Departamento Matemática Curso Engenharia e Gestão Industrial 2º Semestre 1º Folha Nº2 1. Na inspecção final a um produto este é classificado como aceitável para lançamento no mercado ou não. O produto rejeitado para venda é posteriormente classificado em um dos seguintes tipos de defeitos: funcionais, menores ou de cosmética. Um produto é seleccionado aleatoriamente de um lote e é classificado. Escreva o espaço de resultados para esta experiência. 2. As possibilidades de escolha para um determinado automóvel contempla: transmissão automática ou manual, com ou sem ar condicionado e uma das quatro cores : branco, preto, azul ou vermelho. Escreva o espaço amostral associado à experiência da escolha de um automóvel. 3. Ao dar ordem de compra de um computador é necessário especificar, em relação ao seu sistema, a memória (1, 2 ou 3Gb) e capacidade do disco (200, 300 e 400 Gb). a) Escreva o conjunto de todas as ordens possíveis. b) Represente os seguintes acontecimentos: A = {ordem de um computador com pelo menos 2 Gb de memória}; B = {ordem de um computador com 400 Gb de disco} C = {ordem de um computador com pelo menos 300 Gb de disco e pelo menos 2 Gb de memória} 4. Uma máquina automática de controlo verifica, de 10 em 10 minutos, se as latas que saem da linha de enchimento têm o volume de bebida dentro das especificações pré-estabelecidas. A operação é interrompida quando uma lata falha essas especificações. Escreva o espaço de resultados associado a esta experiência. Página 1 de 10
2º Semestre 1º 5. Considere um sistema composto de duas componentes. É feita a inspecção a um destes sistemas e o estado das suas componentes é registado: bom ou com defeito. a) Escreva o espaço de resultados desta experiência. b) Suponha agora que na inspecção de um sistema é registado o número de componentes com defeito. Qual é o espaço de resultados desta experiência? 6. Lançam-se ao acaso 2 moedas e é registado a face voltada para cima. a) Escreva o espaço de resultados da experiência. b) Descreva os acontecimentos elementares. c) Represente os seguintes acontecimentos: A= {sair uma face} B= {sair no máximo uma face} C= {sair pelo menos uma face} 7. Fazem-se lançamentos de uma moeda até sair face pela 1ª vez. Descreva o espaço amostral da experiência 8. Para cada uma das seguintes situações diga qual a definição de probabilidade que está a ser usada. a) Um jogador passa 3 dias num casino a observar uma roleta e a registar o número de vezes que a bola cai em cada casa da roleta. No 4º dia o jogador volta ao casino, desta vez para jogar, e aposta sempre no número 20. b) Em determinado país o bilhete da lotaria nacional tem um número de 6 algarismos. Quem tiver o bilhete com o número premiado ganha $100 000. Um jogador compra um bilhete cujo número representa o mês, o dia e o ano do seu nascimento. c) Suponha que está num banco no final de uma grande fila e repara que um dos 5 empregados que estão a atender é muito simpático. Apercebe-se imediatamente que a probabilidade de ser atendido por esse empregado é 0.2. Página 2 de 10
2º Semestre 1º 9. Sejam A,B e C três acontecimentos associados a uma dada experiência aleatória. Encontre expressões para os seguintes novos acontecimentos: a) só ocorre A; b) ocorre A e B mas não C; c) ocorrem os três; d) ocorre pelo menos um; e) ocorrem pelo menos dois; f) exactamente um dos acontecimentos ocorre; g) exactamente dois dos acontecimentos ocorrem; h) nenhum ocorre; i) não mais de dois acontecimentos ocorrem simultaneamente. 10. Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10 sendo 3 vermelhas (2,4 e 6), 5 azuis (1,3,7,9 e 10) e duas brancas (5 e 8). Considere a experiência aleatória que consiste na extracção de uma bola da urna e o registo do seu número e cor. a) Construa o espaço de resultados associado a esta experiência aleatória. b) Calcule a probabilidade de ocorrência dos seguintes acontecimentos: i) sai bola vermelha; ii) sai bola ímpar; iii) sai bola vermelha e bola ímpar; iv) sai bola vermelha e bola par; v) sai bola ímpar ou bola branca; vi) não sai nem bola azul nem bola par; vii) não sai simultaneamente bola azul e bola par; viii) sai bola branca mas não sai bola ímpar; ix) sai bola branca ou bola par mas não ambas. Página 3 de 10
2º Semestre 1º 11. Em 3 caixas idênticas existem lâmpadas perfeitas, lâmpadas com defeitos tipo A e lâmpadas com defeitos tipo B nas seguintes quantidades: Caixa 1: 15 lâmpadas perfeitas e 5 com defeitos tipo A; Caixa 2: 10 lâmpadas perfeitas, 4 com defeitos tipo A e 2 com defeitos tipo B; Caixa 3: 12 lâmpadas perfeitas e 3 com defeitos tipo B a) Retira-se ao acaso uma lâmpada da caixa 2. Calcule a probabilidade de: i) a lâmpada ser perfeita; ii) a lâmpada não ter defeito tipo A; iii) a lâmpada ser perfeita ou ter defeito tipo B. b) Retiram-se, sem reposição, 3 lâmpadas da caixa 1. Calcule a probabilidade de: i) só uma lâmpada ser defeituosa; ii) nenhuma ser defeituosa; iii) pelo menos uma lâmpada ser defeituosa. c) Selecciona-se uma caixa ao acaso e retiram-se sem reposição 3 lâmpadas dessa caixa. i) Calcule a probabilidade de haver pelo menos uma lâmpada com defeito. ii) Sabendo que nenhuma lâmpada tinha defeitos calcule a probabilidade de as lâmpadas terem sido retiradas da caixa 1. 12. Um lote é formado por 10 artigos bons, 4 com defeitos menores e 2 com defeitos graves. Escolhe-se ao acaso um artigo. Calcule a probabilidade de: a) o artigo não ser defeituoso; b) o artigo não ter defeitos menores; c) o artigo ser perfeito ou possuir defeitos graves. 13. Seja A o acontecimento um estudante fica em casa para estudar e B o acontecimento vai ao cinema, sendo P(A) = 0.64 e P(B) = 0.21, determine as seguinte probabilidades: a) P( A ) b) P(A B) c) P(A B) Página 4 de 10
2º Semestre 1º 14. Considerem-se três acontecimentos A, B e C tais que A B C = Ω, P(A) = 0.3, P( B ) = 0.7, P(C) = 0.5 e A B = C B =. Calcule P(A C). 15. Suponha que A, B e C são acontecimentos tais que: P(A) = P(B) = P(C) = 1/4 P(A B) = P(C B) = 0 P(A C) = 1/8 a) Calcule a probabilidade de pelo menos um deles ocorrer. b) Calcule a probabilidade de nenhum ocorrer. 16. Sendo P(A) = 0.5 e P(A B) = 0.7 determine: a) P(B) sendo A e B independentes; b) P(B) sendo A e B mutuamente exclusivos; c) P(B) sendo P(A B) = 0.5. 17. Considere os acontecimentos A, B e C com probabilidades não nulas. Sabendo que: - C é mutuamente exclusivo quer com A quer com B; - Dois dos acontecimentos são independentes; - P(A) = 0.2, P(A B) = 0.06, P(C) = 0.15 Calcule P(A B C). 18. Uma urna contém 10 bolas das quais 6 são brancas e 4 verdes. Fazem-se 2 extracções sucessivas sem reposição. a) Diga qual a probabilidade de sair bola verde na segunda extracção sabendo que na 1ª extracção saiu bola branca. b) Diga qual a probabilidade de sair bola branca na 1ª extracção e bola verde na 2ª. c) Diga qual a probabilidade de sair bola verde na 2ª extracção. d) Diga qual a probabilidade de sair bola branca na 1ª extracção. e) Calcule as probabilidades referidas nas alíneas anteriores supondo agora que as bolas foram sucessivamente extraídas com reposição. f) Que pode dizer relativamente à independência dos acontecimentos: extracção de bola branca na 1ª tiragem e extracção de bola verde na 2ª tiragem, nas situações de extracção com reposição e sem reposição? Página 5 de 10
2º Semestre 1º 19. Luis entrou agora para a Universidade e foi informado de que há 30% de possibilidades de vir a receber uma bolsa de estudo. No caso de a receber, a probabilidade de se licenciar em 5 anos é de 0.85, enquanto que no caso de a não obter essa probabilidade é apenas de 0.45. a) Diga a Luis qual a probabilidade de que ele se licencie em 5 anos. b) Se daqui a 5 anos encontrar Luis já licenciado, qual a probabilidade de que tenha recebido a bolsa de estudo? 20. Uma empresa fabrica aparelhos eléctricos em duas cadeias de produção A e B. Sabe-se que a probabilidade de um desses artigos ser exportado é 0.2 se produzido pela cadeia A, e de 0.5 se produzido pela cadeia B. Além disso, a proporção de artigos provenientes da cadeia A é de 52%. a) Escolhendo um artigo ao acaso da produção da empresa, qual a probabilidade de ser exportado? b) Sabendo que o artigo não foi exportado, qual a probabilidade dele ter sido produzido pela cadeia B? 21. Numa determinada localidade 60% dos utilizadores da Internet nos seus computadores pessoais fazem-no através da ligação à empresa A, enquanto que os restantes são clientes da empresa B. Após um estudo de opinião de mercado concluiu-se que 70% dos utilizadores estão satisfeitos com o serviço. Dos clientes da empresa A, 80% afirmaram estarem satisfeitos com o seu serviço. a) Dos clientes da empresa B, qual a percentagem dos que estão satisfeitos com o serviço? b) Nos utilizadores satisfeitos com o serviço, calcule a percentagem dos que são clientes da empresa A. c) Determine a percentagem de utilizadores que são clientes da empresa A e que estão satisfeitos com o serviço. 22. A probabilidade de um atirador acertar no alvo é de 0.9. Em 3 disparos, calcule: a) a probabilidade de ele acertar as 3 vezes; b) a probabilidade de ele acertar pelo menos uma vez; a) a probabilidade de ele nunca acertar. Página 6 de 10
2º Semestre 1º 23. Uma fábrica de discos dispõe de 3 sectores de produção, A, B e C. Sabe-se que 50% dos discos provêm de A, que em C não há discos defeituosos e que 10% dos discos da fábrica são defeituosos. Sabe-se ainda que 2% dos discos da fábrica provêm de B e são defeituosos. Extrai-se ao acaso um disco da produção da fábrica. a) Determine a probabilidade do disco ser defeituoso, sabendo que provem de A. b) Determine a probabilidade do disco não provir de B, sabendo que é defeituoso. c) Sabendo que dos discos não defeituosos 40% provêm de C, calcule a probabilidade do disco provir de C. 24. Num stand de venda de automóveis encontramos veículos de baixa, média e alta cilindrada, e em relação ao seu custo há os de preço inferior ou superior a 2500 contos. Sabe-se que 40 % são de baixa cilindrada e, entre estes, 10% custam mais de 2500 contos. Sabe-se também que 20% são de média cilindrada e custam menos de 2500 contos. Verificou-se ainda que um automóvel que custe menos de 2500 tem probabilidade de ser de baixa cilindrada igual a 0.6. a) Calcule a probabilidade de um automóvel daquele stand custar menos de 2500 contos. b) Calcule a probabilidade de um automóvel daquele stand ser de alta cilindrada e custar menos de 2500 contos. 25. Um sistema de transmissão de mensagens dispõe de dois canais, C 1 e C 2. Cada mensagem é constituída por uma sucessão de zeros e uns, sendo 60% das mensagens encaminhadas pelo canal C 1. A probabilidade do sistema transmitir correctamente cada um dos sinais (0 ou 1) é de 0.95 para o canal C 1, e de 0.99 para o canal C 2. Se for emitida uma mensagem constituída pelo conjunto de sinais 011: a) qual a probabilidade de ser transmitida correctamente? b) sabendo que foi recebida como sendo 010, i.e., o terceiro sinal foi transmitido incorrectamente, qual é a probabilidade de ter sido transmitida pelo canal C 1? Página 7 de 10
2º Semestre 1º SOLUÇÕES 1. Ω={A, Rf, Rm, Rc} A Produto aceitável para lançamento no mercado Rf Produto rejeitado com defeitos funcionais Rm Produto rejeitado com defeitos menores Rc Produto rejeitado com defeitos de cosmética 2. Ω={ T a CB, T a CP, T a CA, T a CV, T a SB, T a SP, T a SA, T a SV,,T m CP, T m CA, T m CV, T m SB, T m SP, T m SA, T m SV,} T a Transmissão automática T m Transmissão manual C Com ar condicionado S Sem ar condicionado B Branco ; P Preto ; A Azul ; V Vermelho ; 3. a) Ω={M 1 C 200, M 1 C 300, M 1 C 400, M 2 C 200, M 2 C 300, M 2 C 400, M 3 C 200, M 3 C 300, M 3 C 400 } M i ordem de compra de um computador com i Gb de memória C i ordem de compra de um computador com i Gb de capacidade de disco b) A={M 2 C 200, M 2 C 300, M 2 C 400, M 3 C 200, M 3 C 300, M 3 C 400 } B={ M 1 C 400, M 2 C 400, M 3 C 400 } C={ M 2 C 300, M 2 C 400, M 3 C 300, M 3 C 400 } 4. Ω={N, AN, AAN, AAAN, AAAAN,.} A Lata aceite N Lata não aceite 5. a) Ω={BB, DB, DD, BD} B Componente boa N Componente com defeito b) Ω={0,1,2} 6. a) Ω={FF, FC, CC, CF} b) {FF} saída de face na 1º moeda e face na 2º moeda Página 8 de 10
2º Semestre 1º {FC} saída de face na 1º moeda e coroa na 2º moeda {CF} saída de coroa na 1º moeda e face na 2º moeda {CC} saída de coroa na 1º moeda e coroa na 2º moeda c) A={FC,CF}; B={CC, FC, CF}; C={FF, CF, FC} 7. Ω={F, CF,CCF,CCCF,CCCCF,...} 8. a) Frequencista b) Subjectiva c) Clássica 9. a) A B C ; b) A B C ; c) A B C; d) A B C; e) ( A B) (A C) (C B) ; f) ( A B C) (B A C) (C A B) g) ( A B C) (B A C) (C A B) ; h) A B C ; i) A B C 10. a) Ω={A1, V2, A3, V4, B5, V6, A7, B8, A9, A10} b) i) 0.3; ii) 0.5; iii) 0; iv) 0.3; v) 0.6; vi) 0.1; vii) 0.9; viii) 0.1 ix)0.5 11. a) i) 0.625; ii) 0.75; iii) 0.75 b) i) 0.4605263; ii) 0.3991; iii) 0.6009 c) i) 0.63443; ii) 0.3639 12. a)10/16; b)12/16; c) 12/16 13. a) 0.36; b) 0; c) 0.85 14. 0.1 15. a)5/8; b)3/8 16. a) 0.4; b) 0.2; c) 0.4 17. 0.59 18. a) 0.44444; b) 0.26667; c) 0.4; d) 0.6; e) 0.4 \ 0.24 \ 0.4 \ 0.6; f) Com reposição os acontecimentos são independentes; sem reposição os acontecimentos não são independentes. 19. a)0.57; b)0.4474 20. a=0.344; b)0.3659 21. a) 0.55; b) 0.6857; c)0.48 22. a) 0.9 3 ; b)1-0.1 3 ; c) 0.1 3 23. a) 0.16; b) 0.8; c) 0.36 Página 9 de 10
2º Semestre 1º 24. a) 0.6; b) 0.04 25. a)0.9025; b)0.8735 Página 10 de 10