O Espaço dos Operadores Compactos

O Espaço dos Operadores Compactos Willian Versolati França Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação do Instituto de Matemática, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Matemática. Orientadora: Luiza Amália de Moraes Rio de Janeiro Junho de 2008

O Espaço dos Operadores Compactos Willian Versolati França Orientadora: Luiza Amália de Moraes Dissertação de Mestrado submetida ao Programa de Pós-graduação do Instituto de Matemática, da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Matemática. Aprovada por: Presidente, Profa. Luiza Amália de Moraes - IM/UFRJ Prof. Antônio Roberto da Silva - IM/UFRJ Prof. Geraldo Márcio de Azevedo Botelho - FAMAT/UFU Prof. Nilson Bernardes Júnior - IM/UFRJ Rio de Janeiro Junho de 2008 ii

À minha mãe Lúcia. Ao meu irmão Rodolfo. iii

Agradecimentos A Deus, por ter me dado força nos momentos difíceis dessa longa jornada. À minha orientadora, Professora Luiza Amália de Moraes, por todo seu apoio, dedicação e paciência ao longo da minha formação superior. À minha mãe e ao meu irmão, pela paciência que tiveram comigo durante os meus períodos de stress e pelo incentivo na minha formação matemática. Aos meus amigos que sempre estiveram ao meu lado incentivando na minha formação matemática. A Érica por ter sido uma grande companheira nos momentos difíceis desta jornada. A CAPES pelo apoio financeiro na realização deste trabalho. iv

Ficha Catalográfica França, Willian Versolati. O Espaço dos Operadores Compactos/ Willian Versolati França.- Rio de Janeiro: UFRJ/ IM, 2008. viii, 91f; 1cm. Orientadora: Luiza Amália de Moraes Dissertação (mestrado) - UFRJ/ IM/ Programa de Pósgraduação do Instituto de Matemática, 2008. Referências Bibliográficas: f.90-91. 1. Operadores Compactos. 2. Subespaço isomorfo a l. I. Moraes, Luiza Amália de. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, Programa de Pós-graduação do Instituto de Matemática. III. Título. v

O Espaço dos Operadores Compactos Willian Versolati França Orientadora: Luiza Amália de Moraes O objetivo principal deste trabalho é o de apresentar um resultado, devido a N.J. Kalton, que estabelece condições necessárias e suficientes para que o espaço K(X, Y ) dos operadores compactos entre dois espaços de Banach X e Y contenha um subespaço isomorfo a l. Mais precisamente, o resultado de Kalton afirma: O espaço K(X, Y ) dos operadores compactos entre dois espaços de Banach X e Y contém um subespaço isomorfo a l se e somente se Y contém uma cópia de l ou X contém uma cópia complementada de l 1. Este trabalho inclui também, um estudo cuidadoso dos operadores adjuntos, compactos e fracamente compactos. Dentre os diversos resultados envolvendo esses operadores destacamos o Teorema de Schauder, que diz que um operador linear T é compacto e somente se seu adjunto T é compacto e o Teorema de Gantmacher, que é o teorema análogo ao Teorema de Schauder no contexto dos operadores fracamente compactos. A demonstração do teorema central desta dissertação (Teorema de Kalton) é engenhosa e passa pela obtenção de um critério de compacidade fraca em K(X, Y ). vi

O espaço dos Operadores Compactos Willian Versolati França Supervisor: Luiza Amália de Moraes The main purpose of this dissertation is to present a result of N. J. Kalton that establishes necessary and sufficient conditions so that the space K(X, Y ) of the compact operators between two Banach spaces X and Y contains a subspace isomorphic to l. More precisely, the result of Kalton states that the space K(X, Y ) of the compact operators between two Banach spaces X and Y contains a subspace isomorphic for l if and only if Y contains a copy of l or X contains a complemented copy of l 1. This dissertation includes a careful study of the Adjoint Operators, Compact Operators and Weakly Compact Operators. Among the results involving these operators I highlight the Schauder Theorem which says that a linear operator T is compact if and only if its adjoint T is compact and the Gantmacher Theorem, which is the analogous theorem to the Schauder Theorem in the context of weakly compact operators. For the proof of the main theorem of this dissertation quite a bit of technical work is needed and the author has to go through a number of steps that includes establishing a criterion of weakly compactness in K(X, Y ). vii

Sumário 1 Resultados Preliminares de Topologia Geral e Análise Funcional 3 1.1 Topologia Geral.................................. 3 1.2 Análise Funcional................................. 8 2 Operadores Compactos e Fracamente Compactos 20 2.1 Operadores Adjuntos............................... 20 2.2 Projeções..................................... 25 2.3 Operadores Compactos.............................. 32 2.4 Operadores Fracamente Compactos....................... 42 3 O Espaço dos Operadores Compactos 53 3.1 As topologias de operador em L(X, Y )..................... 53 3.2 Compacidade fraca em K(X, Y )......................... 59 3.3 O espaço l.................................... 69 3.4 Existência de cópia de l em K(X, Y )..................... 76 viii

Introdução Neste trabalho estudaremos a estrutura do espaço de Banach K(X, Y ) de todos os operadores compactos entre dois espaços de Banach X e Y. Nosso principal objetivo é apresentar o seguinte teorema devido a N. J. Kalton: Uma condição necessária e suficiente para que o espaço K(X, Y ) possua um subespaço isomorfo a l é que Y possua um subespaço isomorfo a l ou que X possua uma cópia complementada de l 1. Além disso, apresentaremos uma caracterização dos subconjuntos fracamente compactos de K(X, Y ) obtida utilizando um critério de compacidade fraca em C(K), onde K = compacto, estabelecido por Grothendieck. No primeiro capítulo enunciaremos sem demonstração alguns teoremas de Análise Funcional e de Topologia Geral que iremos utilizar ao longo da dissertação, teoremas esses que podem ser encontrados nos textos básicos de Análise Funcional e Topologia Geral. No segundo capítulo introduziremos as noções de alguns tipos especiais de operadores. Começaremos definindo, na primeira seção, o conceito de operador adjunto T de um dado operador linear contínuo T. Na segunda seção apresentaremos o operador projeção e veremos que se Y é isomorfo a um subespaço complementado de um espaço de Banach X então Y é isomorfo a um subespaço complementado de X. Na terceira seção, após definir operador compacto, apresentaremos diversos resultados envolvendo esses operadores. Dentre esses resultados, destacamos o Teorema de Schauder que diz que um operador linear T é compacto se e somente se seu ajunto T é compacto. Na última seção deste capítulo definiremos o conceito de operador fracamente compacto e faremos um estudo das propriedades destes operadores. Além dos resultados que serão úteis no Capítulo 3, provaremos teoremas importantes como o Teorema de Gantmacher, que diz que um operador linear T é fracamente compacto se e somente se seu adjunto T é fracamente compacto. No final da seção mostraremos que se

Y não contém uma cópia de l, então todo operador contínuo de l em Y é fracamente compacto e apresentaremos espaços X e Y tais que a classe dos operadores compactos de X em Y coincide com a classe dos fracamente compactos. Começaremos o terceiro e último capítulo definindo, na primeira seção, algumas topologias que nos serão úteis nas seções subsequentes. Na segunda seção apresentaremos uma caracterização dos subconjuntos fracamente compactos do espaço dos operadores compactos de X em Y. Além disso, definiremos espaço de Grothendieck e daremos uma condição necessária e suficiente para que um espaço de Banach X seja um espaço de Grothendieck. Na terceira seção provaremos dois resultados que estão ligados diretamente com a demonstração de nosso teorema principal. Na última seção, provaremos o teorema principal, que é devido a N. J. Kalton. Como consequências desse resultado, obteremos uma condição necessária para que o espaço dos operadores compactos de X em Y possua um subespaço complementado não-trivial e obteremos também uma condição necessária e suficiente para que todo elemento de L(l, K(X, Y )) seja fracamente compacto. 2

Capítulo 1 Resultados Preliminares de Topologia Geral e Análise Funcional O objetivo desse primeiro capítulo, além de estabelecer a notação, é apresentar as noções básicas de topologia geral e análise funcional que serão utilizados nos capítulos posteriores. O nosso estudo será sempre no contexto dos espaços vetoriais reais ou complexos. Representaremos por IK o corpo dos reais ou dos complexos. 1.1 Topologia Geral Definição 1.1. Seja X um conjunto arbitrário. Uma topologia em X é uma coleção Γ de subconjuntos (chamados de conjuntos abertos) de X que satisfaz as seguintes condições: i), X Γ; ii) Qualquer união de elementos de Γ é um elemento de Γ; iii) A interseção de uma coleção finita arbitrária de elementos de Γ é um elemento de Γ.

O par (X, Γ) é dito um espaço topológico. Algumas vezes, quando estiver claro qual a topologia considerada, representaremos este par somente pela letra X. Definição 1.2. Seja X um conjunto. Uma base para uma topologia em X é uma coleção B de subconjuntos de X (ditos elementos básicos) tal que: i) para cada x X, existe pelo menos um elemento básico B contendo x; ii) se x B 1 B 2, com B 1 e B 2 B, então existe B 3 B tal que x B 3 e B 3 B 1 B 2. Definição 1.3. Sejam X um conjunto e B uma base para uma topologia em X. A topologia O gerada por B é descrita do seguinte modo: A X é dito aberto em X, isto é A O, se para cada x A existe um elemento básico B B tal que x B e B A. Definição 1.4. Uma sub-base S para uma topologia Γ em um conjunto X é uma coleção de subconjuntos de X cuja união é igual a X. A topologia gerada pela sub-base S é definida como a coleção de todas as uniões de interseções finitas de elementos de S. Definição 1.5. Seja (X, Γ) um espaço topológico. Dizemos que U é uma vizinhança de x se existe A Γ tal que x A U. Definição 1.6. Sejam Γ e Γ duas topologias em um mesmo conjunto X. Dizemos que Γ é mais fina do que Γ (ou que Γ é menos fina que Γ ), e representaremos por Γ Γ (equivalentemente Γ Γ), quando Γ Γ. Definição 1.7. Seja (X, Γ) um espaço topológico. Dizemos que um subconjunto A de X é fechado quando A c é aberto, isto é, A c Γ. Definição 1.8. Sejam (X, Γ) um espaço topológico e A um subconjunto de X. Dizemos que x é um ponto de acumulação de A se para toda vizinhança U de x temos que (U\{x}) A. Definição 1.9. Sejam (X, Γ) um espaço topológico e A um subconjunto de X. O fecho de A em (X, Γ), que é representado por A Γ, é a interseção de todos os conjuntos fechados que 4

contém A. abertos contidos em A. E o interior, que será representado por Å, é a união de todos os conjuntos Segue da definição anterior que A Γ é um subconjunto fechado de X e que Å subconjunto aberto de X. é um Teorema 1.1. Seja (X, Γ) um espaço topológico e A um subconjunto de X. fechado se e somente se A contém todos os seus pontos de acumulação. Então A é Demonstração. Veja [10], Teorema 5, p.41. Definição 1.10. Sejam (X, Γ 1 ) e (Y, Γ 2 ) espaços topológicos e f : X Y. Dizemos que f é contínua em x X se dado qualquer A Γ 2 tal que f(x) A existe A 1 Γ 1 tal que x A 1 e f(a 1 ) A. Definição 1.11. Um conjunto D é dito dirigido se existe uma relação binária, denotada por, em D que satisfaz: i) d d para todo d D. ii) se a, b, c D e se a b e b c então a c. iii) dados a, b D existe d D tal que a d e b d. Definição 1.12. Seja (X, Γ) um espaço topológico. Uma rede em X é uma aplicação λ : D X, onde D é um conjunto dirigido. Denotamos esta rede por (x α ) α D. Dizemos que uma rede (x α ) α D converge para x X se, para toda vizinhança U de x em X, existe α 0 D tal que x α U sempre que α 0 α. Notação: x α Γ x. Algumas vezes também representaremos por x = Γ-lim α x α. Observação 1.1. Um elemento x em um espaço topológico (X, Γ) é um ponto de acumulação de um conjunto A se e somente se existir uma rede (x α ) α D A, com x α x para todo 5

α D, tal que x α Γ x. De fato, seja D = {U; U é uma vizinhança de x}. Definimos a seguinte relação binária, denotada por, em D: U 1 U 2 sempre que U 2 U 1. É fácil ver que com a relação binária definida acima, o conjunto D é dirigido. Pela definição de ponto de acumulação, para cada U D existe um elemento x U (U\{x}) A. Daí, vemos que a rede (x U ) U A e x U x para todo U D. Além disso, segue da relação binária que x U Γ x. A recíproca segue direto da definição de convergência de rede e do fato que x α x para todo α D. Definição 1.13. Dadas duas redes (x α ) α D e (y β ) β C em um espaço topológico X, dizemos que a rede (y β ) é uma sub-rede da rede (x α ), se: i) existe uma aplicação φ : C D, do conjunto dirigido C no conjunto dirigido D, tal que y β = x φ(β). ii) para cada d D existe c C tal que φ(c) d sempre que c c. Observação 1.2. Se (x α ) α D é uma rede em um espaço topológico X que converge para x X então qualquer sub-rede (y β ) β C dessa rede também converge para x. De fato, para cada vizinhança U de x em X, podemos encontrar α 0 = α 0 (U) D tal que x α U para todo α α 0. Por outro lado como (y β ) β C é uma sub-rede de (x α ) α D, existe uma aplicação φ : C D com as propriedades descritas na Definição 1.13. Daí vemos que existe β 0 C tal que φ(β) α 0 sempre que β β 0. Logo y β = x φ(β) U sempre que β β 0. Proposição 1.1. Sejam (X, Γ 1 ), (Y, Γ 2 ) espaços topológicos e seja f : X Y. Uma condição necessária e suficiente para que f seja contínua em x é que para toda rede (x α ) α D Γ X tal que x 1 α x temos f(xα ) Γ 2 f(x). Demonstração. Veja [4], Lema 4, p.27. 6

Proposição 1.2. Sejam X, Y espaços topológicos e seja f : X Y. Então, as seguintes afirmações são equivalentes: a) f é contínua. b) A imagem inversa de fechados é fechado. c) Se A Y, então f 1 (A) f 1 (A). d) Se A X, então f(a) f(a). Demonstração. Veja [10], Teorema 1, p.86. Definição 1.14. Dizemos que um subconjunto S de um espaço topológico (X, Γ) é compacto quando toda cobertura aberta de S admitir subcobertura finita. Isto é, se S A λ, onde λ Λ n A λ Γ para todo λ Λ, podemos encontrar {λ 1,..., λ n } Λ tais que S A λi. Definição 1.15. Seja (X α, Γ α ) α Λ uma família de espaços topológicos. Então, a topologia produto é a topologia Γ em X = α ΓX α que é obtida tomando-se como base para esta topologia a coleção de todos os conjuntos U da forma U = α ΓU α, onde cada U α é aberto em X α, e onde U α = X α, exceto para um número finito de índices α. Teorema 1.2. Seja (X α, Γ α ) α Λ uma família de espaços topológicos e seja (S α ) α Λ uma família de conjuntos com as seguintes propriedades: i) S α X α para todo α Λ; ii) S α é compacto em X α para cada α Λ. i=1 Então α Γ S α é compacto na topologia produto de X = α ΓX α. Demonstração. Veja [10], Teorema 13, p.143. 7

Definição 1.16. Dizemos que um espaço topológico (X, Γ) é um espaço de Hausdorff se para cada par de pontos distintos x 1, x 2 em X existem abertos A 1 e A 2 tais que: i) x 1 A 1 e x 2 A 2 ; ii) A 1 A 2 =. Teorema 1.3. Um subconjunto S de um espaço topológico X é compacto se e somente se cada rede em S possui uma sub-rede convergente para um ponto de S. Demonstração. Veja [10], Teorema 2, p.136. Proposição 1.3. Sejam X, Y espaços topológicos e K, F subconjuntos de X tais que F K. a) Se K é compacto e F é fechado então F é compacto. b) Se K é compacto e f : X Y é uma função contínua então f (K) é compacto. c) Se X é um espaço de Hausdorff então K é fechado sempre que K é compacto. Demonstração. Veja [4], Lema 7, p.17. 1.2 Análise Funcional Sejam X e Y espaços normados. Lembremos que um operador linear T : X Y é limitado se existe c > 0 tal que T u c u para todo u X. Além disso, um operador de X em Y é contínuo se e só se é limitado. A rigor deveríamos escrever X e Y para indicar normas em X e Y, respectivamente. Porém, para não sobrecarregar a notação, usaremos a mesma notação para indicar as normas em X e Y. Denotamos por L(X, Y ) o conjunto de todos os operadores lineares T : X Y que são limitados. Quando X = Y denotamos L(X, Y ) por L(X). 8

Definindo T = inf{c > 0; T u c u para todo u X} para todo T L(X, Y ) temos: T u 1) T = sup u u 0 = sup T u = sup T u. u =1 u 1 2) T é contínuo se, e somente se T <. 3) define uma norma em L(X, Y ). É bem conhecido que L(X, Y ) é um espaço normado com as operações usuais de funções e com a norma acima. A partir de agora L(X, Y ) denotará esse espaço normado. Definição 1.17. Sejam X e Y espaços normados. Dizemos que X e Y são isomorfos se existe um operador linear bijetivo contínuo T : X Y tal que T 1 : Y X é contínuo. Se, além disso, T for uma isometria (isto é, T u = u para todo u X) então diremos que X e Y são isometricamente isomorfos. Lembremos que uma função contínua com inversa também contínua é dita um homeomorfismo. Agora faremos algumas definições para espaços vetoriais que não necessariamente são normados. Definição 1.18. Seja X um espaço vetorial. O dual algébrico de X, denotado por X +, é o conjunto dos funcionais lineares de X em IK. Definição 1.19. Seja X um espaço vetorial. Um subespaço vetorial Ω de X + é dito total se o único elemento x X tal que f(x) = 0 para todo f Ω é o vetor nulo. Definição 1.20. Seja X um espaço vetorial e seja Ω um subespaço vetorial de X +. Então a Ω-topologia de X é a topologia obtida tomando como base de vizinhanças todos os conjuntos da forma U (x 0, f 1,..., f n, ɛ) = {x X; f i (x x 0 ) < ɛ i = 1,... n}, onde n N, f 1,..., f n Ω, x 0 X e ɛ > 0. Denotaremos a Ω-topologia de X por σ(x, Ω). 9

A condição de Ω ser um subespaço total de X + nos garante que a Ω-topologia é de Hausdorff. Observação 1.3. A Ω-topologia é a menor topologia na qual todo funcional em Ω é contínuo. Lema 1.1. Seja X um espaço vetorial. Sejam g, f 1,..., f n elementos de X + tais que n ker f i ker g, então g é uma combinação linear dos f i. i=1 Demonstração. Veja [4], Lema 10, p.421. Seja S um subconjunto compacto de um espaço topológico X. Denotaremos por C (S) o conjunto de todas as funções contínuas de S em IK. É claro que, munido das operações usuais de adição e produto por escalar, C(S) é um espaço vetorial. Como S é compacto, toda a função em C (S) é limitada em IK. Assim podemos definir a seguinte norma em C (S): f = supf(s). s S Observação 1.4. O espaço C (S) com a norma definida acima é um espaço de Banach. Definição 1.21. Um subconjunto K C (S) é dito equicontínuo se para todo ɛ > 0 e todo s S existe uma vizinhança U de s tal que: sup f K sup f(s) f(t) < ɛ para todo f K. t U sup f(s) f(t) < ɛ, isto é, t U Definição 1.22. Seja X um espaço normado. O dual topológico de X, denotado por X, é o conjunto dos funcionais lineares contínuos de X em IK, isto é, X = L(X, IK). Teorema 1.4. Sejam X um espaço normado e Y um espaço de Banach. Então L(X, Y ) é um espaço de Banach. Em particular, X é um espaço de Banach. 10

Demonstração. Veja [5], Proposição 1.19, p.11. Teorema 1.5. (Teorema de Hahn-Banach) Sejam X um espaço normado e M X um subespaço. Se f : M IK é linear e contínua, então existe f X tal que f(x) = f(x) para todo x M e f = f. Demonstração. Veja [5], Teorema 2.4, p.40. Como conseqüências imediatas do teorema de Hahn-Banach temos: Corolário 1.1. Sejam X um espaço normado e x X, x 0. Então existe f X tal que f = 1 e f(x) = x. Corolário 1.2. Seja X um espaço normado. Se f(x) = 0 para toda f X, então x = 0. Observação 1.5. O corolário anterior nos garante que X é um subespaço total de X +. Corolário 1.3. Seja X um espaço normado. Para todo x X tem-se x = sup f(x) = sup f(x). f X f X f X =1 f X 1 Corolário 1.4. Sejam X um espaço normado e M um subespaço fechado de X. Se x 0 / M então existe x X tal que x (x 0 ) 0 e x (x) = 0 para todo x M. Teorema 1.6. (Teorema de Banach-Steinhaus) Sejam X e Y espaços de Banach. (T α ) α I L(X, Y ) tal que sup T α x é finito para cada x X. Então tem-se que sup T α α I α I é finito. Seja Demonstração. Veja [5], Teorema 3.12, p.68. Como consequência imediata do teorema anterior temos: 11

Corolário 1.5. Sejam X e Y espaços de Banach. Seja (T n ) n uma sequência em L(X, Y ) tal que (T n (x)) n converge em Y para cada x X. Se definimos T (x) = lim T n (x) para todo n x X então T L(X, Y )e T sup T n. n Teorema 1.7. Seja B um subconjunto de um espaço normado X. Então B é um subconjunto limitado de X se, e somente se f(b) é um subconjunto limitado de IK para todo f X. Demonstração. Veja [5], Teorema 3.15, p.69. Definição 1.23. Sejam X e Y espaços normados. Dizemos que uma aplicação T : X Y é aberta se T (A) é aberto em Y para todo A X tal que A é aberto. Teorema 1.8. (Teorema da Aplicação Aberta) Sejam X, Y espaços de Banach e T : X Y uma aplicação linear contínua sobrejetiva. Então T é aberta. Demonstração. Veja [5], Teorema 2.24, p.50. A seguir temos uma consequência imediata do Teorema da Aplicação aberta. Corolário 1.6. (Teorema da Aplicação Inversa) Sob as mesmas condições do teorema anterior se T for injetiva então T 1 é contínua. Definição 1.24. Sejam X e Y espaços normados e T : X Y um operador linear. O gráfico de T é o conjunto G T = {(x, y) X Y ; y = T x}. Teorema 1.9. (Teorema do Gráfico Fechado) Sejam X e Y espaços de Banach e seja T : X Y um operador linear. Então T é contínuo se, e somente se o gráfico de T é fechado. Demonstração. Veja [5], Teorema 2.26, p.51. 12

Vamos denotar por B X a bola fechada de centro na origem e raio 1 e por S X a esfera de centro na origem e raio 1, isto é, B X = {x X; x 1} e S X = {x X; x = 1}. Além disso denotaremos por B(x 0 ; ɛ) = {x X; x x 0 < ɛ} a bola aberta de centro x 0 e raio ɛ. Definição 1.25. Um subconjunto A de um espaço vetorial é convexo se dados quaisquer x, y A o segmento de reta que liga estes dois pontos está em A, isto é, tx + (1 t)y A para todo t [0, 1]. Como consequência imediata da linearidade de T e da definição de conjunto convexo temos: Proposição 1.4. Sejam X, Y espaços vetoriais. Se T é uma aplicação linear de X em Y e A é um subconjunto convexo de X então T (A) é convexo em Y. Definição 1.26. Um espaço vetorial topológico é um par (X, Γ), onde X é um espaço vetorial e Γ é uma topologia em X que satisfazem as seguintes condições: i) a aplicação (x 1, x 2 ) x 1 + x 2 de X X em X é contínua; ii) a aplicação (λ, x) λx de IK X em X é contínua. Observação 1.6. Seja X um espaço vetorial e seja Ω um subespaço vetorial de X +. É fácil verificar que (X, σ(x, Ω)) é um espaço vetorial topológico. Se X e Y são espaços vetoriais topológicos chamaremos de operador linear a qualquer aplicação linear T : X Y. A proposição que enunciaremos a seguir segue direto da linearidade do operador e do fato que se x A e A Γ então (x A) Γ e 0 (x A). Proposição 1.5. Sejam X e Y espaços vetoriais topológicos. Um operador linear é contínuo se e somente se é contínuo na origem. Definição 1.27. Seja (X, Γ) um espaço vetorial topológico. Dizemos que um subconjunto A de X é limitado se para cada U, vizinhança do zero em X, existir α = α(u) > 0 tal que A λu para todo λ IK tal que λ α. 13

Teorema 1.10. Se S é um subconjunto compacto de um espaço vetorial topológico X então S é limitado. Demonstração. Veja [4], Lema 8, p.51. Utilizando a convexidade de A e o fato de que dados x, y A Γ, podemos encontrar duas redes (x α ) α e (y α ) α que convergem para x e y respectivamente, mostramos o seguinte resultado: Proposição 1.6. Seja (X, Γ) um espaço vetorial topológico. Se A é um subconjunto convexo de X então A Γ é convexo. Definição 1.28. Seja (X, Γ) um espaço vetorial topológico. Um subconjunto A de X é dito relativamente compacto quando A Γ é compacto. Teorema 1.11. (Teorema de Arzelà-Ascoli) Seja S um subconjunto compacto de um espaço topológico X. Então um subconjunto A de C(S), munido da topologia da norma, é relativamente compacto se e somente A é limitado e equicontínuo. Demonstração. Veja [4], Teorema 7, p.266. Definição 1.29. Seja X um espaço normado. A topologia fraca de X, denotada por σ(x, X ), é a topologia que tem como sub-base a coleção S = {ϕ 1 (A); ϕ X, A IK aberto }. A topologia da norma τ é muitas vezes chamada de topologia forte de X. Indicaremos por (X, τ ) o espaço topológico X munido da topologia da norma. A partir da definição, é fácil ver que σ(x, X ) τ. Pela definição de topologia fraca, temos que a coleção {U(x 0 ; ϕ; ɛ); x 0 X, ϕ X, ɛ > 0}, onde U(x 0 ; ϕ; ɛ) = {x X; ϕ(x x 0 ) < ɛ} para x 0 X, ϕ X e ɛ > 0, forma uma sub-base para a topologia fraca de X. Assim, uma rede (x d ) d D X converge para x X na topologia fraca se, e somente se ϕ(x d ) ϕ(x) para toda ϕ X. Neste trabalho, salvo quando dissermos o contrário, toda vez que estivermos 14

em um espaço normado e não fizermos referência sobre a topologia que será utilizada, ficará subentendido que estaremos usando a topologia da norma. Por exemplo, se dissermos que uma dada rede (x α ) α X converge, ele será convergente na norma de X. Notemos também que a topologia fraca é um caso particular da Ω-topologia, onde Ω = X. Daí, temos pela Observação 1.6 que (X, σ(x, X )) é um espaço vetorial topológico e, como X é total (ver Corolário 1.2), a topologia fraca é uma topologia de Hausdorff. Observação 1.7. O Teorema 1.7 nos diz que em um espaço normado X um conjunto A é σ(x, X )-limitado se e somente se A é limitado (na topologia da norma). Em geral, K K σ(x,x ). O seguinte resultado é uma conseqüência do teorema de Hahn- Banach: Teorema 1.12. Sejam X um espaço normado e K um subconjunto convexo de X. Então K σ(x,x ) = K. Demonstração. Veja [5], Teorema 3.19, p.70. Como consequência imediata do teorema anterior temos: Corolário 1.7. Sejam X um espaço normado e K um subconjunto convexo de X. Então K é fechado se e somente se K é σ (X, X )-fechado. Teorema 1.13. Sejam X e Y espaços de Banach. Então T L(X, Y ) se e somente se T é σ(x, X )-σ(y, Y ) contínuo. Demonstração. Veja [4], Teorema 15, p.422. Definição 1.30. Um subconjunto A de um espaço topológico X é sequencialmente compacto, se toda sequência de pontos em A possuir uma subsequência que converge para um ponto de A. 15

Teorema 1.14. (Teorema de Eberlein-Šmulian) Seja A um subconjunto de um espaço de Banach X. As seguintes afirmações são equivalentes: i) A é fracamente compacto; ii) A é fracamente sequencialmente compacto. Demonstração. Veja [5], Teorema 4.51, p.130. Representaremos por X o dual topológico de X, onde X é um espaço normado. Definimos J : X X como sendo Jx = x para todo x X, onde x : X IK é tal que x(f) = f(x) para toda f X. A aplicação J é chamada a aplicação canônica de X em X. É fácil ver que J está bem definida, é linear e Jx = x para todo x X. Portanto X é isometricamente isomorfo a J(X) X. Segue do corolário 1.1 que J (X) é um subespaço total de (X ) +. Algumas vezes representaremos J (X) por X. A rigor deveríamos escrever J X e J Y para indicarmos as aplicações canônicas de X e Y em X e Y respectivamente. Porém, para não sobrecarregar a notação, usaremos a mesma notação J para indicar tais aplicações. Definição 1.31. Dizemos que um espaço de Banach X é reflexivo se J é sobrejetora. Neste caso, X e X são isometricamente isomorfos. Teorema 1.15. Seja X um espaço de Banach. Então X é reflexivo se, e somente se B X é σ(x, X )-compacta. Demonstração. Veja [5], Teorema 3.31, p.75. Utilizando os Teoremas 1.14 e 1.15 obtemos o seguinte resultado: Teorema 1.16. Seja X um espaço de Banach. Então X é reflexivo se e somente se B X é σ(x, X )-sequencialmente compacto. 16

Proposição 1.7. Seja X um espaço de Banach reflexivo. Se M é um subespaço vetorial fechado de X então M é um espaço de Banach reflexivo. Demonstração. Veja [5], Teorema 3.33, p.75. Seja X o dual topológico de um espaço normado X. Podemos considerar em X, além das topologias forte e fraca, uma outra topologia importante, a chamada topologia fraca estrela. Definição 1.32. Seja X um espaço normado. A topologia fraca estrela de X, denotada por σ(x, X), é a topologia que tem como sub-base a coleção S = {ϕ 1 (A); ϕ J(X) X, A IK aberto } = { x 1 (A); x X, A IK aberto }. É claro que a topologia fraca estrela de X é menos fina do que a topologia fraca de X. Da definição temos que a coleção S = {U(ϕ 0, x, ɛ); x X, ϕ 0 X, ɛ > 0}, onde U(ϕ 0, x, ɛ) = {ψ X ; (ψ ϕ 0 )(x) < ɛ} para x X, ϕ 0 X e ɛ > 0 é uma sub-base para a topologia fraca estrela. Além disso, uma rede (ϕ d ) d D X converge para ϕ X na topologia fraca estrela se, e somente se ϕ d (x) ϕ(x) para todo x X. Neste caso, dizemos que (ϕ d ) d D converge fraca estrela para ϕ e indicamos este fato por ϕ d σ(x,x) ϕ. Utilizando a definição da aplicação J (que nos garante que X e J(X) são isometricamente isomorfos), vemos que a topologia fraca estrela é um caso particular da Ω-topologia, onde Ω = J(X) (X ) +. Daí, temos que (X, σ(x, X)) é um espaço vetorial topológico e, como J(X) é total (ver corolário 1.1), a topologia fraca estrela é uma topologia de Hausdorff. Teorema 1.17. (Teorema de Alaoglu) Seja X um espaço de Banach. Então o conjunto B X é σ(x, X)-compacto. Demonstração. Veja [5], Teorema 3.21, p.71. Teorema 1.18. (Teorema de Goldstine) Seja X um espaço de Banach então: 17

a) B X = J (B X ) σ(x,x ) b) X = J (X) σ(x,x ) Demonstração. Veja [5], Teorema 3.27, p.73. Os resultados que enunciaremos a seguir para espaços normados valem no contexto, mais geral, de espaços métricos. Definição 1.33. Um subconjunto M de um espaço normado X é dito separável quando possui um subconjunto enumerável denso. Proposição 1.8. Se M é um subconjunto de um espaço normado X, são equivalentes: i) M contém um subconjunto enumerável denso; ii) M possui uma base enumerável de abertos; iii) (Propriedade de Lindelöf) Toda cobertura aberta de M admite uma subcobertura enumerável. Demonstração. Veja [11], Proposição 1, p.274. Corolário 1.8. Se K é um subconjunto compacto de um espaço normado X então K é separável. Definição 1.34. Um subconjunto K de um espaço normado X é dito totalmente limitado, n se para todo ɛ > 0 existirem x 1,..., x n K tais que que K B(x i ; ɛ). Proposição 1.9. Se K é um subconjunto de um espaço normado X, as seguintes afirmações são equivalentes: i) Toda (x n ) n K possui uma subsequência que converge para um ponto de X; ii) K é compacto; 18 i=1

iii) K é totalmente limitado e K é completo. Demonstração. Veja [4], Teorema 15, p.22. 19

Capítulo 2 Operadores Compactos e Fracamente Compactos Neste segundo capítulo introduziremos as noções de operador adjunto, operador projeção, operador compacto e operador fracamente compacto e faremos um estudo de propriedades desses operadores que serão utilizadas no capítulo 3. A partir de agora, a menos que seja dito o contrário, X,Y e Z serão espaços de Banach sobre IK. 2.1 Operadores Adjuntos Definição 2.1. Sejam X e Y espaços normados e seja T L(X, Y ). Definimos o operador adjunto de T, e denotamos por T, como sendo a aplicação T : Y X definida por T (y ) = y T para todo y Y. Observemos que como T : X Y e y : Y IK são lineares e contínuas, temos que y T : X IK é linear e contínua. Daí T está bem definida. A linearidade de T é clara.

Proposição 2.1. A aplicação T T L(Y, X ). é um isomorfismo isométrico de L(X, Y ) em Demonstração. Sejam T 1, T 2 L(X, Y ) e λ IK. Para cada y Y temos: ((T 1 + λt 2 ) y ) x = y (T 1 + λt 2 ) x = y (T 1 x) + λy (T 2 x) = (T 1 y ) x + λ (T 2 y ) x, para todo x X. Daí, segue que (T 1 + λt 2 ) (y ) = T 1 (y ) + λt 2 (y ) para todo y Y. Logo a aplicação T T é linear. Seja T L(X, Y ). Para cada x X e y Y temos: (T y )x = y (T x) y T x. Assim vemos que (T y )x T y para todo x X tal que x = 1, o que implica em T y = sup (T y )x T y. Donde T T < e T L(Y, X ). x =1 Seja x 0 X tal que x 0 = 1. Se T x 0 0, pelo Teorema de Hahn-Banach (Corolário 1.1) existe y 0 Y tal que y 0 = 1 e y 0 (T x 0 ) = T x 0. ( ) Por outro lado temos: T = sup T y = sup y T = y =1 y =1 sup sup y =1 x =1 y (T x). ( ) Combinando ( ) e ( ) obtemos que T que T x 0 T. sup y T x 0 T x 0. Donde concluímos y =1 A desigualdade acima também é verdadeira quando T x 0 = 0. Daí, vemos que T x 0 T para todo x 0 B X. Dessa forma T T, e como T T, a aplicação T T é uma isometria. 21

Pela proposição anterior vimos que T L(Y, X ) para todo T L(X, Y ). E isso nos permite olhar para o segundo adjunto de T, ou seja, podemos definir a aplicação: T : X Y x T (x ) = x T. Proposição 2.2. Se T L(X, Y ) e U L(Y, Z) então (U T ) = T U. Além disso o adjunto da identidade em L(X) é a identidade em L(X ). Demonstração. Primeiro observemos que como T L(X, Y ) e U L(Y, Z) temos que U T L(X, Z). Assim (U T ) L(Z, X ) é definido por: (U T ) : Z X z (U T ) (z ) = z (U T ). Notemos que: (U T ) z = z (U T ) = (U z ) T = T (U z ) = (T U ) z, para todo z Z. Logo (U T ) = T U. Agora observe que I (x ) = x I = x para todo x X. Daí segue que o adjunto da identidade é a identidade. Proposição 2.3. O adjunto T de um operador T L(X, Y ) é uma aplicação linear σ (Y, Y ) σ (X, X) contínua. Em particular, T é uma aplicação σ (X, X ) σ (Y, Y ) contínua. Demonstração. Seja U (0; x 1,..., x n ; ɛ) = {ϕ X ; ϕ(x i ) < ɛ, i = 1,..., n} uma σ (X, X)- vizinhança básica do zero em X. Tomemos a σ (Y, Y )-vizinhança básica do zero em Y 22

dada por U (0; T x 1,..., T x n ; ɛ) = { y Y ; y (T x i ) < ɛ, i = 1,..., n}. Mostraremos que T (U (0; T x 1,..., T x n ; ɛ)) U (0; x 1,..., x n ; ɛ). De fato, para cada y U (0; T x 1 ;... ; T x n ; ɛ) temos: (T y ) x i = y (T x i ) < ɛ, i = 1,..., n. Donde T y U (0; x 1,..., x n ; ɛ). Assim T é contínua na origem. Como T é linear e (Y, σ (Y, Y )) e (X, σ (X, X)) são espaços vetoriais topológicos, temos a σ (Y, Y ) σ (X, X) continuidade de T. Definição 2.2. Sejam X e Ŷ as imagens da aplicação canônica de X, Y em X, Y respectivamente. Para cada T L(X, Y ) definimos: T : X Ŷ x T ( x) = T x = J (T x). T está bem definida porque a aplicação canônica J é injetiva. Segue direto da definição e da linearidade da aplicação canônica que T é linear. Além disso, como J é uma isometria, temos que T ( x) = T x = T x T x = T x, para todo x X. Donde T T e T L( X, Ŷ ). Na T x = T x e x = x para todo x X. verdade, T = T, pois Definição 2.3. Sejam X e Ŷ as imagens da aplicação canônica de X, Y em X, Y respectivamente. Uma função U cujo domínio é um subconjunto de X contendo X é dita uma extensão de T, se U( x) = T ( x) para todo x X. Dessa forma uma extensão para T é definida usando o fato de que X e X são isometricamente isomorfos. Se X = X, a igualdade U = T é, escrita no sentido que Ux = T x para todo x X. Com a definição anterior uma pergunta natural que surge é: dado T L(X, Y ) existe uma função U que extende T? A resposta será dada pela próxima proposição. 23

Proposição 2.4. Seja T L(X, Y ). O segundo adjunto T : X Y é uma extensão de T. Se X é reflexivo então T = T. Demonstração. Pela definição de extensão de T temos de mostrar que T ( x) = T ( x) para todo x X. Fixemos x X. Para cada y Y temos: (T x) y = ( xt ) y = x (T y ) = x (y T ) = y (T x) = ( T x)y = ( T x)y. O que nos diz que (T x) y = ( T x)y para todo y X. Y. Logo T ( x) = T ( x) para todo x A proposição anterior nos diz que T (J (X)) J (Y ). Na próxima seção veremos uma condição necessária e suficiente para que T (X ) J (Y ). Proposição 2.5. Sejam X e Y espaços de Banach. Um operador linear T L(X, Y ) possui uma inversa T 1 L(Y, X) se e somente se seu adjunto T L(Y, X ) possui uma inversa (T ) 1 L(X, Y ). Neste caso, vale (T 1 ) = (T ) 1. Demonstração. Para não sobrecarregar a notação, usaremos a mesma notação I para indicar as identidades em X, Y, X e Y. Seja T L(X, Y ) tal que existe T 1 L(Y, X). Da definição de função inversa temos que (T T 1 ) = I. Pela Proposição 2.2 temos: ( T T 1 ) = I = ( T 1) T = I. Assim (T 1 ) é a inversa à esquerda de T. Analogamente mostra-se que (T 1 ) é a inversa à direita de T. Daí, segue que (T 1 ) é a inversa de T. Além disso (T 1 ) L(Y, X ). Reciprocamente, seja T L(X, Y ) tal que existe (T ) 1 L(X, Y ). Lembremos que T L(Y, X ). Então pelo que já provamos, T possui uma inversa (T ) 1 L(X, Y ). 24

Logo T é um homeomorfismo. Pela Proposição 2.4, T é uma extensão de T. Donde segue que: T x = T x = T x = J (T x) para todo x X. ( ) Sejam x, y X tais que T x = T y. Por ( ) temos que T x = T ŷ e como T é um homeomorfismo segue que x = ŷ. Por outro lado como J é uma isometria vemos que x = y. Logo T é injetiva. Agora mostraremos que T é sobrejetiva. Começamos observando que T (JX) é fechado, pois J é uma isometria e T é um homeomorfismo. Por ( ) temos que T (JX) = J (T X). Donde T X = J 1 (T (JX)) é fechado. Suponhamos, por hipótese de absurdo, que T não é sobrejetiva. Dessa forma existe y Y tal que y / T X. Como T X é um subespaço próprio fechado de Y, pelo Corolário 1.4 existe y Y tal que y (y) 0 e y (T x) = 0 para todo x X. Daí, segue que y (T x) = (T y ) x = 0 para todo x X. Como T y X e (T y ) x = 0 para todo x X, temos que T y = 0. Isso contradiz a injetividade de T, já que y 0. Logo como T é linear, contínua, injetiva e sobrejetiva temos pelo Teorema da Aplicação Aberta (Corolário 1.6) que T 1 é contínua. 2.2 Projeções Nesta seção I representará a aplicação identidade em X, Y, X e Y. Definição 2.4. Dizemos que um operador T L(X) é uma projeção sobre um subespaço M de X quando T (X) = M e T 2 = T. Definição 2.5. Sejam M 1, M 2 subespaços de X tais que X = M 1 + M 2. Diremos que X é soma direta de M 1 com M 2, e representaremos por X = M 1 M 2, quando M 1 M 2 = {0}. 25

Observação 2.1. Sejam M 1, M 2 subespaços de X tais que X = M 1 + M 2. Então X será soma direta de M 1 com M 2 se e somente se todo elemento de X se escreve de maneira única na forma x = m 1 + m 2, onde m 1 M 1 e m 2 M 2. De fato, se x = m 1 + m 2 = m 1 + m 2 vemos que m 1 m 1 = m 2 m 2 M 1 M 2 donde segue a unicidade da decomposição. Reciprocamente se 0 a M 1 M 2 vemos que x = m 1 + a M 1, onde m 1 é um elemento arbitrário de M 1. Daí, segue que x = da decomposição. M 1 {}}{ x + M 2 {}}{ M {}}{ 2 0 = m 1 + a, o que contradiz a unicidade Observação 2.2. Se T é uma projeção então X = T (X) (I T ) (X). De fato, dado x X podemos escrever x = T (x) + (I T ) (x), o que nos diz que X = T (X) + (I T ) (X). Se x = T (x) + (I T ) (x) = T (x 1 ) + (I T ) (x 1 ), vemos que T (x x 1 ) = (I T ) (x x 1 ). Agora aplicando T nos dois lados da igualdade vemos que T (x) = T (x 1 ). Logo (I T ) (x) = (I T ) (x 1 ). E pela Observação 2.1 temos que X = T (X) (I T ) (X). Observação 2.3. Se T é uma projeção e x T (X) então T x = x. De fato, existe x 0 X tal que T x 0 = x. Aplicando T nesta igualdade vemos que T x 0 = T x = x. Observação 2.4. Se T é uma projeção e x (I T ) (X) então T x = 0. De fato, existe x 0 X tal que (I T ) (x 0 ) = x. Aplicando T nesta igualdade vemos que T x = 0. Observação 2.5. Se T é uma projeção então T (X) e (I T ) (X) são fechados. De fato, se (T x n ) n é uma sequência em T (X) tal que T x n a, vemos que T x n T a, pois T é uma projeção. Pela unicidade do limite temos que a = T a, ou seja, a T (X). A verificação da segunda parte é análoga. Observação 2.6. Sejam M 1, M 2 subespaços fechados de X tais que X = M 1 M 2. Então existe T L(X) tal que T é uma projeção sobre M 1. De fato, para cada x X existem 26

únicos m 1 M 1 e m 2 M 2 tais que x = m 1 + m 2. Dessa forma podemos definir: T : X M 1 x T (x) = m 1. É fácil ver que T 2 = T e que T (X) = M 1. Seja (x n ) n X tal que (x n, T (x n )) (x, m 1 ) em X M 1. Como M 1 é fechado temos que m 1 M 1. Observemos que (x n T (x n )) n ker T = M 2. Daí, concluímos que (x m 1 ) M 2, pois M 2 é fechado e (x n T (x n )) (x m 1 ). Assim vemos que x = m 1 + m 2 para algum m 2 M 2. E pela definição de T, concluímos que T (x) = m 1. Logo G T é fechado no espaço de Banach X M 1. Finalmente, o Teorema do Gráfico fechado (Teorema 1.9) nos garante que T é contínua. Donde T é uma projeção. Definição 2.6. Um subespaço M de X é dito complementado se existe uma projeção T tal que M = T (X). Definição 2.7. Seja M 1 um subespaço fechado de X. Dizemos que M 2 é um complemento topológico de M 1 em X se X = M 1 M 2 e M 2 é um subespaço fechado de X. Lema 2.1. Se T é uma projeção sobre um subespaço de X então T é uma projeção sobre um subespaço de X. Além disso valem as seguintes igualdades: i) T (X ) = {x X ; x (I T ) (X) = 0} = {x X ; ((I T ) (x )) (X) = 0}; ii) (I T ) (X ) = {x X ; x (T (X)) = 0}. Demonstração. Começamos observando que: T = (T 2 ) = T T = (T ) 2, o que nos diz que T é uma projeção. 27

Seja x 0 T (X ). Vimos na observação 2.3 que T x 0 = x 0. Dessa forma x 0(x) = (T x 0) (x) = x 0 (T x) para cada x X. Donde vemos que x 0 (x T x) = x 0 (I T ) (x) = 0 para todo x X. Logo T (X ) {x X ; ((I T ) (x )) (X) = 0}. Seja x 0 {x X ; ((I T ) (x )) (X) = 0}. Isso nos diz que x 0 (I T ) (x) = 0 para todo x X. Donde x 0(x) = x 0 (T x) = (T x 0) x para todo x X, ou seja, x 0 = T x 0. O que nos garante que x 0 T (X ) e completa a prova de i). A prova da segunda parte é análoga. Lema 2.2. Seja M um subespaço complementado de X e seja T uma projeção de X sobre M. Então T é um operador que estende elementos de M em X, isto é, dado m M temos que T (m ) X e T (m ) M = m. Demonstração. Como m (T x) = (m T )(x) = (T (m ))(x) para todo x X, temos que T é uma aplicação de M em X. Além disso, como T é uma projeção, vemos que T x = x para todo x M. Dessa forma, temos: (T (m ))x = m (x) para todo (x, m ) M M. Logo a aplicação T : M X m T (m ) = m T, estende elementos de M em X. 28

Proposição 2.6. Seja T uma projeção de X sobre T (X). Então (T (X)) é isomorfo a T (X ). Demonstração. Seja m (T (X)). Pelo Lema 2.2 temos que T (m ) X. Assim vemos X {}}{ que T ( T m ) = (m T ) T = m T = T (m ), ou seja, T m T (X ). Dessa forma podemos concluir que a imagem da aplicação T : (T (X)) X m T (m ) = m T é um subconjunto de T (X ) (lembrando que T (X ) X ). Verificaremos que tal aplicação é uma bijeção entre (T (X)) e T (X ). Com efeito, seja x 0 um elemento arbitrário de T (X ). Pela definição de T obtemos que T (x 0) X. Notemos que T (x 0) = x 0 T = x 0 T (X). Assim x 0 T (T (X)). Além disso temos pelo Lema 2.1 que T (X ) = {x X x (I T ) (X) = 0}. Dessa forma vemos que x 0 (I T ) (x) = 0 para todo x X. Donde concluímos que x 0(x) = (x 0 T ) (x) para todo x X. E isto nos diz que x 0 = x 0 T = T (x 0 T ). Logo T é sobrejetiva. Agora tomemos m T (X) tal que T (m ) = 0. Isto significa que (T m ) (x) = (m T ) (x) = 0 para todo x X. E isso nos diz que m = 0, pois m T (X), e como T é linear temos que T é injetiva. Agora notemos que: (T m )(x) = (m T ) (x) m T x Daí, segue que T (m ) m T. Donde T L((T (X)), T (X )). Por outro lado (T (X)) e T (X ) são espaços de Banach, o primeiro por ser o dual de um espaço normado 29

e o segundo por ser um subespaço fechado de X (T é projeção). Daí, segue pelo Teorema da Aplicação Aberta (Corolário 1.6) que T é um isomorfismo entre (T (X)) e T (X ). Teorema 2.1. Se Y é isomorfo a um subespaço complementado de X então Y é isomorfo a um subespaço complementado de X. Demonstração. Seja M um subespaço complementado de X que é isomorfo a Y e sejam T 1 um isomorfismo entre Y e M e T uma projeção de X sobre M = T (X). Pela Proposição 2.6 temos que T é um isomorfismo entre M = (T (X)) e T (X ). Como T 1 é um isomorfismo entre Y e M temos pela Proposição 2.5 que T 1 aplicação T (T 1 ) 1 : Y T (X ), é um isomorfismo entre M e Y. Logo a é um isomorfismo entre Y e T (X ). Como T é uma projeção temos que T (X ) e (I T ) (X ) são subespaços fechado de X tais que X = T (X ) (I T ) (X ), por isso T (X ) é um subespaço complementado de X. E isso conclui a demonstração. Definição 2.8. Dizemos que um espaço de Banach M é injetivo se para todo espaço de Banach X tal que M é um subespaço fechado de X temos que M é complementado em X. Definição 2.9. O espaço l denotará o espaço vetorial de todas as sequências limitadas ξ = (ξ n ) n em IK, munido da norma definida para cada ξ = (ξ n ) l, por ξ = sup ξ n. n A próxima proposição nos mostrará que l tem esta propriedade. Proposição 2.7. Seja M um subespaço de um espaço de Banach X. Se M é isomorfo a l então M é complementado em X. Demonstração. Seja T : M l x T (x) = (T n (x)) n 30

tal isomorfismo. Para cada n IN definimos o seguinte funcional linear: x n : M IK x T n (x). Notemos que x n 0, pois T é um isomorfismo. Além disso, x n(x) sup T k (x) T x para todo x X. k Daí, vemos que x n M e x n T para todo n IN. E pelo Teorema de Hahn-Banach (Teorema 1.5) existe extensão linear contínua de x n a X, que preserva a norma de x n. Iremos denotar também por x n essa extensão. Agora definiremos duas aplicações lineares contínuas: Q : X l x (x n(x)) n e P : X M x P (x) = T 1 (Q(x)). Notemos que Q M = T, o que nos diz que Q é sobrejetiva. Logo P (X) = M, pois T 1 (l ) = M. Por outro lado, para cada x M temos: P 2 (x) = P (T 1 (Q(x))) = P (T 1 (T n (x)) n ) = P (T 1 (T (x))) = P (x). Se x X, podemos encontrar x 0 M tal que Q(x 0 ) = Q(x). Daí e da igualdade acima vemos que P 2 = P. E isso conclui a demonstração. 31

2.3 Operadores Compactos Definição 2.10. Seja T : X Y um operador linear. Dizemos que T é compacto se T (B X ) é compacto. Observação 2.7. Se T é compacto então T L(X, Y ). De fato, basta observar que T (B X ) T (B X ). Daí, segue que T (B X ) é limitado, pois T (B X ) é um conjunto compacto em um espaço métrico, e assim vemos que T L(X, Y ). A seguir daremos uma demonstraçao do Teorema de Schauder, sem usar o Teorema de Arzelà-Ascoli. Teorema 2.2. ( Teorema de Schauder) Um operador T em L(X, Y ) é compacto se e somente se o seu adjunto T é compacto. Demonstração. Seja T um operador compacto. Pela definição de operador compacto temos que T (B X ) é compacto. Portanto pelo Corolário 1.8, T (B X ) possui um subconjunto enumerável denso. Seja A = {y 1,..., y k,...} tal conjunto. Seja y = T x, onde x X. Sabemos ( ) que existe n 0 IN tal que x x n 0 B X. Dessa forma vemos que T n 0 T (B X ). E pela linearidade de T, y = T x n 0 T (B X ). Logo T (X) = nt (B X ) nt (B X ). n=1 n=1 ( ) Além disso n=1 B n, onde B n = {ny 1,..., ny k,...} é enumerável, pois é a reunião enumerável de conjuntos enumeráveis. Seja z T (X). Por ( ), existem x 0 B X e n 0 IN tais que z = n 0 T x 0. Como T x 0 T (B X ) podemos encontrar uma sequência (y kj ) j A tal que y kj T x 0. Portanto (n 0 y kj ) n 0 T x 0 = z e (n 0 y kj ) j n=1 B n. Isso nos diz que n=1 B n é denso em T (X). Daí, segue que n=1 B n é denso em T (X), ou seja, T (X) é separável. 32

Pela Proposição 1.9, para mostrar que T é compacto é suficiente mostrar que T (B X ) é sequencialmente compacto. Pelo que vimos anteriormente T (X) possui um subconjunto enumerável denso. Seja A = {y 1,..., y k,...} tal conjunto. Tomemos (T (yn)) n uma sequência em T (B X ). Como (yn) n (B X ), temos que yn 1 para todo n IN. Agora notemos que (yn(y 1 )) n é uma sequência limitada em IK, pois yn(y 1 ) yn y 1 y 1. Pelo teorema de Bolzano-Weiertrass existe uma subsequência (y 1,n) n de (y n) n tal que (y 1,n(y 1 )) n converge. Analogamente existe uma subsequência (y 2,n) n de (y 1,n) n tal que (y 2,n(y 2 )) n converge. Além disso (y 2,n(y 1 )) n converge. Por indução, existe uma subsequência (y k,n ) n de (y k 1,n ) n tal que (y k,n (y k)) n converge e (y k,n (y i)) n converge para i = 1,..., k 1. Ponhamos z n = y n,n para todo n IN. É claro que (z n) n B X fixado. e z n(y k ) converge para todo k IN Fixemos y T (X). Dado ɛ > 0 podemos encontrar k 0 IN tal que y y k0 < ɛ 3. Por outro lado, existe n 0 IN tal que z n(y k0 ) z m(y k0 ) < ɛ 3 para todo m, n n 0. Assim se m, n n 0 temos: z n(y) z m(y) z n(y) z n(y k0 ) + z n(y k0 ) z m(y k0 ) + z m(y k0 ) z m(y) z n y y k0 + ɛ 3 + z m y y k0 ɛ 3 + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ. Donde (z n(y)) n é uma sequência de Cauchy em IK. Portanto (z n(y)) n converge, pois IK é completo. Assim podemos definir a seguinte aplicação linear: z : T (X) IK y z (y) = lim n z n(y). Notemos que pelo Teorema de Banach-Steinhaus (Corolário 1.5) z L ( ) T (X), IK e z 1, ou seja, z B X. Pelo Teorema de Hahn-Banach (Teorema 1.5) existe extensão linear contínua de z a Y. Vamos denotar também por z essa extensão. 33

Fixemos y j A. Dado ɛ > 0 existe n(y j ) IN tal que z i (y j ) z k(y j ) < ɛ 3 para todos i, k n(y j). ( ) Por outro lado, dado y T (B X ) existe y j0 A tal que y j0 y < ɛ 3. Donde y B(y j 0 ; ɛ 3 ). E isso nos diz que T (B X ) B(y j ; ɛ 3 ). j=1 Como T (B X ) é compacto existe {j 1,..., j k0 } IN tal que T (B X ) k 0 i=1 B(y j i ; ɛ 3 ). Seja i 0 = max{n(y 1 ),..., n(y k0 )}. Dado y T (B X ), existe k IN, 1 k k 0 tal que y B(y jk ; ɛ 3 ). Se i, j i 0 temos por ( ): z i (y) z j (y) z i (y) z i (y jk ) + z i (y jk ) z j (y jk ) + z j (y jk ) z j (y) z i y y jk + ɛ 3 + z j y y jk ɛ 3 + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ. Donde z i (y) z j (y) < ɛ se i, j i 0. Passando o limite em j vemos que para todo i i 0 vale: z i (y) z (y) ɛ para todo y T (B X ). (1) Por outro lado T zi T z = sup T (zi z )(x) x 1 = sup (zi z )T x. x 1 Logo se i i 0 temos por (1) que T z i T z ɛ. Isso significa que T z i T z e, como (z i ) i é uma subsequência de (y n) n, isso mostra que T (B Y ) é sequencialmente compacto. Reciprocamente, seja T compacto. Portanto, pela primeira parte T é compacto e isso 34

nos diz que T (B X ) é compacto. Agora lembremos que: J (T (B X )) = T (B X ) = T ( B X ) = T ( B X ) = T (J (B X )). Além disso, T (J (B X )) T (B X ), pois J (B X ) B X. Pela igualdade acima vemos que J (T (B X )) T (B X ) e pela Proposição 1.3, J (T (B X )) é compacto já que T (B X ) é compacto. Utilizando a Proposição 1.9 temos que J (T (B X )) é sequencialmente compacto. Seja (T x n ) n uma sequência em T (B X ). Assim J (T x n ) n J (T (B X )). Dessa forma podemos encontrar y Y e uma subsequência J (T x nk ) k de J(T x n ) n tal que J (T x nk ) y. Donde J (T x nk ) é de Cauchy, e como J é uma isometria temos que (T x nk ) k é uma sequência de Cauchy em Y. A partir daí, podemos concluir que (T x nk ) k converge, pois Y é completo. E isso nos diz que T (B X ) é sequencialmente compacto. Logo T é compacto. Proposição 2.8. O conjunto dos operadores compactos é um subespaço vetorial de L(X, Y ). Demonstração. Sejam T 1, T 2 operadores compactos e α IK. Seja (αt 1 x n + T 2 x n ) n uma sequência em (αt 1 + T 2 ) (B X ). Como T é compacto existe (x nk ) k subsequência de (x n ) n tal que T 1 x nk converge. Pela mesma razão existe (x nkj ) j subsequência de (x nk ) k tal que T 2 x nkj converge. Daí, vemos que (αt 1 x n + T 2 x n ) n possui subsequência convergente. Logo pela Proposição 1.9 temos que αt 1 + T 2 é compacto. A partir de agora K(X, Y ) representará o espaço vetorial dos operadores compactos de X em Y munido da norma induzida por L(X, Y ). Proposição 2.9. Sejam X um espaço normado e Y um espaço de Banach. Então K(X, Y ) é um espaço de Banach. Em particular, K(X, Y ) é um subespaço fechado de L(X, Y ). 35

Demonstração. Seja (T n ) n uma sequência de operadores compactos tal que (T n ) n é de Cauchy. Como L(X, Y ) é completo (Teorema 1.4), existe T L(X, Y ) tal que T n T. Dessa forma, dado ɛ > 0 existe n 0 IN tal que T n T < ɛ 3 para todo n n 0. ( ) Como T n0 é compacto, temos pela Proposição 1.9 que T n0 (B X ) é totalmente limitado. Por esta razão, existe {x 1,..., x p } B X tal que T n0 (B X ) p i=1 B ( T x i ; ɛ 3). Assim vemos que para cada x B X existe i 0 = i 0 (x) IN, 1 i 0 p, tal que T n0 (x) B ( T x i0 ; ɛ 3). Agora notemos que: T (x) T (x i0 ) T (x) T n0 (x) + T n0 (x) T n0 (x i0 ) + T n0 (x i0 ) T (x i0 ) T T n0 x + ɛ 3 + T n 0 T x i0 ( ) ɛ 3 + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ. Logo, dado x B X existe i 0 = i 0 (x), 1 i 0 p, tal que T x B (T x i0 ; ɛ). Donde T (B X ) p i=1 B (T x i; ɛ). E isso nos diz que T (B X ) é totalmente limitado. Além disso T (B X ) é completo porque Y é completo. Logo T é compacto. Daí, pela Proposição 1.9, T (B X ) é compacto. Proposição 2.10. Se T K(X, Y ), U 1 L(Y, Z) e U 2 L(Z, X) então T U 2 K(Z, Y ) e U 1 T K(X, Z). Demonstração. Pela continuidade de U 2, podemos encontrar λ > 0 tal que U 2 (B Z ) λb X. Daí, pela linearidade de T temos: T (U 2 (B Z )) λt (B X ). Como T é compacto, temos pela Proposição 1.3 que T (U 2 (B Z )) é compacto. Logo T U 2 é compacto. 36

Finalmente, segue direto da continuidade de U 1 e do fato que T é compacto que U 1 T também será um operador compacto. Proposição 2.11. Seja T K(X, Y ). Se (x n ) n converge fracamente para x em X então T (x n ) converge para T (x) na norma de Y. Se X é reflexivo, vale a recíproca. Demonstração. Sejam T K(X, Y ) e (x n ) n X tal que (x n ) n converge fracamente para algum x X. Suponhamos, por hipótese de absurdo, que T (x n ) T (x). Dessa forma, podemos encontrar uma subsequência (x nk ) k de (x n ) n e um ɛ > 0 tais que T (x nk ) T (x) ɛ. ( ) Além disso, {x n ; n IN} {x} é σ(x, X )-limitado e, consequentemente, é limitado (na norma). Assim, sem perda de generalidade podemos assumir que (x n ) n B X e x B X. Como, pelo Teorema 1.13, T é σ(x, X ) σ(y, Y ) contínua, temos pela Proposição 1.1 que (T (x n )) n converge fracamente para T (x) em Y. Por outro lado, por hipótese T (B X ) é compacto em Y, de modo que pela Proposição 1.9, (T (x nk )) k possui uma subsequência que converge para algum y Y. Para não sobrecarregar a notação, representaremos por (T (x nk )) k tal subsequência. Como σ(y, Y ) τ, temos que T (x nk ) σ(y,y ) y. E como (T (x n )) n converge fracamente para T (x) temos que T (x nk ) σ(y,y ) T (x). Agora basta lembrar que, como a topologia fraca é uma topologia de Hausdorff, a unicidade do limite implica em y = T (x). Consequentemente T (x nk ) T (x). O que contradiz ( ). Logo T (x n ) T (x). 37

Reciprocamente, suponhamos que a convergência de uma sequência (x n ) n na topologia fraca de X implique sempre na convergência da sequência (T (x n )) n na norma de Y, isto é, σ(x,x T (x n ) T (x) sempre que x ) n x. Vamos usar a Proposição 1.9 para mostrar que T (B X ) é compacto. Seja (T (x n )) T (B X ). Como X é reflexivo, temos pelo Teorema 1.16 que B X é fracamente sequencialmente compacto. Dessa forma, existe x X e uma σ(x,x subsequência (x nk ) k de (x n ) n tal que x ) nk x. E segue da hipótese que T (x nk ) T (x). O que nos diz que (T (x n )) n possui uma subsequência convergente na norma de Y. Logo T (B X ) é compacto, ou seja, T é um operador compacto. Antes de provar o último resultado sobre operadores compactos, provaremos três resultados que nos serão úteis para demonstrá-lo. Proposição 2.12. Seja K C(S). São equivalentes: i) K é equicontínuo; ii) Se (s α ) α D é uma rede em S e s α converge para um ponto s de S então f(s α ) f(s) uniformemente com respeito a f K. Demonstração. Seja K um subconjunto equicontínuo de C(S). Tomemos (s α ) α D uma rede em C(S) tal que s α converge para um certo elemento s de S. Como K é equicontínuo, dado ɛ > 0 existe uma vizinhança U de s tal que: sup f K sup f(s) f(t) < ɛ. t U ( ) Por outro lado, como s α converge para s, podemos encontrar α 0 D tal que s α U para todo α α 0. ( ) Daí, combinando ( ) e ( ) vemos que sup f(s α ) f(t) < ɛ para todo α α 0. O que nos f K diz que f(s α ) f(s) uniformemente com respeito a f K. 38

Reciprocamente, seja K um subconjunto de C(S) que possui a propriedade ii). Suponhamos, por hipótese de absurdo, que K não é equicontínuo. Dessa forma, podemos encontrar um ɛ 0 > 0 e um elemento s S tais que: Para toda vizinhança U de s, existe um elemento t U U e um elemento f U K satisfazendo: f U (t U ) f U (s) ɛ 0. (1) Seja D = {U; U é uma vizinhança de s}. Definimos a seguinte relação binária, denotada por, em D: U 1 U 2 sempre que U 2 U 1. É fácil ver que com a relação binária definida acima, o conjunto D é dirigido. Além disso, segue direto da definição desta relação binária que a rede (t U ) U D converge para s. Como t U converge para s, por hipótese podemos encontrar U 1 D tal que sup f(t U ) f(s) < ɛ 0 para todo U U 1. f K Daí, vemos que f U1 (t U1 ) f(s) < ɛ 0, o que contradiz (1). Logo K é equicontínuo. Proposição 2.13. Seja X um espaço vetorial e seja Ω um subespaço total de X +. Então (X, σ(x, Ω)) = Ω. Demonstração. Já sabemos que todo funcional em Ω é σ(x, Ω) contínuo. Daí, segue que Ω (X, σ(x, Ω)). Seja g (X, σ(x, Ω)). Pela σ(x, Ω)-continuidade de g podemos encontrar f 1,..., f n Ω e ɛ > 0 tais que g (U(0, f 1,..., f n, ɛ)) B IK. ( ) Para cada i {1,..., n} temos que ker f i é um subespaço vetorial. Se x f i (x) < ɛ, i = 1,..., n. Donde x U(0, f 1,..., f n, ɛ). Além disso, como 39 n ker f i então i=1 n ker f i é um i=1

n subespaço vetorial de X, temos que mx ker f i, onde m é um número natural arbitrário. Assim mx U(0, f 1,..., f n, ɛ) para todo m IN e por ( ) temos que: i=1 g(x) < 1 m para todo m IN. Logo ker g Logo g Ω. n i=1 ker f i. Daí, pelo Lema 1.1, existem λ 1,..., λ n IK tais que g = n i=1 λ if i. Teorema 2.3. Seja X um espaço de Banach. Então existe um espaço de Hausdorff compacto Λ tal que X é isometricamente isomorfo a um subespaço fechado de C (Λ). Na verdade Λ = B X munido da σ(x, X)-topologia. Demonstração. Seja Λ = B X munido da σ (X, X)-topologia, isto é, munido da σ(x, J (X))- topologia. Pelo Teorema 1.17, B X é σ (X, X)- compacta. Além disso B X é um espaço de Hausdorff quando munido da topologia σ(x, J (X)), pois J (X) é um subespaço total de X. Pela Proposição 2.13, x é σ (X, X)-contínuo para todo x J (X). Assim temos que x BX é σ (X, X)-contínuo. Dessa forma podemos definir: J 0 : X C (B X ) x J 0 (x) = x BX. Lembremos que: x = x = sup x(x ) = J 0 (x). x B X Logo J 0 é um isomorfismo isométrico entre X e J 0 (X). Além disso, J 0 (X) é fechado, pois X é um espaço de Banach e J 0 é uma isometria. 40

Teorema 2.4. Seja T L(X, Y ). São equivalentes: i) T K(X, Y ); ii) T (yα) T y sempre que (yα) σ(y,y ) (y α) α D está contido em B Y. y, onde y é um elemento de Y e a rede Demonstração. Seja T K(X, Y ). Tomemos (y α) α Λ uma rede tal que (y α) α Λ B Y e que y α σ(y,y ) y, para algum y Y. Como Y é um espaço de Banach vimos no Teorema 2.3 que a aplicação J 0 : Y C (B Y ) y J 0 (y) = ŷ BY é um isomorfismo isométrico entre Y e um subespaço fechado de C (B Y ), onde B Y munido da topologia fraca estrela. Como T é compacto temos pela Proposição 1.9 que T (B X ) é sequencialmente compacto. Seja (J 0 (T x n )) n uma sequência em A = {J 0 (T x); x B X }. Pelo que vimos anteriormente, podemos encontrar uma subsequência (T x nk ) k de (T (x n )) n que é de Cauchy. Lembrando que J 0 é uma isometria e que C(B Y ) é completo temos que (J 0 (T x nk )) k é uma subsequência convergente de (J 0 (T x n )) n. E isto nos garante que A é sequencialmente compacto, ou seja, A é relativamente compacto. Daí, pelo Teorema de Arzelà-Ascoli (Teorema 1.11), A é equicontínuo, pois A é um subconjunto relativamente compacto de C (B Y ). Lembremos que por hipótese, y Y é tal que (yα) σ(y,y ) utilizando a Proposição 2.12 temos: está y. E, já que A é equicontínuo, (J 0 (T x)) (y α) (J 0 (T x)) (y ) uniformemente com respeito a x B X. ( ) Segue da definição de J 0 e de ( ) que y α (T x) y (T x) uniformemente em B X. Isso nos diz que T (y α) T (y ) na norma de X. 41

Reciprocamente, seja T um operador que satizfaz ii) e tomemos A = {J 0 (T x); x B X }. Como J 0 é uma isometria e T (x) T para todo x B X temos que A é limitado em C(B Y ). ( ) Agora verificaremos que A é um subconjunto equicontínuo de C(B Y ). Com efeito, suponhamos que A não é equicontínuo. Daí, pela Proposição 2.12 podemos encontrar um elemento y B Y e uma rede (y α) α Λ contido em B Y tais que: 1) y α σ(y,y ) y ; 2) (J 0 (T x))(y α) (J 0 (T x))(y ) uniformemente com respeito a x B X. Para cada x B X temos: (J 0 (T x))(yα) = yα(t x) = (T yα)(x) para todo α Λ e (J 0 (T x))(y ) = y (T x) = (T y )(x). Assim, vemos que (T yα)(x) (T y )(x) uniformemente com respeito a x B X. O que nos diz que T yα T y e isso não é possível, pois contradiz ii). Logo, A é equicontínuo. ( ) Dessa forma, vimos por ( ) e ( ) que A é limitado e equicontínuo. Daí, pelo Teorema de Arzelà-Ascoli (Teorema 1.11) temos que A é relativamente compacto, e agora utilizando o fato que J 0 é uma isometria e que Y é um espaço de Banach, temos que T (B X ) é relativamente compacto, isto é, T (B X ) é compacto. O que nos mostra que T é um operador compacto. 2.4 Operadores Fracamente Compactos Definição 2.11. Seja T : X Y um operador linear. compacto se T (B X ) é σ (Y, Y )-compacto. Dizemos que T é fracamente 42

Utilizando a Proposição 1.4 vemos que T (B X ) é um conjunto convexo. Daí, pelo Teorema 1.12 temos que T (B X ) = T (B X ) σ(y,y ). Por esta razão, podemos dizer equivalentemente que um dado operador T : X Y é fracamente compacto se T (B X ) σ(y,y ) é fracamente compacto. Observação 2.8. Se T : X Y é fracamente compacto então T L(X, Y ). De fato, para cada y Y fixado, definimos U n = {y Y ; y (y) < n} onde n IN. É claro que cada U n é fracamente aberto. É fácil ver que Y = U n e, como T é fracamente compacto, n IN existe n 0 IN tal que T (B X ) U n0. Assim y (T (B X )) é limitado para todo y Y. Daí, segue pelo Teorema 1.7 que T (B X ) é limitado, ou seja, T L(X, Y ). Dessa forma vemos que o conjunto dos operadores fracamente compactos é um subconjunto de L(X, Y ). Observação 2.9. A aplicação canônica J : X X é σ (X, X ) σ (X, X ) contínua. De fato, seja U(0; x 1,..., x n; ɛ) = {x X ; x (x i ) < ɛ, i = 1,..., n} uma σ (X, X )- vizinhança básica do zero em X. Tomando Ũ(0; x 1,..., x n; ɛ) = {x X; x i (x) < ɛ, i = 1,..., n}, que é uma σ (X, X ) vizinhança do zero em X, é fácil ver que J(Ũ) U. Sendo assim J : X X é σ (X, X ) σ (X, X ) contínua na origem e como X, X são espaços vetoriais topológicos quando munidos da topologia fraca e fraca estrela respectivamente, temos o afirmado. Analogamente J 1 : J (X) X é σ (X, X ) σ (X, X ) contínuo. Teorema 2.5. Seja T L(X, Y ). Então T é fracamente compacto se e somente se T (X ) J (Y ). Demonstração. Começamos observando que T é uma aplicação σ (X, X ) σ (Y, Y ) contínua (Proposição 2.3). Daí, obtemos que: T ( J (B X ) σ(x,x ) ) Proposição1.2 T (J (B X )) σ(y,y ) Proposição2.4 = J (T (B X )) σ(y,y ). Pelo Teorema de Goldstine (Teorema 1.18) temos que J (B X ) σ(x,x ) = BX. Daí, vemos 43

que T (B X ) J (T (B X )) σ(y,y ), e como J (T (BX )) J ( T (B X ) σ(y,y ) ) temos: T (B X ) J (T (B X )) σ(y,y ) J ( T (B X ) σ(y,y ) )σ(y,y ). Por outro lado T (B X ) σ(y,y ) é σ (Y, Y )-compacto já que T é fracamente compacto. ( ) Daí, pela Observação 2.9 e pela Proposição 1.3 vemos que J T (B X ) σ(y,y ) é σ (Y, Y )- compacto e, em particular, como (Y, σ(y, Y )) é um espaço de Hausdorff, J (T ) (B X ) σ(y,y ) é σ (Y, Y )-fechado. E isso nos diz que: Logo J (T (B X ) σ(y,y ) )σ(y,y ) = J ( T (B X ) σ(y,y ) ). T (B X ) J ( T (B X ) σ(y,y ) ) J (Y ), o que implica que T (X ) J(Y ). Reciprocamente seja T L(X, Y ) tal que T (X ) J (Y ). Pela Proposição 2.3 T é σ (X, X )-σ (Y, Y ) contínuo e pelo Teorema de Alaoglu (Teorema 1.17) B X é σ (X, X )-compacto. Daí, segue pela Proposição 1.3 que T (B X ) é σ (Y, Y ) -compacto. ( ) Agora, como J(B X ) B X, pela hipótese e pelo fato que T é uma extensão de T temos: J (T (B X )) = T (J (B X )) T (B X ) J (Y ). ( ) Combinando ( ), ( ) e a Proposição 1.3 vemos que J (T (B X )) σ(y,y ) é σ (Y, Y )-compacto. Além disso J (T (B X )) σ(y,y ) T (B X ) σ(y,y ) = T (B X ) J (Y ). 44

Pela Observação 2.9, J é σ (Y, Y ) σ (Y, Y ) contínua e daí obtemos que: J ( T (B X ) σ(y,y ) ) J (T (B X )) σ(y,y ) J (Y ). Agora aplicando J 1 e lembrando que J 1 : J(Y ) Y é σ(y, Y ) σ(y, Y ) contínua (Observação 2.9) temos: ( ) T (B X ) σ(y,y ) J 1 J (T (B X )) σ(y,y ) Y. Segue então pela Proposição 1.3 que T (B X ) σ(y,y ) é σ (Y, Y )-compacto já que pela Observação 2.9 J (J ) 1 (T (B X )) σ(y,y ) é σ (Y, Y ) -compacto. Logo T é fracamente compacto. Corolário 2.1. Sejam X e Y espaços espaços de Banach. Se X ou Y é reflexivo então todo operador em L(X, Y ) é fracamente compacto. Demonstração. Seja T L(X, Y ). Como T é contínuo, podemos assumir sem perda de generalidade que T 1. Daí, vemos que T (B X ) B Y. Se Y é reflexivo, temos pelo Teorema 1.15 que B Y é σ(y, Y ) compacto. Agora notemos que T (B X ) = T (B X ) σ(y,y ) σ(y,y ) BY. Logo, pela Proposição 1.3 (a), temos que T é fracamente compacto. Agora se X é reflexivo temos, pelo Teorema 1.15, que B X é σ(x, X ) compacto. Por outro lado, pelo Teorema 1.13, temos que T é σ(x, X ) σ(y, Y ) contínuo. Daí, vemos pela Proposição 1.3 (b) que T (B X ) é σ(y, Y )-compacto. Logo T é fracamente compacto. Corolário 2.2. O conjunto dos operadores fracamente compactos de X em Y é fechado em L(X, Y ). 45

Demonstração. Denotaremos por A o conjunto dos operadores fracamante compactos. Seja T A. Podemos encontrar uma sequência (T n ) n A tal que (T n T ) = (T n T ) = T n T 0. Fixemos x X. Como (T n ) n é uma sequência de operadores fracamente compactos, temos pelo Teorema 2.5 que (T n x ) n J (Y ). Por outro lado J(Y ) é fechado em Y porque J(Y ) é isometricamente isomorfo ao espaço de Banach Y. Notemos que: (T n T ) x (T n T ) x. E como (T n T ) 0, concluímos que T n x T x 0. Dessa forma vemos que T x J (Y ), pois J (Y ) é fechado e (T n x ) n J (Y ). Logo T A, ou seja, A é fechado. Corolário 2.3. O conjunto dos operadores fracamente compactos de X em Y é um subespaço vetorial de L(X, Y ). Demonstração. Como (Y, σ(y, Y )) é um espaço vetorial topológico, a aplicação F α : (Y, σ(y, Y )) (Y, σ(y, Y )) (Y, σ(y, Y )) (y 1, y 2 ) y 1 + αy 2. é contínua para cada α K fixado. Sejam T 1, T 2 operadores fracamente compactos de X em ) Y e λ IK. Como T i (B X ) é fracamente compacto para i = 1, 2, F λ (T 1 (B X ) T 2 (B X ) é fracamente compacto. Daí e de ) (T 1 + λt 2 )(B X ) = T 1 (B X ) + λt 2 (B X ) T 1 (B X ) + λt 2 (B X ) = F λ (T 1 (B X ) T 2 (B X ) concluímos que T 1 + λt 2 é fracamente compacto. 46

A partir de agora W(X, Y ) denotará o espaço vetorial dos operadores fracamente compactos de X em Y, munido da norma induzida por L(X, Y ). Observação 2.10. Como σ(y, Y ) τ é fácil ver que K(X, Y ) W(X, Y ). Corolário 2.4. Se T W(X, Y ), U 1 L(Y, Z) e U 2 L(Z, X) então T U 2 W(Z, Y ) e U 1 T W(X, Z). Demonstração. Podemos assumir sem perda de generalidade que U 2 1. Dessa forma, obtemos que U 2 (B Z ) B X. Utilizando o fato que T é fracamente compacto juntamente com a Proposição 1.3, vemos que (T U 2 )(B Z ) é σ(y, Y ) compacto. Logo T U 2 W(Z, Y ). Como T W(X, Y ) (por hipótese) temos que T (B X ) é σ(y, Y ) compacto. Daí, vemos pelo Teorema 1.13 e a Proposição 1.3 que U 1 (T (B X )) é σ(z, Z ) compacto. Como U 1 (T (B X )) U 1 (T (B X )) Proposição 1.2 U 1 (T (B X )) = U 1 (T (B X )) σ(z,z ), temos que U 1 (T (B X )) é fracamente compacto. Logo U 1 T W(X, Z). Proposição 2.14. Um operador em T L(X, Y ) é fracamente compacto se e somente se T é σ (Y, Y ) σ (X, X ) contínuo. Demonstração. Se T L(X, Y ) é fracamente compacto, pelo Teorema 2.5 temos T (X ) J (Y ). Dessa forma, para cada x X existe y Y tal que T x = Jy. Isso significa que: x (T y ) = (T x ) y = (Jy) y = y (y) para todo y Y. Fixemos y Y. Seja (y α) α D uma rede em Y tal que y α ( ) σ(y,y ) y. Pela definição da topologia fraca estrela temos que y α(y) y (y) para todo y Y. Mostraremos que T y α σ(x,x ) T y, ou seja, x (T y α) x (T y ) para todo x X. De fato, por ( ), para cada x X existe y Y tal que x (T y α) = y α(y) e x (T y ) = y (y). Daí segue que x (T y α) x (T y ) para todo x X. Logo pela Proposição 1.1 temos 47

que T é σ (Y, Y ) σ (X, X ) contínuo em y. Como y foi tomado arbitrariamente temos o procurado. Reciprocamente seja T L(X, Y ) tal que T é σ (Y, Y ) σ (X, X ) contínuo. Por definição T (X ) Y. Mostraremos que T x 0 é σ (Y, Y ) contínuo para cada elemento x 0 X. Fixado y Y, seja (yα) α D uma rede em Y tal que yα σ(y,y ) y. Pela hipótese e pela Proposição 1.1 vemos que T yα σ(x,x ) T y, isto é, x (T yα) x (T y ) para todo x X. Por outro lado temos: x 0 (T y α) = (T x 0 )y α para todo α D, x 0 (T y ) = (T x 0 )y, o que nos diz que (T x 0 )y α (T x 0 )y. E a Proposição 1.1 nos garante que T x 0 é σ (Y, Y ) contínuo em y. Como y foi tomado arbitrariamente temos o afirmado. Agora lembremos que σ (Y, Y ) = σ (Y, J (Y )). Isso nos diz que T x 0 é σ (Y, J (Y ))- contínuo. E pela Proposição 2.13 temos que T x 0 J (Y ). Logo T X J (Y ). Daí, pelo Teorema 2.5, temos que T é fracamente compacto. Teorema 2.6. (Teorema de Gantmacher) Um operador T em L(X, Y ) é fracamente compacto se e somente se seu adjunto T é fracamante compacto. Demonstração. Suponhamos que T W(X, Y ). Pelo Teorema de Alaoglu (Teorema 1.17), B Y é σ (Y, Y )-compacto. Daí, como T é fracamente compacto, pela Proposição 2.14 e Proposição 1.3 temos que: T (B Y ) é σ (X, X ) -compacto. Logo T (B Y ) σ(x,x ) = T (B Y ) é σ (X, X )-compacto. 48

Reciprocamente, se T é fracamente compacto, segue da Proposição 2.14 que T é σ (X, X ) σ (Y, Y ) contínuo. Além disso temos pelo Teorema de Goldstine (Teorema 1.18) que J (B X ) σ(x,x ) = BX. Lembremos também que J(T (B X )) = T (B X ) = T ( B X ) = T ( B X ) = T (J(B X )). Daí, pela igualdade acima e pela Proposição 1.2 temos: T (J (B X ) σ(x,x ) ) T (J (B X )) σ(y,y ) = J (T (BX )) σ(y,y ). Donde vemos que T (B X ) J (T (B X )) σ(y,y ). ( ) Como B X é convexo temos pelas Proposições 1.4 e 1.6 que J (T (B X )) é convexo. Corolário 1.7 nos garante que J(T (B X )) é σ(y, Y )-fechado. Daí, vemos que O J (T (B X )) σ(y,y ) J (T (BX )) = J (T (B X )) σ(y,y ), pois J (T (BX )) J (T (B X )). Logo J (T (B X )) = J (T (B X )) σ(y,y ). Por ( ) temos que T (B X ) J (T (B X )) J (Y ) = J (Y ). E o Teorema 2.5 nos garante que T é fracamente compacto. Definição 2.12. O espaço c 0 denotará o espaço vetorial de todas as sequências ξ = (ξ n ) n em IK tais que ξ n 0. É fácil ver que c 0 l. Daí, podemos munir c 0 da norma induzida por l. 49

Definição 2.13. O espaço l 1 denotará o espaço vetorial de todas as sequências ξ = (ξ n ) n em IK tais que ξ n é convergente, munido da norma definida para cada ξ = (ξ n ) n l 1 por n=1 ξ 1 = ξ n. Observação 2.11. Os espaços l, l 1 e c 0 são espaços de Banach. n=1 Lembremos que l 1 = l, isto é, para cada f l 1 há um único ξ = (ξ n ) l tal que f(γ) = ξ n γ n, onde γ = (γ n ) l 1, n=1 e a aplicação f ξ é uma isometria de l 1 sobre l. Analogamente c 0 = l 1. Teorema 2.7. Sejam X e Y espaços de Banach e seja T L(X, Y ) um operador que não é fracamente compacto. Então se X é injetivo, existe um subespaço M de X com as seguintes propriedades: i) M é isomorfo a l ; ii) T M : M T (M) é um isomorfismo. Demonstração. Veja [12], Corolário 1.4, p.18. Corolário 2.5. Seja Y um espaço de Banach. Se Y não possui um subespaço isomorfo a l então todo operador linear T L(l, Y ) é fracamente compacto. Demonstração. Suponhamos, por hipótese de absurdo, que T não é fracamente compacto. Lembremos que l é um espaço injetivo. Daí, pelo teorema anterior, existe um subespaço M de l tal que i) M é isomorfo a l ; ii) T M : M T (M) é um isomorfismo. 50

Seja S o isomorfismo entre l e M. Assim, podemos definir a seguinte aplicação linear: T S : l T (M). Donde concluímos que o subespaço T (M) é isomorfo a l. O que não é possível, pois T (M) é um subespaço de Y. Faremos uso do próximo teorema para que possamos dar mais dois exemplos de operadores fracamente compactos. Teorema 2.8. (Teorema de Schur) Um subconjunto A de l 1 é fracamente relativamente compacto se e somente se é relativamente compacto na norma. Consequentemente, A é fracamente relativamente compacto se e somente se é totalmente limitado na norma. Demonstração. Veja [13], Teorema 9, p.135. Proposição 2.15. Um operador T : X l 1 é fracamente compacto se e somente se T é compacto. Demonstração. Seja T : X l 1 um operador fracamente compacto. Pela definição de operador fracamente compacto temos que T (B X ) σ(l 1,l ) é σ(l1, l ) compacto. E pelo Teorema de Schur (Teorema 2.8) vemos que T (B X ) é compacto (na norma). Logo, T é um operador compacto. A recíproca é uma consequência imediata da Observação 2.10. Como consequência imediata do teorema anterior, temos o seguinte resultado. 51

Corolário 2.6. W(X, l 1 ) = K(X, l 1 ). Proposição 2.16. Um operador T : c 0 Y é fracamente compacto se e somente se T é compacto. Consequentemente, W(c 0, Y ) = K(c 0, Y ). Demonstração. Seja T : c 0 Y um operador fracamente compacto. Pelo Teorema de Gantmacher (Teorema 2.6) temos que T : Y c 0 = l 1 é fracamente compacto. E utilizando a proposição anterior vemos que T é um operador compacto. Daí, segue pelo Teorema de Schauder (Teorema 2.2) que T é compacto. A recíproca é uma consequência imediata da Observação 2.10. 52

Capítulo 3 O Espaço dos Operadores Compactos Neste terceiro capítulo o nosso objetivo será o de estabelecer uma condição necessária e suficiente para que o espaço K(X, Y ) (onde X e Y são espaços de Banach) possua um subespaço isomorfo a l. Em particular obteremos uma condição necessária para que K(X, Y ) possua um subespaço complementado de dimensão infinita. 3.1 As topologias de operador em L(X, Y ) Até agora, neste trabalho, consideramos L(X, Y ) sempre munido da topologia usual, isto é, a topologia induzida pela norma T = sup T x, que chamamos de topologia x 1 da norma em L(X, Y ). Dizemos que uma rede (T α ) α Λ converge para T se e somente se (T α ) α Λ converge uniformemente para T em B X, isto é, se (T α ) α Λ converge para T na topologia da norma. É claro que uma grande variedade de topologias podem ser definidas no espaço vetorial L(X, Y ). As três topologias que definiremos e estudaremos a seguir serão utilizadas neste capítulo. Todas as topologias que definiremos nesta seção tornarão L(X, Y ) um espaço vetorial topológico. A demonstração dessa afirmação segue o caminho usual em

análise funcional. Definição 3.1. A topologia de operador forte em L(X, Y ) é a topologia definida pela base de vizinhanças formada pelos conjuntos N (T ; A; ɛ) = {R L(X, Y ) ; (T R)x ɛ, x A}, onde T L(X, Y ), A é um subconjunto arbitrário e finito de X e ɛ é um número real positivo arbitrário. Assim, na topologia de operador forte, uma rede (T α ) α Λ converge para T se e somente se (T α x) α Λ converge para T x para todo x em X. A partir de agora quando L(X, Y ) estiver munido da topologia de operador forte diremos que L(X, Y ) está munido da topologia S. Definição 3.2. A topologia de operador fraca em L(X, Y ) é a topologia definida pela base de vizinhanças formada pelos conjuntos N (T ; A; B ; ɛ) = {R L(X, Y ) ; y (T R)x ɛ, x A, y B }, onde T L(X, Y ), A e B são subconjuntos arbitrários e finitos de X e Y respectivamente e ɛ é um número real positivo arbitrário. Assim, na topologia de operador fraca, uma rede (T α ) α Λ converge para T se e somente se (y T α x) α Λ converge para y T x para todo x em X e todo y em Y. A partir de agora quando L(X, Y ) estiver munido da topologia de operador fraca diremos que L(X, Y ) está munido da topologia W. Observação 3.1. O espaço topológico (L(X, Y ), W) é um espaço de Hausdorff. De fato, sejam T 1, T 2 L(X, Y ) tais que T 1 T 2. Dessa forma podemos encontrar x X tal que T 1 (x) T 2 (x). Pelo Teorema de Hahn-Banach (Corolário 1.1) existe y Y tal que 54

y (T 1 x) y (T 2 x). Tomemos ɛ = y (T 1 T 2 )x 4. Se T N (T 1 ; x; y ; ɛ) N (T 2 ; x; y ; ɛ) temos: y (T 1 T 2 )x y (T 1 T )x + y (T T 2 )x 2ɛ = y (T 1 T 2 )x, 2 o que não é possível, pois y (T 1 T 2 )x > 0. Assim vemos que N (T 1 ; x; y ; ɛ) N (T 2 ; x; y ; ɛ) =. E isto nos diz que (L(X, Y ), W) é um espaço de Hausdorff. Antes de definir a última topologia que nos interessa em L(X, Y ) provaremos que (L(X, Y ), W) = (L(X, Y ), S). Para tal precisaremos do seguinte resultado: Proposição 3.1. τ S W em L(X, Y ). Demonstração. Seja D um conjunto W-aberto. Fixado T D podemos encontrar A = {x 1,..., x n } X, B = {y 1,..., y m} Y e ɛ > 0 tais que N (T ; A; B ; ɛ) = {R L(X, Y ), y (T R)x ɛ, x A, y B } D. Ponhamos K 0 := max{ y 1,..., y m }. Se K 0 = 0 temos que D = L(X, Y ), logo D é S- aberto. Caso contrário tomemos ɛ 0 = ɛ K 0. Se T 0 N (T ; A; ɛ 0 ) temos que (T T 0 )x < ɛ 0 sempre que x A. Pela escolha de ɛ 0 temos: K 0 (T T 0 )x ɛ. Daí, segue que yi (T T 0 )x yi (T T 0 )x K 0 (T T 0 )x ɛ se x A e i {1,..., m}, o que nos diz que T 0 N (T ; A; B ; ɛ). Ou seja, N (T ; A; ɛ 0 ) N (T ; A; B ɛ), logo D é S-aberto. Agora seja D um conjunto S-aberto. Fixado T D existem A = {x 1,..., x n } X e ɛ > 0 tais que N (T ; A; ɛ) = {R L(X, Y ) ; (T R)x ɛ, x A} D. Seja 55

M 0 := max{ x 1,..., x n }. Se M 0 = 0 temos que D é aberto na norma. Caso contrário tomemos ɛ 0 = ɛ M 0. Seja T 0 tal que T T 0 ɛ 0. Pela definição da norma temos que: (T T 0 )x T T 0 x ɛ 0 x, para todo x X. Daí, pela escolha de ɛ 0 segue que (T T 0 )x ɛ para todo x A. Logo D é aberto na topologia da norma. Pela proposição anterior temos que todo funcional linear em L(X, Y ) que é W-contínuo também é S-contínuo, ou seja, (L(X, Y ), W) (L(X, Y ), S). O teorema seguinte nos dirá que na verdade vale a igualdade. Teorema 3.1. Um funcional linear em L(X, Y ) é W-contínuo se e somente se é S-contínuo. Em outras palavras, (L(X, Y ), W) = (L(X, Y ), S). Demonstração. É suficiente provar que (L(X, Y ), W) (L(X, Y ), S). Seja F um funcional linear S-contínuo. Pela S-continuidade de F na origem, podemos encontrar A = {x 1,..., x n } X e ɛ > 0 tais que F (T ) F (0) < 1 }{{} sempre que T N (0; A; ɛ) = {R L(X, Y ) ; Rx ɛ, x A}. Consideremos o espaço de Banach Y n = Y... Y de todas as n-uplas ξ = (y 1,..., y n ), onde y i Y e i {1,..., n}, munido da norma ξ = max 1 i n y i. Definimos as seguintes aplicações lineares: 0 H : L(X, Y ) Y n T H(T ) = (T x 1,..., T x n ), f : H (L(X, Y )) IK H(T ) F (T ). 56

Precisamos verificar que f está bem definida. Se T e R L(X, Y ) são tais que H(T ) = H(R), então H(T R) = ((T R)x 1,..., (T R)x n ) = 0. Daí, segue que (T R)x i = 0, i = 1,..., n. ( ) Como A = {x 1,..., x n }, dado qualquer δ > 0 obtemos por ( ) que 1 (T R) N (0; A; ɛ), δ donde podemos concluir que F ( 1 (T R)) < 1. Daí, pela linearidade de F e pelo fato de δ δ ter sido tomado arbitrariamente temos que F (T ) = F (R), isto é, f está bem definida. Como f é linear, basta mostrar que f é contínua na origem para obter que a aplicação f é contínua. De fato, seja δ > 0. Tomando temos que H(T ) = max 1 i n T x i < δɛ, 1 T N (0; A; ɛ). δ Daí, pela definição de f vemos que f(h(t )) = F (T ) < δ. Portanto f é contínua. Pelo Teorema de Hahn-Banach (Teorema 1.5), lembrando que H(L(X, Y )) é um subespaço de Y n, existe f 1 (Y n ) tal que f 1 (H(T )) = f(h(t )), para todo T L(X, Y ) e f 1 = f. (1) Podemos definir para cada i {1,..., n} a seguinte aplicação linear: y i : Y IK onde a i = y e a j = 0 se j i. y y i (y) = f 1 (a 1,..., a i 1, a i, a i+1..., a n ), Notemos também que y i (y) = f 1 (a 1,..., a i 1, a i, a i+1,..., a n ) f 1 y, o que nos diz que y i é contínuo para todo i {1,..., n}. Para cada (y 1,..., y n ) Y n temos: f 1 (y 1,..., y n ) = f 1 (y 1, 0,..., 0) + f 1 (0, y 2, 0,..., 0) + + f 1 (0,..., 0, y n ) n = yi (y i ). (2) i=1 57

Por (1), (2) e pela definição de f chegamos na seguinte igualdade: F (T ) = f(h(t )) = f 1 (H(T )) n = f 1 (T x 1,..., T x n ) = yi T x i, para todo T L(X, Y ). Agora verificaremos que de fato F é W-contínuo. Dado ɛ 0 > 0, tomemos N ( ) 0; A; B ; ɛ 0 n = {R L(X, Y ); y (R)x ɛ 0 n, x A, y B }, onde A = {x 1,..., x n } e B = {y1,..., yn}. Se T N ( ) 0; A; B ; ɛ 0 n temos: n n F (T ) = yi T x i yi T x i i=1 i=1 n ɛ 0 n = ɛ 0 i=1 Assim F (T ) ɛ 0 para todo T N ( ) 0; A; B ; ɛ 0 n. Logo F é W-contínuo no zero e como L(X, Y ) munido da topologia W é um espaço vetorial topológico, temos que F é W-contínuo. Definição 3.3. A topologia fraca de operador dual em L(X, Y ) é a topologia definida pela base de vizinhanças formada pelos conjuntos da forma N (T ; A ; B ; ɛ) = {R L (X, Y ) ; x (T R) y < ɛ, x A, y B }, onde A e B são subconjuntos arbitrários e finitos de X e Y respectivamente e ɛ é um número real positivo arbitrário. i=1 Assim, na topologia fraca de operador dual, uma rede (T α ) α Λ converge para T se e somente se x (Tαy ) α Λ converge para x (T y ) para todo x em X e todo y em Y. A partir de agora, quando L(X, Y ) estiver munido da topologia fraca de operador dual diremos que L(X, Y ) está munido da topologia W. Observação 3.2. W W. De fato, seja D um conjunto W-aberto. Fixemos T D. Podemos encontrar A = {x 1,..., x n } X, B = {y1,..., ym} Y e ɛ > 0 tais que 58

N (T ; A; B ; ɛ) = {R L (X, Y ) ; y (R T )x < ɛ, x A, y B } D. Tomando A = {Jx 1,..., Jx n } X vemos que N (T ; A ; B ; ɛ) = {R L (X, Y ) ; Jx (T R) y < ɛ, Jx A, y Y } = N (T ; A; B ; ɛ) D, pois Jx (T R) y = y (T R)x. Donde concluímos que D é W -aberto. Segue da observação anterior que (L(X, Y ), W ) é um espaço de Hausdorff, pois já vimos que (L(X, Y ), W) é um espaço de Hausdorff. Quando X é reflexivo, a cada A = {x 1,..., x n } X corresponde um conjunto A = {x 1,..., x n } X tal que A = {Jx 1,..., Jx n } e, procedendo de maneira análoga como foi feito na observação anterior, vemos que W = W nesse caso. 3.2 Compacidade fraca em K(X, Y ) Nesta seção denotaremos por U e por V as bolas B X munida da σ(x, X ) topologia e B Y munida da σ(y, Y ) topologia, respectivamente. Pelo Teorema de Alaoglu temos que U e V são compactos. Além disso, como σ(x, X ) = σ(x, J(X )) e σ(y, Y ) = σ(y, J(Y )), vemos que U e V são espaços de Hausdorff, pois J(X ) e J(Y ) são subespaços totais de (X ) + e (Y ) + respectivamente. Consideraremos o espaço U V munido da topologia produto. Assim, um subconjunto A é um aberto básico em U V se e somente se A = A 1 A 2, onde A 1 e A 2 são abertos básicos em U e V respectivamente. Com esta topologia temos que U V é um espaço de Hausdorff compacto. Além disso uma rede (u α, v α ) α D U V converge para (u, v) se e σ(x somente se u,x ) σ(y α u e v,y ) α v. O espaço das funções contínuas de U V em IK, munido da norma usual do sup, será denotado por C(U V ). 59

Lema 3.1. Seja T K(X, Y ). Então a aplicação H T : U V IK (u, v) H T (u, v) = u(t v) é contínua, ou seja, H T C(U V ). Demonstração. Fixemos (u, v) U V. Seja (u α, v α ) α D U V uma rede que converge σ(y para (u, v). Como T é compacto e v,y ) α v, temos pelo Teorema 2.4 que T (v α ) T (v) na topologia da norma de X. Dessa forma, dado ɛ > 0 existe α 1 D tal que T (v α ) T (v) < ɛ 2 para todo α α 1. ( ) σ(x Por outro lado como u,x ) α Agora notemos que: u e T (v) X. Podemos encontrar α 2 D tal que u α (T v) u(t v) < ɛ 2 para todo α α 2. ( ) H T (u α, v α ) H T (u, v) = u α (T v α ) u(t v) = u α (T v α ) u α (T v) + u α (T v) u(t v) u α (T v α T v) + (u α u)(t v) u α T v α T v + u α (T v) u(t v). Agora tomando α 0 α 1, α 2, temos por ( ) e ( ) que H T (u α, v α ) H T (u, v) ɛ para todo α α 0. Assim vemos que H T (u α, v α ) H T (u, v). Logo, pela Proposição 1.1, temos que H T é contínua em (u, v). Logo H T C(U V ), pois (u, v) foi tomado de maneira arbitrária em U V. 60

Proposição 3.2. A aplicação H : K(X, Y ) C(U V ) T H T define uma isometria entre K(X, Y ) e um subespaço fechado de C(U V ). Demonstração. A aplicação H está bem definida pelo lema anterior. Sejam T 1, T 2 K(X, Y ) e λ IK. Para cada (u, v) U V temos: H(T 1 + λt 2 )(u, v) = H T1 +λt 2 (u, v) = u(t 1 + λt 2 ) (v) = u(t 1 v + λt 2 v) = u(t 1 v) + λu(t 2 v) = H T1 (u, v) + λh T2 (u, v). E isso nos diz que H(T 1 + λt 2 ) = H T1 + λh T2, ou seja, H é linear. Agora fixemos T K(X, Y ). Pelo Corolário 1.3 temos que T v = sup u(t v) para u U cada v V. Daí, segue que ( ) sup sup u(t v) v V u U = sup T v = T = T. v V ( ) Logo ( ) T ( ) = sup sup u(t v) v V u U = sup u(t v) = H T, (u,v) U V o que nos diz que H é uma isometria. Em particular, H (K(X, Y )) é um subespaço fechado de C(U V ). Antes de provar o principal teorema desta seção definiremos uma topologia no conjunto Y X = {f : X Y } conhecida como topologia da convergência pontual, onde X e Y são espaços topológicos. 61

Definição 3.4. Sejam X e Y espaços topológicos. Para cada x X e cada A aberto em Y, definimos Q(x, A) = {f Y X ; f(x) A}. A coleção {Q(x, A); x X, A aberto em Y }, de subconjuntos de Y X, forma uma sub-base para uma topologia em Y X denominada topologia da convergência pontual. Notação: A partir de agora quando Y X estiver munido da topologia da convergência pontual diremos que Y X está munido da topologia P. Observação 3.3. Se Y é um espaço de Hausdorff temos que (Y X, P) é um espaço de Hausdorff. De fato, se f 1 f 2 existe x em X tal que f 1 (x) f 2 (x). Como Y é um espaço de Hausdorff existem A 1 e A 2, abertos disjuntos em Y, tais que f 1 (x) A 1 e f 2 (x) A 2. E como A 1 A 2 = obtemos que Q(x, A 1 ) Q(x, A 2 ) =. Além disso f 1 Q(x, A 1 ) e f 2 Q(x, A 2 ). E isso nos diz que (Y X, P) é um espaço de Hausdorff. Como consequência imediata da definição de convergência pontual vemos que uma rede (f α ) α D Y X converge para uma função f 0 Y X se e somente se f α (x) converge para f 0 (x) para cada x X. Notemos que C(U V ) IK U V como conjunto. Podemos considerar em C(U V ) a topologia induzida pela topologia P de IK U V. É fácil verificar que (C(U V ), P) é um espaço vetorial topológico. Além disso IK U V é um espaço de Hausdorff, pois IK é um espaço de Hausdorff. Daí, pela Proposição 1.3 todo subconjunto P-compacto é P-fechado. O teorema que enunciaremos a seguir será muito importante para a demonstração do principal resultado desta seção. Teorema 3.2. Seja S um subconjunto compacto de um espaço topológico X. Para que A C(S) seja fracamente relativamente compacto, isto é, A σ(c(s),c(s) ) seja σ(c(s), C(S) )- compacto é necessário e suficiente que A seja limitado (na norma) e relativamente compacto na topologia da convergência pontual de C(S). 62

Demonstração. Veja [6], Teorema 4.2, p.45. Teorema 3.3. Seja K um subconjunto de K(X, Y ). Então K é W -compacto se e somente se K é σ(k(x, Y ), K(X, Y ) )-compacto. Demonstração. Seja K K(X, Y ) tal que K é W -compacto. Seja H(K) = {H T ; T K}, onde H é a função definida na Proposição 3.2. Tomemos (H Tα ) α D uma rede em H(K). Como K é W -compacto, o Teorema 1.3 nos garante a existência de um sub-rede (T β ) β D de (T α ) α D e de um elemento T 0 K tais que T β W T 0. E como (T β ) β D converge na topologia W para T 0 temos que x (T β y ) x (T 0 y ) para todo (x, y ) (X Y ). Lembrando que U X e V Y vemos que u(t β v) = H T β (u, v) H T0 (u, v) = u(t 0 v) para cada (u, v) U V. E isso nos diz que H Tβ P H T0 em C(U V ). E utilizando novamente o Teorema 1.3 concluímos que H(K) é P-compacto. Por outro lado, como K é W -compacto, para cada (x, y ) (X Y ), podemos encontrar um A = A(x, y ) = {T 1,..., T n } K tal que K n N (T i ; x ; y ; 1), onde i=1 N (T i ; x ; y ; 1) = {R L(X, Y ); x (R T i ) y < 1}. Tomemos ρ = 1 + max 1 i n x (T i y ). Dado T K, existe i 0 IN, 1 i 0 n, tal que T N (T i0 ; x ; y ; 1). Daí, vemos que x (T y ) x (T i 0 y ) x (T y ) x (T i 0 y ) < 1. Donde concluímos que x (T y ) < ρ para todo T K. Assim, vimos que para cada y Y fixado, existe ρ(x, y ) = ρ > 0 tal que x (T y ) < ρ para todo T K. Isto nos diz que x (A y ) é um subconjunto limitado de K para todo x X, onde A y = {T y ; T K}. Segue pelo Teorema 1.7 que A y é um subconjunto limitado de X 63

para cada y Y. Portanto, existe M(y ) = M > 0 tal que T y < M para todo T K. Logo, sup T y < para cada y Y. T K Então, pelo Teorema de Banach-Steinhaus (Teorema 1.6) temos que sup T <. T K Lembremos que T = T = H T, donde podemos concluir que H(K) é limitado em C(U V ). Assim, vimos que H(K) é compacto na topologia P e limitado na topologia da norma. Daí, pelo Teorema 3.2 temos que H(K) σ(c(u V ),C(U V ) ) é σ(c(u V ), C(U V ) ) compacto. Seja f H(K) σ(c(u V ),C(U V ) ). Podemos encontrar uma rede (Tα ) α D K tal que φ(h Tα ) φ(f) para todo φ C(U V ). Além disso como K é W -compacto, existe W uma sub-rede (T β ) β D de (T α ) α D e de um elemento T 1 K tais que T β T 1. Daí, vemos que H Tβ (u, v) H T1 (u, v) para todo (u, v) U V. Para cada (u, v) U V definimos a seguinte aplicação linear: Além disso temos: δ (u,v) : C(U V ) IK g δ (u,v) (g) = g(u, v). δ (u,v) (g) = g(u, v) sup g(u 0, v 0 ) = g. (u 0,v 0 ) U V 64

Donde δ (u,v) C(U V ). Logo H Tα (u, v) = δ (u,v) (H Tα ) δ (u,v) (f) = f(u, v). Daí, segue que H Tβ (u, v) f(u, v) para todo (u, v) U V. E assim temos que f = H T1, onde T 1 K, ou seja, f H(K). Segue daí que H(K) = H(K) σ(c(u V ),C(U V ) ), que é compacto na topologia fraca. Consequentemente, H(K) é σ(c(u V ), C(U V ) )-compacto. Lembremos que aplicação H : K(X, Y ) C(U V ) T H T é uma isometria entre K(X, Y ) e um subespaço fechado de C(U V ). Daí, está bem definida a aplicação inversa H 1 : H(K(X, Y )) K(X, Y ) H T H 1 (H T ) = T. Para mostrar que H 1 é σ(c(u V ), C(U V ) )-σ(k(x, Y ), K(X, Y ) ) contínua, utilizaremos a Proposição 1.1. De fato, seja H T0 H(K(X, Y )). Tomemos (H Tα ) α D uma rede em H(K(X, Y )) tal que ϕ(h Tα ) ϕ(h T0 ) para todo ϕ C(U V ), onde H T0 H(K(X, Y )). Para cada ρ K(X, Y ) podemos definir: ρ : H(K(X, Y )) IK H T ρ(h T ) = ρ(t ). Notemos que ρ(h T ) = ρ(t ) ρ T = ρ H T. Donde vemos que ρ H(K(X, Y )). Pelo Teorema de Hahn-Banach (Teorema 1.5) existe ρ 1 C(U V ) tal que ρ(f) = ρ 1 (f) para todo f H(K(X, Y )). 65

Como ρ 1 C(U V ) e H(T α ) converge para H T0 fracamente temos: ρ 1 (H Tα ) = ρ(h Tα ) = ρ(t α ) ρ(t ) = ρ(h T ) = ρ 1 (H T ). E isso nos diz que ρ(t α ) ρ(t 0 ) para todo ρ K(X, Y ). Temos assim que a aplicação H 1 é σ(c(u V ), C(U V ) ) σ(k(x, Y ), K(X, Y ) ) contínua. Daí, pela Proposição 1.3 temos que H 1 (H(K)) = K é σ(k(x, Y ), K(X, Y ) ) - compacto, uma vez que H(K) é σ(c(u V ), C(U V ) ) - compacto. Para provar a recíproca é suficiente mostrar que W induz em K(X, Y ) uma topologia menos fina do que σ(k(x, Y ), K(X, Y ) ). Tomemos um conjunto W -aberto básico, ou seja, um conjunto da seguinte forma: N (T 0 ; A ; B ; ɛ) = {T K (X, Y ) ; x (T T 0 ) y < ɛ, x A, y B }, onde A = {x 1,..., x n } X, B = {y 1,..., y m} Y e ɛ é um número real positivo arbitrário. É fácil ver que: N (T 0 ; A ; B ; ɛ) = n i=1 j=1 m {T L (X, Y ) ; x i (T T 0 ) yj < ɛ.} ( ) Fixemos i e j IN tais que 1 i n e 1 j m. Podemos definir a seguinte aplicação linear: δ (x i,y j ) : K(X, Y ) IK T δ (x i,yj ) (T ) = x i (T yj ) Notemos que: δ (x i,y j ) (T ) x i T y j = x i y j T. E isso nos diz que δ (x i,yj ) K(X, Y ). Por outro lado, U(T 0 ; δ (x i,yj ) ; ɛ) = {T K(X, Y ); δ (x,yj ) (T T 0 ) < ɛ} = {T K(X, Y ); x (T T 0 ) yj < ɛ}. i Logo podemos concluir por ( ) que N (T 0 ; A ; B ; ɛ) é σ(k(x, Y ), K(X, Y ) )-aberto. 66 i

Observação 3.4. Na demonstração do teorema anterior vimos que W induz em K(X, Y ) uma topologia menos fina do que σ(k(x, Y ), K(X, Y ) ). Corolário 3.1. Se X é reflexivo, um subconjunto K de K(X, Y ) é σ(k(x, Y ), K(X, Y ) )- compacto se e somente é W-compacto. Demonstração. Como X é reflexivo temos que W = W. Agora é só aplicar o teorema anterior. Lembremos que se X é um espaço vetorial e A é um subconjunto de X, dizemos que um elemento x de X é uma combinação convexa de A se x = n i=1 λ ix i, onde x i A e λ i 0 para cada i = 1,..., n e n i=1 λ i = 1. Para a demonstração do próximo corolário precisaremos do seguinte resultado: Teorema 3.4. Seja X um espaço de Banach e seja (x n ) n σ(x,x x ) n uma sequência em X tal que x. Então existe uma sequência (S n ) n de combinações convexas de {x n ; n IN} tal que S n x 0. Demonstração. Veja [5], Corolário 3.20, p.71. Corolário 3.2. Seja (T n ) n uma sequência em K(X, Y ) tal que T n W T onde T K(X, Y ). Então T n T fracamente e existe uma sequência (S n ) n de combinações convexas de {T n ; n IN} tal que S n T 0. Demonstração. Como T n W T temos que K = {T n ; n IN} {T } é W -compacto. E pelo Teorema 3.3 temos que K é σ(k(x, Y ), K(X, Y ) )-compacto. Suponhamos, por hipótese de absurdo, que T n T fracamente. Dessa forma podemos encontrar um conjunto U σ(k(x, Y ), K(X, Y ) )-aberto tal que T U e uma subsequência (T nj ) j de (T n ) n tal que T nj / U para todo j IN. Como (T nj ) j K pelo Teorema 1.3, existem uma sub-rede (T β ) β de (T nj ) j e um elemento T 0 K tais que T β T 0 fracamente. Lembremos que W 67

induz em K(X, Y ) uma topologia menos fina do que σ(k(x, Y ), K(X, Y ) ). Daí, vemos que W T β T 0. Por outro lado como (T β ) β é uma sub-rede de (T n ) n temos que T β W T. E como (L(X, Y ), W ) é um espaço de Hausdorff temos que T = T 0. Assim podemos concluir que T β T fracamente, o que é uma contradição. Dessa forma vemos que T n T fracamente. E agora utilizando o Teorema 3.4 vemos que existe uma sequência (S n ) n de combinações convexas de {T n ; n IN} tal que S n T 0. Definição 3.5. Um espaço de Banach X é dito um espaço de Grothendieck se toda sequência fraca estrela convergente em X converge fracamente em X. O dual de l é um exemplo de espaço de Grothendieck. Veja [3], Teorema 15, p.103. Além disso, todo espaço de Banach reflexivo é um espaço de Grothendieck. Teorema 3.5. Seja X um espaço de Banach. As seguintes afirmações são equivalentes: i) X é um espaço de Grothendieck; ii) Para qualquer espaço de Banach Y, se T n (T n ) n K(X, Y ), então T n T fracamente. W T em K(X, Y ), onde T K(X, Y ) e Demonstração. Suponhamos que vale (ii). Seja (x n) X tal que x n σ(x,x) x 0, para algum x 0 X. Tomemos Y = IK. Como IK goza da propriedade de Heine-Borel, vemos que X = K(X, IK). Pela definição da topologia fraca estrela temos: x n(x) x 0(x) para todo x X. Daí, é fácil ver que y (x n(x)) y (x 0(x)) para todo (x, y ) X IK. 68

O que nos diz que x n W x 0. Logo, pela hipótese, x n σ(x,x ) sequência fraca estrela convergente em X é fracamente convergente. x 0. Daí vemos que toda Suponhamos que vale (i). Seja (T n ) n K(X, Y ) e T 0 K(X, Y ) tais que T n Pela definição da topologia W temos: W T 0. y (T n x) y (T 0 x) para todo (x, y ) X Y. ( ) Para cada y Y, temos pela definição de operador adjunto que y T 0 = T 0 (y ) e y T n = T n(y ) para todo n IN. Daí, pela igualdade acima e por ( ) vemos que Tn(y ) σ(x,x) como X é um espaço de Grothendieck temos que T n(y ) σ(x,x ) T 0 (y ) para cada y Y. T 0 (y ) para cada y Y. E Logo, x (T n(y )) x (T 0 (y )) para todo (x, y ) X Y, isto é, T n W T 0. Donde, pelo Corolário 3.2, T n T 0 fracamente. 3.3 O espaço l Definição 3.6. Seja M um subconjunto de IN. Por definição, l (M) é o conjunto dos ξ = (ξ n ) l tais que ξ k = 0 sempre que k / M, isto é, l (M) = {ξ = (ξ n ) l ; ξ k = 0 se k / M}. Neste trabalho, δ n denotará o vetor unitário de l dado por δ n = (δk n ) k = (0, 0,..., }{{} 1, 0, 0,...), n-ésimo 69

e π n representará a aplicação π n : l IN ξ π n (ξ) = ξ n, que é claramente linear e cuja norma é igual a 1. Algumas vezes representaremos um elemento ξ = (ξ n ) l, através da seguinte série formal: ξ = ξ n δ n. n=1 Lema 3.2. Seja E um conjunto enumerável. Então existe uma família {U a ; a A} de subconjuntos de E tais que: i) U a é infinito; ii) U a U b é finito para a b; iii) O conjunto de índices A é não enumerável. Demonstração. Como E é enumerável, podemos supor sem perda de generalidade que E = Q (0, 1), ou seja, E é o conjunto dos números racionais do intervalo (0, 1). Tomemos A = I (0, 1), onde I é o conjunto dos números irracionais. Já sabemos que A é não enumerável. Para cada a A escolha uma sequência crescente (r n ) n E tal que r n a. Definimos: U a = {r n ; n IN} onde (r n ) n é a tal sequência escolhida. É fácil ver que U a é enumerável para cada a A. Além disso, se a b temos que U a U b é finito. Caso contrário encontraríamos uma sequência (s n ) n U a U b e pela definição de U a e U b teríamos que tal sequência teria dois limites distintos, o que não é possível. 70

Proposição 3.3. Seja T L(l, l ). Suponhamos que T (δ n ) = 0 para todo n IN. Então existe um subconjunto infinito M de IN tal que T (ξ) = 0 para todo ξ l (M). Demonstração. Pelo Lema 3.2 existe uma família {N α ; α A} de subconjuntos de IN tais que: i) N α é infinito; ii) N α N β é finito para α β; iii) O conjunto de índices A é não enumerável. Suponhamos, por hipótese de absurdo, que a proposição é falsa. Então para cada α A podemos encontrar ξ (α) l (N α ) tal que ξ (α) = 1 e T (ξ (α) ) 0. ( ) Sejam α 1, α 2 e α 3 A tais que α j α k se j k. Pela definição de l (N αj ) vemos que: ξ (αj) = i δ i (j = {1, 2, 3}). E por ( ) temos: i N αj ξ (αj) ξ (α j) = 1 com T (ξ (α j) ) 0 onde j {1, 2, 3}. Notemos que: ξ (α 1) + ξ (α 2) = i (N α1 N α2 ) (ξ (α 1) i + ξ (α 2) i )δ i + } {{ } ξ i N α1 \(N α1 N α2 ) ξ (α 1) i δ i + i N α2 \(N α1 N α2 ) ξ (α 2) i } {{ } η δ i. É fácil ver que ξ pertence ao espaço gerado pelos vetores {δ n ; n IN}, já que N α1 N α2 é finito. Além disso η 1. 71

Analogamente temos: ξ (α 1) + ξ (α 2) + ξ (α 3) = = + + + ξ (α1) i i N α1 δ i + ξ (α2) i i N α2 (ξ (α1) i + ξ (α 2) i + ξ (α 3) i N α1 N α2 N α3 i (N α1 N α3 )\(N α1 N α2 N α3 ) i N α1 \(N α1 N α2 ) (N α1 N α3 ) i N α3 \(N α3 N α1 ) (N α3 N α2 ) i )δ i + (ξ (α 1) i + ξ (α 3) ξ (α 1) i δ i + ξ (α 3) i δ i. i )δ i + δ i + ξ (α3) i δ i i N α3 i (N α1 N α2 )\(N α1 N α2 N α3 ) (ξ (α 1) i (N α2 N α3 )\(N α1 N α2 N α3 ) i N α2 \(N α2 N α1 ) (N α2 N α3 ) ξ (α 2) i δ i i + ξ (α 2) i )δ i (ξ (α 2) i + ξ (α 3) i )δ i A partir da expressão acima é fácil ver que ξ (α1) +ξ (α2) +ξ (α3) = ξ +η, onde ξ pertence ao espaço gerado pelos vetores {δ n ; n IN} e η B l. Procedendo de maneira análoga vemos que para todo J = {α 1,..., α n } A, ou seja, J finito, podemos encontrar ξ e η tais que ξ pertence ao espaço gerado pelos vetores {δ n ; n IN}, η B l e ξ (α) = ξ + η. Além α J disso temos que T (ξ) = 0, já que por hipótese T (δ n ) = 0 para todo n IN. Assim, α J T (ξ (α) ) = T ( α J ξ (α) ) = T (ξ + η) T para todo J A, J finito. Notemos que além de utilizar o fato de que J era um subconjunto finito de A, utilizamos os três fatos listados a seguir para obter a desigualdade acima. i) ξ (α) l (N α ) e ξ (α) = 1; ii) T (δ n ) = 0 para todo n IN ; iii) N α N β é finito para α β. 72

Daí, se λ α S IK para todo α J, onde J é um subconjunto finito de A, pelo mesmo argumento utilizado anteriormente vemos que α J λ αξ (α) = ξ + η, onde ξ pertence ao espaço gerado pelos vetore {δ n ; n IN} e η B l. Além disso, α J λ α T (ξ (α) ) = T ( α J λ α ξ (α) ) = T (ξ + η) T para todo J A, J finito. Donde concluímos que π m ( α J λ α T (ξ (α) )) π m α J λ α T (ξ (α) ) T, onde m IN e J A, J finito. ( ) Para cada m IN definimos: B m = {α A; π m (T (ξ (α) )) 0} = {α A; π m (T (ξ (α) )) 1 j }. j IN Mostraremos que C j = {α A; π m (T (ξ (α) )) 1 } é finito para cada j IN. Com efeito, j i seja J = {α 1,..., α i } C j. Tomemos γ = λ k T (ξ (αk) ), onde λ k = πm(t (ξ(α k ) )) e a barra π m(t (ξ (α k ) )) k=1 neste caso denota o conjugado do número complexo. Daí, pela linearidade de π m e por ( ) temos: T π m (γ) = π m ( = i λ k T (ξ (αk) )) = k=1 i π m (T (ξ (αk) )). k=1 i λ k π m (T (ξ (αk) )) E como J = {α 1,..., α i } C j vemos que T i j. Daí, segue que C j é finito, pois caso contrário T não seria limitada. A partir daí, podemos concluir que B m é enumerável para cada m IN, pois é uma união enumerável de conjuntos finitos. Por construção temos que B m A. Seja α A. Se α / B m então m IN m IN k=1 π m (T (ξ (α) )) = 0 para todo m IN. 73

E isso nos diz que T (ξ (α) ) = 0, mas isso não é possível por ( ). Logo B m = A. Donde m IN concluímos que A é enumerável, contradição. Para o próximo resultado, precisaremos da seguinte proposição. Proposição 3.4. Um espaço de Banach X é separável se e somente se B X é separável. Demonstração. Seja A = {x n ; n IN} denso em X. Podemos supor sem perda de generalidade que 0 / A. Tomemos k=1 A x k, onde A k = {r n k ; n IN} e (r x n k) k é uma sequência densa na bola unitária de IK. Se x B X existem (x j ) j e (r j ) j subsequências de (x n ) n e (r k ) k, respectivamente, tais que x j x e r j x. Por outro lado, sabemos que x j x j x. Daí, vemos que r j x j x. Assim vimos que B X é separável. Reciprocamente se A = {x n ; n IN} é denso em B X, tomemos k=1 A k, onde A k = {r k x n ; n IN} e (r k ) k é uma sequência densa em IK. Agora se 0 x X, é fácil ver que x x B X. Dessa forma podemos encontrar (x j ) j e (r j ) j subsequências de (x n ) n e (r k ) k, respectivamente, tais que x j x e r x j x. Daí vemos que r j x j x, isto é, k=1 A k é denso em X. Proposição 3.5. Seja X um espaço de Banach separável. Se φ : l L(X, l ) é um operador linear contínuo tal que φ(δ n ) = 0 para todo n IN, então existe um subconjunto infinito M de IN tal que φ(ξ) = 0 para todo ξ l (M). Demonstração. Pela Proposição 3.4 temos que B X é separável, ou seja, B X possui um subconjunto enumerável e denso. Seja A = {x n B X ; n IN} tal conjunto. Tomemos α : IN IN IN m (α 1 (m), α 2 (m)), uma bijeção. Tal bijeção existe, pois IN IN é enumerável. Agora definimos: θ : L(X, l ) l T θ(t ) = (π α1(1) (T x α2 (1)),..., π α1(k) (T x α2 (k)),...). 74

Sejam T 1, T 2 L(X, l ), λ IK e k IN. Notemos que se θ k = π k θ então θ k (T 1 +λt 2 ) = π α1 (k)(t 1 +λt 2 )(x α2 (k)) = π α1 (k)(t 1 x α2 (k))+λπ α1 (k)(t 2 x α2 (k)) = θ k (T 1 )+θ k (T 2 ), e isso nos diz que θ é linear. Fixemos T L(X, l ), T 0. Para cada k IN temos: Daí, vemos que π α1 (k)(t x α2 (k)) T x α2 (k) sup x B X T (x) = T. θ(t ) = sup π α1 (k)(t x α2 (k)) T. k IN Sejam m 1, m 2 naturais arbitrários. Como α : IN IN IN é uma bijeção, existe k 0 IN tal que α(k 0 ) = (α 1 (k 0 ), α 2 (k 0 )) = (m 1, m 2 ) e isso nos diz que π m1 (T x m2 ) = π α1 (k 0 )(T x α2 (k 0 )), ou seja, π m1 (T x m2 ) θ(t ) para todo m 1, m 2 IN. Consequentemente T x α2 (k) θ(t ) para todo k IN. ( ) Tomemos x B X e ɛ > 0. Como A é denso em B X podemos encontrar k 0 IN tal que x x α2 (k 0 ) < ɛ. Daí, obtemos por ( ) e pela escolha de k T 0 que: T (x) T x x α2 (k 0 ) + T x α2 (k 0 ) ɛ + θ(t ). E isso vale para cada x B X. Assim podemos concluir que T = sup x B X T (x) ɛ + θ(t ). Como ɛ foi tomado arbitrariamente temos que T θ(t ). Dessa forma, concluímos que a aplicação θ : L(X, l ) l é uma isometria. Notemos que a aplicação ϕ = θ φ : l l ξ ϕ(ξ) = θ φ(ξ) é uma aplicação linear e contínua. Além disso temos que ϕ(δ n ) = 0 para todo n IN. Daí, pela Proposição 3.3, existe M IN, M infinito tal que ϕ(ξ) = θ φ(ξ) = 0 para todo ξ l (M). Como θ é injetiva, pois é uma isometria, temos que φ(ξ) = 0 para todo ξ l (M). 75

3.4 Existência de cópia de l em K(X, Y ) Definição 3.7. Sejam X e Y espaços normados. Dizemos que X é uma cópia de Y se existir um isomorfismo entre X e Y. Quando uma função π : IN IN é bijetora, dizemos que π é uma permutação de IN. Definição 3.8. Sejam X um espaço normado e (x n ) n uma seqüência em X. Dizemos que a série n=1 x n converge incondicionalmente se n=1 x π(n) converge qualquer que seja a permutação π de IN. Definição 3.9. Sejam X um espaço de Banach e n=1 x n uma série neste espaço. Dizemos que n=1 x n é subsérie convergente na topologia Γ se toda série da forma i=1 x n i, onde (n i ) i é uma sequência crescente, converge nesta topologia. Teorema 3.6. (Teorema de Orlicz-Pettis) Sejam X um espaço de Banach e n=1 x n uma série neste espaço. Suponhamos que n=1 x n é subsérie fracamente convergente. Então tal série é subsérie convergente na norma de X. Demonstração. Veja [2], Teorema 1, p.80. Proposição 3.6. Seja Y um espaço de Banach e suponhamos que T : l Y é fracamente compacto. Então ξ n T (δ n ) converge na norma de Y para cada ξ = (ξ n ) n l. n=1 Demonstração. Seja ξ = (ξ n ) n l. Podemos supor sem perda de generalidade que ξ B l. Dessa forma vemos que Mostraremos que sup ξ n 1. ( ) n N ξ n T (δ n ) é subsérie fracamente convergente. n=1 Com efeito, tomemos a 76

seguinte sequência: ( k ) (S k ) k = ξ i T (δ i ). i=1 k Agora, pela linearidade de T temos: ( k k ) ξ i T (δ i ) = T ξ i δ i para todo k IN. i=1 i=1 ( ) Combinando ( ) e ( ) vemos que (S k ) k T (B l ) T (B l ) σ(y,y ). Por hipótese, T W(l, Y ). Donde segue que T (B l ) σ(y,y ) é σ(y, Y )-compacto. Daí, pelo Teorema de Eberlein-Šmulian (Teorema 1.14) podemos encontrar uma subsequência (S k j ) j σ(y,y um elemento y 0 Y tais que S ) kj de (S k ) k e y 0. Suponhamos, por hipótese de absurdo, que (S k ) k não converge fracamente para y 0. Dessa forma, podemos encontrar 1) ɛ 0 > 0, 2) (S nj ) j subsequência de (S k ) k, 3) y 0 Y, tais que S nj / U(y 0; y ; ɛ 0 ) = {y Y ; y 0(y y 0 ) < ɛ 0 } para todo j IN. Assumiremos, sem perda de generalidade que n j > k j para todo j IN. Fixemos j IN. Notemos que S nj S kj = n j i=k j +1 = T ξ i T (δ i ) n j i=k j +1 ξ i δ i. Logo, podemos concluir por ( ) e pela igualdade acima que (S nj S kj ) j T (B l ). Assim, utilizando novamente o Teorema de Eberlein-Šmulian (Teorema 1.14), podemos encontrar um elemento y 1 Y e uma subsequência de (S nj S kj ) j que converge fracamente para 77

y 1. Para não sobrecarregar a notação, denotaremos por (S nj S kj ) j tal subsequência. Pela definição de convergência fraca temos que y (S nj S kj ) y (y 1 ) para todo y Y. Em particular temos: y 0(S nj S kj ) y 0(y 1 ). Por outro lado, para cada j IN, temos pela definição de operador adjunto que y0(s nj S kj ) = y0 = = n j i=k j +1 n j i=k j +1 n j i=k j +1 ξ i T (δ i ) ξ i (y 0 T )(δ i ) ξ i (T (y 0))(δ i ). ( ) Além disso, como T (y 0) l, podemos encontrar um elemento γ = (γ n ) n l que satisfaz a seguinte igualdade: l = [γ] ker(t (y 0)), onde [γ] é o espaço gerado por γ. Daí, é fácil ver que existe i 0 IN tal que (T (y 0))(δ i ) = 0 para todo i i 0. Seja j IN tal que n j, k j > i 0. Por ( ) temos que y 0(S nj S kj ) = n j i=k j +1 ξ i (T (y 0))(δ i ) = 0. Donde concluímos que y 0(S nj S kj ) 0. (1) Usando o fato que (S kj ) j convege fracamente para y 0 temos: (y 0(S kj )) j y 0(y 0 ). (2) 78

Agora, combinando (1) e (2) vemos que y 0(S nj ) = y 0(S nj S kj ) + y 0(S kj ) y 0(y 0 ). O que não é possível, pois S nj / U(y 0 ; y0; ɛ 0 ) = {y Y ; y0(y y 0 ) < ɛ 0 } para todo j IN. ( k ) Donde concluímos que (S k ) k = i=1 ξ it (δ i ) converge fracamente para y 0. Seja (n p ) p uma sequência crescente em IN. Notemos que ξ np T (δ np ) = p=1 k η m T (δ m ), m=1 onde η = (η m ) m l é definido da seguinte maneira: ξ np, se existe p IN tal que m = n p η m = 0, caso contrário. Como ξ = (ξ n ) n B l, temos que η = (η m ) m B l. Assim, vemos pela primeira parte que a série acima é fracamente convergente. Logo ξ n T (δ n ) é subsérie fracamente convergente. Daí, pelo Teorema de Orlicz-Pettis n=1 (Teorema 3.6) tal série converge na norma de Y. E como ξ l foi tomado arbirariamente, temos o resultado. Antes de apresentar o teorema principal vamos enunciar dois resultados que serão usados na demonstração do teorema. Proposição 3.7. Seja X um espaço de Banach que não contém uma cópia complementada de l 1. Então x i converge na norma se x i é σ(x, X) incondicionalmente convergente. i=1 Demonstração. Veja [1], Corolário 1, p.249. i=1 Teorema 3.7. Uma série n=1 x n em um espaço de Banach X é incondicionalmente convergente se e somente se n=1 λ nx n converge para toda sequência (λ n ) n contida em {±1}. 79

Demonstração. Veja [8], Teorema 1.3.2, p.10. Teorema 3.8. Sejam X e Y espaços de Banach. As seguintes afirmações são equivalentes: i) K(X, Y ) contém uma cópia de l ; ii) Y contém uma cópia de l ou X contém uma cópia complementada de l 1. Demonstração. Suponhamos que vale ii). Se Y contém uma cópia de l, existe um isomorfismo S entre l e um subespaço Ỹ de Y, isto é Fixemos x S X. Definimos: φ : l K(X, Y ) S : l Ỹ Y ξ S(ξ). ξ φ(ξ) : X Y x φ(ξ)(x) = x (x)s(ξ). É fácil ver que φ é linear. Fixemos ξ l. Como x S X, para cada x X temos: φ(ξ)(x) = x (x)s(ξ) S(ξ) x. Donde φ(ξ) L(X, Y ) para cada ξ l. Além disso, como φ(ξ)(x) {λs(ξ); λ IK} que é um subespaço de dimensão finita de Y, temos que φ(ξ) é um operador compacto. Assim φ está bem definida. Seja ξ l. Se φ(ξ) = 0 temos que φ(ξ)(x) = x (x)s(ξ) = 0 para todo x X. E como x 0 vemos que S(ξ) = 0. Logo ξ = 0, pois S é um isomorfismo. Assim vimos que φ é injetiva. Notemos que φ(ξ) = sup x B X x (x)s(ξ) = S(ξ) sup x B X x (x) = S(ξ). 80

Daí, vemos que φ(ξ) = S(ξ) S ξ e isso nos diz que φ L(l, K(X, Y )). Por outro lado, como S é um isomorfismo temos: φ 1 (φ(ξ)) = ξ S 1 S(ξ) = S 1 φ(ξ). Logo φ 1 L(φ(l ), l ). Logo a aplicação φ é um isomorfismo entre l e um subespaço de K(X, Y ). Se X contém uma cópia complementada de l 1 vemos pelo Teorema 2.1 que X contém uma cópia complementada de l 1 = l. E seja S 1 : l S 1 (l ) X ξ S 1 (ξ), tal isomorfismo. Fixemos y S Y. Definimos: φ : l K(X, Y ) ξ φ(ξ) : X Y x φ(ξ)(x) = (S 1 (ξ)(x)) y. É fácil ver que φ(ξ) L(X, Y ). Além disso, como φ(ξ)(x) {λy; λ IK)} que é um subespaço de dimensão finita de Y, temos que φ(ξ) é um operador compacto. Assim, φ está bem definida. E procedendo de maneira análoga como fizemos anteriormente vemos que φ é um isomorfismo entre l e um subespaço de K(X, Y ). Reciprocamente, suponhamos que K(X, Y ) contém uma cópia de l. E suponhamos por hipótese de absurdo que ii) é falso. Como K(X, Y ) contém uma cópia de l, existe um isomorfismo φ : l φ(l ) K(X, Y ) ξ φ(ξ) entre l e um subespaço de K(X, Y ). Para cada n IN definimos: 81

φ(δ n ) = T n K(X, Y ). Dessa forma temos que T n φ δ n = φ para todo n IN. ( ) Para cada x X definimos a seguinte aplicação linear: A x : l Y ξ A x (ξ)(x) = (φ(ξ))(x) Notemos também que A x L(l, Y ) para cada x X, pois A x (ξ) φ x ξ }{{} para todo ξ l. constante Como Y não contém uma cópia de l e A x L(l, Y ) temos pelo Corolário 2.5 que A x é fracamente compacto. Daí, segue pela Proposição 3.6 que ( k ) ( k ) ξ n A x (δ n ) = ξ n (φ(δ n ))(x) n=1 k converge em Y (na norma) para cada ξ = (ξ n ) n l, ou seja, para cada ξ l fixado temos que n=1 ( k ) ξ n T n (x) n=1 k converge em Y para cada x X. Dessa forma a cada ξ l podemos associar uma aplicação T ξ definida por: T ξ : X Y x T ξ (x) = ξ n T n (x). n=1 k Observemos que ( k ) ξ n T n n=1 k K(X, Y ) L(X, Y ). 82

( k E como n=1 ξ nt n é pontualmente convergente, temos pelo Teorema de Banach-Steinhaus )k (Corolário 1.5) que T ξ L(X, Y ). Além disso, temos pela definição da topologia S que Em particular n=1 k S ξ n T n T ξ para todo ξ l. n=1 k ξ n T W n T ξ para cada ξ l, pois W S. Agora definiremos a seguinte aplicação linear: ψ : l L(X, Y ) ξ ψ(ξ) = ξ n T n. Verificaremos que tal aplicação é σ(l, l 1 )-W contínua. De fato, sejam x X, y Y e ɛ um número real positivo. Tomemos n=1 N (0; x; y ; ɛ) = {R L(X, Y ) ; y (R)x ɛ}, uma W-vizinhança sub-básica de 0 em L(X, Y ). Para cada n IN temos: y (T n (x)) y T n x ( ) y x φ. }{{} constante ( ) Assim vemos que ξ x,y := y (T n (x)) l, onde a barra está denotando o conjugado n do número complexo. Daí, segue que: ψ(ξ x,y ) = y (T n (x))t n L(X, Y ). n=1 Consequentemente, pela convergência pontual da série acima e pelo fato de y ser contínua e linear temos: ( ) y y (T n (x))t n (x) n=1 = lim k 83 k y (T n (x))y T n (x). n=1

O que nos diz que n=1 y (T n )(x) <. Logo ξ x,y := (y (T n )(x)) n l 1. Tomemos U(0; ξ x,y ; ɛ) = {ξ = (ξ n ) n l ; ξ(ξ x,y ) < ɛ} = {ξ = (ξ n ) n l ; ξ n y (T n (x)) < ɛ}, que é uma σ(l, l 1 )-vizinhança do zero. Se ξ U(0; ξ x,y ; ɛ) temos que n=1 ξ ny (T n (x)) < ɛ, e isso nos diz que ψ(ξ) = ξ n T n N (0; x; y ; ɛ). n=1 Assim podemos concluir que ψ é σ(l, l 1 )-W contínua na origem Daí, pela linearidade da aplicação e pelo fato que (L(X, Y ), W) e (l, σ(l, l 1 )) são espaços vetoriais topológicos, temos a continuidade da aplicação ψ nas topologias indicadas. Agora verificaremos que G ψ = {(ξ, T ) (l L(X, Y ); T = ψ(ξ))} é fechado. De fato, seja ((ξ n, ψ(ξ n ))) n G ψ tal que (ξ n, ψ(ξ n )) (ξ, T ). Lembremos que ξ n = (ξ n 1,..., ξ n k,...). Daí, vemos pelas definições de ψ e da topologia produto que ξ n ξ e k=1 ξn k T k T. E como vemos que ξ n σ(l,l 1) ξ. E isso nos diz que ψ(ξ n ) = σ(l, l 1 ) σ(l, l ) τ ξk n T k k=1 W ξ k T k = ψ(ξ), pois ψ é σ(l, l 1 )-W contínua. Por outro lado, temos pela Proposição 3.1, que k=1 ξn k T k T, já que k=1 ξn k T k T. O que nos diz que T = ψ(ξ), pois (L(X, Y )), W) é um espaço de Hausdorff. Logo G ψ é fechado. Daí, pelo Teorema do Gráfico Fechado (Teorema 1.9) temos que ψ L(l, L(X, Y )). k=1 Para cada ξ l temos pela definição de operador adjunto: n=1 W ψ(ξ) : Y y X ψ(ξ) (y ) = y ψ(ξ) : X IK x (y ψ(ξ))(x). 84

Agora fixemos y Y. Pela continuidade e linearidade de y juntamente com a definição de ψ temos: E isso nos diz que ( ) y ψ(ξ)(x) = y ξ n T n (x) = = n=1 ξ n y (T n (x)) n=1 ξ n (Tny )(x). n=1 k ξ n (Tny )(x) y ψ(ξ)(x) para todo x X. n=1 Logo k n=1 ξ n(t ny ) σ(x,x) ψ(ξ) y para cada ξ l e y Y, fixados. Seja (λ n ) n uma sequência tal que λ n {±1}. Se (ξ n ) n = ξ l vemos que γ = (λ n ξ n ) n l. Daí, pelo que vimos anteriormente temos que k n=1 λ n(ξ n Tny ) σ(x,x) ψ(γ) y. Portanto, vemos pelo Teorema 3.7 que k n=1 ξ n(t ny ) σ(x,x) ψ(ξ) y incondicionalmente para cada par (ξ, y ) (l Y ). E como estamos supondo que X não contém uma cópia complementada de l 1, a Proposição 3.7 nos garante que k n=1 ξ n(tny ) ψ(ξ) y. Em particular k ξ n (Tny ) σ(x,x ) ψ(ξ) y, para todo (ξ, y ) (l Y ). ( ) n=1 Sabemos que: T n = sup x B X T n (x). Lembremos que φ(δ n ) = T n 0 para todo n IN, pois φ é um isomorfismo. Daí, e pela definição de supremo, podemos encontrar para cada n IN um elemento x n B X tal que T n (x n ) Tn 2 > 0. E pelo Teorema de Hahn-Banach (Corolário 1.1), existe y n Y tal que: y n(t n (x n )) = T n (x n ) T n 2 e y n = 1 para cada n IN. ( ) 85

linear Seja G o fecho do espaço gerado pelos vetores {x n ; n IN} e S 2 a seguinte aplicação S 2 : Y l y S 2 (y) = (y n(y)) n. Notemos que y n(y) y para todo n IN. O que nos garante que S 2 está bem definida. Em particular S 2 (y) = sup yn(y) y. Agora definiremos mais duas aplicações lineares que nos serão n úteis: Γ : l K(G, l ) ξ Γ(ξ) = S 2 φ(ξ) I, e Λ : l L(G, l ) ξ Λ(ξ) = S 2 ψ(ξ) I, onde I representa a aplicação identidade de G em X. Como φ(ξ) K(X, Y ), segue pela Proposição 2.10 que S φ(ξ) I K(G, l ). E isso nos diz que Γ está bem definida. Além disso Γ(ξ) φ ξ, ou seja, Γ L(l, K(G, l )). e que Λ L(l, L(G, l )). Lembremos que: ψ(ξ) = ξ k T k onde ξ l. k=1 É fácil ver que Λ está bem definida Daí, lembrando que T n = φ(δ n ), temos que Q n = Λ(δ n ) = S 2 T n I = Γ(δ n ) para todo n IN. O que nos diz que Q n K(G, l ). Agora notemos que: Q n = sup x B G S 2 (T n (x)) S 2 (T n (x n )) = sup yk(t n (x n )) k yn(t n (x n )) ( ) T n 2. 86

Fixemos (ξ, γ) (l l ). Como S 2 L(Y, l ) temos que S 2(γ) Y. Donde (ξ, S 2(γ)) (l, Y ). Daí, vemos por ( ) que k i=1 ξ n (TnS 2(γ)) σ(x,x ) E agora utilizando a Proposição 2.2 vemos que ψ (ξ)s 2(γ). Λ(ξ) (γ) = (I ψ(ξ) S2)(γ) = I (ψ(ξ) (S2(γ))) = I ( ξ n TnS 2(γ)), n=1 onde ξ n (TnS 2(γ)) = σ(x, X )-lim k n=1 k ξ n (TnS 2(γ)). Como I L(G, X) temos pelo Teorema 1.13 que I é σ(x, X )-σ(g, G ) contínuo. Além disso I é linear. Daí, segue que n=1 Λ(ξ) (γ) = σ(g, G ) lim k k I (ξ n Tn)S (γ). n=1 E como Q n = (S 2 T n I) = I T n S 2 temos que Λ(ξ) (γ) = σ(g, G )-lim k k ξ n Q n(γ). n=1 Pela definição de topologia fraca vemos que k g ( ξ n Q n(γ)) g (Λ(ξ) (γ)) para cada g G. n=1 Mostramos assim que para cada ξ = (ξ n ) n l fixado, temos que k g ( ξ n Q n(γ)) g (Λ(ξ) (γ)) para cada (g, γ) (G l ). n=1 87

Logo, Λ(ξ) = W -lim k k ξ n Q n. n=1 Pela definição de G é fácil ver que G é separável. Além disso como G X e G é fechado, vemos que G é um espaço de Banach. Definimos: h : l L(G, l ) ξ h(ξ) = Γ(ξ) Λ(ξ), notemos que h(δ n ) = Q n Q n = 0. Pela Proposição 3.5 existe um conjunto infinito M IN tal que h(ξ) = 0 para todo ξ l (M). Dessa forma temos que Γ(ξ) = Λ(ξ) para todo ξ l (M). E pelo que vimos anteriormente temos que Γ(ξ) = W -lim k k ξ n Q n. Como ( k n=1 ξ nq n ) k K(G, l ) e Γ(ξ) K(G, l ) temos pelo Corolário 3.2 que: n=1 Γ(ξ) = σ(k(g, l ), K(G, l ) ) - lim k k ξ n Q n para todo ξ l (M). n=1 Em particular, Γ(ξ) = n=1 ξ nq n na topologia σ(l(g, l ), L(G, l ) ). Daí, se ξ l (M) temos: Γ(ξ) = n M ξ n Q n na topologia σ(l(g, l ), L(G, l ) ). Seja (n i ) i uma sequência crescente em IN. Definimos γ = (γ k ) k da seguinte maneira: ξ ni, se existe i tal que n i = k e n i M γ k = 0, caso contrário. E como γ l (M) vemos que: γ k Q k = ξ ni Q ni na topologia σ(l(g, l ), L(G, l ) ). k=1 n i M 88

Portanto Γ(ξ) = n=1 ξ nq n é subsérie fracamente convergente para cada ξ l (M). Daí, pelo Teorema 3.6 tal série converge na topologia da norma. Em particular, se definimos ξ = (ξ n ) n por podemos concluir que: 1, se n M ξ n = 0, caso contrário Q n converge na norma. n M Assim vemos que inf n Q n = 0. E como Q n Tn 2 para todo n IN temos que inf n T n = 0. Por outro lado temos: φ 1 (T n ) = δ n φ 1 T n para todo n IN. Donde concluímos que 1 φ 1 isomorfismo. E isso conclui a demonstração. inf n T n = 0. O que não é possível já que φ é um Corolário 3.3. Se X não contém uma cópia complementada de l 1 e Y não contém uma cópia de l, então todo operador contínuo φ : l K(X, Y ) é fracamente compacto. Demonstração. Pelo teorema anterior vemos que K(X, Y ) não possui um subespaço isomorfo a l. Daí, pela Proposição 2.5 temos o afirmado. Corolário 3.4. Sejam X e Y espaços de Banach. Se Y contém uma cópia de l ou X contém uma cópia complementada de l 1 então K(X, Y ) possui um subespaço complementado de dimensão infinita. Demonstração. Pelo Teorema 3.8, K(X, Y ) possui um subespaço isomorfo a l. Daí segue pela Proposição 2.7 que tal subespaço é complementado em K(X, Y ). 89

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