PROBLEMAS DE LÓGICA E MATEMÁTICOS - SOLUÇÃO 1. Use the same 7 letters in the same order to fill the gaps in the sentence below: A NOTABLE surgeon was NOT ABLE to operate because there was NO TABLE. 2. Four people (A, B, C and D) wanted to cross a bridge during the night but they had only one light and it was only possible to cross two people at a time. So, after each crossing one of them had to come back to bring the light to the others. How could they cross the bridge in 17 minutes considering that their individual time of crossing were: A 1 minute, B - 2 minutes, C 5 minutes and D 10 minutes? Uma solução: Lado 1 (após a saída e a volta) Passagem pela ponte Lado 2 (após travessia) Tempo acumulado A, B, C e D - - - C e D ficam A e B atravessam A e B 2 minutos A, C e D A volta B fica 2 + 1 = 3 minutos A fica C e D atravessam * B, C e D 3 + 10 = 13 minutos A e B B volta C e D ficam 13 + 2 = 15 minutos A e B atravessam A, B, C e D 15 + 2 = 17 minutos * Chave da solução: C e D atravessarem juntos em uma das passagens 3. Considere uma situação em que você tem 8 esferas idênticas em aparência, mas uma delas é levemente mais pesada que as demais. Não é possível separar essa esfera mais pesada sem uma balança, e você tem uma balança de pratos para essa tarefa. Pergunta-se: Qual o número mínimo de vezes em que a balança pode ser usada pra separar a esfera mais pesada? Explique o procedimento que deve ser adotado. - Número de mínimo de vezes: 2 (dois) - Procedimento: (a) Separa-se as esferas em dois grupos: 6 esferas e 2 esferas (b) Primeiro uso da balança: coloca-se três esferas em cada prato da balança; (c) Se houver equilíbrio, é porque a esfera mais pesada está no outro grupo, de 2 esferas, e será necessária apenas mais uma pesagem para identificá-la. (d) Caso não haja equilíbrio, pega-se duas das esferas do lado mais pesado e coloca-se na balança. Se não houver equilíbrio, a esfera mais pesada já está identificada; caso contrário, se houver equilíbrio, a esfera que ficou fora é a mais pesada. 4. Considere dois cordões de comprimentos distintos e não homogêneos e com uma propriedade em comum: ambos os cordões levam 1 hora pra queimar de ponta a ponta, independentemente da ponta em que o fogo é colocado. Pergunta-se: Como usar esses dois cordões pra marcar precisamente 45 minutos? (a) Coloca-se fogo nas duas pontas de um dos cordões e, simultaneamente em uma das extremidades do outro cordão;
(b) Quando o primeiro cordão queimar totalmente já terá passado meia hora. Nesse instante colocase fogo na outra extremidade do segundo cordão, o que faz com que o restante do segundo cordão seja queimado em quinze minutos. 5. Considere a seguinte situação: Você está em uma sala totalmente fechada onde há duas portas, sendo que uma delas leva à liberdade e a outra leva à morte. Cada porta é vigiada por um guarda, sendo que um deles sempre mente e o outro sempre diz a verdade. Os guardas se conhecem um ao outro, mas você não tem a mínima idéia de qual é a porta certa e nem qual dos guardas é o mentiroso ou o que diz a verdade. Você tem direito a fazer uma única pergunta a um deles, e obter uma única resposta. Que pergunta você faria pra escolher, sem qualquer sombra de dúvida, a porta da liberdade e como você faz a escolha? Pergunta a um dos guardas: Que porta o outro guarda me indicaria pra liberdade? Análise das respostas: (a) (b) Se você tiver se dirigido ao guarda que fala a verdade ele indicará a porta da morte, porque ele sabe que o outro guarda sempre mente e, portanto, o mentiroso indicaria a porta da morte como se fosse a da liberdade; Se você tiver se dirigido ao guarda que sempre mente ele também indicará a porta da morte, porque ele sabe que o outro guarda sempre fala a verdade e, portanto, o outro guarda indicaria a porta da liberdade e, então, ele mente sobre a resposta do outro guarda. Conclusão: Após a resposta você escolhe a porta contrária à indicada. 6. Suponha que duas mulheres, com venda nos olhos, estejam na sala e que uma delas tem olhos azuis, e sempre mente, e a outra tem olhos pretos e sempre diz a verdade. Você tem direito a fazer uma única pergunta a uma delas e, a partir da resposta única, você tem que identificar quem é quem. Que pergunta você faz e qual o raciocínio seguido para a solução do problema? Pergunta: Se eu perguntar para a tua colega qual a cor dos teus olhos, o que ela me responderá? A de olhos pretos (que sempre diz a verdade) responderia: ela dirá que são AZUIS. A de olhos azuis (que sempre mente) responderia: ela dirá que são PRETOS. Raciocínio: A de olhos pretos sabe que a colega vai mentir e, portanto, vai dizer que ela tem olhos azuis. A de olhos azuis sabe que a colega diria a verdade, ou seja, que ela tem olhos azuis; no entanto, ela mente sobre a resposta da colega, dizendo que a colega diria que os olhos dela são pretos. Ou seja, embora não se sabe a quem a pergunta está sendo dirigida, sabe-se que se a resposta for azuis, a que respondeu tem olhos pretos. Se a resposta for pretos, a que respondeu tem olhos azuis. 7. Considere uma mesa redonda, quadrada ou retangular e suponha que você, juntamente com outra pessoa, deve preencher todos os espaços sobre a mesa com pedrinhas do mesmo tamanho. Vocês dois devem colocar uma pedra por vez, alternadamente e você deve colocar a primeira pedra. Em que lugar da mesa você coloca a primeira pedra e qual o procedimento na colocação das outras pedras de forma a garantir que você seja também o último? A primeira pedra deve ser colocada no centro da mesa. A terceira já deve ser colocada em posição simétrica à segunda (um espelho tendo o centro como referência). E assim devem ser colocadas todas as pedras pares, em posição simétrica à pedra anterior.
8. Suponha que cinco mulheres, com venda nos olhos, estejam na sala e que três delas tem olhos azuis, e sempre mentem, e as outras duas tem olhos pretos e sempre dizem a verdade. Um homem tinha direito a fazer três perguntas e, a partir das respostas, deduzir a cor dos olhos de todas elas. As perguntas que ele fez e as respostas dadas pelas mulheres foram: a) Pergunta à 1ª mulher: Qual a cor dos teus olhos? A resposta da 1a mulher foi num dialeto que ele não conhecia b) Pergunta à 2ª mulher: O que a primeira mulher respondeu? Resposta da 2a mulher: Ela disse: "Os meus olhos são azuis" c) Pergunta à 3ª mulher: Qual a cor dos olhos das duas primeiras mulheres? Resposta da 3a mulher: A 1a tem olhos pretos e a 2a tem olhos azuis. Qual a cor dos olhos das cinco mulheres? A segunda mulher mentiu sobre a resposta da primeira porque a resposta os meus olhos são azuis é impossível neste contexto. Qualquer uma (que mente ou que fala a verdade) responderia os meus olhos são pretos. Portanto, a segunda mulher tem olhos azuis. A terceira mulher tem olhos pretos porque disse a verdade sobre a segunda mulher. E se ela disse a verdade sobre os olhos da segunda mulher, ela também foi verdadeira sobre a primeira. Portanto, a primeira também tem olhos pretos. Se a primeira e a terceira tem olhos pretos, as demais têm olhos azuis. 9. Três canibais e três homens querem atravessar um rio usando um barco onde só cabem duas pessoas. Como eles fazem para atravessar, sabendo que, em nenhuma situação, pode acontecer de ter mais canibais do que homens em qualquer lado do rio? Solução (uma das possíveis soluções): Lado 1 Travessia na Canoa Lado 2 (após saída e após chegada) 3 C + 3 H - - 2 C + 2 H ficam 1 C + 1 H atravessam 1 C + 1 H 2 C + 3 H 1 H volta 1 C fica 3 H ficam 2 C atravessam 3 C 1 C + 3 H 1 C volta 2 C ficam 1 C e 1 H ficam 2 H atravessam 2 C e 2 H 2 C + 2 H 1 C + 1 H voltam 1 C + 1 H ficam 2 C ficam 2 H atravessam 1 C + 3 H 3 C 1 C volta 3 H ficam 1 C fica 2 C atravessam 2 C e 3 H 2 C 1 C volta 1 C e 3 H ficam - 2 C atravessam 3 C e 3 H (após saída e após chegada)
10. Um vendedor de ovos chegou à primeira casa e entregou a metade dos ovos que ele trazia na cesta, mais meio ovo. Na segunda casa ele entregou a metade do que restou, mais meio ovo. Na terceira casa, após ele entregar a metade do que restou, mais meio ovo acabaram-se os ovos. Quantos ovos tinha inicialmente na cesta? 1ª casa: Tinha 7 ovos. Entregou metade (3,5) mais meio ovo = 4 ovos (restaram 3 ovos) 2ª casa: Tinha 3 ovos. Entregou metade (1,5) mais meio ovo = 2 ovos (restou 1 ovo) 3ª casa: Tinha 1 ovo. Entregou metade (0,5) mais meio ovo = 1 ovo (restou zero). 11. Considere que você tenha três vasilhames com capacidades para 8, 5 e 3 litros. Supondo que o vasilhame de 8 litros esteja cheio de leite e que você deseja separar o leite em duas quantidades iguais de 4 litros, como você faz pra executar essa tarefa usando apenas esses três vasilhames? Solução (uma das possíveis soluções): Capacidade Etapas 8 litros 5 litros 3 litros 1 8 0 0 2 3 5 0 3 3 2 3 4 6 2 0 5 6 0 2 6 1 5 2 7 1 4 3 8 4 4 0 12. Considere um conjunto de 3 discos brancos e 2 discos pretos. Três homens com olhos vendados receberam cada um deles um disco, o qual foi pendurado às suas costas. Os outros dois discos restantes foram jogados fora. A tarefa de cada um deles era adivinhar a cor do próprio disco. O primeiro a tentar teve direito a olhar a cor dos discos dos outros dois e, mesmo assim, errou a cor do próprio disco. Ele foi então, retirado da sala, levando com ele o disco. O segundo homem teve direito a olhar a cor do disco do terceiro homem e, mesmo assim, errou a cor do próprio disco. O terceiro homem, sem retirar a venda dos olhos, adivinhou a cor do próprio disco. Qual a cor do disco do terceiro homem e qual o raciocínio seguido por ele para chegar à resposta correta? Considerando que todos eles eram inteligentes, deduz-se que o primeiro homem não acertou porque ficou em dúvida, ou seja, ele não viu dois discos pretos nas costas dos outros dois. Se ele tivesse visto dois discos pretos ele teria certeza absoluta que o disco às suas costas era branco. Ele, portanto viu dois discos brancos ou um branco e um preto. Arriscou um deles e errou. O segundo homem também ficou em dúvida, e errou, mesmo tendo visto o disco nas costas do terceiro homem. Se ele tivesse visto um disco preto nas costas do terceiro homem ele teria certeza absoluta de que o seu disco era branco (ver raciocínio anterior). Como ele ficou em dúvida e errou, ele viu um disco branco nas costas do terceiro homem. Por isso o terceiro homem não teve dúvidas de que seu disco era branco.
13. Um homem foi condenado à morte num certo reinado. O rei explicou a ele que haviam duas formas de execução no reinado, e que o próprio condenado à morte definia a forma de execução que lhe caberia, da seguinte forma: O condenado deveria dizer uma frase. Se a frase fosse verdadeira ele seria enforcado; se fosse falsa ele seria executado na fogueira. Após refletir um pouco o condenado disse uma frase que obrigou o rei a libertá-lo, por absoluta impossibilidade de cumprir o que o rei havia dito. Qual a frase dita pelo condenado? Solução (uma possível solução): O condenado disse: Tenho certeza de vou ser executado na fogueira. Análise: Se ele for executado na fogueira a frase dita por ele torna-se verdadeira, o que vai contra a regra do reino. Se a frase é verdadeira a execução tem que ser na forca. Se ele for enforcado a frase dita por ele torna-se falsa, o que também vai contra a regra do reino, que diz que para frase falsa a execução é na fogueira. Assim, fica impossível executar o condenado seguindo as regras do reino. 14. Use somente os operadores matemáticos que forem necessários, dentre os listados a seguir: +, -,,,!, (, ) e, para tornar verdadeiras as expressões abaixo: (0! + 0! + 0!)! = 6 (1 + 1 + 1)! = 6 2 + 2 + 2 = 6 3 3-3 = 6 4 4 4 6 5 5 + 5 = 6 6 + 6 6 = 6 7 (7 7) = 6 8 8 8 6 9 9 9 6 10 10 10! 6 15. Alice, que era uma garota muito inteligente, passeava pela floresta do esquecimento e esqueceu o dia da semana. Ela então se encontrou com o leão e o unicórnio descansando sob uma árvore. O leão sempre mentia nas segundas, terças e quartas e dizia a verdade nos outros dias da semana. O unicórnio sempre mentia nas quintas, sextas e sábados e dizia a verdade nos outros dias da semana. O leão disse a Alice: "Ontem foi um de meus dias de mentir." O unicórnio então disse: "Ontem também foi um de meus dias de mentir." Alice pode, a partir dessas duas afirmações, deduzir o dia da semana. Que dia era esse?
Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sab Leão Mente Mente Mente Unicórnio Mente Mente Mente Os dias possíveis são: Supondo que o leão tenha dito a verdade, o dia é quinta-feira. Se ele mentiu, o dia é segunda. Supondo que o unicórnio tenha dito a verdade, o dia é domingo. Se ele mentiu, o dia é quinta-feira. O dia da semana é quinta-feira: o leão disse a verdade e o unicórnio mentiu. 16. Maga e sua filha moram à beira do Rio Tejo e faz parte de suas malévolas bruxarias domésticas o fato de mentirem de maneira programada. Maga sempre mente às sextas, aos sábados e domingos, dizendo a verdade nos outros dias da semana. A filha mente sempre às segundas, terças e quartas, fazendo questão de falar a verdade nos outros dias da semana. Num certo dia houve um diálogo entre as duas: Maga: - Eu menti ontem, mas amanhã falarei a verdade Filha: - Hoje não é domingo! Com base nas afirmações das duas, determine em que dia da semana essa conversa ocorreu. Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sab Maga Mente Mente Mente Filha Mente Mente Mente Os dias possíveis são: Supondo que Maga tenha dito a verdade, o dia é Segunda-feira. Se ela mentiu, sexta. A frase da Filha só pode ter sido dita na Quinta, Sexta ou no Sábado. Se essa frase fosse dita no domingo, seria uma mentira, mas no domingo ela sempre fala a verdade. Se fosse dita de segunda a quarta, seria uma verdade, mas nesses dias ela sempre mente. Conclusão: O dia comum, que torna possível as duas frases, é SEXTA-FEIRA. 17. Uma mulher chamada Portia (personagem de Shakespeare), resolveu que se casaria com o primeiro homem que passasse por dois testes. O primeiro teste é dado a seguir: Havia três caixas em uma sala e em uma delas estava o retrato de Portia. O candidato a esposo deveria acertar em qual das caixas estava o retrato, seguindo as frases que estavam escritas em cada uma das caixas. Caixa 1: 1. O retrato não está aqui 2. O artista que pintou o retrato é de Veneza. Caixa 2: 1. O retrato não está na caixa 1. 2. O artista que pintou o retrato é na verdade de Florença
Caixa 3: 1. O retrato não está aqui 2. O retrato com certeza está na caixa 2. Ela deixou claro que nenhuma caixa continha mais de uma frase falsa. Em qual das caixas estava o retrato? Primeira suposição: Se o retrato estiver na caixa 1 as afirmações tornam-se Se a segunda frase da caixa 1 for verdadeira, a segunda da caixa 2 é falsa, e vice-versa. Assim, uma das caixas contém duas afirmações falsas, o que contraria a regra estabelecida. Portanto, o retrato não pode estar na caixa 1. Segunda suposição: Se o retrato estiver na caixa 2 as afirmações tornam-se É irrelevante de onde o artista é, no caso do retrato estar na caixa 2, porque não teremos nenhuma situação com duas afirmações falsas, o que leva à conclusão de que o retrato está realmente na caixa 2. Pra tirar todas as dúvidas convém verificar a possibilidade de estar na caixa 3. Terceira suposição: Se o retrato estiver na caixa 3 as afirmações tornam-se
Essa suposição leva a duas frases falsas na caixa 3, o que vai contra a regra estabelecida. Portanto, o retrato também não está na caixa 3 e, consequentemente, está na caixa 2. 18. Dois fazendeiros conversavam, quando surgiu o seguinte diálogo: 1o fazendeiro: Se você me vender uma de tuas reses nós ficaremos com a mesma quantidade de reses. 2o fazendeiro: E se você me vender uma das tuas eu ficarei com o dobro. Quantas reses tinha cada um deles? Supondo que o 1º fazendeiro é e o 2º é y, obtém-se as seguintes equações, a partir das frases: Da 1ª frase: + 1 = y 1 y = + 2 Da 2ª frase: y + 1 = 2( 1) y = 2 3 Por comparação, tem-se: 2 3 = + 2 = 5 e y = 7 19. Uma senhora pergunta a uma jovem: "Qual a idade de sua amiga Marina?" Ela responde: "Ela tem o dobro da idade que seu irmão Pedro tinha, quando ela tinha a idade que Pedro tem agora. Pedro tem 18 anos. Qual a idade de Marina? Marina hoje Pedro hoje Marina antes Pedro antes 2 y = 18 anos y = 18 anos Como a diferença de idade deve permanecer constante, tem-se: 2 18 = 18 3 = 36 = 12 Marina tem 24 anos 20. Bia disse a Bruna: Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens; quando tiveres a idade que eu tenho, a soma das nossas idades será 54 anos. Quantos anos têm cada uma? Bia no futuro Bruna futuro Bia hoje Bruna hoje Bia passado Bruna passado 54-2 2 2 y y Como a diferença de idade deve permanecer constante, pode-se obter duas equações, para determinar as duas incógnitas ( e y): 1ª equação: 54-2 - 2 = y y = 54-3 2ª equação: 2 - y = y - 3 = 2y Daí: 3 = 2(54-3 ) 3 = 108-6 9 = 108 = 12 y = 18 Bia tem 24 anos e Bruna tem 18 anos