois, por definição, se somarmos 1 n ao ínfimo existirá uma γ 1 tal que A L (γ 1 ) = C inf + 1 n para todo n >. Pela proposição 2.1 S c C T (p, q) é compacto, logo S n também o é. Pelo fato de S n ser uma sequência decrescente de compactos não-vazios temos, pelo Teorema da Intersecção de Cantor (veja, por exemplo [1, teorema 9.4]), S n. Se γ S n, então γ é uma minimizante de Tonelli. 2.2 Regularidade das Minimizantes de Tonelli Teorema 2.2. Se γ C T (p, q) é uma minimizante de Tonelli, ou seja, A L (γ) A L (z) para toda z C T (p, q), então γ é uma extremal. Em particular γ tem a mesma classe de diferenciabilidade C k, k 2, do Lagrangiano. Faremos algumas etapas da prova. Os demais fatos podem ser encontrados em [1, teorema 3.7.1]. Prova: Provaremos o resultado em um aberto U M (domínio de uma carta). Para a globalização é necessário obter estimativas uniformes para garantir que pequenos trechos

2.2. Regularidade das Minimizantes de Tonelli 28 das extremais são minimizantes entre quaisquer dos seus pontos. Suponha s : U (, T ) R satisfazendo a equação de Hamilton-Jacobi: ( s (x, t) + H x, s ) (x, t) t x Como H (x, p) p (v) L (x, v), com igualdade ocorrendo se, e somente se, p = L (x, v) v (veja o lema 1.6), dada uma curva absolutamente contínua z : [, T ] U com z () = p e z (T ) = q temos L (z(t), ż (t)) < s (z (t), t), ż (t) > H x Integrando em [, T ] obtemos s (z (T ), T ) s (z (), ) ( =. z (t), s ) (z (t), t) x L (z (t), ż(t)) dt = A L (z), = d s (z (t), t). dt s L com iguadade ocorrendo se, e somente se, (z (t), t) = (z (t), ż (t)), para quase todo x v ponto na medida de Lebesgue. Usando a transformada de Legendre ( (z (t), ż (t)) = L 1 z (t), s ) (z (t), t), x obtemos z de classe C 1, pois o lado direito da expressão acima é contínuo e definido em (, T ). Logo obtemos que uma minimizante de Tonelli em U é de classe C 1. Se z for uma minimizante de Tonelli, tomando uma variação Γ de classe C 1 de z em U e usando o lema 1.1 obtemos z extremal. Pela proposição 1.3 z é de classe C r.

Capítulo 3 Ação Potencial e Valor Crítico de Mañé Como sabemos, o Teorema de Tonelli nos fornece uma minimizante com tempo fixo, ou seja, para algum T >. Estamos interessados em curvas que minimizem ação com tempo livre, que posteriormente chamaremos de minimizantes globais. Apresentaremos neste capítulo uma introdução da teoria de Mather sob o ponto de vista de Mañé. Finalizaremos com a barreira de Peierls caracterizando o conjunto de Aubry projetado. A menos que seja dito, todas as curvas aqui consideradas serão absolutamente contínuas. Para x,y M sejam C T (x, y) = { γ : [, T ] M γ() = x, γ(t ) = y } e C(x, y) := T > C T (x, y). Se k R definimos a ação potencial Φ k : M M R { } por Φ k (x, y) := inf A L+k (γ). γ C(x,y) Note que, se existir uma curva γ fechada com ação L + k negativa, então Φ k (x, y) = para todo x, y M. Com efeito, se γ : [, T ] M, γ () = γ (T ) = x e η : [, S] M, n {}}{ η () = x, η (S) = y defina γ n : [, nt + S] M por γ n (t) = γ... γ η(t) com n N, onde indica justaposição. Logo A L+k (γ n ) = nt [L (γ n (t), γ n (t)) + k] dt + = na L+k (γ) + A L+k (η). 29 S [L (η (t), η (t)) + k] dt

3.1. Propriedades do Valor Crítico 3 Portanto Φ k (x, y) na L+k (γ) + A L+k (η), n >. Consideremos agora os conjuntos D 1 = { k R γ fechada com A L+k (γ) < } e D 2 = { k R A L+k (γ) γ fechada}. Observe que a função k A L+k (γ) é crescente e, pela superlinearidade, L é limitado inferiormente. Logo existe k R tal que L + k. Portanto D 1 é limitado superiormente, de modo que D 2 é limitado inferiormente. Definimos o valor crítico de Mañé c = c (L) := sup D 1 = inf D 2. 3.1 Propriedades do Valor Crítico Proposição 3.1. 1. Se k R, Φ k (x, z) Φ k (x, y) + Φ k (y, z), x, y, z M. 2. Se k < c (L), Φ k (x, y) =, x, y M. 3. Se k c (L), Φ k (x, y) R, x, y M. 4. Se k c (L), Φ k (x, x) =, x M. 5. Se k c (L), a ação potencial Φ k é Lipschitz. 6. Se k c (L), Φ k (x, y) + Φ k (y, x), x, y M. 7. Se x y e k > c (L), Φ k (x, y) + Φ k (y, x) >. Prova: 1. Se γ C(x, y) e η C(y, z), então γ η C(x, z). Logo Φ k (x, z) A L+k (γ η) = A L+k (γ) + A L+k (η). Finalizamos tomando o ínfimo em γ C (x, y) e η C (y, z). 2. Se k < c (L), então k D 1. Logo existe γ fechada com A L+k (γ) <. Como já foi observado isto implica que Φ k (x, y) = para todo x, y M. 3. Suponha por contradição que Φ k (x, y) = para algum k R e x, y M, logo Φ k (x, x) Φ k (x, y) + Φ k (y, x) =. Então existe γ C(x, x) fechada com A L+k (γ) < (caso contrário A L+k (η) para toda η C(x, x) implicando Φ k (x, x) ). Logo k D 1 = (D 2 ) c. Como k D 2, absurdo.

31 Capítulo 3. Ação Potencial e Valor Crítico de Mañé 4. Como M é compacta, existe Q > tal que L (x, v) + k Q, para v 2. Considere uma geodésica γ : [, ε] M com γ = 1 e γ () = x. Então Φ k (x, x) Φ k (x, γ (ε)) + Φ k (γ (ε), x) ( ) ( ) A L+k γ [,ε] + AL+k γ (ε t) [,ε] = ε 2Qε. (L (γ, γ) + k) dt + ε (L (γ, γ) + k) dt Fazendo ε obtemos Φ k (x, x). Por outro lado, como k c (L), k D 2. Portanto para toda curva γ C (x, x), A L+k (γ), donde Φ k (x, x). 5.Sejam x 1, x 2 M. Como M é completa, pelo teorema de Hopf-Rinow, existe uma curva γ : [, d M (x 1, x 2 )] M geodésica minimizante parametrizada pelo comprimento de arco ligando x 1 a x 2 tal que L (γ, γ) + k Q (pelo item anterior). Temos que Φ k (x 1, x 2 ) A L+k (γ) Q d M (x 1, x 2 ). Se y 1, y 2 M, então pela desigualdade triangular Φ k (x 1, y 1 ) Φ k (x 2, y 2 ) Φ k (x 1, x 2 ) + Φ k (y 2, y 1 ) Q [d M (x 1, x 2 ) + d M (y 1, y 2 )]. Trocando os pares (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) na desigualdade acima, obtemos Φ k (x 1, y 1 ) Φ k (x 2, y 2 ) Qd M M ((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )). 6. Pelos itens 1 e 4 temos = Φ k (x, x) Φ k (x, y) + Φ k (y, x) pois k c (L). 7. Suponha k > c (L), x y e Φ k (x, y) + Φ k (y, x) =. Seja γ n : [, T n ] M, γ n C(x, y) uma sequência tal que Φ k (x, y) = lim A L+k (γ n ). n

3.1. Propriedades do Valor Crítico 32 Suponhamos que lim inf n T n =. Seja A >, pela superlinearidade de L, existe B > tal que L (x, v) A v B, (x, v) T M. Então N Φ k (x, y) = lim L(γ n, γ n ) + k n lim inf n Ad M (x, y). { n } A γ n dt + (k B) T n Fazendo A + obtemos Φ k (x, y) = + que é um absurdo. Portanto lim inf n T n não pode ser. Agora seja η n : [, S n ] M, η n C (y, x) com lim n A L+k (η n ) = Φ k (y, x). Analogamente lim inf n S n. Escolha T, S > tais que < T < lim inf n T n e < S < lim inf n Para n suficientemente grande T n > T e S n > S. Como c = c (L) < k, Φ c (x, x) A L+c (γ n η n ) S n. A L+c (γ n ) + A L+c (η n ) ± kt n ± ks n = A L+k (γ n ) + (c k) T n + A L+k (η n ) + (c k) S n A L+k (γ n ) + A L+k (η n ) + (c k) (T + S). Portanto Φ c (x, x) lim{φ k (x, y) + Φ k (y, x) + (c k)(t + S)} n = (c k) (T + S) <, contradizendo o item 4. Observação 3.1. A ação potencial, em geral, não é simétrica. Os itens 1, 4, 6 e 7 implicam que d k (x, y) = Φ k (x, y) + Φ k (y, x) é uma métrica para k > c (L) e uma pseudo-métrica para k = c (L), ou seja, pode ocorrer d c (x, y) = com x y. Exemplo 3.1. (Lagrangiano Simétrico) Sejam M compacta e L : T M R tal que L (x, v) = L (x, v). Então c (L) = L(x, ) = min x M L(x, ).

33 Capítulo 3. Ação Potencial e Valor Crítico de Mañé Prova: De fato, como L é convexo nas fibras, L (x, tv + (1 t) w) tl (x, v) + (1 t) L (x, w). Fazendo w = v e t = 1/2, L(x, ) L (x, ) = L (x, 12 v 12 ) v 1 2 L (x, v) + 1 L (x, v) = L (x, v). 2 Logo L (x, v) L (x, ) e A L L(x,) (γ) para toda curva γ. Dado (x, ) T M, A L L(x,) (x ) = Se T, ɛ >, L (x, ) L (x, ) =. A L L(x,) ɛ (x ) = ɛt <. Exemplo 3.2. (Lagrangiano Mecânico) Seja L : T M R tal que L (x, v) = 1 2 v 2 U (x). Temos que este é um caso particular do Lagrangiano Simétrico. Logo c (L) = min x M L(x, ) = min U (x) = max U (x). x M x M Exemplo 3.3. (Lagrangiano Magnético) Seja L : T M R tal que L (x, v) = 1 2 < v, v > +ω x (v), onde ω é uma 1-forma em M não-fechada. Neste caso c (L) >. Prova: Com efeito, considere U vizinhança coordenada tal que dω em U. Podemos supor dω T S, onde S é uma superfície bidimensional em U cujo bordo é uma curva γ : [, T ] M parametrizada proporcional ao comprimento de arco ( γ = K) e orientada positivamente. Tome (x, y) coordenadas locais em S U, logo dω S = g (x, y) dx dy. Pela continuidade podemos supor g (x, y) < (caso contrário orientamos γ negativamente). Para ɛ >, pelo Teorema de Green, A L+ɛ (γ) = T K2 2 + ɛt + ω γ ( γ) = T (k2 + 2ɛ) 2 dω. S

3.1. Propriedades do Valor Crítico 34 Seja γ ɛ uma reparametrização de γ tal que K = ɛ. Como n = dω > e T K = T ɛ = l S (constante), tomando ɛ < ( ) 2n 2, 3l A L+ɛ (γ ɛ ) = 3T ɛ 2 n = 3lɛ 2 ɛ n = 3l ɛ n < n n =. 2 Portanto ɛ c (L). Por absurdo, se c (L) = e δ >, então Φ δ (p, p) =. Pelo argumento acima (A L+δ (γ δ ) < ) Φ δ (p, p) =. Defina e = min C, onde C = {k R : π E 1 (k) M é sobrejetora}. Lema 3.1. Tem-se que e = max x M {E (x, )} = max { L (x, )}. x M Prova: Pela convexidade, L (x, v) L (x, w) L v (x, w) (v w). Fazendo v =, L (x, ) L (x, w) L v (x, w) (w). Logo E (x, w) = L v (x, w) w L (x, w) L (x, ) = E (x, ). Dados k C e x M existe v T x M tal que E (x, v) = k. Portanto k E (x, ) e max {E (x, )}. x M Por outro lado, pelo teorema fundamental do cálculo, v [ E (x, v) = E (x, ) + E = L (x, ) + d ds v ( x, s v [L vv ( x, s v v )] ds v ) v v v v Pela observação?? L satisfaz a condição de limitação, logo E (x, v) ψ () + v ] ds. Dds E (x, v) D v ψ (). Com isso lim v E (y, v) = +. Segue da continuidade da aplicação v E (y, v) que sua imagem é [E (y, ), + ). Como max x M {E (x, )} [E (y, ), + ), existe v tal que Logo max x M {E (x, )} e. E (y, v) = max {E (x, )}. x M Observação 3.2. Segue do lema 3.1 que, no caso do Lagrangiano Mecânico, c (L) = e o.

35 Capítulo 3. Ação Potencial e Valor Crítico de Mañé 3.2 Minimizantes Globais Definição 3.1. Uma curva γ C(x, y) é uma minimizante global ou minimizante de tempo livre para L + k se k c(l) e A L+k (γ) = Φ k (x, y). Lema 3.2. Seja : x : [, T ] M uma curva absolutamente contínua e k R. Dado λ >, seja x λ (t) = x(λt) e A(λ) = A L+k (x λ ). Então A (1) = [E(x (t), ẋ (t)) k ] dt. Prova: Como x λ : [, T λ ] M e ẋλ (t) = λẋ (λt), fazendo u = λt (dt = du λ ), Logo Portanto A (1) = A (λ) = λ [L (x (λt), λẋ (λt)) + k] dt = 1 λ A (λ) = 1 [L (x (u), λẋ (u)) + k] du + 1 λ 2 λ [L v (x (u), ẋ (u)) ẋ (u) L (x (u), ẋ (u)) k]du = [L (x (u), λẋ (u)) + k] du. L v (x (u), λẋ (u)) ẋ (u) du. [E (x (u), ẋ (u)) k] dt. Proposição 3.2. Uma minimizante global para L + k tem energia E k. Prova: Se γ é uma minimizante global, então A(1) = A L+k (γ) = inf A L+k (γ λ ) A(λ) λ >. Portanto A (1) =. Em particular γ é uma minimizante de Tonelli, logo uma extremal (solução de Euler-Lagrange) com energia E(γ (t), γ (t)) E constante. Segue que = A (1) = [E(γ (t), γ (t)) k ] dt = T (E k). Na continuação provaremos alguns resultados necessários para garantir a existência de minimizantes globais. Para k c (L) e x, y M definimos a ação potencial para tempo fixo T > por Φ k (x, y; T ) := inf A L+k (γ). γ C T (x,y)

3.2. Minimizantes Globais 36 Proposição 3.3. 1. lim ɛ + Φ k (x, y; ɛ) = +, se k c(l), x y. 2. lim T + Φ k (x, y; T ) = +, se k > c(l). Além disso, se M compacta, então o limite é uniforme. 3. Dado k R, R M um subconjunto compacto e ɛ >, a função (x, y, t) Φ k (x, y; t) é locamente Lipschitz em R R [ɛ, + [ para todo ɛ >. Em particular contínua. Prova: 1. Pela superlinearidade, dado A > existe B > tal que L (x, v)+k > A v B+k. Se γ : [, ɛ] M com γ() = x e γ(ɛ) = y, Φ k (x, y; ɛ) = inf γ C ɛ(x,y) inf γ C ɛ(x,y) A inf γ C(x,y) A L+k (γ) { ɛ } [A γ (t) B + k] dt { } γ (t) dt + (k B) ɛ = Ad M (x, y) + (k B) ɛ. Logo lim inf ɛ + Φ k (x, y; ɛ) Ad M (x, y). Tomando A suficientemente grande, segue o resultado. 2. Se k c (L) > e γ C T (x, y), A L+k (γ) = = [L (γ (t), γ (t)) + k] dt [L (γ (t), γ (t)) + c + k c] dt = A L+c (γ) + (k c) T. Logo Φ k (x, y; T ) = Φ c (x, y; T ) + (k c) T Φ c (x, y) + (k c) T. Portanto lim Φ k (x, y; T ) lim [Φ c (x, y) + (k c) T ] = +. T + T + Como M é compacta e a aplicação (x, y) Φ c (x, y) é contínua (Lipschitz pelo item 5 da proposição 3.1), Φ k (x, y, T ) min x,y M {Φ c (x, y)} + (k c) T.

37 Capítulo 3. Ação Potencial e Valor Crítico de Mañé 3. Seja γ : [, 1] M. Defina B (s) := A L+k (γ s ), onde γ s : [, s] M dada por γ s (t) = γ ( ) t s. Se t T, fazendo u = t, teremos T du = dt, u 1. Portanto T [ ( ( ) t B (T ) = L γ, 1 ( )) ] t T T γ + k dt T 1 [ = T L (γ (u), 1T ) ] γ (u) + k du Derivando B (T ) = = 1 1 [ L (γ (u), 1T ) ] γ (u) + k du T 1 [ ( 1 k T L v (γ (u), 1T ) γ (u) γ (u) L ( [L v γ (u), 1 ) ] γ (u) T γ (u) du T 2 (γ (u), 1T γ (u) ))] du Mas d dt ( γ ( t T )) = 1 T γ ( t T ) = γ(u), então T B (T ) = 1 T [k E(γ T (t), γ T (t)) ] dt. Dados ɛ > e T ɛ seja ξ : [, d ( M (x, y)] ) M uma geodésica parametrizada pelo comprimento de arco. Defina η (t) := ξ dm (x,y) t, t T. Logo T η = ξ d M (x, y) T d M (x, y). ɛ Seja C (ɛ) := max d v M (x,y) L (x, v). Existe α C T (x, y) uma minimizante de Tonelli. ɛ Defina α s (t) = α ( T t), logo B (s) = A s L+k (α s ) = Φ k (x, y, s) := h (s). Então h (T + δ) h (T ) δ B (T + δ) B (T ) + B (T ) h (T ) δ = B (T + δ) B (T ). δ Logo f (T ) := lim sup δ h (T + δ) h (T ) δ B (T ). Pela convexidade, L (x, v) L (x, w) L v (x, w) (v w). Fazendo v = obtemos L (x, ) L (x, w) L v (x, w) (w). Logo E (x, w) L (x, ) k E (x, w) k + C (ɛ). Segue que B (T ) = 1 T [k E(α T (t), α T (t)) ] dt k + C (ɛ).

3.2. Minimizantes Globais 38 Então Se S, T ɛ, Portanto f (T ) k + C (ɛ). Φ k (x, y, S) Φ k (x, y, T ) = h (S) h (T ) S Φ k (x, y, S) Φ k (x, y, T ) [k + C (ɛ)] (S T ). T f (t) dt. Sabemos que, para o caso k < c (L), Φ k. Logo não existem minimizantes globais. Analisaremos os demais casos. Proposição 3.4. Se k > c(l) e x y, então existe γ C(x, y) tal que A L+k (γ) = Φ k (x, y), ou seja, existe uma minimizante global. Além disso sua energia é E(γ, γ) k. Prova: Pela proposição 3.3 f (t) = Φ k (x, y, t) é contínua, lim ɛ + Φ k (x, y; ɛ) = + e lim T + Φ k (x, y; T ) = +. Para ɛ > pequeno e Q > grande f /[ɛ,q] é uniformemente contínua. Logo existe T > tal que f(t ) f(t) t > Φ k (x, y) = Φ k (x, y, T ). Por Tonelli existe γ C T (x, y) tal que A L+k (γ) = Φ k (x, y). Como k > c(l) segue que γ é minimizante global. Da proposição 3.2 E(γ, γ) k. Para o caso k = c(l) observe que c = c(l) e, para toda curva γ C(x, y), temos A L+c (γ) Φ c (x, y) Φ c (y, x). Definição 3.2. Uma curva γ C(x, y) é dita semi-estática se A L+c (γ) = Φ c (x, y). Se γ C(x, y) é tal que A L+c (γ) = Φ c (y, x) então diremos γ é estática.

39 Capítulo 3. Ação Potencial e Valor Crítico de Mañé Segue da definição que curvas estáticas são semi-estáticas. A recíproca é válida desde que d c (x, y) = Φ c (x, y) + Φ c (y, x) =. Note que curvas estáticas e semi-estáticas são minimizantes globais. Corolário 3.1. Curvas semi-estáticas tem energia E = c (L). Prova: Se γ é semi-estática, logo é uma minimizante global. Portanto o resultado segue da proposição 3.2. Definição 3.3. Σ(L) := {w T M x w : R M é semi-estática}, Σ(L) := {w T M x w : R M é estática}, Σ (L) := { w T M x w :], ] M é semi-estática}, Σ + (L) := {w T M x w : [, + [ M é semi-estática}, onde x w é uma curva tal que (x w (t ), ẋ w (t )) = w. Σ(L) é conhecido como conjunto de Aubry. Seja v T M. Denote por α (v) e ω (v) alfa e ômega limites, respectivamente, de v pelo fluxo φ L t de Euler-Lagrange. Lema 3.3. Sejam u, v Σ(L). Considere a relação u v d c (π (u), π (v)) =. Então é uma relação de equivalência. Denotamos por [u] a respectiva classe estática. Prova: Temos que a relação é claramente reflexiva e simétrica. Mostraremos a transitividade. Pelos itens 1 e 6 da proposição 3.1, se u v e v w, então Φ c (x, z) Φ c (x, y) + Φ c (y, z) e Φ c (z, x) Φ c (z, y) + Φ c (y, x). onde π (u) = x, π (v) = y e π (w) = z. Logo Φ c (x, z) + Φ c (z, x) Φ c (x, y) + Φ c (y, x) + Φ c (y, z) + Φ c (z, y) =. Proposição 3.5. Se v Σ (L), então α(v), ω(v) Σ(L). Além disso α(v) e ω(v) estão contidos, cada um, em uma classe estática.

3.2. Minimizantes Globais 4 Prova: Provaremos que ω(v) Σ(L). O fato que α(v) Σ(L) segue analogamente. Seja γ (t) = πφ L t (v). Suponha (γ (t n ), γ (t n )) w T M com t n +. Se w for singularidade, então Φ c (π (w), π (w)) = e o resultado está provado. Caso contrário sejam η (t) = πφ L t (w) e γ n = γ [t n s, t n + s], s >. Como η e γ são soluções de Euler-Lagrange e (γ (t n ), γ (t n )) w, ponto regular, pelo teorema do Fluxo Tubular, para s > suficientemente pequeno. Como Logo A L+c (γ [t n s, t m s]) = (γ n, γ n ) (η [ s, s], η [ s, s]) tn +s t n s L (γ, γ) + c + tm s t n +s L (γ, γ) + c = A L+c (γ n ) + A L+c (γ [t n + s, t m s]). lim Φ c (γ (t n s), γ (t m s)) = lim {A L+c (γ n ) + Φ c (γ (t n + s), γ (t m s))}, n,m n,m pois A L+c (γ [α, β]) = Φ c (γ (α), γ (β)). Portanto A L+c (η [ s, s]) + Φ c (η (s), η ( s)) = lim n,m {A L+c (γ n ) + Φ c (γ (t n + s), γ (t m s))} = lim n,m Φ c (γ (t n s), γ (t m s)) = Φ c (η ( s), η ( s)) =, implicando w ˆΣ (L). Agora seja u ω (v). Existe {s n } com t n < s n < t n+1 tal que (γ (s n ), γ (s n )) u. Como γ (t n ) π (w), γ (s n ) π (u) e então A L+c (γ [t n, t n+1 ]) = A L+c (γ [t n, s n ]) + A L+c (γ [s n, t n+1 ]), d c (π (w), π (u)) = Φ c (π (w), π (u)) + Φ c (π (u), π (w)) concluindo a demonstração. = lim n A L+c (γ [t n, s n ]) + lim n A L+c (γ [s n, t n+1 ]) = lim n A L+c (γ [t n, t n+1 ]) = lim n Φ c (γ (t n ), γ (t n+1 )) = Φ c (π (w), π (w)) =,

41 Capítulo 3. Ação Potencial e Valor Crítico de Mañé 3.3 Barreira de Peierls Dados x, y M e T > defina h T (x, y) := Φ c (x, y; T ) = inf A L+c (γ). γ C T (x,y) Curvas que realizam h T (x, y) são minimizantes de Tonelli em C T (x, y). Definimos a barreira de Peierls por h (x, y) = lim inf T h T (x, y). Note que na barreira de Peierls as curvas devem ser definidas em intervalos de tempo arbitrariamente grandes. Obviamente h (x, y) = lim inf T Proposição 3.6. Se h : M M R é finita, então h T (x, y) inf T h T (x, y) = Φ c (x, y). 1. x, y M, h(x, y) Φ c (x, y). Em particular h(x, x), x M. 2. h(x, z) h(x, y) + h(y, z), x, y, z M. 3. h é Lipschitz. 4. h(x, y) Φ c (x, p) + h(p, q) + Φ c (q, y), x, y, p, q M. 5. Se Σ, então h(x, y) inf p π( Σ) b {Φ c (x, p) + Φ c (p, y)}. Prova: 1. Já observamos que h (x, y) Φ c (x, y) para todos x, y M. Conseqüentemente h(x, x) Φ c (x, x) =. 2. Dados S, T > e x, y, z M seja γ tal que γ () = x, γ (T ) = y e γ (T + S) = z. Logo h T +S (x, z) A L+c (γ) = [L (γ) + c] dt + T +S [L (γ) + c] dt. Tomando o ínfimo em C T (x, y) e em C T (y, z), h T +S (x, z) Φ c (x, y) + Φ c (y, z) h T (x, y) + h S (y, z). (3.1) Logo h (x, z) = lim inf T h T +S (x, z) lim inf T {h T (x, y) + h S (y, z)} = h (x, y) + h S (y, z). (3.2)