Lógica Computacional 1 Turma A Primeira Prova (Gabarito) Indução e Dedução no Cálculo Proposicional Prof Mauricio Ayala-Rincón Departamento de Ciência da Computação, Instituto de Ciências Exatas Universidade de Brasília 18 de Abril de 2018 Duração: 110 min Início: 16:00h - Término: 17:50h Nome: Matrícula: 1 (6 pontos) O sistema de dedução natural (DN) é equivalente ao cálculo de sequentes (CS) Para o caso intuicionista, esta equivalência é estabelecida mostrando-se que qualquer prova em dedução natural pode ser simulada em cálculo de sequentes e vice-versa, ie: DN sse CS = A prova de equivalência citada acima aplica indução na estrutura das derivações Assim, o sentido CS = implica DN prova-se por indução em CS = Por exemplo, considere o caso em que a última regra aplicada na derivação CS = foi o corte (intuicionista): 1 2 =, = (Cut) = Para demonstrar que existe uma derivação correspondente em DN, DN, ao aplicar a hipótese de indução, tem-se que existem derivações e para DN e, DN como a seguir:, Combinando estas duas derivações obtêm-se uma derivação para DN : 1
Consideremos agora a análise indutiva para o caso da conjunção ( ) (a) (1 ponto) Demostre que se existe uma derivação para DN, que termina numa aplicação da regra ( i ) então existe uma derivação para CS = A derivação em DN para DN tem a forma: 1 2 Por hipótese de indução aplicada às derivações 1 e 2, existem derivações no CS da forma: ( i ) = e = Assim, construi-se a derivação no CS desejada como: = = (R = ) (b) (1 ponto) Demostre que se existe uma derivação para CS =, que termina numa aplicação da regra (R ) então existe uma derivação para DN A derivação no CS para CS = tem a forma: 1 2 = = (R = ) Por hipótese de indução aplicada às derivações 1 e 2, existem derivações em DN da forma: e Assim, construi-se a derivação em DN desejada como: 2
(c) (2 pontos) Demostre que se existe uma derivação para DN, que termina numa aplicação da regra ( e ) então existe uma derivação para CS = A derivação em DN para DN tem a forma: δ ( e) Por hipótese de indução aplicada à derivação, existe derivação no CS da forma: = δ ( i ) Assim, construi-se a derivação no CS desejada como:, = (Ax) = δ δ, = (L ) (Cut) = (d) (2 pontos) Demonstre que se existe uma derivação para CS, =, que termina numa aplicação da regra (L ) (sobre a fórmula principal ), então existe uma derivação para, DN A derivação no CS para CS, = tem a forma: φ, = φ δ, = (L ) Por hipótese de indução aplicada à derivação, existe derivação em DN da forma: [φ] Assim, construi-se a derivação em DN desejada como: [φ δ] φ ( e ) 3
Dica: nos quatro itens precedentes, a aplicação da hipótese de indução é crucial; por exemplo, para o item (c), tem-se que a derivação para DN é da forma: δ ( e) para alguma fórmula δ Assim, por hipótese de indução, aplicada à derivação para DN δ, existe uma derivação no CS da forma: = δ Essa última derivação deve ser utilizada para construir a derivação desejada para CS = 2 (4 pontos) Um resultado interessante em teoria da prova estabelece que provabilidade construtiva ou intuicionista e provabilidade em geral ou clássica são equivalentes no seguinte sentido: Se na lógica proposicional clássica então na lógica proposicional intuicionista (a) (2 pontos) Apresente uma árvore de derivação (use DN ou CS) de Solução: Em DN tem-se a seguinte derivação: [ ( )] u [ ( )] u [] v ( ) ( i) ( i ) v ( i ) (PBC) u No CS tem-se a seguinte derivação:, (Ax) (R ),, (R ), (R ) (RC) 4
(b) (2 pontos) Apresente uma árvore de derivação no cálculo puramente intuicionista (use DN ou CS) de ( ) Nota: a prova do item precedente com pequenas mudanças aplica Solução: Em DN tem-se a seguinte derivação: [ ( )] u [ ( )] u ( ) [] v ( ) ( i) ( i ) v ( i ) ( i ) u No CS tem-se a seguinte derivação: (Ax) (R ), (L ) (L ) ( ), (R ) ( ) (R ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) (L ) (L ) (LC) (R ) 5
( i) ( e) ( e) ( i) ( i) [] u [] v ( e) u, v [] u ( i) u ( e) [] u ( i) u ( e) ( e) [ ] u (PBC) u Axiomas:,, (Ax), (L ) Regras estruturais:, (LW), (RW),,, (LC),,, (RC) Regras lógicas: i {1,2},,, 1 2, (L ), (R ),,, (L ), i {1,2}, 1 2 (R ),,, (L ),,, (R ),, (Cut) 6