X Encontro Nacional de Educação Matemática Educação Matemática, Cultura e Diversidade Salvador BA, 7 a 9 de Julho de 2010

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1 INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA: UMA EXPERIÊNCIA DE ENSINO Bruno Rodrigo Teixeira 1 Universidade Estadual de Londrina - UEL bruno_matuel@yahoo.com.br Camila Rosolen 2 Universidade Estadual de Londrina - UEL camilarosolen@yahoo.com.br Resumo: Neste trabalho apresentamos o relato de uma experiência vivenciada por estudantes do Programa de Pós-graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática da Universidade Estadual de Londrina, durante a disciplina Tópicos de Educação Matemática, no ano de Os pós-graduandos foram estimulados a elaborar uma proposta de ensino a partir de um problema apresentado pela professora da disciplina, utilizando a Investigação Matemática como método de ensino, e, posteriormente desenvolver uma oficina utilizando tal proposta. Palavras-chave: Educação Matemática; Investigação Matemática; Fluxogramas. TAREFAS INVESTIGATIVAS NAS AULAS DE MATEMÁTICA Visando promover um espaço em sala de aula no qual os alunos possam se tornar sujeitos ativos durante os processos de ensino e aprendizagem da Matemática, a utilização de metodologias alternativas, como a Investigação Matemática, tem sido enfatizada no ensino de Matemática. As tarefas investigativas tendem a ser abertas, têm início com uma situação que deve ser compreendida ou com um conjunto de dados que precisam ser organizados e interpretados, e pode originar diversas atividades por parte dos alunos, possibilitando a eles percorrer novos caminhos e favorecer seu envolvimento na aula. São tarefas de cunho muito aberto, referentes a contextos variados que podem ter como ponto de partida uma questão ou uma situação proposta quer pelo professor, quer pelos alunos. (PONTE et al,1998, p.15). Estas tarefas dão ênfase a processos matemáticos tais como procurar regularidades, formular, testar, justificar e provar conjecturas, refletir e generalizar (PONTE et al., 1998, p.15), e, aproximam o trabalho do aluno com o do matemático, na medida em que lhe oportunizam voltar a processos para confirmar se aquele caminho é 1 Doutorando no Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática da Universidade Estadual de Londrina (UEL). 2 Estudante do Curso de Especialização em Educação Matemática da Universidade Estadual de Londrina. 1

2 adequado ou não. Além disso, permitem desenvolver o que é proposto em colaboração com os colegas, possibilitando o trabalho com a dinâmica de grupo e o desenvolvimento da capacidade de comunicação. O trabalho em grupo é importante durante as aulas de Matemática, visto que tarefas realizadas nesta dinâmica podem propiciar o desenvolvimento da cooperação entre os integrantes, da capacidade de comunicar idéias na linguagem dos membros do grupo, da criticidade e da partilha de responsabilidades durante a sua execução. (FERNANDES, 2000). A comunicação também é um elemento essencial durante os processos de ensino e aprendizagem da Matemática. É através da comunicação oral e escrita que os alunos dão sentido ao conhecimento matemático que vai sendo construído. (PONTE et al., 1997, p.72) seguinte: De modo geral, a estrutura de uma aula com Investigação Matemática é a introdução da tarefa; desenvolvimento do trabalho; discussão e reflexão final. A introdução da tarefa pode ter grande influência no sucesso do trabalho, principalmente se os alunos não estiverem habituados a trabalhar com este tipo de tarefa. Assim, o modo como ela é apresentada é determinante e [...] pode optar-se pela distribuição do enunciado escrito acompanhado por uma pequena apresentação oral [...], pode ser feita uma leitura em grande grupo [...], pode-se, simplesmente, apresentar a tarefa por escrito, sem que se faça uma discussão inicial do enunciado [...] e podemos pensar ainda no caso da introdução da proposta de trabalho não ser preparada previamente pelo professor, surgindo a tarefa, espontaneamente, na aula a partir da atividade dos alunos. (FONSECA et al, 1999, p.94). Contudo, deve-se ter o cuidado ao introduzir tarefas investigativas para não se tornarem frustrantes para os alunos, que nas aulas, em geral, trabalham com questões muito estruturadas. Durante a tarefa, espera-se que os alunos desenvolvam uma atitude investigativa, por isso é importante que se tenha como preocupação centrar a aula no trabalho dos alunos, em suas idéias. Neste sentido, o professor desempenha um papel de orientador. 2

3 O decorrer da aula depende, em grande parte, das indicações que fornece sobre o modo de trabalho dos alunos e do tipo de apoio que presta no desenvolvimento das investigações. Diversas são as situações em que o professor é chamado a intervir e por isso deve estar preparado para reagir, perspectivando o desenvolvimento nos alunos de um conjunto de capacidades e atitudes essenciais. Ao longo de toda esta fase o professor deve ter uma atitude questionadora perante as solicitações de que é alvo. (FONSECA et al, 1999, p.95). Na discussão do trabalho desenvolvido pelos alunos, cabe ao professor estimulálos a comunicar suas idéias, argumentar em defesa das suas afirmações e questionar os colegas, permitindo que confrontem hipóteses, estratégias e justificativas diferentes das que tinham pensado. Esse momento torna-se adequado também para [...] se clarificarem idéias, se sistematizarem algumas conclusões e validarem resultados. [...] A discussão final sobre a atividade dos alunos é também uma boa ocasião para promover a reflexão sobre o trabalho, sabendo que esta é um elemento indispensável numa aula de investigação. [...] Deste modo, é fundamental, proporcionar aos alunos momentos onde possam pensar e sobretudo refletir sobre a atividade realizada. (FONSECA et al, 1999, p.96). A discussão e reflexão sobre o trabalho realizado junto aos alunos permitem ao professor valorizar suas resoluções, explorando conceitos e idéias matemáticas presentes nas mesmas, estabelecer articulações com outras idéias matemáticas, e, podem até mesmo originar outras tarefas investigativas. Os diversos aspectos que destacamos acerca da Investigação Matemática, nos mostraram que esta pode proporcionar inúmeras contribuições para o ensino e a aprendizagem da Matemática. Isso nos impulsionou a elaborar e desenvolver uma oficina utilizando-a enquanto estratégia metodológica, a qual relataremos a seguir. A EXPERIÊNCIA VIVENCIADA Durante a disciplina Tópicos de Educação Matemática, cursada no Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática da Universidade Estadual de Londrina (UEL), no ano de 2007, um dos trabalhos que desenvolvemos foi a elaboração uma proposta de ensino utilizando Investigação Matemática como estratégia metodológica. 3

4 Nesta disciplina, em que se atribuía grande importância a questões relativas às práticas de sala de aula, recebemos um problema retirado da Prova do PISA 3 (Programa Internacional de Avaliação de Alunos) realizada em 2003 no Brasil, para elaborar uma proposta de ensino, sobre a qual pudemos desenvolver posteriormente uma oficina com alunos do Curso de Licenciatura em Matemática da UEL. O problema inicial que recebemos para desenvolver o trabalho foi o seguinte. SISTEMA DE EMPRÉSTIMOS DE UMA BIBLIOTECA A biblioteca da Escola Municipal Dom Bosco possui um sistema simples de empréstimos de livros. Para os professores e outros funcionários, o período de de 28 dias e para os alunos, o período de de 7 dias. O fluxograma, a seguir, mostra o funcionamento desse sistema simples Início Quem vai pedir emprestado o livro é Sim O período de professor ou outro de funcionário da 28 dias. escola? O período de empréstimo é de 7 dias. A biblioteca da Escola Municipal Feliciano Salles possui um sistema de empréstimo semelhante, porém, mais complexo: O período de empréstimo de todas as publicações classificadas como Reservado é de 2 dias. 3 O PISA é um programa desenvolvido e coordenado internacionalmente pela Organização para Cooperação e Desenvolvimento Econômico (OCDE), com a finalidade de produzir indicadores sobre a efetividade dos sistemas educacionais, avaliando o desempenho de alunos na faixa dos 15 anos, idade em que se pressupõe o término da escolaridade básica obrigatória na maioria dos países. No Brasil, o PISA é coordenado pelo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira, o INEP. 4

5 O período de empréstimos de livros (exceto revistas) que não constam na lista de reservados é de 28 dias para os funcionários e 14 dias para os alunos. O período de empréstimo para as revistas que não constam na lista de reservados é de 7 dias para todas as pessoas. As pessoas que tenham devoluções em atraso não podem pedir emprestado nenhum material da biblioteca. Questão 1: Você é um aluno da Escola Municipal Feliciano Salles e não tem devoluções em atraso. Você quer retirar um livro que não consta na lista de reservados. Por quanto tempo você pode ficar com o livro emprestado? Resposta:... dias Questão 2: Elabore um fluxograma para o sistema de empréstimos da biblioteca da Escola Municipal Feliciano Salles, projetando um sistema automático de controle dos empréstimos dos livros e das revistas da biblioteca. Seu sistema de controle deverá ser o mais eficiente possível (com o número mínimo de etapas de controle). Observe que cada etapa desse controle deve ter somente duas saídas e as saídas indicadas adequadamente (por exemplo: Sim ou ). A partir da proposição de um sistema de controle que seja o mais eficiente, percebemos que poderíamos adaptar este problema para que pudéssemos elaborar uma proposta de ensino na perspectiva da Investigação Matemática. Diante disso, para atender os objetivos do nosso trabalho, que eram proporcionar um espaço em sala de aula no qual os alunos pudessem elaborar estratégias, argumentações, questionamentos, justificações e validação de resultados; promover a comunicação, discussão e reflexão acerca do trabalho elaborado; e, oportunizar aos alunos uma atitude investigativa, fizemos a seguinte adaptação nas questões do problema. Questão 1: Elabore um fluxograma para o sistema de empréstimos da biblioteca da Escola Municipal Feliciano Salles, projetando um sistema automático de controle dos empréstimos dos livros e das revistas da biblioteca. Observe que cada etapa desse controle deve ter no máximo duas saídas e as saídas indicadas adequadamente (por exemplo: Sim ou ). 5

6 Questão 2: Seu sistema de controle é o mais eficiente possível? Investigue. Finalizada esta etapa do trabalho, ministramos uma oficina sobre esta proposta de ensino a graduandos do Curso de Licenciatura em matemática da UEL que cursavam a disciplina Didática da Matemática, no ano de Neste dia, a turma estava composta por aproximadamente 30 alunos. Primeiramente, pedimos que se organizassem em grupos de três ou quatro alunos, pois acreditávamos que em grupos pequenos, o trabalho poderia oferecer maiores contribuições a eles. Feito isso, entregamos o enunciado da questão 1 por escrito aos graduandos e sem realizar uma discussão inicial do enunciado, pedimos a eles que lessem e desenvolvessem o que ali estava proposto. Durante o desenvolvimento da atividade, desempenhamos nosso papel de orientadores analisando as resoluções dos graduandos, incentivando-os e valorizando suas idéias, até que todos terminassem. Foi interessante perceber que a maioria deles começava a elaboração do fluxograma a partir do item As pessoas que tenham devoluções em atraso não podem pedir emprestado nenhum material da biblioteca, justificando que isso tornaria o sistema de empréstimos eficiente. Conforme os grupos iam terminando a resolução da questão 1, entregávamos o enunciado da questão 2. Quando todos os grupos já estavam resolvendo a questão 2, foi necessária a discussão da expressão mais eficiente apresentada no enunciado, visto que esta expressão apresenta certa subjetividade. Questionamos os graduandos então sobre o que tornaria um sistema de empréstimos o mais eficiente, e, a partir de suas respostas, elencamos os seguintes critérios que seriam utilizados para a elaboração deste sistema: ter menos ramificações; começar perguntando se tem livro em atraso; não demorar muito tempo na fila. Após esta discussão, dois grupos apresentaram suas resoluções para a turma, que foram as seguintes. 6

7 Resolução1: Início Quem vai pedir material emprestado Sim A pessoa não pode tem devolução em pedir emprestado atraso? material algum. A publicação Sim O período de está na lista de reservados? de 2 dias. Sim Sim O período de A publicação Quem vai pedir material é livro? emprestado é de 28 dias. funcionário? O período de de 7 dias O período de de 14 dias Resolução 2 Início Quem vai pedir material emprestado Sim A pessoa não pode tem devolução em pedir emprestado atraso? material algum. 7

8 A publicação Sim O período de está na lista de reservados? de 2 dias. A publicação Sim O período de é revista? de 7 dias. A publicação é livro Quem vai pedir Sim O período de material emprestado é funcionário? de 28 dias O período de de 14 dias Após a apresentação destas resoluções, questionamos a turma sobre qual sistema seria o mais eficiente possível, com base nos critérios estabelecidos. A partir do critério começar perguntando se tem livro em atraso apresentado pelos graduandos, todos concordaram que o fluxograma deveria começar com a questão Quem vai pedir material emprestado tem devolução em atraso?, argumentando que se começasse com outra questão, haveria mais ramificações, e, mesmo que não tivesse mais ramificações não seria o mais eficiente, pois não impediria logo no início uma pessoa que tivesse devoluções em atraso de emprestar algum material, assim, não atenderia ao critério não demorar muito tempo na fila. 8

9 Neste momento, os graduandos comunicavam suas idéias, argumentavam em defesa das afirmações que faziam e questionavam os colegas com a intenção de validar o resultado que acreditavam atender ao que havia sido proposto na tarefa. Apesar de terem sido unânimes em começar com a mesma pergunta, alguns graduandos diziam ter elaborado fluxogramas semelhantes àqueles apresentados com pequenas variações na ordem em que colocavam as questões. Então perguntamos a eles quantos fluxogramas diferentes poderíamos obter usando, consecutivamente, os quatro itens que deveriam compor o sistema da biblioteca da Escola Municipal Feliciano Salles, começando com aquele que já havia sido eleito como primeiro. Alguns graduandos disseram que deveriam calcular o número de combinações possíveis, então questionamos se a ordem em que as perguntas fossem colocadas no sistema não faria diferença no funcionamento do mesmo. Após concluírem que a ordem das perguntas faria diferença, perceberam que o número de fluxogramas não poderia ser obtido por meio do cálculo do número de combinações simples. Diante disso, concluíram que o número de fluxogramas diferentes seria = 6, obtido por meio do princípio fundamental da contagem, pois para a escolha da primeira questão havia apenas uma possibilidade, visto que a questão Quem vai pedir material emprestado tem devolução em atraso? já havia sido escolhida para dar início ao sistema, a fim de ser o mais eficiente possível. Já para a segunda questão haveria três possibilidades de escolha entre as questões restantes, e para cada uma destas três possibilidades haveria duas de escolher alguma das questões restantes. Por fim, restaria uma questão para finalizar o sistema. Em seguida, a partir do critério ter menos ramificações, os graduandos concluíram que a Resolução 1 apresentava um sistema mais eficiente que o apresentado na Resolução 2. Depois disso, todos os grupos a compararam com a sua resolução, e, vendo que a Resolução 1 era a que melhor cumpria os critérios elencados, e a tarefa proposta, a elegeram como a que descrevia um sistema o mais eficiente possível. CONSIDERAÇÕES FINAIS Este foi um trabalho que nos permitiu refletir acerca da Investigação Matemática enquanto estratégia metodológica para o ensino de Matemática. Constatamos nesta experiência que trabalhar com Investigações Matemáticas nas aulas pode ser promissor 9

10 para estimular os alunos a se tornarem sujeitos ativos durante os processos de ensino e aprendizagem da Matemática, na medida em que ao desenvolver tarefas investigativas, têm a possibilidade de elaborar estratégias, argumentações, questionamentos, justificações e validação de resultados, além de promover a comunicação, discussão e reflexão acerca do trabalho elaborado, e, possibilitar ao professor explorar conceitos matemáticos e idéias relacionadas aos mesmos a partir das resoluções dos alunos. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS FERNANDES, E. Fazer matemática compreendendo e compreender matemática fazendo: A apropriação de artefactos da matemática escolar. Quadrante. Vol. 6, nº 1, FONSECA, H.; BRUNHEIRA, L.; PONTE, J. P. As actividades de investigação, o professor e a aula de Matemática. Actas do Profmat 99. Lisboa: APM p PONTE, J. P. et al. Didáctica da Matemática. DES do ME. Lisboa, PONTE, J. P.; OLIVEIRA, H.; SEGURADO, I.; CUNHA, H. Investigações na Aula de Matemática. In: Histórias de Investigações Matemáticas. Lisboa: Instituto de Inovação Educacional p