MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

INSTITUTO NACIONAL DE PESQUISAS ESPACIAIS ENGENHARIA E TECNOLOGIA ESPACIAIS MECÂNICA ESPACIAL E CONTROLE MESTRADO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Seminário de Dinâmica Orbital I CMC-203-0 Prof. Dr. Mário César Ricci André Guilherme da Silva Tavares Registro: 82120 São José dos Campos, 20 de de 2005

Programação: Motivação Exemplo unidimensional Vantagens e desvantagens Convergência Demonstração prática Referências

Motivação O Método dos Elementos Finitos (MEF) surgiu na área da indústria aeroespacial no começo da década de 50 como uma poderosa ferramenta numérica para a solução de problema matemáticos da Engenharia e da Física. Ele possibilita a solução de Equações Diferenciais (ou sistemas de Equações Diferenciais) e sua abrangência é bastante ampla, cobrindo desde a análise de vibração simples de uma estrutura até os geradores nucleares, passando por diversas áreas, como a mecânica dos fluidos, dentre diversas outras. E não está limitado a estes exemplos, há inúmeras outras aplicações para este método. Por se enquadrar no grupo das ferramentas mais significativas dentro das Ciências Exatas, o Método dos Elementos Finitos merece ser estudado.

O conceito mais fundamental do MEF é que toda função contínua, seja ela de mperatura, pressão ou deslocamento, pode ser aproximada por um modelo composto de um njunto de funções contínuas (dentro de um certo intervalo) definidas sobre um número finitos subdomínios [1]. A situação mais comum é quando desconhecemos o valor da função contínua e eremos saber o quanto ela vale em certos pontos dentro de uma determinada região. construção do modelo discreto do objeto contínuo, denominado aqui por domínio é feita mo segue:

) Um número finito de pontos é identificado no domínio. Estes pontos são chamados Pontos odais ou Nós. ) O valor da função em cada nó é definido como uma variável a ser determinada. ) O domínio é dividido em subdomínios, chamados "elementos ". Estes elementos estão onectados pelos nós comuns e juntos aproximam a forma do domínio. ) A função desejada é aproximada em cada elemento por um polinômio que é definido usando s valores da função nos nós. Um polinômio diferente é definido para cada elemento, mas estes ão selecionados de forma a manter a continuidade ao longo das fronteiras dos elementos.

O exemplo unidimensional mais simples desta construção é relacionado à istribuição da temperatura em uma barra não uniforme. A função contínua neste caso é T(x) e domínio é [O,L] (comprimento da barra ao longo do eixo x).

A construção do modelo discreto segue as etapas mencionadas anteriormente. ) 5 pontos ao longo do eixo x são identificados e nomeados (a). Estes pontos são os nós, que não precisam necessariamente serem eqüidistantes. Mais que 5 pontos poderiam ser identificados, mas neste exemplo, 5 pontos são o suficiente para demonstrar os conceitos. ) Os valores da função T(x) são especificados para cada nó, sendo que formam o conjunto de variáveis do problema, e são mostrados graficamente, sendo que são nomeados de acordo com o nó ao qual pertencem (b).

) A divisão do domínio em subdomínios pode ocorrer de duas maneiras: Podemos limitar cada elemento a dois nós, resultando em quatro elementos (a); ou então dividir o domínio em apenas dois elementos, contendo três nós cada (b). Obs: observando sempre a continuidade

Os polinômios dos elementos são definidos usando as variáveis T(x) de cada nó. Se subdividirmos o domínio em quatro elementos, haverá dois nós por linha. ) A aproximação final de T(x) irá consistir de 4 funções lineares contínuas no intervalo entre os seus nós. Cada função é definida sobre um único elemento. Notamos que a divisão do domínio em dois elementos faz com que as funções associadas aos elementos sejam de ordem quadrática (figura anterior). Tais funções constituem uma aproximação do resultado apenas, pois a inclinação destas duas funções não é necessariamente a mesma no nó 3.

Os valores nodais de T(x) devem então ser ajustados a providenciar a melhor aproximação da distribuição da temperatura ao longo da barra. Este ajuste é feito por meio da minimização de alguma quantidade associada ao problema físico em questão. A minimização produz um conjunto de equações algébricas lineares que podem ser solucionadas para os valores nodais de T(x) (que são as variáveis do problema). O conceito básico do MEF é também aplicável a domínios bidimensionais e tridimensionais. No caso bidimensional, os elementos são funções de x e y e possuem em geral forma triangular ou quadrilateral.

As funções dos elementos passam a ser planos ou superfícies curvas (figuras abaixo) A função de um plano é associada ao número mínimo de nós por elemento, que é três, no caso de elementos triangulares e quatro para os quadrilaterais (figura da esquerda). Analogamente, as funções podem ser superfícies curvas quando mais do que o número

Um número excessivo de nós sendo utilizados também permite que os elementos tenham fronteiras curvas. A aproximação final da função contínua bidimensional Φ (x,y) é um conjunto de superfícies contínuas dentro dos seus intervalos. Cada qual definida dentro de um elemento utilizando os valores de Φ (x,y) nos pontos nodais. A habilidade de separar um elemento típico de um conjunto de elementos para o propósito de definir a função do elemento é um aspecto importante no MEF. Esta propriedade permite que a função do elemento seja definida sem depender da localização final do elemento no modelo ao qual ele está conectado e também sem depende das funções dos outros elementos.

iscretização de um domínio A discretização do domínio não tem uma regra teórica, depende do feeling de quem está solucionando o problema. A má escolha dos pontos nodais irá produzir resultados incertos, uma vez que as etapas seguintes do processo dependem desta primeira. Este procedimento envolve a escolha do número, tamanho e forma dos elementos. O feeling mencionado permite que definamos menores elementos nas regiões de intensa modificação no valor da função objetivo e permite que aumentemos o tamanho dos elementos nas regiões onde o gradiente da função é pequeno e a função é praticamente constante (reduzindo esforço computacional). Este feeling se adquire com a experiência. Para os menos experientes existem algumas regras gerais a seguir.

egras gerais para a discretização de um domínio contínuo ) Tipos de elementos finitos lementos unidimensionais O caso mais simples possui dois pontos nodais (a), m em cada extremidade do elemento. Se possuir mais pontos nodais pode ser um elemento uadrático (3 nós, fig. b) ou cúbico (4 nós, fig. c).

Elementos bidimensionais stendendo os conceitos dos elementos unidimensionais btém-se os elementos bidimensionais, que podem também presentar o mínimo de pontos nodais (3), ou apresentar ontos intermediários, possibilitando as superfícies curvas.

Elementos tridimensionais e forma análoga, temos os elementos ridimensionais.

divisão do domínio em elementos A divisão do domínio deve ter início com a divisão do meio contínuo em regiões, que serão epois divididas em elementos. As subdivisões em regiões devem acontecer onde houver mudança na geometria, nas ropriedades físicas do meio ou ambos os casos. Após a divisão em regiões, acontece a divisão de cada região em elementos. Para o caso de ma região triangular, haverá (n-1)² elementos nesta região, sendo n o número de nós dentificados na lateral da região. Para o caso de elementos quadrilaterais, haverá em uma região 2(n-1)(m-1) elementos, ond e m são os números de nós das laterais adjacentes.

omeando os pontos nodais A nomenclatura não pode ser feita sem uma prévia análise, pois o esforço computacional epende da numeração dos nós. O conjunto de equações lineares obtido com a utilização do MEF tem um grande número d oeficientes nulos. Quando as equações estão na forma matricial, vê-se que alguns destes também alguns não nulos ficam entre uma faixa limitada por duas linhas paralelas à diagonal rincipal. distância destas linhas com relação a diagonal principal é chamada de bandwidth. Todos o oeficientes fora desta faixa são nulos e não têm necessidade de serem armazenados.

É interessante, com relação à redução do esforço computacional, que esta faixa seja o mais streita possível. faixa, B, é calculada usando: B = (R+1) NDOF nde, R é a maior diferença entre os números dos nós em um mesmo elemento da malha e DOF é o número de graus de liberdade desconhecidos de cada nó. A minimização de B epende da minimização de R, que pode ser facilitada com a numeração dos nós no sentido de enor dimensão.

No exemplo abaixo, que considera 1 grau de liberdade desconhecido, vemos que a figura (a) fornece B=10 (R=9 e R+1 = 10) enquanto na figura (b), B=22 (R=21 e R+1=22). Daí a necessidade do cuidado na hora de nomear (numerar) os pontos nodais. Os números entre parêntesis são a identificação do elemento. A diferença no sentido da nomenclatura implica em uma diferença de 50% de processamento.

nterpolação polinomial linear Como visto na definição do conceito fundamental do MEF, a solução é aproximada por um onjunto de funções. A forma mais comum destas funções são polinômios. A ordem destes polinômios depende o número de itens conhecidos sobre a função objetivo em cada ponto nodal de cada elemento. Os elementos finitos são classificados em três grupos, de acordo com a ordem do polinômio ssociado a ele. Estes grupos são: Simplex, Complex e Multiplex. Os elementos Simplex têm uma aproximação polinomial que consiste de um termo onstante, mais os termos lineares. O número de coeficientes no polinômio é igual à dimensão o espaço de coordenadas, mais 1.

O polinômio Φ = α 1 + α 2 x + α 3 y é a função Simplex de um elemento triangular bidimensional, uma vez que o polinômio é linear em x e y e contém três coeficientes, já que o triângulo possui três nós. Os elementos Complex utilizam funções polinomiais compostas por um termo constante e por termos lineares, além dos termos de segunda, terceira e quantas ordens mais forem necessárias. Os elementos Complex têm a mesma forma que os elementos Simplex. No entanto, possuem pontos nodais adicionais nas fronteiras e podem também ter nós internos. A diferença primária entre os elementos Simplex e Complex é que o número de nós nos

O polinômio interpolador para elementos Complex bidimensionais triangulares tem a forma: Φ = α 1 + α 2 x + α 3 y + α 4 x² + α 5 xy + α 6 y² sta equação tem seis coeficientes; então o elemento deve ter seis pontos nós. Isto também é ercebido pela presença de termos de segunda ordem. (segunda ordem implica o dobro de nós; erceira ordem implica o triplo, etc). Os elementos Multiplex também usam polinômios contendo termos de ordem superior, mas s fronteiras do elemento devem ser paralelas aos eixos de coordenadas para executar a ondição de continuidade entre os elementos. As fronteiras dos elementos Simplex e Complex não estão sujeitas à esta restrição. Os elementos retangulares alinhados aos eixos de coordenadas são um exemplos de

lementos Simplex unidimensionais Os elementos Simplex unidimensionais são segmentos de reta com comprimento L e dois ontos nodais, um em cada extremidade. Os nós são referenciados por i e j e os valores nodais or Φi e Φj. A origem do sistema de coordenadas é fora do elemento. A função polinomial para uma uantidade escalar Φ é: Φ = α 1 + α 2 x s coeficientes α 1 e α 2 podem ser determinados utilizando as condições nodais: Φ = Φ i quando x = X i e também Φ = Φ j quando x = X j

Estas duas condições nodais resultam no ar de equações i = α 1 + α 2 X i j = α 1 + α 2 X j ue pode ser solucionado por: 1 = Φ i X j Φ j X i L 2 = Φ j Φ i L

MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Substituindo os valores de α 1 e α 2 na equação original, temos ue pode ser rearranjado em: As funções lineares de x acima são chamadas de funções interpoladoras. Estas funções são ndicadas por aí como N, com um índice associado ao nó ao qual elas pertencem. o caso acima, as funções interpoladoras são: N i = X j x e N j = x X i x L L X X i j i j j i + = φ φ φ φ φ j i i j L X x L x X φ φ φ + =

A equação final, contendo as funções interpoladoras, pode ser escrita na forma matricial: Φ = N i Φ i + N j Φ j = [N] {Φ} nde N é uma matriz linha [N] = [N i N j ] e {Φ} é um vetor coluna {Φ i Φ j } T.

Exemplo unidimensional Exemplo: Um elemento Simplex unidimensional foi usado para aproximar a distribuição de emperatura em uma barra. A solução indica que a temperatura nos nós i e j são 120º e 90º, espectivamente. Determine a temperatura a um ponto 4cm distante da origem e o gradiente de emperatura dentro do elemento. Os nós i e j estão localizados a 1.5cm e 6cm da origem. A temperatura T é dada por: X j x x X T = Ti L + L Sendo: X i = 1.5cm X j = 6.0cm T i = 120ºC T j = 90ºC x = 4.0cm L = X j -X i = 4.5cm i T j

O gradiente de temperatura é obtido por: T = -1 T i + 1 T j = 1 (T j T i ) x L L L Exemplo unidimensional T = - 6.67 ºC/cm x

Convergência O MEF irá convergir na direção da solução correta à medida em que o tamanho dos elementos forem diminuindo, de modo que os valores das funções polinomiais gerem um valor constante ao longo dos elementos quando os valores nodais forem numericamente constantes. A existência de um valor constante também implica no desaparecimento do gradiente de qualquer função (desejado no limite do tamanho mínimo de cada elemento).

Vantagens e desvantagens O MEF tem sido amplamente utilizado em todos os problemas físicos que são governados por equações diferenciais. Diversas vantagens apresentadas na utilização deste método têm contribuído com o aumento da sua utilização. lgumas das principais vantagens são: As propriedades dos materiais não precisam ser necessariamente as mesmas em elementos adjacentes, o que possibilita a utilização de corpos compostos por diversos materiais. Fronteiras irregulares podem ser aproximadas usando elementos com lados estreitos ou epresentadas com exatidão utilizando elementos com fronteiras curvas. O tamanho dos elementos pode ser variado. Esta propriedade permite que os lementos tenham tamanhos adaptados ao gradiente da função objetivo.

Vantagens e desvantagens A principal desvantagem da utilização do MEF é relacionada à necessidade de programas e computador e facilidades computacionais. Além da necessidade de um computador, o método necessita de uma grande quantidade de emória para a solução de grandes problemas complicados. Na verdade, essa desvantagem foi motivo de preocupação durante algumas décadas, porém a atualidade, com o avanço da tecnologia e a redução do preço dos equipamentos, considerae neste grupo os computadores, tal desvantagem quase que desaparece.

Implementação prática LEVsoft IEAv/CTA

Implementação prática LEVsoft IEAv/CTA

Referências [1] SEGERLIND; Larry. J., Applied Finite Element Analysis John Wiley & Sons, New York, 1976. ISBN: 0-471-77440-5 [2] RIBEIRO; Fernando L. B., Introdução ao método dos elementos finitos COPPE/UFRJ Notas de aulas do Programa de Engenharia Civil, 2003. [3] PILCHOWSKI; Hans-Ulrich, Estudo da solução numérica de alguns problemas de difusão, usando o método de elementos finitos INPE-3003-TDL/154, Tese de doutorado em Ciência Espacial, 1984. [4] AZEVEDO; Álvaro F. M., Faculdade de Engenharia da Universidade de Porto Portugual, 1ª edição, 2003. [5] BARKANOV; Evgene., Introduction to the finite elements method Institute of