Teoria Macroeconômica II

Teoria Macroeconômica II Professor: Tiago Berriel EPGE/FGV Julho/2011 1

Conteúdo CAPÍTULO 1 - FERRAMENTAS BÁSICAS 7 1.1 Cadeias de Markov¹ 7 1.2 Propriedades de Transição² 9 1.3 Distribuição Estacionária 11 CAPÍTULO 2 PROGRAMAÇÃO DINÂMICA 14 2.1 Formulação Sequêncial 14 2.2 Formulação Recursiva 15 2.3 Resolvendo a Equação Funcional 17 2.3.1 Exemplos 18 2.4 Programação Dinâmica Estocástica 22 2.5 Métodos Numéricos 22 CAPÍTULO 3 EQUILÍBRIO GERAL COM MERCADOS COMPLETOS 24 3.1 Estruturas de Mercado 25 3.2 Problema de Pareto 25 3.3 Equilíbrio competitivo na estrutura temporal de Arrow- Debreau 26 3.4 Preço de Equilíbrio 28 3.5 Mecanismo Geral de Precificação de Ativos 29 3.6 Comparando a Alocação de Equilíbrio Competitivo com a Alocação Eficiente de Pareto 30 CAPÍTULO 4 MODELOS DE CICLOS REAIS DE NEGÓCIOS 31 4.1 Introdução e fatos estilizados 31 4.2 Uma abordagem inicial para o problema das famílias 32 4.1.1 Uma versão mais geral do problema das famílias 34 4.2 Incluindo a firma competitiva 34 4.3 Um exemplo prático 36 4.4 Discutindo o modelo 38 2

CAPÍTULO 5 MODELO DA ARVORE DE LUCAS E INTRODUÇÃO AO ASSET PRICING 41 5.1 Conceito de equilíbrio e solução do modelo 42 5.2 Abordagem alternativa via equação de Euller 44 5.3 Mercados de Ativos Contingentes 44 5.4 CAPM do Consumo 46 5.5 O Equity-Premium Puzzle 48 CAPÍTULO 6 TAXAÇÃO ÓTIMA 50 6.1 Economia Não-Estocástica 51 6.1.1 Problema de otimização do agente representativo 52 6.1.2 Problema de Otimização da Firma Competitiva 54 6.2 O Problema de Ramsey 55 6.2.1 Taxação Ótima do Capital no Estado Estacionário 57 3

Introdução O objetivo do curso será o desenvolvimento de ferramentas básicas e modelos que nos ajudem a compreender os ciclos econômicos. Dessa forma, apresentação do material está divida em duas partes. A primeira delas, que pode ser definida como nosso ponto de partida, será o estudo da Economia Neoclássica. Esse ambiente é caracterizado pela ausência de fricções, mercados completos e pela existência de um agente representativo (ou planejador central) que toma decisões de forma ótima, obedecendo a determinadas condições de factibilidade. Estudaremos o modelo neoclássico, no qual assumimos a exigência de um agente representativo que enfrenta decisões de consumo e poupança a cada período de tempo. Este modelo tem como base o problema de acumulação ótima de capital que é bastante comum no estudo do crescimento econômico. Como uma extensão natural, veremos no Capítulo 3 o conceito equilíbrio competitivo em uma economia de trocas puras. Nossa próxima abordagem, no capítulo 4, será o estudo das oscilações do produto ao longo do tempo. Nossa base será o modelo dos Ciclos Reais de Negócios (Real Business Cycle, RBC), desenvolvido por Kydland & Prescott (1982). Nesse ponto, teremos uma introdução aos modelos dinâmicos de equilíbrio geral estocástico, também conhecidos pela sigla em inglês DSGE, analisando suas importantes contribuições para o estudo dos ciclos econômicos bem como suas principais deficiências e críticas. No Capítulo 5 veremos o modelo da árvore de Lucas, que nos apresentará mecanismos de precificação de ativos, e em seguida o estudo do Equity Premium Puzzle apresentado por Mehra & Prescott (1985). No Capítulo 6, que encerra o material da primeira parte do curso, introduziremos o governo e seus mecanismos de financiamento em uma modificação do modelo de acumulação ótima de capital. Utilizaremos esse ambiente para apresentar o problema da taxação ótima de Ramsey. Para desenvolver os temas apresentados no parágrafo anterior, será necessário apresentarmos as ferramentas básicas que serão imprescindíveis para o nosso trabalho. Na primeira parte do curso, nossas ferramentas de trabalho serão os processos estocásticos de Markov, tema abordado no Capítulo 1, e os métodos recursivos para a solução dos problemas de programação dinâmica, tema que será abordado no Capítulo2. Para tanto, nosso curso contará como uma introdução aos métodos numéricos básicos que nos ajudarão a lidar com esse tipo de problema. Na segunda parte do curso nosso objetivo será o estudo da economia Novo- Keynesiana, que será apresentado a partir de uma extensão do modelo básico de Real Business Cycle. Nosso estudo terá início com uma apresentação de dados empíricos e fatos estilizados que colocam em evidência a importância da moeda na determinação dos ciclos econômicos, seguida pela apresentação do modelo monetário clássico e finalmente, veremos uma introdução à estrutura básica do modelo Novo-Keynesiano propriamente dito, no qual derivaremos a curva de Phillips novo-keynesiana. 4

Em seguida teremos uma introdução ao desenho de mecanismos de política monetária e fiscal, veremos problemas de política econômica ótima, e por fim, veremos política monetária em um contexto de economia aberta. 5

Parte I 6

Capítulo 1 - Ferramentas Básicas No estudo da Economia Neoclássica, nosso objetivo será resolver o problema de um agente representativo, que vive por infinitos períodos em um ambiente de tempo discreto, escolhendo um fluxo de consumo e poupança a cada período de tempo. Esse agente está sujeito a uma seqüência de restrições orçamentárias ordenadas ao longo do tempo, que são essenciais para a sua tomada de decisão. Em termos analíticos o problema desse agente pode ser apresentado da seguinte forma: á. (PS.1) s.t.. 1 Em boa parte dos modelos econômicos que estudaremos ao longo do curso, os agentes econômicos estão sujeitos a algum tipo de incerteza. Essa incerteza pode ter como origem choques de produtividade associados ao mecanismo tecnológico usado para a produção de bens, nos choques associados à dotação de recursos do indivíduo, em choques exógenos que podem determinar a cada período se o indivíduo está empregado ou não, em choques que podem definir ofertas salariais que o indivíduo recebe a cada período de tempo, entre outras possibilidades. No caso do problema apresentado em (PS.1), a fonte de choques estocásticos é a dotação de recursos de um agente representativo ( ). Em geral, os problemas que serão tratados ao longo do curso assumem que tais choques são processos estocásticos que respeitam a uma determinada Cadeia de Markov. 1.1 Cadeias de Markov¹ Definição 1.1 (Processo Estocástico): Seja,, um espaço de medida. Um processo estocástico é uma seqüência crescente de sigma álgebras.. e uma seqüência de funções :, á. De forma simples e objetiva, um processo estocástico é uma seqüência de variáveis aleatórias, ou vetores aleatórios, ordenados ao longo do tempo. No curso, trabalharemos com modelos de tempo discreto, de forma que o processo estocástico será representado pela seqüência de variáveis aleatórias. Definição 1.2 (Espaço de Estado): O espaço de estado, denotado por, é um conjunto que contém todos os valores que a variável aleatória (ou vetor aleatório) pode assumir. ¹ Ao longo deste material letras maiúsculas representarão variáveis aleatórias e suas respectivas versões minúsculas suas realizações. Assim, representa uma variável aleatória, enquanto é uma realização. 7

Em nosso curso, trabalharemos com espaços de estado de dimensão finita, isto é, o processo estocástico poderá assumir apenas um número finito de valores. Em muitas ocasiões será útil associar a variável aleatória a um conjunto finito de números. Nesse caso, o espaço estado de uma variável aleatória que pode assumir N valores distintos será:,,.,. Cada elemento de pode ser interpretado como um estado distinto da economia. Se N=3, poderíamos pensar que representa uma situação em que a economia está em recessão, uma situação de estagnação no ritmo de crescimento e uma situação de expansão econômica. Do ponto de vista de uma firma produtora do bem de consumo da economia, poderíamos pensar como um choque negativo de produtividade, como um choque neutro e como um choque positivo. Definição 1.3 (Propriedade de Markov): Dizemos que um processo estocástico possui a propriedade de Markov se vale que, para todo 1 :,,..,, Dizemos nesse caso que o processo estocástico é markoviano de primeira ordem, ou simplesmente markoviano. Note que, representa a probabilidade condicional de que a variável aleatória passe do estado para o estado. Essa probabilidade condicional é também conhecida como probabilidade de transição. Definição 1.4 (Matriz de Transição): Para cada N, que representa a dimensão do espaço de estado, a matriz de transição é uma matriz que contém as probabilidades de transição de todos os possíveis estados da natureza, e que, portanto, é tal que 1, com 1, 0, para todo 1,.,., Nesse caso, cada i representa uma linha da matriz, de forma que a matriz de transição será NxN, sendo representada por:,,,, A matriz de transição é também conhecida como matriz estocástica. Apresentamos a seguir alguns exemplos de matriz de transição extraídos da literatura. Exemplo 1 (Hamilton,89) Crescimento Econômico nos EUA Nesse caso o espaço de estado é,, onde indica que a economia segue trajetória normal de expansão e indica que a economia está em recessão. A matriz de transição estimada foi a seguinte, 0,9 0,1 0,25 0,75 8

Nossa variável aleatória representa o ritmo de crescimento trimestral da economia. Segundo resultados encontrados pelo autor para a economia americana, temos: 1,2% 0,4% Exemplo 2 (Blanchard & Diamond, 90) Mercado de Trabalho nos EUA Nossa variável aleatória representa a situação de emprego de um indivíduo sorteado aleatoriamente. O espaço de estado é,,, onde indica que o indivíduo está empregado, indica que o indivíduo está desempregado e indica que o indivíduo está fora da força de trabalho. A matriz de transição estimada pelos autores foi: 0,971 0,013 0,016 0,246 0,63 0,123 0,028 0,017 0,955 Definição 1.5 (Vetor de Distribuição Inicial): É um vetor que contém a distribuição de probabilidades inicial da variável aleatória em relação aos possíveis estados da natureza. O vetor de distribuição inicial associado a um espaço de estado de dimensão N será representado pelo seguinte vetor Nx1:,,, Onde: 1, 0, 1,., e, 1. Definição 6 (Cadeia de Markov): Uma cadeia de markov é uma tripla que contém um espaço de estado, uma matriz de transição e um vetor de distribuição inicial, isto é,,,. 1.2 Propriedades de Transição¹ A) Um dos principais motivos pelos quais modelamos o processo estocástico como uma Cadeia de Markov é pela facilidade de obtermos probabilidades de transição de ordem superior por meio de simples manipulação algébrica. Por exemplo: ¹ Ao longo deste material, vetores serão representados por letras minúsculas em negrito. 9

.,.,, Onde, representa o elemento, da matriz. De forma mais geral, podemos dizer que,, B) A Cadeia de Markov nos dá uma lei de movimento sobre as distribuições de probabilidade incondicionais associadas a um número finito de estados. Nesse caso, a seqüência de distribuições de probabilidade incondicional será, onde será um vetor de dimensão N. Seja, um vetor cujos elementos podem ser interpretados como:,, 1,, Assim dado podemos obter a seqüência de distribuições de probabilidade incondicional como:.......... Onde o símbolo ( ) indica transposição do vetor. Assim, a distribuição de probabilidades evolui de acordo com o seguinte sistema linear homogêneo de equações em diferenças:. C) Os momentos condicionais e incondicionais da Cadeia de Markov podem ser calculados usando raciocínio similar. Definamos o vetor cujas entradas são os elementos do espaço estado como, Assim, temos o primeiro momento de cada elemento do processo aleatório, pode ser obtido por: 10

.......... Em relação a esperança condicional, considere o vetor, Nx1, definido anteriormente e o vetor, também Nx1. Defina agora.. Note que se, onde representa o vetor da base canônica cuja i-ésima entrada é 1 enquanto as demais são 0, teremos que. Dessa forma, a esperança condicional pode ser obtida por: 1.3 Distribuição Estacionária,..,.....,.. Uma distribuição de probabilidade estacionária, ou de steady-state, é um vetor que atende à seguinte equação: Ou, de forma equivalente,. 1.. 0 Vale lembrar que é um autovalor da matriz, se e somente se. é uma matriz singular. Por sua vez, uma matriz quadrada é singular se e somente se seu determinante for igual a zero. Assim, será autovalor de, se e só se,. 0 Uma forma equivalente de dizer que a matriz A é não singular é dizer que a única solução do sistema linear homogêneo é. 0 é 0. De forma equivalente, a matriz será não singular se o sistema. 0 outras soluções além de 0. Assim, se é um autovalor da matriz, de forma que. é singular, devem existir vetores não-nulos que são solução da equação... 0. Em outras palavras, se é um autovalor da matriz, então existe pelo menos um vetor 0, tal que, 11

.., 0 Nesse caso, o vetor 0 é chamado de autovetor associado ao autovalor. No contexto da Cadeia de Markov apresentada nessa seção, a distribuição invariante representada pelo vetor, é o autovetor associado ao autovalor unitário da matriz de transição. O requerimento de que 1 é apenas um procedimento para normalização do autovetor. Note que como, 1, com 1, 0, para todo 1,.,,então toda matriz de transição possui pelo menos um autovalor unitário. Seja um vetor nx1 que possui 1 em todas as entradas. Então, como a matriz de transição deve somar 1 nas linhas, é fácil ver que,. 1., 1.. 0 Assim, vemos que toda matriz de transição possui pelo menos um autovalor unitário. No entanto, cabe ressaltar que a matriz de transição pode possui mais do que um autovalor unitário. Nesse caso, haverá mais do que uma distribuição estacionária. O exemplo a seguir ilustra essa situação. Considere a seguinte matriz de transição, 1 0 0 1/5 1/2 3/10 0 0 1 Nesse caso, temos nosso espaço de estado possui dimensão três. Note que se a economia entrar no estado a probabilidade de passar para outro estado no período seguinte é 0. O mesmo acontece se a economia entrar no estado. Estados cuja matriz de transição atribua probabilidade zero de mudança são conhecidos como estados atratores ou estados absorventes. Note que a matriz acima possui dois estados atratores, bem como dois autovalores unitários. Dessa forma, podemos notar claramente que 1, 0, 0 e 0, 0, 1 são distribuições estacionárias distintas associadas à. Além disso, mesmo que uma Cadeia de Markov tenha uma única distribuição estacionária não é possível garantir à priori que a Cadeia convergirá para esta distribuição para todo vetor de condição inicial. Definição 1.6 (Cadeia de Markov Assintoricamente Estacionária): Seja o único vetor que satisfaz 1.. 0. Se para toda condição inicial for verdade que., quando, então dizemos que a Cadeia de Markov é assintoticamente estacionária, com uma única distribuição invariante. Os resultados à seguir, cujas demonstrações serão omitidas, nos apresentam condições suficientes para que a matriz de transição tenha uma única distribuição estacionária. 12

Proposição 1: Seja uma matriz estocástica, com, 0,,. Então, possui uma única distribuição estacionária, e o processo de Markov subjacente é assintoticamente estacionário. Proposição 2: Seja uma matriz estocástica, com, 0,,, para algum 1. Então, possui uma única distribuição estacionária, e o processo de Markov subjacente é assintoticamente estacionário. 13

Capítulo 2 Programação Dinâmica Nosso problema básico de programação dinâmica será descrito ao longo dessa sessão. A base do problema, em sua formulação seqüencial, é a escolha de uma seqüência de variáveis de controle que maximizam um determinado funcional côncavo sujeito a uma restrição de factibilidade para as variáveis de estado e uma condição de estado inicial. A variável de estado, que podemos ver como um resumo do ambiente econômico a cada período de tempo será denotada por. A variável de controle, que representa aquilo que é escolhido pelo agente dado o estado do ambiente econômico, será representado por no início da exposição. 2.1 Formulação Sequêncial Seja a função :, por hipótese côncava, continuamente diferenciável e crescente, onde representa o conjunto onde as variáveis de estado (ou vetor de estado, no caso de n>1) podem tomar valores a cada t e representa o conjunto onde a variáveis de controle (ou vetores, caso k>1). Em uma primeira abordagem veremos o problema determinístico, e posteriormente o problema estocástico, utilizando o ferramental de Cadeias de Markov desenvolvido no capítulo anterior. Seja a função : e defina o conjunto, :,,. O conjunto é conhecido como conjunto de factibilidade para a variável de estado, e nos apresenta os valores possíveis para a variável de estado no próximo período dado o valor que a variável de estado e a variável de controle assumiram no presente. Vamos supor que Γ é convexo e compacto¹. Seja 0,1 um fator de desconto intertemporal e um vetor (ou escalar) que representa o estado inicial da economia. O problema de programação dinâmica em sua formulação seqüencial pode ser posto como: á.,.., Sob essa formulação, nosso problema é encontrar uma função :, conhecida como função política, que mapeia o estado no controle. Com base em e na condição inicial construímos, pois. ¹Estamos assumindo hipóteses simplificadoras para garantir que o problema terá solução bem definida. Informações adicionais podem ser encontradas em Recursive Methods In Economic Dynamics, de Stokey & Lucas. 14

2.2 Formulação Recursiva Defina a função :, que retorna o valor máximo do problema anterior para cada estado inicial. Assim, teremos: á.,.., Se a função for conhecida, então a função política pode ser obtida resolvendo o seguinte problema, para cada, Ou de forma mais enxuta, á á,..,,., Note que saímos de um problema complexo, no qual tínhamos que encontrar a seqüência infinita e passamos para um problema mais simples, no qual encontramos uma função política e uma função valor, para cada x. Isto é, deixamos de resolver um problema de infinitos períodos para resolver um problema de um período para o outro. Dessa forma, o problema de acordo com a abordagem recursiva pode ser sumarizado pela seguinte equação funcional, á,., Ou á,., As equações funcionais acima são conhecidas como equação de Bellman. Note que a solução da equação de Bellman é um par,, que satisfaz:,., Uma pergunta importante a ser feita nesse ponto é a seguinte: Sob quais condições a solução do problema recursivo existe? Note que a equação de Bellman acima define o seguinte operador: : 15

Onde é o espaço das funções reais com domínio em e o operador em referência é dado por: á,., Se provarmos que o operador acima define uma contração, o teorema da contração nos garante que tal operador possui um único ponto fixo. Por sua vez, para verificar se determinado operador se constitui em uma contração, basta aplicarmos o seguinte teorema: Teorema 1 (Blackwell): Seja e o espaço das funções reais limitadas com norma sup. Seja o operador :, satisfazendo, a- (monotonicidade): Sejam, e, b- (desconto): Existe algum 0,1, tal que,.,, 0, Então o operador T define uma contração. Além disso, cabe destacar que: 1. Sob certas hipóteses a respeito de, a equação de Bellman possui uma única solução estritamente côncava. 2. A solução é aproximada por meio de iterações da função valor, tomando o limite, sobre a equação á,. Sujeito à,, com x dado, começando à partir de uma inicial contínua e limitada. 3. Existe uma única função política ótima, invariante no tempo,, onde h é escolhida de forma a maximizar a equação de Bellman. 4. Fora dos cantos a equação de Bellman é diferenciável, Assumimos que a função política também será diferenciável. Assim, a condição de primeira ordem associada ao problema Será: á,.,,.,., 0 16

Onde o subscrito associado à função.,. representa a derivada parcial em relação ao respectivo argumento. Como é função de um único argumento, o sobrescrito ( ) denota a derivada em relação ao argumento. Para obtermos uma expressão para,, basta usarmos o fato de que,., Derivando a expressão acima em relação à x obtemos:,,..,,,. Suponha que possamos escrever. Logo,, 0. Além disso, como,.,., 0, então teremos que,,,..,.,.,.,.,., Logo,,,,,, Por fim, chegamos em:,.,,,., Para manter a consistência com o fato de que supomos, teremos a seguinte equação:,.,. Colocando tudo em termos de tempo chegamos à seguinte equação de Euller:,.,. 0, onde. 2.3 Resolvendo a Equação Funcional Em geral problemas de programação dinâmica formulados a partir da equação de Bellman possuem apenas solução numérica. Um caso particular ocorre quando utilizamos uma função de retorno logarítmica. Esse é um dos poucos casos onde é possível resolver o problema de forma analítica. Veremos isso em um exemplo que será apresentado posteriormente. 17

A Iteração da Função Valor Esse é principal mecanismo numérico utilizado na solução de problemas de programação dinâmica. Ele consiste em explorarmos a recursividade do problema e o fato de que o operador de Bellman define uma contração. Os passos para o algoritmo são os seguintes: 1º Passo: Chutamos uma função valor inicial, digamos 2º Passo: Usamos o operador T para construir a função valor do período seguinte,. De fato, estamos fazendo: á,. Em seguida, verificamos se está suficientemente próximo de de acordo com determinada métrica. Em caso positivo, paramos pois já temos nosso ponto fixo, isto é,. Caso contrário, partimos para o 3º passo. 3º Passo: Utilizamos T para construir uma nova função valor. Avaliamos se está suficientemente próximo de, i. e., testamos se é ponto fixo. Em caso negativo, continuamos iterando a função valor, 1 até que o ponto fixo seja encontrado. Sob as hipóteses apresentadas anteriormente sabemos que o ponto fixo existe e é único, pois a equação de Bellman é uma contração. Assim, independentemente do chute inicial, podemos garantir que com. Note que ao escolhermos o u resolve o problema de maximização, estamos automaticamente encontrando h(x). Uma descrição mais detalhada do método computacional será feita mais adiante, quando falaremos sobre discretização do espaço de estado. B Método do Guess and Verify Esse método consiste em chutar uma função valor e verificar se ela resolve a equação de Bellman. Esse método é bastante subjetivo e o sucesso de sua implementação depende, muitas vezes, do conhecimento prévio de particularidades relacionadas ao problema. 2.3.1 Exemplos Nessa seção apresentaremos exemplos de problemas de programação dinâmica de natureza determinística. Olharemos primeiro para o problema de acumulação ótima de capital. Suponha um indivíduo que vive infinitos períodos, possui um estoque inicial de capital, a cada período precisa decidir quanto desse capital será consumido e quanto desse capital será investido, sujeito a uma restrição tecnológica de produção da economia, a 18

fim de maximização um fluxo de utilidade descontado pelo fator intertemporal 0,1. O problema seqüencial desse indivíduo pode ser formulado como: á..., para todo 1,2,3, 0 Onde : é contínua, estritamente crescente, estritamente côncava e continuamente diferenciável. Além disso, assumimos que : é contínua, estritamente crescente, côncava e continuamente diferenciável. Note que nesse caso o nível de capital contemporâneo é a variável de estado, enquanto o investimento ( e o consumo contemporâneo ( são variáveis de controle. Podemos reescrever esse problema forma recursiva utilizando a equação de Bellman, conforme a seguir: á..., 0 Como a função de utilidade é estritamente crescente podemos substituir a restrição de recursos na equação de Bellman, o que nos retorna, á. Assim nosso problema passa a ser determinar o estoque de capital amanhã, com base na estoque de capital observado hoje. Note ainda que, á. Como vimos anteriormente, a função :, com é a função política associada ao problema dinâmico do agente. Pela condição de primeira ordem, temos que,. 1. 0. Para dar continuidade, usamos o teorema do envelope, conhecido também como teorema de Benveniste-Sheinkman. Este teorema nos diz que a derivada da função 19

valor em relação à variável de estado é igual a derivada parcial da função objetivo com respeito à variável de estado, avaliado na função política. Formalmente, temos o seguinte teorema: Teorema 2 (Benveniste-Sheinkman): Seja um conjunto convexo e :, uma função côncava. Seja e seja D uma vizinhança de. Se existe uma função côncava e diferenciável :, satisfazendo e com para todo, então é diferenciável em e para todo 1,2,.. Daí temos que,. Mas segundo nossa condição de primeira ordem, precisamos avaliar a derivada da função valor em. Dessa forma, temos que,. Substituindo na condição de primeira ordem, temos:.. Essa é exatamente a equação de Euller para o consumo. Suponha agora que adotamos a seguinte forma funcional para a função utilidade e para a função de produção: Nosso problema seqüencial passa a ser: log e. á. log..., para todo 1,2,3, 0 20

A equação de Bellman associada será: á log..., 0 Vamos resolver o problema recursivo por meio de iteração da função valor. Suponha inicialmente que 0. Vamos resolver o seguinte problema de um período: á log... e, 0 De forma trivial, a solução será.. Assim, temos que.. Vamos realizar agora a segunda iteração da função valor. á log..... e, 0 Montando o Lagrangeano e tirando a condição de primeira ordem, temos: : e : Assim, temos:........ 1. 1 1 Realizando procedimento análogo e usando resultados referentes à séries geométricas, temos as seguintes funções políticas: A função valor será: 1. e.. 1. log1 1.. log 1 21

2.4 Programação Dinâmica Estocástica Os problemas programação dinâmica estocástica são em grande parte análogos aos problemas determinísticos. A diferença é que agora a regra de movimento da variável de estado está sujeita a choques estocásticos. Mantendo toda a estrutura desenvolvida anteriormente, podemos apresentar o problema seqüencial da seguinte forma: á...,,, Agora, é uma sequencia de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com função de distribuição, para todo t. O operador denota a esperança matemática dado todo o conjunto de informação conhecido até t. A equação de Bellman associada a esse problema será dada por: á,.,, Onde,,,,,. A condição de primeira ordem desse problema será:,.,,.,, 0 Usando a condição de envelope de Benveniste-Sheinkman, obtemos a seguinte equação de Euller estocástica:,.,.,, 0 2.5 Métodos Numéricos Em geral, os problemas de programação dinâmica que resolveremos no curso envolvem métodos numéricos que utilizam um procedimento conhecido como discretização do espaço de estado. Há ainda uma abordagem alternativa na qual utiliza-se polinômios para aproximar a função valor. Para introduzir o conceito de discretização do espaço de estado utilizaremos uma modificação do problema de acumulação de capital apresentado nas seções anteriores. Assim, teremos um agente representativo que vive por infinitos períodos, consome um único bem que pode ser adquirido com renda do trabalho ou com a poupança acumulada ao longo do tempo. O agente possui uma dotação de trabalho a cada período de tempo, que evolui ao longo do tempo de acordo com uma cadeia de Markov de m estados, com matriz de transição. Esse indivíduo recebe uma quantia fixa de salário w, em todos os períodos, de forma que se a dotação em t for, então sua renda de trabalho será.. A cada período, o agente deve escolher quanto manter de um único ativo,, 22

que pode assumir unicamente valores discretos no grid. O ativo para uma taxa de juros fixa igual a r a cada período. O problema seqüencial desse agente será formulado como: á... 1.. 0 Supomos que atende as condições de Inada e assumimos que 1 1. A equação de Bellman associada será:, á 1..., Na prática, trataremos da função valor como uma matriz nxm, onde as linhas representam os níveis escolhidos para o ativo e as colunas o estado da cadeia de Markov. Além disso, o operador esperança da equação de Bellman será representado pela matriz de transição da cadeia de Markov. Dessa forma, podemos reescrever a equação de Bellman da seguinte forma: Para cada 1,2,, e para cada 1,2,,, temos que cada entrada da matriz que representa a função valor será preenchida resolvendo:, á 1...,, 23

Capítulo 3 Equilíbrio Geral com Mercados Completos Nesta seção estudaremos modelos de equilíbrio geral que serão bastante uteis para a definição de alocações ótimas de consumo intertemporal, precificação de ativos e compartilhamento de risco. O ambiente econômico que servirá de base para o modelo em referência é o de uma economia de trocas puras, de horizonte infinito e tempo discreto. Seja um processo estocástico descrito pela seguinte pela cadeia de Markov, P, π. Denotaremos por a realização do processo estocástico em t. Denotaremos por a seqüência com o histórico de realizações do processo estocástico ate a data t, isto e,,,.,,. A probabilidade incondicional de ocorrer certa historia certa historia no período t será denotada por ). A probabilidade incondicional de ocorrer a historia dado que sabemos que ocorreu certa historia ate a data, será denotada por. O conjunto de indivíduos dessa economia será 1,2,,. A cada período, cada agente recebe uma dotação que depende da realização do processo estocástico, que será denotada por. Por hipótese, todos os agentes conhecem. Os agentes vivem por infinitos períodos e escolhem um plano de consumo ótimo que será denotado por, que consiste de uma cesta de consumo para cada t e cada historia possível de estados da natureza. Os agentes são capazes de ordenar planos de consumo através da função de utilidade intertemporal esperada, que será dada por:... Onde e o espaço das mercadorias e a função :, atende as condições de Inada 1, quais sejam: 0, 0,, 0 A condição de factibilidade para as alocações é dada por:, 1 Estas condições garantem que a solução do problema será interior 24

3.1 Estruturas de Mercado Estrutura Temporal de Arrow-Debreau Nessa estrutura, também conhecida como economia estática, os mercados abrem apenas em t=0, período em que todos os negócios contingentes a todas as possíveis histórias futuras ocorrem. Dessa forma, os agentes compram ativos em t=0, que permite a definição de um plano de consumo contingente para os próximos períodos. Estrutura Temporal de Arrow Nessa estrutura, conhecida como economia seqüencial, os mercados abrem em todos os períodos, de forma que os agentes negociam ativos para o próximo período apenas. Logo, a cada t os agentes negociam planos de consumo contingente para t+1 dado o histórico. 3.2 Problema de Pareto Nosso objetivo é resolver o problema de Pareto nas duas estruturas apresentadas, isto é, encontrar o plano de consumo ótimo para na economia seqüencial e na economia estática. No entanto, para que seja possível realizar uma avaliação qualitativa dos resultados é útil ter um benchmark apropriado, ou seja, é interessante conhecer as propriedades de uma alocação que seja eficiente de Pareto. Essa alocação será encontrada resolvendo o problema de Pareto apresentado a seguir: á.. à:, O Lagrangeano associado a esse problema é:.... A condição de primeira ordem associada a esse problema é: :.... 0..., 25

Sem perda de generalidade, tomamos os consumidores 1 e i, o que nos leva a:....... Para obtermos o consumo do indivíduo i, basta jogar o resultado na restrição de factibilidade, que valerá com igualdade devido às hipóteses feitas em relação a u(.).. Note que o lado direito da equação acima é a dotação agregada para uma dada realização de. Assim, temos que: Resultado 1: Uma alocação eficiente é função apenas da dotação agregada, não depende de uma história específica, nem da dotação de um agente específico. Note que o que importa para determinar o fluxo de consumo dos indivíduos é, logo podemos normalizar, 1. 3.3 Equilíbrio competitivo na estrutura temporal de Arrow- Debreau Os agentes negociam no período t=0 promessas de consumo para cada t e cada possível história. Vamos partir do pressuposto de que os mercados são completos, isto é, existe um ativo que entrega determinada cesta de consumo em qualquer período de tempo e qualquer história. O preço dos ativos contingentes a uma determinada história no período t=0, será dado por. A restrição orçamentária intertemporal passará a ser dada por:.., O problema do agente será colocado da seguinte forma: 26

á... à:.. O lagrangeano será dado por:..... A condição de primeira ordem será: :... 0... Definição 3.1 (Sistema de preços): Um sistema de preços é uma seqüência de funções do tipo. Definição 3.2 (Alocação de Consumo): Uma alocação de consumo é uma lista de planos de consumo,, sendo cada plano de consumo uma seqüência de funções do. tipo Definição 3.3 (Equilíbrio Competitivo): Um equilíbrio competitivo é uma família formada por um sistema de preços e uma alocação de consumo,,, tal que dado o sistema de preços vale que: (a) á.. :.., para todo i (b).., Da condição de primeira ordem do problema anterior, considerando os agentes i e j temos: 27

Note que a razão das utilidades marginais dados dois agentes quaisquer é constante.tomando j=1, resolveremos para i. Substituindo na restrição, temos:.. Resultado 2: A alocação de equilíbrio competitivo é uma função da dotação agregada realizada, não dependendo do histórico dos choques estocásticos e da datação de um indivíduo específico. 3.4 Preço de Equilíbrio Da condição de primeira ordem obtida anteriormente, temos que:... Fazendo t=0 e i=1, segue que:... 1. Podemos normalizar o multiplicador de Lagrange para um número positivo qualquer. Façamos. Dessa forma, 1. Voltando à CPO, para o indivíduo i, no período t=0,. 1.. Voltando à CPO, teremos:.. 28

Essa equação nos dá o preço do ativo cujo valor é capaz de comprar uma unidade da cesta de consumo pretendida pelo agente i no período t caso o histórico caso o histórico de choques estocásticos seja. Definição 3.3 (Preço de Estado ou State Price): O preço de estado, denotado por, é o preço do ativo que paga uma unidade de consumo caso tenha sido realizado o histórico de choques estocásticos. O preço de estado é também conhecido como Price Kernell. 3.5 Mecanismo Geral de Precificação de Ativos Trataremos da precificação de um determinado ativo que paga um fluxo estocástico de renda no próximo período denotado por. Nosso objetivo é obter um mecanismo de precificação um período a frente, a partir de uma determinada data. A partir do resultado apresentado anteriormente, o preço de estado na data referente ao ativo que paga uma unidade do bem de consumo na data 1 será:.. Considere o ativo que paga o fluxo estocástico em 1. Como o preço de estado nos retorna o preço do ativo que paga uma unidade de consumo para cada realização do choque estocástico, o preço do ativo em referência, na data, será uma média dos possíveis fluxos ponderada pela renda que o ativo paga em cada estado da natureza. Assim, temos que: Substituindo a expressão acima, temos que: Ou então,....... 29

Vamos definir as seguintes variáveis: (a) Fator Estocástico de Desconto. (b) Taxa de retorno Dessa forma, encontramos a seguinte relação: 1. 3.6 Comparando a Alocação de Equilíbrio Competitivo com a Alocação Eficiente de Pareto No caso do problema de Pareto, tínhamos que a equação que descreve o fluxo de consumo era dada por:. No caso do equilíbrio utilizando a estrutura temporal de Arrow-Debreau, obtemos que:. Dessa forma, concluímos que a alocação de equilíbrio competitivo é um caso particular de Alocação de Pareto, quando tomamos 1 Além disso, na alocação de equilíbrio competitivo os preços sombra associados ao problema do planejador,, serão iguais a, pois como vimos:..,, 30

Capítulo 4 Modelos de Ciclos Reais de Negócios 4.1 Introdução e fatos estilizados As economias reais passam por oscilações significativas nos níveis de produto e emprego, alternando entre ciclos de expansão e declínio na atividade econômica que não necessariamente possuem padrões bem definidos. Um dos objetivos centrais da macroeconomia moderna é compreender as causas e conseqüências das flutuações agregadas, bem como propor modelos capazes de capturar tais movimentos de forma compatível com as evidencias empíricas. As bases para a teoria dos ciclos reais de negócios como linha de pesquisa foram lançadas pelos trabalhos pioneiros de Kydland & Prescott (1982) e Long & Plosser (1983). A idéia básica foi resgatar os modelos econômicos micro fundamentados, nos quais o equilíbrio de mercado emerge a partir das decisões das famílias e das firmas, sem a presença de moeda, elemento fundamental dos modelos keynesianos. Nesse contexto, a economia está sempre em equilíbrio, de forma que os ciclos são uma espécie de resposta ótima a choques estruturais. Nos modelos de Ciclos Reais de Negócios (RBC, na sigla em inglês), a maior parte das oscilações nas variáveis macroeconômicas agregadas é resposta a choques de produtividade. Mesmo em modelos simples de equilíbrio geral, mudanças na produtividade total dos fatores foram capazes de gerar dinâmica de evolução do produto bem próxima àquela observada nos dados. A seguir, apresentamos alguns fatos estilizados relacionados aos ciclos da economia dos Estados Unidos, com base no trabalho de King & Rebelo (1999). O produto agregado é mais volátil do que o consumo de bens não-duráveis. O produto agregado é menos volátil do que o consumo de bens duráveis. O investimento agregado é três vezes mais volátil do que o produto agregado. O gasto do governo é menos volátil do que o produto agregado. O capital agregado é menos volátil do que o produto agregado. O nível de utilização da capacidade instalada na indústria (em termos de capital) é mais volátil do que o produto agregado. O total de horas trabalhadas apresenta aproximadamente a mesma volatilidade do que o produto agregado. O nível de emprego apresenta aproximadamente a mesma volatilidade do que o produto agregado. As horas trabalhadas por trabalhador é bem menos volátil do que o produto. 31

A produtividade do trabalho, medida em termos de homem/hora, é menos volátil do que o produto. A taxa de salário real é bem menos volátil do que o produto. A tabela a seguir traz um breve resumo das variáveis estudadas do ponto de vista da trajetória destas em relação ao produto e da persistência de tais movimentos. A partir dos dados apresentados é possível concluir que a maior parte das séries é pró-ciclica, isto é, apresentam correlação contemporânea positiva em relação ao produto. Além disso, o coeficiente de autocorrelação serial de primeira ordem é relativamente alto, sinalizando que existe certa previsibilidade nos movimentos de curto prazo. Desvio Autocorrelação Correlação Padrão de 1º Ordem com Produto¹ Produto 1,81 0,84 1,00 Consumo 1,35 0,80 0,88 Investimento 5,30 0,87 0,80 Horas Trabalhadas 1,79 0,88 0,88 Salário Real (hora) 0,68 0,66 0,12 Taxa real de juros 0,30 0,60-0,35 Produtividade total 0,98 0,74 0,78 ¹ Refere-se à correlação contemporânea As variáveis estão em termos logarítmicos com tendência removida por meio do filtro HP As variáveis estão em termos per capita 4.2 Uma abordagem inicial para o problema das famílias Nessa sessão descreveremos o problema de um indivíduo representativo que vive dois períodos, decidindo nível de consumo e quantidade ofertada de trabalho em cada período. Assumimos que existe uma oferta salarial dada para cada período, assim como uma taxa real de juros pré-definida, de forma que o ambiente de decisão deste agente é completamente determinístico. Tomamos o parâmetro como uma medida da desutilidade do trabalho e 0,1 como o fator de desconto intertemporal. Assumimos que a dotação total de tempo do agente é 1, que deve ser a soma do tempo destinado ao lazer com o tempo destinado ao trabalho, isto é: 1, 0,1. O indivíduo possui preferências sobre consumo e lazer a cada período dada por:,.. Dessa forma, o problema de otimização resolvido pelo agente será: á,... 1.. 1 Sujeito à : 4.1 0 0. 0 4.2 1 1. 1. 1 32

De (4.1) e (4.2) podemos utilizar a restrição: 4.3 Substituindo (4.3) na função objetivo temos: 1.. 1 á log.., 1 1. 1.. 1 Pelas condições de primeira ordem do problema, temos: : 1. 0 1 4.4 1 :. 1.. 1 0 1 1.. 1 4.5 De (4.4) e (4.5) temos a seguinte equação de Euller para o trabalho/lazer:.. 1 1 1 4.6 Essa equação também pode ser escrita como:.. 1. 1 1 A condição de primeira ordem em relação ao consumo no segundo período nos retorna: : 1. 1. 1 0. 1 1. 1 4.7 Note que essa é a equação de Euller para o consumo, que também pode ser escrita como:. 1. 1 Defina Assim, temos que:. 1 0 1. 0 Dessa forma, temos que o aumento do salário do primeiro período em relação ao segundo resulta em aumento do lazer no segundo período (redução no trabalho). O aumento da taxa real de juros resulta em aumento do lazer no segundo período em decorrência do efeito substituição. 33

4.1.1 Uma versão mais geral do problema das famílias Podemos refazer a análise do problema acima com infinitos períodos, juntamente com salário e juros real estocástico. Nesse caso, o problema do agente representativo pode ser reescrito como: á,.. 1.. 1.. 4.8 0 A partir das condições de primeira ordem, obtemos equações análogas as anteriores. Por simplicidade de notação, vamos assumir que λ 1.. 1 4.9. 1 1. 4.10 1.. 1 1. 1 1 1 4.11 4.2 Incluindo a firma competitiva Vamos analisar agora o comportamento da firma competitiva, que possui tecnologia de produção Cobb-Douglas dada por :.. 4.12 com parâmetro 0,1 A dinâmica de evolução do estoque de capital será dada pela seguinte equação: 1. (4.13) Onde o parâmetro 0,1 representa a taxa de depreciação do capital. Por fim, temos a identidade básica de equilíbrio no mercado de produto, segundo a qual a oferta de produto se iguala à demanda por total. Nesse caso, a demanda total é composta por demanda das famílias e investimento, segundo a seguinte equação: 4.14 Vamos supor ainda que a produtividade total dos fatores ( possui dinâmica dada pela seguinte equação:. 4.15 Onde segue uma Cadeia de Markov,,. 34

A firma é tomadora de preços no mercado de insumos. Normalizaremos o preço do produto para a unidade. Dessa forma, o problema de otimização da firma será dado por: á, π 1... A solução desse problema dinâmico é equivalente a resolver o problema estático a cada período, uma vez que a firma é tomadora de preços no mercado de insumos. As condições de primeira ordem associadas são: : π.... 4.16 : π 1.... 0 1. 4.17 O modelo de RBC é um modelo de equilíbrio geral, no qual utilizamos as equações oriundas do problema do consumidor (4.9, 4.10 e 4.11) juntamente com as condições de optimalidade do problema da firma (4.16 e 4.17) e a condição de equilíbrio no mercado de bens (4.14) para obtermos as variáveis endógenas. Poderíamos alcançar a mesma solução resolvendo o seguinte problema de um planejador central: á,.. 1.... 1 4.12 1. 4.13 4.14. 4.15 A equação de Bellman associada a esse problema é dada por:,, á. 1.,, 4.18..,.,.,. Esse é modelo de RBC básico desenvolvido até o momento, sob a perspectiva de um planejador central. 35

4.3 Um exemplo prático Nessa sessão apresentaremos um exemplo prático, assumindo utilidade logarítmica, 100% de depreciação do estoque de capital de um período para o outro e 1. Além disso, vamos trabalhar com a hipótese comportamental de que a firma investe uma fração s do produto. Isso implica que o agente consome uma fração 1-s do produto. Em outras palavras, estamos introduzindo a seguinte equação ao modelo:. 4.19 Associando (4.19) com (4.14) temos 1. (4.20). A equação de movimento do capital agora será. Utilizando a equação (4.14), (4.12) e a nova dinâmica para o capital temos: Assim, problema do planejador central será:.. 4.21 á,. 1.... 4.21. 4.15 é Utilizando resultados derivados anteriormente temos as seguintes equações de Euller associadas:. 1. 4.10 (4.22).. 1 1.. 1. 1 4.11 1 1. 1.. 1 4.23 1 Além disso,. 1 4.9. 1 1 1 4.24 Do problema de otimização da firma, sabemos que: 36

. 4.16 1. 4.17 Aplicando (4.17) em (4.24), temos: 1.. 1 1 1 1. 1. 1 1 1 4.25 Note que a equação (4.25) nos mostra que a relação entre trabalho e lazer é constante ao longo do tempo. Manipulando (4.25) encontramos que o nível de trabalho ofertado é constante. Esse resultado pode ser visto como um ponto fraco do modelo, pois conforme os fatos estilizados apresentados na sessão 4.1, vimos que a volatilidade do produto agregado é aproximadamente igual à volatilidade do nível de emprego. Veremos agora a relação entre a volatilidade do investimento agregado e a volatilidade do produto agregado. Utilizando as equações 4.16 e 4.22, lembrando que =1, temos: 1. 1.. 4.19 4.20 1 1.... 1 s. y.. 1 s 1. 1 s 1. 4.26 Como α 0,1 e β 0,1, temos que s 0,1. Por 4.19, temos I s. y. Assim,.. Dessa forma, de acordo como o modelo a volatilidade do investimento agregado é menor do que a volatilidade do produto agregado. Esse resultado pode ser visto como mais um ponto negativo do modelo, uma vez que a análise empírica dos dados sinaliza que o produto é mais volátil do que o investimento. Podemos encontrar o nível de emprego de equilíbrio de forma alternativa. Esse resultado pode ser obtido a partir das equações 4.16, 4.17 e 4.26. Lembrando que =1, segue que: 1 1. 1. 1.. 4.25 4.19 1. 37

1 1.. 1.. 4.17 1. 1.. 1. 1.. 1 1. 1. 1 1. 1. 1.. 4.26. 1. 1.., 1 1. 1 4.27 Mais uma vez, observamos que o modelo resulta em nível de emprego constante ao longo do tempo, o que está em desacordo com o que se observa a partir de dados empíricos. Isso ocorre, pois apesar da propensão do agente em substituir trabalho intertemporalmente, movimentos tanto na tecnologia como no nível de capital agem no sentido de compensar os efeitos do salário relativo ou da taxa de juros sobre a oferta de emprego. Uma melhora na tecnologia, por exemplo, eleva o salário corrente em relação ao salário futuro esperado, aumentando a oferta de trabalho no presente. No entanto, o aumento da poupança corrente tende a reduzir a taxa real de juros esperado para o futuro, o que por sua vez age no sentido de reduzir a oferta corrente de trabalho. Nesse exemplo específico, tais movimentos se cancelam. 4.4 Discutindo o modelo O modelo desenvolvido na sessão anterior descreve uma economia na qual os choques reais são os responsáveis pelos movimentos do produto. Como estamos trabalhando com um modelo de equilíbrio geral, movimentos do produto são respostas ótimas aos choques. Assim, nos modelos de RBC, as flutuações econômicas não refletem falhas de mercado ou rigidez de preço, de forma que intervenções governamentais para influenciar os ciclos resultam apenas em redução do bem estar social. No modelo, o formato especifico das flutuações do produto são determinadas pela dinâmica da tecnologia e pelo comportamento do estoque de capital. Em favor de uma melhor tratabilidade do ponto de vista analítico, assumiremos a hipótese de que o componente tecnológico ( descrito por:. 4.28., 4.29 Onde representa a taxa de crescimento da tecnologia, é o nível médio histórico da tecnologia e, é um distúrbio do tipo ruído branco e média zero, sem autocorrelação serial. A função de produção permanece a Cobb-Douglas,.. 4.12, o que implica:. 1. 38

Por 4.19, sabemos que.. Além disso, seja o total de trabalho da economia dado por., onde representa o número total de trabalhadores da economia. A lei de movimento do número de trabalhadores é dada por. 4.30. Dessa forma, temos:.. 1. 4.28 4.30.. 1.. 1. 1.. Segundo a hipótese de que possui média zero, é possível mostrar que assume a seguinte trajetória determinística quando o distúrbio é zero¹:.. 1.. 1.. 4.31 Definindo o desvio em relação ao estado estacionário como, obtemos:. 1. 4.32 Isolando e defasando um período, temos: Substituindo 4.29 em 4.32, obtemos: 1 1. 4.33. 1.. 1, Substituindo 4.33 na equação acima. Segue que: 1. 1.. 1.,... 1.,.. 1., 4.34 Assim, temos que ~2, isto é, o desvio logarítmico do produto em relação a sua trajetória determinística segue um processo auto-regressivo de segunda ordem. Além disso, a combinação de um coeficiente de primeira ordem positivo com um coeficiente de segunda ordem negativo faz com que o produto tenha uma resposta hump-shaped ¹ 39

em relação aos choques reais. Essa é uma característica bastante positiva do modelo, uma vez que o mesmo comportamento é observado nos dados empíricos. Em geral, modelos de RBC não podem ser resolvidos de forma analítica como fizemos no exemplo acima. Dessa forma, devem ser utilizados métodos numéricos para que o modelo seja resolvido. Na segunda parte do curso estudaremos um software que resolve de forma bastante simples modelos do tipo DSGE. ¹ Isso que dizer que segue sua trajetória determinística ² Em uma tradução livre o termo seria em forma de corcunda. Isso quer dizer que caso a economia seja submetida a um choque tecnológico positivo, a taxa de crescimento do produto cresce no período inicial, e decai suavemente ao longo do tempo. O inverso ocorre no caso de um choque negativo. 40

Capítulo 5 Modelo da Arvore de Lucas e Introdução ao Asset Pricing Considere uma economia que possui um único tipo de ativo durável. Existe um grande número de indivíduos, que vivem por infinitos períodos, e possuem uma única unidade de um ativo (denominado árvore). A quantidade do ativo arvore que o indivíduo possui a cada período é denotado por. Como cada indivíduo possui inicialmente uma única unidade do ativo (arvore), 1. O ativo é idêntico para todos os indivíduos, não sofre depreciação e produz frutos a cada período denominados dividendos. Os dividendos serão denotados por, e evoluem de acordo com um determinado processo estocástico exógeno. Os frutos são perecíveis, isto é, não podem ser armazenados de um período para o outro. A única reserva de valor é o ativo (arvore). Nosso objetivo será precificar o ativo (arvore), cujo preço será denotado por. Os consumidores possuem 41

preferências sobre planos de consumo, representadas pela seguinte função de utilidade:. 5.1, 0,1 Estamos assumindo que a função utilidade : é tal que: 0, 0, lim e lim 0. O problema seqüencial do consumidor representativo será escolher um plano de consumo, ou alternativamente um plano de poupança em termos de ativo (arvore) de forma a maximizar a utilidade esperada apresentada em 5.1. Analiticamente, temos: á 0.. 1 0.... 5.2, 0 5.3 0, 0 A riqueza do agente a cada período de tempo é dada por. 5.4. A riqueza pode ser consumida ou utilizada para adquirir mais unidades do ativo (arvore) com entrega para o próximo período. A equação de Bellman do problema associada ao problema seqüencial será dada por:, á.,. 1.... As variáveis de estado do problema são o nível atual do ativo (arvore) e o nível atual do dividendo estocástico (fruto). A variável de controle é o nível atual de consumo, ou alternativamente, o nível futuro do ativo (arvore) desejado para o próximo período. Assim, o estado atual do indivíduo será dado pelo par,. Uma solução para esse problema de programação dinâmica é uma função política : x, tal que para cada estado em que se encontra o indivíduo na data atual, tenhamos o nível do ativo arvore para o próximo período, isto é,,. O preço do ativo,, é uma função do nível atual de dividendos (frutos) entregues pelo estoque atual de arvore. Assim, :. O indivíduo toma esta função como dada ao resolver o problema dinâmico acima exposto. 5.1 Conceito de equilíbrio e solução do modelo 42