1 Grupos (23/04) Sim(R 2 ) T T

1 Grupos (23/04) Definição 1.1. Um grupo é um conjunto G não-vazio com uma operação binária : G G G que satisfaz as seguintes condições: 1. (associatividade) g (h k) = (g h) k para todos g, h, k G; 2. (elemento neutro) Existe um elemento e G tal que g e = e g = g para cada g G; 3. (inverso) Para cada g G, existe um elemento h G tal que g h = h g = e. Exemplo 1.1. Se X é um conjunto não-vazio, o conjunto das bijeções de X em X é um grupo com relação à composição de funções. Exemplo 1.2. Se K é um corpo, o conjunto GL n (K) das matrizes n n invertíveis (com entradas em K) é um grupo. De fato, uma matriz A tem inversa se e somente se det A 0. Logo, se A e B são invertíveis então AB também é pois det(ab) = det A det B 0. Portanto, o produto define uma operação em GL n (K). Além disso, o produto de matrizes (invertíveis ou não) é associativo; a matriz identidade está em GL n (K) e satisfaz IA = AI = A para todo A GL n (K); cada elemento de GL n (K) tem inverso (em M n (K)) pela definição de GL n (K), e este inverso está em GL n (K) (pois (A 1 ) 1 = A). Exemplo 1.3. Uma simetria de R n é uma aplicação f : R n R n que preserva distância entre pontos: d(f(u), f(v)) = d(u, v) para todos u, v R n. O conjunto Sim(R n ) de todas as simetrias de R n é um grupo com relação à operação de composição de funções. Por exemplo, reflexões em retas são simetrias do plano. Vimos também duas situações onde os grupos aparecem de modo natural: 1. Congruências de Triângulos no plano. Pode-se mostrar (não fizemos isso) que simetrias do plano levam triângulo em triângulo; mais precisamente, se [x, x, x ] indica o triângulo com vértices x, x, x percorridos nesta ordem (no sentido anti-horário) então uma simetria f leva o triângulo = [x, x, x ] no triângulo = [f(x), f(x ), f(x )]. Isto nos leva a considerar a aplicação Sim(R 2 ) T T (f, [x, x, x ]) f [x, x, x ] = [f(x), f(x ), f(x )] (onde T é o conjunto dos triângulos no plano). Esta aplicação tem uma interpretação geométrica importante: Dois triângulos e são congruentes se e somente se existe uma simetria f de R 2 tal que f = (provaremos este resultado mais adiante). 2. Semelhança de matrizes. As matrizes n n A e B são semelhantes se e somente se existe P GL n (K) tal que B = P AP 1. Podemos definir, de modo análogo ao caso anterior, a aplicação GL n (K) M n (K) M n (K) (P, A) P A = P AP 1 Esta aplicação satisfaz duas propriedades que a anterior (das simetrias) também satisfaz: I A = A, pra todo A, e P (Q A) = P Q A. A partir disso prova-se que a relação de semelhança de matrizes é uma relação de equivalência. Vimos também rapidamente os grupos que aparecem associados a raízes de polinômios. Não houve tempo de explorar os detalhes desta construção, e voltaremos a ela novamente.

2 Subgrupos, Ações de Grupos (25/04) Na definição de grupo não pedimos que o neutro seja único, ou que o inverso seja único, porque é possível provar a unicidade. Seja (A, ) conjunto com operação binária. Se existe um elemento neutro para a operação, este elemento é único. Suponha que a operação é associativa e que tem elemento neutro; seja a A e suponha que existe b A tal que a b = e e b a = e. Então b é o único elemento de A que satisfaz estas equações. Definição 2.1. Seja (A, ) conjunto com operação binária. 1. Se a operação é associativa, chamamos (A, ) de semigrupo. 2. Se a operação é associativa e existe elemento neutro, chamamos (A, ) de semigrupo com neutro (unidade) ou de monóide. Não entraremos em detalhes no curso sobre monóides ou semigrupos (pois a teoria é muito mais complicada), mas falaremos um pouco de monóides ao longo do curso já que estes aparecem rotineiramente na matemática do ensino básico (por exemplo, o conjunto dos naturais é um monóide tanto com relação à soma quanto ao produto e não é um grupo com relação a nenhuma das duas). Proposição 2.1. Seja G um grupo. 1. (cancelamento) se g h = g t então h = t; analogamente, se h g = t g então h = t. 2. (gh) 1 = h 1 g 1. 3. (g 1 ) 1 = g. Definição 2.2. Seja G um grupo. Um subgrupo de G é um subconjunto H de G tal que 1. Se g, h H então g h H 2. e H 3. Se h H então h 1 H. Exemplo 2.1. Sim(R 2 ) é um subgrupo do grupo Bij(R 2 ) das bijeções de R 2 (com operação de composição). O(n, R) = {A M n (R); A T A = I} é um subgrupo de GL n (K). Proposição 2.2. Se H é um subgrupo de um grupo G então H é um grupo com a operação induzida de G. Definição 2.3. Sejam G um grupo e X um conjunto não-vazio. Uma ação de G em X é uma aplicação φ : G X X tal que 1. φ(e, x) = x para todo x X 2. φ(g, φ(h, x)) = φ(g h, x) para todos g, h G e x X. Fixando g G na primeira coordenada obtemos uma função φ g : X X x φ(g, x) Podemos reescrever a definição de ação de grupo da seguinte maneira: a cada g G corresponde uma aplicação φ g : X X satisfazendo

1. φ e (x) = x para todo x X 2. φ g (φ h (x)) = φ g h (x) para todos g, h G e x X ou de modo mais sucinto, φ e = id X e φ g φ h = φ g h (onde id X é a função identidade de X em X). Exemplo 2.2. G = Bij(X) age em X por φ f (x) = f(x) para toda f Bij(X). G = GL n (K) age em K n, identificado com M n,1 (K), por multiplicação de matrizes: dados P G e v K n, φ P (v) = P v. Explicando melhor exemplos vistos na primeira aula, Sim(R 2 ) age no conjunto T dos triângulos no plano R 2 por φ f ([x, x, x ]) = [f(x), f(x ), f(x )]. G = GL n (K) age em M n (K) por Φ P (A) = P AP 1. Definição 2.4. Seja φ uma ação de G em X. Diremos que x e y em X são equivalentes segundo esta ação se existe g G tal que φ g (x) = y. Denotaremos esta situação por x G y. Na primeira aula vimos que a relação de semelhança de matrizes é uma relação de equivalência. Isto é um caso especial do resultado a seguir. Proposição 2.3. A relação G é uma relação de equivalência em X. (A prova deste resultado ficou como exercício) Definição 2.5. Seja φ uma ação de G em X e seja x um elemento de X. O estabilizador de x é o conjunto G x = {g G; φ g (x) = x}. Proposição 2.4. Sejam φ uma ação de G em X e x um elemento de X. O estabilizador de x é um subgrupo de G.

3 Potências de um elemento em um grupo (30/04) Seja G um grupo e seja g G. Qual o menor subgrupo de G que contém g? Denotamos este subgrupo por g. Da definição de subgrupo temos que e, g, g 1 G; como g é fechado para a operação de G, também teremos os elementos g g, g g g,... Precisamos então de estudar potências de elementos em grupos para resolver este problema. Definição 3.1. Seja G um grupo e seja g G. Definimos as potências de g com expoente inteiro positivo recursivamente por g 1 = g g n+1 = g n g Observe que esta definição também faz sentido para semigrupos. Teorema 3.1. Sejam G um grupo, g um elemento de G, n, m inteiros positivos. (1) g m+n = g m g n (2) (g n ) m = g nm Exemplo 3.1. para o número complexo i C temos n 1 2 3 4 5 6... i n i 1 i 1 i 1... Definição 3.2. Seja g G. Diremos que g é um elemento de ordem finita se existe solução inteira positiva x para g x = e e diremos que g tem ordem infinita caso contrário. Quando g é elemento de ordem finita, sua ordem é a menor solução positiva desta equação. Denotaremos a ordem de g por o(g). No caso de g ter ordem infinita escreveremos o(g) =. Se G é finito então todo elemento de G tem ordem finita. [contas] Proposição 3.1. Seja g G elemento de ordem m. Então (a) Se n = qm + r (n 0) então g n = g r. (b) Dados n, k 0, g n = g k se e somente se n k mod m (c) Dado n > 0, temos que g n = e se e somente se m n. Lema 3.1. Para n > 0 temos (g n ) 1 = (g 1 ) n. Este lema diz que o único modo de se estender as potências para incluir expoentes negativos e ainda manter a equação g n+m = g n g m para todos n, m Z é tomar g n = (g 1 ) n para n > 0. De fato, suponha que temos g n definido para todo n Z e que a equação vale. Para n = 0 temos g m = g 0+m = g 0 g m ; cancelando g m conclui-se que g 0 = e. E para n > 0 temos e = g 0 = g n+n = g n g n, o que implica em g n = (g n ) 1 que, pelo lema acima, é (g 1 ) n. Compare com as definições de potências para números reais não-nulos. Definição 3.3. Sejam G grupo, g G. Para n 0 definimos g 0 = e e g n = (g 1 ) n. Corolário 3.1. Sejam G um grupo e g G. Então g = {g n ; n Z}

4 Classes laterais e teorema de Lagrange (2/05) Sejam G um grupo e seja g G. Complementando a última aula, observe que o grupo g é sempre abeliano (independente de G ser ou não abeliano) pois para todos n, m Z. g n g m = g n+m = g m+n = g n g m Definição 4.1. Um grupo G é cíclico se existe g G tal que G = g. Por exemplo, Z, Z n e U n (C) são cíclicos. Voltaremos a este assunto mais adiante, quando mostraremos que se K é um corpo então todo subgrupo finito de K é cíclico. Passaremos agora a um dos principais resultados da teoria básica de grupos finitos, o Teorema de Lagrange. Definição 4.2. Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Dado g G, a classe lateral à direita de g com respeito a H é o conjunto Hg = {hg; h H}. A classe lateral à esquerda é gh = {gh; h H}. Note que se G é abeliano então gh = Hg para todo g G. Quando a operação é de soma, a notação para a classe lateral de g é (e sempre temos H + g = g + H). H + g = {h + g; h H} Exemplo 4.1. Seja G = R 2, u = (1, 1) e H = {λu; λ R}. Dado v R 2, v + H = {v + λu; λ R}. Geometricamente, a classe lateral de v R 2 com respeito a H é a reta paralela à reta H que passa por v. Exemplo 4.2. Seja G = Z e H = nz. A classe lateral de m Z é o conjunto m + nz = {m + nk; k Z} Proposição 4.1. Sejam G grupo e H subgrupo de G. 1. A relação é uma relação de equivalência em G. x y xy 1 H 2. As classes de equivalência são as classes laterais à direita: Da teoria de relações de equivalência segue que (I) g g Hg = Hg (II) Hg Hg = se g g Hg = {x G; g x} Um subconjunto T de G é uma transversal de H se

(T1) para todo g G existe t T tal que Hg = Ht (ou seja, g t) (T2) se t, t T e t t então Ht Ht. Pode-se provar que sempre existe uma transversal. Enfim, se T é uma transversal de H então temos (III) G = t T Ht, Ht Ht = se t t. Por exemplo, se G = Z e H = nz então T = {0, 1, 2,..., n 1} é uma tranversal. Se G = R 2, u = (1, 1) e H = {λu; λ R} então qualquer reta concorrente a H é uma transversal para H. Na discussão deste exemplo vimos que uma escolha particularmente interessante é tomar T = {λ(1, 1); λ R}, pois neste caso a projeção ortogonal em T funciona como um substituto do resto na divisão por n que usamos em Z. Proposição 4.2. Sejam G grupo, H subgrupo, g G. A aplicação é uma bijeção. ϕ g : H Hg x xg Definição 4.3. Se o número de classes laterais à direita de H em G é finito, este número será chamado de índice de H em G e será denotado por [G : H]. Teorema 4.1 (Lagrange). Seja G grupo finito e seja H um subgrupo de G. Então G = [G : H] H.

5 Aplicações do Teorema de Lagrange (7/05) 5.1 Teorema de Fermat Corolário 5.1. Se G tem ordem finita e H é subgrupo de G então a ordem de H divide a ordem de G. Corolário 5.2. Seja G grupo de ordem n. 1. para todo a G tem-se que a divide n, e portanto que o(a) divide n. 2. em particular, para todo a G tem-se a n = e. Teorema 5.1 (Fermat). Seja p primo, a inteiro tal que p a. Então a p 1 1 mod p. Teorema 5.2 (Euler). Sejam a, m inteiros com m positivo, a não-nulo. Se mdc(a, m) = 1 então a φ(m) 1 mod m. Ambos resultados seguem das consequências do Teorema de Lagrange para a ordem do elemento a no grupo U(Z m ) dos elementos invertíveis para o produto no anel Z m. 5.2 Ações de grupos Recordamos que uma ação do grupo G no conjunto X é uma aplicação de G no grupo das bijeções de X tal que (i) φ e (x) = x, x X (ii) φ g (φ h (x)) = φ g h(x), x X, g, h G. φ : G Bij(X) g φ g Seja x X. O estabilizador de x X é o subgrupo de G A órbita de x é o subconjunto de X G x = {g G; φ g (x) = x} O(x) = {y X; y = φ g (x) para algum g G} Exemplo 5.1. O grupo diedral D 2n é o grupo de simetrias de um polígono regular de n vértices. Neste exemplo veremos uma ação do grupo diedral de 8 elementos, denotado por D 8, que é o grupo de simetrias de um quadrado. Considere o quadrado Q = [ 1, 1] [ 1, 1]. Suas simetrias são: A aplicação identidade; As rotações de π/2, π, 3π/2 no sentido anti-horário; As reflexões no eixo x, no eixo y, na reta y = x e na reta y = x. (cada rotação de kπ/2 no sentido horário corresponde à rotação de 2π kπ/2 no sentido antihorário). Todas são aplicações lineares, e podemos identificar D 8 com o grupo de matrizes D 8 = {[ ] ±1 0 0 ±1, [ 0 ]} ±1 ±1 0

Este grupo age em R 2 do modo usual. Seja β = {e 1, e 2 } a base canônica de R 2. Calculando as órbitas de alguns pontos obtemos O(0) = {0} O(e 1 ) = {±e 1, ±e 2 } O(e 1 + e 2 ) = {±e 1 ± e 2 } O(2e 1 + e 2 ) = {±2e 1 ± e 2, ±e 1 ± 2e 2 } Observe que as órbitas tem 1, 4 ou 8 pontos só apareceram divisores de 8, que é a ordem de D 8. Os estabilizadores são respectivamente G e1 = {[ ]} 1 0, G 0 ±1 e1 +e 2 = {[ ] 1 0, 0 1 [ ]} 0 1, G 1 0 2e1 +e 2 = {[ ]} 1 0 0 1 Vamos agora calcular as classes laterais à esquerda do estabilizador H = G e1. As classes são [ ] {[ ] [ ]} 1 0 1 0 1 0 H = H =, 0 1 0 1 0 1 [ ] {[ ] [ ]} 1 0 1 0 1 0 H =, 0 1 0 1 0 1 [ ] {[ ] [ ]} 0 1 0 1 0 1 H =, 1 0 1 0 1 0 [ ] {[ ] [ ]} 0 1 0 1 0 1 H =, 1 0 1 0 1 0 Voltando a olhar a órbita de e 1, você pode verificar que para cada y O(e 1 ) as soluções g das equações g(e 1 ) = y com g G se distribuem pelas classes laterais à esquerda de H = G e1. Por exemplo, as soluções de g(e 1 ) = e 2 são {[ ] [ ]} 0 1 0 1, 1 0 1 0 que são os elementos da classe lateral à esquerda de g = [ 0 1 1 0 Teorema 5.3 (Teorema da órbita e Estabilizador). Sejam G grupo finito, X conjunto, φ : G Bij(X) uma ação de G em X. Seja x X e seja O(x) = {x = x 1, x 2,..., x n }. (i) Escolha t 1,..., t n G tais que φ ti (x) = x i para cada i. Então T = {t 1,..., t n } é uma transversal de G x em G e, para todo g G, φ g (x) = x i se e somente se g t i G x. (ii) G = O(x) G x. Observe que o nome Teorema da órbita e Estabilizador é usado normalmente apenas para se referir ao item (ii). O item (i) entra apenas como parte da prova de (ii), e coloquei-o no enunciado para ressaltar a importância das classes laterais (à esquerda) nesse resultado. Observe também que isso explica o exemplo da ação de D 8 no plano. Entre outras coisas, uma órbita em uma ação de D 8 só pode ter 1, 2, 4 ou 8 pontos, pois o teorema acima diz que o número de elementos na órbita divide a ordem do grupo. Como entra o teorema de Lagrange? O item (i) diz que o número de elementos em O(x) é o número de classes laterais de G x, que é o índice [G : G x ] de G x em G. Por Lagrange, ]. G = [G : G x ] G x = O(x) G x.

6 primeira prova exercicios (9/05 e 14/05), primeira prova (16/05), correção da prova (21/05) 7 homomorfismos(22/05) Definição 7.1. Sejam G = (G, ) e G = (G, #) grupos com as operações e #. Uma função ϕ : G G é um homomorfismo se ϕ(g h) = ϕ(g)#ϕ(h). Proposição 7.1. Seja ϕ : G G um homomorfismo. Então 1. ϕ(e G ) = e G, 2. ϕ(g 1 ) = ϕ(g) 1, 3. ϕ(g n ) = ϕ(g) n para todo n Z. Exemplo 7.1. A exponencial real exp : R R + t e t é um homomorfismo de (R, +) em (R +, ) pois exp(t + s) = e t+s = e t e s = exp(t) exp(s). (R + denota o conjunto dos reais positivos) Sua inversa, o logaritmo, é um homomorfismo de (R +, ) em (R, +). Exemplo 7.2. Seja G = g um grupo cíclico. (1) A aplicação ϕ : Z G a g a é um homomorfismo. (2) Suponha que g tem ordem m. Dado um inteiro N > 0, a aplicação ϕ : Z N G a g a é um homomorfismo se e somente se N é múltiplo de m. Definição 7.2. Seja ϕ : G G um homomorfismo. A imagem de ϕ é e o núcleo de ϕ é Im(ϕ) = {ϕ(g); g G} G N(ϕ) = {g G; ϕ(g) = e} G Proposição 7.2. Seja ϕ : G G um homomorfismo. 1. Im(ϕ) é subgrupo de G. 2. (i) N(ϕ) é subgrupo de G. (ii) ϕ é injetora se e somente se N(ϕ) = {e}. (iii) gn(ϕ) = N(ϕ)g para todo g G; gn(ϕ)g 1 = N(ϕ) para todo g G. 3. Seja h Im(ϕ) e seja g G um elemento tal que h = ϕ(g). Então, para todo k G, ϕ(k) = h k = gn para algum n N(ϕ). Ou seja, o conjunto das soluções da equação ϕ(k) = h é a classe lateral gn(ϕ). obs: se H é subgrupo de G, ghg 1 = {gxg 1 ; x H}.