USO DE DEMONSTRAÇÃO NA EDUCAÇÃO GEOMÉTRICA NO ENSINO FUNDAMENTAL Cecília Gilene Tenório de Almeida Caramés Rede Pública Estadual da Bahia Resumo: Nosso objetivo nesse estudo é tecer algumas considerações sobre as recomendações dos documentos oficiais sobre o uso de demonstrações no ensino de geometria, bem como discutir alguns trabalhos de professores e pesquisadores, sobre o uso dessas demonstrações no Ensino Fundamental e posteriormente apresentar os resultados da análise da pesquisa que realizamos junto a alguns professores de matemática, colegas da escola em que trabalhamos e de outras escolas do município de Salvador e de cidades do interior da Bahia. A pesquisa foi realizada através da aplicação de instrumentos como questionários e entrevistas. Palavra-chave: Demonstração em Matemática; Prática docente; Ensino de geometria. 1. INTRODUÇÃO Demonstração é um tema bastante estudado pelo mundo acadêmico. Muitos pesquisadores discutem sobre a validade de trabalhar demonstração no Ensino Fundamental. No meio de tantos artigos, projetos e discussões sobre esse fato estão os professores do ensino básico, que muitas vezes não possuem o preparo necessário para trabalhar com matemática, menos ainda com demonstrações e provas. Aqueles que têm a formação na área de matemática, na sua maioria não se sentem preparados para trabalhar com demonstrações e quando se trata de geometria a dificuldade fica maior. Muito se pode dizer sobre o que se entende por demonstração. Não pretendemos, neste estudo entrar nesse mérito, vamos apenas tecer algumas análises sobre o que tem sido recomendado para o uso de demonstrações na educação Geométrica no Ensino Fundamental e considerar o que os professores de matemática do ensino básico pensam sobre isso. Segundo Elon Lages Lima (RPM, 1999), Um dos maiores méritos educativos de Matemática é o de ensinar aos jovens que toda conclusão se baseia em hipóteses, as quais precisam ser aceitas, admitidas para que a afirmação final seja válida. O processo de passar, mediante argumentos logicamente convincentes, das hipóteses para a conclusão, chama-se demonstração e seu uso sistemático na apresentação de uma teoria constitui o método dedutivo. (p.4) 1
Ao considerarmos os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN, encontramos a seguinte recomendação: É desejável que no terceiro ciclo se trabalhe para desenvolver a argumentação, de modo que os alunos não se satisfaçam apenas com a produção de respostas a afirmações, mas assumam a atitude de sempre tentar justificá-las. Tendo por base esse trabalho, pode-se avançar no quarto ciclo para que o aluno reconheça a importância das demonstrações em Matemática, compreendendo provas de alguns teoremas. (p. 70). No quarto ciclo, os problemas de Geometria vão fazer com que o aluno tenha seus primeiros contatos com a necessidade e as exigências estabelecidas por um raciocínio dedutivo. Isso não significa fazer um estudo absolutamente formal e axiomático da Geometria. (p. 86) Loureiro e Bastos em Demonstração uma questão polêmica, cita uma afirmação de Hanna, G. (Alguns aspectos pedagógicos da prova. Interchange, 1990), onde a autora argumenta que os educadores deveriam preocupar-se essencialmente com a demonstração como argumentação que deve ao mesmo tempo validar e explicar. Afirma que a demonstração como explicação, sempre é a preferível para apresentar aos alunos. Uma demonstração que prova e uma demonstração que explica, são ambas as demonstrações legítimas. A diferença está em que uma demonstração que prova só mostra que um teorema é verdadeiro, enquanto uma demonstração que explica mostra também porque é que um teorema é verdadeiro. Uma demonstração que prova pode apoiar-se só em regras de sintaxe enquanto que uma demonstração que explica deve utilizar raciocínios baseados em idéias matemáticas. (HANNA, 1990, p.6) Em Portugal a recomendação dos documentos oficiais diz que: A aprendizagem matemática dos estudantes passa por fases intuitivas e informais, mas, desde muito cedo, mesmo estas não podem deixar de ser rigorosas ou desprovidas de demonstrações corretas, bem como não podem passar sem um mínimo de linguagem simbólica. Na aprendizagem da matemática elementar do ensino básico são absolutamente necessárias as demonstrações matemáticas, mas estas não podem confundir-se com demonstrações formalizadas (no sentido de deduções formais em teorias formais). [DES 2001, p.19] Encontramos também autores que não concordam que as demonstrações possam ajudar na construção do conhecimento, entre eles Wheeler, afirma que: 2
Penso que é óbvio que a demonstração será sempre difícil na sala de aula de matemática, porque não aparece aí por nenhuma razão aparente que não seja a de imitar a atividade dos matemáticos. Nunca ninguém parou para pensar se é apropriada para a sala de aula ou, em caso afirmativo, que tipo de demonstrações seriam adequadas. Não admira que não seja muito bem ensinado, e que todos os alunos tenham dificuldade em apanhá-lo. A maior parte dos professores não está consciente de todas as exigências cognitivas da demonstração. (Mocrosky& Baumann&Mondini apud WHEELER, 1990, p. 2-3- 4) No livro: A formação matemática do professor: licenciatura e prática docente escolar, MOREIRA, P. C. e DAVID, M. M. M. S., os autores diferenciam Matemática Escolar de Matemática Acadêmica e afirmam que, para a Matemática Escolar, não faz nem sentido argumentar: qualquer tipo de argumentação teria que pressupor a aceitação, sem provas, de afirmações mais complexas e menos evidentes do que a própria tese a ser provada. No entanto, para a Matemática Acadêmica, a demonstração faz sentido: entre outros objetivos possíveis, ela explicita para o futuro matemático em processo de formação essa espécie de suspensão de certeza a que devem ser submetidos todos os enunciados até um como esse, impensável de se colocar em dúvida dentro da cultura escolar para que se processe rigorosamente esse tipo de organização lógica da Matemática Científica, que é a axiomática. (2003, pág. 24) Como foi possível notar não existe consenso por parte dos pesquisadores de como se trabalhar a demonstração em sala de aula. O professor é quem decide o que deve ser feito e como esses estudos apontam, uma boa parte dos professores não possui preparo suficiente para desenvolver tal atividade e portanto considera que o melhor é não fazer. Mesmo que nos PCN exista uma recomendação para que as deduções, provas e demonstrações comecem a acontecer a partir do 8º ano para alguns resultados, os professores não consideram esse fato. Elon Lages afirmou que: A maioria dos alunos sai das escolas brasileiras sem nunca terem visto uma demonstração e o ensino de geometria realizado pelas escolas enfatiza as relações métricas, não fazem nenhuma construção com régua e compasso e concentra todo o estudo em manipulações numéricas. (RPM 41 3º quadrimestre) (1999, p. 5) 3
Acredito que essa realidade não mudou muito, pois na revista do professor de matemática - RPM 71(2010, p. 3, 1º Quadrimestre), Geraldo Ávila, afirma que o ensino de Geometria está muito diferente e os livros atuais abandonaram as demonstrações limitando-se a enunciar teoremas e definições, apresentando fórmulas sem a menor justificativa. É necessário reconhecer a importância da demonstração, por ela representar o rigor matemático construído ao longo da história. O aluno precisa conhecer as bases teóricas que fundamentam as fórmulas, e saber que elas não foram tiradas de uma caixinha mágica, mas devemos ter clareza da necessidade, no Ensino Fundamental, de observar os requisitos didáticos não deixando prevalecer os métodos dedutivos. 2. ANÁLISE DOS RESULTADOS DA PESQUISA COM OS PROFESSORES Diante dos resultados discutidos a partir da revisão de literatura realizada sobre o tema, achamos oportuno realizar um levantamento de opiniões juntos aos professores de matemática que atuavam na nossa escola e posteriormente verificamos ser necessário ampliar esse levantamento, envolvendo outros colegas professores que ensinavam matemática na educação básica, particularmente no ensino fundamental no nosso Estado, aplicando alguns instrumentos como o uso dos questionários e entrevistas para a coleta de dados. Participaram da coleta, trinta e quatro professores, entre eles, oito foram entrevistados presencialmente e os demais responderam um questionário através de e-mail. Na realidade, queríamos conhecer o pensamento dos professores de matemática na Bahia sobre o uso de demonstrações na educação geométrica no ensino fundamental. Será que os resultados encontrados nos estudos analisados neste trabalho seriam semelhantes aos nossos? Haveria na realidade de sala de aula desses professores as mesmas dificuldades e problemas apontados na revisão de literatura? Analisando as respostas dadas pelos professores aos nossos questionamentos sobre a ocorrência de demonstrações em geometria no Ensino Fundamental, foi possível perceber que a maioria dos professores não trabalha com demonstrações, segundo esses professores os alunos não estão em condições de entender as demonstrações. Alguns deles inclusive, 4
disseram que os alunos não estão entendendo outras coisas muito menos demonstração. Muitos consideram ser importante desenvolver o raciocínio dedutivo, para que o aluno possa aprender a argumentar, mas acham difícil para o aluno lidar com demonstrações. Este ponto de vista é bem parecido com o Wheeler (1990) citado anteriormente. Outros professores afirmaram que devem trabalhar apenas com demonstrações muito simples e acreditam que o aluno deve ter conhecimento da validade de certas propriedades, mas sem abusar de demonstrações muito formais. Esses estão mais próximos do que está sendo recomendado pelos PCN. A maioria afirmou que existem muitas dificuldades para se trabalhar com geometria, a começar pelas escolas que não estão equipadas com materiais didáticos para que se realize um bom trabalho. Apontam que muitos professores estão preparados para utilizar novas tecnologias, trabalhos de manipulação e construção de materiais, mas não encontram respaldo para colocar em prática o que sabem. Segundo eles as escolas não possuem laboratório de Matemática, por exemplo,. Consideram também a existência de alunos que chegam ao 6º ano sem nenhuma informação dos conceitos geométricos, muitos inclusive com deficiências na escrita e na leitura e isso dificulta bastante o trabalho. Alguns professores afirmaram não possuir o conhecimento necessário para trabalhar com demonstração, devido a sua formação bastante deficitária no que diz respeito à geometria. Um fator que foi queixa geral dos professores foi à falta de tempo, por esse motivo, procuram trabalhar mais com a geometria calculista que trabalha logo com as fórmulas sem a preocupação com os porquês indo direto aos cálculos. Quanto a esse fato, podemos concordar com Elon Lages de Lima (1999) quando diz que existem alunos que saem das escolas sem nunca terem visto uma demonstração. Foi possível observar nas respostas dos professores o fato de o livro didático ser utilizado como um guia para decidir qual assunto deve ser trabalhado e isso já havia sido identificado em 1995 por uma pesquisa de Lorenzato, que apontou como uma das causas 5
da ausência geométrica nas escolas. O livro didático é de grande importância para que o aluno desempenhe bem a atividade de ensino e aprendizagem. Naquela época, a geometria só era trabalhada no final dos livros. Hoje, os professores dispõem de livros didáticos com uma melhor divisão, graças à avaliação a que são submetidos pelo Ministério da Educação e Cultura MEC. Esta avaliação é feita por uma comissão especifica que verifica a qualidade dos livros didáticos, contribuindo portanto para que os autores se atentem com relação a aspectos importantes apontados pelos especialistas. Em alguns desses livros a geometria é contemplada desde as séries iniciais do Ensino Fundamental, trabalhada na sua forma mais simples, até chegar no 8º e 9º anos onde se começa a realizar algumas poucas demonstrações, de forma bem acessível para o aluno. Mas de acordo com o Guia de Livros Didático PNLD 2008 em alguns livros, a concentração de conteúdos de geometria está nos livros das séries finais do Ensino fundamental e mesmo assim não podemos esquecer que tudo depende de como se utiliza esse livro. Segundo Ávila (2010), o professor dispõe de um bom livro, mas não o utiliza de maneira mais adequada, ou utiliza o livro apenas para atribuir exercícios e problemas aos seus alunos. Além desse fato existem aqueles que simplesmente não trabalham a Geometria, mesmo que esteja bem trabalhada pelo livro, pois não se sentem em condições de fazê-lo é o que revela o nosso estudo. 3. CONSIDERAÇÕES FINAIS Aconteceram muitas mudanças e avanços nas pesquisas em Educação Matemática no Brasil e no mundo. Em nossos dias a Geometria está cada vez mais presente nos livros didáticos, nas revistas e em vídeos educativos e neles podemos encontrar uma bibliografia específica, que auxilia o professor a trabalhar a Geometria nos diversos ciclos. Na área tecnológica foram desenvolvidos softwares que trazem uma grande contribuição para a sala de aula, alguns gratuitos que podem ser utilizados pelo professor da rede pública, mas muitos desses professores são oriundos de uma formação inicial com 6
vários problemas, entre eles a falta de preparo para lidar com esses instrumentos e com os vários recursos didáticos disponíveis até mesmo, no seu cotidiano. Os recursos tecnológicos são colocados nas escolas, mas sem preparo prévio, o professor não pode fazer uso destes recursos tão atrativos para os nossos jovens. Trata-se de um material muito caro e de grande valia para melhorar o aprendizado do aluno de forma lúdica e objetiva. O que vemos, entretanto, é este material sem nenhuma utilização, entregue ao abandono. A jornada de trabalho do professor é estafante, o tempo curto para investir em formação, pesquisa e até mesmo para criar atividades interessantes. A matemática trabalhada no Ensino Fundamental e Médio deve ter como objetivo ajudar a formar um cidadão crítico e participativo, mas também precisa apresentá-la como uma ciência. De acordo com Veloso (1998), A prática freqüente pelos alunos da argumentação, da justificação das próprias afirmações e da procura de uma explicação em defesa das conjecturas que formulam, no decorrer das atividades de investigação, constituem modos válidos para melhorar o seu discurso matemático e as formas de exprimir os seus raciocínios. (p. 360) Foi possível perceber que, a maioria dos nossos alunos não tem essa prática, quase não veem demonstrações. Sua aprendizagem se resume a conhecer fórmulas resolver exercícios, sem justificar sua resposta. A ênfase é dada a cálculos e aplicação de regras, que para os alunos não tem nenhum significado. Apesar desse estudo ter sido realizado de forma empírica e seus dados terem sidos catalogados de forma subjetiva, a idéia central das afirmações dos entrevistados, deixou transparecer que os avanços na área do ensino de Geometria não foram suficientes para ajudar a modificar a realidade do seu ensino. Certamente será preciso mais investigação e mais estudos para tentar modificar o quadro atual do Ensino de Geometria. A maior interação entre aqueles que estão nas salas de aula do ensino básico e os que estão pesquisando, poderá ajudar a resolver ou pelo menos minimizar esse problema. O primeiro passo já está sendo dado nessa direção e isso se verifica pela minha presença aqui nessa mesa redonda. É preciso considerar que o ponto 7
de partida para a solução do problema é a ligação entre a base (ensino básico) e o vértice (pesquisadores) dessa pirâmide, geometricamente falando. REFERÊNCIAS ÁVILA, Geraldo Reflexões Sobre o Ensino de Geometria, RPM 1º quadrimestre 2010 BRASIL, Parâmetros curriculares nacionais: Matemática, Brasília: MEC / SEF, 1998. COSTA, Cecília & PEDRO TADEU A demonstração nos programas de Matemática: Uma análise transversal, disponível em: www.spce.org.pt/sem/montegordo. Acesso 06 de abril de 2010. LAGES, Elon Lima, Conceituação, Manipulação e Aplicações, As três componentes do ensino de matemática, PRM 3º quadrimestre, 1999. LOUREIRO & BASTOS, Demonstração uma questão polêmica, 2002. MOCROSKY, Luciane Ferreira; BAUMANN, Ana Paula P.; MONDINI Fabiane, Um ensaio sobre demonstrações geométricas na Educação Básica, I Simpósio Nacional de Ensino de Ciência e Tecnologia 2009 ISBN, p. 1177. Disponível em: MOREIRA, P. C. e DAVID, M. M. M. S. A formação matemática do professor: licenciatura e prática docente escolar, disponível em: www.scielo.br/pdf. Acesso 8 de abril 2010. VELOSO, E. ( 1998) Geometria: Temas actuais. Lisboa: IIE ANEXOS INVESTIGANDO O ENSINO DE GEOMETRIA Caro colega, o objetivo desse questionário é para coletar algumas informações acerca do ensino de geometria no ensino fundamental, no tocante ao uso de demonstração. Esperamos contar com sua ajuda. Questionário 1) Em que nível de ensino você trabalha? 8
Fundamental Médio Superior 2) Sua formação em geometria para a prática em sala de aula é: Suficiente Insuficiente Comente sua resposta. 3) Você utiliza os livros didáticos nas aulas de geometria? Sim Não 4) Para você, qual a importância do livro didático nas aulas de geometria? 5) Você considera que existem dificuldades para se trabalhar com Geometria no ensino básico? Cite pelo menos duas. 6) Você trabalha com demonstrações em suas aulas de geometria? 7) Você considera necessário fazer demonstrações em Geometria no Ensino Fundamental? Por quê? 8) Você concorda com as recomendações dos PCN sobre o uso de demonstrações? Justifique. 9