1. Conceito Capítulo 4 Funções à Várias Variáveis Em muitas situações práticas, o valor de certa quantidade depende dos valores de duas ou mais variáveis. Então, é usual representar estas relações como funções a várias variáveis. Exemplos: 1) Defina a função que calcula a área total de um cilindro circular reto com base de raio e altura. Seja a área da superfície total = + + + Área total=área da base + área do fundo + área lateral O valor da área total depende dos valores escolhidos para e. Chamamos de variável dependente e e de variáveis independentes. Dizemos então que a função é uma função a duas variáveis independentes e escrevemos. é a função que calcula a área total do cilindro, é o valor que a função assume para um determinado par de valores e. Se Domínio de Quais os valores possíveis de serem estabelecidos para e para? Para que a área (variável dependente) exista, o cilindro deve existir, portanto os pares ordenados de variáveis independentes devem ser tais que e sejam números reais com e. { Imagem de Quais os valores possíveis de serem encontrados para (variável dependente) aplicando a função a todos os pares ordenados do domínio? Em todos os pares ordenados do domínio temos que são números reais maiores do que zero. Portanto, será um número real maior do que zero. { Cálculo II- 1
2. Definições Função a várias variáveis Uma função real a variáveis reais é uma relação que a cada termo ordenado ( ) de números reais de um determinado conjunto associa um único número real = Chamamos de variável dependente e nos referimos a por variáveis independentes. Domínio O conjunto formado por todos os termos ordenados para os quais existe em correspondência através da função um único valor é chamado de domínio da função e é denotado por Imagem O conjunto de todos os valores possíveis que podem ser obtidos aplicando a relação aos termos ordenados do domínio de é chamado imagem da função e é denotado por OBS: Se é uma função e então é um número dependente de. Algumas vezes, permite-se falar função ( ) ou função, ainda que incorretamente. Geralmente, uma função,, é representada na forma Geralmente, uma função,, é representada na forma Cálculo II- 2
Exemplos: 1) ) ) ( ) ( ) ) ) ) ( ) 3) Determine o domínio e a imagem da função que calcula o volume de um paralelepípedo. O volume de um paralelepípedo é depende de seu comprimento de sua largura e de sua altura. A função que calcula o volume é dada pela equação: A largura, o comprimento e a altura do paralelepípedo devem ser números reais maiores do que zero, então: { 4) Encontre o domínio das funções abaixo: ) { Conjunto de todos os pontos que estão no interior da região limitada pelo círculo centrado na origem e de raio 1, inclusive. Cálculo II- 3
) { ) { A função é definida em todo de raio igual a 1. exceto na região do interior de uma esfera ) { Cálculo II- 4
3. Mapas de Contorno e Curvas de Nível de Superfícies O Mapa de Contorno é uma forma bastante simples de se obter uma representação de uma superfície usando apenas duas dimensões. Suponha que uma superfície seja interceptada por planos paralelos a, ou seja, planos cortantes. A curva formada pela interseção deste plano com a superfície é chamada de curva de contorno, linha de contorno ou isolinha. Todos os pontos de uma linha de contorno possuem a mesma coordenada ou cota. A equação da curva de contorno ao longo da qual a função assume o valor constante e igual a é dada por: Como a curva de contorno está em um plano paralelo ao plano ela pode ser representada por sua projeção no plano. Desenhando certo número de linhas de contorno da função, cada qual indicada pelo valor da cota a ela associada, obtém-se um mapa de contorno da função. Mapa de Contorno No caso de representar uma grandeza física, as curvas de contorno recebem denominações específicas. Exemplos: Isotermas: mesma temperatura Isobáricas: mesma pressão Equipotenciais: mesmo potencial elétrico ou gravitacional Curvas de nível: mesma elevação ou cota. Um mapa de contorno que representa um conjunto de curvas de nível é chamado mapa topográfico. Cálculo II- 5
Exemplos: 1) Dada a função, determine as curvas de contorno para as elevações indicadas e trace o mapa de contorno. a) Equação das curvas de contorno: 1 Parte superior de um hiperbolóide de duas folhas Cálculo II- 6
2) Considere o mapa de contorno de uma função dado pela figura abaixo. 3 2 6 24 1 28 30 10 0-3 -2-1 0 1 2 3-1 20-2 14 Estime os valores de: a) O ponto de coordenadas está na linha de contorno associada à cota igual a, isto é, o valor da função quando as variáveis independentes assumem os valores é igual a 20. Portanto b) O ponto de coordenadas está na linha de contorno associada à cota igual a. Portanto c) Na direção horizontal ponto encontra-se entre a mesma curva de contorno e nada se pode deduzir. Na direção vertical, o ponto (2,0) encontra-se, aproximadamente, na metade da distância entre as curvas Então: d) Na direção vertical o ponto encontra-se entre a mesma curva de contorno e nada se pode deduzir.na direção horizontal o ponto encontra-se, aproximadamente, na metade da distância entre as curvas de contorno Então: -3 e) O ponto está entre as curvas e Mantendo, observa-se que a função decresce de 6 unidades quando aumenta de 3 unidades e, portanto a função descrece 2 unidades para cada 1 unidade de acréscimo de. Como o ponto está a duas unidades de distância da curva, espera-se que ela descresça de 4 unidades. Então Cálculo II- 7