Comunicações Digitais Prova 0 017/1 (16/03/017) Aluno: Matrícula: Instruções A prova consiste de 4 (quatro) questões discursivas A prova terá a duração de h A prova pode ser feita a lápis ou caneta Não é permitida consulta a qualquer material, todas as fórmulas necessárias serão dadas no final da prova. Calculadoras podem ser utilizadas, mas todas as contas e respostas devem ser justificadas Questão 1 3 4 Nota Total
Questão 1 (,5 pontos) Comunicações Digitais Sabendo que a transformada de Fourier de rect(t) = sinc(πf), ache a transformada de Fourier de x(t) = { At 0 < t B 0 caso contrário Sabemos que e, portanto, dx(t) dt Consequentemente = Arect ( t B 1 ) Aδ(t B) = Arect (t B ) ABδ(t B) B jπfx(f) = ABe jπbf sinc(πfb) ABe jπfb X(f) = ABe jπbf ( sinc(πfb) e jπbf ) jπf Questão (,5 pontos) Um aluno de engenharia constrói um receptor de rádio FM caseiro, que utiliza uma frequência intermediária de 4MHz para demodular o sinal. Ele tenta sintonizar uma emissora de rádio FM de Rock, que transmite em uma portadora de 90MHz. Entretanto, ao sintonizar esta rádio, ele ouve uma outra rádio, que transmite apenas música sertaneja. a) Explique o que deve ter acontecido, e o que o aluno pode ter esquecido em seu projeto. O aluno provavelmente se esqueceu do filtro de imagem. b) Qual a frequência de portadora da emissora de música sertaneja? Sabemos que a frequência do oscilador local é escolhida de modo que f LO = f c ± f I de modo que o sinal modulado seja convertido para a frequência intermediária f I. Desta forma, emissoras que tenham frequência f c ou f c f I serão convertidas para f I, caso não haja filtro de imagem. Ou seja, a emissora sertaneja deve estar na frequência imagem, que, dependendo da escolha do oscilador local, será f c f I = (90 8) = 8MHz ou 98MHz. Sabendo que a banda reservada pra FM este entre 88 e 108MHz, deduz-se que a emissora sertaneja transmite em 98MHz. 1 1 Na resolução da prova será aceito qualquer um dos dois valores.
Questão 3 (,5 pontos) Comunicações Digitais Um sistema de transmissão digital é utilizado para transmitir um sinal de vídeo em cores, multiplexado com um sinal de áudio surround com 4 canais. Sabemos que o sinal analógico de vídeo tem uma banda de 4MHz para cada uma das 3 cores primárias, e que o sinal é amostrado a uma taxa 0% maior que a taxa de amostragem de Nyquist. O sinal de vídeo é amostrado com quantização uniforme, de modo que a RSR seja maior que 40dB, e sabemos que a potência média do sinal é 5% do quadrado de sua amplitude de pico. Sabemos ainda que o sinal de vídeo pode ser comprimido com uma razão de compressão (taxa sem compressão/taxa com compressão) igual a 10. Os canais de áudio, de alta qualidade, são amostrados com 16bits/amostra, a uma taxa de 54k amostras/segundo, em cada canal. Os canais de áudio não são comprimidos. Qual a taxa de transmissão do sinal total? A taxa de amostragem do sinal de vídeo é f a = 1, B vid = 9,6MHz. A resolução da quantização é obtida de modo que 3L P m m p = 3 4 L > 10 4 L > 13333 L = n > 115,5 n = 7 A taxa de bits de vídeo não comprimido é 3 f a,vid n vid = 3(9,6 10 6 )7 = 01,6Mbps e com compressão, R vid = 0,16Mbps A taxa de áudio é de R aud = 4 f a,aud n aud = 4(54 10 3 )16 = 3,456Mbps E a taxa total será R b = R vid + R aud = 3,616Mbps
Questão 4 (,5 pontos) Comunicações Digitais Um sinal é composto por duas senoides de frequência 5Hz e 50Hz de igual amplitude. Este sinal é modulado em AM-DSB-SC em uma portadora de frequência 100Hz. Este sinal modulado φ(t) passa por uma não linearidade, descrita por y(t) = φ(t) + 0.5φ (t). Esboce o espectro do sinal modulado antes e após a não linearidade Supondo que o sinal é dado por x(t) = A cos(πf 1 t + θ 1 ) + A cos (πf t + θ ) O sinal modulado será φ(t) = A [cos(π(f c f 1 )t θ 1 ) + cos(π(f c f )t θ ) + cos(π(f c + f 1 )t + θ 1 ) + cos(π(f c + f )t + θ ) Considerando θ 1 = θ = 0 para simplificar, temos então φ(t) = A [cos(100πt) + cos(150πt) + cos(50πt) + cos (300πt)] Com espectro de amplitude 50 75 15 150 f (Hz) Ainda considerando θ 1 = θ = 0, e considerando A = 1, para simplificar, pós a não linearidade, teremos y(t) = 1 [cos(100πt) + cos(150πt) + cos(50πt) + cos(300πt)] + 1 [4 + cos(00πt) + cos(300πt) + cos(500πt) + cos(600πt) + cos(50πt) 8 + cos(50πt) + cos(350πt) + cos(150πt) + cos(400πt) + cos(100πt) + cos(450πt) + cos(150πt) + cos(550πt) + cos(50πt)] y(t) = 1 + 1 4 cos(50πt) + 5 8 cos(100πt) + 6 8 cos(150πt) + 1 8 cos(00πt) + 5 8 cos(50πt) + 5 8 cos(300πt) + 1 8 cos(350πt) + 1 8 cos(400πt) + 1 8 cos(450πt) + 1 8 cos(500πt) + 1 8 cos(550πt) + 1 cos (600πt) 8 Esboçando apenas o espectro positivo, temos que
Comunicações Digitais 5 50 75 100 15 150 175 00 5 50 75 300 f (Hz)
Comunicações Digitais Fórmulas Úteis Identidades Trigonométricas: sin(x) = sinx cosx sin x + cos x = 1 cos(x) = cos x sin x cos x = 1 (1 + cosx) sin x = 1 (1 cosx) cos(x ± y) = cosx cosy sinx siny sin(x ± y) = sinx cosy ± cosx siny tan(x ± y) = a cosx + b sinx = a + b cos(x + tan 1 ( b/a)) Integrais: x sin(ax) dx = 1 (sin(ax) ax cos(ax)) a tanx ± tany 1 tanx tany x sin(ax)dx = 1 a 3 (ax sin(ax) + cos(ax) a x cos(ax)) x cos(ax)dx = 1 (cos(ax) + ax sin(ax)) a x cos(ax)dx = 1 a 3 (ax cos(ax) sin(ax) + a x sin(ax)) xe ax dx = eax (ax 1) a x e ax = eax a 3 (a x ax + ) 1 x + a dx = 1 x x a tan 1 a x + a dx = 1 ln(x + a ) x a 4 + x 4 dx = 1 x tan 1 a a Fórmula de Euler: e jθ = cosθ + jsenθ cosθ = ejθ +e jθ senθ = ejθ e jθ j g(t) h(t) = Série de Fourier Generalizada:g(t) = cn x n (t)c n = 1 En n=1 Série de Fourier Trigonométrica: g(t) = a 0 + n=1 + a 0 = 1 T 0 T0 g(t)dt; a n = n=1 T 0 Série de Fourier Exponencial: g(t) = n= Definições b n sin(πnf 0 t) = C 0 + Convolução g(τ)h(t τ)dτ = h(t) g(t) n=1 T 0 g(t) cos(πnf 0 t) ; b n = C 0 = a 0 ; C n = a n + b n T0 g(t)x n * dt C n cos(πnf 0 t + θ n ) T 0 Dn e jπnf0t D n = 1 g(t)e jπnf0t dt = C n T 0 T 0 ejθ n; D n = C n T 0 g(t) sin(πnf 0 t) e jθ n sinc t = sin t t 1 t < 1 rect(t) = { 1/ t = 1 0 caso contrário
Tabela de Transformadas de Fourier: g(t) = Comunicações Digitais G(f)e jπft df F G(f) = δ(t) F 1 g(t)e jπft dt 1 F δ(f) t n e at F n! u(t) (a + jπf) n+1 e a t F a a + 4π f e jπf 0t F δ(f f 0 ) cos(πf 0 t) F 1 [δ(f f 0) + δ(f + f 0 )] sin(πf 0 t) F 1 j [δ(f f 0) δ(f + f 0 )] u(t) F 1 δ(f) + 1 jπf sgn(t) F 1 jπf rect ( t τ ) F τ sinc(πfτ) sinc(πbt) F 1 f rect ( B B ) Δ ( t τ ) F τ sinc ( πfτ ) n= δ(t nt) F 1 T n= δ (f n T ) k 1 g 1 (t) + k g (t) F k 1 G 1 (f) + k G (f) G(t) F g( f) g(at) F 1 a G (f a ) g(t t 0 ) F G(f)e jπft 0 g(t)e jπf 0t F G(f f 0 ) g 1 (t) g (t) F G 1 (f)g (f) g 1 (t)g (t) F G 1 (f) G (f) d n g(t) dt n F (jπf) n G(f) t F G(f) g(x)dx jπf + 1 G(0)δ(f) Transformada de Fourier Discreta (DFT) N 1 G k = gn e jπkn/n g n = T a g(nt a ) = 1 N n=0 N 1 Gk e jπkn/n k=0
Comunicações Digitais Tabela de Transformadas de Hilbert: g(t) H g h (t) = 1 π g(α) t α dα g h(t) H g(t) sint H cost cost H sint 1 t H 1 cost t H + 1 t sinct + 1 t δ(t) H 1 rectt H 1 πt π ln t + 1/ t 1/ Regra de CarsonB (Δf + B) Razão sinal-ruído com quantização RSR uniforme = 3L P m m RSR lei-a = 3L 1 p (ln(a))