Teoria do Consumidor:

Teoria do Consumidor: Excedente do consumidor e equação de Slutsky Roberto Guena de Oliveira 10 de abril de 2017

Sumário Função de utilidade indireta Minimização de gastos e funções de dispêndio e demanda co Medidas de variação de bem estar Exercícios Equação de Slutsky Exercícios 1

Função de utilidade indireta

Função de utilidade indireta A função de utilidadeindireta (V) é definida por V(p,m) =U(x(p,m) 3

Exemplo: preferências Cobb-Douglas Função de utilidade: U(x 1,x 2 ) =x a 1 xb 2 Função de demanda: a (x 1 (p 1,p 2,m),x 2 (p m b m 1,p 2,m)) =, a+bp 1 a+b Função de utilidade indireta: a m a b m b V(p 1,p 2,m) = a+bp 1 a+bp 2 a a b b m = a+b p 1 p 2 p 2 a+b 4

Exemplo: substitutos perfeitos Função de utilidade: U(x 1,x 2 )=ax 1 +x 2 Função de demanda: m,0 caso p p1 1 <ap 2 x (p 1,p 2,m)= (x1,x 2 ) :p 1 x 1 +p 2 x 2 =m caso p 1 =ap 2 0, m caso p p2 1 >ap 2 Função de utilidade indireta: a m caso p p 1 1 <ap 2 V(p 1,p 2,m) = a m p 1 = m am p 2 caso p 1 =ap 2 = min{p m 1,ap 2 }. p 2 caso p 1 >ap 2 5

Exemplo: complementares perfeitos Função de utilidade: U(x 1,x 2 ) =min{ax 1,x 2 } Função de demanda: m am x(p 1,p 2,m)=, p 1 +ap 2 p 1 +ap 2 Função de utilidade indireta: m am V(p 1,p 2,m) =min a, p 1 +ap 2 p 1 +ap 2 = am p 1 +ap 2. 6

Algumas propriedades da função de utilidade indireta Homogênea de grau zero; não decrescente em relação à renda; não crescente em relação aos preços; quase convexa: quaisquer p 0 >0, m 0 >0, p 1 >0, m 1 >0 e 0<α<1, se V(p 0,m 0 ) V(p 1,m 1 ), então V αp 0 +(1 α)p 1,αm 0 +(1 α)m 1 V(p 0,m 0 ); se ela for diferenciável, x i (p,m)= V(p,m) p i V(p,m) m (Identidade de Roy) 7

Identidade de Roy e quase convexidade Considere ˆp 0 e ˆm quaisquer. Denote ˆx=x (ˆp, ˆm) de sorte quev(ˆp, ˆm) =U(ˆx). Para qualquer outro vetor de preços p 0, se a renda for dada por m=p ˆx, V(p,m) U(ˆx=V(ˆp, ˆm)). Assim, ˆp resolve o problema de minimizarv(p,m) dada a restrição m=p ˆx. O lagrangeano desse problema é L =V(p,m) λ(p ˆx m) 8

Identidade de Roy e quase convexidade (continuação) As condições de mínimo de primeira ordem devem ser verificadas para p= ˆp: e L =0 V(ˆp,m)+λˆx i =0, parai=1,...,l p i p i m L =0 m V(ˆp,m) λ=0 Combinando as duas, obtemos x i (ˆp, ˆm) = ˆx i = V(ˆp, ˆm) p i V(ˆp, ˆm) m 9

Identidade de Roy e quase convexidade (continuação) A condição de mínimo de segunda ordem também deve ser atendidaem p = ˆp. Esta requer, que a função objetivo,v(p,m) seja localmete quase-convexa no ponto ˆp, ˆm. Como esse resultado é válido para quaisquer ˆp 0 e m>0, a função de utilidadeindireta é globalmente quase convexa. Note que a quase convexidade da função de utilidade indireta não depende de qualquer hipótese de convexidade da função de utilidade. 10

Exemplo com p 2 constante. m m=p 1 x 1 +p 2 x 2 x 1 V(p 1,p,m) =u 2 m p 2 x 2 p 1 p 1 x 1 =x 1(p 1,p 2,m ) x 2 =x 2(p 1,p 2,m ) u =U(x 1,x 2 ) =V(p 1,p 2,m ) 11

Exemplo: preferências Cobb Douglas V(p 1,p 2,m)= a a b b m p 1 p 1 V(p 1,p 2,m)= a aa m V(p 1,p 2,m) =(a+b) p 1 m p a+1 1 p 2 a+b b b m p 2 a+b a+b a+b a a b b m a+b 1 p 1 p 2 = a m =x 1 a+mp (p 1,p 2,m) 1 (a+b) a+b 12

Exemplo: complementares perfeitos am V(p 1,p 2,m)= p 1 +ap 2 am V(p 1,p 2,m) = p 1 (p 1 +ap 2 ) 2 m V(p a 1,p 2,m)= p 1 +ap 2 p 1 m m = =x 1 p 1 +ap (p 1,p 2,m) 2 13

Minimização de gastos

O problema da minimização do gasto Considere o problema de escolher a cesta de bens x para uma consumidorade modo a minimizar o custo com a aquisição dessa cesta, p x atendendo a um requisito de utilidade mínima U(x) ū e às condições de consumo não negativo, x i 0. 15

O problema de minimização de gasto O lagrangeano do problema é L =p x λ[u(x) ū] L ix i Assumindo não saciedade local, as condições de 1ª ordem implicam U(x) =ū i=1 e λ= UMg i+ i, i =1,...,L p i 16

Minimização de gasto: propriedades da solução Caso na solução x i,x j >0, UMg i p i = UMg j p j UMg i UMg j = p i p j Caso na solução x i =0 e x j >0, UMg i p i UMg j p j UMg i UMg j p i p j 17

Solução gráfica Curvas de isocusto x 2 Solução x 2 p1x 1 +p 2 x 2 =c 0 p1x 1 +p 2 x 2 =c 1 p1x 1 +p 2x 2 =c 2 h 2 TMS = p 1 p 2 U(x 1,x 2 )=ū tan = p 1 p2 x 1 h 1 x 1 18

Função de demanda compensada Sejam h 1 (p,u),...,h L (p,u) as funções que geram as quantidades ótimas de bens para o problema de minimização de gastos. Elas são chamadas funções de demanda compensadas ou funções de demanda hicksianas dos bens, 1,...,L. A função h(p,u) =(h 1 (p,u),...,h L (p,u)) é denominada, função de demanda compensada. 19

A função dispêndio A função dispêndio,notada por e(p,u), é a função que determina o gasto ótimo associado ao problema de minimização de gasto. Ela é definida por e(p,u) =p h(p,u) 20

Exemplo: derivando curvas com p 2 =1 m 1 x 2 u(x 1,x 2 )=u m 1 m m=e(p 1,1,u ) v(p 1,1,m) =u m 0 p 1 1 p0 1 m 0 x 1 p 1 p 1 x 1 1 x 0 1 p 0 1 p 1 1 p 1 1 p 0 1 h 1 (p 1,1,u ) x 1 x 1 1 x 0 1 22

Identidades importantes V(p,e(p,u)) =u e(p,v(p,m)) =m x (p,e(p,u)) =h(p,u) h(p,v(p,m)) =x(p,m) 23

Exemplo: preferências Cobb-Douglas A função de utilidade indireta a a b b m V(p 1,p 2,m)= a+b p 1 p 2 a+b Função dispêndio: V(p 1,p 2,e(p 1,p 2,u)) =u a a b b m a+b =u a+b p 1 p 2 e(p 1,p 2,u)=(a+b)u 1 a+b p1 a a a+b p 2 b b a+b 24

Exemplo: Substitutos perfeitos A função de utilidade indireta am V(p 1,p 2,m) = min{p 1,ap 2 } Função dispêndio: V(p 1,p 2,e(p 1,p 2,u)) =u ae(p 1,p 2,u) min{p 1,ap 2 } =u e(p 1,p 2,u)= u a min{p 1,ap 2 }. 25

Exemplo: Complementares perfeitos A função de utilidade indireta am V(p 1,p 2,m)= p 1 +ap 2 Função dispêndio: V(p 1,p 2,e(p 1,p 2,u)) =u ae(p 1,p 2,u) p 1 +ap 2 =u e(p 1,p 2,u)= u a (p 1+ap 2 ) 26

Propriedades da função de dispêndio 1. Não decrescente em relação aos preços. 2. Homogêneade grau 1 em relação aos preços: e(αp 1,αp 2,u) =αe(p 1,p 2,u), α>0 3. Crescente em relação à utilidade. 4. Côncava em relação aos preços 5. Lema de Shephard: e(p,u) p 1 =h i (p,u) 27

e(p 1,p 2,u) é côncava em relação a p 1 m m=p 1 x 1 +p 2 x 2 x 1m=e(p 1,p 2,u ) v(p 1,p,m) =u 2 m p 2 x 2 p 1 p 1 x 1 =h 1(p 1,p 2,u ) x 2 =h 2(p 1,p 2,u ) u =U(x 1,x 2 ) =V(p 1,p 2,m ) 28

Exemplo: preferências Cobb-Douglas e(p 1,p 2,u) =(a+b)u 1 a+b p1 a a a+b p 2 b b a+b h 1 (p 1,p 2,u) = e(p 1,p 2,u) u 1 =a p 1 a a b b h 1 (p 1,p 2,u) = e(p 1,p 2,u) u 1 =b p 2 a a b b a+b p2 p 1 a+b p1 p 2 b a+b a a+b 29

Exemplo: complementares perfeitos e(p 1,p 2,u)= u a (p 1+ap 2 ) h 1 (p 1,p 2,u) = e(p 1,p 2,u) p 1 = u a h 1 (p 1,p 2,u) = e(p 1,p 2,u) p 2 =u 30

Lei da demanda compensada A demanda compensadade um bem é não crescente em relação ao preço desse bem, ou seja p 1 1 >p0 1 h 1(p 1 1,p 2,u) h 1 (p 0 1,p 2,u) Observação: A lei da demanda não é válida para a demanda não compensada,uma vez que os bens Giffen são teoricamente possíveis. 31

Curvas de demanda marshalliana e de demanda compensada bem normal p 1 h 1 (p 1,p 2,v(p1 1,p 2,m )) p 0 1 h 1 (p 1,p 2,v(p0 1,p 2,m )) p 1 1 x 1 (p 1,p 2,m ) x 1 32

Curvas de demanda marshalliana e de demanda compensada bem inferior p 1 x 1 (p 1,p 2,m ) p 0 1 h 1 (p 1,p 2,v(p 1,p 2,m )) x 1 33

Curvas de demanda marshalliana e de demanda compensada preferências quase-lineares p 1 p 0 1 x 1 (p 1,p 2,m ) =h 1 (p 1,p 2,v(p0 1,p 2,m )) =h 1 (p 1,p 2,v(p1 1,p 2,m )) p 1 1 x 1 34

Medidas de variação de bem estar

Sumário Função de utilidade indireta Minimização de gastos e funções de dispêndio e demanda co Medidas de variação de bem estar Variação compensatória Variação equivalente Excedente do consumidor Exercícios Equação de Slutsky 35

Variação compensatória Seja uma mudançanos preços e na renda do consumidordos valores iniciais (p 0 1,p0 2,m0 ) para os valores finais (p 1 1,p1 2,m1 ). Associada a essa mudança definimos a variação compensatória na renda desse consumidor(vc) como a redução na renda (ou o negativo do aumento na renda) necessária(o) para fazer com que, a partir dos preços e renda finais (p 1 1,p1 2,m1 ), o consumidorvolteaobter em equilíbrio, o mesmo nível de utilidadeque obtia com os preços e renda originais, (p 0 1,p0 2,m0 ). 36

Variação compensatória definições equivalentes Usando a função de utilidade indireta: V(p 1 1,p1 2,m1 VC) =V(p 0 1,p0 2,m0 ) Usando a função dispêndio: VC=m 1 e(p 1 1,p1 2,V(p0 1,p0 2,m0 )) 37

Representação gráfica: redução em p 1. x 2 p 0 1 x 1 +p 2 x 2 =m p 1 1 x 1 +p 2 x 2 =m p 1 1 x 1 +p 2 x 2 =e(p 1 1,p 2,V(p 0 1,p 2,m)) VC p 2 E 0 E c E 1 x 1 38

Variação equivalente Seja uma mudançanos preços e na renda do consumidordos valores iniciais (p 0 1,p0 2,m0 ) para os valores finais (p 1 1,p1 2,m1 ). Associada a essa mudança definimos a variação equivalente na renda desse consumidor(ve) como o aumentona renda (ou o negativo da redução na renda) necessário(a) para fazer com que, a partir dos preços e renda iniciais (p 0 1,p0 2,m0 ), o consumidorpassasse a obter em equilíbrio, o mesmo nível de utilidade que obteria com os preços e renda finais, (p 1 1,p1 2,m1 ). 39

Variação equivalente definições equivalentes Usando a função de utilidade indireta: V(p 0 1,p0 2,m0 +VE) =V(p 1 1,p1 2,m1 ) Usando a função dispêndio: VE=e(p 0 1,p0 2,V(p1 1,p1 2,m1 )) m 0 40

Representação gráfica: redução em p 1. x 2 p 0 1 x 1 +p 2 x 2 =m p 1 1 x 1 +p 2 x 2 =m p 1 1 x 1 +p 2 x 2 =e(p 0 1,p 2,V(p 1 1,p 2,m)) VE p 2 E 0 E c E 1 x 1 41

Variação compensatória e equivalente e demanda compensada Variação compensatória VC=e(p 0 1,p 2,u 0 ) e(p 1 1,p 2,u 0 )= p 0 1 p 1 1 h 1 (p 1,p 2,u 0 )dp 1 Variação equivalente VE=e(p 0 1,p 2,u 1 ) e(p 1 1,p 2,u 1 )= p 0 1 p 1 1 h 1 (p 1,p 2,u 1 )dp 1 Nas quais u 0 =V(p 0 1,p 2,m) e u 1 =V(p 1 1,p 2,m) 42

Variações compensatória e equivalente como áreas Var. compensatória p 1 Variação equivalente p 1 h 1(p 1,p 2,u 1 ) p 0 1 p 1 1 VC x 1(p 1,p 2,m) p 0 1 p 1 1 VE x 1(p 1,p 2,m) h 1(p 1,p 2,u 0 ) x 1 x 1 43

Comparando as medidas Bens normais VC<VE Bens inferiores VC>VE Preferências quase-lineares VC = VE 44

Excedente do consumidor Em se tratandode um bem com demanda independente da renda (preferências quase-lineares), as duas áreas do slide anterior coincidem e são chamadas variação no excedente do consumidor. 45

Uma medida aproximada p 1 p 0 1 CS x 1(p 1,p 2,m) p 1 1 x 1 46

Exercícios

ANPEC 2013 Questão 01 Considere a função utilidade U=x 1 x 2. Assuma que o indivíduo recebe uma renda fixa d e que os preços dos dois bens são p 1 e p 2. Julgue as seguintes afirmativas: 0. As curvas de nível dessa função de utilidade têm o formato de hipérboles retangulares. V 1. Para qualquer nível de preços dado a quantidade totalgasta com x 1 é diferente da quantidadetotal gasta com x 2. F 2. A relação p 2 x 2 =p 1 x 1 mantém-separa todosos pontos da linha de restrição orçamentária. F 48

ANPEC 2013 Questão 01 Considere a função utilidade U=x 1 x 2. Assuma que o indivíduo recebe uma renda fixa d e que os preços dos dois bens são p 1 e p 2. Julgue as seguintes afirmativas: 3. Um aumentopercentualna renda induz um aumento percentual menor no consumo dos dois bens. 4. A função de utilidade indireta derivada tem a seguinteforma V(p 1,p 2,d) = d2 4p 1 p 2. F V 49

Equação de Slutsky

Efeito substituição O efeito substituição associado a uma mudança no preço do bem 1 dep 0 1 para p1, com o preço do bem dois 1 e a renda constantesem p 2 e m é dado por ES=h 1 (p 1 1,p 2,V(p 0 1,p 2,m)) x 1 (p 0 1,p 2,m) =h 1 (p 1 1,p 2,V(p 0 1,p 2,m)) h 1 (p 0 1,p 2,V(p 0 1,p 2,m)) 50

Efeito renda O efeito renda associado a uma mudançano preço do bem 1 de p 0 1 para p1, com o preço do bem dois e a 1 renda constantesem p 2 e m é dado por ER =x 1 (p 1 1,p 2,m) h 1 (p 1 1,p 2,V(p 0 1,p 2,m)) 51

Ilustração gráfica redução de preço, bem normal p 1 p 0 1 h 1 (p 1,p 2,v(p0 1,p 2,m )) p 1 1 x 1 (p 1,p 2,m ) ef. substituição ef. renda ef. total x 1 52

Ilustração gráfica aumento de preço, bem inferior p 1 x 1 (p 1,p 2,m ) p 0 1 h 1 (p 1,p 2,v(p 1,p 2,m )) ef. substituição ef. renda ef. total x 1 53

Outra ilustração gráfica bem normal, redução em p 1 x 2 p 0 1 x 1 +p 2 x 2 =m p 1 1 x 1 +p 2 x 2 =m p 1 1 x 1 +p 2 x 2 =e(p 1 1,p 2,V(p 0 1,p 2,m)) E 0 E c E 1 Efeito substituição Efeito preço Efeito renda x 1 54

Três possibilidades Bens normais: Efeitos substituição e renda têm a mesma direção. Bens inferiores ordinários: Efeitos substituição e renda têm sinal contrário e efeito substituição é maior, em módulo, ao efeito renda. Bens de Giffen: Efeitos substituição e renda têm sinal contrário e efeito renda é maior, em módulo, ao efeito substituição. 55

Efeitos substituição e renda de Slutsky Convenções p 1 =p 1 1 p0 1 x 0 1 =x 1(p 0 1,p 2,m) Definições: Os efeitos substituição e renda de Slutsky (respectivamente ESS e ERS) associados a uma mudançano preço do bem 1 de p 0 1 para p1 1, com o preço do bem dois e a renda constantesem p 2 e m são dados por ESS=x 1 (p 1 1,p 2,m+ p 1 x 0 1 ) x 1(p 0 1,p 2,m) ERS=x 1 (p 1 1,p 2,m) x 1 (p 1 1,p 2,m+ p 1 x 0 1 ) 56

Ilustração gráfica x 2 p 0 1 x 1 +p 2 x 2 =m p 1 1 x 1 +p 2 x 2 =m p 1 1 x 1 +p 2 x 2 =m+ p 1 x 0 1 E 0 E c E 1 Efeito substituição Efeito preço Efeito renda x 1 57

A equação de Slutsky Derivação h 1 (p 1,p 2,u) x 1 (p 1,p 2,e(p 1,p 2,u)) h 1 = x 1 + x 1 e(p 1,p 2,u) p 1 p 1 m p 1 = x 1 p 1 + x 1 m h 1(p 1,p 2,u) = x 1 p 1 + x 1 m x 1(p 1,p 2,e(p 1,p 2,u)) x 1 p 1 = h 1 p 1 x 1 m x 1 58

Equação de Slutsky em elasticidades x 1 p 1 = h 1 p 1 x 1 m x 1 x 1 p 1 = h 1p 1 x 1 mp 1 x 1 p 1 x 1 p 1 h 1 mx 1 m ε 1,1 =ε h1,p 1 s 1 ε 1,m 59

Compra e Venda exemplo 1 x 2 p 0 1 p 2 ω 1 +ω 2 ω 2 efeito substituição efeito renda comum ω 1 efeito renda dotação x 1 60

Compra e Venda exemplo 2 x 2 p 0 1 p 2 ω 1 +ω 2 ω 2 efeito substituição efeito renda comum ω 1 efeito renda dotação x 1 61

O caso de compra e venda A função de demandado bem 1 é x 1 (p 1,p 2,m(p 1,p 2 )) na qual m(p 1,p 2 ) p 1 ω 1 +p 2 ω 2. Assim dx 1 dp 1 = x 1 p 1 + x 1 m ω 1 dx 1 dp 1 = h 1 p 1 + x 1 m (ω x 1) Caso o bem 1 seja normal e o consumidorseja ofertante líquido desse bem, o efeito renda total (ordinário + dotação) terá sinal contrário ao efeito substituição. 62

Exercícios

Questão 2 de 2017 Um consumidor cuja função utilidade é dada por U(x,y) = xy possui uma dotação inicial (w x,w y )=(1,5). Avalie: 0. O consumidor demandará liquidamente duas unidadesde x se os preços forem (p x,p y ) =(1,1); V 1. Se o preço do bem x cair pela metade,o consumidor aumentará em 2,5 unidades o seu consumo de x, em comparaçãocom a escolha sob os preços unitários; V 2. Levando em conta a variação de preços citada acima, ajustando-se a renda para que o consumidor seja capaz de comprar a cesta original, teremos um efeito substituição de Slutsky de duas unidades; F 63

Questão 2 de 2017 Um consumidor cuja função utilidade é dada por U(x,y) = xy possui uma dotação inicial (w x,w y )=(1,5). Avalie: 2. Na mesma situação, o efeito renda tradicional será 1,5; V 3. Na mesma situação, o efeito renda-dotação será igual a 0,5 unidades. F 64

Questão 4 de 2017 Um consumidor, cuja função utilidade é dada por U(x,y) = x+y possui renda R =$2,5. O preço do bem y é unitário e P representa o preço de x. O preço P inicialmenteévinte e cinco centavosepassa em um segundo momento para cinquenta centavos. Avalie as proposições: 0. Na situação inicial o consumidor alcança utilidade U=3; 1. No segundo momento a cesta consumida será U(x,y) =(1,3); 2. A variação compensadora(vc) é igual a vinte e cinco centavos, que devem ser dados ao consumidor após a mudança no preço; F F F 65

Questão 4 de 2017 Um consumidor, cuja função utilidade é dada por U(x,y) = x+y possui renda R =$2,5. O preço do bem y é unitário e P representa o preço de x. O preço P inicialmenteévinte e cinco centavosepassa em um segundo momento para cinquenta centavos. Avalie as proposições: 2. A variação equivalente(ve) requer que se tire dinheiro do consumidor antes da variação no preço para que, neste caso, a utilidade se reduza em meia unidade; V 3. Neste caso, as variações compensadora e equivalente são iguais ao excedente do consumidor. V 66

ANPEC 2015 Questão 67

ANPEC 2015 Questão 04 Considere um consumidorcom a renda R=$100, função de utilidadeu(x,y) =x y e que se depara com os preços p x =$2 e p y =$2. Julgue as proposições: 0. Na cesta escolhida pelo consumidor, atinge-se a curva de indiferença definida por U=800. 1. Se o preço do bem x cair pela metade,a quantidade demandada desse bem dobra. 2. Tendo em vista a mudança de preço do item anterior, uma compensação de Slutsky deveria retirar $25 do consumidor. F V V 68

ANPEC 2015 Questão 04 Considere um consumidorcom a renda R=$100, função de utilidadeu(x,y) =x y e que se depara com os preços p x =$2 e p y =$2. Julgue as proposições: 3. Ainda considerando a mesma mudança, os efeitos renda e substituição serão ambos iguais a 12,5. V 4. Na cesta pertencente à nova restrição orçamentária (x,y)=(20,40), o agente maximizador deveria trocar y por x, pois sua taxa marginal de substituição é igual a dois, superior à taxa de toca exigida pelo mercado: p x /p y =0,5. V 69

ANPEC 2015 Questão 05 Com relação à demanda do consumidor, indique qual das afirmações abaixo é verdadeira: 0. O efeito Hicks mede a variação na quantidade demandada frente a mudanças nos preços, mantido constante o poder aquisitivo do consumidor. F (ambíguo) 1. O efeito substituição de Hicks pode apresentar sinal positivo. F 2. Se o indivíduo é compradorlíquido de um bem, e o preço deste bem diminui, o indivíduo pode continuar como comprador líquido ou se tornar vendedor líquido do bem em questão, dependendo da magnitudeda variação no preço do bem. F 70

ANPEC 2015 Questão 05 Com relação à demanda do consumidor, indique qual das afirmações abaixo é verdadeira: 3. Um aumentogeral do salário implica um efeito renda e um efeito substituição,o quefaz com que um aumentogeral do salário sempre leve a um aumento na quantidade ofertada de trabalho. F 4. As curvas de demanda lineares são, por definição, isoelásticas. F 71

ANPEC 2014 Questão 03 Um consumidor tem uma função utilidade Cobb-Douglas convencional tal que U(x,y) =x α y β ; α+β =1 Avalie as afirmações abaixo: 0. Esse consumidor sempre alocará um percentual α de sua renda para compraro bem x; 1. Suponhaque a renda do consumidorseja de b=r$2,00 e queos preços vigentesdos bens no mercado sejam p x =0,25 e p y =1. 2. Agora suponha que o consumidor aloca sua renda igualmente entre os dois bens, então sua escolha ótima deve ser x=1 e y =4; V F F 72