Livro Eletrônico Aula 00 Professor: Hugo Lima
1. Apresentação... 2 2. Cronograma de relatórios... 3 3. Introdução... 3 4. Análise Estatística... 3 5. Orientações de Estudo e Conteúdo... 4 6. Análise das Questões... 7 1
1. APRESENTAÇÃO Seja bem-vindo ao PASSO ESTRATÉGICO de MATEMÁTICA, o qual foi desenvolvido para auxiliar na sua preparação para o próximo CONCURSO DO DETRAN-SP, para Oficial Estadual de Trânsito. Esse material é baseado no último EDITAL, de 2013, em que a banca foi a VUNESP. Neste material você terá: - análise estatística dos concursos da VUNESP, mostrando quais são os assuntos que mais foram cobrados em concursos desse tipo nos últimos 5 anos; - orientações de estudo e de conteúdo, indicando o que é mais importante saber sobre cada assunto; - análise das questões dos últimos concursos, com dicas de como abordar cada tipo de questão; - simulados de questões inéditas, para que você treine com foco na sua prova. A ideia do relatório é que você consiga economizar bastante tempo, pois abordaremos o que é mais relevante em cada tópico exigido no concurso, de forma a te mostrar direto o que interessa! Caso você não me conheça, eu sou Engenheiro Mecânico-Aeronáutico formado pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA). Trabalhei por 5 anos na Força Aérea Brasileira, como oficial engenheiro, sendo que, no período final, também tive que conciliar o trabalho com o estudo para o concurso da Receita Federal. Fui aprovado para o cargo de Auditor-Fiscal em 2012, cargo que exerço atualmente. Além da minha formação em exatas, acompanho o mundo dos concursos há bastante tempo e por isso posso lhe garantir que eu sou o Especialista em Matemática que você precisa! Quer tirar alguma dúvida antes de adquirir os relatórios? Deixo abaixo meus contatos: E-mail: ProfessorHugoLima@gmail.com Facebook: www.facebook.com/hugohrl 2
2. CRONOGRAMA DE RELATÓRIOS Nosso PASSO ESTRATÉGICO será dividido em 05 relatórios, contando com esse relatório demonstrativo. Cada relatório terá, em média, 15 páginas, alguns podendo ter menos e outros podendo extrapolar esse número. A liberação dos relatórios se dará conforme a tabela abaixo. AULA ASSUNTO DATA 0 Proporcionalidade. 20-Jun 1 Porcentagem e Juros Simples. 02-Jul 2 Média aritmética simples e ponderada. 14-Jul 3 Raciocínio lógico. Resolução de situações problema. 26-Jul 4 Simulado 1 07-Aug Vamos agora para o relatório demonstrativo do PASSO ESTRATÉGICO de Matemática. 3. INTRODUÇÃO P R L P A P Operações com números reais. Razão e proporção. Porcentagem. Regra de três simples e composta. É veio no último edital do DETRAN-SP. A proporcionalidade é muito comum nas provas. Assim, o relatório de hoje é bem relevante dentro da nossa matéria. Mãos à obra! 4. ANÁLISE ESTATÍSTICA O primeiro ponto a destacar é que o assunto Proporcionalidade tem altíssima chance de ser previsto em edital pela VUNESP. Isso porque diversos editais recentes da VUNESP incluíram, no 3
conteúdo programático da disciplina Matemática e/ou Raciocínio Lógico, o assunto P, a exemplo dos últimos concursos do TJ-SP. O segundo ponto que chama atenção é que em todos os casos em que o tópico esteva previsto em edital, o mesmo chegou a ser cobrado. Em outras palavras, o tema tem uma alta chance de ser previsto em edital de forma geral e uma alta chance de ser cobrado em prova! Nos concursos da VUNESP dos últimos 2 anos, as questões de Proporcionalidade representaram 18% de todas as questões de matemática e/ou raciocínio lógico. Na última prova do DETRAN-SP tivemos 2 questões de Proporcionalidade num total de 5 questões de Matemática. Conclusão Os dados mostram que há uma chance alta de o assunto ser cobrado em prova, se levarmos em conta que o tópico esteve sempre presente nos editais da VUNESP e que caiu no último concurso do DETRAN-SP. Assim, saber esse assunto pode ser um diferencial para a sua aprovação! Outra informação relevante é que o assunto Proporcionalidade aparece em diversas questões de outros assuntos. Ou seja, para resolvê-las é necessário ter os conhecimentos de proporcionalidade, mas isso não aparece nessas estatísticas. Então não se engane, a importância desse assunto está diminuída nos números mostrados acima. Na verdade, é muito mais que isso!!! Além disso, esse não é um assunto complexo, portanto, é mandatório acertar as questões que caírem, pois é uma área em que os seus concorrentes não vão cometer erros! 5. ORIENTAÇÕES DE ESTUDO E CONTEÚDO Vamos revisitar alguns pontos de alta importância para o assunto desse relatório. Conjuntos Numéricos e Divisibilidade Sobre os conjuntos numéricos, certifique-se de saber o que são números naturais, inteiros e reais e de saber trabalhar as operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação) e suas propriedades. Para isso, veja a tabela abaixo: Nome do conjunto (e símbolo) Números Naturais (N) Números Inteiros (Z) Definição Números positivos construídos com os algarismos de 0 a 9, sem casas decimais Números naturais positivos e negativos 4
Números Racionais (Q) Podem ser representados pela divisão de 2 números inteiros (fração) Outra ferramenta útil é saber fatorar determinado número, ou seja, decompô-lo em uma multiplicação de seus fatores primos. Dizemos que um número é primo quando ele só pode ser dividido, sem deixar resto, por 1 e por si mesmo. São eles: {2, 3, 5, 7, 11, 13,, 19, 23, 29, 31...} Fatorar um número natural nada mais é que transformá-lo no produto de números primos. Você vai precisar disso para calcular o mínimo múltiplo comum e o máximo divisor comum entre dois números ou mais. Para isso, considere as informações abaixo: - os múltiplos de um número X são aqueles números que podem ser obtidos multiplicando X por outro número natural. - MMC (mínimo múltiplo comum) entre dois números é o menor número que é múltiplo de ambos os números. Para obtê-lo, basta: 1. fatorar os números; 2. o MMC será formado pela multiplicação dos fatores comuns e não comuns de maior expoente. - um número é divisível por outro quando esta divisão é exata - MDC (máximo divisor comum) é o maior número capaz de dividir, de maneira exata, dois números distintos. Para obtê-lo, basta: 1. fatorar os números; 2. o MDC será formado pela multiplicação apenas dos fatores comuns de menor expoente Números e grandezas proporcionais Proporção é uma igualdade entre duas razões (divisões, frações). Dizemos que duas grandezas são proporcionais quando é possível criar, entre elas, razões que permanecem constantes. Grandezas diretamente proporcionais Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando uma cresce à medida que a outra também cresce. Grandezas inversamente proporcionais 5
Dizemos que duas grandezas são inversamente proporcionais quando uma cresce à medida que a outra diminui. Por conta disso, ao fazermos a regra de três envolvendo grandezas inversamente proporcionais devemos inverter a ordem de uma das grandezas antes de multiplicar as diagonais. Regra de três composta Passos utilizados na resolução de exercícios de regra de três composta: 1. Encontrar as grandezas envolvidas e montar uma tabela com as mesmas; 2. Colocar uma seta na coluna onde estiver o valor a ser descoberto (X) 3. Comparar as demais grandezas à da coluna do X, verificando se são direta ou inversamente proporcionais à ela, e colocando setas no mesmo sentido ou no sentido oposto; 4. Alinhar todas as setas, invertendo os termos das colunas onde for necessário; 5. Montar a proporção, igualando a razão da coluna com o termo X com o produto das demais razões. 6. Obter X. Diferenças de rendimento Esse é um tipo de questão que pode aparecer em provas como a sua. Para a conclusão de algum trabalho, o exercício deixa implícito que podem haver diferenças de rendimento entre os trabalhadores. Neste tipo de exercício, o enunciado sempre informará dados sobre: a) o desempenho dos 2 funcionários trabalhando juntos b) o desempenho de um dos funcionários trabalhando sozinho Com base na informação da letra B, você será capaz de identificar quanto do trabalho total aquele funcionário realizou quando os dois trabalharam juntos. Assim, poderá deduzir qual é o desempenho do outro funcionário, para então calcular o tempo que ele levaria para executar o trabalho sozinho. Divisão em partes proporcionais Uma propriedade importante das proporções pode ser enunciada assim: a c a a + c Se =, então = b d b b + d Esta propriedade é muito utilizada na resolução de questões de concursos que versam sobre divisão proporcional. Outra forma de efetuar divisões proporcionais consiste no uso da constante de proporcionalidade k. 6
Escalas Escalas nada mais são do que uma proporção entre as medidas de algum objeto no mundo real e as medidas de sua representação gráfica, desenho ou mapa. Trabalhar com escalas é muito simples, desde que você saiba montar a regra de três. 6. ANÁLISE DAS QUESTÕES Vejamos agora questões recentes da VUNESP que trataram sobre o assunto desse relatório e caíram nos concursos. 1. VUNESP DETRAN/SP 2013) O semáforo para travessia de pedestres na rua Aurora é programado para ficar fechado para automóveis por 50 segundos e aberto por 2 minutos e meio. O semáforo da rua Glória, que conserva a mesma razão entre o tempo aberto e o tempo fechado do semáforo da rua Aurora, é programado para ficar fechado para automóveis por 35 segundos e aberto por a) 1min 10s. b) 1min 30s. c) 1min 05s. d) 1min 55s. e) 1min 45s. O semáforo da Aurora fica fechado por 50 segundos e aberto por 2 minutos e meio, que correspondem a 2,5 x 60 = 150 segundos. O da rua Glória fica fechado por 35 segundos e aberto por x segundos. A razão entre o tempo aberto e o tempo fechado dos dois semáforos é igual. Logo: TempoAbertoAurora TempoFechadoAurora TempoAbertoGlória = TempoFechadoGlória 150 x = 50 35 x 3 = 35 x= 3 35 = 105s 7
Convertendo para minutos, temos que o semáforo da rua Glória fica aberto por 1 minuto e 45 segundos. Resposta: E 2. VUNESP DETRAN/SP 2013) Dez cozinheiros fazem 220 pratos idênticos em 8 horas de trabalho. Se aumentarmos dois cozinheiros e, considerando que eles mantenham o mesmo desempenho, para produzir 250 desses mesmos pratos, o tempo gasto será de, aproximadamente, a) 7h min. b) 8h 12min. c) 8h 20min. d) 8h 47min. e) 7h 34min. Temos as seguintes grandezas: Cozinheiros ------------ Pratos ---------------- Tempo (h) 10 220 8 12 250 X Agora, precisamos ver se as grandezas são inversamente ou diretamente proporcionais em relação à coluna em que está o X. Perceba que se aumentamos a quantidade de cozinheiros, reduz o tempo necessário para fazer determinado número de pratos. Portanto, essas grandezas são inversamente proporcionais. Portanto, vamos inverter os valores da coluna Cozinheiros. Perceba que se aumentarmos o número de pratos, mais tempo será necessário para preparalos. Ou seja, essas grandezas são diretamente proporcionais. Portanto, a coluna Pratos não necessita de ajustes. Assim, obtemos o seguinte: Cozinheiros ------------ Pratos ---------------- Tempo (h) 12 220 8 10 250 X Agora, basta fazer a multiplicação das frações da seguinte forma: 8 12 220 = X 10 250 8 6 22 = X 5 25 2 3 11 = X 5 25 8
==0== Prof. Hugo Lima 2525 = X 311 250 X = = 7,57h 33 Portanto, o tempo gasto será de 7,57 h, ou ainda, 7 horas completas e 0,57 h. Multiplicando 0,57 por 60 encontramos aproximadamente 34 minutos. Assim, chegamos a 7 horas e 34 minutos. Resposta: E 3. VUNESP TJ/SP 20) Sabe-se que 16 caixas K, todas iguais, ou 40 caixas Q, todas também iguais, preenchem totalmente certo compartimento, inicialmente vazio. Também é possível preencher totalmente esse mesmo compartimento completamente vazio utilizando 4 caixas K mais certa quantidade de caixas Q. Nessas condições, é correto afirmar que o número de caixas Q utilizadas será igual a (A) 18. (B) 22. (C) 10. (D) 30. (E) 28. Veja que 16 K é igual a 40 Q, ou seja, 16K = 40Q 4K = 10Q Se já colocamos 4K no compartimento, isto equivale a ter colocado 10Q. Assim, como no compartimento caberiam originalmente 40 Q, se já colocamos 10Q faltam colocar 40Q 10Q = 30Q. Resposta: D 4. VUNESP TJ/SP 2015) Para fazer 200 unidades do produto P, uma empresa Utilizou 3/4 do estoque inicial (E) do insumo Q. Para fazer mais 300 unidades do produto P, vai utilizar a quantidade que restou do insumo Q e comprar a quantidade adicional necessária para a produção das 300 unidades, de modo que o estoque do insumo Q seja zerado após a produção desse lote. Nessas condições, deverá ser comprada, do insumo Q, uma quantidade que corresponde, do estoque inicial E, a: (A) 2/3. (B) 7/8. (C) 1/4. 9
(D) 3/8. (E) 9/8. Podemos escrever a seguinte regra de três para saber a quantidade do estoque E que precisa ser utilizada para produzir 300 unidades: 200 unidades ------------ 3E/4 300 unidades ------------ N 200N = 300x3E/4 2N = 3x3E/4 2N = 9E/4 N = 9E/8 Portanto, precisamos de 9/8 do estoque para produzir as 300 unidades. Após produzir as primeiras 200, gastamos 3E/4, sobrando E 3E/4 = E/4. Assim, para conseguirmos 9E/8 (quantidade necessária para produzir as 300 peças), a quantidade que precisa ser adquirida do insumo é: Resposta: B Quantidade adquirida = 9E/8 E/4 Quantidade adquirida = 9E/8 2E/8 Quantidade adquirida = 7E/8 5. VUNESP TJ/SP 2014) Certa empresa produz diariamente quantidades iguais do produto P. Se essa empresa usar três medidas iguais do componente A em cada unidade do produto final P, serão necessárias 480 dessas medidas para suprir a produção de P durante 2 dias. Se passar a usar 2,5 medidas de A em cada unidade de P, o número de medidas de A necessário para suprir a produção de P, durante 5 dias, será igual a (A) 1 050. (B) 1 000. (C) 1 220. (D) 980. (E) 1 140. A empresa usa 3 medidas iguais do componente A em cada unidade do produto final P, de modo que com 480 dessas medidas é possível produzir: 3 medidas de A ---------- 1 unidade de P 480 medidas de A -------- N unidades de P 10
3N = 480x1 N = 160 unidades de P Se fossem usadas apenas 2,5 medidas de A para fazer 1 unidade de P, a quantidade de medidas de A para produzir as mesmas 160 unidades de P pode ser obtida assim: 2,5 medidas de A ---------- 1 unidade de P M medidas de A ------------ 160 unidades de P 2,5 x 160 = M x 1 M = 400 medidas de A Assim, para suprir a produção de P durante 2 dias seriam necessárias 400 medidas de A. Para suprir a produção de P, durante 5 dias, teríamos: Resposta: B 400 medidas de A -------- 2 dias X medidas de A ----------- 5 dias 400x5 = 2X X = 1000 medidas de A 6. VUNESP Pref. Cotia/SP 20) Para imprimir 200 apostilas com 27 páginas cada uma, 5 impressoras levam 54 minutos. Estas impressoras imprimem um mesmo número de páginas por minuto e têm sistema automático de alimentação de folhas, ou seja, não precisam parar para o reabastecimento de folhas. Para a impressão de 1 040 apostilas com 35 páginas impressas cada uma, em 52 minutos, será necessário um número dessas impressoras igual a (A) 30. (B) 35. (C) 40. (D) 45. (E) 50. Podemos esquematizar assim: Apostilas Páginas Impressoras Tempo 200 27 5 54 1040 35 N 52 11
Quanto MAIS impressoras é possível imprimir MAIS apostilas com MAIS páginas em MENOS tempo. Devemos inverter somente a coluna do tempo, que é inversamente proporcional: Resposta: B Apostilas Páginas Impressoras Tempo 200 27 5 52 1040 35 N 54 Montando a proporção: 7. VUNESP CRBio 20) O consumo médio de combustível de um carro que está rodando em uma pista de testes, que tem 4,5 km de extensão, é de 1 litro para cada 10 km percorridos. Em uma parada para reabastecimento, com o tanque completamente vazio, injeta-se combustível durante 8 minutos, sendo que a bomba usada injeta 120 ml de combustível a cada 2 segundos. Mantendo o mesmo consumo médio, o número máximo de voltas completas que o carro poderá dar nessa pista usando a quantidade de combustível injetada, nesse reabastecimento, será igual a (A) 58. (B) 60. (C) 64. (D) 68. (E) 70. Vejamos qual a quantidade de combustível injetada. Para isto, veja que 8 minutos correspondem a 8x60 segundos = 480 segundos. Assim: 2 segundos --------------------- 120mL 480 segundos ----------------- X ml 12
. Resposta: C 2.X = 480.120 X = 240.120 X = 28.800mL X = 28,8 L Lembrando que o carro percorre 10km com 1 litro, podemos calcular a distância percorrida: 1 litro ----------- 10km 28,8 litros ------------- D km 1.D = 28,8.10 D = 288 km Com cada volta tem 4,5km, o número de voltas que correspondem a 288km é igual a 8. VUNESP TJM/SP 20) Marcel e Vera estão brincando com um jogo que tem N cartas, que inicialmente foram divididas igualmente entre eles. No seu melhor momento do jogo, Marcel tinha 3/5 do número total de cartas, enquanto que Vera tinha o restante. Vera venceu o jogo, terminando com 2/3 do número total de cartas, e Marcel com o restante. Sabendo-se que Marcel terminou o jogo com 24 cartas a menos do que tinha no seu melhor momento, é correto afirmar que N é igual a (A) 150. (B) 120. (C) 90. (D) 60. (E) 30. Seja N o total de cartas. Em seu melhor momento Marcel tem 3/5 das cartas, ou seja, ele tem cartas. Vera termina com 2/3 das cartas, deixando Marcel com apenas 1/3 das cartas, ou seja, cartas. que: Como a diferença entre seu melhor e pior momento no jogo é de 24 cartas, podemos dizer 13
Resposta: C 9. VUNESP PM/SP 20) Um escritório comprou uma caixa de envelopes e irá dividi-los em pequenos pacotes, cada um deles com o mesmo número de envelopes. Se em cada pacote forem colocados ou 8 envelopes, ou 9 envelopes, ou 12 envelopes, não restará envelope algum na caixa. Sabendo-se que, nessa caixa, há menos de 400 envelopes, então o número máximo de envelopes dessa caixa é (A) 256. (B) 288. (C) 342. (D) 360. (E) 385. Se podemos dividir a quantidade de envelopes por 8, por 9 ou por 12 sem deixar resto, fica claro que a quantidade de envelopes é um múltiplo comum entre 8, 9 e 12. Calculando o mínimo múltiplo comum: Veja que o menor múltiplo comum entre esses números é 72. Basta, portanto, pegarmos o maior múltiplo de 72 que esteja abaixo de 400, visto que dessa forma teremos um número que também é múltiplo comum de 8, 9 e 12. Veja que 72 x 5 = 360. Esta deve ser a quantidade de envelopes. Resposta: D Fator primo 8 9 12 2 4 9 6 2 2 9 3 2 1 9 3 3 1 3 1 3 1 1 1 MMC = 2 3.3 2 = 72 14
10. VUNESP CRBio 20) Uma folha retangular em branco deverá ser totalmente dividida em quadrados, todos de mesmo tamanho, de modo a formar uma malha quadriculada que ocupe toda a área da folha. Sabe-se que esses quadrados deverão ter a maior área possível, e que as dimensões da folha são 300 mm de comprimento por 250 mm de largura. Nessas condições, o número de quadrados da malha formada será igual a (A) 50. (B) 30. (C) 25. (D) 20. (E) 15. Precisamos encontrar um tamanho para o lado dos quadrados. Este tamanho deve ser um número que divida tanto o 300mm do comprimento como o 250mm da largura sem deixar resto. Ou seja, precisamos de um divisor COMUM a 300 e 250. E devemos buscar o MÁXIMO divisor comum, pois queremos que os quadrados tenham a maior área possível. Calculando o MDC: Portanto, cada quadrado terá 50mm de lado. No sentido do comprimento teremos 300/50 = 6 quadrados, e no sentido da largura teremos 250/50 = 5 quadrados, totalizando 6x5 = 30 quadrados. Resposta: B Fator primo 300 250 2 150 125 5 30 25 5 6 5 MDC = 2.5.5 MDC = 50 11. VUNESP CRBio 20) Uma plantação requer pulverizações semanais de certo defensivo agrícola. Se uma tonelada desse defensivo pulveriza 2 alqueires durante 4 semanas, então o número de toneladas necessárias para pulverizar 3 alqueires durante 10 semanas será igual a (A) 3,75. (B) 3,5. (C) 3,25. (D) 3. 15
(E) 2,75. Podemos esquematizar assim: Toneladas de defensivo Alqueires Semanas 1 2 4 T 3 10 Quanto MAIS defensivo, MAIS alqueires podem ser pulverizados por MAIS semanas. Assim, as grandezas são todas diretamente proporcionais. Montando a proporção: Resposta: A 12. VUNESP MP/SP 2016) No aeroporto de uma pequena cidade chegam aviões de três companhias aéreas. Os aviões da companhia A chegam a cada 20 minutos, da companhia B a cada 30 minutos e da companhia C a cada 44 minutos. Em um domingo, às 7 horas, chegaram aviões das três companhias ao mesmo tempo, situação que voltará a se repetir, nesse mesmo dia, às (A) 18h 30min. (B) horas. (C) 18 horas. (D) h 30min. (E) 16h 30min. O mínimo múltiplo comum entre 20, 30 e 44 pode ser obtido assim: 20 = 2x2x5 30 = 2x3x5 44 = 2x2x11 MMC = 2x2x3x5x11 MMC = 660 16
Assim, as 3 companhias se encontram a cada 660 minutos, ou seja, a cada 660 / 60 = 11 horas. Isto ocorrerá novamente às 7 + 11 = 18h. Resposta: C Nos vemos no próximo relatório! Até mais! professorhugolima@gmail.com