Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo

Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo Medidas de Posição e Dispersão Professora Renata Alcarde Piracicaba fevereiro 2014 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 1 / 48

Medidas de Posição Medida de posição Medida de posição é o valor ao redor do qual os dados se distribuem. Principais: média; mediana; moda. Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 2 / 48

Média Aritmética Média aritmética: A média aritmética é dada por: n i=1 ˆµ = x = x i, n em que n corresponde ao tamanho da amostra e x i ao i-ésimo valor observado. Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 3 / 48

Média Aritmética Exemplo: Com o objetivo de avaliar a produção de leite, em kg, foram observadas as produções médias diárias de 10 produtores rurais atendidos por um plano governamental, cujos valores são apresentados a seguir: 9,80 9,90 9,95 10,00 8,78 9,90 9,34 10,34 11,75 15,00 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 4 / 48

Média Aritmética 9,80 9,90 9,95 10,00 8,78 9,90 9,34 10,34 11,75 15,00 A média observada de produção de leite é dada por: x = 9, 80 + 9, 90 +... + 15, 00 10 = 104, 76 10 = 10, 48kg. Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 5 / 48

Média Aritmética Observações: Média sem considerarmos o maior valor observado (15,00): x = 9, 80 + 9, 90 +... + 11, 75 9 = 89, 76 9 = 9, 97 kg. Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 6 / 48

Média Aritmética Observações: Média sem considerarmos o maior valor observado (15,00): x = 9, 80 + 9, 90 +... + 11, 75 9 = 89, 76 9 = 9, 97 kg. A média é bastante afetada por valores extremos; não deve ser utilizada quando a distribuição dos dados é assimétrica. Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 6 / 48

Média Dados agrupados e tabelas de frequências X i f i x 1 f 1 x 2 f 2. x k Total. f k n n = k i=1 ˆµ = x = f 1x 1 + f 2 x 2 +... + f k x k f 1 + f 2 +... + f k. f i Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 7 / 48

Média Exemplo: Em um estudo realizado para avaliar o número de insetos capturados durante um determinado período, foram utilizadas 50 armadilhas. Os resultados são apresentados na Tabela a seguir. Tabela 2: Distribuição de frequências para o conjunto de dados de insetos capturados X i f i 0 1 1 8 2 13 3 20 4 4 5 4 Total 50 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 8 / 48

Média # médio de insetos capturados por armadilha: x = 1 0 + 8 1 +... + 4 5 50 0 + 8 + 26 + 60 + 16 + 20 = 50 = 130 50 = 2, 6 insetos/armadilha. Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 9 / 48

Média Dados agrupados em tabelas de classes de frequências X i m i f i c 1 c 2 m 1 f 1 c 2 c 3 m 2 f 2... c k c k+1 m k f k Total n m i = c i + c i+1 2 k i=1 ˆµ = x = m if i k i=1 f. i Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 10 / 48

Média Exemplo: A distribuição de frequências do do peso dos colmos de cana-de-açúcar, considerando-se uma amostra de tamanho 50, é apresentada a seguir: Tabela 3: distribuição de frequências do peso dos colmos de cana-de-açúcar X i m i f i 10,46 11,55 11,01 2 11,55 12,64 12,10 7 12,64 13,73 13,19 4 13,73 14,82 14,28 8 14,82 15,91 15,37 7 15,91 17,00 16,46 10 17,00 18,09 17,55 7 18,09 19,18 18,64 5 Total 50 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 11 / 48

Média Exemplo: A distribuição de frequências do do peso dos colmos de cana-de-açúcar, considerando-se uma amostra de tamanho 50, é apresentada a seguir: x = 11, 01 2 +... + 18, 64 5 50 = 761, 71 50 = 15, 2342 g. Tabela 3: distribuição de frequências do peso dos colmos de cana-de-açúcar X i m i f i 10,46 11,55 11,01 2 11,55 12,64 12,10 7 12,64 13,73 13,19 4 13,73 14,82 14,28 8 14,82 15,91 15,37 7 15,91 17,00 16,46 10 17,00 18,09 17,55 7 18,09 19,18 18,64 5 Total 50 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 11 / 48

Mediana Mediana A mediana é o valor que ocupa a posição central em um conjunto de dados ordenado em ordem crescente (Rol). Logo, Md = { x[ n+1 2 ], se n for ímpar x [n/2] +x [n/2+1] 2, se n for par Observação: A Mediana é pouco afetada por valores extremos ou discrepantes! Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 12 / 48

Mediana Exemplo: Para os valores observados de produção média diária de leite, tem-se o seguinte rol: 8,78 9,34 9,80 9,90 9,90 9,95 10,00 10,34 11,75 15,00 Como n é par... Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 13 / 48

Mediana Exemplo: Para os valores observados de produção média diária de leite, tem-se o seguinte rol: 8,78 9,34 9,80 9,90 9,90 9,95 10,00 10,34 11,75 15,00 Como n é par... Md = x [5] + x [6] 2 = 9, 925kg = 9, 90 + 9, 95 2 = 19, 85 2 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 13 / 48

Mediana Dados agrupados em tabelas de frequências Para o exemplo realizado com insetos, para o qual foi observado o número insetos capturados por armadilha. Tabela 3: Distribuição de frequências para o conjunto de dados de insetos capturados X i f i f i a i a i 0 1 0,02 1 0,02 1 8 0,16 9 0,18 2 13 0,26 22 0,44 3 20 0,40 42 0,84 4 4 0,08 46 0,92 5 4 0,08 50 1,00 Total 50 Observar a i 0, 50 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 14 / 48

Mediana Dados agrupados em tabelas de frequências Para o exemplo realizado com insetos, para o qual foi observado o número insetos capturados por armadilha. Tabela 3: Distribuição de frequências para o conjunto de dados de insetos capturados X i f i f i a i a i 0 1 0,02 1 0,02 1 8 0,16 9 0,18 2 13 0,26 22 0,44 3 20 0,40 42 0,84 4 4 0,08 46 0,92 5 4 0,08 50 1,00 Total 50 Observar a i 0, 50 Md = 3 insetos Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 14 / 48

Mediana Dados agrupados em tabelas de classes de frequências Para o exemplo referente ao peso de colmos de cana-de-açúcar, tem-se: Tabela 3: distribuição de frequências do peso dos colmos X i m i f i f i a i a i 10,46 11,55 11,01 2 0,04 2 0,04 11,55 12,64 12,10 7 0,14 9 0,18 12,64 13,73 13,19 4 0,08 13 0,26 13,73 14,82 14,28 8 0,16 21 0,42 14,82 15,91 15,37 7 0,14 28 0,56 15,91 17,00 16,46 10 0,20 38 0,76 17,00 18,09 17,55 7 0,14 45 0,90 18,09 19,18 18,64 5 0,10 50 1,00 Total 50 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 15 / 48

Mediana { 15, 91 14, 82 0, 14 Md 14, 82 0, 08 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 16 / 48

Mediana { 15, 91 14, 82 0, 14 Md 14, 82 0, 08 Md = 15, 91 14, 82 0, 08+14, 82 0, 14 = 15, 44 g. Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 16 / 48

Quartis e Percentis Quartil: generalização da mediana. Quartil 4 partes Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 17 / 48

Quartis e Percentis Quartil: generalização da mediana. Quartil 4 partes Percentil de ordem 100p P 100p = { x[np] +x [np+1] 2, se np for inteiro x, [int(np)+1] se np for não inteiro Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 17 / 48

Quartis e Percentis Exemplo: Para os valores observados de produção média diária de leite, tem-se: 8,78 9,34 9,80 9,90 9,90 9,95 10,00 10,34 11,75 15,00 n = 10 Obter P 75 = Q 3 e P 20 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 18 / 48

Quartis e Percentis Exemplo: Para os valores observados de produção média diária de leite, tem-se: P 75 np = 10 0, 75 = 7, 5 P 75 = Q 3 = x [int(7,5)+1] = x [7+1] = x [8] = 10, 34kg 8,78 9,34 9,80 9,90 9,90 9,95 10,00 10,34 11,75 15,00 n = 10 Obter P 75 = Q 3 e P 20 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 18 / 48

Quartis e Percentis Exemplo: Para os valores observados de produção média diária de leite, tem-se: P 75 np = 10 0, 75 = 7, 5 P 75 = Q 3 = x [int(7,5)+1] = x [7+1] = x [8] = 10, 34kg 8,78 9,34 9,80 9,90 9,90 9,95 10,00 10,34 11,75 15,00 n = 10 Obter P 75 = Q 3 e P 20 P 20 np = 10 0, 20 = 2 P 20 = x [2]+x [3] 2 = 9,34+9,80 2 = 9, 57kg Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 18 / 48

Quartis e Percentis Dados agrupados em tabelas frequências Tabela 3: Distribuição de frequências para o conjunto de dados de insetos capturados X i f i f i a i a i 0 1 0,02 1 0,02 1 8 0,16 9 0,18 2 13 0,26 22 0,44 3 20 0,40 42 0,84 4 4 0,08 46 0,92 5 4 0,08 50 1,00 Total 50 Obter P 25 = Q 1, P 90 e P 97,5 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 19 / 48

Quartis e Percentis Dados agrupados em tabelas frequências Tabela 3: Distribuição de frequências para o conjunto de dados de insetos capturados X i f i f i a i a i 0 1 0,02 1 0,02 1 8 0,16 9 0,18 2 13 0,26 22 0,44 3 20 0,40 42 0,84 4 4 0,08 46 0,92 5 4 0,08 50 1,00 Total 50 Obter P 25 = Q 1, P 90 e P 97,5 Observar a i 0, 25 Observar a i 0, 90 Observar a i 0, 975 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 19 / 48

Quartis e Percentis Dados agrupados em tabelas frequências Tabela 3: Distribuição de frequências para o conjunto de dados de insetos capturados X i f i f i a i a i 0 1 0,02 1 0,02 1 8 0,16 9 0,18 2 13 0,26 22 0,44 3 20 0,40 42 0,84 4 4 0,08 46 0,92 5 4 0,08 50 1,00 Total 50 Obter P 25 = Q 1, P 90 e P 97,5 Observar a i 0, 25 P 25 = Q 1 = 2 Observar a i 0, 90 Observar a i 0, 975 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 19 / 48

Quartis e Percentis Dados agrupados em tabelas frequências Tabela 3: Distribuição de frequências para o conjunto de dados de insetos capturados X i f i f i a i a i 0 1 0,02 1 0,02 1 8 0,16 9 0,18 2 13 0,26 22 0,44 3 20 0,40 42 0,84 4 4 0,08 46 0,92 5 4 0,08 50 1,00 Total 50 Obter P 25 = Q 1, P 90 e P 97,5 Observar a i 0, 25 P 25 = Q 1 = 2 Observar a i 0, 90 P 90 = 4 Observar a i 0, 975 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 19 / 48

Quartis e Percentis Dados agrupados em tabelas frequências Tabela 3: Distribuição de frequências para o conjunto de dados de insetos capturados X i f i f i a i a i 0 1 0,02 1 0,02 1 8 0,16 9 0,18 2 13 0,26 22 0,44 3 20 0,40 42 0,84 4 4 0,08 46 0,92 5 4 0,08 50 1,00 Total 50 Obter P 25 = Q 1, P 90 e P 97,5 Observar a i 0, 25 P 25 = Q 1 = 2 Observar a i 0, 90 P 90 = 4 Observar a i 0, 975 P 97,5 = 5 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 19 / 48

Quartis e Percentis Dados agrupados em tabelas de classes de frequências Para o exemplo referente ao peso de colmos de cana-de-açúcar, tem-se: Tabela 3: distribuição de frequências do peso dos colmos de cana-de-açúcar X i m i f i f i a i a i 10,46 11,55 11,01 2 0,04 2 0,04 11,55 12,64 12,10 7 0,14 9 0,18 12,64 13,73 13,19 4 0,08 13 0,26 13,73 14,82 14,28 8 0,16 21 0,42 14,82 15,91 15,37 7 0,14 28 0,56 15,91 17,00 16,46 10 0,20 38 0,76 17,00 18,09 17,55 7 0,14 45 0,90 18,09 19,18 18,64 5 0,10 50 1,00 Total 50 Obter P 20 e P 75 = Q 3 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 20 / 48

Quartis e Percentis P 20 classe: 12, 64 13, 73 P 75 classe: 15, 91 17, 00 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 21 / 48

Quartis e Percentis P 20 classe: 12, 64 13, 73 { 13, 73 12, 64 0, 08 P 20 12, 64 0, 02 P 20 = 13,73 12,64 0,08 0, 02 + 12, 64 P 20 = 12, 91g. P 75 classe: 15, 91 17, 00 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 21 / 48

Quartis e Percentis P 20 classe: 12, 64 13, 73 { 13, 73 12, 64 0, 08 P 20 12, 64 0, 02 P 20 = 13,73 12,64 0,08 0, 02 + 12, 64 P 20 = 12, 91g. P 75 classe: 15, 91 17, 00 { 17, 00 15, 91 0, 20 P 75 15, 91 0, 19 P 75 = 17,00 15,91 0,20 0, 19 + 15, 91 P 20 = 16, 95g. Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 21 / 48

Moda Moda: corresponde ao valor observado de maior frequência Também pode ser obtida para variáveis qualitativas Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 22 / 48

Moda Moda: corresponde ao valor observado de maior frequência Também pode ser obtida para variáveis qualitativas Exemplo: Para os valores observados de produção média diária de leite, tem-se: 8,78 9,34 9,80 9,90 9,90 9,95 10,00 10,34 11,75 15,00 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 22 / 48

Moda Moda: corresponde ao valor observado de maior frequência Também pode ser obtida para variáveis qualitativas Exemplo: Para os valores observados de produção média diária de leite, tem-se: 8,78 9,34 9,80 9,90 9,90 9,95 10,00 10,34 11,75 15,00 Mo = 9, 90 kg Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 22 / 48

Moda Dados agrupados em tabelas de frequências Para o exemplo realizado com insetos Tabela 3: Distribuição de frequências para o conjunto de dados de insetos capturados X i f i f i a i a i 0 1 0,02 1 0,02 1 8 0,16 9 0,18 2 13 0,26 22 0,44 3 20 0,40 42 0,84 4 4 0,08 46 0,92 5 4 0,08 50 1,00 Total 50 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 23 / 48

Moda Dados agrupados em tabelas de frequências Para o exemplo realizado com insetos Tabela 3: Distribuição de frequências para o conjunto de dados de insetos capturados X i f i f i a i a i 0 1 0,02 1 0,02 1 8 0,16 9 0,18 2 13 0,26 22 0,44 3 20 0,40 42 0,84 4 4 0,08 46 0,92 5 4 0,08 50 1,00 Total 50 Mo = 3 insetos Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 23 / 48

Moda Dados agrupados em tabelas de classes de frequências Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 24 / 48

Moda Dados agrupados em tabelas de classes de frequências Moda bruta: ponto médio da classe com maior frequência Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 24 / 48

Moda Dados agrupados em tabelas de classes de frequências Moda bruta: ponto médio da classe com maior frequência Moda: método de Czuber semelhança de triângulos Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 24 / 48

Moda Para o exemplo referente ao peso dos colmos de cana-de-açúcar, tem-se: Tabela 3: distribuição de frequências do peso dos colmos de cana-de-açúcar X i m i f i f i a i a i 10,46 11,55 11,01 2 0,04 2 0,04 11,55 12,64 12,10 7 0,14 9 0,18 12,64 13,73 13,19 4 0,08 13 0,26 13,73 14,82 14,28 8 0,16 21 0,42 14,82 15,91 15,37 7 0,14 28 0,56 15,91 17,00 16,46 10 0,20 38 0,76 17,00 18,09 17,55 7 0,14 45 0,90 18,09 19,18 18,64 5 0,10 50 1,00 Total 50 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 25 / 48

Moda Para o exemplo referente ao peso dos colmos de cana-de-açúcar, tem-se: Tabela 3: distribuição de frequências do peso dos colmos de cana-de-açúcar X i m i f i f i a i a i 10,46 11,55 11,01 2 0,04 2 0,04 11,55 12,64 12,10 7 0,14 9 0,18 12,64 13,73 13,19 4 0,08 13 0,26 13,73 14,82 14,28 8 0,16 21 0,42 14,82 15,91 15,37 7 0,14 28 0,56 15,91 17,00 16,46 10 0,20 38 0,76 17,00 18,09 17,55 7 0,14 45 0,90 18,09 19,18 18,64 5 0,10 50 1,00 Total 50 Moda bruta Mo = 17, 00 + 15, 91 2 = 16, 46 g Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 25 / 48

Moda { 10 7 10 7 Mo 15, 91 17 Mo 17, 00 Mo = Mo 15, 91 Mo = 16, 46g Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 26 / 48

Moda Supondo o seguinte histograma para uma variável X qualquer. Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 27 / 48

Moda Supondo o seguinte histograma para uma variável X qualquer. Classe correspondente à moda: 80 90 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 27 / 48

Moda Supondo o seguinte histograma para uma variável X qualquer. Classe correspondente à moda: 80 90 Moda bruta: Mo = 85 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 27 / 48

Moda Supondo o seguinte histograma para uma variável X qualquer. Classe correspondente à moda: 80 90 Moda bruta: Mo = 85 { 40 30 40 20 Mo 90 Mo (40 30)(90 Mo) = (40 20)(Mo 80) Mo = (40 30) 90 + (40 20) 80 (40 30) + (40 20) = 83, 33 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 27 / 48

Medidas de Dispersão Exemplo Foram observadas quatro amostras de duas colheitadeiras de milho, quanto a porcentagem de quebra de sementes, conforme a tabela a seguir: Colheitadeira Amostra A B 1 5 0 2 4 3 3 5 7 4 6 10 média 5 5 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 28 / 48

Medidas de Dispersão As medidas de dispersão são estatísticas descritivas que visam fornecer o grau de variabilidade das observações em relação a um valor central (geralmente a média aritmética). Veremos: Amplitude Amplitude Interquartílica Desvio Médio Variância Desvio Padrão Coeficiente de Variação Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 29 / 48

Amplitude Amplitude A x = max(x) min(x) Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 30 / 48

Amplitude Amplitude A x = max(x) min(x) Exemplo Considerando-se o exemplo de porcentagem de quebra de sementes de milho, temos: Colheitadeira Amplitude A 6-4 = 2 B 10-0 = 10 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 30 / 48

Amplitude Interquartílica A amplitude interquartílica é dada por: AIC = Q 3 Q 1 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 31 / 48

Amplitude Interquartílica A amplitude interquartílica é dada por: AIC = Q 3 Q 1 Exemplo Considerando-se o exemplo de porcentagem de quebra de sementes de milho, temos: Rol: Colheitadeira A 4 5 5 6 B 0 3 7 10 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 31 / 48

Amplitude Interquartílica A amplitude interquartílica é dada por: AIC = Q 3 Q 1 Exemplo Considerando-se o exemplo de porcentagem de quebra de sementes de milho, temos: Rol: Colheitadeira A 4 5 5 6 B 0 3 7 10 Colheitadeira Q 1 Q 3 AIQ A 4,5 5,5 1,0 B 1,5 8,5 7,0 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 31 / 48

Desvio Médio Desvio de uma observação em relação a uma constante: d i = x i k Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 32 / 48

Desvio Médio Desvio de uma observação em relação a uma constante: d i = x i k Desvio de uma observação em relação à média aritmética: e i = x i x Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 32 / 48

Desvio Médio Desvio de uma observação em relação a uma constante: d i = x i k Desvio de uma observação em relação à média aritmética: e i = x i x n e i =? i=1 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 32 / 48

Desvio Médio Desvio de uma observação em relação a uma constante: d i = x i k Desvio de uma observação em relação à média aritmética: e i = x i x n e i =? i=1 Desvio Médio Dm x = 1 n n e i = 1 n i=1 n x i x i=1 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 32 / 48

Desvio Médio Exemplo: Considerando-se o exemplo de porcentagem de quebra de sementes de milho, temos: Colheitadeira Desvios 4 i=1 e i /4 A 0,0-1,0 0,0 1,0 2,0/4 = 0,5 B -5,0-2,0 2,0 5,0 14,0/4 = 3,5 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 33 / 48

Desvio Médio Exemplo: Considerando-se o exemplo de porcentagem de quebra de sementes de milho, temos: Colheitadeira Desvios 4 i=1 e i /4 A 0,0-1,0 0,0 1,0 2,0/4 = 0,5 B -5,0-2,0 2,0 5,0 14,0/4 = 3,5 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 34 / 48

Variância Variância é a média dos quadrados dos desvios em relação à média aritmética. σ 2 X = 1 n n i=1 e 2 i = 1 n n (x i µ) 2 i=1 Estimador da variância populacional: S 2 X = 1 n 1 n i=1 e 2 i = 1 n 1 n (x i x) 2 i=1 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 35 / 48

Variância Exemplo: Colheitadeira A: Colheitadeira B: Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 36 / 48

Variância Exemplo: Colheitadeira A: 4 SX 2 i=1 1 = (x i x) 2 4 1 = (5 5)2 + (4 5) 2 + (5 5) 2 + (6 5) 2 3 Colheitadeira B: = 0, 67(%) 2 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 36 / 48

Variância Exemplo: Colheitadeira A: 4 SX 2 i=1 1 = (x i x) 2 4 1 = (5 5)2 + (4 5) 2 + (5 5) 2 + (6 5) 2 3 Colheitadeira B: = 0, 67(%) 2 4 SX 2 i=1 2 = (x i x) 2 4 1 (0 5) 2 + (3 5) 2 + (7 5) 2 + (10 5) 2 3 = 19, 33(%) 2 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 36 / 48

Variância Dados agrupados em tabelas de frequências S 2 X = 1 n 1 k i=1 f i e 2 i = 1 n 1 k f i (x i x) 2 em que k corresponde ao número de diferentes valores para a variável e n = k i=1 f i i=1 Ou ainda, [ k SX 2 = 1 f i xi 2 n 1 i=1 ( k i=1 f ) 2 ] ix i n Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 37 / 48

Variância Exemplo: Foram observadas 76 goiabas quanto ao número de pintas pretas, cujos dados são apresentado na tabela a seguir: X i f i 0 21 1 33 2 13 3 4 4 2 6 2 8 1 Total 76 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 38 / 48

Variância Exemplo: Foram observadas 76 goiabas quanto ao número de pintas pretas, cujos dados são apresentado na tabela a seguir: Média X i f i 0 21 1 33 2 13 3 4 4 2 6 2 8 1 Total 76 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 38 / 48

Variância Exemplo: Foram observadas 76 goiabas quanto ao número de pintas pretas, cujos dados são apresentado na tabela a seguir: Média X i f i 0 21 1 33 2 13 3 4 4 2 6 2 8 1 Total 76 x = 0 21 + 1 33 +... + 8 1 76 = 1, 30 pintas Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 38 / 48

Variância Exemplo: Foram observadas 76 goiabas quanto ao número de pintas pretas, cujos dados são apresentado na tabela a seguir: X i f i 0 21 1 33 2 13 3 4 4 2 6 2 8 1 Total 76 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 39 / 48

Variância Exemplo: Foram observadas 76 goiabas quanto ao número de pintas pretas, cujos dados são apresentado na tabela a seguir: Variância X i f i 0 21 1 33 2 13 3 4 4 2 6 2 8 1 Total 76 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 39 / 48

Variância Exemplo: Foram observadas 76 goiabas quanto ao número de pintas pretas, cujos dados são apresentado na tabela a seguir: Variância X i f i 0 21 1 33 2 13 3 4 4 2 6 2 8 1 Total 76 S 2 X = 21(0 1, 30)2 + 33(1 1, 30) 2 +... + 1(8 1, 30) 2 76 1 = 2, 13 pintas 2 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 39 / 48

Variância Dados agrupados em tabelas de classes frequências S 2 X = 1 n 1 k i=1 f i e 2 i = 1 n 1 k f i (m i x) 2 em que k corresponde ao número de diferentes valores para a variável e n = k i=1 f i i=1 Ou ainda, [ k SX 2 = 1 f i mi 2 n 1 i=1 ( k i=1 f ) 2 ] im i n Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 40 / 48

Variância Exemplo: Foram avaliados 60 novilhos de dois anos quanto ao consumo de matéria seca (kg), cujos dados são apresentados na tabela a seguir. Consumo (kg) m i f i 10,0 10,4 10,2 10 10,4 10,8 10,6 30 10,8 11,2 11,0 20 Total 60 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 41 / 48

Variância Exemplo: Foram avaliados 60 novilhos de dois anos quanto ao consumo de matéria seca (kg), cujos dados são apresentados na tabela a seguir. Consumo (kg) m i f i 10,0 10,4 10,2 10 10,4 10,8 10,6 30 10,8 11,2 11,0 20 Total 60 Média Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 41 / 48

Variância Exemplo: Foram avaliados 60 novilhos de dois anos quanto ao consumo de matéria seca (kg), cujos dados são apresentados na tabela a seguir. Consumo (kg) m i f i 10,0 10,4 10,2 10 10,4 10,8 10,6 30 10,8 11,2 11,0 20 Total 60 Média x = 10, 2 10 + 10, 6 30 + 11, 0 20 60 = 10, 67 kg Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 41 / 48

Variância Exemplo: Foram avaliados 60 novilhos de dois anos quanto ao consumo de matéria seca (kg), cujos dados são apresentados na tabela a seguir. Consumo (kg) m i f i 10,0 10,4 10,2 10 10,4 10,8 10,6 30 10,8 11,2 11,0 20 Total 60 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 42 / 48

Variância Exemplo: Foram avaliados 60 novilhos de dois anos quanto ao consumo de matéria seca (kg), cujos dados são apresentados na tabela a seguir. Consumo (kg) m i f i 10,0 10,4 10,2 10 10,4 10,8 10,6 30 10,8 11,2 11,0 20 Total 60 Variância Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 42 / 48

Variância Exemplo: Foram avaliados 60 novilhos de dois anos quanto ao consumo de matéria seca (kg), cujos dados são apresentados na tabela a seguir. Consumo (kg) m i f i 10,0 10,4 10,2 10 10,4 10,8 10,6 30 10,8 11,2 11,0 20 Total 60 Variância 7 k=1 10 (10, 2 10, 67)2 + 30 (10, 6 10, 67) 2 + 20 (11, 0 10, 67) 2 60 1 = 4, 53/59 = 0, 0768 kg 2 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 42 / 48

Desvio Padrão O desvio padrão corresponde à raiz quadrada da variância, S X = SX 2 O desvio padrão tem a mesma unidade dos dados originais Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 43 / 48

Desvio Padrão Exemplo: Considerando os dados de consumo de matéria seca de novilhos de 2 anos: Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 44 / 48

Desvio Padrão Exemplo: Considerando os dados de consumo de matéria seca de novilhos de 2 anos: S X = 0, 0768 = 0, 2772 kg Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 44 / 48

Coeficiente de Variação O coeficiente de variação é dado por CV X = 100 S X x comparação de dispersões quando as unidades de medida são diferentes Orientação CV 10% baixo 10% < CV 20% médio 20% < CV 30% alto CV > 30% muito alto Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 45 / 48

Coeficiente de Variação Exemplo: Considerando os dados de consumo de matéria seca de novilhos de 2 anos: Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 46 / 48

Coeficiente de Variação Exemplo: Considerando os dados de consumo de matéria seca de novilhos de 2 anos: 0, 2772 CV X = 100 = 2, 60% 10, 67 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 46 / 48

Gráfico de Caixas Construção de um gráfico de caixas 1 Calcular o primeiro quartil (Q 1 ), a mediana (Md) e o terceiro quartil (Q 3 ); 2 Calcular a AIQ = Q 3 Q 1 ; 3 Verificar a existência de observações atípicas, ou seja, valores menores do que Q 1 1, 5AIQ ou maiores do que Q 3 + 1, 5AIQ, representados individualmente no gráfico de caixas por ; 4 Calcular os limites inferior e superior dos dados sem considerar as observações atípicas; 5 Construir o gráfico seguindo o esquema a seguir: Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 47 / 48

Gráfico de Caixas Exemplo: Para os valores observados de produção média diária de leite, tem-se: 8,78 9,34 9,80 9,90 9,90 9,95 10,00 10,34 11,75 15,00 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 48 / 48

Gráfico de Caixas Exemplo: Para os valores observados de produção média diária de leite, tem-se: 8,78 9,34 9,80 9,90 9,90 9,95 10,00 10,34 11,75 15,00 Renata Alcarde Estatística Geral 7 de Março de 2014 48 / 48