ENG285 4ª Unidade 1 (atualizado em 12/07/2014) Fonte: Arquivo da resolução da lista 1 (Adriano Alberto), Slides do Prof. Alberto B. Vieira Jr., RILEY - Mecânica dos Materiais. Momento de Inércia (I) Para seção retangular: I =. Para seção triangular reta: I =. Semi-círculo: = Momento estático (Q) Q = A. (distância do centróide à L.N.) = -. ; =. = -.. Módulo de resistência (W)
= á W = => W req = á 2 PROBLEMAS ENVOLVENDO FLEXÃO Nas questões abaixo, de acordo com as respostas da lista, não são calculadas as tensões máximas. Para isso, seria necessário calcular também as tensões cisalhantes e, a partir do estado de tensão resultante, calcular as tensões máximas, que podem ou não coincidir com os resultados das questões abaixo. 1) A viga carregada como mostrado tem a seção transversal da figura. Determine a tensão longitudinal: (a) num ponto a 4,5 m a contar da extremidade esquerda e 125 mm acima da superfície neutra; (b) num ponto 75 mm abaixo da superfície neutra numa seção a 1,2 m do extremo direito R A + R D = 30 + 15 + 30 = 75 kn = 0 => - 30. 1,5-15. 4 + 5. R D 6. 30 = 0 => R D = 57 kn R A = 18 kn Para 0 x < 3: V(x) = - 10x + 18 Para V(x) = 0 => x = 1,8 m Diagrama:
3 a) M(4,5) =? Para 4 x < 5: V(x) = - 27 kn M(x) = - 27x + C M(4) = - 3 kn.m = - 27. 4 + C => C = 105 M(x) = - 27x + 105 => M(4,5) = - 27. 4,5 + 105 => M(4,5) = - 16,5 kn.m Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.) Obs: não era preciso calcular para esse caso, devido a simetria da seção. A T = 200. 50. 3 = 30 000 mm² A 1 = 200. 50 = 10 000 mm² A 2 = 200. 50 = 10 000 mm² A 3 = 200. 50 = 10 000 mm² = 275 mm = 150 mm = 25 mm
y i =... y s = 300 150 = 150 mm =. = 150 mm 4 Cálculo do momento de inércia I z = + + =. =. =. + A 1. = + A 2. = + A 3. =... + 10 000. 275 150 = 158 333 333,3. m 4 + 10 000.150 150 = 33 333 333,33. m 4 + 10 000. 25 150 = 158 333 333,3. m 4 => I z = 350 000 000. m 4 = -. => = -,.... = 5 892 857,143 Pa b) x = 7 1,2 = 5,8 m M(5,8) =? Para 5 x < 7: V(x) = - 15x + C V(5) = 30 = - 15. 5 + C => C = 105 => V(x) = - 15x + 105 M(x) = - 7,5. x² + 105. x + C M(5) = - 30 kn.m = - 7,5. 25 + 105. 5 + C => C = - 367,5 M(x) = - 7,5. x² + 105. x - 367,5 => M(5,8) = - 7,5. (5,8)² + 105. 5,8-367,5 => M(5,8) = - 10,8 kn.m = -. => = -,.... = - 2 314 285,714 Pa
2) (a) Determine a tensão longitudinal em um ponto 100 mm abaixo da superfície neutra numa seção a 1,3 m do extremo direito da viga carregada da figura; (b) determine a máxima tensão longitudinall numa seção a 1 m do extremo esquerdo. 5 = 0 => R A + R B = 39 00 00 N = 0 => 9 000 30 000. 1,5 + 3. R B = 0 => R B = 12 000 N R A = 27 000 N Para 1,5 x 3,5: V(x) = - 15 000. x + C V(1,5) = 18 000 = - 15 000. 1,5 + C => C = 40 500 V(x) = - 15 000. x + 40 500 Para V(x) = 0 => x = 2,7 m Diagrama:
Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.) 6 A T = 150. 50 + 150. 50 = 15 000 mm² A 1 = 150. 50 = 7 500 mm² A 2 = 150. 50 = 7 500 mm² = 175 mm = 75 mm y i =.. = y s = 200 125 = 75 mm.. = 125 mm Cálculo do momento de inércia I z = + =. =. + A 1. = + A 2. =.. + 7 500. 175 125 = 20 312 500. m 4 + 7 500. 75 125 = 32 812 500. m 4 => I z = 53 125 000. m 4 a) x = 4 1,3 = 2,7 m M(2,7) = 10,8 kn.m = -. => = -,.... = 20 329 411,76 Pa b) M(1) = - 9 kn.m Cálculo das tensões acima da L.N.:
= -. => = -.... = 12 705 882,35 Pa 7 Cálculo das tensões abaixo da L.N.: = -. => = -.... = - 21 176 470,59 Pa =,á 3) Uma barra de aço de 200 mm de diâmetro é carregada e apoiada como mostrado na figura. Determine a máxima tensão longitudinal numa seção a 1,5 m a partir da parede. R = 12 kn 12. 3 + M = 0 => M = - 36 kn.m M(3) = - 18 kn.m I z = =, A = = 0,100 y i = y s = = 100 mm
= -. = -.. ±., = ± 22 918 311,81 Pa 8 4) Para a viga mostrada, as tensões longitudinais admissíveis na seção sob a carga são de 42 MPa T e 70 MPa C. Determine a máxima carga admissível P. R A + R C = P (I) = 0 => - 1. P + 3,5. R C = 0=> R C =, (II) Substituíndo em (I): R A + = P => R,. A =,, R A = 2,5. R C Para o trecho 0 x < 1: V(0) = V(1) = R A M(x) = R A. x + C M(0) = 0 => C = 0 => M(x) = R A. x M(1) = R A Para o trecho 1 x < 3,5: V(1) = V(3,5) = R A P M(x) = (R A - P). x + C M(1) = R A = (R A - P). 1 + C => C = P => M(x) = (R A - P). x + P M(3,5) = (R A - P). 3,5 + P = 3,5. R A 3,5. P + P = 3,5. R A 2,5. P = 3,5. Para x = 3,5: V(3,5) = R A P + R C = R A P + P R A = 0,., 2,5. P = 0
M(3,5) = 0 M máx = R A =,., 9 Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.) A T = 200. 25 + 100. 25 = 7 500 mm² A 1 = 200. 25 = 5 000 mm² A 2 = 100. 25 = 2 500 mm² = 125 mm = 12,5 mm y i =.. = y s = 225 87,5 = 37,5 mm.., Cálculo do momento de inércia = 87,5 mm I z = + =. =. + A 1. = + A 2. =.. + 5 000. 125 87,5 = 23 697 916,67. m 4 + 2 500. 12,5 87,5 = 14 192 708,33. m 4 => I z = 37 890 625. m 4 Para o trecho AB: M máx =,., Cálculo das tensões acima da L.N.: = -. => - 70. 10 6 = -,..,.,. => P = 99 020,83334 N
Cálculo das tensões abaixo da L.N.: 10 = -. => 42. 10 6 = -,..,.,. => P = 25 462,5 N = P adm 5) e 6) Se o momento mostrado atua no plano vertical, determinar a tensão no: (a) ponto A; (b) ponto B. 5) a) Como o ponto A vai ser comprimido, será negativo. M z = 15 kn.m y i = y s = 60 mm Cálculo do momento de inércia Como a seção é simétrica, e a área interna é concêntrica com a área externa, I z = - : - =. -. = 9 813 333,333. m 4 = -. = -...,. = - 61 141 304,35 Pa b) Como o ponto B vai ser tracionado, será positivo. M z = 15 kn.m = -. = -...,. = 91 711 956,52 Pa
*** 6) 11 a) Como o ponto A vai ser comprimido, será negativo. M z = 2,8 kn.m y i = y s = 30 mm Cálculo do momento de inércia I z = - 2. =. - 2.. = 1 908 672,588. m 4 = -. = -,...,. = - 44 009 643,42 Pa b) Como o ponto B vai ser tracionado, será positivo. M z = 2,8 kn.m = -. = -,...,. = 29 339 762,28 Pa Resposta da lista: 6) σa = 44,1 MPa C σb = 29,3 MPa T 7) A viga mostrada é feita de aço com tensão de escoamento igual a 250 MPa. Determinar o maior momento que pode ser aplicado à viga quando ela encurva em torno do eixo z, considerando um coeficiente de segurança de 2,5.
Posição da Linha Neutra (L.N.) y i = 130 mm 12 Cálculo do momento de inércia A 1 = 200. 16 = 3 200 mm² A 2 = 228. 10 = 2 280 mm² A 3 = 200. 16 = 3 200 mm² = 252 mm = 130 mm = 8 mm I z = + + = =. =. =. + A 1. = + A 2. = + A 3. =... + 3 200. 252 130 = 47 697 066,67. m 4 + 2 280. 130 130 = 9 876 960. m 4 + 3 200. 8 130 = 47 697 066,67. m 4 => I z = 105 271 093,3. m 4 =. =>., =..,. => = 80 977,76408 N.m 8) Sabendo-se que uma viga de seção transversal, como mostrado, é encurvada em torno de um eixo horizontal e está submetida a um momento fletor de 5,7 kn.m, determinar a intensidade total da força atuando: (a) na aba superior; (b) na porção sombreada da alma.
13 Posição da Linha Neutra (L.N.) y i = 87,5 mm Cálculo do momento de inércia A 1 = 150. 37,5 = 5 625 mm² A 2 = 50. 100 = 5 000 mm² A 3 = 150. 37,5 = 5 625 mm² = 156,25 mm = 87,5 mm = 18,75 mm I z = + + = =. =. + A 1. = + A 2. =., + 5 625. 156,25 87,5 = 27 246 093,75. m 4. + 5 000. 87,5 87,5 = 4 166 666,667. m 4 => I z = 58 658 854,17. m 4 a)
Para y = 68,75 mm (distância da L.N. ao centróide da figura) 14 = -. = -,..,.,. => = - 6 680 577,136 Pa F =. A 1 => F = - 6 680 577,136. 5 625. 10-6 m² => F = - 37 578,24639 N b) Para y = - 25 mm (distância da L.N. ao centróide da figura) = -. = -,...,. => = 2 429 300,777 Pa F =. A => F = 2 429 300,777. 50. 50. 10-6 m² => F = 6 073,251943 N *** 9) Duas forças verticais são aplicadas a uma viga de seção transversal mostrada. Determinar as máximas tensões de tração e compressão numa seção transversal na porção BC da viga. R A + R D = 20 kn R A = R D = 10 kn M z = 1,5 kn.m
Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.) 15 A T = 10. 50 + 10. 30 + 10. 50 = 1 300 mm² A 1 = 10. 50 = 500 mm² A 2 = 10. 30 = 300 mm² A 3 = 10. 50 = 500 mm² = 35 mm = 5 mm = 35 mm y i =... =... = 28,07692308 mm y s = 60-28,07692308 = 31,92307692 mm Cálculo do momento de inércia I z = + + =. =. + A 1. = + A 2. =.. + 500. 35 28,07692308 = 128 131,1637. m 4 + 300. 5 28,07692308 = 162 263,3137. m 4 = => I z = 418 525,6411. m 4 Cálculo acima da L.N. = -. = -,..,.,. = - 114 412 620,6 Pa Cálculo abaixo da L.N.
= -. = -,..,.,. = 100 627 967,5 Pa 16 A resposta da lista deu diferente, mas acredito que meus cálculos estão certos. 9) 73,2 MPa T 102,4 MPa C 10) Sabendo-se que uma viga de seção transversal mostrada é encurvada sobre um eixo horizontal, e que está submetida a um momento fletor de 4 kn.m, determinar a intensidade total da força que atua na porção sombreada da viga. y i = y s = 44 mm A 1 = 12. 88 = 1 056 mm² A 2 = 40. 40 = 1 600 mm² A 3 = 12. 88 = 1 056 mm² = 44 mm = 44 mm = 44 mm Cálculo do momento de inércia = I z = 2. + =. =. + A 1. = + A 2. =.. = 681 472. m 4 = 213 333,3333. m 4
=> I z = 1 576 277,333. m 4 17 Cálculo do centróide da figura A T = 12. 44 + 20. 20 = 928 mm² A 1 = 12. 44 = 528 mm² A 2 = 20. 20 = 400 mm² A 3 = 10. 50 = 500 mm² = 22 mm = 10 mm =.. =.. = 16,82758621 mm = y = -. = -..,.,. = - 42 702 095,26 Pa F =. A => F = - 42 702 095,26. 928. 10-6 = - 39 627,5444 N 11) Para a viga com seção transversal mostrada, determine a tensão longitudinal máxima entre as seções A e C, e localize onde ela ocorre. Aproveitando os cálculos da questão 6 da Lista 1:
Para 0 x 2: V(x) =. + C 1 => V(x) = 3. + C 1 => V(x) = 3x + C 1 18 V(0) = 0 => 3. 0 + C 1 = 0 => C 1 = 0 => V(x) = 3x V(0) = 0 V(2) = 3. 2 = 6 kn M(x) =. + C 2 => M(x) = 3x. + C 2 => M(x) = 1,5 x² + C 2 M(0) = - 12 => 1,5 (0)² + C 2 = - 12 => C 2 = - 12 => M(x) = 1,5 x² - 12 M(0) = - 12 kn.m M(2) = 1,5. (2)² - 12 => M(2) = - 6 kn.m Para 2 x 5: V(x) = -. + C 3 => V(x) = - 5. + C 3 => V(x) = - 5x + C 3 V(2) = 6 + 5,5 = 11,5 kn => - 5. 2 + C 3 = 11,5 => C 3 = 21,5 => V(x) = - 5x + 21,5 (OK) V(2) = 11,5 kn V(5) = - 5. 5 + 21,5 => V(5) = - 3,5 kn Para V(x) = 0 => - 5x + 21,5 = 0 => x = 4,3 m M(x) =. + C 4 => M(x) = 5x + 21,5. + C 4 => M(x) = - 2,5 x² + 21,5. x + C 4 M(2) = - 6 kn.m => - 2,5 (2)² + 21,5. 2 + C 4 = - 6 => C 4 = - 39 => M(x) = - 2,5 x² + 21,5. x 39
M(2) = - 6 kn.m M(5) = - 2,5 (5)² + 21,5. 5-39 => M(5) = 6 kn.m 19 M f,máx = M(4,3) = - 2,5. (4,3)² + 21,5. 4,3-39 => M f,máx = 7,225 kn.m Para 5 x 7: 3. 2 + 5,5 5. 3-3 - V(x) = 0 => V(x) = - 6,5 kn M(x) =. + C 5 => M(x) = 6,5. + C 5 => M(x) = - 6,5x + C 5 M(5) = 6 kn.m => - 6,5. 5 + C 5 = 6 => C 5 = 38,5 => M(x) = - 6,5x + 38,5 M(5) = 6 kn.m M(7) = - 6,5. 7 + 38,5 => M(7) = - 7 kn.m Diagrama:
20 Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.) A T = 100. 25 + 40. 100 = 6 500 mm² A 1 = 100. 25 = 2 500 mm² A 2 = 100. 40 = 4 000 mm² = 112,5 mm = 50 mm y i =.. =.,. y s = 125-74,03846154 = 50,96153846 mm = 74,03846154 mm Cálculo do momento de inércia I z = + =. + A 1.
=. + A 2. 21 = =.. + 2 500. 112,5 74,03846154 = 3 828 433,185. m 4 + 4 000. 50 74,03846154 = 5 644 723,866. m 4 => I z = 9 473 157,051. m 4 Para o trecho AB: M máx = - 12. 10³ N.m Cálculo das tensões acima da L.N.: = -. => = -..,.,. = 64 554 874,18 Pa Cálculo das tensões abaixo da L.N.: = -. => = -..,.,. = - 93 787 270,04 Pa Para o trecho BC: M máx = 7,225. 10³ N.m Cálculo das tensões acima da L.N.: = -. => = -,..,.,. = - 38 867 413,83 Pa Cálculo das tensões abaixo da L.N.:
= -. => = -,..,.,. = 56 467 752,17 Pa 22 12) e 13) Para a viga com seção transversal mostrada, determine: (a) a tensão trativa máxima longitudinal na viga e onde ela ocorre; (b) a tensão compressiva máxima na viga e onde ela ocorre. 12) 30 + R C = 37,5 kn => R C = 7,5 kn = 0 => 7,5. 1. 0,5 7,5. 4. 2 + 7,5. 4 + M = 0 => M = 26,25 kn.m Para o trecho 0 x < 1: V(x) = - 7,5. x + C V(0) = 0 = - 7,5. 0 + C => C = 0 => V(x) = - 7,5. x V(1) = - 7,5 kn M(x) = -,. + C M(0) = 0 = 0 + C => M(x) = - M(1) = - 3,75 kn.m Para o trecho 1 x < 5: V(x) = - 7,5. x + C,. V(1) = - 7,5 + 30 = 22,5 kn = - 7,5. 1 + C => C = 30 => V(x) = - 7,5. x + 30 Para V(x) = 0 => x = 4 m M(x) = -,. + 30x + C
M(1) = - 3,75 kn.m = -,. + 30. 1 + C => C = - 30 23 M(x) = - M(4) = -,.,. + 30x 30 + 30. 4 30 = 30 kn.m M(5) = -,. Para x = 5: M(5) = 26,25 M = 0 + 30. 5 30 = 26,25 kn.m Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.) A T = 100. 50 + 100. 50 = 10 000 mm² A 1 = 100. 50 = 5 000 mm² A 2 = 100. 50 = 5 000 mm² = 125 mm = 50 mm y i =.. = y s = 150 87,5 = 62,5 mm.. = 87,5 mm Cálculo do momento de inércia I z = + =. =. + A 1. = + A 2. =.. + 5 000. 125 87,5 = 8 072 916,667. m 4 + 5 000. 50 87,5 = 11 197 916,67. m 4 => I z = 19 270 833,33. m 4 Para o trecho AB: M máx = - 3,75 kn.m
Cálculo das tensões acima da L.N.: 24 = -. => = -,..,.,. = 12 162 162,16 Pa Cálculo das tensões abaixo da L.N.: = -. => = -,..,.,. = - 17 027 027,03 Pa Para o trecho BC: M máx = 30. 10³ N.m Cálculo das tensões acima da L.N.: = -. => = -..,.,. = - 97 297 297,31 Pa Cálculo das tensões abaixo da L.N.: = -. Logo: => = -..,.,. = 136 216 216,2 Pa a),á = 136 216 216,2 Pa (no trecho BC, abaixo da L.N.) b),á = - 97 297 297,31 Pa (no trecho BC, acima da L.N.) 13)
25 Utilizando os cálculos da questão 13 da lista 1 R A 7. 2 7 14. 2 + R D 7. 2 = 0 => R A + R D = 63 kn (I) = 0 => 25 7. 2. 1 7. 2 14. 2. 3 11 + 7. R D 7. 2. 8 = 0 => R D = = 30 kn Substituíndo em (I): R A + 30 = 63 => R A = 33 kn Para 2 x 4: V(x) = 33 7. 2 7 14(x 2) => V(x) = - 14x + 40 Para V(x) = 0 => x = 2,857142857 m Cálculo do momento fletor à partir da área do diagrama do esforço cortante: (- 25) + (14 + 38) + (0,857142857. ) (1,142857143. ) + (11) (16. 3) + (14) = 0 (OK) Diagrama:
26 Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.) A T = 120. 30 + 240. 30 = 10 800 mm² A 1 = 120. 30 = 3 600 mm² A 2 = 240. 30 = 7 200 mm² = 255 mm = 120 mm y i =.. = y s = 270-165 = 105 mm.. = 165 mm Cálculo do momento de inércia I z = + =. =. + A 1. = + A 2. =.. + 3 600. 255 165 = 29 430 000. m 4 + 7 200. 120 165 = 49 140 000. m 4 m 4 => I z = 78 570 000. m
Para o trecho AB: M máx = - 25. 10³ N.m 27 Cálculo das tensões acima da L.N.: = -. => = -.... = 33 409 698,36 Pa Cálculo das tensões abaixo da L.N.: = -. => = -.... = - 52 500 954,56 Pa Para o trecho CD: M máx = 34. 10³ N.m Cálculo das tensões acima da L.N.: = -. => = -.... = - 45 437 189,77 Pa Cálculo das tensões abaixo da L.N.: = -. => = -.... = 71 401 298,21 Pa Logo: a),á = 71 401 298,21 Pa (no trecho CD, abaixo da L.N.) b),á = - 52 500 954,56 Pa (no trecho AB, abaixo da L.N.)
PROBLEMAS ENVOLVENDO FLEXÃO DE SEÇÃO HETEROGÊNEA 28 14) Duas barras de latão são unidas firmemente a duas barras de alumínio, formando a seção composta mostrada. Determinar o maior momento fletor permissível, quando a viga é encurvada em torno de um eixo horizontal. Dados: E alum = 70 GPa ; E lat = 105 GPa ; = 100 MPa ; = 160 MPa Posição da L.N.: y i =...... = =..................... => y i = 30 mm (OK) Cálculo do momento de inércia = 2.. +.. = 2. + 400. 30 30 =. m 4 = 2.. +.. = 2. + 400. 55 30 =. m 4 = -.... = ± 100. 10 6 = - 70. 10 9.. 70. 10 9. ± 20. 10 3. 10 12 105. 10 9.. 10 12 => M z = N.m = -....
= ± 160. 10 6 = - 70. 10 9.. 105. 10 9. ± 30. 10 3. 10 12 105. 10 9.. 10 12 => 29 => M z = 3 081,481481 N.m (resposta) Obs: se as diferentes partes do latão e/ou do alumínio estivessem em posições diferentes em relação à L.N, seria necessário calcular as tensões correspondentes em cada parte (sendo que quanto mais distante o ponto estiver da L.N., maior será a tensão). No presente problema, devido à simetria de ambos em relação à L.N, as tensões acima e abaixo da L.N. são iguais em módulo (tração e compressão). 15) Uma barra de aço e uma de alumínio são unidas firmemente, para formar a viga composta mostrada. O módulo de elasticidade para o alumínio é de 70 GPa e para o aço é de 200 GPa. Sabendo-se que a viga é curvada em torno de um eixo horizontal por um momento M = 1500 N.m, determinar a máxima tensão no: (a) alumínio; (b) aço.
30 Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr.
31 Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr. 15) a) 66,2 MPa T b) 112,4 MPa C *** 16) Uma viga de concreto é reforçada por três barras de aço, colocadas como indicado. Os módulos de elasticidade são de 20 GPa para o concreto e de 200 GPa para o aço. Usando uma tensão admissível de 10 MPa para o concreto e de 150 MPa para o aço, determinar o maior momento fletor que pode ser aplicado à viga. E conc = 20 GPa ; E aço = 200 GPa ; = 10 MPa ; ç = 150 MPa A aço = 3.., m² A conc = 0,225. 0,500-3.. 0,012 = 0,1125-3.., m²
32 =... 3.. 122.. 3.. 12 2 = 252,4422052 mm Posição da L.N.: y i =.... ç.. ç = =.. 0,1125 3.. 0,012 2.,... 3.. 0,012 2.... 0,1125 3.. 0,012 2.. 3.. 0,012 2 => y i = 230,4120434 mm y s = 500-230,4120434 = 269,5879566 mm Cálculo do momento de inércia. I aço = 3. = 44 222 648,9. m 4 + ç. ç. = 3. +. 12. 50 230,4120434 = =. +. =. + 225. 400. 300 230,4120434 = 1 635 823 533. m 4 I 2 =. +. - I aço =. +100. 225. 50 230,4120434-44 222 648,9. 10 => I 2 = 706 868 722,7. m 4 I conc = I 1 + I 2 = 2 342 692 256. m 4
= -.... ç 33 = ± 10. 10 6 = -...,......,. => => M z = ± 103 302,7877 N.m (resposta) ç = -.. ç.. ç ç = ± 150. 10 6 = -...,......,. => => M z = ± 217 105,8549 N.m (não serve) Obs: a resposta da lista deu 79,1 kn.m, mas acredito que meus cálculos estão corretos. Método da homogeneização: Homogeneizando para concreto: A aço = 3.. 0,012 m² => A 1(conc) =. 3.. 0,012 = 30.., A 2(conc) = 0,024. 0,225-3.. 0,012 = 5,4. - 3.., A transformada = 30.. 0,012 + 5,4. 10-3.. 0,012 = = 27.., + 5,4. b =..,,., = 0,733938009 m
34 Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.) A T = 225. 438 + 38 + 733,938009. 24 = 124 714,5122 mm² A 1 = 438. 225 = 98 550 mm² A 2 = 733,938009. 24 = 17 614,51222 mm² A 3 = 38. 225 = 8 550 mm² y i =... =.,.., = 230,4120435 mm y s = 500-230,4120435 = 269,5879565 mm Cálculo do momento de inércia I z = + + =. + A 1. = = 1 827 722 229. m 4. + 98 550. 281 230,4120435 = =. + A 2. = = 574 171 543,4. m 4 733,938009. + 17 614,51222. 50 230,4120435 = =. + A 3. = = 383 171 545,8. m 4 225. + 8 550. 19 230,4120435 =
=> I z = 2 785 065 318. m 4 35 Cálculo da tensão acima da L.N.: = 10. 10 6 = ±.,.. => M z = ± 103 308,2247 N.m ç = 150. 10 6 = ± 10..,.. => M z = ± 217 117,2813 N.m Verificar a pequena diferença encontrada nos resultados finais dos dois métodos. A posição da L.N. apresentou o mesmo valor nos dois casos, com uma aproximação, possivelmente da calculadora, de uma unidade na última casa decimal. PROBLEMAS ENVOLVENDO CARGA EXCÊNTRICA 17) Duas forças de 10 kn são aplicadas a uma barra de seção retangular de 20 mm x 60 mm, como mostrado. Determinar a tensão no ponto A, quando: (a) b = 0; (b) b = 15 mm; (c) b = 25 mm. N = 10 + 10 = 20 kn Posição da L.N.: y i = y s = 0,03 m = - =. = 360 000. m 4 a) b = 0
M z = 10 000. 0,025 = 250 N.m =,., -.,. = - 4 166 666,667 Pa 36 b) b = 15 mm M z = 10 000. 0,025 10 000. 0,015 = 100 N.m =,., -.,. = 8 333 333,333 Pa c) b = 25 mm M z = 10 000. 0,025 10 000. 0,025 = 0 =,., -.,. = 16 666 666,67 Pa 18) Uma pequena coluna de 120 mm x 180 mm suporta três cargas axiais mostradas. Sabendo-se que a seção ABD é suficientemente afastada das cargas, para que permaneça plana, determinar a tensão no: (a) canto A; (b) canto B.
37 Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr. 18) a) 926 kpa T b) 14,81 MPa C 19) Sabendo-se que a tensão admissível é 90 MPa, determinar a maior força P que pode ser aplicada ao elemento de máquina mostrado. N = P =? = - Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.)
y i =.. =...... y s = 80-47,95918367 = 32,04081633 mm = 47,95918367 mm 38 Cálculo do momento de inércia I z = + =. =. + A 1. = + A 2. =.. + 44. 20. 70 47,95918367 = 456 835,2077. m 4 + 18. 60. 30 47,95918367 = 672 334,8603. m 4 => I z = 1 129 170,068. m 4 M z =? Considerando o eixo x passando pela L.N.: M z = P. (47,95918367 40) 90. 10 6 = -.,..,. =>,.,,.,,. => 90. 10 6 =, + 338,0500089. P => 176 400 = P + 0,662578017. P => => P = 106 100,2841 N 20) A força axial excêntrica P atua no ponto D, que está localizado a 30 mm abaixo da borda superior da barra de aço mostrada. Para P = 90 kn, determinar: (a) a largura d da barra para que a tensão no ponto A seja máxima; (b) o correspondente valor da tensão no ponto A. N = P = 90 kn
Posição da L.N.: 39 y i = y s = = - = a),. M z = - 90 000. 0,030 =,.. -,.,.,.. =,.,. => 1 =,. = 0,030. => => 1 = 3,, => = 2 => d = 0,09 m = 90 mm b) =,,.,. -,.,,., = 40 MPa PROBLEMAS ENVOLVENDO FLEXÃO ASSIMÉTRICA 21) e 22) A viga com uma seção transversal mostrada está submetida a um momento fletor M aplicado no plano a a. Determine: (a) a intensidade da máxima tensão de flexão; (b) a orientação do eixo neutro, mostre o resultado num esboço. 21) M = 1.200 N.m tg = => = arctg(0,75) M y = - 1 200. sen[arctg(0,75)]
M z = 1 200. cos[arctg(0,75)] 40. I z = 2. + 120. 30. 165 90 +. = 45 360 000. m 4. I y = 2. +. = 8 910 000. m 4 tg =.. =.,...,.. => = - 75,32360686 tg =. tg A e B são os pontos mais distantes da L.N. Para o ponto A: = -. +. = -.,., +..,., =. = - 6 753 246,753 Pa Para o ponto B: = -.,.,.,.,. + =. = 6 753 246,753 Pa 22) M = 20 kn.m
41 M y = 20 000. sen(10 ) M z = 20 000. cos(10 ). I z = + 90. 60. 210 150. + + 180. 30. 90 150 = 55 080 000. m 4 I y =. +. = 4 050 000. m 4 tg =. 12.. 55 080 000.10 =.... => = 67,36356998 tg =. tg A e B são os pontos mais distantes da L.N. Para o ponto A: = -. +. = -.., 55 080 000.10 12 +..,. = = - 70 771 743,83 Pa (resposta)
Para o ponto B: 42 = -..,.., + = 66 501 594,48 Pa 55 080 000.10 12. *** 23) Uma cantoneira de 200 x 200 x 24 mm é usada numa viga que suporta um momento fletor de + 10.000 N.m aplicado no plano yx. Os momentos de inércia obtidos em um manual de aço estrutural são Iz = Iy = 33,3 x 10 6 mm 4, e Iyz = + 19,5 x 10 6 mm 4. Determine: (a) a tensão de flexão no ponto A; (b) a máxima tensão de flexão e sua localização na seção transversal; (c) a orientação do eixo neutro, mostre a localização num esboço. =.... +.... Ou = -.... y +.... z =. y. z tg =.... a)
M y = 0 ; M z = 10 000 N.m 43. = -. y +... z. ou =... = 10 000..,...,.,...,. =,...,..,.. = - 42 318 840,58 Pa c) tg = 19,5. 10 6. 10 12 = => = 30,35262473 33,3. 10 6. 10 12 b) A maior distância à L.N. é em relação ao ponto B, onde ocorre a maior tensão. = 10 000.,...,.,...,. = 49 084 321,48 Pa,...,..,.. Acredito que a resposta da lista esteja errada: 23) a) 42,3 MPa T b) 55,8 MPa C c) 75,4 a partir do eixo z 24) Uma viga com uma seção cantoneira está carregada com um momento fletor de + 20 kn.m aplicado num plano yx. Determine: (a) a tensão de flexão no ponto A; (b) a orientação do eixo neutro, mostre a localização num esboço.
44. I z = + 180. 60. 90 75. + + 60. 60. 30 75 = 39 960 000. m 4 I y =. + 180. 60. 30 45 +. + 60. 60. 90 45 = 14 040 000. m 4 =. y. z = 60. 180. 15. 15 + 60. 60. 45. 45 = 9 720 000. m 4 M y = 0 ; M z = 20 000 N.m a) =... = 20 000..,....,.... =,...,..,.. = 69 444 444,44 Pa b) tg = 6 9,72. 10. 10 12 = => = 34,69515353 14,04. 10 6. 10 12 25), 26) e 27) O momento M é aplicado a uma viga de seção transversal mostrada, em um plano formando um ângulo β com a vertical. Determinar: (a) a tensão no ponto A; (b) o ângulo que a linha neutra forma com o plano horizontal. 25)
45 M y = 2 800. sen(20 ) M z = 2 800. cos(20 ). I z = I y =. = =. m 4. m 4 a) Para o ponto A: = -. +. = -.., +...,. = - 1 073 739,803 Pa Para o ponto B: = -.., +...,. = 6 819 678,211 Pa b) tg =. tg =.. tg20 => = 75,96375653.
46 26) M y = 10 000. sen(55 ) M z = - 10 000. cos(55 ) 160. 103 I z = 2. 12 + 160. 10. 175 90 2 + 10. 1603 12 = 26 560 000. m 4 I y = 2. 10. 1603 12 + 160. 103 12 = 6 840 000. m 4 a) Para o ponto A: = -..,.., + = 115 243 205,2 Pa.. Para o ponto B: = -. +. = -..,. +..,. = - 76 371 308,12 Pa b)
tg =. tg =... tg55 => = 79,77801655 47 27) M y = 25 000. sen(15 ) M z = 25 000. cos(15 ) I z =. + 90. 80. 120 100 +. + 30. 80. 40 100 = 16 640 000. m 4 I y =. +. = 5 040 000. m 4 a) Para o ponto A: = -. +. = -..,. +..,. = - 29 300 532,31 Pa Para o ponto B: = -..,. +..,. = - 144 844 748,9 Pa
b) tg =. tg =... tg15 => = 41,49782689 48 *** 28) Uma carga axial P é aplicada como mostrado a curto perfil estrutural em forma de T. Determinar: (a) a maior distância a para que a tensão máxima de compressão não exceda a 120 MPa; (b) o ponto correspondente onde a linha neutra intercepta a linha AB. Dados: A = 4450 mm 2, Iy = 9,16 x 10 6 mm 4, Iz = 6,00 x 10 6 mm 4 = 135 000. a = 135 000. 0,024 = 3 240 N.m a) = -. +. - 120. 10 6 =.,. -.. +..,,.. => => - 75 082 921,35 = - 1 503 275 109. a => a = 49,946228 mm b) = 135 000. 0,049946228 = 6 742,740781 N.m tg =. =,.....,.. => = 53,73664016
49 tg(53,73664016 ) = => z = 19,80690113 mm PROBLEMAS ENVOLVENDO CISALHAMENTO NA FLEXÃO Nas questões abaixo, de acordo com as respostas da lista, não são calculadas as tensões máximas. Para isso, seria necessário calcular também as tensões longitudinais e, a partir do estado de tensão resultante, calcular as tensões máximas, que podem ou não coincidir com os resultados das questões abaixo. 29) O cortante vertical em certa seção de uma viga cuja forma é mostrada na figura é 18 kn. Determinar: (a) a tensão tangencial horizontal máxima, e indique onde ela ocorre dentro da seção transversal; (b) a tensão tangencial vertical 80 mm abaixo do topo.
50 Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr.
51 Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr. a) 822 kpa no eixo neutro b) 707 kpa 30) Uma viga com 6 m de comprimento está simplesmente apoiada em suas extremidades e tem uma seção transversal como mostrado. A viga suporta uma carga uniformemente distribuída de 5 kn/m em todo o seu comprimento. Determine: (a) a tensão transversal vertical em um ponto 0,5 m a partir do extremo direito e 100 mm abaixo da superfície do topo da viga; (b) as tensões tangenciais máximas horizontal e vertical, e mostre onde cada uma ocorre. R A + R B = 30 kn R A = R B = 15 kn V(x) = - 5x + 15
Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.) 52 A T = 60. 200 + 60. 160 + 60. 200 = 33 600 mm² A 1 = 60. 200 = 12 000 mm² A 2 = 60. 160 = 9 600 mm² A 3 = 60. 200 = 12 000 mm² = 100 mm = 30 mm = 100 mm y i =... =... = 80 mm y s = 200-80 = 120 mm Cálculo do momento de inércia I z = + + =. =. =. + A 1. = + A 2. = + A 3. =... + 12 000. 100 80 = 44 800 000. m 4 + 9 600. 30 80 = 26 880 000. m 4 + 12 000. 100 80 = 44 800 000. m 4 = => I z = 116 480 000. m 4 a) x = 6 0,5 = 5,5 m V(5,5) = - 5. 5,5 + 15 = - 12,5 kn
53 = -.. Q = Q 1 + Q 2 Q 1 = Q 2 => Q = 2. Q 2 Q 1 = A 1. Q 2 = A 2. = 60. 100. 150 80 = 420 000. m³ Q = 840 000. m³ b = 2. 60 = 120 mm = 0,120 m = -,....., = 751 201,9231 Pa b) = -.. V = ± 15 kn
Acima da L.N.: Q = Q 1 + Q 2 54 Q 1 = Q 2 => Q = 2. Q 2 Q 1 = A 1. Q 2 = A 2. = 60. 120. 140 80 = 432 000. m³ Q = 864 000. m³ b = 2. 60 = 120 mm = 0,120 m = - ±... = ± 927 197,8022 Pa.., Abaixo da L.N.: Q = Q 1 + Q 2 + Q 3 Q 1 = A 1. = 80. 60. 40 80 = 192 000. m³ Q 2 = A 2. = 160. 60. 30 80 = 480 000. m³ Q 3 = A 3. = 80. 60. 40 80 = 192 000. m³ Q 1 = Q 3 Q = 864 000. m³ b = 2. 60 = 120 mm = 0,120 m = - ±... = ± 927 197,8022 Pa.., 30) a) 751 kpa b) 927 kpa na superfície neutra dos apoios *** 31) Uma viga com 4 m de comprimento tem a seção transversal mostrada na figura. Ela é simplesmente apoiada nos extremos e suporta uma carga uniformemente distribuída de 4 kn/m sobre todo seu comprimento. Em um ponto a 500 mm da extremidade esquerda e 40 mm abaixo da superfície neutra, determine: (a) a tensão longitudinal (b) a tensão tangencial horizontal; (c) a tensão tangencial vertical.
55 R A + R B = 16 kn R A = R B = 8 kn V(x) = - 4x + 8 x = 0,5 m V(0,5) = - 4. 0,5 + 8 = 6 kn M(x) = - 2x² + 8x + C M(0) = 0 = - 2. 0 + 8. 0 + C => C = 0 => M(x) = - 2x² + 8x M(0,5) = - 2(0,5)² + 8. 0,5 = 3,5 kn.m Posição da Linha Neutra (L.N.) y i = 100 mm Cálculo do momento de inércia A 1 = 40. 180 = 7 200 mm² A 2 = 40. 120 = 4 800 mm² A 3 = 40. 180 = 7 200 mm² = 180 mm = 100 mm = 20 mm
I z = + + =. + A 1. =. + 7 200. 180 100 = 47 040 000. m 4 56 =. =. + A 2. = + A 3. =.. + 4 800. 100 100 = 5 760 000. m 4 + 7 200. 20 100 = 47 040 000. m 4 = => I z = 99 840 000. m 4 a) = -. => = -,.... = 1 402 243,59 Pa b) Cálculo abaixo da L.N. para a área abaixo de y = 40 mm = -.. Q = Q 1 + Q 2 Q 1 = A 1. = 20. 40. 50 100 = 40 000. m³ Q 2 = A 2. = 180. 40. 20 100 = 576 000. m³ Q = 616 000. m³
b = 40 mm = 0,040 m = -....., = - 925 480,7692 Pa 57 c) = 925 480,7692 Pa??????? Qual a diferença entre tensão tangencial horizontal e tensão tangencial vertical? 31) a) 1,402 MPa T b) 0,925 MPa c) 0,925 MPa 32) Para a viga mostrada, a reação esquerda é de 5,36 kn para cima. Determine: (a) a tensão longitudinal máxima da viga; (b) a tensão tangencial horizontal máxima. R A = 5,36 kn 5,36 + R C = 12 kn => R C = 6,,64 kn = 0 => - 6 6. 1,5 + 3. 6,64 + M = 0 => M = - 4,92 kn.m Diagrama:
Posição da Linha Neutra (L.N.) y i = 100 mm 58 Cálculo do momento de inércia A 1 = 50. 100 = 5 000 mm² A 2 = 50. 100 = 5 000 mm² A 3 = 50. 100 = 5 000 mm² = 175 mm = 100 mm = 25 mm I z = + + =. =. =. + A 1. = + A 2. = + A 3. =... + 5 000. 175 100 = 29 166 666,67. m 4 + 5 000. 100 100 = 4 166 666,667. m 4 + 5 000. 25 100 = 29 166 666,67. m 4 = => I z = 62 500 000,01. m 4 a) y i = y s Para o trecho 0 x <1: M máx = 4,36 kn.m = -. => = -,.. ±.,. = ± 6 975 999,999 Pa
Para o trecho 1 x <3: M máx = - 4,92 kn.m 59 = -. => = -,.. ±.,. = ± 7 871 999,999 Pa (resposta) b) V máx = - 6,64 kn = -.. Q = Q 1 + Q 2 Q 1 = A 1. = 100. 50. 175 100 = 375 000. m³ Q 2 = A 2. = 50. 50. 125 100 = 62 500. m³ Q = 437 500. m³ b = 50 mm = 0,050 m = -,...,.., = 929 599,9999 Pa 33) Uma viga T com 5 m de comprimento é simplesmente apoiada em suas extremidades e tem a seção transversal mostrada na figura. É especificado que a tensão longitudinal de tração não pode exceder 12 MPa e que a tensão tangencial horizontal não ultrapasse 0,7 MPa. Determine a carga concentrada para baixo máxima que pode ser aplicada a 3 m da extremidade direita.
60 R A + R B = P - 2P + 5. R B = 0 => R B = 0,4. P R A = 0,6. P Cálculo da Posição da Linha Neutra (L.N.) A T = 200. 75 + 200. 50 = 25 000 mm² A 1 = 200. 75 = 15 000 mm² A 2 = 200. 50 = 10 000 mm² = 150 mm = 25 mm y i =.. y s = 250 100 = 150 mm =.. = 100 mm Cálculo do momento de inércia I z = + =. =. + A 1. = + A 2. =.. + 15 000. 150 100 = 87 5000 000. m 4 + 10 000. 25 100 = 58 333 333,33. m 4
=> I z = 145 833 333,3. m 4 61 Cálculo das tensões abaixo da L.N.: = -. => 12. 10 6 = -,...,. => P = 14 583,33333 N V máx = 0,6. P = -.. Cálculo acima da L.N. Q = A. = 150. 75. 175 100 = 843 750. m³ b = 75 mm = 0,075 m 0,7. 10 6 = -,...,.., => P = 15 123,45679 N Cálculo abaixo da L.N. Q = Q 1 + Q 2 Q 1 = A 1. = 50. 75. 75 100 = 93 750. m³ Q 2 = A 2. = 200. 50. 25 100 = 750 000. m³ Q = 843 750. m³ b = 50 mm = 0,075 m 0,7. 10 6 = - Logo, P máx = 14 583,33333 N,...,.., => P = 15 123,45679 N
34) e 35) Para a viga com carregamento indicado, considerar a seção n n e determinar: (a) a maior tensão normal, e indicar onde ela ocorre; (b) a tensão de cisalhamento no ponto A; (c) a maior tensão de cisalhamento e indicar onde ela ocorre 62 34) R A = 36 kn - 36. 0,760 + M = 0 => M = 27,36 kn.m M z = - 0,600. 36 = - 21,6 kn.m y i = y s = 75 mm A 1 = 100. 8 = 800 mm² A 2 = 134. 8 = 1 072 mm² A 3 = 134. 8 = 1 072 mm² A 4 = 100. 8 = 800 mm² = 146 mm = 75 mm = 75 mm = 4 mm Cálculo do momento de inércia I z = + + + = = =. =. + A 1. = + A 2. =.. + 800. 146 75 = 4 037 066,667. m 4 + 1 072. 75 75 = 1 604 069,333. m 4
=> I z = 11 282 272. m 4 63 Como a seção é simétrica, e a área interna é concêntrica com a área externa, este cálculo apresentaria o mesmo resultado subtraíndo-se - :. -. = 11 282 272. m 4 = -. = -,.. ±.. = ± 143 588 100 Pa (no topo ou na base da seção) b) V(0,160) = 36 kn = -.. Q = A. = 100. 8. 146 75 = 56 800. m³ b = 2. 8 mm = 0,016 m = -... = 11 327 505,67 Pa.., c) Cálculo acima da L.N. Q = Q 1 + Q 2 + Q 3 Q 1 = A 1. = 8. 100. 146 75 = 56 800. m³ Q 2 = A 2. = 8. 67. 108,5 75 = 17 956. m³ Q 3 = Q 2 = 17 956. m³ Q = 92 712. m³
Como a seção é simétrica, e a área interna é concêntrica com a área externa, este cálculo apresentaria o mesmo resultado subtraíndo-se - : 64 75. 100. 112,5 75-84. 67. 108,5 75 = 92 712. m³ b = 2. 8 mm = 0,016 m = -....., = 18 489 361,01 Pa (ocorre na L.N.) 35) R A = R B = 80 kn Para 0 x < 0,9: V(x) = 80 kn M(x) = 80x M z = M(0,6) = 80. 0,6 = 48 kn.m y i = y s = 130 mm A 1 = A 2 = A 7 = A 8 = 80. 12 = 960 mm² A 3 = A 6 = 180. 16 = 2 880 mm² A 4 = A 5 = 68. 16 = 1 088 mm² = = 220 mm = 172 mm
= = 130 mm = 88 mm 65 = = 40 mm Cálculo do momento de inércia I z = + + + + + + + = = = = = I z = 4. + 2. + 2. =. =. =. + A 1. = + A 3. = + A 4. =... + 960. 220 130 = 8 288 000. m 4 + 2 880. 172 130 = 5 141 760. m 4 + 1 088. 130 130 = 419 242,6667. m 4 => I z = 44 274 005,33. m 4 = -. = -.. ±.,. = ± 140 940 489,9 Pa (no topo ou na base da seção) b) V(0,6) = 80 kn = -.. Cálculo acima da L.N. Q = 2. Q 1
Q = 2. A. = 2. 80. 12. 220 130 = 172 800. m³ b = 2. 12 mm = 0,024 m 66 = -...,.., = 13 009 891,37 Pa c) Cálculo acima da L.N. Q = Q 1 + Q 2 + Q 3 + Q 4 + Q 5 Q 1 = Q 2 Q 4 = Q 5 Q = 2. Q 1 + Q 3 + 2. Q 4 Q 1 = A 1. = 12. 80. 220 130 = 86 400. m³ Q 3 = A 3. = 16. 180. 172 130 = 120 960. m³ Q 4 = A 4. = 34. 16. 147 130 = 9 248. m³ Q = 312 256. m³ b = 2. 16 mm = 0,032 m = -...,.., = 17 632 016,67 Pa (ocorre na L.N.) PROBLEMAS ENVOLVENDO COMBINAÇÃO DE CARREGAMENTO *** 36) a alavanca AB tem uma seção transversal retangular de 10 x 30 mm. Sabendo-se que θ = 40º, determinar as tensões normal e de cisalhamento nos três pontos indicados (a, b e c).
67 1 780. sen(40 ). 0,125 = M => M = 222,5. sen(40 ) N.m M = M = M = M = 1 780. sen(40 ). 0,100 = 178. sen(40 ) N.m N = 1 780. cos(40 ) N y i = 15 mm (posição da L.N.) = -. ; =.. ; Q = A. V = 1 780. sen(40 ) ; b = 0,010 m I z = = = -. = 22 500. m.,.. A = 0 => = 0 +.., m 4. = 80 822 660,05 Pa =, = 40 4111 330,03 Pa R = á =, + 0 = 40 411 330,03 Pa á = + R = 80 822 660,05 Pa í = - R = 0
68. = +, = -...... = 4 545 197,029 Pa Q = 0,010. 0,015. 0,0075 = 1,125. m³ = -..,..., = - 5 720 809,726 Pa =, = 2 272 598,515 Pa R = á = 2 272 598,515 + 5 720 809,726 = 6 155 677,699 Pa
á = + R = 8 428 276,214 Pa 69 í = - R = - 3 883 079,,184 Pa sen =,, => = 34,16724521 (anti-horário) = = -.,.. A = 0 => = 0 +..,. = - 71 732 265,99 Pa =, R = á = 35 866 133 Pa = - 35 866 133 Pa
á = + R = 0 70 í = - R = - 71 732 265,99 Pa Acredito que a resposta da lista considera apenas as tensões normais e cisalhantes separadamente, sem calcular as tensões máximas. Além disso, os valores parciais encontrados diferem um pouco das respostas. Possivelmente foram feitas muitas aproximações. 36) σa = 80,85 MPa T τa = 0 σb = 4,55 MPa T τb = 5,70 MPa σc = 71,8 MPa C τc = 0 *** 37) O eixo mecânico de um automóvel é feito para suportar as forças e o torque mostrado. Sabendo-se que o diâmetro do eixo é de 30 mm, determinar as tensões normal e de cisalhamento no: (a) ponto H; (b) ponto K.
71 N = 0 V y = ; V z = 0 T = - 2 800 N.m M y = 0 M z = - 2 700. 0,350 + 2 700. 0,200 = - 405 N.m I z = I y = =, A T = = 0,015 = + + a) Para o ponto H: = 0 -.,, +., = - 152 788 745,4 Pa =,.. =,., = = + = + 0 = - 528 158 626 Pa, => = - 528 158 626 Pa
72 R = á = 533,6549769 MPa á = - 610,049349,6 Pa Para o ponto K: = 0 +., +.,, = 0 =,.. = = =>,.,, = 528 158 626 Pa = + = + 0 = 528 158 626 Pa De acordo com o desenho, que não está muito claro, como as forças em y estão equilibradas, não existe força cortante em y no ponto k. Logo, V y = 0 =.. = 0
Através do circulo de Mohr, á = á = 528 158 626 Pa Acredito que a resposta da lista está errada. 73 37) H: σx = 151 MPa C σz = 0 τxz = 527 MPa K: σx = σy = 0 τxy = 527 MPa *** 38) Uma mola é feita de um arame circular de raio c, formando uma hélice de raio R. Determinar a máxima tensão de cisalhamento produzida pelas forças P e P, iguais e opostas. (Sugestão: determinar inicialmente a força cortante V e o torçor T numa seção transversal.) V = P T = P. 2R = -.. I = = = -.,... M = T = 2PR Para o ponto A: = + Q = 0 => = 0
= = = -,.. = = - 74 = = - R = 4 + 4.. = = á á = + R = -.. + = í = - R = -.. - = sen = => = 22,5 (anti-horário)
75 Para o ponto B: = + Q = =. = 0...... = +. =. +.,....,...,.. = =,.. á = á = A lista não apresentou a resposta para esta questão.
*** 39) Várias forças são aplicadas ao tubo mostrado. Sabendo-se que o tubo tem diâmetro, interno e externo, de 40 mm e 48 mm, respectivamente, determinar as tensões normal e de cisalhamento no: (a) ponto H; (b) ponto K. 76 N = 660 N ; V y = 0 ; V z = 0 T = 880. 0,250 = 220 N.m M y = 660. 0,100 + 220. 0,250 880. 0,250 = - 99 N.m M z = - 660. 0,250 = - 165 N.m I z = I y =,, = 1,349125549. m 4 = - + Para o ponto H: =,, -.,,. +.,. => = 30 546 008,14 Pa =.,,..,, = 19 568 230,71 Pa = + = + 0 = => = 19 568 230,71 Pa =, = 15 273 004,07 Pa
77 R = á = 15 273 004,07 + 19 568 230,71 = 24 822 979,4 Pa á = + R = 40 095 983,47 Pa í = - R = - 9 549 975,33 Pa sen =,, => = 26,01398101 (horário) Para o ponto K: =,, -.,. +.,,. => = - 16 417 745,57 Pa =.,,..,, = 19 568 230,71 Pa = + = + 0 = => = 19 568 230,71 Pa
78, = = - 8 208 872,783 Pa R = á = 8 208 872,783 + 19 568 230,71 = 21 220 302,67 Pa á = + R = 13 011 429,89 Pa í = - R = - 29 429 175,45 Pa sen =,, => = 33,6209754 (anti-horário) Obs: As respostas da lista não são as tensões máximas: H: σx = 30,5 MPa T σz = 0 τxz = 19,56 MPa K: σx = 16,4 MPa C σy = 0 τxy = 19,56 MPa
79 Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr.
80 Figura: Slide do Prof. Alberto B. Vieira Jr.
40) e 41) Os eixos maciços são carregados como mostrado nas figuras. Determine, e mostre num esboço, as tensões principais e a tensão tangencial máxima no ponto A da superfície do eixo. 81 40) Como V z, ao flexionar a barra em torno de y, causa uma tração no ponto A, a convenção de sinais deve ser de forma que seja positivo. Ou seja, sentido anti-horário como positivo. N = - 80 000 N ; V y = 0 ; V z = 10 000 N T = - 0,600. 10. 10³ = - 6 000 N.m M y = 0,900. 10. 10³ = 9 000 N.m M z = 0 O sinal do torque T tem que seguir a mesma convenção para os sinais de M y e M z. I z = I y = =, = + + Para o ponto A: = +.,, +.,, => = 81 487 330,86 Pa =,.. =,.., = - 30 557 749,07 Pa = + = + 0 = => = - 30 557 749,07 Pa A representação das tensões de cizalhamento, do estado de tensão, deve seguir a mesma convenção.
82, = = 40 743 665,43 Pa R = á = 40 743 665,43 + 30 557 749,07 = 50 929 581,79 Pa á = + R = 91 673 247,22 Pa í = - R = - 10 185 916,36 Pa sen =,, => = 18,43494882 (anti-horário)
41) 83 Como V z, ao flexionar a barra em torno de y, causa uma tração no pontoo A, a convenção de sinais deve ser de forma que seja positivo. Ou seja, sentido anti-horário como positivo. N = - 60 000 N ; V y = 0 ; V z = - 5 000 N e 3 000 N T = - 0,100. 5 000 0,100. 3 000 = - 800 N.m M y = 5 000. 2 3 000. 2 = 4 000 N.m M z = 0 O sinal do torque T tem que seguir a mesma convenção para os sinais de M y e M z. I z = I y = =, = + + Para o ponto A: = +.,, +.,, => = 295 391 574,4 Pa =,.. =,.., = - 32 594 932,35 Pa = + = + 0 = => = - 32 594 932,35 Pa A representação das tensões de cizalhamento, do estado de tensão, devee seguir a mesma convenção.
, = = 147 695 787,2 Pa R = á = 147 695 787,2 + 32 594 932,35 = 151 249 711,3 Pa 84 á = + R = 298 945 498,5 Pa í = - R = - 3 553 924,,1 Pa sen =,, => = 6,222551599 (anti-horário) *** 42) Uma barra de aço de 50 mm de diâmetro está carregada como mostrado na figura. Determine, e mostre num esboço, a tensão principal máxima no topo da superfície adjacente ao apoio.
85 Como V y, ao flexionar a barra em torno de z, causa uma tração no ponto superior, a convenção de sinais deve ser de forma que seja positivo. Ou seja, sentido horário como positivo. N = 15 000 N ; V y = - 5000 N ; V z = 0 T = 1 200 N.m M y = 0 M z = 500. 0,900 = 450 N.m O sinal do torque T tem que seguir a mesma convenção para os sinais de M y e M z. I z = I y = =, = + + Para o ponto: =.,, +, => = 44 308 736,16 Pa =,.. =,.., = 48 892 398,52 Pa = + = + 0 = => = 48 892 398,52 Pa A representação das tensões de cizalhamento, do estado de tensão, devee seguir a mesma convenção. =, = 22 154 368,08 Pa
R = á = 22 154 368,08 + 48 892 398,52 = 53 677 580,59 Pa á = + R = 75 831 948,67 Pa 86 í = - R = - 31 523 212,51 Pa sen =,, => = 32,81176569 (horário) Na resposta da lista tem anti-horário. Isso seria válido para um torque negativo. Mas, o torque tem que ser positivo de acordo com a convenção adotada. *** 43) O eixo circular maciço de aço está submetido aos torques e cargas indicados. Determine, e mostre num esboço, as tensões principais e a tensão tangencial máxima nos pontos: (a) A; (b) B.
87 a) Como V z, ao flexionar a barra em torno de y, causa uma compressãoo no ponto A, a convenção de sinais deve ser de forma que seja negativo. Ou seja, sentido horário como negativo. N = 8 000. N ; V y = 0; V z = 500. N T = - 5 000. + 3 000. = - 2 000. N.m M y = - 1,5. 500. = - 750. N.m M z = 0 O sinal do torque T tem que seguir a mesma convenção para os sinais de M y e M z. I z = I y = =, = + + =...,, -, => = - 20 800 000 Pa =,.. =.,.., = - 32 000 000 Pa = + = + 0 = => = - 32 000 000 Pa A representação das tensões de cizalhamento, do estado de tensão, devee seguir a mesma convenção. = = - 10 400 000 Pa
R = á = 10 400 000 + 32 000 000 = 33 647 585,35 Pa á = + R = 23 247 585,35 Pa 88 í = - R = - 44 047 585,35 Pa sen =, => = 35,9979192 (horário) b). = + 0 + 0 =>, = 3 200 000 Pa
=,.. =.,.., = - 32 000 000 Pa 89 =.. Q = A. =.. = =, 500..,., = 266 666,6667 Pa = + = - 32 000 000 + 266 666,6667 => = - 31 733 333,33 Pa A representação das tensões de cizalhamento, do estado de tensão, devee seguir a mesma convenção. = = 1 600 0000 Pa R = á = 3 200 000 + 31 733 333,33 = 31 773 643,86 Pa á = + R = 33 373 643,86 Pa í = - R = - 30 173 643,86 Pa sen =,, => = 43,55679075 (anti-horário) O resultado da lista deu diferente. Mas, pelos cálculos, = 1 600 000 Pa coincide. Então, a diferença está no = - 31 733 333,33 Pa. Como o torque não variou em relação à letra a (cuja resposta foi igual à da lista), o erro está no cálculo do = 266 666,,6667 Pa. Porém, acredito que meus cálculos estejam corretos.
90 43) b) σ1 = 33,1 MPa T σ2 = 29,9 MPa C σ3 = 0 τmáx = 31,5 MPa θp = 43,5º *** 44) Sabendo-se que nos pontos A e B, sobre o eixo da figura, as tensões normal e tangencial são limitadas a 90 MPa T e 60 MPa, respectivamente. Determine o valor máximo permissível de P.
91,á =,á = 90. 10 6 Pa,á =,á = 60. 10 6 Pa P =? Convenção de sinais: sentido horário positivo para o ponto A e negativo para o ponto B N = 8P ; V y = P ; V z = 0 T = 0,200. P M y = 0,200. 8P = 1,6. P M z = 0,400. P O sinal do torque T tem que seguir a mesma convenção para os sinais de M y e M z. I z = I y = =, = + + Para o ponto A: = =,..,, +, +,.. => =.,,., => = 5 092,958179. P,.., + =>, =,.. =,.,.., = 1 018,591636. P = + = + 0 = => = 1 018,591636. P Para o ponto B:
=,.., + +,..,, => =,.., +, => 92 =.,,., => = 17 316,05781. P = + = -.. Q = A. = = -.,,.,.. = = - 169,7652726. P = - 1 018,591636. P - 169,7652726. P => = - 1 188,356909. P No ponto B, a força P em V y e o torque T apresentam o mesmo sentido. Logo, devem ter o mesmo sinal que, no caso, deve ser o de T, que já foi convencionado negativo no início dos cálculos. Como as tensões foram maiores no ponto B, utiliza-se esses valores pra o círculo de Mohr. =,.. = 8,658028905.. P R = á = 8,658028905. 10. P + 1 188,356909. P = 8,73920229. 10 3. P
á = + R = 17,3972312. 10 3. P 60. 10 6 = 8,73920229. 10 3. P => P = 6 865,615191 N (não serve) 93 90. 10 6 = 17,3972312. 10 3. P => P = 5 173,236992 N = P adm Resp da lista: 5199 N 45) Sabendo-se que o tubo estrutural mostrado tem uma espessura da parede uniforme de 6 mm, determinar a tensão de cisalhamento em cada um dos três pontos indicados (a, b e c). V y = - 40 000 N Posição da L.N.: y i = y s = 30 mm I z =. -. T = 40 000. 0,047 = 1 880 N.m =. =.,.,., = 988 992. m 4 = 30 864 197,53 Pa Para o ponto a: = + = -. b = 0,006. 2 = 0,012 m Q = A..,.,.,,.,., = = 0,022135135 m.,.,,., Q = (2. 0,006. 0,030 + 0,088. 0,006). 0,022135135 = 19,65599988. m³ = -.,..., + 30 864 197,53 = 97 113 469,11 Pa
Para o ponto b: = + 94 = -. b = 0,006. 2 = 0,012 m Q = A. = 0,027 m Q = (0,100. 0,006). 0,027 = 16,2. m³ = -.,..., + 30 864 197,53 = 85 465 245,87 Pa Para o ponto c: = + => = 0 + => = 30 864 197,53 Pa 45) τa = 97,1 MPa τb = 85,5 MPa τc = 30,9 MPa