FLUXO EM REDE PARA MÚLTIPLOS PRODUTOS - DECOMPOSIÇÃO AINV

XXX ENCNTR NCINL E ENGENHRI E PRUÇÃ Maturidade e desafios da Engenharia de Produção: competitividade das empresas, condições de trabalho, meio ambiente São Carlos, SP, Brasil, 1 a15 de outubro de 010 FLUX EM REE PR MÚLTIPLS PRUTS - ECMPSIÇÃ INV Luis Ernesto Torres Guardia (UFF) tepletg@vmuffbr presenta-se neste trabalho o método de pontos interiores primal - dual para resolver o problema linear de fluxo em rede para múltiplos produtos Em cada iteração do método primal - dual, o método INV é usado tanto para decompor a matriz aassociada ao sistema normal que relaciona todos os produtos, como a matriz associada correspondente a cada produto Neste caso, não é necessário armazenar as matrizes envolvidas nesse processo de decomposição Testes numéricos são realizados em redes de diferentes dimensões e número de produtos s resultados computacionais mostram a eficiência deste método de pontos interiores primal - dual para esta classe especial de problemas lineares de fluxo em rede Palavras-chaves: Programação Linear, método de pontos interiores, fluxo em rede

1 Introdução Um problema linear de fluxo em rede para múltiplos produtos, no qual produtos individuais compartem um arco capacitado, usualmente tem muitas variáveis e restrições que faz ser difícil de ser resolvido por procedimentos gerais, digamos o método conhecido do simplex, que é um algoritmo de complexidade exponencial recente interesse nos métodos de pontos interiores, especialmente o método primal dual, de complexidade polinomial, para resolver problemas de programação linear tem sido bastante estudado e sua implementação computacional pode resolver programas lineares de grande porte ssad (1978) e ennington (1978) apresentam surveys sobre a literatura do problema linear de fluxo em rede para múltiplos produtos e diferentes algoritmos foram propostos para resolver dito problema, baseados na técnica do método simplex modelo de programação linear de fluxo em rede para múltiplos produtos pode ser aplicado em uma variedade de contextos produzindo um número de diferentes formulações, ver por exemplo li et al (1980) e (1984) Também pode-se consultar os livros de huja et al (1993) e de ennigton e Helgason (1980) que apresentam uma descrição compreensiva deste problema de rede e suas aplicações principal característica neste trabalho é a apresentação de um método de resolução do sistema linear de equações que aparece nos métodos de pontos interiores Este método de resolução, denominado INV apresentado por Benzi et al (000), para o caso de um único produto funciona muito bem Este trabalho é organizado como segue Seção apresenta a formulação matemática do problema a ser resolvido método de pontos interiores primal-dual é apresentado na seção 3 e na seção 4, desenvolve-se uma especialização do método de pontos interiores para o problema de fluxo em rede de múltiplos produtos Finalmente, na seção 5 aplica-se o método de pontos interiores para um modelo de rede de diferentes dimensões para múltiplos produtos e os resultados computacionais mostram a eficiência deste algoritmo Formulação do Problema de Fluxo em Rede para Múltiplos Produtos Seja o problema linear de fluxo em rede para múltiplos produtos, com produtos, e o suprimento e a procura para cada produto distribuídos sobre um grafo dirigido (N,) onde N é o conjunto de m nós e é o conjunto de n arcos problema de fluxo em rede para multiplos produtos pode ser formulado como segue: mimimizar k 1 (c k ) t x k (1) sujeito a x k = b k, 1,,, () k 1 x k +x =b mc, (3) x k 0, x 0, k = 1,, qui, R mxn é a matriz de incidência nó-arco correspondente à rede (onde cada coluna i está relacionado ao arco a com coeficientes +1 e 1), c k R n é o vetor de custo para cada produto k; e b k é o vetor de requerimento de suprimento/procura para cada produto k, onde b k i > 0 indica um nó i de suprimento para o produto k e b k i < 0 indica um nó i de procura para

o produto k vetor b mc R n é um vetor de capacidade correspondente a cada arco na rede É suposto que é uma matriz de posto completo Note-se que x k R n é o vetor de decisão de fluxo no arco para o produto k e x R n é o vetor de variável de folga valor é o número total de produtos no problema relação (1) é a função objetivo a minimizar relação () são as restrições de conservação de fluxo da rede enquanto a relação (3) é conhecida como a restrição de capacidade que especifica o fluxo total máximo de todos os produtos para cada arco Problemas de fluxo em rede para múltiplos produtos não satisfazem a propriedade de a solução ótima ser um número inteiro como o caso para um único produto problema dual associado a (1) - (3) é escrito como segue: maximizar sujeito a k 1 (b k ) t y k - b mc y v t y k y v + s = c k y v 0, s v 0, onde y k e y v são as variáveis duais e s é o vetor dual de folga Nos últimos anos, vários métodos foram desenvolvidos para resolver problemas de fluxo em rede para múltiplos produtos assim como estudos computacionais foram implementados usando algoritmos especializados do simplex, ver por exemplo Farvolden et al (1993), Jones et al (1993), Schneur e rlin (1998), etlefsen e Wallace (00) entre outros armarkar (1984) publicou um novo algoritmo polinomial para resolver problemas de programação linear Esse algoritmo e suas muitas variantes, conhecidos como métodos de pontos interiores foram usados eficientemente para resolver problemas de fluxo em redes Esses algoritmos de pontos interiores compartem a mesma estrutura básica computacional Choi e Goldfarb (1990), Lustig e Li (199) e Castro (000), (003), (007) apresentam o método de pontos interiores primal-dual para resolver problemas de fluxo em rede para múltiplos produtos Chardaire e Lisser (00) apresentam o método de pontos interiores fim ual de escalonamento para o caso de multiplos produtos aplicado a um caso especial de rede de telecomunicações passo crucial na eficiência dos algoritmos de pontos interiores está na determinação da solução de um sistema linear, denominado de sistema normal, que é usado neste trabalho partir de um ponto interior inicial, em cada iteração, determina-se uma direção, digamos, que envolve a resolução de um sistema linear de equações do tipo: ( () t ) =, (4) onde é a matriz de restrições do programa linear, é uma matriz diagonal de escalonamento e é um vetor qualquer Existem diversos métodos para determinar a solução do sistema dado em (4) método tradicional de solução de Cholesky, consultar o livro de Nocedal e Wright (1999), é bastante usado para resolver esse tipo de sistema linear Esse método consiste na decomposição da matriz ( () t ) Um método alternativo de decomposição, mas agora da matriz inversa de ( () t ), usado neste trabalho, é o método INV de Benzi et al (000), que para o caso do problema de fluxo em rede, não precisa-se armazenar nem a matriz nem a matriz ( () t ) 3

3 Método de Pontos Interiores Primal-ual epois que armarkar (1984) apresentou o método denominado de pontos interiores para resolver um problema especifico de programação linear, outros métodos foram estudados baseados nessa idéia para o caso geral do modelo linear Entre os vários métodos de pontos interiores aplicados para problemas de programação linear, o método primal-dual tornou-se um dos mais elegantes e poderosos, superando os outros métodos de pontos interiores, e mostrou também este potencial como tal para problemas práticos, ver Portugal et al (000), (008) Para detalhes em profundidade para esta classe de método de pontos interiores, pode-se consultar os livros de Wright (1997), Vanderbei (008) presenta-se a continuação uma breve descrição do método de pontos interiores primal-dual para resolver o seguinte problema, no formato padrão, de programação linear denominado de primal com restrições lineares: minimizar c t x (5) sujeito a x = b, x 0, onde x R n, c R n, b R m e R m xn uma matriz de posto de linha completo dual do problema linear anterior é dado por: maximizar b t y (6) sujeito a () t y + s = c, s 0, onde y R m é a variável dual e s R n é a variável dual de folga Note-se que o problema de fluxo em rede para multiplos produtos (1) (3) pode ser formulado como o problema linear dado em (5) Se x é uma solução ótima de (5) e (y,s) é uma solução ótima de (6), então as seguintes condições são satisfeitas: x = b, () t y+s = c, (7) Xs = 0, x,s 0, onde X = diag(x) é a matriz diagonal com elementos na diagonal igual ao elemento x i de xr n problema de determinar (x,y,s) de (7) é denominada de programação linear primaldual gora se (x,y,s) é uma solução do problema primal-dual, então x e (y,s) são soluções ótimas de (5) e (6) respectivamente enomina-se um ponto (x,y,s) de interior se x > 0 e s > 0 e é viável se as seguintes condições são satisfeitas: x =b, () t y + s = c e (x,s) 0 Para cada equações: > 0, denominado parâmetro de barreira, considere o seguinte sistema de x = b, () t y + s = c, (8) Xs = e, 4

sendo e o vetor cujas componentes é dado por 1 s, isto é, e = (1,1,,1) t R n Se = 0, o sistema (8) é equivalente ao sistema (7) ssim, a solução (x(),y(),s()) de (8) aproxima-se à solução de (7) se aproxima-se a 0 método de pontos interiores primal-dual gera uma seqüência de parâmetros j e uma sequência de pontos interiores (x j, y j, s j ), de tal modo que o parâmetro j aproxime-se rápidamente a zero Seja então (x 0, y 0, s 0 ) um ponto inicial interior não necessariámente viável e 0 = (x 0 ) t s 0 /n Em cada iteração j, uma direção de Newton (dx j, dy j, ds j ), do sistema (8), é determinada resolvendo o seguinte sistema linear de equações: 0 S 0 0 T 0 dx I dy = X ds b c onde ξ b = b x, ξ c = c () t y s, ξ µ = μe XSe, e denominadas de folga primal, folga dual e folga de complementaridade, respectivamente Se agora elimina-se ds da terceira equação do sistema (9), tem-se o seguinte sistema, denominado de sistema aumentado ou indefinido: 1 X S 0 T dx b X = dy b 1 ds = c () t dy, (9) c, (10) e realizando mais uma substituição, eliminando dx, tem-se o seguinte sistema linear denominado de normal: sendo = S -1 X ( () () t ) dy = (S) -1 X [ c X -1 ] + b, (11) s outras variáveis ds e dx podem ser determinadas como segue: ds = c () t dy, dx = S -1 ( - X ds) (1) Comparando o sistema de equações normais (11) e o sistema indefinido (10), pode-se observar que a matriz para o sistema normal é simétrica e definida positiva, de menor porte e talvez mais densa matriz do sistema aumentada é simétrica indefinida e usualmente mais esparsa lguns autores preferem resolver o sistema normal usando algum método direto de resolução, por exemplo, métodos de decomposição da correspondente matriz associada ao sistema utros pesquisadores usam métodos indiretos, como por exemplo o método da gradiente conjugado com uma matriz pré-condicionada apropriada Se se usa a matriz do sistema aumentada, para aproveitar a esparsidade da matriz, outros autores usam um algoritmo iterativo do tipo gradiente conjugado, observar por exemplo o trabalho de Bergamaschi, et al (004), mas a dificultade é maior para determinar a correspondente matriz pré-condicionada apropriada etalhes da implementação 5

computacional do método de pontos interiores primal dual pode-se consultar o trabalho de ndersen et al (1996) Seja (dx j, dy j, ds j ) t a solução do sistema dado em (9) Um novo ponto interior (x j+1, y j+1, s j+1 ) é determinado como segue: x j+1 = x j + P dx j, s j+1 = s j + ds j, (13) y j+1 = y j + dy j, onde < 1 e P e são o tamanho de passo no espaço primal e dual respectivamente, tal que a condição de não negativas das variáveis x e s sejam mantidas Um novo parâmetro de barreira é atualizado e o processo repete-se até que um certo critério de parada seja satisfeito 4 Problema de Fluxo em Rede para Múltiplos Produtos matriz de restrições do problema linear (5) associada agora à matriz de restrições do problema de fluxo em redes para múltiplos produtos (1) (3) é visualizada como segue: = I I I, (14) I onde cada bloco corresponde à sub-matriz, para cada produto k, k=1,,, obtida da matriz de incidência da rede correspondente, depois de remover a última linha da matriz para evitar a deficiência de posto de linha s matrizes de identidade I correspondem às restrições de capacidade direção de busca dy é obtida resolvendo o sistema linear (11) Neste caso, é a matriz diagonal dada a seguir: = 1, (15) sendo as matrizes diagonais de bloco k = (S k ) -1 X k, k=1,, onde X k e S k são matrizes diagonais com elementos x k e s k respectivamente, e = (S ) -1 X onde X e S matrizes diagonais com elementos x e s respectivamente Fazendo as multiplicações de bloco, a matriz () t tem a seguinte estrutura: 6

() t = t 1 t 1 t t 1 k 1 k (16) Seja B a matriz diagonal de bloco com B k = k t que C t = [ 1 t,, t ] e F = +k 1 k para k = 1,,, e C uma matriz tal Então, da relação (16), tem-se: () t B C = (17) t C F gora, desde que e k, k = 1,, são matrizes diagonais e definidas positivas, então a matriz F é diagonal e definida positiva Portanto, o sistema (11), sem considerar o índice da iteração j, e usando (17), pode ser expresso como segue: 1 B C dy t C F dy h1 = h (18) onde dy = [ dy 1, dy ] t, sendo h = [ h 1, h ] t e h = S -1 X [ c X -1 ] + b sistema linear anterior (18) pode ser expresso como: [ F C t B -1 C ] dy = h C t B -1 h 1, (19) B dy 1 = h 1 C dy, onde a matriz (F C t B -1 C) -1 é conhecida como o complemento de Schur Seja h 1 = [ h 11,, h 1 ], então temos de (19): onde k1 k Bk [ F- C t B -1 C ] dy t 1 = h - ( ) h 1k, (0) F C t B -1 C = ( + k t 1 1 k - ( ) k 1 k Bk k (1) Castro (000) menciona por ser k matrizes simétrica e definida positiva e uma matriz de rede de posto completo, então as matrizes B k = k t é também simétrica e definida positiva Neste trabalho usa-se uma aproximação da matriz inversa de B k, ver Benzi et al (000), de tal forma que: B k -1 Z k P k -1 Z k t, () 7

onde Z k é uma matriz triangular superior com elementos na diagonal de 1 s e P k é uma matriz diagonal Castro (000) também observa que a matriz F C t B -1 C é simétrica e definida positiva, portanto o sistema (0) pode ser resolvido se usa-se novamente a decomposição de Benzi et al (000) de tal forma que: ( F C t B -1 C ) -1 Z P -1 Z t, onde Z é uma matriz triangular superior com elementos na diagonal de 1 s e P é uma matriz diagonal presenta-se a seguir o método de decomposição de Benzi et al (000) para obter a matriz inversa de (F C t B -1 C ) de dimensão n x n, onde e i é o i-ésimo vetor unitário base: (1) seja z (0) i = e i (1in); () para i=1,,n fazer; (3) v i = (F C t B -1 C ) z (i-1) i ; (4) para j = i, i+1,, n fazer; (5) (i - p 1) T (i - j = v i z 1) j ; (6) final; (7) se i = n ir a (1); (8) para j = i+1,, n fazer; (9) z (i) (i - 1) j = z j (i - - (p 1) (ij / p 1) (ii ) z 1) i ; (10) final; (11) final; (i-1) (1) seja z i = z i (i e p i = p 1) i, para 1 i n Retornar Z = [ z 1, z,, z n ] e P = diag (p 1, p,, p n ) No passo (3), pode-se observar que o método descrito acima realiza o produto matriz-vetor (F C t B -1 C ) z i Para o problema linear de fluxo em rede, não é necessário armazenar nem a matriz C nem a matriz B -1, sendo a matriz F diagonal, assim, pode-se aproveitar a estrutura que possuem essas matrices para tratar problemas lineares de grande porte mesmo esquema é usado para o caso de determinar a matriz inversa da matriz B k = k t, k=1,,, ver expressão dado em () Neste caso, no passo (3) do método de Benzi et al (000), substitui-se a matriz ( F C t B -1 C ) pela matriz k t onde não é necessário formar tal matriz explicitamente, isto é, não é necessário armazenar nem a matriz nem formar a matriz k t, sendo isto realizado usando uma estrutura de dados a base de dois vetores origem/destino para cada arco da rede eve-se observar que, por ser a matriz F C t B -1 C simétrica e definida positiva, o sistema (0) pode também ser resolvido usando o algoritmo da gradiente conjugado pré-condicionado (GCP), e só precisa do produto matriz - vetor, ver por exemplo o livro de Nocedal e Wright (1999), e neste caso a matriz condicionador simplesmente é a inversa da matriz diagonal F, de tal modo a reduzir o número de iterações do GCP Este esquema de solução é discutido em um próximo trabalho Uma vez determinada dy, ver relação (0), o sistema B dy 1 = h 1 C dy resolvido da seguinte forma: de (19) pode ser ou usando () dy 1 = B -1 (h 1 C dy ), 8

dy k 1 = ( Z k P k -1 Z k t ) [ h 1k ( k ) dy ], k = 1,,, onde dy 1 = [ dy 1 1,, dy 1 ] e h 1 = [ h 11,, h 1 ] t esta forma, tem-se determinada dy = [ dy 1, dy ] t, e pode-se calcular as outras variáveis ds e dx usando as relações (11) e (1) respectivamente, e um novo ponto interior (x,y,s) usando (13) é determinada processo repete-se até que um certo critério de parada seja alcançado 5 Experiência Computacional Para resolver o problema de fluxo em rede com múltiplos produtos, redes de diversas dimensões foram analisadas baseadas na rede básica dada em Nagurney (1984), pp 476 Essa rede consiste de 0 nós e 8 arcos e é usada para determinar o equilíbrio de fluxo de tráfego formulado como um problema de inequações variacionais Essa rede básica foi depois estendida para formar redes de grande porte Um mesmo ponto interior inicial, não necessáriamente viável, é usado em todos os experimentos computacionais do método de pontos interiores primal - dual, dado a seguir: x 0 = e, y 0 = -0,5e, z 0 = e Podería-se usar outro ponto interior inicial, viável ou não, para tentar acelerar o método primal dual, mas o esforço ou o tempo computacional podería aumentar, sendo este o outro passo crucial nos métodos de pontos interiores Em todos os testes computacionais o valor = 0,99995 critério de parada, nos métodos estudados, é estabelecido em termos de proximidade do valor da função objetivo no ponto atual e no ponto anterior, com uma tolerância de erro préestabelecido Também usa-se como critério de parada a proximidade do valor da função objetivo do problema primal e do problema dual método de pontos interiores primal dual foi inteiramente codificado na linguagem FRTRN com dupla precisão Todos os experimentos computacionais foram realizados em um microcomputador PC M thlon com 1,0 GB de RM e,40 GHz de freqüência rodando a plataforma Windows XP Como mencionado anteriormente, a inversa da matriz (F C t B -1 C ) é decomposta usando o método de decomposição de Benzi et al (000) de tal forma que (F C t B -1 C ) -1 Z P -1 Z t Neste caso, não é necessário armazenar a matriz (F C t B -1 C ) nem a matriz C nem B -1 Por outro lado, a matriz Z, sendo triangular superior, é armazenada em um vetor usando a seqüência z 11, z 1, z, z 13, z 3, etc Lembre-se que a matriz B é matriz diagonal de bloco com B k = k t para k = 1,, o determinar a matriz inversa de B k implica determinar a inversa de cada matriz B k = k t inversa de cada uma dessas matrizes é decomposta usando novamente o método de Benzi et la (000), isto é, B -1 k Z k P -1 t k Z k Cada matriz Z k é armazenada em um vetor similar ao caso da matriz Z seguir, apresentam-se os resultados computacionais usando o método de pontos interiores primal dual para determinar o fluxo de rede de diferentes dimensões e variando o número de produtos Número Produtos 500 700 800 Número de rcos 410 305 16 Número de Nós 0 165 90 Total variáveis 05000 13500 19600 Valor função primal 4500000,00000 549999,99999 430000,00001 Valor função dual 4500000,00064 550000,0000 430000,00576 Número Iterações 15 15 14 9

Tempo (segundos) 140,093 181,907 4,484 Tabela 1 Método Primal-ual para Múltiplos Produtos Pode-se observar da tabela 1, que a diferença entre os valores da função objetiva do correspondente problema linear primal e dual é mínima Por outro lado, o número de iterações é tipicamente muito pequeno quando aplicamos este método de pontos interiores primal dual Pode-se finalizar mencionando que este método estudado comporta-se muito bem para o caso do problema de fluxo em rede de diferentes dimensões e variando o número de produtos 6 Conclusões Este artigo apresentou o método de pontos interiores primal dual para resolver o problema de programação linear de grande porte como é o caso do problema de fluxo em rede para múltiplos produtos método de decomposição INV é usado na solução de um sistema linear de equações para cada produto Novamente este método de decomposição é aplicado para um sistema linear complexo envolvendo todas essas decomposições método estudado explora a estrutura matricial do problema, não sendo necessária o armazenamento de cada uma dessas matrizes, quando foi resolvido o correspondente sistema linear, para cada um dos produtos s resultados numéricos realizados em algumas redes de diferentes dimensões e número de produtos confirmam a eficiência do método de pontos interiores primal - dual Referências: HUJ, ; MGNNTI, T & RLIN, J Network Flows: Theory, lgorithms and pplications, Prentice Hall, Inc New Jersey, 1993 LI, ; HELGSN, R; ENNINGTN, J & LLL, H Computational Comparison among Three Multicommodity Network Flow lgorithms, perations Research, Vol 8, p 995-1000, 1980 LI, ; BRNETT, ; FRHNGIN, ; ENNINGTN, J; PTTY, B; SHETTY, B; McCRL, B & WNG, P Multicommodity Network Problems: pplications and Computations, IIE Transactions, Vol 16, p 17 134, 1984 NERSEN, E; GNZI, J; MÉSZÁRS, C & XU, X Implementation of Interior - Point Methods for Large Scale Linear Programs, Interior Point Methods of Mathematical Programming, T Terlaky, ed luwer cademic Publishers, Netherlands, p 189-5, 1996 SS, Multicommodity Network Flows: Survey, Networks, Vol 8, p 37-91, 1978 BENZI, M; CULLUM, J & TUM, M Robust pproximate Inverse Preconditioning for the Conjugate Gradient Method, SIM Journal on Scientific Computing, Vol, n 4, p 1318 133, 000 BERGMSCHI, L; GNZI, J & ZILLI, G Preconditioning Indefinite Systems in Interior Point Methods for ptimization, Computational ptimization and pplications, Vol 8, p149 171, 004 CSTR, J Specialized Interior Point lgorithm for Multicommodity Network Flows, SIM Journal on ptimization, Vol 10, n 3, p 85 877, 000 CSTR, J Solving ifficult Multicommodity Problems with a Specialized Interior-Point lgorithm, nnals of perations Research, Vol 14, p 35 48, 003 CSTR, J n Interior-Point pproach for Primal Block-ngular problems, Computational ptimization and pplications, Vol 36, p 195 19, 007 CHRIRE, P & LISSER, Simplex and Interior Point Specialized lgorithms for Solving Nonoriented Multicommodity Flow Problems, perations Research, vol 50, n, p 60 76, 00 10

CHI, I & GLFRB, Solving Multicommodity Network Flow Problems by an Interior Point Method, Large-Scale Numerical ptimization, T Coleman e Y Li, Eds, SIM, Philadelphia, P, p 58 69,1990 ETLEFSEN, N & WLLCE, S The Simplex lgorithm for Multicommodity Networks, Networks, Vol 39, n 1, p 15 8, 00 FRVLEN, J; PWELL, W & LUSTING, J Primal Partitioning Solution for the rc-chain Formulation of a Multicommodity Network Flow Problem, perations Research, Vol 41, n 41, p 669 693, 1993 JNES, ; LUSTING, J; FRVLEN, J & PWEEL, W Network Flows: The Impact of Formulation on ecomposition, Mathematical Programming, Vol 6, p 95 117, 1993 RMRR, N New Polynomial Time lgorithm for Linear Programming, Combinatorica, Vol 4, p 373 395, 1984 ENNINGTN, J Survey of Linear Cost Multicommodity Network Flows, perations Research, Vol 6, p 09 36, 1978 ENNINGTN, J & HELGSN, R lgorithms for Network Programming, John Wiley and Sons, Inc, New York, 1980 LUSTIG, J & LI, G n Implementation of a Parallel Primal-ual Interior Point Method for Block - Structured Linear Programs, Computational ptimization and pplications, Vol 1, p 141 161, 199 NGURNEY, Comparative tests of multimodal traffic equilibrium methods, Transportation Research, Vol18B, 469-485, 1984 NCEL, J & WRIGHT, S Numerical ptimization, Springer,1999 PRTUGL, L; RESENE, M; VEIG, G & JÚICE J Truncated Primal-Infeasible ual-feasible Network Interior Point Method, Networks, Vol 35, n, p 91 108, 000 PRTUGL, L; RESENE, M; VEIG, G; PTRICI, J & JÚICE, J FRTRN Subroutines for network flow ptimization using an Interior Point lgorithm, Pesquisa peracional, Vol 8, n, p 43 61, 008 SCHNEUR, R & RLIN, J Scaling lgorithm for Multicommodity Flow Problems, perations Research, Vol 4, n, p 31 46, 1998 VNERBEI, R Linear Programming, 3 rd Ed Springer, Boston, 008 WRIGHT, S Primal-ual Interior-Point Methods, SIM, Philadelphia, 1997 11