EAM 301 TOPOGRAFIA BÁSICA (Notas de Aula - Teoria e Prática)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL SETOR DE ENGENHARIA DE AGRIMENSURA EAM 301 TOPOGRAFIA BÁSICA (Notas de Aula - Teoria e Prática) Prof. Fernando Alves Pinto Viçosa - MG 2007

SUMÁRIO TEÓRICA Aula 01 INTRODUÇÃO, CONCEITO, OBJETIVOS 02 Aula 02 SISTEMAS DE COORDENADAS 04 Aula 03 MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 07 Aula 04 BÚSSOLAS 12 Aula 05 MEDIÇÃO DE DISTÂNCIAS 17 Aula 06 LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 24 Aula 07 LEVANTAMENTO POR ORDENADAS 29 Aula 08 CAMINHAMENTO PELOS ÂNGULOS DE DEFLEXÕES 33 Aula 09 OPERAÇÕES TOPOGRÁFICAS DE ESCRITÓRIO 38 Aula 10 COORDENADAS RETANGULARES 46 Aula 11 ALTIMETRIA 52 Aula 12 NIVELAMENTO GEOMÉTRICO SIMPLES 58 Aula 13 REFERÊNCIAS DE NÍVEL (RNs) 62 Aula 14 NIVELAMENTO TRIGONOMÉTRICO 64 PRÁTICA Aula 01 GONIOLOGIA 01 Aula 02 ÓRGÃOS E PARTES COMPONENTES DOS GONIÔMETROS (Teodolitos) 06 Aula 03 MANEJO COM OS TEODOLITOS: Medição dos ângulos internos de um triângulo 09 Aula 04 MANEJO COM OS TEODOLITOS: Medição de Azimutes 11 Aula 05 MEDIÇÃO INDIRETA DE DISTÂNCIAS ( ESTADIMETRIA) 14 Aula 06 LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO POR IRRADIAÇÃO 15 Aula 07 Trabalho LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO POR CAMINHAMENTO POR MEIO DE ÂNGULOS HORÁRIOS EXECUÇÃO DO TRABALHO PRÁTICO: LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO PLANI-ALTIMÉTRICO 17 19 Aula 10 DETERMINAÇÃO DE ÁREAS 22 Aula 11 PRÁTICA DE MANEJO COM OS NÍVEIS DE LUNETA 26 Aula 12 NIVELAMENTO GEOMÉTRICO 28 Aula 13 NIVELAMENTO GEOMÉTRICO COMPOSTO 33

EAM 301: TOPOGRAFIA BÁSICA - teórica 01 Literatura: 01 - Topografia: planimetria José A. Comastri 02 - Topografia: altimetria José A. Comastri, José C. Tuler 03 Notas de aulas Avaliação: Prova 1-25% - 25/09/07 Prova 2-30% - 30/10/07 Prova 3-30% - 04/12/07 Trabalho Prático - 15% INTRODUÇÃO: Para a execução dos trabalhos de engenharia, torna-se necessário conhecer as características da superfície do terreno tais como elevações, depressões, posição dos acidentes, bem como o contorno do terreno. Isso levou o homem a utilizar a Topografia. CONCEITO: A Topografia consiste em representar, em projeção horizontal, as dimensões, o contorno e a posição relativa de uma parte da superfície terrestre, apresentando a sua área e posição altimétrica. APLICAÇÕES: Os conhecimentos da topografia são utilizados nas mais diversas áreas, como por exemplo: Engenharia Civil Locação de obras, projeto geométrico de estradas; Agronomia - Planejamento agropecuário, conservação de solos; Arquitetura - Planejamento de obras, planejamento paisagístico, de parques; Engenharia Ambiental Planejamento de sistemas de esgoto, drenagem; Engenharia Florestal - Planejamento florestal, inventário; 2

Zootecnia - Avaliação e divisão de áreas de pastagem. OBJETIVO: Planta topográfica - corresponde ao desenho do terreno Esboço de uma planta: NM Orientação magnética Limites da propriedade 10 20 Curva de nível 30 Convenções Identificação ESCALA 1::n Levantamento Topográfico É um conjunto de operações realizadas no campo e escritório, utilizando processos e instrumentos adequados para a obtenção de todos os elementos necessários à elaboração da planta. Etapa de campo: medição de ângulos e de distâncias Etapa de escritório: preparo dos dados obtidos para a confecção da planta Tipos de Levantamento: * Planimétrico * Altimétrico * Plani-altimétrico 3

EAM 301: TOPOGRAFIA BÁSICA - teórica 02 Sistemas de Coordenadas Os sistemas de coordenadas são necessários para expressar a posição de pontos sobre uma superfície, seja ela um elipsóide, esfera ou um plano. Para o plano, um sistema de coordenadas cartesianas X e Y é usualmente empregado. Para a esfera terrestre usualmente empregamos um sistema de coordenadas cartesiano e curvilíneo representado pelos Meridianos e Paralelos. * Meridianos: São planos que passam pelo eixo da terra e interceptam sua superfície segundo um círculo, supondo-a esférica. O meridiano de origem é o de Greenwich (0 o ). * Paralelos: São planos perpendiculares ao eixo terrestre. O paralelo de origem é o equador terrestre. Os planos meridianos definem a longitude e os paralelos a latitude. Coordenadas de Viçosa : Latitude: 20 o 45 S Longitude: 42 o 52 W Altitude: 650 m (pelo fato de a superfície ser irregular) Plano Topográfico - Em Topografia, como as áreas são relativamente pequenas as projeções dos pontos são feitas no plano topográfico. O plano topográfico é um plano horizontal tangente à superfície terrestre, num ponto que esteja situado dentro da área a ser levantada. Ao substituir a forma da terra, considerada esférica, pelo plano topográfico comete-se um erro denominado erro de esfericidade. R A B Plano Topográfico F Superfície Terrestre C 4

Determinação do erro de esfericidade: O erro de esfericidade corresponde à diferença entre os comprimentos do segmento AB e do arco AF representados na figura anterior. e = AB - AF AB = R tg (conforme se observa na figura anterior) Determinação de AF 2πR ------ 360 o AF ------ R AF = π α R 180 o e = R tgα - π α 180 o Se considerarmos um ângulo central = 1 o 6.366.193m teremos: e utilizando um raio médio de AB = 111.122 m e AF = 111.111 m erro de esfericidade = 11 m Se fizermos os mesmos cálculos considerando um ângulo central = 30, teremos: AB = 55.556,9m e AF = 55.555,5m resultando em e = 1,4m Observação: Em Topografia, o erro de 1,4m para uma distância em torno de 55 km, pode ser considerado insignificante. Por essa razão, em vez de corrigir o erro ocasionado pela esfericidade terrestre, procura-se limitar a extensão do terreno a ser levantado pelos recursos da Topografia a uma área correspondente à de um círculo de raio inferior a 50 km. Considerando esse raio, a extensão é de aproximadamente 785.398 hectares. As propriedades agrícolas, de modo geral, não atingem essa área. a) De natureza linear: UNIDADES DE MEDIDA - Sistema métrico decimal (SMD): o metro e seus derivados - Sistema antigo brasileiro de pesos e medidas: braça = 2,2 m légua = 6600 m pé = 33 cm 5

palmo = 22 cm b) - De natureza angular: Sistema sexagesimal (graus, minutos e segundos) Sistema centesimal (grados) c) - De superfície: - Sistema métrico decimal: m 2 Unidades agrárias: hectare, are e centiare hectare (ha) = 10.000m 2 are (a) = 100 m 2 centiare (ca) = 1 m 2 - Sistema antigo brasileiro de pesos e medidas: (SABPM) Neste sistema a unidade principal é o alqueire, que é derivado da braça e tem variações regionais. Utiliza-se ainda, a quarta (1/4 do alqueire), o prato (968 m 2 ) e o litro (605 m 2 ). Principais tipos de alqueire: Dimensões (braças) SABPM SMD (m 2 ) Unidade Agrária (ha) 50 x 50 20 litros 12.100 1,2100 100 x 100 80 litros 48.400 4,8400 50 x 75 30 litros 18.150 1,8150 80 x 80 32 pratos 30.976 3,0976 50 x 100 40 litros 24.200 2,4200 200 x 200 320 litros 193.600 19,3600 Obs.: O alqueire de 100 x 100 braças é denominado geométrico ou mineiro e o de 50 x 100 braças denominado paulista. exemplos de conversão: fazer conversão de áreas do sistema antigo para o sistema métrico decimal e vice-versa. 6

EAM 301: TOPOGRAFIA BÁSICA - teórica 03 MEDIÇÃO DE ÂNGULOS Introdução: Os trabalhos de campo de um levantamento topográfico se baseiam, principalmente, na medição de ângulos e distâncias. Dependendo do equipamento e técnica empregados na obtenção dessas grandezas, ter-se-á um levantamento de maior ou menor precisão. Os ângulos medidos podem ser horizontais e de inclinação. a) - ângulos horizontais - são ângulos diedros medidos no plano horizontal, limitados por dois planos verticais, cuja aresta é a vertical do ponto. O ângulo representa uma porção do plano horizontal limitada por duas semi-retas (lados) que tem a mesma origem (vértice). B A, B, C = vértices A = origem do ângulo a = ângulo horizontal A a C Obs. Os pontos A, B e C são denominados pontos topográficos. O ponto aonde se instala o instrumento de medição é denominado estação. Materialização de um ponto topográfico: A materialização do ponto topográfico é feita por meio de um piquete e de uma estaca, geralmente de madeira. O piquete, após ser cravado no terreno, deve ter sua parte superior a uma altura de 1 a 2 cm em relação à superfície. A estaca é utilizada para a identificação do ponto. Na medição do ângulo utiliza-se, ainda, uma baliza para assinalar o ponto topográfico sobre o piquete. materialização do ponto A: baliza - estacas - piquetes estaca piquete - balizas seção. transversal do piquete 7

b) - ângulos de inclinação do terreno: No plano vertical, os ângulos são medidos a partir de uma origem que é fixada pelo fabricante do instrumento. Obs: 1) Quando a origem de contagem do ângulo é num plano horizontal, o ângulo é denominado vertical. Se a linha de visada for ascendente o ângulo será positivo, se for descendente, o ângulo será negativo. Nesse caso, o ângulo pode variar de 0 a 90 o. 1 (+) 0 PH 2) Quando a origem de contagem corresponde à vertical do ponto o ângulo é chamado zenital. O ângulo é sempre positivo e varia de 0 a 180 o. Quando se utiliza o instrumento com a luneta na posição invertida o ângulo zenital pode atingir até 360 o. Vertical de 0 1 Z 0 Conversão de ângulos zenitais para verticais: (esquematizar) V = 90 o - Z V = Z - 270 o 0 o Z 180 o 180 o Z 360 o (luneta na posição invertida) Finalidades do ângulo de inclinação: O ângulo de inclinação do terreno é usado para obter a distância horizontal (dr) e para o cálculo dos desníveis entre pontos topográficos (dn). (esquematizar) 8

BÚSSOLAS 1 - Conceito: São instrumentos utilizados para determinar o ângulo horizontal formado entre o alinhamento do terreno e a direção do meridiano magnético. Meridiano magnético é uma linha imaginária que une um ponto da superfície aos polos norte e sul magnéticos. MM B A α Constituição: As bússolas são constituídas de uma agulha imantada que tem sua parte central repousada sobre um pivô localizado no centro de um limbo graduado. Esse conjunto vem acondicionado em uma caixa anti-magnética. Obs.: Recomenda-se que, quando o instrumento não estiver em serviço, o movimento da agulha imantada seja bloqueado, evitando danificar tanto a parte central da agulha quanto a ponta do pivô. proteção transparente N pivô S agulha imantada N LIMBO O E estojo anti-magnético S Por influência do magnetismo terrestre, a agulha magnética, quando se encontra na posição de equilíbrio, se orienta sempre na direção dos polos magnéticos. O prolongamento de uma linha imaginária que passa pelo eixo longitudinal da agulha imantada recebe o nome de meridiano magnético. 9

2 - Azimutes e Rumos magnéticos O limbo da bússola pode vir graduado de 0 a 360 o ou vir dividido em quadrantes. Azimutes magnéticos: são ângulos horizontais que têm origem na ponta norte do meridiano magnético e são contados no sentido horário. Os ângulos podem variar de 0 a 360 o. Rumos magnéticos: são, também, ângulos horizontais, porém podem ter origem tanto na ponta norte como na ponta sul do meridiano magnético, variando de 0 a 90 o. AZIMUTE MAGNÉTICO N 0 RUMO MAGNÉTICO N 0 270 90 O 90 90 E 180 S 0 S A linha imaginária que passa pelos pontos N e S do limbo da bússola é chamada de linha de fé. A linha de visada dos pontos topográficos coincide com a linha de fé. Observação: Como a agulha imantada permanece fixa na direção do meridiano magnético, quando se aponta a bússola para uma dada direção o elemento que gira é o limbo da mesma, juntamente com a luneta. Por este motivo, as graduações apresentadas nos limbos utilizados para registrarem azimutes são no sentido anti-horário. Pelo mesmo motivo, nas bússolas que têm o limbo dividido em quadrantes as posições dos pontos E e O devem estar invertidas para que a ponta que indica a posição do norte magnético possa indicar o quadrante em que se encontra o alinhamento do terreno. Obs.: Esquematizar as inversões. 10

3) - Inversão das graduações dos limbos Direção do Norte Magnético Direção do Norte Magnético E RUMO AB 70 o 00 NE B 90 AZIMUTE AB 70 o 00 B N 0 S A 180 A O 270 Observando a figura anterior nota-se que, apesar de os rumos serem contados a partir da ponta norte da agulha, em sentido horário, a graduação do limbo esquematizado está no sentido anti-horário e os pontos cardeias E e O estão invertidos. Isto é feito para facilitar a leitura, por parte do operador, uma vez que a agulha fica fixa apontando a direção norte e a parte do instrumento que gira é o limbo juntamente com a luneta. Este mesmo artifício é utilizado para o caso dos azimutes. 4) Conversão de Azimutes em Rumos: Azimutes Rumos 0 a 90 o Rm = Az (quadrante NE) 90 a 180 o Rm = 180 o - Az (quadrante SE) 180 a 270 o Rm = Az - 180 o (quadrante SO) 270 a 360 o Rm = 360 o - Az (quadrante NO) 11

EAM 301: TOPOGRAFIA BÁSICA - teórica 04 BÚSSOLAS Medição de ângulos horizontais com bússolas a) Quando as bússolas estãograduadas para medir Azimutes (esquematizar) a1) - A agulha da bússola fica fora dos lados do ângulo a2) - A agulha da bússola fica entre os lados do ângulo a3) - Pontos inacessíveis b) - Quando graduadas para medir Rumos (esquematizar) b1) - A agulha da bússola fica fora dos lados do ângulo b2) - A agulha da bússola fica entre os lados do ângulo b3) - Pontos inacessíveis Declinação Magnética Como os polos geográficos, de modo geral, não coincidem com os polos magnéticos, há um desvio do meridiano magnético em relação ao geográfico. O ângulo compreendido entre esses dois meridianos é denominado declinação magnética. 1)Tipos de declinação: A posição do norte magnético pode estar à esquerda, à direita ou mesmo coincidir com a posição do norte geográfico. Dessa forma, tem-se três tipos de declinação magnética, exemplificados abaixo: NM NV NV NM NV=NM Ocidental (do) Oriental (de) ou negativa (-) ou positiva (+) Nula 12

Atualmente, em grande parte do território brasileiro, a direção norte, dada pela agulha imantada, se encontra à esquerda do norte verdadeiro, ou seja, a declinação é ocidental. Em Viçosa, atualmente, o valor da declinação está em torno de 23 o ocidental. 2) Variação da declinação magnética: a) Geográficas: A declinação magnética varia com a posição geográfica em que é observada. Para cada lugar existirá uma declinação diferente para cada época do ano. Os pontos da superfície que têm o mesmo valor de declinação num determinado instante, se unidos formam as linhas isogônicas, originando os mapas isogônicos. Os pontos da superfície que têm a mesma variação anual de declinação são mostrados em mapas denominados isopóricos. Os mapas isogônicos e isopóricos são publicados periodicamente pelos observatórios astronômicos. b) Seculares: São aquelas observadas no decorrer dos séculos, em que o polo norte magnético se movimenta ao redor do polo norte geográfico. Já foram observadas variações de 25 o oriental até 25 o ocidental. c) Locais: São perturbações ocasionadas por presença ou proximidade de algum material metálico, linhas de transmissão de energia, etc. Distâncias mínimas a serem observadas nas operações com bússolas: - linha de alta tensão ----------> 140 m - linha telefônica ----------> 40 m - cerca de arame farpado -----> 10 m 13

Determinação da declinação magnética A declinação magnética pode ser determinada por diversos métodos. Dentre eles podese citar um método direto que consiste na determinação no próprio local, a partir das alturas correspondentes do sol e, um método indireto em que a declinação é obtida a partir dos mapas isogônicos e isopóricos. Esses mapas são editados periodicamente pelo Observatório Nacional. Obtenção da declinação magnética por meio de mapas Exemplo: Declinação magnética de Viçosa, para o no de 2007. Dados: coordenadas de Viçosa - Latitude: 20 o 45 S - Longitude: 42 o 52 W ano de confecção dos mapas: 1985 Abaixo é apresentada uma figura contendo linhas isogônicas e isopóricas, aonde é mostrada, esquematicamente, a posição de Viçosa a partir dos valores de suas coordenadas. 5cm 20 o 45 o 40 o - 6-5 - 4 Interpolacão Local. da longitude 5 o ----------> 5 cm 2 o 52 ------> x x= 2,9 cm 4,8 cm Local. da latitude 5 o ---------->4,8 cm 45 ----------> y y= 0,7 cm 25 o -21 o -22 o - 23 o linha isopórica (mesma variação anual) linha isogônica (mesma declinação) 14

Procedimento para determinação da declinação: a) Localização de Viçosa nos mapas a partir das coordenadas. As coordenadas de Viçosa estão localizadas 2,9 cm à esquerda do meridiano de 40 o (longitude) e 0,7 cm abaixo do paralelo de 20 o (latitude), conforme mostrado na página anterior, ao lado do mapa. b) Determinação da declinação de Viçosa, no mapa isogônico, para a época de confecção do mesmo. Em 1985 Viçosa tinha declinação entre -21 o e -22 o. Passando uma linha horizontal sobre o ponto correspondente à posição de Viçosa, mede-se a distância entre uma linha isogônica e a outra, neste caso, encontra-se 1,6 cm. A partir daí pode-se determinar o valor da declinação considerando-se o afastamento do ponto em relação à linha isogônica de 21 o. 1,6 cm -------> 1 o 1,1 cm -------> x x = 0,6875 o = 41 1,1cm é a dist. entre o ponto considerado e a linha isogônica -21 o Viçosa apresentava, portanto, uma declinação magnética de -21 o 41 no ano de 1985. c) - Determinação da variação anual da declinação magnética em Viçosa. À semelhança do caso anterior, obtem-se, por interpolação, no mapa isopórico: 2,4cm -------> 1 0,7cm -------> y y = 0,29 2,4 cm é a dist. entre as linhas isopóricas de 5 e 6 e 0,7 cm o afastamento do ponto à esquerda da linha isopórica de 5'. Portanto, a variação anual da declinação magnética em Viçosa é 5,29'. d) - Determinação da variação da declinação magnética de 1985 a 2007. A variação no período corresponde a, aproximadamente, 116, isto é, 5,29 minutos/ano x 22 anos. e) - Declinação magnética em Viçosa no ano de 2006 = 21 o 41 + 116 = -23 o 37. O sinal negativo é convencional, significando que a declinação é ocidental. 15

Correção de Rumos e azimutes RUMOS: Rmv = Rm + declinação magnética Obs.: o sinal + ou - vai depender do quadrante do rumo magnético e do tipo da declinação. N O + do - do - de +de - do + do + de - de E S Exemplos numéricos: a) Rm = 45 o NE b) Rm = 15 o NE do = 19 o do = 19 o Rv = 45 o - 19 o = 26 o NE Rv = 15 o NE- 19 o = -04 o NE = 04 o NO NM NV B B NM NV A A AZIMUTES: Azv = Azm - do Azv = Azm + de (fazer esquemas) Observação: O conhecimento do valor da declinação magnética local é de grande interesse, principalmente nos trabalhos de locação. (mostrar exemplos). 16

EAM 301: TOPOGRAFIA BÁSICA - teórica 05 Medição de Distâncias Num levantamento topográfico, além de ângulos horizontais e de inclinação é necessário obter a distância que separa os pontos que caracterizam a superfície do terreno. Considere a figura abaixo: B α A B AB = distância natural entre os pontos A e B; AB = distância horizontal ou reduzida; BB = distância vertical ou diferença de nível. Na representação planimétrica dos pontos A e B utiliza-se, apenas, a distância horizontal. Tanto a distância horizontal como a vertical podem ser obtidas a partir da distância inclinada (natural) e do ângulo de inclinação do terreno. Processos de medição de distâncias Os processos de determinação de distâncias podem ser diretos e indiretos. A) Processo direto: A distância é obtida por meio de unidades retilíneas aplicadas diretamente no terreno, denominadas diastímetros. Os diastímetros mais comuns são as trenas que podem ser de lona, aço ou fibra de vidro. B) Processo indireto: Nos processos indiretos não é necessário percorrer os alinhamentos a serem medidos. Nesse caso, o instrumento é instalado num extremo do alinhamento e um complemento noutro extremo. A distância pode ser obtida por princípio ótico (estadimetria) ou por meio de princípio eletrônico (propagação de ondas eletromagnéticas). 17

Processo direto de medição de distâncias Materialização do alinhamento a ser medido: Quando a distância a ser medida é maior que o comprimento da trena que se dispõe, a primeira providência a ser tomada é a materialização do alinhamento no terreno. O alinhamento a ser medido deve ser subdividido em trechos de comprimento menor ou no máximo igual ao comprimento da trena a ser empregada. Os extremos de cada trecho devem ser alinhados com auxílio de um teodolito como mostra a figura abaixo. A a b c B O operador posicionado em A visa uma baliza colocada em B. Em seguida prende o movimento horizontal. Movimentando a luneta verticalmente orienta-se o balizeiro para marcar o ponto a que deverá estar a uma distância inferior ao comprimento da trena utilizada. Procedimento idêntico deve ser feito para posicionar os pontos b e c. Em seguida, os comprimentos dos segmentos são avaliados separadamente. Processo de medição da distância a) Medição com trena na horizontal baliza A B Trena AB = dist. hor. B Obs.: Em lugar da baliza pode-se também utilizar um fio com prumo. (esquematizar a medição por parte) b) Medição com a trena apoiada na superfície: (esquematizar dr e dn) 18

Principais fontes de erro na medição com trenas a) - Erro de catenária - ocasionado pelo peso da trena. Em virtude do peso do material da trena, a mesma tende a formar uma curva com concavidade voltada para cima. Mede-se nesse caso, um arco em vez de uma corda, o que seria o correto. flecha (f) b) - Falta de horizontalidade da trena Em terrenos com declive, a tendência do operador é segurar a trena mais próxima do piquete. Esta é uma das maiores fontes de erro. Nesse caso as distâncias ficam superestimadas. A correto incorreto B c) - Falta de verticalidade da baliza O operador pode inclinar a baliza no ato da medição ocasionando erro na medição. A distância pode ser sub ou superestimada. A B B d) - Desvio lateral da trena e) - Erro ocasionado pela dilatação das trenas. Comum em trenas de aço. A temperatura durante a medição pode ser diferente daquela de aferição da trena. 19

Processo indireto de determinação de distâncias Taqueometria ou Estadimetria É um processo de medição de distâncias em que os alinhamentos são medidos sem a necessidade de percorrê-los. Os instrumentos utilizados são denominados taqueômetros. Existem taqueômetros denominados normais e autoredutores. Trataremos dos taqueômetros normais. FS FS FM FM FI A B FI Princípio de funcionamento: E B A F C G D Dos triângulos ABC, AEF, ACD E AFG, pode-se tirar as seguintes relações: AC AF BC EF e AC CD AC = = portanto = AF FG AF BC EF + + CD FG AC AF = BD EG Considerando o conjunto taqueômetro e estádia ou mira, pode-se dizer: AC = distância que separa o instrumento da mira, isto é, medida a determinar = D; AF = distância focal = f; BD = distância entre os fios FS e FI na mira, denominada leitura estadimétrica = m; e EG = distância entre os fios do retículo no interior da luneta = h. D f m = D = h m f h Tanto a distância focal como a distância entre fios do retículo na luneta são constantes do instrumento, então a relação f / h também é uma constante. Esta constante é denominada 20

número gerador do instrumento, representada por g. Na maioria dos instrumentos é igual a 100. D = m g 1) Distância reduzida: Equações estadimétricas para terrenos inclinados Na equação D = mg considera-se que o FM faz um ângulo reto com a mira, entretanto, isso não ocorre, quando o terreno é inclinado. Torna-se necessário, então, fazer uma correção. Considere a figura abaixo: F α B A α C α D G E Os fios do retículo deveriam interceptar a mira em F, C e G, no entanto, a leitura é feita em B, C e D já que a mira fica na posição vertical. A relação entre os comprimentos FG e BD pode ser obtida como se segue: FG = n BD = m AC = distância natural (inclinada) AE = distância horizontal (reduzida) = dr dr = AC cos α AC = ng dr = ng cosα Como comentado anteriormente, na prática não se lê n e sim m, portanto torna-se necessário obter a relação entre eles. Considerando os triângulos FBC e CDG e os ângulos FCB e DCG iguais a α, tem-se: 21

FC cosα = e cosα = BC CG CD cosα = FC + CG BC + CD = FG BD n cosα = n = mcosα m dr = mcos α g cosα dr = m g cos 2 α Caso a inclinação do terreno seja representada por meio do ângulo zenital a expressão anterior deverá ser reescrita como abaixo: dr = m g sen 2 Z 2) Diferença de nível: L A α B C D E F G FG = dn (AF) (1) AG = dr = mgcos 2 α (2) EG = LA = i = altura do instrumento (3) BD = m = leitura estadimétrica (4) CF = l = leitura do FM (5) FG = CG - CF (6) CG = CE + EG (7) substituindo (7) em (6) FG = CE + EG - CF (8) 22

Pelo triângulo LCE tem-se: CE = LE tg α (9) LE = AG = dr = mg cos 2 α (10) substituindo (10) em (9) CE = mg cos 2 α tg α (11) substituindo (11), (3) e (5) em (8) FG = mg cos 2 α tg α + i - l (12) sabe-se que: tg α = senα / cosα (13) FG = mg cos 2 α sen α / cos α + i - l (14) FG = mgcosαsenα + i - l (15) sabe-se também que sen 2α = 2 senαcosα ou cosαsenα = sen2α / 2 (16) FG = mgsen2α / 2 + i - l dn = mgsen2α + i l 2 dar exemplos de utilização das fórmulas deduzidas Caso a inclinação do terreno seja representada por meio do ângulo zenital a expressão anterior de ser reescrita como abaixo: dn = mgsen2 Z 2 + i l Observe que a expressão não se alterou Erros nas medições estadimétricas: a) Erro na leitura da mira - depende da distância - depende da capacidade de aumento da luneta - depende da espessura dos fios do retículo - depende da refração atmosférica b) Erro nas leituras de ângulos verticais. c) Erro devido a falta de verticalidade da mira. (esquematizar). 23

EAM 301: TOPOGRAFIA BÁSICA - teórica 06 LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO É um conjunto de operações realizadas no campo e escritório, utilizando processos e instrumentos adequados para a obtenção de todos os elementos necessários à representação geométrica de uma parte da superfície terrestre. Na execução de um levantamento topográfico podemos considerar três fases: a) - Reconhecimento da área: Percorrer a região a ser levantada e definir os pontos que caracterizam a mesma. Os pontos são aqueles que definem o contorno do terreno e a posição dos acidentes naturais e artificiais no seu interior. b) - Levantamento da poligonal básica: Consiste no levantamento dos pontos que definem as linhas divisórias da propriedade. Se a propriedade for muito grande, em vez de um só polígono pode-se dividi-la em dois ou mais polígonos. A divisão pode ser feita com base nas linhas de divisas internas tais como cercas, estradas, córregos etc. A B C c) - Levantamento de detalhes: Consiste em definir os acidentes naturais e artificiais existentes na área a ser levantada, tais como: estradas, cursos d água, pontos que definem o relevo, benfeitorias etc. 24

Métodos de levantamentos topográficos: - Irradiação - Interseção - Triangulação - Ordenadas - Caminhamento Levantamento por Irradiação Consiste em escolher um ponto no interior do terreno a ser levantado e a partir deste determinar os elementos para definir a posição dos pontos topográficos necessários à representação de sua superfície. Em geral as operações de campo são realizadas a partir de uma única instalação do instrumento. A posição escolhida para instalar o instrumento deve permitir a visada de todos os pontos que caracterizam o perímetro e os acidentes naturais e artificiais do terreno. 0 1 sede de irradiação 7 A 2 linhas de visada 5 6 4 3 As direções das linhas de visada podem ser obtidas com a bússola ou a partir da medição de ângulos horizontais, tomando como referência a primeira linha de visada. As distâncias podem ser obtidas por processo direto ou indireto. O processo indireto é indicado por ser mais rápido. A seguir é apresentada uma caderneta de campo típica de um levantamento por irradiação a bússola e medição direta de distâncias, referente ao polígono anterior. 25

Levantamento por Irradiação à Bússola CADERNETA DE CAMPO ESTAÇÕES PONTOS VISADOS RUMOS DISTÂNCIA (m) OBSERVAÇÕES 0 1 2 A 3 4 5 6 7 Observações: - Empregado, de modo geral, como auxiliar do caminhamento, para levantamento de detalhes. - Empregado para levantamento de áreas pequenas e descampadas; Em se tratando de áreas maiores ou irregulares quanto ao contorno, pode-se empregar este método de levantamento utilizando mais de uma sede de irradiação. As sedes deverão ser interligadas por meio da medição de ângulos e distâncias, como esquematizado abaixo: x x x x x A B x x x x x x 26

Levantamento por Interseção Neste método os pontos topográficos são definidos pelas interseções dos lados de ângulos horizontais medidos das extremidades de uma base estabelecida no terreno. A única distância a ser medida neste método é aquela correspondente ao comprimento da base, geralmente obtida com uma trena. P 1 P 2 A B As distâncias entre as extremidades da base e os pontos topográficos podem ser determinadas por processo gráfico ou trigonométrico. Processo gráfico: É necessário fazer o desenho numa determinada escala. (utilizar dados do esquema anterior). Exemplo: Escala do desenho = 1:1000 1,0cm do desenho = 10m do terreno AB = 50,00 m A-P 1 = 4 cm B-P 1 = 7,6 cm d(a-p 1 ) = 4cm x 1000 = 40,00 m d(b-p 1 ) = 7,6 x 1000 = 76,00 m Processo trigonométrico: Neste caso as distâncias são determinadas por meio de equações trigonométricas, segundo a lei dos senos. Exemplo: 27

Determinação das distâncias da extremidade da base ao ponto P 2 : c P 2 a b A B AB = 50,00 m a = 40 o b = 85 o c = 180 o - (a + b) AB AP2 AB senb = AP = o senc senb sen[ 180 ( a+ b)] AP = 2 2 50, 00 sen85 o o o o sen 180 ( 40 + 85 ) AP 2 = 60,81 m Observações: O processo de interseção é empregado como auxiliar do caminhamento para levantamento de pontos de difícil acesso ou muito distantes. Levantamento por Triangulação É um tipo de levantamento semelhante ao de interseção. Além dos ângulos da base é medido também o ângulo na interseção das duas visadas. Isto permite controlar o erro angular. B Consiste em dividir a área a ser levantada numa rede de triângulos A 28

EAM 301: TOPOGRAFIA BÁSICA - teórica 07 Levantamento por Ordenadas Neste método a posição do ponto topográfico é definida pela medição de suas respectivas coordenadas retangulares. As distâncias geralmente são obtidas com trenas. 1 2 0 x A B C D E 3 y 6 5 4 Esquematizar as medições de cada ponto (distâncias). As distâncias são anotadas no croquis de campo Ao longo do alinhamento 0-3 são medidas uma abscissa e uma ordenada para posicionar cada ponto do contorno. Por exemplo: o ponto 6 é definido pela abscissa x e ordenada y obtidas com uma trena. Este tipo de levantamento é também empregado como um método auxiliar do levantamento por caminhamento para definir detalhes sinuosos das linhas divisórias como cursos d água, por exemplo. LEVANTAMENTO POR CAMINHAMENTO Consiste numa medição sucessiva de ângulos e distâncias descrevendo uma poligonal fechada. Os vértices e os lados da poligonal são utilizados para levantamentos dos acidentes topográficos que existem em suas imediações pelo emprego dos processos auxiliares. O método de levantamento por caminhamento é caracterizado pela natureza dos ângulos que se mede, daí classificar-se em: - Caminhamento à bússola; - Caminhamento pelos ângulos de deflexões. - Caminhamento pelos ângulos horários; 29

CAMINHAMENTO PELOS ÂNGULOS HORÁRIOS Ângulos horários são ângulos horizontais medidos sempre no sentido horário. Dependendo do sentido do caminhamento, os ângulos medidos podem ser internos ou externos. Hoje, a maioria dos softwares topográficos tais como: GRAU MAIOR, DATAGEOSIS, TOPOGRAF, TOPTEC, TOPOEVN, etc. traz em seus menus de entrada de dados a opção para ângulos horários. Obs.: Quando o caminhamento é feito no sentido horário, os ângulos horizontais medidos são externos. sentido do caminhamento 0 4 1 2 3 Quando o caminhamento é feito no sentido anti horário os ângulos horizontais medidos são chamados ângulos internos. sentido do caminhamento 0 1 3 4 2 30

NM Azimute de 0-1 = 145º 00 0 5 1 2 4 a 3 Fórmula para o cálculo dos azimutes Azimute calculado = azimute anterior + ângulo horário < 180º => +180º > 180º < 540º => -180º > 540º => -540º Observação: O azimute do alinhamento 0-1 é medido no limbo horizontal do teodolito devidamente orientado Caderneta de campo ESTACA VISADAS ÂNGULO AZIMUTE RÉ VANTE HORÁRIO LIDO CALC. OBS 0 5 1 267º 40 145º 00 145º 10 1 0 2 116º 00 81º 00 2 1 3 295º 00 196º 00 3 2 4 263º 30 279º 30 3 2 A 310º 45 326º 45 CASA 4 3 5 227º 30 327º 00 5 4 0 270º 30 57º 30 Azimute calculado 1-2 = azimute anterior 145º 00 + ângulo horário Azimute calculado 1-2= 145º 00 + 116º = 261º 00 180º = 81º 00 Azimute calculado 2-3 = 81º 00 + 295º 00 = 376º 00-180º = 196º 00 Azimute calculado 3-4 = 196º 00 + 263º 30 = 459º 30 180º =279º 30 Azimute calculado 3-A = 196º 00 + 310º 45 = 506º 45 180º = 326º 45 Azimute calculado 4-5 = 279º 30 + 227º 30 = 507º 00 180º = 327º 00 Azimute calculado 5-0 = 327º 00 + 270º 30 = 597º 30 540º = 57º 30 Azimute calculado 0-1 = 57º 30 + 267º 40 = 324º 70 = 325º 10 180º = 145º 10 31

Verificação do erro angular Soma dos ângulos externos de um polígono (Σ ae ) = 180(n+2) Σ ae = 180(6+2) Σ ae = 1440º 00 n=nº de lados Somando os ângulos externos do polígono em estudo, excluindo aqueles correspondentes às irradiações teremos 1440º 10. Erro angular de fechamento do polígono = 0º 10. Observação: O erro angular obtido deve coincidir com a diferença entre o primeiro azimute lido e o calculado (alinhamento 0-1). Isto indica que os cálculos dos azimutes estão corretos. Em caso contrário, deve-se refazer os cálculos. Tolerância do erro angular T= 5 n n é o nº de lados do polígono. T= 5 6 12 Erro angular = 10 Tolerância = 12 neste caso, o erro angular de fechamento é permitido. Correção do erro angular de fechamento O erro angular de fechamento do polígono, igual a 10, deverá ser distribuídos nos últimos lados. Isto é, 2 para cada um dos quatro últimos lados e 2 no primeiro lado. A correção é cumulativa, sendo somada ou subtraída de acordo com os azimutes lido e calculado do alinhamento 0-1 Obs: Não se corrige os azimutes dos pontos levantados por processos auxiliares Correção do erro angular de fechamento ESTACAS AZIMUTE AZIMUTE LIDO CALCULADO CORRIGIDO OBS 0-1 145º 00 145º 10 145º 00 1-2 81º 00 81º 00 2-3 196º 00 195º 58 3-4 279º 30 279º 26 3-A 326º 45 326º 45 CASA 4-5 327º 00 326º 54 5-0 57º 30 57º 22 Se o caminhamento fosse no sentido anti-horário, o procedimento seria o mesmo, porém os ângulos medidos no campo, seriam ângulos internos do polígono. 32

EAM 301: TOPOGRAFIA BÁSICA - teórica 08 Caminhamento pelos Ângulos de Deflexões Deflexão: é o ângulo formado pelo prolongamento do alinhamento anterior à estação do instrumento e o alinhamento seguinte. O ângulo de deflexão varia de 0 a 180 o à direita ou à esquerda do prolongamento do alinhamento. 1 D 0 2 E Operações para medição do ângulo: Exemplo: deflexão do alinhamento 1-2 1) - Centralizar, nivelar e zerar o teodolito na estação 1; 2) - Inverter a luneta e visar a estação à ré (0); 3) - Voltar a luneta à posição normal; 4) - Soltar o movimento do limbo e visar a vante (2); 5) - Ler o ângulo de deflexão no limbo horizontal do instrumento. Controle de medição angular - O levantamento por caminhamento permite o controle de medição angular quando o teodolito é dotado de bússola. - Pode-se calcular o rumo ou azimute de um alinhamento a partir da deflexão do mesmo e do rumo ou azimute do alinhamento anterior. O ângulo calculado é comparado com aquele lido no limbo da bússola. Caso a diferença entre eles seja significativa, as medições devem ser repetidas. 1)Caso de bússola graduada para medição de rumos: Rumo calculado = Rumo anterior ± deflexão 33

Exemplos: a) Rumo anterior pertencente ao quadrante NE NM NM NM N M D B B A A C C E Rumo calc. BC = Rumo ant. + D Rumo calc. BC = Rumo ant. - E b) Rumo pertencente ao quadrante SE (esquematizar) Rumo calc. = Rumo ant. - D Rumo calc. = Rumo ant. + E c) Rumo pertencente ao quadrante SO (esquematizar) Rumo calc. = Rumo ant. + D Rumo calc. = Rumo ant. - E d) Rumo pertencente ao quadrante NO (esquematizar) Rumo calc. = Rumo ant. - D Rumo calc. = Rumo ant. + E Como exemplificado, o sinal + ou - da deflexão depende do quadrante do rumo anterior. Isto pode ser memorizado conforme convenção abaixo. N O -D +D +E -E +D -D -E +E S E 2) Bússola graduada para medição de azimutes: Azimute calculado = Azimute anterior + D ou Azimute calculado = azimute anterior - E 34

Verificação do erro angular D 1 D 2 i 2 i 1 E 1 I 1 i 3 D 3 D 6 i 6 I 2 E 2 i 4 D 5 i 5 D 4 Observação: A verificação do erro angular é feita com base nas estações da poligonal básica. Dessa forma, os pontos levantados por processos auxiliares não são incluídos. Considerando o polígono anterior pode-se escrever: D 1 + i 1 = 180º I 1 - E 1 = 180º D 2 + i 2 = 180º I 2 - E 2 = 180º D 3 + i 3 = 180º I n - E n = 180º D 4 + i 4 = 180º ---------------------- D 5 + i 5 = 180º I - E = n 180º D 6 + i 6 = 180º D m + i m = 180º ------------------------ D + i = m 180º D + i + I - E = n 180º + m 180º D + i + I - E = (n + m )180º i + I = soma dos ângulos internos do polígono i + I = 180º (l-2) n + m = número de lados do polígono n + m = l 35

D + 180º (l-2) - E = 180º l D + 180º l - 360º - E = 180º l Σ D - Σ E = 360º Considerando a caderneta de campo anterior temos: Σ D = 76º 10 + 108º 30 + 92º 10 + 34º 00 + 111º 04 = 421º 54 Σ E = 62º 05 Σ D - Σ E = 421º 54-62º 05 = 359º 49 erro angular = 360º 00-359º 49 = 11 Tolerância = 5' l = 5' 6 = 12' Conclusão: o erro angular cometido durante as operações de campo é permitido. Nesse caso o erro deve ser distribuído para dar sequência ao trabalho de escritório. Observação: O erro angular obtido no levantamento deve coincidir com a diferença entre o primeiro rumo lido e o calculado. Caso contrário há erro no cálculo dos rumos. Caminhamento a Bússola Nesse método de levantamento, os alinhamentos da poligonal básica são definidos por meio de rumos ou azimutes, além das distâncias. Para locais sujeitos a interferências magnéticas o presente método não é indicado, tornando-se de baixíssima precisão, pois não permite identificar erro angular de fechamento da poligonal básica. Controle de medição angular O controle consiste em comparar a leitura de dois ângulos lidos no limbo da bússola, nas extremidades do alinhamento. a) - Bússolas graduadas para rumos: NM NM 60º NE B A 60º SO os rumos deverão ter o mesmo valor numérico porém em quadrantes diametralmente opostos Rumo a-b = 60º NE ---------> Rumo b-a = 60º SO 36

b) - Bússolas graduadas para medição de azimutes: NM NM 62º 242º o valor do azimute de ré deve diferir de 180º em relação àquele lido na primeira estação 37

EAM 301: TOPOGRAFIA BÁSICA - teórica 09 Operações topográficas de escritório 1 - Verificação do erro angular (comentado anteriormente) 2 - Distribuição do erro angular (comentado anteriormente) 3 - Preparo de Cadernetas: Para a confecção da planta é necessário obter a distância horizontal dos alinhamentos medidos no campo que juntamente com a direção dos mesmos permitirá a representação planimétrica do terreno. A distância horizontal ou reduzida é calculada pela fórmula: dr = mg cos 2 α (no caso de medição estadimétrica). A direção corresponde aos rumos ou azimutes corrigidos conforme mostrado anteriormente. A parte altimétrica da planta é representada a partir das diferenção de nível que podem ser obtidas por meio da fórmula: dn = mgsen2α/2 + i - l. A partir das dn obtém-se as cotas ou altitudes que possibilitarão a representação do relevo. EXEMPLO: Caminhamento por Ângulos Horários CADERNETA DE CAMPO EST AZIMUTES LEITURA DE MIRA ALT. ANG. OBS CALC. FI FM FS INSTR. VERT. 0-1 109º 50 1.200 1.500 1.800 1.540 +3º 30 1-a 200º 20 1.300 1.540 1.780 1.600 +2º 10 casa 1-2 69º 15 1.300 1.705 2.110 1.600 +6º 23 2-b 205º 00 1.310 1.620 1.930 1.600 +3º 10 poste 2-3 161º 20 1.240 1.667 2.094 1.600 +4º 00 3-4 211º 20 1.300 1.672 2.044 1.650-4º 40 4-5 277 o 25 1.000 1.575 2.150 1.620-3º 00 4-c 338º 40 1.280 1.540 1.800 1.620 +1º 00 casa 5-0 357º 00 1.000 1.605 2.210 1.540-2º 55 dr = mg cos 2 α dr = distância reduzida (m) m = leitura estadimétrica = FS - FI g = constante do teodolito = 100 α = ângulo de inclinação da luneta 38

dn = mgsen2α/2 + i - l dn = diferença de nível i = altura do instrumento l = leitura do fio médio dr(0-1) = (1,80-1,20). 100. (cos 3 o 30 ) 2 = 59,78 m dn(0-1) = (1,80-1,20). 100. [sen (2. 3 o 30 )]/2 + 1,54-1,50 = 3,70 O cálculo das cotas do terreno é feito a partir de um valor de cota arbitrário para o ponto 0. A escolha do valor inicial deve ser feita de modo que ao calcular as demais cotas os valores obtidos sejam positivos. COTA 1 = COTA 0 + DIF. NÍVEL COTA 1 = 20,00 + 3,70 = 23,70 EST Caderneta de Escritório AZIMUTES DIST. DIF. NÍVEL COTAS valor COTAS OBS. CALC. RED. + - CORR.* corrigido 0-1 109º 50 59.78 3.70 23,70 23,67 Cota 0 = 20,00-0,03 1-a 200º 20 47.93 1.87 25,57 25,54 casa -0,03 1-2 69º 15 80.00 8.84 32,54 32,48-0,06 2-b 205º 00 61.81 3.40 35,94 35,88 poste -0,06 2-3 161º 20 84.98 5.88 38,42 38,33-0,09 3-4 201º 20 73.91 6,06 32,36 32,24-0,12 4-5 277 o 25 114.69 5,97 26,39 26,24-0,15 4-c 338º 40 51.98 0.99 33,35 33,23 casa -0,12 5-0 357º 00 120.69 6,21 20,18 20,00-0,18 *As cotas corrigidas são obtidas após a distribuição do erro altimétrico cometido no levantamento. Erro altimétrico: A soma algébrica das diferenças de nível dos pontos da poligonal básica deve ser igual a zero. Caso contrário, há erro que é denominado erro altimétrico. Esse erro pode, também, ser obtido comparando-se o valor estipulado para a cota do ponto 0, no início dos cálculos, com a cota calculada para o ponto 0 no fechamento do polígono. 39

Tolerância: No exemplo anterior observa-se : erro altimétrico = 20,18-20,00 = 0,18 m T d = 500 n 1 T = tolerância (m); d = perímetro da poligonal base (m); e d = 534,05m n = n o de lados da poligonal base. n = 6 -----> T = 0,48m O erro altimétrico deve ser distribuído nos vértices do polígono. A correção é cumulativa e é efetuada a partir do vértice 1. Nesse exemplo, como temos 6 vértices, pode-se distribuir 0,18m nos 6 vértices, isto é 0,03 m em cada um. Como a cota calculada do ponto zero (20,18) foi superior ao valor arbitrado no início dos cálculos (20,00), a correção deve ser negativa. Nas irradiações corrige-se o mesmo valor correspondente ao da estação em que foi visado o ponto. Por exemplo, no ponto a, a correção a ser feita é 0,03m, isto é, igual àquela que foi feita para a estação 1. (ver caderneta anterior) A fase seguinte ao preparo da caderneta de escritório é a execução do desenho do terreno levantado topograficamente. Confecção da planta Desenho topográfico: É a reprodução geométrica dos dados de campo, em projeção horizontal, no plano do papel. Tipos de desenho: Planimétrico ---------> planta planimétrica Altimétrico ------------> desenho do perfil Plani-altimétrico -----> planta topográfica Processos de execução do desenho: Coordenadas Polares - Há transferência de ângulos e de distâncias para o papel. Coordenadas Retangulares - Transferência de distâncias apenas. As distâncias correspondem às projeções do alinhamento num sistema de eixos coordenados. 40

Coordenadas Polares Transferência de ângulos - transferidores comuns, tecnígrafo. Transferência de distâncias - é feita por meio de réguas comuns ou escalímetros. Quando se utiliza réguas comuns, torna-se necessário reduzir as distâncias conforme a escala do desenho. Escalas: * numéricas ---------> notação: 1 : n ou 1/n exemplo ------------> 1 : 500. Cada 0,2 cm no desenho corresponde a uma medida real de 1m * gráficas : (será visto em seguida) Fases de execução do desenho: Rascunho (papel opaco) Original (papel vegetal) Cópias (Fazer o desenho correspondente à caderneta de escritório preparada anteriormente) A distância 0'-0 da figura abaixo representa o erro gráfico de fechamento do polígono 0 0 2 1 3 5 6 41

Erro gráfico de fechamento Ocasionado pelo desvio da extremidade do último alinhamento transferido em relação ao ponto de partida. Correção do erro: a - identificação do sentido do erro, unindo 0 a 0); b - traçar paralelas ao sentido do erro em cada vértice do polígono; b - distribuir o erro nos últimos lados do polígono. A correção é acumulada; c - deslocar os vértices paralelamente ao sentido do erro; e d - unir os novos vértices Após a correção do erro gráfico de fechamento são representados os pontos levantados por processos auxiliares. A fase seguinte corresponde à representação do relevo. O relevo normalmente é representado por meio de curvas de nível. Traçado de Curvas de Nível Curva de nível: é uma linha que une os pontos de mesma cota ou altitude. Traçado das curvas: Inicialmente são obtidos os pontos de passagem das curvas com cotas inteiras. Processos: - Interpolação - A partir do desenho do perfil Para obter os pontos de passagem das curvas é necessário definir o espaçamento vertical (EV) a ser utilizado. EV corresponde à diferença de nível entre duas curvas de nível consecutivas. O EV depende da finalidade da planta. Para fixar o EV pode-se tomar como base a escala do desenho. A interpolação é realizada em uma planta aonde estão representados os pontos cotados. Exemplo: Fazer o traçado das curvas de nível na planta a seguir, confeccionada na escala 1:1000. Utilizar espaçamento vertical de 1m. alinhamento 0-1 distância gráfica 0-1 = 6,0cm (medida na planta) diferença de nível = 23,67-20,00 = 3,67m 42

Obtenção da distância horizontal entre curvas no alinhamento 0-1 3,67m -----------------> 6,00cm 1,00m -----------------> x x = 1,63 cm As curvas de nível com espaçamento de 1m estarão distanciadas de 1,63cm, considerando o alinhamento 0-1. 2 (32,48) 0 (20,00) 1 (23,67) * b (35,88) * a (25,54) * c (33,23) 3 (38,33) 5 (26,24) 4 (32,24) alinhamento 1-2 8,81m ------------------> 8,00cm 1,00m ------------------> y y = 0,91 cm O valor 0,91cm corresponde a distância horizontal para 1m de EV. No entanto, a primeira curva que intercepta o alinhamento 1-2 é a de cota 24 m que tem um desnível de 43

0,33 m em relação ao ponto 1, nesse caso é necessário calcular a distância horizontal para esse desnível. 1,00m ------------------> 0,91cm 0,33m ------------------> z z = 0,30 cm A distância horizontal entre o ponto com cota 24,00 e o ponto 1 (23,67) será 0,30 cm. As cotas inteiras seguintes estarão distanciadas de 0,91 cm. Observa-se, no alinhamento 1-2, que o espaçamento entre curvas é menor, consequentemente, esse alinhamento apresenta inclinação mais acentuada. Cálculos semelhantes deverão ser feitos para os demais alinhamentos do polígono. Deve-se considerar, também, alinhamentos internos para auxiliar no traçado das curvas. Escala Gráfica Acabamento da Planta A escala gráfica corresponde ao desenho de uma escala numérica. A presença da escala gráfica é importante principalmente quando se pretende fazer cópias ampliadas ou reduzidas da planta. Nesse caso a escala numérica perde a sua função. A escala gráfica vem apresentada logo abaixo da planta. Construção da escala gráfica: * Componentes: Título - é a escala numérica que vai dar origem à escala gráfica Divisão principal - é a maior graduação da escala (escolhida pelo desenhista) Talão - é a divisão que fornecerá a precisão da escala. Exemplo de construção: Título -----------------> 1 : 1000 Divisão principal ---> 20m <---2cm-----> 20 0 20 40 60 80m Orientação Magnética Apresentada no canto superior esquerdo da planta. Às vezes vem acompanhada do meridiano geográfico. 44

Convenções Topográficas São símbolos representativos dos acidentes naturais e artificiais contidos na planta. Vêm listados num quadro localizado, geralmente, no canto inferior esquerdo. A planta deve apresentar, também, nomes dos proprietários confinantes. Legenda - Identificação da propriedade - Proprietário - Localização - Escalas - Área da propriedade - Responsável técnico 45

EAM 301: TOPOGRAFIA BÁSICA - teórica 10 COORDENADAS RETANGULARES Na execução do desenho por meio de coordenadas retangulares transfere-se, para o papel, apenas distâncias. As distâncias a serem transferidas correspondem às projeções do alinhamento num sistema de eixos coordenados originando as abscissas e ordenadas que são as coordenadas plano-retangulares de cada ponto definido no campo. Cálculo do caminhamento Consiste em transformar coordenadas polares em coordenadas retangulares. MM b α α d a x b X Y y b coordenadas polares coordenadas retangulares sen α = x / d x = d senα α = rumo ou azimute calculado d = distância reduzida cos α = y / d y = d cosα x = abscissa y = ordenada Observação: Quando se utiliza rumos os sinais das abscissas e ordenadas dependem do quadrante do rumo, como mostrado abaixo: N O x - x + y + y + x - x + y - y - S E Exemplos: alinhamento 0-1 rumo = 50º 20 SE distância = 90,00 m x 1 = 90,00 sen 50º 20 = 69,28m y 1 = 90,00 cos 50º 20 = -57,45m 46

Quando se utiliza azimutes, os sinais das coordenadas são dados diretamente nas operações de cálculo. Exemplo: Observação: alinhamento a-b azimute = 140º 30 distância = 80,00m x b = 80,00 sen 140º 30 = 50,89m y b = 80,00 cos 140º 30 = - 61,73m As coordenadas obtidas são denominadas coordenadas relativas calculadas. Os valores encontrados podem conter erros resultantes do levantamento. Erro linear de fechamento (e) A soma algébrica das projeções dos lados de um polígono regular sobre dois eixos retangulares deve ser nula, caso contrário, há erro de fechamento do polígono. e x = soma algébrica das abscissas e x e y e y = soma algébrica das ordenadas O erro linear de fechamento é representado pela hipotenusa de um triângulo retângulo que tem como catetos o erro das abscissas e o erro das ordenadas relativas. e 2 = e x 2 + e y 2 2 2 x y e= e + e Tolerância: T = t K T = tolerância (m) t = precisão do levantamento (depende de exigências cadastrais) varia de 0,2 a 2,0 m K = perímetro do polígono (km) 47

EXEMPLO DE CÁLCULO DE COORDENADAS RETANGULARES Na planilha abaixo estão representados os dados obtidos a partir de um levantamento topográfico de um polígono com 6 lados e três pontos internos. EST AZIMUTES DISTÂNCIAS CALCULADOS REDUZIDAS 0-1 109º 50 59,78 1-2 69º 15 80,00 1-a 200º 20 47,93 2-3 161º 20 84,98 2-b 205º 00 61,81 3-4 211º 20 73,91 4-c 338º 40 51,98 4-5 277º 25 114,69 5-0 357º 00 120,69 Cálculo das coordenadas relativas x 1 = 59,78 sen 109º 50 = 56,23 y 1 = 59,78 cos 109º 50 = - 20,28 x 2 = 80,00 sen 69º 15 = 74,81 y 2 = 80,00 cos 69º 15 = 28,34 Os valores das coordenadas dos outros pontos encontram-se na planilha a seguir Determinação do erro linear de fechamento: Erro das abscissas -----> e x = - 0,24m Erro das ordenadas ----> e y = - 0,26m Erro linear e= e + e 2 2 2 2 x y e = (-0,24) + ( 0,26) = 0,35m T = t K T = 1, 0m 0,53405 T = 0,73m Nesse caso, o erro é menor que a tolerância, portanto, deve ser corrigido. A correção do erro linear é feita por meio de coeficientes de proporcionalidade obtidos a partir dos erros das abscissas e das ordenadas relacionados ao perímetro do polígono ou à soma dos módulos das coordenadas. Método do Coeficiente de Proporcionalidade relacionado ao perímetro: Consiste em distribuir os erros das abscissas e das ordenadas proporcionalmente ao tamanho dos lados da poligonal base. Os lados maiores estarão sujeitos às correções maiores. 48