B33 PROGRAMA DE MATEMÁTICA 11ª Classe 2.º CICLO DO ENSINO SECUNDÁRIO GERAL ÁREA DE CIÊNCIAS ECONÓMICO-JURÍDICAS
Ficha Técnica Título Programa de Matemática - 11ª Classe (Área de Ciências Económico-Jurídicas) Editora Editora Moderna, S.A. Pré-impressão, Impressão e Acabamento GestGráfica, S.A. Ano / Edição / Tiragem 2014 / 2.ª Edição / 2.000 Ex. E-mail: geral@editoramoderna.com 2014 EDITORA MODERNA Reservados todos os direitos. É proibida a reprodução desta obra por qualquer meio (fotocópia, offset, fotografia, etc.) sem o consentimento escrito da editora, abrangendo esta proibição o texto, as ilustrações e o arranjo gráfico. A violação destas regras será passível de procedimento judicial, de acordo com o estipulado no código dos direitos de autor.
ÍNDICE Introdução Geral à Disciplina no Ciclo - 4 Objectivos Gerais do 2º Ciclo do Ensino Secundário de Matemática 5 Objectivos Gerais da Matemática na 11ª Classe para a Área de Ciências Económico-Jurídicas - 6 Esquema Programático (11ª Classe) - 8 Temas / Conteúdos - 9 Avaliação - 29 Bibliografia Consultada - 31 3
11ª CLASSE INTRODUÇÃO GERAL À disciplina NO CICLO A disciplina de Matemática contribui para a realização dos objectivos gerais da formação da jovem geração, através de meios específicos da ciência matemática. Sendo assim, a Lei de Bases do Sistema da Educação define o Sistema Educativo como um conjunto de estruturas e modalidades, através da qual se realiza a educação tendente à formação harmoniosa e integral da personalidade, com vista à consolidação de uma sociedade progressiva e democrática. Neste programa os conteúdos apresentam-se por temas, proporcionando ao professor uma visão global seguida com a planificação, isto é, para cada subtema pré-requisitos, objectivos, conteúdos, meios, sugestões metodológicas, tempo e instrumento de avaliação. Das sugestões dadas, o professor escolherá as que lhe pareçam mais oportunas e adequadas. Neste programa, desenvolveu-se um só subtema básico na planificação para cada tema, dando desta maneira ao professor, uma ideia de como desenvolver a planificação da sua aula. 4
PROGRAMA DE MATEMÁTICA OBJECTIVOS GERAIS DO 2º CICLO DO ENSINO SECUNDÁRIO DE MATEMÁTICA O ensino da Matemática no 2º ciclo, deverá desenvolver nos alunos, os seguintes objectivos: Consolidar e alargar os conhecimentos e capacidades adquiridas no Ensino Primário e no 1º Ciclo do Ensino Secundário. Contribuir para a criação de condições científicas e intelectuais, necessárias para o Ensino Superior. Introduzir intensamente nos alunos os métodos para o raciocínio no trabalho científico. Apreciar o contributo da Matemática na evolução científica. Usar correctamente o vocabulário específico e a simbologia matemática. Aperfeiçoar as capacidades de definir, demonstrar, reconhecer e sistematizar problemas matemáticos. Estudar sensivelmente as dificuldades de julgar, com base nas capacidades adquiridas. Criar bases para o hábito da pesquisa científica. 5
11ª CLASSE Objectivos Gerais da MATEMÁTICA Na 11ª classe PARA A ÁREA DE CIÊNCIAS ECONÓMICO-JURíDICAS Ampliar os conhecimentos dos alunos sobre ângulos e medida de ângulos mediante a generalização do conceito de ângulo e a introdução do sistema circular de medida de ângulos; Conhecer as razões trigonométricas para ângulos agudos num triângulo rectângulo, desenvolver a capacidade de aplicá-las no cálculo de triângulos e na solução de problemas de aplicação relacionadas com a vida prática; Conhecer a fórmula fundamental da trigonometria a partir do triângulo rectângulo e ser capaz de utilizá-la na dedução de outras (secundárias), como sejam ou. Desenvolver a capacidade de deduzir e demonstrar diferentes expressões trigonométricas e habilidades de cálculos com tábuas trigonométricas; Compreender o conceito de função seno e suas variantes mais importantes, como a função da forma, e identificar a partir da sua representação gráfica (que devem dominar) e aplicá-las na resolução de problemas; Compreender as funções co-seno tangente e co-tangente, assim como as suas propriedades e representação gráfica, a partir dos conhecimentos e capacidades adquiridas no estudo da função seno: Compreender equações trigonométricas; Conhecer infinitamente grandes, infinitésimos e as progressões aritméticas ou geométricas associadas à resolução de problemas; Interiorizar os conceitos de sucessões quanto à monotonia, majorantes, minorantes e limite; Determinar termos que obedecem a uma condição dada; Fazer o estudo intuitivo da sucessão de termo geral num contexto de modelação matemática; Primeira definição do nº E; Dominar o conceito intuitivo de limite de uma sucessão e criar-se habilidades de cálculo; 6
PROGRAMA DE MATEMÁTICA Reconhecer o surgimento de indeterminações nas operações com limites de sucessões e dominar os procedimentos que conduzam ao levantamento de tais determinações; Compreender o conceito de limites de uma função e saber aplicá-lo no seu cálculo; Conhecer as propriedades de limites de funções e interpretá-las graficamente; Dominar o cálculo de limite e ser capaz de levantar as indeterminações; Criar habilidades de cálculo de limites de expressões exponenciais, logarítmicas e trigonométricas; Reconhecer uma função contínua e as suas propriedades; Conhecer o teorema de Bolsano Cauchy e aplicá-lo no cálculo de assimptotas; Compreender o conceito da derivada de uma função, as suas regras e a interpretação geométrica; Conhecer a definição clássica e a definição axiomática da probabilidade; Compreender e usar a frequência relativa como aproximação da probabilidade; Determinar em casos simples, a probabilidade de um acontecimento como quociente entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis; Desenvolver técnicas que facilitem a contagem de elementos de qualquer conjunto; Determinar o número de sequências que se podem formar com elementos de um conjunto dado; Resolver problemas que envolvam arranjos, permutações e combinações; Aplicar o princípio fundamental de contagem; Conhecer as propriedades das combinações e aplicá-las na resolução do problema; Conhecer a forma do binómio de Newton e aplicá-las nos cálculos. 7
11ª CLASSE ESQUEMA PROGRAMÁTICO (11ª CLASSE) Área de Ciências Económico-Jurídicas 30 Semanas por Ano Escolar 4 Aulas por Semana Total 120 aulas por Ano 1º TRIMESTRE Tema 1 - Trigonometria... 30 aulas Tema 2 - Sucessões e limites de sucessões. Indução Matemática...10 aulas 2º TRIMESTRE Tema 2 - Sucessões e limites de sucessões. Indução Matemática...10 aulas Tema 3 - Limites de Funções e continuidade de funções... 25 aulas Tema 4 - Derivadas... 5 aulas 3º TRIMESTRE Tema 4 - Derivadas... 25 aulas Tema 5 - Cálculo de probabilidades. Análise combinatória e binómio de Newton... 15 aulas 8
PROGRAMA DE MATEMÁTICA Tema 1 - Trignometria TEMAS / CONTEÚDOS 1.1 Medida de um ângulo. Generalização da noção de ângulo. As razões trigonométricas: Medida e um ângulo. Generalização da noção de um ângulo. As razões trigonométricas para ângulos agudos. Fórmulas e resultados de referência. Resolução de triângulos. 1.2 As funções trigonométricas y = sen,y = cosen,= tg para ângulos quaisquer. Equações trigonométricas. Redução ao 1º quadrante. As funções trigonométricas no círculo trigonométrico. As funções trigonométricas num referencial em que a amplitude do ângulo é a abcissa. - Função seno - Função co-seno - Função tangente Transformações dos gráficos das funções trigonométricas 1.3 Equações trigonométricas - Equações do tipo sen = a - Equações do tipo cos = a - Equações do tipo tg = a Redução do 1º quadrante Tempo... 30 aulas Sugestões metodológicas: Para iniciar este tema, devem propor-se aos alunos problemas variados ligados a situações concretas, onde apliquem métodos trigonométricos (problemas ligados a sólidos, a moldes, a navegação, a topografia, históricos), de modo a que o aluno se aperceba da importância da trigonometria para as várias ciências. Utilizando-se as calculadoras, caso as possuam, os alunos têm a possibilidade de se preocuparem menos com os cálculos, e mais com a compreensão do problema. 9
11ª CLASSE Relativamente aos ângulos e arcos generalizados, embora seja importante que os alunos conheçam alguns valores exactos das funções trigonométricas para que, mais tarde, possam confirmar pontos do traçado de gráficos das referidas funções, não devem os alunos trabalhar preferencialmente com eles, a menos que possuam calculadoras. Depois de compreendidas as relações referidas por observação no círculo trigonométrico, pode-se evitar a realização de exercícios repetitivos de puras técnicas de cálculos e rotina. Torna-se importante que os alunos verifiquem que se mantêm as relações: sen 2 x + cos 2 x =1,_ tgx = senx e e sejam usadas na cos x determinação de uma função trigonométrica, conhecida outra. No respeitante às equações trigonométricas a serem resolvidas, dever-se-á seleccionar as mais simples, do tipo e. Deve-se fazer referência igualmente ao seno, co-seno como funções reais de variável e aos gráficos dessas funções trigonométricas. 10
PROGRAMA DE MATEMÁTICA Tema 1 - Trigonometria para ângulos quaisquer Subtema: As funções trigonométricas e. Objectivo(s) geral(ais): Compreender os conceitos de função seno, função co-seno, função tangente para ângulos quaisquer. Pré-requisitos: Conhecer as razões trigonométricas de ângulos agudos: Seno. Co-seno. Tangente, num triângulo rectângulo. Objectivos Específicos Identificar o seno e coseno e a tangente no círculo trigonométrico. Determinar o seno e co-seno de um ângulo qualquer. Representar funções trigonométricas num referencial em que a amplitude do ângulo é a abcissa. Conteúdos As funções trigonométricas e Representação gráfica das funções trigonométricas e suas transformações. Meios: Quadro, giz, apagador, e caderno. Sugestões metodológicas: Considerando a importância do tema para o desenvolvimento das capacidades mentais do aluno, sugere-se iniciar por um problema que esteja relacionado com o assunto em questão, isto é, aplicando números trigonométricos.. Tempo... 8 aulas Instrumentos de avaliação: Exercícios escritos. 11
11ª CLASSE Tema 2 - Sucessões e Limte de Sucessões. Indução Matemática. 2.1. Sucessões. Sucessões monótonas e sucessões limitadas. 2.1.1. Definição de uma sucessão. Termos de sucessão. Representação geométrica de uma sucessão. Sucessões definidas por recorrência. Sucessões monótonas. Sucessões limitadas. Majorantes, minorantes e enquadramentos. 2.2. Progressões aritméticas e progressões geométricas. 2.2.1. Progressão aritmética. Definições. Termo geral de uma progressão aritmética. Soma dos termos de uma progressão aritmética. Monotonia de uma progressão aritmética. 2.2.2. Progressões geométricas. Definição. Termo geral de uma progressão geométrica. Soma dos termos de uma progressão geométrica. Monotonia de uma progressão geométrica. 2.3. Limite de uma sucessão. 2.3.1. Infinitamente grandes. Definição. Sucessões infinitamente grandes e sucessões monótonas. Sucessões infinitamente grandes e sucessões limitadas. Subsucessão de uma sucessão. Infinitamente grandes de referência. Teoremas sobre infinitamente grandes. 2.3.2. Infinitésimos. Definição. Infinitésimos de referência. Teorema sobre infinitésimos 2.3.3. Sucessões convergentes. Definição. Teoremas sobre sucessões convergentes. 2.3.4. Classificação das sucessões. 2.4. Cálculo de limite de sucessões. Número de Nepper. Operações com sucessões convergentes. Operações com sucessões divergentes. 12
PROGRAMA DE MATEMÁTICA Levantar algumas indeterminações. Soma de todos os termos de uma progressão geométrica. O número de Nepper. O número de Nepper na Matemática Financeira. 2.5. Indução matemática. Princípio de indução matemática. Extensão do princípio de indução matemática. Tempo... 20 aulas Sugestões metodológicas (Sucessões): As sucessões devem sugerir como meio de resposta a determinadas situações problemáticas da vida social, bem como em aspectos do estudo das diversas ciências, incluindo a própria Matemática. A introdução do conceito de sucessão e das suas propriedades pode ser feita recorrendo a problemas de carácter geométrico, conforme se propõe no presente programa. O estudo das sucessões como funções de variável real natural deve realizar-se apenas depois de vários exemplos como modelo. Mas a escrita de expressões deve ser processada como forma de representar as situações que se vão descrevendo. É também necessário que se introduzam as noções de termo, de ordem ou até de razão, etc. Os alunos podem utilizar livremente a calculadora (caso possuam), como meio de responderem aos problemas que lhes são apresentados; e usarem formas próprias de organização e expressão na modelação das situações. Sugestões metodológicas (Limites de Sucessões): Deve-se dizer, inicialmente, que este conceito (limite de uma sucessão) praticamente servirá de base para todo o resto deste capítulo e, em todo o momento, ocupará um lugar de destaque. É precisamente na elaboração do conceito de limite, de onde surgirão as maiores dificuldades para compreensão dos alunos. O professor deve ser muito paciente ao longo destas primeiras aulas, de modo a poder assegurar cabalmente a compreensão dos conceitos por parte dos seus alunos. 13
11ª CLASSE Assim, é necessário explicar constantemente o sentido dos quantificadores que surgem na definição, especialmente o conceito para quase todo n. Após a introdução das noções de sucessão como função de variável natural, de ordem, de termo geral, etc, podem apresentar-se alguns exemplos de sucessões definidas pelo seu termo geral e, utilizando a calculadora gráfica (caso a possua), através de cálculos e representações gráficas de sequências de termos, chegar aos conceitos de infinitamente grande, de infinitamente pequeno, e limite de uma sucessão. Cada definição deve ser enriquecida com exemplos e contra-exemplos que esclareçam as ideias imediatas e corrijam eventuais concepções alternativas e erradas. Desta maneira, cada estudante ganha confiança nos seus próprios conhecimentos e compreende as novas aquisições como complementares, e que facilitarão o aprofundamento das suas aptidões em responder às situações cada vez mais complexas. As difinições deverão ser introduzidas em linguagem muito simples, facilitando assim as conclusões a tirar em cada exemplo e contra-exemplo. Seguir-se-á uma redacção em simbologia matemática, e exercícios rápidos para atestar as definições simbólicas. 14
PROGRAMA DE MATEMÁTICA Tema 2 - Sucessões. Subtema: Sucessões monótonas e sucessões limitadas Objectivo(s) geral(ais): Conhecer a definição de sucessão; Determinar termos que obedecem a uma condição dada. Pré-requisitos: Conhecer o conceito de função como conceito geral. Determinar quando um conjunto de pares ordenados é uma função. Representar graficamente uma função. Objectivos Específicos Interiorizar os conceitos de sucessões quanto à monotonia majorantes, minorantes e limite. Identificar e calcular os termos de uma sucessão. Conteúdos Sucessões monótonas e sucessões limitadas. Meios: Quadro, giz, apagador, régua, esquadro e caderno. Sugestões metodológicas: Pelo significado do conceito de sucessão na definição posterior de limite, é essencial que os alunos compreendam claramente este definição. Para tal, deve ser elaborada cuidadosamente, a partir da representação gráfica de algumas funções, determinando-se antes os pares ordenados. Algumas sugestões de funções. Tempo... 3 aulas Instrumentos de avaliação: Alguns exercícios do manual sobre o tema. 15
11ª CLASSE Tema 2 - Limite de uma sucessão. Subtema: Cálculo do limite de sucessão Pré-requisitos: Conhecer: - Noção de função; - Noção de sucessão; - Sucessões monótonas e sucessões limitadas; - Sucessões convergentes. Objectivos Específicos Dominar o conceito intuitivo de limite de uma sucessão. Criar habilidades no domínio do cálculo com limites. Reconhecer e dominar os procedimentos que conduzem ao levantamento das indeterminações surgidas nas operações com sucessões convergentes e divergentes. Conteúdos Cálculo do limite de sucessão. Meios: Quadro, giz, apagador e caderno. Sugestões metodológicas: Observar as orientações em anexo sobre o tema. Tempo... 3 aulas Instrumentos de avaliação: Exercícios individuais e provas escritas. 16
PROGRAMA DE MATEMÁTICA Tema 3 - Limite de Funções e Continuidade de Funções. 3.1. Limites de funções. 3.1.1. Noção de limite de uma função. 3.1.2. Propriedades de limites. 3.1.3. Limites laterais. 3.1.4. Definição de limite segundo Heine. 3.1.5. Limites e infinitos. 3.1.6. Cálculo de limites 3.1.7. Indeterminações. 3.2. Continuidade de uma função. 3.2.1. Continuidade de uma função num ponto. 3.2.2. Continuidade lateral. 3.2.3. Continuidade de uma função num intervalo. 3.2.4. Propriedades das funções contínuas. Tempo... 25 aulas Sugestões metodológicas: O conceito de limite é um conceito importante da Matemática. Uma das mais importantes aplicações dos limites é o estudo da continuidade de funções. Na vida e no comportamento humano, a continuidade é uma constante. O conceito de limite de uma função deve ser estudado de modo intuitivo, aproveitando os pré-requisitos dos limites de sucessões. Deve-se estudar a definição de uma função num ponto, segundo Cauchy. Depois de estudar o conceito de limite, sugere-se que se estudem as propriedades de limites de funções para facilitar o cálculo das funções. Deve-se analisar funções que não têm limite para determinados valores de x (por exemplo, no ponto ). Sugere-se que se dê uma indicação sobre os limites laterais utilizando um exemplo adequado. Sugere-se também que o professor explique a definição de limite segundo Heine. Apenas devem levantar-se as indeterminações em casos simples. 17
11ª CLASSE Os alunos devem experimentar numérica e graficamente a relação entre os limites no infinito da equação exponencial, da potência e dos logaritmos. O estudo de limite das funções trigonométricas e logarítmicas será logo a seguir. A partir da análise das linhas e curvas, introduzir-se-á intuitivamente a continuidade de uma função. Estudar-se-á, em primeiro lugar, a continuidade de uma função num ponto e, em segundo lugar, a continuidade de uma função num intervalo e, logo depois, as propriedades das funções contínuas. 18
PROGRAMA DE MATEMÁTICA Tema 3 - Limites de funções e continuidade de funções. Subtema: Cálculo de limites Objectivo(s) geral(ais): Calcular: o limite da soma e da diferença de funções. Pré-requisitos: Conhecer: - as propriedades dos limites; - limites laterais; - limites e infinitos. Objectivos Específicos Calcular o limite da soma e da diferença de funções. Conteúdos Cálculo do limite Meios: Quadro, giz e caderno. Sugestões metodológicas: Antes de passar ao cálculo de limites, é necessário fazer uma breve revisão sobre os pré-requisitos de limites. Tempo... 2 aulas Instrumentos de avaliação: Resolução de exercícios orais e escritos relacionados com o subtema. 19
11ª CLASSE Tema 4 - Derivadas. 4.1. Introdução ao conceito de derivada. 4.2. Definição de derivada de uma função num ponto. 4.3. Significado da derivada de uma função num ponto. 4.4. Derivadas laterais. 4.5. Função derivável. 4.6. Derivabilidade e continuidade. 4.7. Função derivada. 4.8. Derivada de uma função constante. 4.9. Derivada de uma função afim. 4.10. Derivada do produto de uma constante por uma função. 4.11. Derivada da soma e da diferença de duas funções. 4.12. Derivada de uma potência. 4.13. Derivada de funções polinomiais. 4.14. Derivada de um produto de funções. 4.15. Derivada de um quociente de funções. 4.16. Derivada de funções compostas. 4.17. Derivada de funções exponenciais e logarítmicas. 4.18. Função segunda derivada. 4.19. Derivada de funções trigonométricas. 4.20. Estudo intuitivo do. 4.21. Derivada da função real de: variável real y=f(x) = senx y=f(x) = cosx Tempo... 30 aulas Sugestões metodológicas: O professor, antes de introduzir o conceito de derivada, deve fazer uma revisão de certas noções estudadas nas classes anteriores, tais como: tangente a uma circunferência, quociente incremental da função num ponto. Sugere-se que os alunos calculem as derivadas de algumas funções racionais (num ponto dado) a partir da definição. 20
PROGRAMA DE MATEMÁTICA O professor deve informar os seus alunos que os termos derivada e quociente diferencial de uma função num ponto, utilizam-se como sinónimo e são empregues nas seguintes notações: confusão, então, escreve-se brevemente. Se não existir. O teorema sobre a derivabilidade e continuidade deve-se enunciar e fazer-se ver com contra-exemplos que o recíproco deste teorema não é verdadeiro. Os alunos devem aprender o enunciado deste teorema, mas não é necessário que reproduzam a demonstração. As regras para a derivação de soma e produto devem ser demonstradas. A regra para a derivação de funções potenciais de expoente natural demonstrase por indução completa; para expoentes inteiros negativos, utiliza-se a regra para a derivação de um quociente. Uma revisão é necessária das funções racionais antes de estudar a derivada das funções racionais. Os alunos devem aprender o conceito de zero de uma função racional e serem capazes de analisar o comportamento de uma função racional no infinito e na vizinhança de um ponto. Depois, estuda-se a derivada das funções logarítmicas e das funções trigonométricas. Deve-se fazer uma breve revisão sobre os conceitos função monótona num intervalo, função contínua e extremos de uma função antes de estudar os intervalos da monotonia e a primeira derivada de uma função. Os alunos devem familiarizar-se com o conteúdo do teorema de valor médio do cálculo diferencial e aprender o teorema de Rolle, como um caso particular. Devem, também, compreender que a primeira derivada de uma função pode também ajudar a encontrar os extremos. Mediante exemplos adequados, devem aprender que é possível que se apresentem extremos locais em pontos nos quais a função é diferenciável. Também mediante a segunda derivada, pode determinar-se a concavidade e o ponto de inflexão do gráfico de uma função. Uma vez criadas as condições para analisar o comportamento local de funções, proceder-se-á com o estudo de funções. Para a discussão de curvas, os alunos devem habituar-se a analisar só o necessário para esboçar o gráfico da função. 21
11ª CLASSE Os exercícios que se resolvem na aula devem ser cuidadosamente seleccionados sem complicações de cálculos desnecessários. Devem-se realizar alguns exercícios de aplicação da técnica, na economia e na ciência militar. 22
PROGRAMA DE MATEMÁTICA Tema 4 - Derivadas. Subtema: Introdução ao conceito de derivada. Definição de derivada de uma função num ponto. Significado de derivada de uma função num ponto. Objectivo(s) geral(ais): Compreender o conceito de derivada de uma função. Saber o significado de derivada de uma função num ponto. Pré-requisitos: Conhecer: - recta tangente; - tangente de uma circunferência; - declive de uma recta; - taxa de derivação média. Objectivos Específicos Conhecer o conceito de derivada. Definir a derivada de uma função num ponto. Conhecer o significado da derivada de uma função num ponto. Conteúdos Introdução ao conceito de derivada. Definição de derivada de uma função num ponto. Significado da derivada de uma função num ponto. Meios: Quadro, giz, régua e caderno. Sugestões metodológicas: Antes de introduzir o conceito de derivada, sugere-se que o professor faça uma breve revisão sobre os pré-requisitos (ver coluna pré-requisitos). A definição de derivada será introduzida partindo de exemplos concretos, como velocidades e acelerações de um automóvel. Os alunos poderão realizar trabalhos individuais ou em grupo, de história do cálculo diferencial. Tempo... 2 aulas Instrumentos de avaliação: Resolução de exercícios de derivadas a partir da definição de derivada. 23
11ª CLASSE Tema 5 - Cálculo de probabilidades. Análise combinatória e binómio de Newton. 5.1. Introdução histórica das probabilidades. 5.2. Acontecimentos e operações com acontecimentos. 5.3. Definição frequencista de probabilidade. 5.4. Definição clássica de probabilidade. 5.5. Definição axiomática de probabilidade. 5.6. Probabilidade condicionada. 5.7. Acontecimentos independentes. 5.8. Análise combinatória e binómio de Newton. 5.8.1. Princípio fundamental da contagem. 5.8.2. Factorial de um número natural. 5.8.3. Permutações. 5.8.4. Arranjos sem repetição. 5.8.5. Arranjos com repetição. 5.8.6. Combinações sem repetição. 5.8.7. Triângulo de Pascal. 5.8.8. Binómio de Newton. Sugestões metodológicas (Probabilidades): Todo o trabalho deve iniciar-se pela realização de experiências (frequências relativas e probabilidades). Os estudantes devem ser levados a elaborar formas de registo legíveis para os resultados das suas experiências poderem ser partilhadas em grupo. As experiências e o estudo de situações (em particular, os jogos) devem ser aproveitados para dinamizar discussões do tipo científico, bem como o trabalho cooperativo. A axiomática das probabilidades pode ser obtida pela intuição a partir das conclusões que se forem tirando das experiências e de outros exemplos apresentados. A axiomática, por ser curta, permite alguns exercícios de verificação simples capazes de motivar a aproximação da utilidade deste tipo de abordagem matemática. 24
PROGRAMA DE MATEMÁTICA Por outro lado, é de recordar que os conhecimentos já adquiridos sobre Estatística permitem relacionar frequências relativas obtidas experimentalmente com o valor da probabilidade. 25
11ª CLASSE Tema 5 - Termos e conceitos probabilísticos. Subtema: Noção de probabilidade de um acontecimento. Objectivo(s) geral(ais): Compreender a noção de probabilidade de um acontecimento. Pré-requisitos: Conhecer: - a teoria dos conjuntos; - as leis de De Morgan; - algumas noções de Estatística. Objectivos Específicos Reconhecer que, em determinados acontecimentos, há uma grande incerteza. Identificar os resultados possíveis numa situação aleatória. Calcular, em casos simples, a probabilidade de um acontecimento como quociente entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis. Compreender e usar escalas de probabilidade de 0 a 1 ou de 0% a 100%. Usar conscientemente as expressões: muito provável, improvável, certo e impossível. Conteúdos Alguns aspectos de linguagem. Acontecimentos e operações com acontecimentos. Noção de probabilidade de um acontecimento. Meios: Quadro, giz, caderno e régua. Sugestões metodológicas: Para desenvolver o tema, podem apreciar os resultados de: - Lançamento de uma moeda. - Lançamento de um dado. O aluno irá identificar acontecimentos possíveis, impossíveis, certos, prováveis, pouco prováveis, com este tipo de linguagem. Assim, o conceito de probabilidade de um acontecimento como razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis é facilmente 26
PROGRAMA DE MATEMÁTICA entendível por parte do aluno. A contagem de número de casos favoráveis, levanta por vezes algumas dificuldades, podendo, no entanto, proporcionar ocasião para discutir e organizar processos de contagem. Poderão ser propostas outras actividades, tais como: - Calcular a probabilidade de usar um saco com duas bolas pretas e três brancas, tirar (sem reposição): Uma bola branca (numa só extracção). Três bolas brancas (em três extracções consecutivas). Três bolas pretas (em três extracções consecutivas). Uma bola azul (numa só extracção). Uma bola branca ou preta (numa só extracção). Tempo... 4 aulas Instrumentos de avaliação: Trabalho em grupo, individual e prova escrita. Sugestões metodológicas (Análise Combinatória e Binómio de Newton): Para introduzir este tema, sugere-se que o professor parta de uma situação problemática em que a contagem por recurso a diagramas de árvores, a tabelas ou a outros esquemas, atendendo o número elevado de elementos do conjunto de resultados, recorre-se à análise combinatória. No caso das contagens que sejam facilitadas por raciocínio combinatório, os alunos devem começar por contar os elementos um a um, utilizando exemplos desde o mais simples até aos mais complicados, até que reconheçam a realidade dos diagramas e depois das organizações simplificadoras. Mesmo o diagrama de Pascal deve ser introduzido a partir de problemas. Muitos dos problemas postos podem e devem resultar da análise de jogos conhecidos. As propriedades devem ser cedidas por meio de raciocínios combinatórios, mas não deve ser desprezada a ideia, caso seja possível, de introduzir conexões matemáticas com métodos recursivos e fazendo alguma demonstração por indução matemática. 27
11ª CLASSE Tema 5 - Análise combinatória. Subtema: Permutações. Objectivo(s) geral(ais): Resolver problemas que envolvam os arranjos, as permutações e as combinações. Pré-requisitos: Princípio fundamental da contagem. Factorial de um número natural n. Objectivos Específicos Calcular o número de sequências (permutações) diferentes que se podem obter com os n elementos. Conteúdos Permutações Meios: Quadro, giz, números e objectos. Sugestões metodológicas: O professor deve partir de situações problemáticas simples da vida do aluno. Tempo... 2 aulas Instrumentos de avaliação: Resolução dos exercícios e problemas relacionados com o cálculo da permutação. 28
PROGRAMA DE MATEMÁTICA Avaliação No ensino, a avaliação assume carácter eminentemente formativo, devendo favorecer a progressão pessoal e a autonomia como parte integrante do processo ensino-aprendizagem, permitindo ao aluno implicar-se no próprio processo e ao professor controlar melhor a sua prática lectiva. A avaliação do processo do aluno deverá ser sistemática e contínua, quer em relação aos processos utilizados, quer em relação aos resultados obtidos. A avaliação a realizar ao longo de cada ano não deve ser prescritiva, nem assumir um carácter definitivo que descrimine desde logo o aluno, impedindo de alcançar sucesso no imediato e, porventura, no seu futuro escolar. Cabe ao professor gerir de acordo com as experiências de aprendizagem desenvolvidas, os parâmetros enunciados. Uma avaliação que complete todos os domínios de aprendizagem e respeite o ritmo do aluno implica uma escolha adequada de formas e instrumentos de avaliação. Assim, podem constituir formas de avaliação (trabalhos individuais ou de grupo, discussões e debates, exposições, entrevistas, trabalhos de casa, assim como o caderno diário). Para avaliar a capacidade de resolução de problemas, o professor recolherá informações sobre os progressos verificados nas diferentes fases a considerar durante o processo. Poderá ser pedido aos alunos que entreguem pequenos relatórios onde descrevem, não só a sua resolução do problema, como igualmente a descrição de todo o processo percorrido (1ª abordagem seguida de dificuldades, avanços, recuos, razões justificativas das opções tomadas...). A avaliação da capacidade de comunicação na Matemática faz-se observando o modo como o aluno descreve processos, enuncia propriedades, expressa conceitos, formula problemas, compreende e avalia ideias expressas em Matemática, devendo o professor estar particularmente atento ao desenvolvimento da clareza, precisão e adequação da linguagem utilizada. Devem ser pedidas ao longo do ano frequentemente argumentações/descrições escritas e orais relativas a processos matemáticos seguidos pelos alunos. 29
11ª CLASSE Os trabalhos desenvolvidos em grupo deverão ser igualmente considerados para a avaliação. Esta poderá ter em conta, quer produções realizadas em grupos, quer trabalhos complementares individuais. 30
PROGRAMA DE MATEMÁTICA BIBLIOGRAFIA CONSULTADA INIDE, Ministério da Educação; Programa de Matemática PUNIV, 2º Ano, Luanda 1996. LIMA, Yolanda; GOMES, Francelino; XEQMAT, Matemática (10º/11º Ano), Editorial O Livro, Lisboa, 1996/97. NEVES, Maria Augusta Ferreira; Sucessões Matemáticas, 11º Ano Parte 3. Porto Editora, Portugal 1998. NEVES, Maria Augusta Ferreira; Geometria 2, Matemática 11º Ano, Parte 1. Porto Editora, Portugal 1998. GUNTER, Lorenz; STYE, Werner; FRANK, Brigitte; Orientações Metodológicas, Matemática 11º, Editorial Pueblo y Educación, Ministerio de Educación 1988, Ciudad de La Habana, Cuba. RIZO, Celia C. Cabrera; PÉREZ, Luís Campistrous; ÁLVAREZ, Ailba Rivero; URZUELA, Silvia; Indicaciones Metodológicas para La Simplificación de los Programas, Matemática Décimo Grado. Editorial Pueblo y Educación, Ministério de Educación 1985, Ciudad de la Habana, Cuba. NEVES, Maria Augusta Ferreira; Probabilidades, Matemática 12º Ano, Parte I. Porto Editora, Portugal 1999. NEVES, Maria Augusta Ferreira; Funções 3, Matemática 12º Ano, Parte 2. Porto Editora, Portugal 1999. 31