mata prova 65, ª fase, 06 proposta de resolução Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática A.º Ano de Escolaridade Prova 65/.ª Fase 8 páginas 06 Grupo I. P A B P A B P A B P A B PB 6 0 0 P A B P A P B P A B 0 Resposta: Versão Versão (C). 7 0 0 P X P X P X P 0 X 0, 0, Resposta: Versão Versão (B) (C). a a a e a ae a a e a lim lim lim lim a a a a a a a a a a Resposta: Versão Versão (B) / 8
mata prova 65, ª fase, 06 proposta de resolução. f e f e lim lim lim lim f f lim 0 lim Resposta: Versão Versão (B) 5. h cos ; B sin ; b A trapézio sin sin sin.cos cos cos cos Resposta: Versão Versão (C) 6. cis º Q cis º Q Resposta: Versão Versão (A) 7. BA. BC BA BC cos BA BA cos 80 50 cos 0 Resposta: Versão Versão (C) (A) 8. n limvn lim ln ln e n kn k limun lim k n Resposta: Versão Versão (B) (A) / 8
mata prova 65, ª fase, 06 proposta de resolução Grupo II. Como i cos Como a representação de i encontra-se no IIº quadrante, arg i i cis Então, podemos escrever: 8cis z cis cis z cis z z cis cis cis Para que z z seja um real terá de se verificar: 0 k k Como 0, k 0 k, então:, 0, O valor de. / 8
mata prova 65, ª fase, 06 proposta de resolução... i 8 P X i 6 5 8 P X P X P X P X C C 6 C C C C C 5 8 C C C 8 C.. Para que o número seja ímpar, significa que o último algarismo terá de ser o número. Assim, dos 8 lugares disponíveis para colocar os restantes números ( algarismos) temos 8 C possibilidades. Para colocar os números ( algarismos) temos 5 espaços disponíveis, logo possibilidades. O lugar que sobrar é para colocar o algarismo. Desta forma, podemos concluir que eistem diferentes. C C 80 números ímpares 8 5 5 C... raio (cota do ponto A) centor,, Equação da superfície esférica: y z / 8
mata prova 65, ª fase, 06 proposta de resolução.. PM AC,,,, Como a pirâmide é regular podemos afirmar que V,,z, por outro lado sabemos que V pertence ao plano BCV, substituindo na equação do plano obtemos: z0 0 z Então: V,,.. O vetor da reta AC pode ser considerado como vetor normal ao plano. AC C A,,0 : y d 0, como P, substituindo temos: d 0 d 6 Assim, : y 6 0 Interseção dos planos: y 6 0 y y z 0 0 z 0 y y, y,0 y Podemos então escrever que os pontos de interseção são dados por:, y, z y, y,0 y, y, z,0,0 y,,, y Considerando y k, y, z,0,0 k,,, k, temos a equação vetorial da reta: 5 / 8
mata prova 65, ª fase, 06 proposta de resolução... h ' t sin t sin t cos t cos t Zeros da derivada: h' t 0 t tcos 0 t 0 cos t 0 k t 0 t, k No intervalo 0,, as soluções são: t 0 ; t (quando k 0 ); t (quando k ) 0 t 0 + + + + + cos t + 0 0 + h't 0 + 0 0 + ht min. h 0 ma. h min. h ma. h h0 0 h 8 h 77 h 0 8 M e m 77 8 77 A m, logo: 6 / 8
mata prova 65, ª fase, 06 proposta de resolução.. Consideremos as duas funções: ht e y,5 Utilizando as potencialidades da máquina de calcular, obtemos a seguinte representação gráfica: A interseção das duas funções, no intervalo 0, ocorre nos pontos representados por A e B, que têm abcissas a 0, 606 e b 0,877, respetivamente. Assim ba 0,7, que no conteto do problema significa que durante 0,7 minutos a distância do ponto P a um ponto fio no vale é inferior a,5 metros. 5. 5.. f f p lim f ' e e q e e q representa o declive de uma reta perpendicular à reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa. 5.. f '' e e e Zeros da segunda derivada: f e e '' 0 0 0 0 7 / 8
mata prova 65, ª fase, 06 proposta de resolução f '' + 0 0 + f p.i. p.i. Concavidade voltada para baio:, Concavidade voltada para cima:,, Abcissas dos pontos de infleão: e 6. 6.. Tendo em conta do domínio da função, apenas faz sentido analisar as assíntotas verticais à esquerda e direita, respetivamente dos pontos de abcissa e. lim ln ln 0 Assim, é uma assíntota vertical da função f. 0 lim ln ln ln 0 Assim, é uma assíntota vertical da função f. 6.. a f a ln a a a a a a f a ln ln ln ln ln a a a a a A reta secante à função f que passa pelos pontos de abcissa a e a, passa pelos pontos, a, f a, sendo o declive da reta: a f a e f a f a f a f a f a a a a a Como a equação da reta é dada por y m b, substituindo o declive e as coordenadas do ponto a, f a, o valor de b é: f a f a a b b 0, assim a equação é a passa pela origem do referencial. f a y que é uma equação linear, logo a Bom trabalho!! 8 / 8