P21-1 Massa: uma abordagem experimental Phillip A. B. Galli e Radamés A. Silva Instituto de Física da USP (Data: 14 de Fevereiro de 2006) A experiência teve como objetivo determinar qual dos métodos de medição com uma mola, medição por elongação(método estático) e medição por oscilação (método dinâmico), é mais eciente e comparar os resultados obtidos. Na medição por oscilação utilizou-se um cronômetro a laser construído pelo grupo com o intuito de melhorar as medidas. Além do objetivo de estudar a precisão e eciência de cada método, desejou-se também discutir as constantes da mola em cada caso e vericar se eram compatíveis. O experimento mostrou que os resultados obtidos em cada situação estavam diretamente ligados ao instrumento utilizado na medição. Em particular concluiu-se que o método dinâmico com o cronômetro a laser fornece maior precisão, embora demande mais tempo de experimento. I. INTRODUÇÃO A força aplicada por uma mola é dada pela lei de Hooke sendo a força restauradora proporcional ao deslocamento da posição de equilíbrio (l l 0 ). F = k(l l 0 ) (1) A constante e proporcionalidade é característica da mola. A lei de Hooke deixa de valer se a deformação da mola for excessivamente grande [1,2]. A equação física que descreve o sistema massa mola, onde m é a massa acrescentada ao sistema é: k(l l 0 ) + mg = m d2 l dt 2 (2) Consideremos primeiro a situação de equilíbrio, ou seja, o caso estático onde pode-se igualar as forças devidas à mola e à gravidade. Nesse caso temos que: k e (l l 0 ) + mg = 0 (3) onde k e é a constante estática da mola. Reescrevendo em função da elongação, l = g k e m + l 0 (4) e linearizando para o ajuste de uma reta pelo método dos mínimos quadrados obtém-se que: e a e = g k e (5) b e = l 0 (6) onde a e e b e são respectivamente os coecientes ângular e linear da reta ajustada, cuja equação nesse caso esta na forma y = a e x + b e lembrando que y = l e x = m. Consideremos agora a situação dinâmica, onde as forças peso e tração não possuem o mesmo módulo. A solução de (2) é uma função oscilatória de freqüência ângular dada por ω = kd m (7) onde denotaremos a constante dinâmica da mola. Supondo agora que uma mola oscile com uma massa nela pendurada o período de oscilação é calculado por: m T = 2π (8) Deve-se considerar a massa do sistema como sendo um terço da massa da mola m m somada às massas adicionais nela acrescentada. Linearizando (8) temos: T 2 = 4π2 m + 4π2 m m 3 (9) obtém-se novamente a equação de uma reta y = a d x + b d onde y = T 2 e x = m. a d e b d são respectivamente os coecientes ângular e linear da reta e são dados por: e a d = 4π2 (10) b d = 4π2 m m 3 (11) Por questão de nomenclatura denotaremos o método de elongação por método estático e o método de oscilação por método dinâmico. II. DESCRIÇÃO EXPERIMENTAL A. O Método Estático Na primeira parte o arranjo experimental constituise apenas de um suporte para a mola, onde utilizou-se uma estrutura xa na parede com uma trena a m de se obter as medidas de elongação. Utilizou-se cinco discos e quarenta esferas de pequeno diâmetro para um ajuste no de massas.
2 B. O Método Dinâmico 1. O Método de Oscilação com um cronômetro convencional Na segunda parte após determinar um limite de massas pelo método descrito anteriormente no qual a mola apresentava um comportamento linear, mediu-se o período de oscilação da mola para algumas massas. Foram utilizados dois cronômetros convencionais dos quais foram tomadas oito medidas de dez períodos para cada massa. Com a nalidade de comparar os métodos, mediu-se novamente a elongação na mola associada a cada uma das massas. 2. O Método de Oscilação com o cronômetro a laser Utilizou-se um sistema de aquisição de dados via porta paralela de um computador pessoal (PC) construído e elaborado pelo próprio grupo com o objetivo de melhorar a tomada de dados. O sistema constituiu-se de um circuito com um laser para acionamento automático de um cronômetro de alta precisão desenvolvido em linguagem C. As massas utilizadas durante o procedimento coincidem com as mesmas das medições anteriores. Devido à alta precisão do equipamento foram realizadas apenas duas medidas de períodos de dez oscilações para cada massa. III. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL A. O Método Estático 1. Medições Preliminares A m de determinar um limite de segurança para as medições evitando que uma massa deformasse a mola, determinou-se um intervalo seguro para realizar a experiência. Foram realizadas medições pelo método de elongação e conforme a Figura 1 pôde-se alcançar valores de massa em torno de 94g sem alterar as propriedades da mola. A incerteza na medida da elongação utilizada no ajuste de reta foi obtida pela utuação média dos valores ao redor do comportamento médio: Σ(y i y iaj ) s = (12) ngl onde y i y iaj refere-se à diferença entre cada valor experimental e o comportamento médio e ngl ao número de graus de liberdade. No caso ngl = n 2, pois a função ajustada foi uma reta que apresenta dois parâmetros livres. A Figura 1 fornece a informação que para elongações muito pequenas a lei de Hooke não funciona o que impede a escolha de massas nesse intervalo limite. Figura 1: As medições preliminares determinaram um intervalo seguro para o experimento sem alterar as propriedades da mola. Para massas muito pequenas como mostrado acima, o modelo adotado deixa de ser válido. As medições preliminares serviram ao todo de base para o início do experimento evitando o uso de massas que deformassem a mola ou que não seguissem o modelo adotado pela lei de Hooke. 2. Medições de Elongação Após as medições preliminares mediu-se a elongação na mola e o período de oscilação de vinte massas no intervalo suportado pela mola. Mediu-se o período para dez oscilações consecutivas em um total de oito vezes. Após serem medidos o período e a elongação de cada massa, vericou-se também o comprimento da mola para ter certeza que não estivesse sofrendo deformações durante a tomada de dados. As massas foram tomadas aleatoriamente sem que estivessem em ordem crescente. Em seguida ajustou-se uma reta com os dados obtidos para cada um dos casos. O método de elongação forneceu os resultados a e = 0, 4507(6)cm/g e b e = 51, 35(3)cm, onde a e e b e são dados por (5) e (6) respectivamente, conforme a Figura 2. Pode-se então calcular a constante elástica da mola com (5) novamente. O valor adotado para a aceleração da gravidade é aquele xado nas dependências do laboratório de física que foram determinados pelo IAG, sendo portanto g = 9, 7864(3)m/s 2. Conclui-se então que k e = 2, 171(7)N/m. B. O Método Dinâmico 1. Medições de oscilação com o cronômetro convencional Para o método de oscilação o ajuste de reta forneceu os seguintes resultados: a d = 0, 01884(14)s 2 /g e b d = 0, 050(8)s 2, conforme a Figura 3. Utilizando-se (10)
3 Figura 2: Ajuste feito pelo método de elongação dentro do intervalo de segurança determinado durante as medições preliminares. Figura 4: O cronômetro a laser introduziu maior precisão no experimento. Os resultados do ajuste desse método serão comparados com os obtidos nos outros métodos. obtém-se analogamente o valor para a constante elástica dinâmica da mola por esse método, = 2, 10(4)N/m. IV. ANÁLISE E COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS Com o objetivo de determinar massas desconhecidas a partir dos dados experimentais obtidos utilizou-se em cada caso a elongação ou o período de oscilação causado pelo acréscimo de massa na mola para interpolar esses valores nas retas ajustadas e obter dessa maneira o valor para a massa experimental acrescentada. Como referência para comparação tomou-se o valor de massa medido com uma balança analítica. O valor teórico desprezandose efeitos de resistência e atritos para a diferença da massa medida na balança e o valor obtido experimentalmente seria zero. Com o intuito de vericar qual método apresenta maior utuação ao redor do zero e se aproxima mais do modelo teórico adotado, construiu-se os grácos seguintes. Figura 3: Ajuste feito utilizando-se um cronômetro convencional para medir os períodos de oscilação de suas massas respectivas. 2. Introduzindo o cronômetro a laser O procedimento adotado nesse caso é semelhante ao descrito para o método de oscilação com um cronômetro convencional, porém, como era esperado o equipamento desenvolvido forneceu maior precisão no experimento. Com o ajuste de reta obteve-se a d = 0, 018132(3)s 2 /g e b d = 0, 07362(17)s 2, conforme a Figura 4. Consequentemente, o valor obtido para a constante da mola foi = 2, 1778(4)N/m. Figura 5: Comparação entre o método de elongação e o método de oscilação com o cronômetro convencional. De acordo com a Figura 5 o método de medição
4 Medições preliminares k e = 2, 172(7)N/m Método de elongação k e = 2, 171(7)N/m Método de oscilação com cronômetro convencional = 2, 10(4)N/m Método de oscilação com cronômetro a laser = 2, 1778(4)N/m Tabela I: Nota-se que as constantes da mola obtidas em cada um dos métodos diferem entre si. Figura 6: Comparação entre os métodos de elongação e oscilação com o cronômetro a laser. Figura 8: Comparação entre as constantes da mola dentro de três incertezas. Figura 7: Comparação entre os métodos de oscilação com o cronômetro convencional e o cronômetro a laser. por elongação apresenta valores mais próximos do zero quando comparado às medições de oscilação, o que leva a uma conclusão de que nessa precisão determinar massas por elongação é mais preciso. No entanto uma análise da Figura 6 revela que melhorando-se a precisão no método por oscilações o quadro se inverte e esse método passa a ser mais preciso que o anterior. Fica evidente que quando comparado ao método de elongação, as medições com o cronômetro a laser utuam mais próximo do zero do que no método de elongação. Por m, a Figura 7 representa a dispersão das massas pelo método de oscilações medidos com o cronômetro convencional e aquele desenvolvido pelo grupo, revelando um aumento na precisão dos resultados que foi obtida através da substituição dos cronômetros. Ao analisar as constantes elásticas da mola pelos três métodos de medição nota-se que elas diferem entre si. Analisemos a compatibilidade das constantes. Fica evidente que dentro de três incertezas as constantes pelos métodos de medição por elongação e por oscilação com o cronômetro a laser são compatíveis enquanto que a constante dinâmica de oscilação com o cronômetro convencional permanece longe de ser compatível com as outras. O fato de as duas constantes estáticas serem compatíveis entre si leva a conclusão de que a mola não foi degradada durante todo o experimento e manteve suas propriedades. Para o cálculo das incertezas no método estático considerou-se uma incerteza relativa devida às variações na escala do instrumento utilizado que variam conforme o fabricante. Considerou-se a variação de 1 mm a cada 30 cm o que sugere uma incerteza relativa da ordem de três partes em mil. No entanto, para determinar a incerteza referente ao método dinâmico com um cronômetro convencional considerouse como incerteza aquela estimada que varia de pessoa para pessoa e assume o valor de 0, 041 s [3]. Através de (9) é possível determinar a massa da mola e compará-la nos dois métodos de oscilação com o valor medido pela balança. A massa experimental da mola pode então ser calculada por: m m = 3b d a d (13)
5 Balança analítica m m = 10, 9117(1)g Oscilação com cronômetro convencional m m = 8, 00(128)g Oscilação com cronômetro a laser m m = 12, 18(3)g Tabela II: Nota-se uma diferença da ordem de 10% entre as massas medidas pela balança analítica e o cronômetro a laser. A mesma comparação feita com o cronômetro convencional mostra uma diferença relativa de 27% com a balança analítica. V. CONCLUSÃO Considerando-se os valores das constantes na Tabela I, pode-se dizer que a constante do método estático e do método dinâmico com o cronômetro a laser apresentam uma diferença relativa de 0, 3%. A mesma comparação feita com o cronômetro convencional resulta em uma diferença relativa de 3, 3% entre as constantes estática e dinâmica da mola. Conclui-se que dentro da precisão do experimento o método de medição de oscilações da mola com um cronômetro a laser é mais preciso que os outros métodos. Assim sendo, pode-se por exemplo inovar uma balança fazendo com que se meça massas (no limite considerado para esse mola) por oscilação ao invés de por elongação e obter dessa forma uma precisão maior. Os resultados obtidos na experiência mostram que as conclusões nais dependem diretamente dos instrumentos que foram utilizados nas medições. Antes de se introduzir o cronômetro a laser o método de medições por elongação se mostrou mais eciente que o de oscilações por ter uma precisão maior e demandar menos tempo de trabalho. Introduzindo-se o cronômetro a laser a precisão dos dados aumentaram e no nal esse método se mostrou mais preciso do que aquele por elongação da mola apesar de demandar muito mais tempo para a construção e elaboração do equipamento, assim como ajustes nais e imprevistos que ocorreram. Entre os três métodos de medição aquele que se mostrou pior para a determinação de massas foi o de medir oscilações com um cronômetro convencional, pois além de ser menos eciente que o cronômetro a laser (o que já era esperado de acontecer) perde também para o método de elongação. Além disso esse foi o único método no qual a constante elástica obtida para a mola não foi compatível com as demais. Agradecimentos Os autores agradecem à ajuda e apoio do professor Zwinglio O. Guimarães-Filho, professor da discplina de Física Experimental II no ano letivo de 2004, e aos técnicos do laboratório do IFUSP. Referências 1. H.M.Nussenzweig,Curso de Física Básica 1-Mecânica,Editora Edgard Blücher Ltda,4 a edição,são Paulo(2002) 2. D.Halliday e R.Resnick,Fundamentos de Física Vol.1,3 a edição,livros Técnicos e Cientícos Editora S. a,rio de Janeiro(1994) 3. C.H.Trillo, C.Benetti e D.F.Silva, Incerteza de uma Cronometragem.