GEOPLANO CIRCULAR: PROPICIANDO A CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO Maria da Gloria Vasconcellos Cid Faculdades Integradas Geraldo Di Biase Volta Redonda RJ glorinhacid@hotmail.com INTRODUÇÃO A Matemática tem trazido preocupações a professores, alunos, pais e à sociedade diante do baixo rendimento escolar. Vários pesquisadores consideram que o fracasso do ensino - aprendizagem da Matemática está relacionado com a tríade: relação professor - aluno, conteúdo matemático e metodologia. Apesar de muitos estudos e dos avanços nas teorias de aprendizagem, nosso sistema de ensino ainda tem como figura central o professor, aquele que possui o conhecimento que deve ser transmitido aos alunos. Esta visão do ensino desenvolve uma relação entre professor e aluno baseada no saber do professor. Deste saber origina-se um saber - poder, que nada mais é do que uma forma de autoritarismo que conduz o aluno à passividade e ou à obediência servil, caracterizando uma relação bastante delicada, levando muitas vezes o aluno a gerar um sentimento negativo em relação à Matemática e ao professor (Cid, 1994). Também sabemos que, este modelo tradicional de aula, onde só o professor fala e quando fala, aborda um conteúdo sem significado cujo ponto de partida é uma definição seguida de teoremas, demonstrações e propriedades, concluindo com exemplos e exercícios propostos para fixação (com o objetivo de desenvolver a técnica do cálculo - a mecanização), torna o aluno um receptor silencioso e submisso: um mero espectador. Hoje os educadores matemáticos consideram que desta postura passiva do aluno, que não contempla sua participação ativa na construção do conhecimento, o que verdadeiramente decorre é apenas um acúmulo de informações e não de conhecimento. Assim, faz-se necessário romper com este modelo tradicional de aula. Para isso é preciso que o professor se conscientize de que deve e pode começar a inovar, a criar
2 novos modelos e representações em relação ao ensino, ao professor, à aula, ao programa, etc... Cabe-nos como educadores refletir sobre a nossa atuação, rever criticamente a nossa forma de ensinar, (...) tentarmos introduzir alguma atividade prática, que possa fazer alguma diferença dentro da sala de aula, que possa atenuar e aliviar o sentimento de fracasso de nossos alunos. (Boruchovitch, 1993) UMA ESTRATÉGIA DE AULA QUE PROPICIE A CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO Tendo em vista toda esta problemática, desenvolvemos uma estratégia de aula, onde o professor tem como função auxiliar os alunos na construção do conhecimento, promovendo o debate, reformulando e valorizando soluções adequadas, fornecendo informações que os alunos não tenham condições de obter sozinhos, estimulando a cooperação entre alunos e observando se os objetivos propostos estão sendo atingidos ou, se é necessário, reorganizar a atividade para que isso aconteça, conforme sugerem os Parâmetros Curriculares Nacionais. Ressaltamos que o aluno agora é a figura central da aula, é ele quem deve construir o conhecimento. No desenvolvimento de nosso projeto de Iniciação Científica: Oficina de Recursos Didáticos tivemos o cuidado de enfatizar que os materiais didáticos, por si só, não alteram uma metodologia tradicional de aula. Para que o aluno seja o elemento central do processo aprendizagem, é necessário que o material usado na aula, seja manipulado e explorado pelo aluno a fim de auxilia-lo na construção do conhecimento. Consideramos que a mudança fundamental na postura do professor e do aluno seja que se invertam os papéis: o professor questiona e o aluno responde em detrimento do que sempre ocorreu: o aluno pergunta e o professor responde. Nossas aulas propõem atividades dirigidas para que os alunos desenvolvam, em duplas, de forma gradual, fazendo uso de seus conhecimentos acumulados, e através, tanto do diálogo intelectual quanto do emocional, acertando, errando, expondo dúvidas, compartilhando conhecimentos com os colegas e/ou com o professor, ultrapassem as etapas necessárias para concluírem o proposto: um simples conceito ou até mesmo uma fórmula. Entendemos que desta forma estaremos trabalhando no que Vygotsky denomina zona de desenvolvimento proximal. A zona de desenvolvimento proximal é a distância entre
3 o nível real, que permite ao indivíduo determinar, de forma independente, solução para os problemas e o nível de desenvolvimento potencial do indivíduo, que, com a ajuda de outra pessoa, possibilita o indivíduo solucionar problemas. Vygotsky (1984) demonstra que aquilo que é a zona de desenvolvimento proximal hoje, será o nível de desenvolvimento real amanhã - ou seja, aquilo que uma criança pode fazer com assistência hoje, ela será capaz de fazer sozinha amanhã. ATIVIDADE A atividade abaixo foi realizado em 2 momentos de 2 tempos de aula cada um, em uma turma de 7 a série do Colégio Aplicação das Faculdades Integradas Geraldo Di Biase, com um geoplano circular, material construído durante o desenvolvimento do nosso projeto no Laboratório de Ensino de Matemática da FGB. A visualização dos elementos geométricos e suas relações são fundamentais na construção de conceitos. O Geoplano Circular é um material elaborado para facilitar o desenvolvimento de estudos da geometria plana. Trata-se de um tabuleiro de madeira aglomerada, com formato quadrado, com 25 pinos de madeira distribuídos sobre duas circunferências concêntricas divididas em 12 arcos congruentes. No primeiro momento tivemos como objetivo principal a determinação da fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono regular. A aula foi no Laboratório de Matemática. A turma era de 18 alunos e formamos 9 duplas. Os três alunos bolsistas, participantes do projeto, também acompanharam o desenvolvimento da atividade. Os alunos bolsistas eram alunos do 4 o ano do curso de Licenciatura de Matemática portanto os chamaremos de aluno - professor. Cada aluno - professor pode acompanhar 2 duplas, e as demais 3 duplas foram assistidas por mim. Nossa conduta foi estimular a discussão, a troca de idéias, a cooperação entre eles enfim possibilitando que o andamento da atividade transcorresse de forma plena. No 2 o momento, apresentamos e analisamos as diferentes estratégias que surgiram para o cálculo da soma dos ângulos dos diferentes polígonos pedido, em seguida passamos à formalização do conteúdo: a soma dos ângulos internos de um polígono é igual ao produto do número de lados do polígono diminuído de 2 unidades por 180 o, em linguagem matemática, S i =(n - 2).180 o sendo S i a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de n lados, e concluímos a atividade propondo exercícios para verificação e fixação da aprendizagem. Segue abaixo a atividade como foi proposta.
4 FUNDAÇÃO EDUCACIONAL ROSEMAR PIMENTEL FACULDADES INTEGRADAS GERALDO DI BIASE Curso de Licenciatura em Matemática Atividade do Laboratório de Matemática Professora: Maria da Gloria Cid Aluno: Turma: Vamos trabalhar soma dos ângulos internos de um polígono? Com o Geoplano Circular, vamos seguir as seguintes etapas: 1. Construa os seguintes polígonos regulares: Um triângulo equilátero; Um quadrado; Um hexágono regular; Um dodecágono regular; 2. Determine a soma dos ângulos internos de cada um desses polígonos. Triângulo S i = Quadrado S i = Hexágono S i = Dodecágono S i = 3. Escreva uma expressão matemática que determine a soma dos ângulos internos para cada um dos polígonos que você construiu. Triângulo Quadrado Hexágono Dodecágono 4. Escreva uma expressão geral (fórmula) que determine a soma dos ângulos internos para um polígono que tenha um número qualquer de lados. DESCRIÇÃO E AVALIAÇÃO DA ATIVIDADE Certamente teve um papel relevante para a ruptura da aula cotidiana dos alunos todo o contexto: o material - geoplano circular, um tabuleiro de madeira pintado de amarelo no formato de um quadrado, com 25 pinos distribuídos em 2 circunferências concêntricas divididas em 12 arcos congruentes, e lã para tricô de diversos tamanhos e cores; o ambiente - o Laboratório de Matemática, com duas bancadas e ao redor prateleiras com vários objetos geométricos coloridos; e a forma descontraída da conduta do trabalho, a estimulação da conversa e da colaboração entre eles.
5 Constatamos a participação ativa de todos os alunos. A maioria chegou a fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono regular (objetivo), e aqueles que não chegaram, puderam ter pleno entendimento da mesma, tendo em vista o quanto dela se aproximaram. 1 O MOMENTO O que mais nos surpreendeu foram as diferentes estratégias apresentadas pelos alunos para a resolução das situações propostas, tendo em vista que em sua maioria foram totalmente diferentes do que os livros didáticos apresentam e, por conseguinte também a que os professores usam em suas aulas expositivas. Quando solicitamos a construção dos polígonos no geoplano circular pudemos, através do diálogo, verificar os conhecimentos prévios que os alunos tinham sobre os conceitos de: eqüilátero e regular bem como das propriedades das circunferências e etc. Para que eles pudessem verificar se o triângulo construído era realmente eqüilátero ou se o quadrilátero era o quadrado e etc. consideramos válido qualquer estratégia correta que o aluno quisesse usar - medir os lados com a régua e/ou os ângulos com o transferidor ou justificar através de conhecimento sobre os arcos da circunferência e as características do geoplano a regularidade do polígono. Da mesma forma quando solicitamos a soma dos ângulos internos de cada polígono. Alguns alunos já tinham o conhecimento de que a soma dos ângulos internos do triângulo é igual a 180, outros mediram com o transferidor para determinar e ainda houve aluno que deduziu a partir do quadrado - cada ângulo do quadrado mede 90 logo a soma dos ângulos internos do quadrado é igual a 360 o, como o quadrado pode ser decomposto em dois triângulos então cada triângulo tem a soma dos ângulos internos igual a 180 o. No caso do hexágono tivemos soluções interessantes. Decompondo o hexágono conforme a figura ao lado apareceram três soluções diferentes. 1 a solução Se o hexágono pode ser dividido em 6 triângulos e em cada triângulo temos 180 o então a soma dos ângulos internos do hexágono é a soma dos ângulos dos 6 triângulos menos os 6 ângulos centrais que formam um ângulo de 360 o logo teremos S i = 6 x 180 o - 360 o 2 a solução
6 Se o hexágono é composto de 6 triângulos eqüilátero e cada ângulo do triângulo eqüilátero mede 60 o então cada ângulo do hexágono mede 120 o logo S i = 6 x 120 o. 3 a solução Se o hexágono é composto de 6 triângulos eqüilátero e cada ângulo do triângulo eqüilátero mede 60 o então a soma dos ângulos internos do hexágono é igual a 12 ângulos de 60 o, logo S i = 12 x 60 o. Decompondo o hexágono conforme a figura: o aluno argumentou: o hexágono contém 2 triângulos e um retângulo portanto a soma dos ângulos internos do hexágono é igual a S i = 2 x 180 o + 360 o. No caso do dodecágono as estratégias usadas foram bem semelhantes as que foram usadas para o hexágono. Para escrever a expressão da soma dos ângulos internos de cada polígono, a maioria escreveu: Triângulo S = 1 x 180 o Quadrado S = 2 x 180 o Neste momento alguns alunos verificaram se o pentágono seria 3 x 180 0. Hexágono S = 6 x 180 o 360 o = 180 o (6 2 ) = 4 x 180 o Dodecágono S = 12 x 180 o - 360 o = 180 o (12 2) = 10 x 180 o E por fim 6 duplas escreveram a expressão geral como sendo S = ( x 2 ). 180 o onde x é o número de lados ou S = ( l 2) x 180 o, l é igual ao número de lados 2 O MOMENTO No 2 o momento da atividade percebemos também que os alunos realizaram de forma interessada e com facilidade os exercícios propostos, inclusive deduzindo novos conhecimentos, tais como a expressão da medida de cada ângulo interno, a partir do que haviam estudado. Coletamos alguns depoimentos muito positivos como a aula foi muito legal, a aula deveria ser todos os dias assim, estes confirmaram o quanto eles gostaram e mais, que de forma alegre e diria mesmo divertida, usando sua criatividade, dialogando com o professor e com o seu colega bem diferente daquele modelo que vem perpetuando o ensino, o aluno aprende.
7 Portanto, é preciso que o professor se conscientize de que ele deve e pode começar a inovar, a criar novos modelos em relação à aula, a postura do professor, a postura do aluno, a escola, ao programa, ao ensino, e etc. PALAVRAS CHAVES: Geoplano; Construção do Conhecimento REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Boruchovitch, Evely. A Psicologia Cognitiva e a Metacognição: Novas Perspectivas para o Fracasso Escolar Brasileiro. Tecnologia Educacional. v. 22 (110/111) p.26. Cid, M. G. As Representações Sociais da Matemática e suas Interferências no Processo Ensino - Aprendizagem. RJ:1994. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Universidade Santa Úrsula. Vygotsky, L. S. A Formação Social da Mente. São Paulo, M. Fontes, 1984. p.100