UM MODELO DE MINIMIZAÇÃO DE CUSTOS EM DIAGNÓSTICOS COM UM CASO DE APLICAÇÃO EM UM BANCO DE SANGUE

Vol. 20, No. 2, p. 8-95, dezembro de 2000 Pesquisa Operaional 8 UM MODELO DE MINIMIZAÇÃO DE CUSTOS EM DIAGNÓSTICOS COM UM CASO DE APLICAÇÃO EM UM BANCO DE SANGUE Eugenio K. Eppreht PUC-Rio / Departamento de Engenharia Industrial R. Marquês de São Viente, 225 Rio de Janeiro RJ 22453-900 e-mail: eke@rd.pu-rio.br Gutemberg Hespanha Brasil UFES / Departamento de Estatístia Av. Fernando Ferrari s/ nº Vitória ES 29060-900 e-mail: ghbrasil@zaz.om.br Mário Cezar dos Santos Jr. PUC-Rio / Departamento de Engenharia Industrial R. Marquês de São Viente, 225 Rio de Janeiro RJ 22453-900 Resumo O problema aqui tratado é, dado um onjunto de testes para determinação de um diagnóstio, determinar a seqüênia de exeução destes testes om usto esperado mínimo. Assumindo algumas hipóteses simplifiadoras, apresenta-se uma solução que fornee diretamente a seqüênia ótima, eliminando a neessidade de busa. A solução se estende também a uma versão do problema om uma estrutura hierárquia de testes. O modelo é genério, podendo apliar-se a diagnóstios nos mais diversos ontextos: de problemas de proessos em ontrole de qualidade, de falhas de equipamentos, ou no ontexto médio. É apresentada uma extensão do modelo, para situações em que algumas das hipóteses básias do modelo original não se apliam. Esta extensão foi motivada por um problema real, de minimização de gastos om exames sorológios em um bano de sangue. A solução obtida para esse problema resultou em eonomia substanial. Palavras-have: diagnóstio, usto mínimo, apliações à saúde. Abstrat This work deals with the following problem: given a set of tests for a diagnosis problem, find the minimum-ost order of exeution of the tests. It is shown that under some simplifying assumptions, graph searh is obviated by a very straightforward solution. This solution is also appliable to situations in whih the tests follow a hierarhial organization. The model is generi, with no restrition of ontext: it is appliable to the diagnosis of equipment failures, of problems with proesses in the ontext of quality ontrol, or to medial diagnosis. An extension of the basi model for the situation in whih some of the simplifying assumptions are not appliable is presented. This extension was motivated by a real problem, and the solution obtained led to signifiant ost redution. Keywords: diagnosis, minimal ost, health appliations. ISSN 00-7438

82 Eppreht, Brasil & Santos Jr. Um modelo de minimização de ustos em diagnóstios. Introdução A motivação iniial para a análise do problema entral aqui tratado surgiu da onstatação de que a literatura tradiional em Controle de Qualidade, que india o brainstorming e o diagrama espinha-de-peixe omo ferramentas para auxiliar no levantamento e enumeração do onjunto de ausas possíveis para um problema observado, não india nenhum proedimento para a identifiação da ausa responsável dentro deste onjunto (ver por exemplo Banks, 989, e Montgomery, 997). Evidentemente, os proedimentos espeífios para identifiação da(s) ausa(s) em uma palavra, para o diagnóstio dependem da natureza e araterístias partiulares de ada proesso ou equipamento, e ainda do ambiente em que ele se insere, o que explia failmente a omissão. Há, ontudo, um problema ligado ao diagnóstio, que independe do ontexto partiular do proesso ou equipamento em questão, e que pode surgir em muitas situações: dado um onjunto de testes possíveis para determinação da ausa, ada um om um usto assoiado, em que ordem exeutar os testes de maneira a minimizar o usto total esperado do diagnóstio? Este é o problema que aqui será abordado. Este problema não se restringe ao ontexto de diagnóstio de falhas em equipamentos, ou de ausas de problemas em proessos. Por exemplo, o modelo e método de solução desenvolvidos foram apliados a um problema onreto de diagnóstio em um bano de sangue, resultando em eonomia substanial. Há trabalhos relaionados. Sem pretendermos ser exaustivos, no Brasil podem-se itar Goulart et al. (994) e Pereira (994). Os primeiros, porém, não onsideram o fator usto que, no ontexto industrial, bem omo no ontexto do aso analisado, do bano de sangue, é de importânia fundamental. (No ontexto de seu trabalho de que são possíveis exemplos de apliação: questionários, onde se quer minimizar o número de perguntas, e sistemas espeialistas, onde se quer minimizar o tempo de proessamento o ritério relevante é a minimização do número de testes o que, em termos de modelo matemátio, equivale a não onsiderar os ustos dos testes, ou a onsiderar impliitamente que todos os testes possuem usto igual). Pereira (994) onsidera o usto expliitamente, mas trata o problema no ontexto bem mais espeífio de uma lasse de problemas de diagnóstio de falhas de equipamento, e no nível de modelagem das relações partiulares de ausa e efeito para o diagnóstio do tipo de equipamento em questão. Neste nível mais espeífio, desenvolve um modelo baseado em heurístias para solução por sistemas a base de onheimentos. No ontexto do presente trabalho, o interesse é por um modelo genério e que onsidere os ustos dos testes; nisto ele se distingue dos trabalhos itados. As próximas seções apresentam: iniialmente (Seção 2.) a formulação matemátia para o problema, inluindo algumas hipóteses simplifiadoras; estas, embora demasiado restritivas em relação à maioria das situações reais típias, permitem uma solução elegante para o modelo (Seção 2.2), que serve de base para a análise de situações mais omplexas (uma dessas situações é menionada brevemente na Seção 2.3). O modelo básio é então estendido (3.), para o aso em que uma das hipóteses simplifiadoras é violada, sendo desenvolvido um algoritmo para solução (3.2). É desrito, em seguida, o problema onreto do bano de sangue (4.), e disutidos os resultados de sua solução pelo algoritmo: eonomia proporionada, questões de implementação da solução na prátia, e análise de sensibilidade (seções 4.2 a 4.4). Nas onlusões e omentários finais (Seção 5) disutem-se o ganho proporionado pelo algoritmo em termos de redução do espaço de busa, o leque de apliações poteniais do modelo, e direções para pesquisa futura.

Vol. 20, No. 2, p. 8-95, dezembro de 2000 Pesquisa Operaional 83 2. Modelo para o Caso de Diagnóstios Mutuamente Exlusivos 2. Formulação do problema Dado o onjunto D = {d, d 2,... d n } das n ausas possíveis de uma falha ou problema ou, mais generiamente, um onjunto de diagnóstios possíveis deseja-se determinar a ausa responsável ou o diagnóstio orreto. (Daqui por diante, referir-se-á sempre a diagnóstios ). São feitas as seguintes hipóteses simplifiadoras: (a) os diagnóstios em D são mutuamente exlusivos e exaustivos: um e somente um é o orreto; (b) para ada diagnóstio d i D, existe um e apenas um teste t i que permite determiná-lo; () o resultado do teste india om 00% de erteza um dos dois eventos seguintes: o diagnóstio orreto é d i ; ou o diagnóstio orreto não é d i. Cada diagnóstio d i possui uma probabilidade a priori p i de ser o orreto (estimada a partir de estatístias passadas, ou de onheimento do proesso, ou ainda subjetivamente). Na exeução de ada teste t i inorre-se em um usto i (este usto engloba tanto os ustos diretos de exeução do teste, omo quaisquer ustos indiretos em que a exeução do teste implique, tais omo ustos de interrupção da produção ou de demora na orreção do problema). Assim, há um onjunto de n testes, T, um onjunto de n probabilidades, P, e um onjunto de n ustos, C, de tal forma que há uma assoiação entre os elementos de mesmo índie nos onjuntos D, T, P e C. Além disso, Σp i =. O proedimento de investigação da ausa responsável (determinação do diagnóstio) omeça pela esolha de um primeiro teste t i a ser exeutado. Se o resultado for positivo, a ausa foi identifiada (o diagnóstio determinado) e o proesso termina; se negativo, um segundo teste t i2 deve ser esolhido e realizado, e assim por diante. (O duplo índie é usado para distinguir entre os índies de posição dos testes na seqüênia de exeução e os seus índies-nome dentro do onjunto T; desta forma ij representa o índie-nome do teste que oupa a j-ésima posição na seqüênia de exeução. Por exemplo, na seqüênia (t 3, t 5, t, t 2, t 4 ), tem-se i =3, i 2 =5, i 3 =, i 4 =2 e i 5 =4). Como a seqüênia é interrompida assim que a ausa for identifiada (assim que se hegar a um diagnóstio) não se sabendo a priori quando isto oorrerá o usto da seqüênia de testes efetivamente realizados é uma variável aleatória. A função-objetivo a minimizar é o valor esperado deste usto. Este valor esperado é função, obviamente, dos valores das probabilidades em P e dos ustos em C (que onstituem os dados do problema), bem omo da ordem de exeução dos testes. A deisão é em relação à ordem de exeução dos testes: a variável de deisão é o vetor, ou seqüênia, de índies (i, i 2,..., i n ), que india esta ordem de exeução. Daqui em diante, utilizar-se-á o termo seqüênia para designar o onjunto dos testes exeutados segundo uma erta ordem. É fáil verifiar que, para uma dada ordem de exeução dos testes, o valor esperado do usto total C T é dado pela seguinte expressão: ou pela expressão equivalente E(C T ) = p i i + p i2 ( i + i2 ) +... + p in ( i + i2 +... + in ) () E(C T ) = i + i2 ( p i ) + i3 ( p i p i2 ) +... + in ( p i p i2... p i(n ) ) (2) A fórmula () pode ser failmente entendida reonheendo que o omprimento da seqüênia ou o número k de testes realizados é um evento aleatório, uja probabilidade é a probabilidade do i k -ésimo teste ter resultado positivo; o usto orrespondente a este

84 Eppreht, Brasil & Santos Jr. Um modelo de minimização de ustos em diagnóstios omprimento é dado pela soma do ustos dos k testes realizados. A fórmula (2) alula o usto em etapas: a ada etapa (final de um teste), dois eventos são possíveis: interrupção do proesso, ou realização do próximo teste (e orrespondente inremento no usto total). Estas expressões forneem o usto esperado antes de iniiar os testes. Ao longo do tempo, o valor esperado do usto se altera ada vez que um teste é realizado, mas é fáil mostrar que, se o teste tem resultado negativo, a ordem de exeução dos testes restantes que minimiza o usto total permanee invariável. Assim, embora o ponto de interrupção da seqüênia permaneça aleatório, a seqüênia ótima pode ser ompletamente determinada a priori. 2.2 Solução Demonstra-se que a seqüênia de exeução dos testes que minimiza o usto esperado E(C T ) é aquela em que os testes estão ordenados por ordem resente das razões entre seus ustos e as probabilidades de terem resultado positivo; em outras palavras, é a seqüênia (t i, t i2,... t in ) tal que, para todo k {, 2,..., n-}: ik /p ik i(k+) /p i(k+) (3) Para não sobrearregar a exposição, a demonstração enontra-se no Apêndie. Dada a extrema simpliidade desta solução, os autores pesquisaram a literatura, em busa de referênia prévia ao problema e à própria solução; não se pretende afirmar que esta não exista, mas nada se onseguiu loalizar. O Quadro sintetiza a definição formal do problema e a solução. É interessante observar que, se os ustos dos testes forem iguais, esta solução se reduz a uma das heurístias (entre aspas, pois no aso, não é uma heurístia, mas sim a definição da solução ótima) adotadas por Goulart et al. (994). Quadro Seqüênia de usto esperado mínimo onjunto de diagnóstios possíveis {d, d 2,... d n } (mutuamente exlusivos e exaustivos) ada diagnóstio om probabilidade a priori p i para ada diagnóstio d i existe apenas um teste t i, om usto i (teste positivo: diagnóstio = d i om 00% de erteza; (teste negativo: om 00% de erteza o diagnóstio não é d i ) testes interrompidos ao primeiro resultado positivo => seqüênia de usto esperado mínimo: (t i, t i2,... t in ) tal que: para todo k {, 2,..., n-}: ik /p ik i(k+) /p i(k+)

Vol. 20, No. 2, p. 8-95, dezembro de 2000 Pesquisa Operaional 85 2.3 Extensão para um problema om testes em diversos níveis O modelo e solução aima podem failmente ser estendidos ao aso em que as ausas ou sintomas se agrupam por grandes ategorias, por estágio do proesso, ou segundo algum outro ritério, levando a uma lassifiação hierárquia em dois ou mais níveis. (Para exemplos de problemas deste tipo, ver Banks (989), seção 4.5). Suponha então que, além dos testes que determinam diagnóstios individuais, há testes que reduzem os diagnóstios a um subonjunto (ou identifiam um grupo de ausas que ontém a ausa responsável pela falha ou problema). Suponha ainda que os subonjuntos, ou grupos, são mutuamente exlusivos (disjuntos). No aso de dois níveis, a diagnose oorre em duas etapas: primeiro, realizam-se os testes do nível mais alto, para identifiar o grupo de diagnóstios que ontém o diagnóstio verdadeiro; em seguida, realizam-se os testes que irão determinar o diagnóstio final dentro do grupo identifiado. A seqüênia ótima dos testes em ada etapa pode ser determinada pelo proedimento aima proposto. Analogamente, se a hierarquia de ausas (diagnóstios) tiver mais de dois níveis, o problema pode ser deomposto e soluionado na forma proposta, para um nível de ada vez, indo do mais alto para o mais baixo. Pode-se demonstrar formalmente que este método leva à solução de usto mínimo para o problema global; por onsiderarmos este resultado intuitivo, sua demonstração é aqui omitida, mas ela pode ser enontrada em Pires (995). 3. Caso em que os Diagnóstios Não São Mutuamente Exlusivos Foi visto que uma das hipóteses básias do modelo desenvolvido é que os diagnóstios sejam mutuamente exlusivos. Será apresentada agora uma extensão do modelo para o aso em que essa ondição não se verifia. As demais hipóteses, porém, ontinuam sendo mantidas. Espeifiamente, ontinua-se exigindo que: a união dos diagnóstios orresponda ao espaço amostral; os testes não possuam probabilidade de erro; o resultado positivo de qualquer teste, isoladamente, seja sufiiente para identifiar um diagnóstio; e a seqüênia de testes seja interrompida ao primeiro resultado positivo. Um exemplo de problema real apresentando essas ondições será desrito mais adiante, na Seção 4. Foi preisamente tal problema a motivação para o desenvolvimento dessa extensão. 3. Extensão do modelo matemátio O fato de os diagnóstios não serem mutuamente exlusivos pode ser representado por uma mudança na definição de p j na fórmula do usto esperado. A nova definição passa a ser: p j : probabilidade do teste t j ser positivo ondiionada a os testes anteriores terem sido negativos, multipliada pela probabilidade de os testes anteriores serem negativos. Em outras palavras, p j é a probabilidade da diferença de eventos A-B, onde A=d j e B = união dos diagnóstios assoiados aos testes que preedem t j na seqüênia (i.e., união de todos os d i tais que t i preede t j ). Note que esta é a definição genéria para p j, que, no aso partiular em que os diagnóstios são mutuamente exlusivos, se reduz à probabilidade absoluta do diagnóstio (definição anterior para p j ). O impato desta nova definição de p j no método de solução é que as probabilidades {p ik } nas fórmulas () e (2) não orrespondem mais apenas a permutações de um onjunto fixo de

86 Eppreht, Brasil & Santos Jr. Um modelo de minimização de ustos em diagnóstios valores {p j }, mas os próprios valores dos elementos deste onjunto {p j } variam agora de seqüênia para seqüênia. Isto difiulta a determinação da seqüênia ótima, pois as razões j /p j passam também a não mais possuir um valor onstante para ada teste t j, mas a depender da seqüênia. Contudo, para qualquer teste t j é verdade que, em qualquer seqüênia, onde p jmin p j p jmax (4) p jmin é a probabilidade de t j ter resultado positivo isoladamente (i.e., probabilidade de o diagnóstio ser d j e apenas d j ); p jmax é a probabilidade total de t j ter resultado positivo (independentemente do resultado dos demais testes; i.e., probabilidade total do diagnóstio d j ). Então, por exemplo, em uma seqüênia em que t j seja o último teste (i n = j), p j = p jmin ; e numa seqüênia em que t j seja o primeiro teste (i = j), p j = p jmax. Estas ondições são sufiientes, mas não neessárias. I.e., i n = j => p j = p jmin i = j => p j = p jmax Em outras situações (i k =j, <k<n), vale a ondição em (4). De (4), tira-se que, em qualquer seqüênia, para ada ik /p ik, i k {, 2,..., n}: ik /p ikmax ik /p ik ik /p ikmin Se a ordenação dos ik /p ik pelo ritério ik /p ik < i(k+) /p i(k+) para todo i k for insensível à variação de ada j /p j entre os seus limites (i.e., se houver uma únia seqüênia em que ik /p ikmin < i(k+) /p i(k+)max para todo k), então esta é a seqüênia ótima. Se um subonjunto S de testes tiver todos j /p jmin inferiores a todos j /p jmax dos testes de um outro subonjunto S 2, então sabe-se que todos os testes de S preedem todos os testes de S 2 ; e assim tem-se a priori uma ordem parial dos testes na seqüênia ótima. Desta forma, o exame dos limitantes superior e inferior para as razões j /p j (iguais, respetivamente, a j /p jmin e j /p jmax ) pode vir a reduzir o espaço de busa da seqüênia ótima, determinando grupos de testes que preedem outros grupos. Uma vez assim definida uma ordem parial dos testes, para determinar a seqüênia ótima resta apenas determinar a ordem ótima dos testes internos a ada grupo. Para isso, em prinípio, o únio proedimento geral é alular e omparar os ustos esperados das seqüênias produzidas por todas as permutações possíveis destes testes. De qualquer forma, a subdivisão prévia do onjunto {t j } em grupos já proporiona uma redução evidente do número de seqüênias alternativas em relação ao onjunto formado por todas as permutações de todos os testes do onjunto. Há, porém, um reurso adiional que pode reduzir ainda mais o número de alternativas a onsiderar dentro de um grupo de testes: os limitantes superior e inferior para as razões j /p j orrespondentes aos testes do grupo podem ser realulados, pois já se sabe que, qualquer que seja a seqüênia, o onjunto dos testes que preederão ada teste do grupo será formado por: no mínimo (aso o teste seja o primeiro do grupo), todos os testes dos demais grupos preedentes; no máximo (aso o teste seja o último do grupo), todos

Vol. 20, No. 2, p. 8-95, dezembro de 2000 Pesquisa Operaional 87 estes, e mais todos os demais testes do próprio grupo. Assim, o exame destes novos valores para os limitantes das razões j /p j dentro do grupo pode definir uma ordem parial dentro do grupo, partiionando-o por sua vez em subgrupos, ou mesmo, por vezes, pode definir uma ordem total, determinando ompletamente a seqüênia ótima dentro do grupo. 3.2 Algoritmo Estas observações já são sufiientes para definir um algoritmo geral para solução do problema. Este é apresentado no Quadro 2, abaixo. Quadro 2 Algoritmo para o aso de testes não mutuamente exlusivos Dados: onjunto de diagnóstios possíveis {d, d 2,... d n } probabilidade de ada diagnóstio e de ada interseção de diagnóstios (que podem ser estimadas pelas freqüênias relativas dos eventos respetivos) usto de ada teste t j : formando o onjunto {, 2,... n } Passo : Para todo j, determinar p jmin e p jmax : p jmin = probabilidade (ou freqüênia relativa) de oorrênia do resultado positivo do teste orrespondente onjuntamente om (interseção) resultado negativo de todos os demais; p jmax = probabilidade absoluta (ou freqüênia relativa total) de oorrênia do resultado positivo do teste orrespondente (sem onsiderar quais sejam os resultados dos demais testes); Passo 2: Para todo j, alular as razões j /p jmin e j /p jmax ; Passo 3: Ordenar as razões j /p jmin ; ordenar as razões j /p jmax ; formam-se assim 2 seqüênias; Passo 4: Inspeionar a seqüênia dos j /p jmin e a seqüênia dos j /p jmax ; determinar o segmento iniial de menor omprimento possível de ada uma das duas seqüênias, que satisfaça as seguintes ondições: o segmento de uma e de outra seqüênia devem ter igual omprimento, e devem onter exatamente o mesmo onjunto de índies j (embora não na mesma ordem); este onjunto de índies (que pode ser unitário) define o primeiro onjunto de testes na ordem parial dos testes; Passo 5: Repetir o Passo 4 para os testes restantes, definindo o segundo onjunto de testes na ordem parial dos testes; e assim suessivamente, até não restarem mais testes; está determinada a ordem parial dos testes; Passo 6: Caso todos os onjuntos sejam unitários, está determinada a seqüênia ótima, e o algoritmo termina; aso ontrário, ir para o Passo 7; Passo 7: Para ada onjunto não unitário, determinar a seqüênia dos testes internos ao onjunto. Isso pode ser feito segundo 2 proedimentos:

88 Eppreht, Brasil & Santos Jr. Um modelo de minimização de ustos em diagnóstios Proedimento A: enumerar todas as seqüênias possíveis de testes internos ao onjunto (permutações dos índies do onjunto); para ada seqüênia assim definida (de testes do onjunto), onatená-la à seqüênia já determinada dos testes que preedem o onjunto, e alular a ontribuição para E(C T ) devida à seqüênia assim formada; (pode-se alular apenas a ontribuição dos testes do onjunto em análise para o usto esperado: sendo r o número de testes do onjunto, e m, o número de testes que preedem o onjunto, trata-se da (m+)-ésima até a (m+r)-ésima parelas da fórmula () ou (2)); omparar as ontribuições para o usto esperado de ada seqüênia assim definida (de testes do onjunto), e seleionar a seqüênia de menor ontribuição; om isto o onjunto está totalmente ordenado; Proedimento B: para ada teste do onjunto, realular os limitantes p jmin e p jmax, da seguinte forma: p jmax = P(d j {todos os d j que preedem o onjunto}); p jmin = P(d j {todos os d j que preedem o onjunto} {todos os demais d j do próprio onjunto}); para ada teste do onjunto, realular as razões j /p jmin e j /p jmax ; proeder, dentro do onjunto, omo nos passos 3, 4, e 5. Três situações são possíveis: hegou-se a uma seqüênia únia: neste aso, o onjunto está ordenado; não se onseguiu subdividir o onjunto: neste aso, é preiso apliar o proedimento A; após o qual, o onjunto estará ordenado; o onjunto foi dividido em subonjuntos menores: para o º subonjunto, utilizar o proedimento A; para os demais, pode-se: ou utilizar o proedimento A diretamente, ou reapliar o proedimento B para subdividir o subonjunto, o que equivale a reapliar o Passo 7 reursivamente; observe-se, porém, que a efiiênia do proedimento B deve omeçar a diminuir: são ada vez menores as hanes de onseguir subdividir o subonjunto, e, mesmo quando o subonjunto for subdividido, será ada vez menor o ganho em termos de redução do número de alternativas. Para ada subonjunto que não se onseguir subdividir, apliar o proedimento A, que ordena totalmente o subonjunto; quando o onjunto estiver totalmente ordenado, passar para o onjunto seguinte e voltar ao Passo 7; Passo 8 (ritério de parada): Quando todos os onjuntos estiverem, internamente, totalmente ordenados, a sua onatenação define a seqüênia ótima.

Vol. 20, No. 2, p. 8-95, dezembro de 2000 Pesquisa Operaional 89 4. Uma Apliação a um Caso Real 4. Desrição do aso Passemos agora a uma breve desrição do aso que motivou extensão do método. Tratou-se da determinação da seqüênia ótima de testes sorológios no bano de sangue (BS) de um hospital universitário. (Para uma desrição mais detalhada, ver Santos Jr., 997). O sangue de ada doador só pode ser utilizado após passar pela triagem sorológia, omposta de 8 diferentes testes laboratoriais para identifiar a presença de doenças infeto-ontagiosas. Os resultados destes testes são onsiderados 00% onfiáveis. Os ustos om estes testes representam 7,22% dos ustos inorridos pelo BS. Ao terem os autores ontato om o BS, o proedimento adotado era realizar todos os 8 testes, em paralelo. Contudo, lembrando que basta que um dos exames tenha resultado positivo para rejeitar o sangue do doador, surgiu a idéia, para tentar reduzir os ustos, de apliar os testes em seqüênia, interrompendo-os após o primeiro diagnóstio positivo. O problema do BS, portanto, pareia ser bem desrito pelo modelo matemátio da Seção 2., representado no Quadro ; a proposta de solução, então, foi determinar a seqüênia de usto esperado mínimo, e passar a realizar os testes nessa seqüênia. Apenas, note-se que, no aso do BS, a união dos 8 diagnóstios não exaure o espaço amostral: há o evento apto (sangue em ondições de ser utilizado), que onstitui o omplemento desta união. Como para os aptos são feitos todos os testes (não se pode utilizar sangue que não tenha passado em todos os testes), o seqüeniamento só terá efeito de reduzir os ustos dos exames dos andidatos não aptos; para os aptos, o usto é fixo e máximo. (Para os aptos, a fórmula () não vale, e a fórmula (2) vale, om p i = 0 para todo i, o que reduz (2) trivialmente a E(C T )=Σ i ). Trabalhou-se, assim, om as probabilidades de oorrênia das doenças onsideradas ondiionadas à presença de pelo menos uma das delas. Como as despesas om o pessoal do laboratório são fixas, independentemente do seu grau de utilização ou tempo oioso, para efeitos da determinação da seqüênia de usto esperado mínimo, onsiderou-se omo usto de ada exame apenas o usto do material ( kit para o teste). Para estimar as probabilidades p j, levantaram-se e (a partir dos dados histórios disponíveis) as freqüênias absolutas de oorrênia dos diversos diagnóstios. Estes ustos e freqüênias absolutas onstam, respetivamente, das Tabelas e 2. Tabela Custos dos testes (R$) teste 3 5 2 4 6 8 7 usto (R$) 3,33 0,4,44 2,9 0,07 5,83 4,67 3,25 Legenda: -sífilis 2-hepatite B 3-HBC 4-TGP 5-hepatite C 6-HIV 7-hagas 8-HTLV Tabela 2 Freqüênias de oorrênia dos diagnóstios diagnóstio 3 5 +3 2+3 7 8 3+4 3+5 4 6 2 3+6 freq. absoluta 276 24 2 08 04 04 04 03 03 02 02 02 (Número total de andidatos examinados: 355)

90 Eppreht, Brasil & Santos Jr. Um modelo de minimização de ustos em diagnóstios Observando a Tabela 2, nota-se que uma das hipóteses básias do modelo não se verifia: os diagnóstios, no aso, não são mutuamente exlusivos. A Figura apresenta um diagrama de Venn dos resultados positivos para os testes. O fundo da figura orresponde ao evento apto. Ω 7 2 3 4 8 6 5 Figura Diagrama de Venn dos eventos resultado positivo nos diversos exames Dada a violação desta hipótese básia, para poder soluionar o problema, foi neessária a extensão do modelo e do método de solução desrita na Seção 3. 4.2 Solução O algoritmo no Quadro 2 foi apliado ao aso do BS, determinando a seguinte seqüênia ótima de realização dos testes laboratoriais: S ótima = (t, t 4, t 3, t 7, t 5, t 2, t 8, t 6 ) A apliação detalhada, passo a passo, do algoritmo, pode ser enontrada em Eppreht et al. (999). O usto esperado desta seqüênia (que é o usto esperado ótimo) é igual a 4,645 (R$), o que representa apenas 3,47% do usto do onjunto ompleto de testes (que é de R$30,92). Assim, a utilização dos testes em seqüênia, aguardando o resultado de um teste antes de deidir realizar o seguinte, proporiona uma eonomia esperada de 86,53% no usto dos exames dos andidatos sem ondições de doar. Como a proporção de andidatos sem ondições de doar é de 7,53%, e lembrando que 7,22% dos ustos inorridos pelo BS são om os exames, esta eonomia orresponde a 0,8653 x 0,753 x 7,22 % = 0,8 % de todos os ustos do BS.

Vol. 20, No. 2, p. 8-95, dezembro de 2000 Pesquisa Operaional 9 4.3 Questões de ordem prátia para implementação dos resultados O seqüeniamento dos testes tem um impato sobre os proedimentos, inlusive provoando um aumento da duração da triagem sorológia (o tempo total dos testes, que, om os testes em paralelo, é inferior a 4 horas, aumentará, om os testes em seqüênia, para era de 3 horas). Isto não neessariamente levará a atrasos signifiativos na produção, pois o proesso de oleta e exames só é realizado uma vez por dia, mas pode impatar nos turnos de trabalho; impliar, por exemplo, em que os testes sejam iniiados por uma equipe e terminados por outra. Estas questões devem ser analisadas pelo BS, em termos de usto e benefíio. Mas algumas alternativas, que podem representar um bom ompromisso entre o ganho teório e a viabilidade prátia, são forneidas om a análise de sensibilidade a seguir. 4.4 Análise de sensibilidade Devido aos possíveis problemas de implementação da solução ótima, é interessante realizar uma análise de sensibilidade dos resultados, para alular a redução de ustos que se obteria om um proedimento alternativo, sub-ótimo em termos de usto esperado, mas que requereria um tempo total para a exeução dos testes bem inferior a 3 horas; a saber: realizar os primeiros testes da seqüênia ótima efetivamente em seqüênia, e em seguida realizar os demais (que raramente terão resultado positivo) em paralelo. Para esta análise basta alular o usto esperado das seqüênias assim determinadas, de maneira análoga ao que foi feito para a seqüênia ótima. Os resultados são: Testes, 4 e 3 nesta ordem, seguidos dos demais em paralelo: E(C T ) = R$ 4,985 (20% mais ara que a seqüênia ótima; 84% de eonomia em relação ao proedimento vigente de efetuar todos os testes em paralelo) Teste, depois teste 3, seguidos dos demais em paralelo: E(C T ) = R$ 5,229 (25% mais ara que a seqüênia ótima; 83% de eonomia em relação ao proedimento vigente de efetuar todos os testes em paralelo) Portanto, um proedimento sub-ótimo destes pode levar a eonomias bem próximas à proporionada pela seqüênia ótima, om um aumento bem menor da duração da triagem sorológia; e isto pode fazer a diferença entre uma solução ótima mas inviável e uma solução quase ótima viável. Sobre a preisão das estimativas das probabilidades envolvidas, Eppreht et al. (999) apresentam uma disussão (aqui omitida por razões de espaço), onluindo que os resultados são bastante robustos. 5. Conlusões e Comentários Finais 5. Resultados da apliação ao problema real A apliação do método ao problema do bano de sangue mostrou a possibilidade de uma eonomia de era de 86%; i.e., a utilização da seqüênia ótima obtida para os testes onstitui um proedimento 7 vezes mais barato que o proedimento vigente. Considerando possíveis difiuldades de ordem prátia para implementação da solução, foram sugeridas

92 Eppreht, Brasil & Santos Jr. Um modelo de minimização de ustos em diagnóstios duas alternativas (mais viáveis) que levam a eonomias menores, mas ainda substaniais: da ordem de 83 ou 84% (i.e., proedimento era de 6 vezes mais barato que o vigente). 5.2 Efiiênia do algoritmo A apliação do algoritmo proporionou uma enorme redução do número de alternativas a onsiderar: no lugar das 40320 seqüênias possíveis de 8 testes, foi neessário alular o usto esperado de apenas 2 subseqüênias de 3 testes (para detalhes, ver Eppreht et al., 999). Embora este aso exemplifique o ganho proporionado pelo uso do algoritmo (em relação à busa exaustiva no espaço de soluções), não se pretende generalizar este resultado: o grau de redução do número de seqüênias alternativas a onsiderar dependerá, para ada problema espeífio, das probabilidades dos diagnóstios e de suas interseções. O aso analisado foi extremamente favorável ao desempenho do algoritmo, já que apenas um teste (t 3 ) possuía interseções om vários outros. De qualquer forma, é razoável esperar reduções substaniais do número de alternativas ada vez que se subdividir o onjunto {t j } em subonjuntos, ordenados uns em relação aos outros. 5.3 Apliabilidade do modelo e algoritmo Como foi dito, o modelo não se restringe a diagnóstios médios, mas é genério. Sempre que o problema puder ser desrito pelas ondições no Quadro, a solução indiada no mesmo Quadro se aplia. Sempre que a únia violação daquelas ondições for a não exlusividade dos diagnóstios, mas o proedimento seja interromper a seqüênia ao obter um diagnóstio, pode-se apliar o algoritmo no Quadro 2. Outra situação, ligeiramente mais omplexa, que pode ser tratada pelo modelo no Quadro, é a de testes organizados em níveis hierárquios: neste aso, o proedimento de solução deve ser apliado separadamente para ada nível de testes. Este aso é menionado em Eppreht & Pires (995); uma disussão mais detalhada, om um argumento que mostra que o problema é perfeitamente deomponível em um problema independente para ada nível, pode ser enontrada em Pires (995). É importante insistir neste ponto: o modelo assume que os testes são interrompidos sempre que se hegar a um (primeiro) diagnóstio, inlusive no aso em que os diagnóstios não são mutuamente exlusivos. Como se vê, este é exatamente o aso do problema do bano de sangue aqui analisado. Para problemas em que este proedimento não seja obedeido, o modelo não se aplia. No aso de diagnóstios de falhas de equipamentos (ou diagnóstios de problemas em proessos, no ontexto de ontrole de qualidade) em que a estratégia seja interromper os testes e reiniiar a operação do equipamento (ou proesso) assim que uma (primeira) ausa for identifiada e eliminada, há uma nuane: o modelo se aplia apenas à minimização do usto esperado de identifiar esta ausa únia ou primeira. Caso o problema persista, ou se evidenie a presença de outro problema, e seja neessário prosseguir om os testes, a simples retomada da seqüênia alulada pelo modelo a partir do ponto em que foi interrompida pode não mais representar a solução ótima, pois a probabilidade de resultado positivo para ada teste onsiderada nas fórmulas de E(C T ) é ondiionada a todos os testes anteriores terem tido resultado negativo. Mesmo assim, se as probabilidades de interseções de diagnóstios forem muito pequenas em relação às probabilidades absolutas dos diagnóstios, os resultados não deverão ser muito sensíveis a esta inadequação do modelo, e pode-se esperar que a solução (seqüênia) indiada pelo modelo, se não for a solução ótima, seja uma boa solução.

Vol. 20, No. 2, p. 8-95, dezembro de 2000 Pesquisa Operaional 93 Outra maneira de enxergar esta questão é que, se as probabilidades de interseções de diagnóstios forem muito pequenas em relação às probabilidades absolutas dos diagnóstios, então a probabilidade de ser neessário retomar a seqüênia de testes após o primeiro diagnóstio positivo também será muito pequena. Assim, om grande probabilidade, as ondições de apliação do modelo são respeitadas e a solução é ótima; nas raras oasiões em que isto não oorrer, o modelo fornee uma solução ótima para a identifiação da primeira ausa, e uma boa solução para o prosseguimento da seqüênia de testes. Caso não se disponha de dados histórios que permitam estimar om razoável preisão as probabilidades de ada diagnóstio (e interseções de diagnóstios), podem-se utilizar estimativas subjetivas. Caso não se sinta onfiança sufiiente nestas estimativas para apliação do algoritmo, e por isso, ou por quaisquer outras razões operaionais não representadas no modelo, a deisão sobre a seqüênia de testes deva ser subjetiva, ainda assim o exame das razões j /p j (ou de estimativas subjetivas, ou de faixas de valores para elas) onstitui um ritério para auxílio à deisão, distinguindo pelo menos aqueles testes em que os valores destas razões sejam muito diferentes, e aprimorando assim o sentimento do deisor quanto à sensibilidade do usto total esperado à ordem dos testes. Finalmente, ao usar omo ritério o valor esperado do usto, impliitamente o modelo não se destina a situações em que se inorrerá nos ustos uma únia vez ou raramente, tais omo deisões individuais quanto a exames às próprias ustas de um paiente, ou problemas raros de um equipamento. Para tais situações, pode ser indiado onsiderar, além do usto esperado, ou mesmo em vez dele, a dispersão da distribuição de probabilidades do usto total, a probabilidade de oorrer um usto total exessivamente alto, ou o uso de funções de preferênia ou utilidade do liente. Contudo, para problemas de diagnóstio que se repitam om freqüênia, omo no aso aqui desrito do bano de sangue ou no aso de proessos monitorados permanentemente, o usto esperado é o ritério mais adequado, e sufiiente para a deisão. Esta questão é bem onheida, mas pode-se itar Gorentsin et al. (992): The use of the mean osts as the deision riterion in stohasti problems is adequate for high frequeny phenomena, in whih a representative sample of all values is expeted to our (...). Nestes asos, além de o ritério ser adequado, é usualmente possível obter dados histórios sufiientes para forneer boas estimativas das probabilidades dos diagnóstios, para entrada no modelo. 5.4 Direções de prosseguimento Dentre as extensões possíveis para o modelo, as mais naturais e relevantes vão na direção do relaxamento das hipóteses assumidas, de modo a admitir a possibilidade de diferentes ausas (ou doenças) produzirem sintomas omuns, de modo que um teste não é sufiiente para determinar um diagnóstio, mas um subonjunto de diagnóstios; ou ainda a admitir testes ujos resultados possuem uma margem (probabilidade) de erro; para itar apenas os aspetos mais evidentes. É possível que algumas destas situações não admitam um algoritmo exato de solução, e requeiram (omo nos trabalhos de Goulart et al., 994, e Pereira, 994) o uso de heurístias ou outras ténias (por exemplo ténias de inteligênia artifiial), para estes asos, espera-se que o presente modelo possa ajudar a prover insight sobre a questão. Agradeimentos Este trabalho se insere em projetos de pesquisa dos dois primeiros autores, apoiados pelo CNPq, e na pesquisa de mestrado do tereiro autor, apoiado pela CAPES.

94 Eppreht, Brasil & Santos Jr. Um modelo de minimização de ustos em diagnóstios Referênias Bibliográfias () Eppreht, E.K. & Pires, D.M. (995). Minimização de Custos em Diagnóstios de Falhas. XXVII Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operaional, Vitória, ES. (2) Eppreht, E.K.; Santos Jr.; M.C. & Brasil, G.H. (999). Um Modelo de Minimização de Custos em Diagnóstios om um Caso de Apliação em um Bano de Sangue. Memorando Ténio nº 03/99, Departamento de Engenharia Industrial, PUC-Rio, Rio de Janeiro. (3) Pires, D.M. (995). Minimização de Custos em Diagnóstios de Falhas. Dissertação de Mestrado, PUC-Rio, Departamento de Engenharia Industrial, Rio de Janeiro. (4) Banks, J. (989). Priniples of Quality Control. John Wiley & Sons. New York. (5) Gorentsin, B.G.; Campodonio, N.M.; Costa, J.P. & Pereira, M.V.F. (992). Power System Expansion Planning under Unertainty. IEEE/Power Engineering Soiety 992 Winter Meeting, New York, NY, Jan 992. (6) Goulart, Henrique E.; Fernandes, A.O. & Luna, Henrique P.C. (994). Ferramentas de Diagnóstio Automatizado. Anais do 0º Congresso Brasileiro de Automátia / 6º Congresso Latino-Ameriano de Controle Automátio, Rio de Janeiro, setembro de 994. (7) Pereira, Néoles A. (994). Sistema Espeialista de 2ª Geração para Diagnose Ténia: Modelo e Proedimento. Gestão e Produção, (), abril 994. (8) Montgomery, Douglas C. (997). Introdution to Statistial Quality Control. John Wiley & Sons (3ª ed.). New York. (9) Santos Jr., M.C. dos (997). Qualidade em Serviços: Estudo de Caso em um Bano de Sangue. Dissertação de Mestrado, PUC-Rio, Departamento de Engenharia Industrial, Rio de Janeiro. Apêndie: Demonstração do Teorema do Quadro Seja uma seqüênia qualquer. Tomem-se 2 testes onseutivos nessa seqüênia, t k e t k+, tais que a ondição ik /p ik i(k+) /p i(k+) não se verifique, i.e., tais que ik /p ik > i(k+) /p i(k+). O usto esperado desta seqüênia, notado E(C) ij (essa notação será eslareida a seguir), pode ser esrito omo: E(C) ij = k p x ix iy x= y= + p k ik iy y+ + p k + i( k + ) iy y= + n p x ix iy x= k + 2 y= Essa expressão é obtida da fórmula (), simplesmente separando o somatório em 4 termos, de modo a isolar as parelas que têm omo oefiientes p ik e p i(k+). Expandindo a 2ª e a 3ª parelas do membro direito, e hamando ainda i k de i, e i k+ de j, esta expressão se transforma em: E(C) ij = k p x ix iy x= y= + pi k iy y+ + i + p j k iy y+ + + i j + n p x ix iy x= k + 2 y=

Vol. 20, No. 2, p. 8-95, dezembro de 2000 Pesquisa Operaional 95 Agora explia-se a notação E(C) ij : eliminou-se o subsrito T do usto total C T apenas por simpliidade, e o índie ij é usado para indiar que nesta seqüênia o teste t j é o suessor imediato do teste t i. Invertendo a ordem de exeução dos testes t i e t j (i.e., permutando-os na seqüênia), o usto esperado se tornará: E(C) ji = k p x ix iy x= y= + p k j iy y+ + j + pi k iy y+ + j + i + n p x ix iy x= k + 2 y= (O índie ji no membro esquerdo india que nesta seqüênia o teste t j é exeutado imediatamente antes do teste t i ). A diferença no usto esperado é, portanto, dada por: E(C) ij E(C) ji = p j i p i j Lembremos que, por hipótese, i /p i > j /p j. (Note ainda que todos os ustos e probabilidades são positivos). Portanto, p j i > p i j. Assim, E(C) ij E(C) ji > 0 E(C) ij > E(C) ji Em outras palavras, permutando os testes t i e t j, o usto esperado da seqüênia diminui. Como i e j são índies genérios, sempre que dois testes onseutivos quaisquer t i e t j forem tais que i /p i > j /p j, a solução pode ser melhorada pela permutação destes testes. Só não será mais possível fazê-lo quando todos testes estiverem ordenados por ordem resente dos respetivos k /p k. Neste aso, qualquer permutação dos testes levaria a um aumento do usto esperado (pois voltaria a haver pelo menos um par de testes onseutivos tais que i /p i > j /p j ), o que mostra que se hegou à solução de usto mínimo. Note ainda que, a qualquer momento dentro da seqüênia (i.e., após a exeução de qualquer número de testes, a seqüênia restante ontinua obedeendo à ordem resente dos fatores ik / p ik : ela é de fato a seqüênia que minimiza o valor esperado dos ustos dos testes restantes. Assim, a seqüênia ótima pode ser inteiramente determinada a priori.