Resumo. Palavras-chave: Matemática; Geometria; Aulas Investigativas. Introdução

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1 III Seminário sobre Educação Matemática A desigualdade triangular em diferentes mídias Paulo César da Penha pcpenha@terra.com.br GRUCOGEO/USF/ Secretaria da Educação de Itatiba-SP Resumo O relato de experiência que apresento é resultado de uma atividade sobre desigualdade triangular desenvolvido em classe de 6 a série (2 a etapa do Ciclo III), em escola municipal de Itatiba-SP. A motivação para o tema se deu a partir de minha participação no Grupo Colaborativo de Geometria (GRUCOGEO), vinculado à Universidade São Francisco (USF). Trata-se de um grupo colaborativo formado por professores de matemática da rede municipal de Itatiba, alunos do Curso de Licenciatura em Matemática e do Mestrado em Educação, além das professoras formadoras. As discussões do grupo estão centradas no ensino de Geometria sob a perspectiva das aulas investigativas usando diferentes mídias. A atividade desenvolvida tinha por objetivo fazer o aluno entender o conceito de desigualdade triangular e para tanto, utilizamos como recursos didáticos a mídia envolvendo um jogo de palitos e dados, bem como a exploração da mídia computacional Cabri Geometry. Palavras-chave: Matemática; Geometria; Aulas Investigativas. Introdução A atividade que vou relatar neste artigo ocorreu no segundo semestre de 2006, em diferentes momentos, em uma escola municipal de Ensino Fundamental da cidade de Itatiba, Estado de São Paulo. A atividade tinha por objetivo levar o aluno a elaborar o conceito de desigualdade triangular. O tema foi escolhido durante as reuniões do GRUCOGEO, ainda no primeiro semestre de O GRUCOGEO é um grupo colaborativo formado por professores de matemática da rede municipal de Itatiba, alunos do Curso de Licenciatura em Matemática e do Mestrado em Educação, além das professoras formadoras, vinculado à Universidade São Francisco, Campus de Itatiba. A proposta de trabalho do grupo naquele ano foi o estudo da geometria sob diferentes mídias, principalmente a exploração de softwares de geometria dinâmica. A atividade foi aplicada em uma sala de 6 a serie do período da manhã, com 34 alunos. O ponto de partida da atividade foi um jogo formado por palitos e dados, que foram confeccionados previamente. Após o jogo os alunos tiveram que responder a uma questão que os direcionava a refletir sobre as condições para a formação de um triângulo considerando três segmentos, ali representados pelos palitos.

2 A desigualdade triangular em diferentes mídias 2 Desenvolvimento A primeira atividade realizada sobre a desigualdade triangular aconteceu no dia 25 de julho. Naquele momento usamos um jogo formado por um conjunto de palitos e 3 dados. Os palitos foram confeccionados a partir do jogo pega varetas. Os palitos foram cortados em tamanhos que correspondem aos valores do dado, de 1 a 6 unidades, com cada unidade medindo 1,5 cm. Cada uma das unidades contém três peças sendo diferenciada pelas cores. Os alunos, em grupos de até 5 pessoas, elegeram um coordenador, um redator e um relator. O coordenador era responsável pela organização do grupo e deveria estar atento para que todos participassem ativamente da atividade, sem dispersão; o redator era responsável pelo registro dos acontecimentos no grupo e o relator tinha a incumbência de socializar as discussões do grupo com a classe no momento da assembléia. Na atividade I, os alunos lançavam os três dados simultaneamente e para cada valor obtido na face superior do dado eles pegariam um palito de medida correspondente, com os quais eles formariam (ou não) um triângulo. Para facilitar o registro, o redator recebeu impressa uma tabela a ser preenchida a cada jogada, com as seguintes informações: Valores obtidos nos dados Formou Triângulo? Observações Depois de dez jogadas, cada grupo teve que analisar os valores registrados e responder à seguinte questão: quando três palitos formam ou não, um triângulo?. Essa primeira etapa da atividade foi apresentada aos participantes do Grucogeo, com os quais compartilhei minhas primeiras impressões. Após a troca de idéias no grupo, meu procedimento foi selecionar algumas das respostas dos alunos e colocá-las em discussão com a classe. Selecionei três respostas: Resposta 1: Nós percebemos que quando cai 2 palitos pares e 1 ímpar nós conseguimos, de uma certa maneira, fazer que os palitos se encontrem em uma forma de triângulo. Com esses palitos o número ímpar vai ser sempre menor ; Resposta 2: Quando dois ou três palitos são iguais formam um triângulo ; Resposta 3: Primeiramente chegamos à conclusão de que se pegarmos o palito maior e ao somar os dois menores desse igual não formaria o triângulo; quando estamos formando triângulos com dois palitos iguais a soma dos

3 A desigualdade triangular em diferentes mídias 3 dois tem que ser sempre maior do que o de valor diferente que eu vou colocar. Após alguns dias, propus aos alunos a atividade II, que consistia na análise das três respostas. A atividade II foi dividida em dois momentos. No primeiro deles, os grupos analisariam cada uma das três respostas e, considerando a resposta como regra, deveriam dar exemplos que formassem triângulos e outros que não formassem triângulos. Alguns alunos tinham dúvida quanto ao que seria considerar a resposta como regra. Foi explicado, então, que para formar o triângulo tinham que dar exemplos seguindo rigorosamente o que estava escrito. Caso a regra fosse seguida e o triângulo não fosse formado, estaríamos diante de um contra-exemplo. O mesmo aconteceria se, ao burlar a regra, o triângulo fosse construído. Em relação à resposta 1, cuja norma é ter dois palitos pares e um ímpar e o ímpar ser sempre de tamanho menor que os de tamanho par, os alunos deram exemplos que obedeciam a regra e, no entanto, não formavam triângulos: (1, 2 e 4) e (1, 6 e 4). Mas também perceberam casos em que burlando a regra, conseguiam formar o triângulo. Era o caso dos valores: (2, 2 e 3); Sobre a resposta 2, na qual com dois ou três palitos iguais sempre formam um triângulo, os alunos mostraram com certa facilidade, exemplos e contraexemplos. Perceberam que não basta ter dois segmentos de mesmo valor para se formar um triângulo: (2, 2 e 5); (1, 1 e 4). E outros alunos refutaram tal argumento, mostrando que três medidas diferentes também poderão formar triângulos. Na análise da resposta 3 alguns sentiram dificuldade em entender seu significado, mas, depois de alguns exemplos dados pelos próprios autores da resposta, as dúvidas foram esclarecidas. A resposta 3 possui duas informações. Na primeira delas, o triângulo não será formado se a soma das duas medidas de menor valor for igual à medida maior. A segunda informação é específica para o caso do triângulo isósceles. Isso certamente levou os alunos a apresentarem exemplos de valores que formam triângulos isósceles. Ou seja, dois números iguais e um diferente. Nessa primeira parte da atividade II, chamou-me a atenção o fato de que, para muitos alunos, um triângulo tem sempre os três lados de mesma medida (triângulo eqüilátero) ou dois lados congruentes (triângulos isósceles). Segundo Hershkowitz (apud, Nacarato e Passos, 2003, p. 107), o objeto protótipo que o aluno traz em sua formação propicia certos obstáculos didáticos e epistemológicos na aprendizagem de geometria. No segundo momento da atividade II, os alunos deveriam descartar uma das três respostas, ou seja, levando em consideração os exemplos que haviam dado anteriormente, deveriam julgar a resposta que não servia como regra geral para a existência do triângulo. A maioria escolheu descartar a resposta 1, apresentando como justificativas:

4 A desigualdade triangular em diferentes mídias 4 Porque o grupo achou-a muito vaga. E muito fácil de achar exemplos que não formam triângulos; Porque não é sempre que formam um triângulo; Das duas outras respostas, eles indicariam aquela que serviria como regra para formar qualquer triângulo. Dos sete grupos, quatro optaram pela resposta 3 e os demais pela 2. Os que escolheram a resposta 2 como regra para a construção do triângulo, assim justificaram: Porque foi a que menos não formou triângulos; Porque não necessita do número ser par ou ímpar para formar um triângulo; Porque os números coincidem [porque os valores são iguais]. Nessas justificativas percebemos novamente a idéia do objeto protótipo. Tal concepção foi quebrada a partir de uma negociação de significados resultante de um debate entre os alunos no qual os grupos que optaram pela resposta 3 como uma regra geral, tiveram que usar de argumentos e exemplos para convencer os demais. A escolha destes pela resposta 3 foi justificada pelos seguintes argumentos: Porque ela explica quando não formaria o triângulo e quando estamos formando triângulo; Porque é mais fácil e dá mais certo; Por que não achamos exemplos que não formavam; Porque quando somamos 2 números e eles ficam maior que o número maior eles formam triângulo. Após o consenso entre o grupo, sugeri que cada um tentasse reescrever a resposta 3 de forma a torná-la uma regra geral para construir qualquer triângulo, já que a mesma fazia referência a triângulos de dois lados de mesma medida. Entre as produções elaboradas individualmente, destaco algumas que acredito traduzirem a idéia que os alunos formaram a partir da atividade proposta: Chegamos à conclusão que se pegarmos os dois números menores e somarmos e o resultado for maior que o outro dá para formar um triângulo. Se não, não dá. Ao somar os dois lados menores o resultado deve ser sempre maior que o lado maior. Pois se for menor ou igual não formará. Ao somar os dois lados menores o resultado tem que ser maior do que o número do lado maior.

5 A desigualdade triangular em diferentes mídias 5 Todos chegamos a conclusão de que temos que somar os menores e ver se o resultado é maior. Se for maior que o outro número, forma-se um triângulo. A atividade sobre a desigualdade triangular proposta a partir do jogo com palitos e dados, serviu-nos para elaborar o conceito de construção do triângulo. Tal atividade revelou-nos as deficiências na formação da geometria que perpassou todo o tempo de escolaridade desses alunos e que devem ser enfrentadas. Apesar de podermos constatar pelos relatos anteriores, que o conceito de desigualdade triangular ficou entendido, não podemos deixar passar despercebido uma resposta dada por um dos grupos durante a atividade I quando perguntamos quando três palitos formam ou não, um triângulo?. Quando chegamos na última jogada logo vimos que não daria certo pois a soma dos [valores dos] palitos menores tinha o mesmo valor do maior, só que ao montar vimos que deu certo [formou triângulo]. Então chegamos a conclusão de que os palitos estavam com defeito. Essa colocação do grupo nos leva a pensar sobre as limitações que os materiais didáticos podem apresentar. Dessa forma, fazer uso de diferentes mídias para o estudo de algum conceito matemático, principalmente na geometria, pode ser muito útil. Em vista disso, nas reuniões que tivemos no GRUCOGEO nas quais socializei essa atividade para o grupo, uma das sugestões que me foram apresentadas foi fazer a mesma atividade usando como recurso um software de geometria. Acatei a sugestão do prof Jorge 1, que consistia numa atividade de manipulação no Cabri-Geometry II. Como tínhamos um número reduzido de computadores disponíveis, convidei os coordenadores de cada grupo para participarem desta atividade, que seria realizada em período contrário ao de aula e nos comprometemos a socializar a atividade com os demais em outro momento. Os alunos não haviam tido contato com software de geometria dinâmica, mas como a atividade era apenas de manipulação e observação não foi difícil de ser realizada, bastava abrir o arquivo que já estava pronto e encontrariam a seguinte situação: 1 Prof. Jorge Luis Costa, aluno do programa de Mestrado em Educação da Universidade São Francisco, participante do GRUCOGEO.

6 A desigualdade triangular em diferentes mídias 6 L1 5,89 cm A L2 2,66 cm B C L3 4,34 cm C A B Usando o mouse eles movimentariam os pontos A, B e C, observariam as medidas dos segmentos L1 (AB), L2 (BC) e L3 (AC) e preencheriam uma tabela de acordo com a condição de existência ou não do triângulo. Na socialização perguntei aos alunos sobre a vantagem que se tem com a atividade feita no computador. Foi unânime a resposta sobre a possibilidade de se usar números não inteiros. Acrescentei também que, usando esse tipo de mídia, podemos eliminar o problema de defeito dos palitos, como fora detectado por um grupo de alunos na atividade I. Entretanto, não mencionei que uma nova mídia pode trazer novas limitações, como o tamanho do monitor, por exemplo. Na socialização em sala com o grupo todo, expus aos alunos que essa atividade também poderia ser feita com o uso de compasso e régua, fazendo o transporte de segmentos. Através dessa mídia, puderam perceber que a soma das medidas dos segmentos menores ser maior que a medida do seguimento maior é condição necessária para a construção de um triângulo. Reflexões finais Nos momentos em que vivenciamos essas atividades sobre desigualdade triangular muitas reflexões foram feitas no sentido de melhorar minha prática de sala de aula. Os alunos participaram mais ativamente durante todas as etapas: jogo, reflexão, escrita, reflexão sobre a escrita e sistematização. Muitos expressaram suas opiniões, levantaram questionamentos e responderam prontamente às intervenções que foram feitas. Este trabalho mostra que ao desenvolvermos aulas de matemática diferenciadas, o aluno pode melhor participar, ser ouvido e escrever. O nosso papel, enquanto professor, é fundamental no sentido de instigar e levar o aluno a pensar sobre sua própria fala ou sobre o que escreveu. A manifestação de um aluno, de forma oral ou escrita, ao mesmo tempo em que contribui para a reflexão e

7 A desigualdade triangular em diferentes mídias 7 aprendizado dos outros colegas, aponta para nós professores novas perspectivas para a continuidade de um trabalho. Referências Bibliográficas NACARATO, Adair M.; PASSOS, Carmem Lucia B. A geometria nas séries iniciais: uma análise sob a perspectiva da prática pedagógica e da formação de professores. São Carlos: EdUFSCar, 2003.