Sistemas Dinâmicos Ferramentas e Aplicações
y()= 3
Discreto 4
Discreto 5
Contínuo 6
Contínuo 7
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Campos: modelos espaço-temporais 0
Sistemas Lineares Este sistema é linear? u(t) S y(t)=s(u) 3
4 Sistemas Lineares Definição: um sistema é linear se ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( u S u S u u S t y u S u S t y Principio de superposição S u(t) y(t)=s(u)
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Sistemas Lineares Representação de equações diferenciais ordinárias (EDO) 6
Sistemas Lineares Eemplos de equações diferenciais ordinárias (EDO) Considere o crescimento populacional População no tempo inicial t0 é N0 7
Sistemas Lineares Considere o crescimento populacional a) População no inicial t0 é N0 b) No instante seguinte a população cresce de sorte que cada indivíduo gera r outros indivíduos. Qual foi a variação da população? 8
Sistemas Lineares Qual foi a variação da população? = N N 0 N = N 0 + rn 0 N = N 0 ( + r) = N 0 + r N 0 = rn 0 9
Sistemas Lineares Este processo é dinâmico e continua... Se a população agora é N então = rn Se a população é N = rn De forma geral, para uma população d tamanho N, então = rn 0
Sistemas Lineares Podemos propor a seguinte equações diferenciais ordinárias (EDO) dn dt = rn População no tempo inicial N(t0) é N0
Sistemas Lineares Representação por equações diferenciais ordinárias (EDO) E. equação de da ordem y( t) b y ( t) a y( t) u( t)
3 Representação por Variáveis de estado A 0 ; 0 u b a A onde Sistemas Lineares Representação por Variáveis de estado y y Definindo u b a
Sistemas Lineares Noção de Equilíbrio Derivadas iguais a zero d 0 dt A A 0 Sistemas Lineares único equilíbrio global estável ou instável Não Eiste outro comportamento dinâmico 4
Análise de Sistemas Lineares Conceito de autovalores (a-valores) da matriz A a-valores de A definem a estabilidade do sistema Eemplo: Determinação dos a-valores de A A 0 a b I A 0 b a 0 I A 0 onde a Det.( A) b T r ( A) 5
Análise de Sistemas Lineares a-valores de A b b 4a Tr ( A) ( T r ( A)) 4 Det.( A) I A 0 ( ) 0 e i Sistema estável I A 0 ( ) 0 e i Sistema instável I A 0 ( ) 0 e i Caso especial a ser estudado 6
7 7 Sistemas Lineares 0 ) ( 0 ) ( e e R R 0 0 a-valores compleos conjugados a-valores reais - mesmo sinal 0 ) ( 0 ) ( e e R R 0 0 Nó estável Nó instável Foco estável Foco instável
Sistemas Lineares a-valores reais - sinais opostos a-valores imaginários puros Ponto de sela (instável) Observação: Sistemas lineares não podem apresentar oscilações isoladas, comportamentos periódicos assintoticamente estáveis Centro 8
Sistemas Não-Lineares Sistema não linear Condição inicial ( t 0) 0 d dt f () n,, 3,, n Sistema Autônomo f() não depende de t eplicitamente Eemplo: ( t) 0 0 t t e e Solução: (t) que satisfaz à Equação diferencial e à condição inicial 0 Ideal: obter epressões analíticas da solução - informação quantitativa Realidade: na maioria dos casos não é possível conformarmos com obter uma informação qualitativa 9
. Sistemas Não-Lineares Sistemas Lineares único Equilíbrio (estável ou instável) Sistemas Não Lineares - Múltiplos Equilíbrios - Oscilações periódicas (ciclos limites) - Atratores estranhos ( caóticos ) 30
Sistemas Não-Lineares Pendulo simples b a sen( ) 0 ; a sen( ) b Diagrama de Espaço de Estados θ L b 0 b 0 equilíbrios 3
Sistemas Não-Lineares Oscilador de Van der Pol ; d dt d dt 0 Equilíbrio (foco instável) ( t) ( t) t[seg] Ciclo Estável limite 3
. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos Linearização: se df()/d 0 então as soluções do sistema não linear nas proimidades (LOCALMENTE) do equilíbrio, comportam-se como as do sistema Linear Desenvolvimento serie de Taylor f ( ) f ( ) df ( ) d df ( ) d Aproimação linear Desprezar termos de ordem superior df ( ) d 0 Aproimação linear válida 33
34 Eemplo 3 0 0 3 0,, 0,, 0,0, 3 ), ( Df Matriz da linearização (Jacobiano) Equilíbrios 0 ) (0, 0 0 (0,) 0 0 0 (0,0) Df Df Df Não posso concluir nada Nó assintoticamente estável Ponto de sela (instável) Análise qualitativa de sistemas dinâmicos
35 Caso Geral Jacobiano Df Df f f n ) ( ) ( ) ( ; ) ( n n n n n n f f f f f f f f f Df ) ( Sistema linearizado Análise qualitativa de sistemas dinâmicos
DINÂMICA DE POPULAÇÕES 36
MODELO MALTHUSIANO 37
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MODELO DISCRETO 39
EXEMPLOS The history of human population growth 40
The age structure of a population is the proportion of individuals in different age-groups RAPID GROWTH Kenya SLOW GROWTH United States ZERO GROWTH/DECREASE Italy Male Female Male Female Male Female Ages 45+ Ages 45+ Ages 5 44 Ages 5 44 Under 5 Under 5 Percent of population Percent of population Percent of population Also reveals social conditions, status of women Figure 35.9B 4
MODELO LOGISTICO 4
MODELO LOGISTICO 43
MODELO LOGISTICO 44
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DUAS FACES DO MODELO LOGISTICO 47
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ANALISE QUALITATIVA 58
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MODELO DE COMPETIÇÃO 66
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PRINCIPIO DA EXCLUSAO COMPETITIVA Princípio de Gause ou Princípio da Eclusão Competitiva A competição entre duas espécies que eploram o mesmo nicho ecológico pode levar a três diferentes situações: A) uma das espécies se etinguir; B) uma ou ambas espécies ser epulsa do território; C) uma ou ambas espécies adaptarem seus nichos ecológicos em função da competição 8
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SISTEMAS COMPLEXOS 83