ADERÊNCIA DE TÁBUAS DE MORTALIDADE GERAL PARA AVALIAÇÕES ATUARIAIS * Ricardo Frischtak * Paulo Pereira
Mortalidade Geral q x *Como testar a adequação de tábuas de mortalidade geral? *Metodologias já vistas: *Intervalos de influência para o número total de óbitos * Teorema Central do Limite (TCL) * Distribuição Poisson com transformada PPPPPPP + 3/8, aproximando a distribuição Normal *Testes Qui-quadrado e de Kolmogorov-Smirnov *Nova proposta: Intervalos de Influência EXATOS
PARTE 1 A Distribuição Poisson binomial
Definição P( I j 1) q e P( I 0) 1 j j q j D j I j P( D k) q i (1 q j ) AF ia ja k c em que F k é o conjunto de todos os subconjuntos de k inteiros que podem ser selecionados de {1,2,3,...,n} para óbito e A c = {1,2,3,...,n}\A
Exemplo Para n=3, temos que avaliar 4 probabilidades: P(D=k), k=0,1,2 e 3 P( D 2) q1q2 (1 q3) q1q3 (1 q2) q2q3(1 q1) Soma de 3 3 2 parcelas
Dificuldade computacional Numa população real de n=1000, temos de avaliar 1001 probabilidades do tipo 1000 k Para k=2, temos 499.500 parcelas Para k=10, temos 2,63 x 10 23 parcelas Para k=100, temos 6,38 x 10 139 parcelas Cada parcela contém 999 multiplicações INVIÁVEL
Distribuição Poisson binomial *Método recursivo *Barlow e Heidtmann (1984) *Butler e Stephens (1993) Não se aplica a populações de tamanho maior que 20 *Fernández e Williams (2010) Usa a transformada de Fourier discreta para obter uma expressão fechada alternativa *Hong (2013) *Apresenta uma derivação mais simples (baseada na função característica) *Fornece um pacote (poibin) para o software estatístico R
Distribuição Poisson binomial *Yili Hong. On computing the distribution function for the Poisson binomial distribution. Computational Statistics & Data Analysis, Volume 59, March 2013, Pages 41 51. *O usuário informa os q j das diversas variáveis I j e o programa devolve as probabilidades P(D=k) *Alternativas ao uso do R: *Aproximação Binomial *Aproximação de Poisson *Aproximação Normal (baseada no TCL)
Aproximação de Poisson *Teorema de Le Cam *Lado esquerdo é uma medida de distância denominada variação total da distância (total variation distance) n i i k k q k e k D P 1 2 0 2! ) (
Distribuição de Poisson no Excel
Aproximação Binomial Binomial ( n, q), q 1 n n j1 q j *No Excel, a função DISTR.BINOM calcula as probabilidades da distribuição Binomial
Distribuição Binomial no Excel
Intervalos de Influência *Relembrando: Intervalo de influência de uma tábua é o conjunto de valores viáveis do número total de óbitos, que contém quase 100% da massa de probabilidade quase 100% quantis 0.00135 e 0.99865 *Serão considerados: *Dois perfis populacionais: uma jovem e outra madura *Diferentes tamanhos de população: 100, 500, 1.000, 3.000, 9.000, 15.000 e 30.000 *Tábua AT 2000 masculina
Perfis populacionais e tábua AT 2000 masculina
Comparação da distribuição exata com as aproximações População madura n=100 Linha verde: Normal Marcador azul: Poisson Marcador vermelho: Binomial Linha preta e marcador preto: Poisson binomial
Comparação da distribuição exata com as aproximações População madura n=500 Linha verde: Normal Marcador azul: Poisson Marcador vermelho: Binomial Linha preta e marcador preto: Poisson binomial
Comparação da distribuição exata com as aproximações População madura n=1000 Linha verde: Normal Marcador azul: Poisson Marcador vermelho: Binomial Linha preta e marcador preto: Poisson binomial
Distâncias das Aproximações População Jovem
Distâncias das Aproximações População Madura
Distâncias das Aproximações Ambas Populações
Intervalos de Influência *Erro = probabilidade de uma decisão errada ao usar uma aproximação *Exemplo: população jovem de tamanho 30.000 Limite Inferior Limite Superior Poisson binomial 181 226 Aproximação de Poisson 180 227 Erro = P(decisão errada) = P(D=180) + P(D=227) = 0.007005958 + 0.006728084 = 0.01373404 1.37%
População jovem Erros
População madura Erros
Observações *Em geral, os erros das aproximações Binomial e de Poisson surgem para populações maiores *Os erros da aproximação Binomial foram menores ou iguais aos erros da aproximação de Poisson *Os erros serão maiores para intervalos de influência menores (por exemplo, intervalos de 90%) *Em termos absolutos, os quantis aproximados não diferiram em mais de uma unidade dos quantis exatos
Conclusões *A distribuição Binomial é a melhor aproximação para populações pequenas *Para um número esperado de óbitos maior que 100, a aproximação Normal se torna muito boa *Para efeitos de intervalos de influência, mesmo para populações pequenas, os erros cometidos são muito pequenos