DEPARTAMENTO DE FÍSICA DA UNIVERSIDADE DE COIMBRA Electromagnetismo I Folha 1 : Electrostática Lic. em Física, Eng. Física e Bioquímica, menor em Física e em Biofísica, Mest. Int. em Eng. Física 1. Considere um anel circular de raio R com densidade uniforme de carga λ. a) Calcule o campo eléctrico num ponto do eixo do anel à distância z do seu centro. b) Determine o valor de z para o qual o campo eléctrico assume o seu valor máximo. 2. É possível carregar electricamente um pedaço de plástico bombardeandoo no vazio com um feixe de electrões, que ficam retidos no plástico. Na figura está representado um disco, de raio a e espessura desprezável, que foi carregado dessa forma. A densidade superficial de carga, considerada uniforme, é. a) Determine o campo eléctrico E ao longo do eixo do disco. b) Determine o valor de E quando z 0. c) Determine o valor de E quando z. d) Obtenha o campo eléctrico originado por um plano infinito com uma distribuição superficial de carga uniforme i) a partir dos resultados anteriores. ii) usando a lei de Gauss. 3. A figura representa um fio de comprimento l, carregado com densidade de carga λ>0; o ponto P está à distância d do fio e a distância de P às extremidades do fio é determinada pelos ângulos e. a) Calcule o campo eléctrico criado pelo fio no ponto P. Analise o resultado para o caso particular do ponto P estar equidistante das extremidades do fio. b) Generalize para o caso de l. c) Confirme o resultado da alínea anterior, usando a lei de Gauss. 4. Uma superfície semi-esférica de raio a está carregada com uma distribuição uniforme de carga de densidade uniforme (C/m 2 ). Determine o campo eléctrico no centro da esfera. 5. Um campo electrostático é definido do seguinte modo: E = k ε 0 i, E = 2k ε 0 (1 + x a ) i, para x > a para 0 < x < a E = k ε 0 i, para x < 0, sendo k uma constante positiva. a) Determine a distribuição de cargas que cria este campo.
b) Mostre que a lei de Gauss é satisfeita para um cubo de aresta a, centrado na origem do sistema de eixos cartesianos e com duas faces paralelas ao plano x=0. c) Calcule a variação de energia potencial de uma carga pontual positiva, q 0, que se move do ponto A(2a, 0, 0) para o ponto B(10a, 0, 0), admitindo que esta carga não perturba o campo previamente existente. 6. a) Um cilindro muito longo de raio R está carregado uniformemente, sendo ρ a densidade volumétrica de carga. Calcule o campo eléctrico criado em todo o espaço. b) Considere que no cilindro é feita uma cavidade também cilíndrica, como se mostra na figura. Determine o campo eléctrico no interior da cavidade. Nota: pode considerar que a cavidade corresponde a uma sobreposição de 2 densidades de carga +ρ e ρ. 7. Num plasma, constituído por iões positivos de carga +q e electrões de carga -q, o potencial eléctrico à distância de um ião, colocado na origem, é dado pela expressão: V(r) = q 4πε 0 r e μr Determine a carga eléctrica Q(r) contida num volume esférico de plasma, de raio r e centro no ponto O. Analise o significado físico dos casos limite r 0 e r. Obtenha a expressão da distribuição radial de carga em torno do ião. 8. Uma esfera de raio a, colocada no vazio, tem uma distribuição de carga eléctrica representada pela seguinte densidade de carga ρ(r) = ρ 0 (1 k r2 a 2) (C/m3 ), 0 r a onde ρ 0 e k designam constantes positivas e r é a distância ao centro da esfera. a) Calcule o campo eléctrico em todo o espaço. b) Verifique que, na região livre de cargas, o potencial eléctrico satisfaz a equação de Laplace. c) Determine o valor da constante k, para o qual o campo eléctrico se anula na região r>a e indique, justificando, qual a carga total da esfera nestas condições. d) Faça um esboço do módulo do campo eléctrico, para o valor de k obtido em c). 9. Uma esfera de raio R tem a carga +Q, distribuída de acordo com a densidade ρ(r) = A(R-r), para 0<r<R. A esfera está no interior de outra esfera, condutora, concêntrica com a primeira, de raio 2R e espessura d, sendo d<<r. a) Determine A em função de R e Q. b) Calcule o campo eléctrico e o potencial em todo o espaço, no caso de a esfera condutora estar electricamente neutra. c) Suponha agora que a esfera condutora é ligada à Terra. Determine: i) as alterações no campo eléctrico e no potencial na região entre as duas esferas e fora delas; ii) as alterações nas distribuições de carga. Calcule a densidade superficial de carga na esfera condutora. 10. Do ponto de vista eléctrico, a superfície da Terra pode ser considerada um bom condutor, com uma densidade média de carga superficial 0. O campo eléctrico junto à superfície aponta para a Terra e tem aproximadamente o valor de 150 V/m. O raio da Terra mede cerca de 6400 km. a) Obtenha o valor da densidade superficial de carga e a carga total na superfície da Terra.
b) A intensidade do campo eléctrico diminui com a distância ao solo, sendo de cerca de 100V/m a uma altura de 100 m. Calcule o valor médio da carga por metro cúbico na camada atmosférica compreendida entre a superfície da Terra e a altitude de 100 m. c) A densidade volumétrica de carga calculada na alínea anterior resulta da existência de um elevado número de iões de carga unitária positiva n +, e negativos, n -, por unidade de volume. Perto da superfície da Terra, pode considerar-se que n + n - 6 10 8 m -3. Estes iões movem-se sob a acção do campo eléctrico da Terra, sendo a sua velocidade proporcional à intensidade, E, do campo: v=1,5 10-4 E. Determine o tempo que os iões atmosféricos demorariam a reduzir a carga existente na superfície da Terra a 10-3 do seu valor, se não ocorressem outros fenómenos que contribuem para a manter. 11. Numa esfera de raio a existe uma distribuição de carga, cuja densidade espacial varia com a distância r ao centro, de acordo com a expressão ρ=kr (C/m 3 ), sendo k uma constante. a) Obtenha a expressão do campo eléctrico em todo o espaço e determine o potencial no centro da esfera. b) Obtenha a energia electrostática associada à distribuição de cargas. 12. O átomo de hidrogénio é constituído por um protão de carga +e (núcleo) e por um electrão de carga -e. No estado fundamental, o electrão pode ser descrito por uma nuvem electrónica de densidade de carga: ρ(r) = A a 0 3 e 2r/a 0, onde r é a distância ao núcleo, A é uma constante e a 0 é o raio de Bohr (a 0 = 0; 529 10-10 m). a) Determine a constante A (note que a densidade carga do electrão não cai abruptamente para zero para um dado valor de r, pelo que deverá ser tratada como estendendo-se até ). b) Obtenha o campo eléctrico criado pelo electrão para r=a 0. c) Determine o campo eléctrico total (criado pelo electrão e pelo protão) para r=a 0. e αr r 2 dr = e αr ( r2 α + 2r α 2 + 2 α 3) ; lim r e r r n = 0 13. Resolvendo as equações locais do campo, determine o campo eléctrico criado por uma distribuição de carga esfericamente simétrica, ρ(r) = kr (k constante), localizada na camada esférica com a<r<b. 14. Considere duas esferas concêntricas de raios a e b (a<b), respectivamente. A distribuição de cargas existente é tal que o potencial eléctrico é dado pelas seguintes expressões: V(r) = ka3 12ε 0 ( a b 2 + 2 r2 a 2 r3 a 3), r a; V(r) = ka4 ( 1 12ε 0 b 1 r ), a r b; V(r) = 0, r b, sendo k uma constante positiva. a) Calcule o campo eléctrico em todo o espaço. b) Determine a distribuição de cargas que origina este potencial eléctrico. c) Admitindo que se mantêm as condições anteriores, determine a velocidade com que um electrão (carga -e e massa m e ) atinge a superfície r=b, se escapar com velocidade nula da superfície r = a.
15. Numa determinada região do espaço o campo electrostático é dado pelas seguintes expressões: E (r) = ρ 0r 2 4ε 0 a e r, r a E (r) = ρ 0a 3 4ε 0 r 2 e r, a r < b E (r) = 0, r > b sendo ρ 0 e ε 0 constantes e r a coordenada radial, em coordenadas esféricas. a) Determine a distribuição de cargas que cria este campo. b) Calcule a diferença de potencial entre as superfícies r=a e r=b. c) Obtenha a energia electrostática armazenada neste sistema. 16. O campo criado por um dipolo eléctrico, a uma distância r muito maior do que as dimensões do dipolo, é dado pela expressão E (r, θ) = ξ r 3 (2cosθ e r + sinθe θ) com ξ constante, em coordenadas esféricas. a) Calcule. E e E. b) Obtenha o fluxo através de uma superfície fechada de raio r 0, centrada no dipolo, E. ds. O que conclui? c) Calcule o potencial eléctrico por integração da equação E = V. 17. Uma placa de comprimento c, largura l e espessura d é constituída por um material linear, homogéneo e isotrópico, que é isolador e tem permitividade eléctrica ε. Considere que c>l>>d. A placa foi bombardeada com um feixe de partículas carregadas, tendo ficado com uma distribuição volumétrica de carga livre ρ l. Considere que a placa se encontra entre os planos x= d/2 e x=+d/2 de um sistema de eixos cartesianos. a) Obtenha o campo eléctrico no exterior da placa. b) Obtenha o campo eléctrico no interior da mesma. c) Calcule a diferença de potencial entre as duas faces da placa (situadas em x=-d/2 e x=+d/2). 18. Um condensador plano ideal é constituído por duas placas condutoras paralelas de área A separadas por uma distância d muito menor que a dimensão das placas, de tal forma que o efeito de bordos é desprezável. O meio que separa as placas é um isolador perfeito de permitividade relativa ε r. Uma das placas tem densidade superficial de carga + e a outra tem densidade de carga -. a) Determine o campo eléctrico em todo o espaço. b) Obtenha as distribuições de cargas de polarização no dieléctrico. c)calcule a capacidade do condensador. 19. Um condensador plano real é caracterizado pela sua capacidade, pela tensão máxima que pode suportar e pela resistência de fuga. A tensão máxima está associada à rigidez dieléctrica do meio, i.e., ao valor do campo eléctrico a partir do qual o meio entre as placas se torna condutor, provocando uma descarga. A resistência de fuga resulta da condutividade não nula do isolante. Na figura está representado o circuito equivalente a um condensador real, constituído por um condensador ideal em paralelo com uma resistência. Os condensadores de mica, por ex., têm tensões máximas e resistências de fuga elevadas, mas baixas capacidades. Os condensadores electrolíticos, pelo contrário, têm tensões máximas e resistência de fuga baixas, mas capacidades muito elevadas. Considere um condensador plano com área 0,1 m 2 e distância entre as placas de 0,1 mm; o espaço entre as placas está preenchido por um dieléctrico de permitividade relativa ε r= 5 e condutividade =10-9 S/m. A rigidez dieléctrica do meio é igual a 6 MV/m. a) Determine a capacidade do condensador.
b) Determine a tensão máxima que se pode aplicar entre as placas. c) Determine a resistência de fuga do condensador. d) Ignorou-se nas alíneas anteriores o efeito de bordos, desprezando o campo eléctrico fora da região entre as placas. Se esse efeito for considerado, a capacidade será maior, menor ou igual à calculada? Justique. 20. Dois condensadores planos, de igual capacidade C, ligados em paralelo, são carregados até ficarem à tensão V 1 e em seguida isolados da fonte. Um dieléctrico, de permitividade eléctrica ε r, é então introduzido num dos condensadores, preenchendo completamente o espaço entre as placas. Calcule a carga livre transferida de um condensador para o outro e a diferença de potencial final V 2 entre as placas dos condensadores em função de C, V 1 e ε r. 21. Um condensador esférico formado por dois condutores esféricos concêntricos, de raios a=4 cm e b=5 cm, respectivamente, é carregado de modo a estabelecer uma diferença de potencial de 400 V entre as suas armaduras e em seguida é isolado da fonte. O espaço entre os condutores é então preenchido com querosene vaporizado de permitividade eléctrica ε r =2,5. a) Calcule o valor da diferença de potencial entre as armaduras no condensador contendo querosene. b) Determine a carga adquirida pelo condensador e indique se esta carga é afectada quando se introduz o dieléctrico. c) Determine a razão entre a capacidade final e a inicial. 22. Um eletreto é o equivalente eléctrico de um magnete, i.e, cria um campo eléctrico permanente, tal como um magnete cria um campo magnético. Um eletreto cilíndrico de raio a e comprimento l tem polarização uniforme P = P 0 e x, sendo o plano xy o plano da base do cilindro, (x,y,z) as coordenadas cartesianas e (e x, e y, e z ) os versores correspondentes. Determine as densidades de carga de polarização. 23. Um cabo coaxial é uma linha de transmissão usada frequentemente para estabelecer ligações entre circuitos electrónicos, antenas, etc. O cabo, de comprimento L, é constituído por um fio metálico de raio a, coaxial com uma película metálica cilíndrica de raio b. Entre ambos há um dieléctrico de permitividade relativa ε r. O cabo constitui um condensador cuja capacidade está distribuída ao longo do seu comprimento. Aplica-se uma diferença potencial V entre os dois condutores. a) Calcule os campos D, E e P em todo o espaço (considere que L>>b e despreze efeitos de bordos). b) Determine a capacidade do cabo por unidade de comprimento. c) Determine a energia electrostática armazenada no cabo. d) Calcule o trabalho necessário para remover o dieléctrico, mantendo constante a d.d.p. entre as armaduras.
24. Um condensador plano é formado por duas placas quadradas de lado l, colocadas à distância d uma da outra (d<<l). As placas estão ligadas a uma bateria que mantém uma diferença de potencial constante V entre elas. A região entre as placas do condensador está totalmente preenchida por um dieléctrico de densidade (massa volúmica) ρ e permitividade eléctrica ε r. Retira-se parcialmente o dieléctrico de uma distância x paralela a um dos lados das placas e abandona-se nessa posição. a) Determine a expressão da força a que o dieléctrico fica sujeito. b) Obtenha a expressão do período do movimento que o dieléctrico vai efectuar, desprezando o atrito e os efeitos de finitude das placas. x 25. Um cabo coaxial real tem correntes de fuga, devido à condutividade não nula do meio dieléctrico entre os condutores. As correntes introduzem ruído e causam atenuação dos sinais transmitidos pelo cabo. a) Considere um cabo coaxial com um condutor interior de raio a=1 mm e um condutor exterior de raio b=4mm. Entre os dois condutores, o meio dieléctrico tem uma condutividade que varia linearmente com a distância ao eixo do cabo, r, de acordo com a expressão σ(r) = σ b r b com b=10-7 S/m. Considere um cabo de comprimento l=1 m e uma corrente de fuga I f. a) Determine a densidade de corrente entre o condutor interior e o exterior. b) Determine o campo eléctrico no dieléctrico e a diferença de potencial entre os dois condutores. c) Determine a resistência de fuga entre os dois condutores. 26. No microfone electrostático ou de condensador ilustrado na figura, uma onda de pressão sonora desloca um diafragma numa direcção perpendicular à sua superfície. O diafragma é formado por uma fina membrana metálica sobreposta a um dieléctrico flexível de espessura a e permitividade ε 1. A superfície inferior do dieléctrico foi bombardeada com iões que ficaram retidos na superfície, criando uma densidade superficial de carga uniforme s. A superfície inferior está a uma distância variável, x(t), de uma grelha metálica fixa. A função x(t) traduz a variação de pressão associada à onda sonora. A membrana metálica superior está ligada directamente à terra (V M =0) e a grelha inferior está ligada à terra por uma pequena resistência (V g =0). Considere que o campo eléctrico é uniforme no dieléctrico e no ar. a) Determine o campo eléctrico no dieléctrico, E 1 e no ar, E 0, bem como o potencial V na superfície inferior do dieléctrico. b) Determine a carga na face superior da grelha de área A. c) Determine a corrente que circula na resistência se x(t)=x 0 +bsin( t), com x 0>>b.