MATEMÁTICA APLICADA MARCELO CARRION
APRESENTAÇÃO MARCELO CARRION ENGENHEIRO MATEMÁTICO ESPECIALISTA MATEMÁTICA UNICAMP MESTRANDO EM MATEMÁTICA - UNESP
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 1. Conceitos Básicos de Aritmética e Álgebra 2. Geometria Plana 3. Geometria Espacial 4.Função do Primeiro Grau 5. Função do Segundo Grau 6. Função Exponencial 7. Função Logarítmica 8. Álgebra Elementar em R
AVALIAÇÃO P1 - PROVA VALOR 7,0 L - LISTAS DE EXERCÍCIOS VALOR 1,0 P2 - PROVA VALOR 2,0 M MÉDIA E EXAME MF MÉDIA FINAL M=P1+L+P2 SE M 7,0 ALUNO APROVADO SE M<3,0 ALUNO REPROVADO SE 3,0 M <7,0 EXAME (5,0) MF M 2 E
OBJETIVOS DO CURSO PROMOVER NIVELAMENTO PRÉ-REQUISITOS APLICAÇÕES MATEMÁTICAS
CONCEITOS BÁSICOS DE ARITMÉTICA E ÁLGEBRA
NÚMEROS NATURAIS (N) N={0,1,2,3,4,5,...} Antecessor/sucessor Divisor Múltiplo
NÚMEROS INTEIROS (Z) Z={..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...} Z*=Z-{0} Negativos Neutro Positivos
NÚMEROS RACIONAIS (Q) a Q {, a Z, b Z*} b São números racionais: 3 Números naturais: Números inteiros: 3 1 8 4 2 Números decimais exatos: 25 2,5 10 Números decimais periódicos: 0,333; 2,5151...
FRAÇÃO GERATRIZ DE DÍZIMA PERIÓDICA Método Prático: 3 1 0,333... 9 3 76 0,7676... 99 341 0,341341... 999 1,2525... 1 0,2525... 25 99 25 124 1 99 99 99 99 Regra Geral: x 1,252525...(1) 10x 12,52525...(2) 100x 125,2525...(3) (3) (1) 100x x 125,2525... 1,2525... 124 99x 124 x 99
NÚMEROS IRRACIONAIS (I) Números irracionais são números decimais não periódicos
NÚMEROS REAIS R Q I N Z Q R
INTERVALOS REAIS a a b b ]a,b[ ou {xr/a<x<b} [a,b] ou {xr/a x b} a a a b b b [a,b[ ou {xr/a x<b} ]a,b] ou {xr/a<x b} ]a,+) ou {xr/x>a} (,b] ou {xr/x b}
ADIÇÃO EM Z NÚMEROS POSITIVOS: CRÉDITO NÚMEROS NEGATIVOS: DÉBITO SALDO CREDOR (+): CRÉDITO > DÉBITO SALDO DEVEDOR( ): CRÉDITO < DÉBITO EXEMPLOS: 20+(+17)= 3 +52+( 2)=+50 35+( 5)= 40 +27+(+8)=+35
SUBTRAÇÃO EM Z ESTORNO: REPARAR LANÇAMENTO INDEVIDO TIRAR CRÉDITO: SALDO, LOGO TIRAR CRÉDITO=DÉBITO TIRAR DÉBITO: SALDO, LOGO TIRAR DÉBITO=CRÉDITO EXEMPLOS: +50 (+20)=+50 20=+30 +23 ( 7)=+23+7=+30 48 (+30)= 48 30= 78 36 ( 6)= 36+6= 30
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO EM Z + + = + + = + = = + EXEMPLOS: (+5).(+8)=+40 (+18):(+2)=+9 (+3).( 6)= 18 (+21):( 3)= 7 ( 2).(+7)= 14 ( 10):(+5)= 2 ( 9).( 8)=+72 ( 25):( 5)=+5
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO EM Q DENOMINADORES IGUAIS: MANTER DENOMINADOR E OPERAR COM NUMERADORES DENOMINADORES DIFERENTES: REDUZIR AS FRAÇÕES AO MESMO DENOMINADOR EXEMPLOS: 2 1 3 7 7 7 2 1 8 3 5 3 4 12 12 12 3 5 3 8 1 5 5 5 5
MULTIPLICAÇÃO EM Q a c ac x b d bd EXEMPLOS: 2 3 2x3 6 3 x 5 4 5x4 20 10 4 7 4 7x4 28 7x x 5 1 5 1 x 5 5
a c a d ad x b d b c bc EXEMPLOS: 5 2 5 3 15 5 x 6 3 6 2 12 4 DIVISÃO EM Q ou a a c b ad b d c bc d 5 5 2 6 5x3 15 5 6 3 2 6x2 12 4 3
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Dois estudantes, A e B, receberam Bolsas de Iniciação Científica de mesmo valor. No final do mês, o estudante A havia gasto 4/5 do total de sua Bolsa, o estudante B havia gasto 5/6 do total de sua Bolsa sendo que o estudante A ficou com R$ 8,00 a mais que o estudante B. a) Qual era o valor da Bolsa? b) Quantos reais economizou cada um dos estudantes, naquele mês?
1x 1x a) 8 5 6 6x5x 240 x 240.30 1x 1 b).240 48 5 5 1x 1.240 40 6 6
x y 2 2. Se A=, calcule o valor de A sabendo que x e y, xy 5 1 2 2 1 4 5 1 5 2 10 10 10 10 1 A 2 1 2 2 20 2. 5 2 10 10
3. Calcule M= 3 1 2 5 1 3 1 4 M 2 3 1 2 2 5 2 5 4 5 20 2. `. 4 1 3 5 3 10 3 30 3 4 4 4
4. Calcule Y 1 1 1 2 14 3 9 3 6 1 1 3 Y 14 3 3 9 9 7 2 14 3 9 7 1 2. 3 14 9 7 2 42 9 1 2 6 9 3 4 7 18 18 18
5. Sendo a = 0,555... + 0,111... e b = 0,2 + 0,04, determine na forma decimal b a b 0,2 0,04 0,24 0,24 0,24 a 0,555... 0,111... 5 1 6 2 9 9 9 3 24 6 100 25 18 36 0,36 2 2 50 100 3 3
POTENCIAÇÃO n a a. a. a... a n fatores a a base n expoente EXEMPLOS: 5 2 2.2.2.2.2 32 4 ( 3) ( 3).( 3).( 3).( 3) 81 3 2 2 2 2 8.. 5 5 5 5 125 2 7 (7.7) 49
PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS P1 a. a a m n mn P2 a a a m n mn P3 ( a. b) a. b a P4 b n n n n m. P5 a a n a b n n m n
POTÊNCIAS COM EXPOENTES OBSERVE A TABELA INTEIROS 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 2-1 2-2 2-3 2-4 16 8 4 2 1 1 2 1 4 1 8 1 16
NOTAÇÃO CIENTÍFICA Modo de representação de números reais utilizando-se potências de base 10. Consideramos um número representado em notação científica caso este obedeça o padrão y 10 n, onde yr/ 1 y < 10 e n Z. Exemplos: 27000=2,7.10 4 0,0000031=3,1.10-6
ORDEM DE GRANDEZA Primeiro passo: escreva o número em notação científica, isto é, da forma y 10 n Segundo passo: - se o valor de y for menor do que 3,16 a ordem de grandeza do número será 10 n -se o valor de y for maior ou igual do que 3,16 a ordem de grandeza do número será 10 n+1 Exemplos: A superfície do território brasileiro é aproximadamente: 8547403 Km 2 =8,5.10 6 Km 2 O.G. é 10 7 A massa de um átomo de hidrogênio é 0,00000000000000000000000166g=1,66.10-24 g O.G. é 10-24
RADICIAÇÃO n n a x x a n a a n x Raiz Radical Radicando Índice Raiz 3 4 10 EXEMPLOS: 125 5 81 3 1024 2,pois, pois, pois 3 5 125 4 3 81 10 2 1024
SIMPLIFICAÇÃO DE RADICAIS Utilizar as propriedades dos radicais para representar uma raiz com o menor radicando possível. Exemplos: 5 2 2 32 2 2.2.2 2.2. 2 4 2 2 2 180 2.3.5 2.3. 5 6. 5 375 3.5 5. 3 3 3 3 3
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES a a. b a. b b b. b b a a. b a. b b b. b b n m n m n n m n n m n nm. a a. b c a. b c b c b c b c b c
1 1 2 2. 2 2 2 2 EXEMPLOS 2 2 3 1 2. 3 1 2. 3 1. 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 2 2 2. 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2. 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 3 2 3 3 3 2 2 4 2. 16 2. 16 16. 4 4 4 4 4 2 3 3 3 2 3 3
PROPRIEDADES DOS RADICAIS n n n P1 a. b a. b P2 n n a b n m np. m. p P3 a a P4 a a n m n. m P5 a a n a b m n m n
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Simplifique a 3 4 1 5 3. 3 3. 3.3 3 4 7 2 3 7 6 12 7 11 9. 27. 3 3.3.3 3 2 ) 3 9 2 1 10 9 2 1 3.3 3. 243 3 b 3 2 5. 5 6 3 6 3 18 6 12 125. 25 5.5 5 4 ) 5 625 3 7 6 14 8 2 7 6 2 5. 25 5. 5 5.5 5
2. Simplifique 2 3 2 3 1 5 1 5 A B 2 3 2 3 1 5 2 2. 5 3 15 A. 1 5 1 5 1 5 1 5 2 2. 5 3 15 2 2. 5 3 15 4 4 2 3 2 3 1 5 2 2. 5 3 15 B. 1 5 1 5 1 5 1 5 2 2. 5 3 15 2 2. 5 3 15 4 4
2 2. 5 3 15 2 2. 5 3 15 A B 4 4 4 2. 15 15 1 4 2
3. Calcule M m 3 2 2 1 ( 3 ). 0, 444... 3 4 6 2 M 3 2 2. 3 2 3 3 3 3 1 3 9 2 3 12 9 2 3 3 2 3 4 2 3 9. 3.... 4 6 6 3 3 3 4 2 4 4 4 4 3 4 2 2 2 2 2 2 2 9 3 3 2 2 3 3 3 2 3 3 3 1 4 2 2 2 2.3 1 2 2 2 2.3.3.3.3 2.3 2.3 3 3 4 4 3 3 2 6 3 2 2 2 3 1 1 2 1 1 2. 2 2. 6 8. 2. 2. 3 3 3 3 3
PRODUTOS NOTÁVEIS. 2 2 2 A B A 2. A. B B 2 2 2 A B A 2. A. B B A B A B A B 2 2 3 3 2 2 3 A B A 3. A. B 3. A. B B 3 3 2 2 3 A B A 3. A. B 3. A. B B
FATORAÇÃO Fatorar significa transformar em fator, isto é, transformar em multiplicação.
TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO A 2. A. B B ( A B) 2 2 2 A B 4. x 12x 9 (2x 3) 2 2 2.x 3
DIFERENÇA DE QUADRADOS 2 2 A B A B A B ( ).( ) A B 2 4 2 2 2 25 x y (5. x. y).(5. x. y) 9 3 3 5.x 2. 3 y
DIFERENÇA DE CUBOS 3 3 2 2 A B ( A B).( A A. B B ) A B 3 2 y y y y 27 ( 3).( 3. 9) y 3
SOMA DE CUBOS 3 3 2 2 A B ( A B).( A A. B B ) A B 3 3 2 2 x 125 y ( x 5 y).( x 5. x. y 25 y ) x 5.y
FATOR COMUM EM EVIDÊNCIA 3 5 2 7 2 5 2 6. x y 15. x. y 3. x. y.(2. x. 5 y ) FATOR COMUM
AGRUPAMENTO ax + bx + ay + by=x.(a+b)+y.(a+b)=(a+b).(x+y) FATOR COMUM FATOR COMUM FATOR COMUM
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES ALGÉBRICAS
1. Determine o valor da expressão 30a² 6b para a= 1 e b=4. 25a 4 1 2 30 a² 6. b 6.(5. a b) 6 25 (5. ).(5. ) 5. 4 2 2 2 2 a b a b a b a b Para a= 1 e b=4, temos: 6 6 6 6 2 a b 5 4 9 3 2 2 5. 5.( 1) 4
4 y 1 2. Determine o valor da expressão para y=999. y³ y² y 1 4 2 2 2 y 1 ( y 1).( y 1) ( y 1).( y 1).( y 1) y 1 2 2 y³ y² y 1 y.( y 1) ( y 1) ( y 1).( y 1) Substituindo y por 999, temos: y 1 999 1 1000
ATENÇÃO