1º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta indelével azul ou preta, ecepto nas respostas que impliquem a elaboração de construções, desenhos ou outras representações, que podem ser primeiramente elaboradas a lápis, sendo, a seguir, passadas a tinta. Utilize a régua, o compasso, o esquadro, o transferidor e a calculadora gráfica sempre que necessário. Não é permitido o uso de corrector. Em caso de engano, deve riscar, de forma inequívoca, aquilo que pretende que não seja classificado. Escreva de forma legível a numeração dos grupos e/ou dos itens, bem como as respectivas respostas. Para cada item, apresente apenas uma resposta. Se escrever mais do que uma resposta a um mesmo item, apenas é classificada a resposta apresentada em primeiro lugar. Para responder aos itens de escolha múltipla, escreva, na folha de respostas, o número do item; a letra identificativa da alternativa correcta. Não apresente cálculos, nem justificações. Nos itens de resposta aberta com cotação igual ou superior a 15 pontos e que impliquem a produção de um teto, o domínio da comunicação escrita em língua portuguesa representa cerca de 10% da cotação. O formulário está na página e as cotações na página 8 Professora: Rosa Canelas 1 008-009
1º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Professora: Rosa Canelas 008-009
1º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A GRUPO I Os oito itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro alternativas de resposta, das quais só uma está correcta. Se apresentar mais do que uma alternativa, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. 1. No lançamento de um dado cúbico com as faces numeradas de 1 a 6 considere os acontecimentos: A: "ocorre face com número par"; B: "ocorre número maior que ". Qual é o acontecimento contrário de A B? (A) "Não ocorre o número 5". (B) "Ocorre número ímpar ou maior do que ". (C) "Ocorre número par e menor ou igual a ". (D) "Ocorre número ímpar e menor ou igual a ".. Numa moeda imperfeita de um euro a probabilidade de sair face europeia é igual a. Lançou-se duas vezes esta moeda. Seja X a variável aleatória o número de vezes que sai a face europeia. Qual é a distribuição de probabilidades da variável X? (A) (B) i 0 1 i 0 1 P(X= i ) (C) 1 1 P(X= i ) (D) 1 1 i 0 1 i 0 1 P(X= i ) 1 1 P(X= i ) 1 1. C C é igual a: 008 007 01 01 008 007 007 008 (A) C 00 (B) C 01 (C) C 00 (D) C 01 1. Sabe-se que logk =. Então, pode concluir-se que: Professora: Rosa Canelas 008-009
1º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A (A) k = (B) k = (C) k = (D) 1 k = 5. No referencial da figura está parte da representação gráfica de uma função f. Em relação à função f sabe-se que: O domínio é \{ } O gráfico admite como assímptotas as rectas = e y = 1. Considere a sucessão ( ) n Indique o valor de ( ( n )) n + 1 u tal que un = n+ lim f u. (A) + (B) (C) (D) 1 6. No referencial da figura está representada a função f, derivada da função f. Sabe-se que: D f = f( 1) = f ( ) = a+ b; a,b Qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) f( 0) = (B) ( ) ( ) (C) A equação f( ) = é impossível (D) ( ) f f > 0 f > 0, 7. Qual das figuras pode ser a representação geométrica, no plano compleo do conjunto: z : z i 1 arg( z) (A) (B) (C) (D) Professora: Rosa Canelas 008-009
1º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A 9 8. No plano compleo, os afios de z1 = cis 7 e z = cis 1 são dois vértices consecutivos de um polígono regular centrado na origem. O número de lados desse polígono é: (A) (B) (C) 5 (D) 6 GRUPO II Na resposta a itens deste grupo, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproimação, apresente sempre o valor eacto. 1. Considere, em, conjunto dos números compleos z = cis e w = i 1.1. Represente na forma algébrica ( z ) 10. w + i 1.. Represente na forma trigonométrica ( ) 5 1.. Seja t um número compleo, cujo módulo é e um dos argumentos é α. Determine o valor de α,, sabendo que t é solução da equação, em, i= 0. O Bernardo, a Ana, o Carlos e a Diana pretendem tirar uma fotografia em conjunto..1. De quantas maneiras se podem colocar lado a lado, para o fazer?.. De quantas maneiras se podem dispor de modo que a Ana e a Diana fiquem juntas? Professora: Rosa Canelas 5 008-009
1º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A. Um saco contém nove bolas numeradas de 1 a 9. As bolas com número ímpar são vermelhas e as bolas com número par são brancas..1. Numa aula de Matemática a professora colocou o seguinte problema: "Retiram-se, ao acaso, sucessivamente e com reposição quatro bolas. Qual é a probabilidade de haver alternância nas cores das quatro bolas etraídas?" A Joana apresentou a seguinte resolução: Número de casos possíveis: 9 = 6561 Número de casos favoráveis: (BVBV e VBVB) Probabilidade pedida: 10 6561 Concorda com a resolução apresentada pela Joana? Caso não concorde, identifique o erro cometido e corrija-o... Considere a eperiência aleatória que consiste em retirar, ao acaso duas bolas, uma após a outra, sem reposição. Sejam V, B e I os acontecimentos: V: "a primeira bola etraída é vermelha"; B: " a segunda bola etraída é branca"; I: " a soma dos números das bolas etraídas é um número ímpar". Sem utilizar a fórmula da probabilidade condicionada, indique o valor de PI V ( B). Numa pequena composição eplique o raciocínio que efectuou. O valor pedido deve resultar apenas da interpretação de PI V ( B), no conteto da situação descrita. f = + sen Utilize métodos eclusivamente analíticos para resolver as três alíneas seguintes:.1. Estude a função f quanto à eistência de assímptotas não verticais do seu gráfico... Determine uma equação da recta tangente ao gráfico de f, no ponto de abcissa.. Considere a função, de domínio IR +, definida por ( ).. Prove que, no intervalo ] 1, + [, a função f não tem zeros. Recorrendo agora às capacidades gráficas da sua calculadora... Determine o número de zeros da função f, no intervalo 1, +. Eplique como procedeu, apresentando o gráfico, ou gráficos, em que se baseou para dar a resposta. Professora: Rosa Canelas 6 008-009
1º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A 10 5. Num rectângulo de cartão ( 10 80) fazem-se os cortes indicados a sombreado e dobra-se pelo ponteado de modo a obter uma caia com tampa. Os rectângulos F (fundo) e T (tampa) são F T 80 iguais. Calcule de modo que o volume da caia seja máimo. 6. De uma função g de domínio seu gráfico. Mostre que, se a função h, de domínio + +, sabe-se que a recta de equação y = 1 é assímptota do então, a recta de equação y = é assímptota do gráfico de h., é definida por h( ) ( ( )) 1 g =, FIM Professora: Rosa Canelas 7 008-009
1º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A COTAÇÕES GRUPO I... (8 5 pontos)... 0 pontos GRUPO II... 160 pontos 1. 0 pontos 1.1..10 pontos 1...10 pontos 1...10 pontos. 0 pontos.1..10 pontos...10 pontos. 5 pontos.1..10 pontos...15 pontos. 55 pontos.1..15 pontos...10 pontos...15 pontos...15 pontos 5. 15 pontos 6. 15 pontos TOTAL... 00 pontos Professora: Rosa Canelas 8 008-009
1º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A PROPOSTA DE RESOLUÇÃO GRUPO I 1. (A) No lançamento de um dado cúbico com as faces numeradas de 1 a 6 considere os acontecimentos: A: "ocorre face com número par"; A = {,,6} logo A = { 1,,5} B: "ocorre número maior que ". B= {,5,6} A B = { 5} O acontecimento contrário de A B é "Não ocorre o número 5".. (A) Numa moeda imperfeita de um euro a probabilidade de sair face europeia é PE ( ) será PN ( ) 1 = Lançou-se duas vezes esta moeda. Seja X a variável aleatória o número de vezes que sai a face europeia. Sair zero vezes a face europeia é sair duas vezes a face nacional P( 0) Sair uma vez face europeia corresponde a { EN;NE } e ( ) Sair duas vezes face europeia é { EE} e P( ) = = = 1 P = 1 = = e 1 1 1 = = =. (C) C C = C C = C + C 008 007 007 008 007 007 01 01 00 01 01 00 1. (C) Sabe-se que logk =. Então, pode concluir-se que: 1 1 1 1 logk k k k = = = = = k Professora: Rosa Canelas 9 008-009
1º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A 5. (B) No referencial da figura está parte da representação gráfica de uma função f. Em relação à função f sabe-se que: O domínio é \{ } O gráfico admite como assímptotas as rectas = e y = 1. Considere a sucessão ( u n ) tal que n + 1 5 un = un = n+ n+ O valor de lim( f ( un )) lim f ( ) = = 6. (C) No referencial da figura está representada a função f, derivada da função f. Sabe-se que: D f = f( 1) = f ( ) = a+ b; a,b A afirmação verdadeira é: A equação f( ) = é impossível 1 + f + 0 - ( ) f( ) M 7. (A) Das figuras a representação geométrica, no plano compleo do é a figura ao lado. conjunto: z : z i 1 arg( z) 8. (B)No plano compleo, os afios de z1 = cis 7 e 9 z = cis 1 são dois vértices consecutivos de um polígono regular centrado na origem. O número de lados desse polígono é dado por 9 7 = = e como : = 1 7 1 Professora: Rosa Canelas 10 008-009
1º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A GRUPO II 1. Consideremos, em, conjunto dos números compleos z = cis e w = i 1.1. Representemos na forma algébrica ( z ) 10. Passar z à forma algébrica: 1 z = cis = cos isen i 1 i + = + = + Calcular z = 1+ i = + i Passar z à forma trigonométrica: o Cálculo do módulo + i = 9+ = 1 o Cálculo do argumento θ : 5 tgθ= θ º Q θ= 6 Calcular ( z ) 10 e apresentar o resultado na forma algébrica: 10 10 5 5 50 5 5 1 z = 1cis 1 cis 1 c is 8 1 i 6 = = 6 + = + = ( ) = 116 + 116 i w + i 1.. Representemos na forma trigonométrica ( ) 5 5 Calcular na forma algébrica: ( ) ( ) Escrever na forma trigonométrica i w + i = + i + i= i o Calcular o módulo: i = + = 8 o Calcular o argumento θ : 5 5 Resposta: ( ) w + i = cis 5 tgθ= 1 θ º Q θ= 1.. Seja t um número compleo, cujo módulo é e um dos argumentos é α. Determinemos o valor de α,, sabendo que t é solução da equação, em, i= 0. + k Resolver a equação i= 0 = i = cis = cis,k { 0,1} 5 i= 0 = cis = cis Professora: Rosa Canelas 11 008-009
1º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A A resposta é 5 α= porque,. O Bernardo, a Ana, o Carlos e a Diana pretendem tirar uma fotografia em conjunto..1. O número de maneiras em que se podem colocar lado a lado, para o fazer é! =.. O número de maneiras de se disporem de modo que a Ana e a Diana fiquem juntas é = 1 ( de três posições 1, e ) e por as raparigas trocarem de lugar e outro por os rapazes trocarem de lugar.. Um saco contém nove bolas numeradas de 1 a 9. As bolas com número ímpar são vermelhas e as bolas com número par são brancas..1. Numa aula de Matemática a professora colocou o seguinte problema: "Retiram-se, ao acaso, sucessivamente e com reposição quatro bolas. Qual é a probabilidade de haver alternância nas cores das quatro bolas etraídas?" A Joana apresentou a seguinte resolução: Número de casos possíveis: 9 = 6561 Número de casos favoráveis: (BVBV e VBVB) Probabilidade pedida: 10 6561 Não concordamos com a resolução apresentada pela Joana, ela esqueceu que temos sempre 5 bolas vermelhas e brancas em cada tiragem. Assim o número de casos favoráveis é 5 5 = 800 A probabilidade pedida é 800 6561... Consideremos a eperiência aleatória que consiste em retirar, ao acaso duas bolas, uma após a outra, sem reposição. Sejam V, B e I os acontecimentos: V: "a primeira bola etraída é vermelha"; B: " a segunda bola etraída é branca"; I: " a soma dos números das bolas etraídas é um número ímpar". soma 5 bolas com nº ímpar V bolas com nº par B 5 bolas com nº ímpar V ( 5 ) somas pares ( 5 ) bolas com nº par B ( 5 ) ( ) somas ímpares somas pares Professora: Rosa Canelas 1 008-009
1º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A O valor de PI V ( B) é a probabilidade de obter uma soma ímpar sabendo que a primeira bola é vermelha ou a segunda bola é branca. Vamos então trabalhar num universo que contém todas as hipóteses possíveis à etracção sem reposição com ecepção de a primeira bola ser par e a segunda ser ímpar. Temos então o número de casos possíveis é: 5 + 5 + = 5 O número de casos favoráveis a obter uma soma impar é 5 = 0 A probabilidade calculada por utilização da Lei de Laplace é igual ao quociente entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis num espaço de resultados 0 5 equiprováveis e dá P = =. 5 1. Consideremos a função, de domínio IR +, definida por ( ) f = + sen.1. Estudemos a função f quanto à eistência de assímptotas não verticais do seu gráfico: + sen sen m lim lim 1 = = + 1 1 0 1 + = + = + b = lim + sen lim sen 0 + = = + y = é a equação da única assímptota não vertical do gráfico de f... A equação da recta tangente ao gráfico de f, no ponto de abcissa é a recta de equação y = m + b, onde m f ( ) tangência. f ( ) = 1 cos f ( ) = 1 cos = 1 = e b se calcula a partir das coordenadas do ponto de f( ) = + sen = y = + b y() = = + b b= 1 A equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa é y = +1... Provemos que, no intervalo ] 1, + [, a função f não tem zeros. 1 > 1 0< < 1 0< < 0< sen < 1 Professora: Rosa Canelas 1 008-009
1º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Então >0 e sen > 0 logo f é a soma de dois termos positivos e portanto positiva em ] 1, + [ pelo que f não tem zeros nesse intervalo. Também podíamos resolver a equação + sen = 0 sen = e concluir que como > 1 < 1 e sen não pode tomar valores menores que -1, a equação é impossível, pelo que f não tem zeros nesse intervalo... Para determinar o número de zeros da função f, no intervalo 1, + começo por representar a função no intervalo 1,1,uma vez que já provámos não eistirem zeros em ] 1, + [, concluímos que há zeros pois já sabemos que f não tem zeros quando > 1. 10 5. Num rectângulo de cartão ( 10 80) fazem-se os cortes indicados a sombreado e dobra-se pelo ponteado de modo a obter uma caia com tampa. Os rectângulos F (fundo) e T (tampa) são F T 80 iguais. Da observação da figura podemos concluir que as dimensões da caia são: 80 10 = 60 E a altura é O volume é V = ( 60 )( 80 ) V = 800 00 + Calculemos a derivada de V: V = 800 00 + 6 Professora: Rosa Canelas 1 008-009
1º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Calculemos os zeros da derivada: 00 ± 0000 8800 V = 0 800 00 + 6 = 0 00 + 00 = 0 = 6 00 0 7 100 0 7 = ± = ± 6 100 0 7 Como só pode tomar valores entre zero e 0 só nos serve a solução. 0 100 0 7 0 V + 0 - V M Então a resposta é 100 0 7 = ou seja 15,7 6. De uma função g de domínio seu gráfico e então por h( ) ( ( )) + ( ) +, sabe-se que a recta de equação y = 1 é assímptota do g lim =. Mostremos que, se a função h, de domínio +, é definida 1 g =, então, a recta de equação y = é assímptota do gráfico de h, calculando ( ) ( ( )) 1 ( ) 1 g g lim h = lim = lim lim 0 + + + = = + gráfico de h tem uma assímptota horizontal de equação y =. o que prova que o Professora: Rosa Canelas 15 008-009