MATEMÁTICA APLICADA NA PRÁTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO Applied mathematics in practice in the fundamental and medium teaching Gabriela Garcia Agra Naufal Larissa Bicho Janegitz Maria Emília Sandalo Fiorini Alunas do Ensino Médio Escola Dimensão de Lucélia Sistema Positivo de Ensino Wendel Cleber Soares Professor Doutor Faculdades Adamantinenses Integradas - FAI RESUMO Este trabalho teve por objetivo apresentar a aplicação prática de alguns conceitos básicos apresentados no contexto da disciplina matemática referentes ao ensino fundamental e médio. Estes conceitos podem ser abordados em duas frentes da matemática, Álgebra e Geometria. O que se propõe neste trabalho é aplicar as ferramentas matemáticas utilizadas em sala de aula. A idéia é conciliar e explorar as duas frentes, fazendo com que os alunos entendam os cálculos algébricos e apliquem dentro do contexto da geometria. O exemplo experimental descrito no trabalho mostra a metodologia usada para o ensino de geometria e álgebra com material concreto, servindo de modelo de atividades para os professores interessados em dar oportunidade aos seus alunos de construírem o seu próprio conhecimento, com participação ativa em sala de aula. Palavras-chave: Álgebra. Geometria. Exemplo concreto. ABSTRACT This work has for objective to present the practical application of some basic concepts presented in the context of the mathematical discipline regarding the fundamental and medium teaching. These concepts can be approached in two fronts of the mathematics, Algebra and Geometry. What intends in this work is to apply the mathematical tools used at classroom. The idea is to reconcile and to explore the two fronts, doing with that the students understand the algebraic calculations and apply inside of the context of the geometry. The experimental example described in the work shows the methodology used for the geometry teaching and algebra with concrete material, serving as model of activities for the interested teachers in giving opportunity to their students of they build his/her own knowledge, with participation it activates at classroom. Key-words: Algebra. Geometry. Concrete example. INTRODUÇÃO A atual situação do ensino fundamental e médio é muito preocupante, exigindo dos professores habilidades que vão além do seu conhecimento científico para atingir o seu principal objetivo, a aprendizagem do aluno. O principal fator no aprendizado é o de despertar 1
no aluno o interesse em aprender o que é ministrado. Isto pode ser resolvido se o professor desenvolver uma dinâmica de ensino-aprendizagem, visando uma melhor interação entre professor e aluno. O professor além de seus conhecimentos científicos, precisa trazer algo a mais para a sala de aula. É necessário ensinar a matemática de uma forma mais prática e mais concreta. Assim, levará o aluno aprender a matemática de maneira natural e com entusiasmo, sem limitar-se ao conhecimento formal de definições, resultados, técnicas e demonstrações. O exemplo que será abordado neste trabalho propõe o desenvolvimento da teoria apresentada em sala de aula, aplicando-os na prática os conceitos algébricos e geométricos no desenvolvimento de um exemplo concreto que é familiar no dia a dia dos alunos. A confecção de plantas (maquetes) ou mapas é uma atividade geométrica que envolve contextos matemáticos, como: figuras geométricas, semelhança entre as figuras geométricas, números múltiplos, razão, proporção, divisão, escalas, relações de área, perímetro, aplicação do teorema de Pitágoras e entre outros conceitos fundamentais da matemática. Para explanar algum desses conceitos será utilizado uma simples maquete para o desenvolvimento prático das teorias matemáticas. Pois a Arquitetura é a arte de construir, de criar espaços organizados para abrigar diferentes atividades humanas. Nas obras de Arquitetura pode-se observar muita Geometria (TEIXEIRA FILHO, 2002). As manifestações artísticas tendo a Geometria como tema motivante também fazem parte do cotidiano. O exame e o estudo das obras e dos seus autores constituem um excelente recurso para o despertar do pensamento geométrico (TEIXEIRA FILHO, 2002). MATERIAL E MÉTODO Para este trabalho foi proposto à construção de uma pequena maquete de quatro cômodos. O desenvolvimento deste trabalho foi realizado em um colégio particular, localizado na cidade de Lucélia - SP, em uma sala do 2 o ano do ensino médio, com 20 alunos, sob a orientação do autor deste trabalho. Esta maquete representa um apartamento, contendo sala, cozinha, quarto e banheiro. Depois que todos os alunos visualizaram a maquete, foi feito uma planta no quadro negro, mostrando as figuras geométricas formadas por cada repartição e especificou as medidas que continham cada cômodo, conforme se observa no Anexo I (Figura 5). Feito isto, o próximo passo foi trabalhar os conceitos teóricos adquiridos até então, executando o ferramental matemático na prática. Os materiais utilizados para o desenvolvimento do exemplo proposto foram: madeira, isopor, régua, cartolina, cola, estilete, tinta. RESULTADOS E DISCUSSÕES Conceitos de Geometria Conforme se observa na Figura 5 do Anexo I, a maquete é formada por figuras geométricas, podendo ser explorados alguns conceitos da geometria. Dentre eles, podem ser citados: a) Quais as figuras geométricas encontradas nesta maquete e suas semelhanças; b) Cálculo de área; c) Cálculo de perímetro; d) Cálculo da diagonal e e) Aplicação do Teorema de Pitágoras. Conceitos de Álgebra Além das operações básicas (adição, subtração, multiplicação, divisão) que são necessárias para as resoluções das questões pertinentes à Geometria, pode-se ainda explorar os conceitos envolvendo: a) Razão e Proporção; b) Regra de Três Simples; c) Porcentagem; 2
d) Conceito de escala e e) Custos na Construção. A. - Aplicação do Modelo Proposto Nesta seção a abordagem dos conceitos e definições é feito de forma breve, sem utilizar o rigor matemático adequado. O mesmo acontece para as formulações, não sendo demonstrada a obtenção das mesmas. A.1. Quadrado A.1.1. Definições e Conceitos É o paralelogramo que tem os quatros ângulos reto e os quatro lados congruentes (PEREIRA et al., 1971). O quadrado é ao mesmo tempo um paralelogramo, retângulo e losango. Daí se segue que as diagonais do quadrado são iguais e cortam-se perpendicularmente ao meio, sendo também bissetrizes dos ângulos opostos (PEREIRA, et al., 1971). A Figura 1 ilustra a forma geométrica de um quadrado. l l Figura 1: Quadrado. A área (S) é igual ao quadrado do lado (l). Sendo o quadrado um retângulo de lados iguais podemos escrever: 2 S = l (1) O perímetro (P) de um quadrado é igual à soma de seus lados: P = l + l + l + l (2) podendo ser escrito ainda como: P = 4l (3) A diagonal (D) de um quadrado pode ser representada por: D = l 2 (4) A.2. Retângulo. A.2.1. Definições e Conceitos É um paralelogramo cujos lados formam ângulos retos entre si e que, por isso, possui dois pares de lados de mesma medida (RECTÂNGULO, 2008). A Figura 2 ilustra um retângulo com base b e altura h, como pode ser visualizado logo abaixo. h b 3
Figura 2: Retângulo. A área (S) do retângulo é calculada por: S = b. h (5) sendo b a base do retângulo e h definido como sendo a altura do retângulo. O perímetro do retângulo é definido como sendo: P = b + b + h + h (6) resultando em: P = 2 b + 2 h (7) A equação (7) pode ser escrita ainda como: P = 2( b + h) (8) A diagonal de um retângulo apresentado na Figura 3 pode ser encontrada através do uso do Teorema de Pitágoras (ver seção A.3), conforme apresentado na equação (9). d b a Figura 3: Diagonal de um retângulo. 2 2 2 = a b (9) d + A.3. O Teorema de Pitágoras. É provavelmente o mais célebre dos teoremas da Matemática. Enunciado pela primeira vez por filósofos gregos chamados de pitagóricos, estabelece uma relação simples entre o comprimento dos lados de um triângulo retângulo (POSITIVO, 2008). O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos (POSITIVO, 2008). A b c B a C Figura 4: Teorema de Pitágoras. A Figura 4 e a equação (10) ilustram o teorema de Pitágoras. 2 2 2 c = a + b (10) A.4. Razão. 4
A razão de um número a para um número b, sendo b, diferente de zero, é o quociente de a por b (POSITIVO, 2008). A representação de uma razão é feita da seguinte forma: a : b ou a / b (POSITIVO, 2008). O número a é chamado de antecedente e o número b de consequente (POSITIVO, 2008). Assim, o conceito de razão nos permite fazer comparações de grandeza entre dois números. Por exemplo, para saber quantas vezes o número 10 é maior do que o número 2 (ou em outras palavras, qual a razão entre 10 e 2), procede-se da seguinte forma: 10 : 2 = 5 Portanto, o número 10 é 5 vezes maior do que o número 2. A.5. Proporção. Proporção é a igualdade de duas razões. Sendo b a e d c razões equivalentes, forma-se a a c proporção =. Temos que: b d a, b, c e d são termos da proporção a e d são os extremos b e c são os meios A.6. Porcentagem ou percentagem. Porcentagem ou percentagem é uma medida de razão com base 100. É um modo de expressar uma proporção ou uma relação entre 2 valores (um é a parte e o outro é o inteiro) a partir de uma fração cujo denominador é 100. Ou seja é dividir um número por 100 (POSITIVO, 2008). Dizer que algo (chamaremos de y) é "70%" de x (lê-se: "y é setenta por cento de x"), significa dizer que y é equivalente a 70 elementos em um conjunto universo de 100 elementos (representando x, que pode ter qualquer valor), ou seja, que a razão é a divisão: 70 = 0,7 para1. 100 Ou seja, a 0,7ª parte de 1, onde esse 1 representa o valor inteiro da fração, no caso, x (POSITIVO, 2008). A.7. Regra de Três. Regra de três é uma operação que tem por fim determinar uma grandeza desconhecida, quando são dadas três outras grandezas, que guardam com a grandeza dada uma relação de porporcionalidade direta ou inversa (POSITIVO, 2008). Regra de Três Simples : Diz-se simples quando se conhecem apenas três grandezas relacionadas, direta ou inversamente com a icógnita. Chama-se direta a regra de três simples cujas grandezas que 5
nela figuram são diretamente proporcionais e inversa quando as grandezas são inversamente proporcionais (POSITIVO, 2008). Regra de Três Composta : Diz-se composta quando se conhecem mais de três grandezas relacionadas com a icógnita. A.8. A Escala Cartográfica. A escala cartográfica é um dos elementos básicos de um mapa, sendo que toda representação mantém uma certa relação de tamanho (proporção) com o objeto representado. A escala mostra a proporção que existe entre o mundo real e sua representação no papel. Um mapa pode ser milhares ou até milhões de vezes menor que o lugar representado. Com um simples olhar, não há como sabermos a proporção com que o mapa foi desenhado. Por isso usamos a escala (ESCALA CARTOGRÁFICA, 2008). Logo abaixo, segue alguns exemplos de escalas: 1:1000000 1:500000 1:250000 1:100000 1:50000 A escala pode ser definida pela fórmula: D E = d E é escala; D é distância real; d é distância na projeção. B. - Aplicações dos Conceitos Adquiridos. Após a explanação teórica das definições e formulações matemáticas, aplicou os conceitos teóricos executando-os na prática. Para as perguntas e respostas a seguir, foram utilizados como proposta concreta de trabalho a planta da maquete mostrada na Figura 5 do Anexo I. A seguir algumas perguntas e respostas no qual foi proposto para a sala e como foram executados os cálculos usando o ferramental matemático explorado na seção anterior. Segue abaixo as perguntas propostas e as resoluções apresentadas pelos alunos no decorrer da atividade proposta: Exemplo proposto: Observe a planta (ver Figura 5 do Anexo I) de um apartamento de quatro cômodos e resolva as questões propostas. O apartamento tem apenas três portas e cada uma tem 90 cm de largura. 1) Quais as medidas do quarto? l 1 quarto = l 3 quarto = 3 m 6
l 2 quarto = 3,5 1,5 l 2 quarto = l 4 quarto = 2 m 2) Quais as medidas da cozinha? l 1 cozinha = l 3 cozinha = l 4 cozinha = 1,5 m l 2 cozinha = 5,5 3 l 2 cozinha = 2,5 m 3) Pela planta (ver Figura 5 do Anexo I), observa-se que da sala para a cozinha não há porta. Quanto mede esta passagem da sala para a cozinha? Passagem = 2, 5 (l 2 cozinha ou l 4 cozinha ) 1,5 (l 1 sala ) P = 1 m 4) Quantos metros de rodapé serão necessários para o quarto? E qual a medida do perímetro do quarto? As duas respostas são iguais ou diferentes? Justifique a sua resposta. Rodapé = ( l 1 quarto + l 2 quarto + l 3 quarto + l 4 quarto ) medida da porta R = ( 3 + 2 + 3 + 2 ) 0,9 R = 10 0,9 R = 9,1 m Perímetro = ( l 1 quarto + l 2 quarto + l 3 quarto + l 4 quarto ) P = ( 3 + 2 + 3 + 2 ) P = 10 m As duas respostas são diferentes, porque o rodapé não inclui a medida da porta. 5) Se o preço do rodapé é de R$ 2,87 o metro colocado, calcule o gasto com rodapé para o quarto. R$ 2,87 1m x 9,1 m x = 2,87. 9,1 x = R$ 26,11 6) Para a cozinha será colocado um piso de cerâmica, do tipo lajota. Quantos metros quadrados de lajota serão necessários para o chão da cozinha? S cozinha = b. h S cozinha = l 2. l 3 S cozinha = 2,5. 1,5 S cozinha = 3,75 m² 7) O metro quadrado para o piso da cozinha está custando R$ 12,80. Qual o custo para o piso da cozinha? R$ 12,80 1m² x 3,75 m² x = 12,80. 3,75 x = R$ 48,00 8) Qual a razão entre a área do banheiro sobre a do quarto? 7
S banheiro = b. h S banheiro = 2. 1,5 S banheiro = 3 m² S quarto = b. h S quarto = 3.2 S quarto = 6 m² Razão = S banheiro / S quarto R = 3/6 R = 1/2 9) Se colocarmos um tapete com medidas: 50x20 cm, qual é a porcentagem de área ocupada em relação com a área do quarto? l 1 quarto = 3m l 2 quarto = 2m l 1 tapete = 50cm = 0,5m l 2 tapete = 20cm = 0,2m S quarto = 3.2 = 6m S tapete = 0,5.0,2 = 0,1m 6m 100% 0,1m x 6x = 0,1.100 x= 10/6 x= 1,66 % Estes exemplos, listados acima, realizados com os alunos em sala de aula, são apenas alguns exemplos ilustrativos para evidenciar o objetivo deste trabalho. CONCLUSÃO A compreensão dos conceitos, definições e formulações matemáticas, se torna interessante quando se aplica na prática. Para este trabalho construiu-se uma maquete e com o esboço de sua planta, executou cálculos pertinentes a teoria matemática ensinada no dia a dia em sala de aula. Observou-se um enorme interesse dos alunos nos assuntos abordados e os conceitos adquiridos pelos mesmos é bastante significativo. A aula se torna mais dinâmica e bem mais participativa. O processo ensino-aprendizagem é estimulante e faz com que o aluno compreenda melhor o assunto abordado tomando gosto pela matemática. REFERÊNCIAS ESCALA CARTOGRÁFICA. Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/escala_cartogr%c3%a1fica. Acesso em 15 set. 2009. PEREIRA, E. M. et al. Grande Biblioteca Básica Colegial. Volume de Matemática. 2. ed. Rio de Janeiro: Peon Editores, 1971. 8
POSITIVO, Apostilas. Livro do Professor. Volume Único. Gráfica e Editora Posigraf S/A. Curitiba PR, 2008. RECTÂNGULO. Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/rect%c3%a2ngulo. Acesso em 15 set. 2009. TEIXEIRA FILHO, D. M. O aprendizado da geometria no ensino médio origens de dificuldades e propostas alternativas. Dissertação (Mestrado) Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2002. Disponível em: http://teses.eps.ufsc.br/defesa/pdf/7722.pdf. Acesso em: 12 ago. 2009. 9
ANEXO I: Figura 5: Planta da Maquete. 10