Carlos Pereira dos Santos. 27 de Maio de 2013

Teoria de Jogos Combinatórios: Uma Breve Introdução Carlos Pereira dos Santos ISEC 27 de Maio de 2013 Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 1 / 70

Teorias de Jogos Teorias de Jogos Pascal-Fermat (séc. XVII) Cardano, Liber de ludo Aleae (séc. XVI) Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 2 / 70

Teorias de Jogos Teorias de Jogos Pascal-Fermat (séc. XVII) Theory of Games and Economic Behaviour, 1944 Cardano, Liber de ludo Aleae (séc. XVI) (von Neumann, Morgenstern) Equiĺıbrio de Nash, 1950 Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 3 / 70

Teorias de Jogos Teorias de Jogos Pascal-Fermat (séc. XVII) Theory of Games and Economic Behaviour, 1944 Conferência de Dartmouth, 1956 Cardano, Liber de ludo Aleae (séc. XVI) (von Neumann, Morgenstern) Stephen Cook, PxNP, 1971 Equiĺıbrio de Nash, 1950 Montecarlo, 1946 (von Neumann, Ulam) Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 4 / 70

Teorias de Jogos Teorias de Jogos Pascal-Fermat (séc. XVII) Theory of Games and Economic Behaviour, 1944 Conferência de Dartmouth, 1956 Cardano, Liber de ludo Aleae (séc. XVI) (von Neumann, Morgenstern) Stephen Cook, PxNP, 1971 Equiĺıbrio de Nash, 1950 Montecarlo, 1946 (von Neumann, Ulam) Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 5 / 70

Teorias de Jogos Jogo Combinatório: Definição Informal Definição Um jogo combinatório satisfaz as seguintes condições: 1 Dois jogadores (Esquerda, Direito) jogam alternadamente; 2 Não há dispositivos aleatórios como dados, cartas ou peões; em todos os momentos, cada jogador é conhecedor de toda a informação relativa a uma posição de jogo; 3 As regras de um jogo combinatório asseguram que, mesmo ignorando a regra da alternância, não há sequências infinitas de jogadas legais; 4 A condição de vitória é baseada no último movimento efectuado. Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 6 / 70

Teorias de Jogos Jogo Combinatório: Definição Informal Na Versão Normal o último a jogar ganha. Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 7 / 70

Teorias de Jogos Jogo Combinatório: Definição Informal Na Versão Normal o último a jogar ganha. Na Versão Misère o último a jogar perde. Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 7 / 70

História Teorias de Jogos Alda Carvalho, Carlos Pereira dos Santos, João Neto, Jorge Nuno Silva, History of Combinatorial Games, Of Boards and Men: Board Games Investigated, Actas do XIIIth Board Game Studies Colloquium, Paris, 14-17 April 2010, organizado e editado por Thierry Depaulis, pp. 241-276, 2012. Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 8 / 70

nim Jogo do nim Há um certo número de pilhas. Há dois jogadores alternando movimentos. Cada jogador escolhe uma pilha e retira-lhe o número de feijões que quiser. Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 9 / 70

nim Jogo do nim Há um certo número de pilhas. Há dois jogadores alternando movimentos. Cada jogador escolhe uma pilha e retira-lhe o número de feijões que quiser. C. L. Bouton. Nim, a game with a complete mathematical theory, Ann. Math. 3 (2), 1902, 35 39. Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 9 / 70

Bouton Jogo do nim 101 011 100 Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 10 / 70

Bouton Jogo do nim 101 011 100 010 Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 11 / 70

Bouton Jogo do nim 101 001 100 000 Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 12 / 70

Ideia Intuitiva de Igualdade e Soma Disjunctiva dominório imparcial Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 13 / 70

Ideia Intuitiva de Igualdade e Soma Disjunctiva Soma Disjunctiva (Intuição) Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 17 / 70

Ideia Intuitiva de Igualdade e Soma Disjunctiva Igualdade de Jogos (Intuição) =? Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 18 / 70

Ideia Intuitiva de Igualdade e Soma Disjunctiva Igualdade de Jogos (Intuição) Outras Componentes Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 19 / 70

Ideia Intuitiva de Igualdade e Soma Disjunctiva Igualdade de Jogos (Intuição) Outras Componentes Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 20 / 70

Definições Iniciais Definição Recursiva de Jogo Combinatório Definição Define-se recursivamente jogo combinatório J = {J E J D } em que J E é o conjunto das opções da Esquerda e J D é o conjunto das opções do Direito. J E e J D são conjuntos de jogos combinatórios (as opções são jogos) e, usualmente, utiliza-se J E e J D para designar elementos genéricos de J E e J D. J é um jogo curto se puder ser escrito na forma {J E J D } com J E e J D conjuntos finitos de jogos curtos. Caso contrário, o jogo diz-se jogo longo. Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 21 / 70

Dia 0 Definições Iniciais Dia 0 { } = 0 Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 22 / 70

Dia 1 Definições Iniciais Dia 1 {0 } = 1 { 0} = 1 {0 0} = Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 23 / 70

Definições Iniciais Outros Dias Menos Claros... No dia 2, 22 jogos nascidos. Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 24 / 70

Definições Iniciais Outros Dias Menos Claros... No dia 2, 22 jogos nascidos. No dia 3, 1474 jogos. Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 24 / 70

Definições Iniciais Outros Dias Menos Claros... No dia 2, 22 jogos nascidos. No dia 3, 1474 jogos. No dia 4, algures entre 3 triliões e 10 434 jogos... Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 24 / 70

Nímeros Definições Iniciais {0 0} = {0, 0, } = 2 {0,, 2 0,, 2} = 3 n = {0,,..., (n 1) 0,,..., (n 1)} Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 25 / 70

Desfechos Definições Iniciais Teorema (Teorema Fundamental da Teoria dos Jogos Combinatórios) Seja J um jogo combinatório. Ou o primeiro a jogar pode forçar a vitória ou o segundo a jogar pode forçar a vitória; nunca ambos. Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 26 / 70

Desfechos Definições Iniciais Teorema (Teorema Fundamental da Teoria dos Jogos Combinatórios) Seja J um jogo combinatório. Ou o primeiro a jogar pode forçar a vitória ou o segundo a jogar pode forçar a vitória; nunca ambos. Há 4 desfechos compatíveis com o teorema fundamental: Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 26 / 70

Desfechos Definições Iniciais Teorema (Teorema Fundamental da Teoria dos Jogos Combinatórios) Seja J um jogo combinatório. Ou o primeiro a jogar pode forçar a vitória ou o segundo a jogar pode forçar a vitória; nunca ambos. Há 4 desfechos compatíveis com o teorema fundamental: Desfecho Nome Definição N confuso O jogador SeguiN te pode forçar a vitória P zero (na versão normal) O jogador Prévio pode forçar a vitória. (para evitar o problema da inexistência de jogador prévio, P significa realmente que o seguin te não pode forçar a vitória) E positivo (na versão normal) Esquerda pode forçar a vitória independentemente de quem joga primeiro D negativo (na versão normal) Direito pode forçar a vitória independentemente de quem joga primeiro Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 26 / 70

Definições Iniciais Definição Recursiva de Soma Disjunctiva Definição (Soma Disjunctiva) J + H = {J E + H, J + H E J D + H, J + H D } Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 27 / 70

Igualdade Definições Iniciais Definição (Igualdade) J = H se d(j + X) = d(h + X) para todos os jogos X. Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 28 / 70

Teoria Sprague-Grundy Primeiras Intuições Emanuel Lasker (1931) (sobre o nim de lasker): (... ) Podemos provar que dois grupos são iguais se, em qualquer posição de jogo, pudermos trocar um pelo outro sem alterar o vencedor (... ). Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 29 / 70

Teoria Sprague-Grundy Teoria Sprague-Grundy R. P. Sprague. Über mathematische Kampfspiele. Tohoku Mathematical Journal, 1935. P. M. Grundy. Mathematics and Games. Eureka, 1939. Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 30 / 70

Teoria Sprague-Grundy Jogos Imparciais e Teoria Sprague-Grundy Definição (Imparcial) Um jogo J é imparcial se as opções da Esquerda e as opções do Direito forem as mesmas em J e em todos os seus seguidores. Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 31 / 70

Teoria Sprague-Grundy Jogos Imparciais e Teoria Sprague-Grundy Definição (Imparcial) Um jogo J é imparcial se as opções da Esquerda e as opções do Direito forem as mesmas em J e em todos os seus seguidores. Teorema (Teoria Sprague-Grundy) 1 Se um jogo J é imparcial, J é igual a um nímero (J = n para algum n). É usual chamar-se a n o valor Grundy de J: G(J) = n; 2 Considerando dois jogos imparciais J e H, G(J + H) = G(J) G(H). Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 31 / 70

Teoria Sprague-Grundy Reversibilidade, Função Mínimo Excluído {0,, 4 0, } (Reversibilidade, Mex) Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 32 / 70

Teoria Sprague-Grundy Reversibilidade, Função Mínimo Excluído {0,, 4 0, } (Reversibilidade, Mex) Forma Canónica Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 32 / 70

Como Aplicar? Teoria Sprague-Grundy Distinção entre Conjunto de Regras e Jogo. Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 33 / 70

Como Aplicar? Teoria Sprague-Grundy Distinção entre Conjunto de Regras e Jogo. Optaremos pela notação de A. Siegel, G para designar os jogos curtos de Conway e PG para designar os jogos de Conway em geral. Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 33 / 70

Como Aplicar? Teoria Sprague-Grundy Distinção entre Conjunto de Regras e Jogo. Optaremos pela notação de A. Siegel, G para designar os jogos curtos de Conway e PG para designar os jogos de Conway em geral. Consideremos um conjunto de regras tal como o lim. Consideremos P a classe de todas as posições possíveis do lim. O jogo fica resolvido com uma boa compreensão da injecção, P PG p P n relativo à TSG Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 33 / 70

Richard Guy Teoria Sprague-Grundy Richard Guy (n. 1916 f de 2005) Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 34 / 70

Uma Aplicação Teoria Sprague-Grundy Alex Fink, Aviezri Fraenkel, Carlos Santos, Lim is not Slim, International Journal of Game Theory (impact factor 2012-0.3), DOI: 10.1007/s00182-013-0380-z, 2013. http://link.springer.com/article/10.1007 Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 35 / 70

Dimensão nim Teoria Sprague-Grundy Carlos Pereira dos Santos, Embedding Processes in Combinatorial Game Theory, Discrete Applied Mathematics, 159, pp. 675-682 (impact factor, 2012-0.795), 2011. http://dx.doi.org/10.1016/j.dam.2010.11.019 Carlos Pereira dos Santos, Jorge Nuno Silva, Konane has Infinite Nim-Dimension, Integers, Electronic Journal of Combinatorial Number Theory, 2008. http://www.integers-ejcnt.org/vol8.html Carlos Pereira dos Santos, Jorge Nuno Silva, Nimbers in Partizan Games, Games of no Chance 4, Cambridge University Press, 2009 (aceite). Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 36 / 70

John H. Conway Teoria Geral John Conway (n. 1937) Estudou em Cambridge. Conheceu o filho de Richard Guy em 1960. Elwin Berlekamp conheceu Richard Guy numa conferência em 1966. Em 1970, Conway deu uma série de talks em Cambridge sobre a sua ideia sobre os jogos combinatórios. Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 37 / 70

Teoria Geral Primeiras Publicações D. Knuth. 1974. Surreal Numbers. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts. Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 38 / 70

Teoria Geral Primeiras Publicações D. Knuth. 1974. Surreal Numbers. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts. J. Conway. 1976. On Numbers and Games, Academic Press. Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 38 / 70

Teoria Geral Primeiras Publicações D. Knuth. 1974. Surreal Numbers. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts. J. Conway. 1976. On Numbers and Games, Academic Press. E. R. Berlekamp, J. Conway, R. Guy. Winning Ways. 1982. Academic Press, London. Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 38 / 70

Winning Ways Teoria Geral Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 39 / 70

Inversos e Ordem Teoria Geral Definição (Inversos Aditivos) G = { G R G L } Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 40 / 70

Inversos e Ordem Teoria Geral Definição (Inversos Aditivos) G = { G R G L } Definição (Ordem) J H se X, se a Esquerda ganha jogando primeiro em H + X então a Esquerda ganha jogando primeiro em J + X e se a Esquerda ganha jogando segundo em H + X então a Esquerda ganha jogando segundo em J + X. Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 40 / 70

Estrutura Teoria Geral Os jogos de Conway têm estrutura de grupo abeliano parcialmente ordenado. Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 41 / 70

Formas Construtivas Teoria Geral Há formas construtivas para se realizar comparações. Teorema (Teorema Fundamental da Versão Normal) J = 0 J é uma posição-p. Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 42 / 70

Formas Construtivas Teoria Geral Há formas construtivas para se realizar comparações. Teorema (Teorema Fundamental da Versão Normal) J = 0 J é uma posição-p. Teorema (Igualdade Jogável) J = H J H = 0. Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 42 / 70

Formas Construtivas Teoria Geral J > 0 quando a Esquerda ganha J J = 0 quando o jogador prévio J J < 0 quando o Direito ganha J J 0 quando o jogador seguinte ganha J J > H quando a Esquerda J H J = H quando o jogador prévio ganha J H J < H quando o Direito ganha J H J H quando o jogador seguinte ganha J H Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 43 / 70

Arbusto Teoria Geral {0 } = 1 d(j) = E Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 44 / 70

Arbusto Teoria Geral {0 1} d(j) = E Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 45 / 70

Arbusto Teoria Geral J H > 0 Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 46 / 70

Quantificação? Teoria Geral 0 Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 47 / 70

Números Teoria Geral Definição (Números) Um jogo combinatório J na forma canónica é um número, se todas as opções de J forem números e todos os elementos de J L forem menores do que qualquer elemento de J R. Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 48 / 70

Diádicos Teoria Geral Definição (Inteiros) n = {n 1 } Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 49 / 70

Diádicos Teoria Geral Definição (Inteiros) n = {n 1 } Definição (Diádicos) Para j > 0 e m ímpar, define-se m 2 j = { m 1 2 j m+1 } 2 j Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 49 / 70

Ajuste Mais Simples Teoria Geral Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 50 / 70

Ajuste Mais Simples Teoria Geral 1 2 3 4 5 {1 5} Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 51 / 70

Ajuste Mais Simples Teoria Geral 1 2 3 4 5 {1 5} = 2 Teorema do Ajuste mais Simples Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 52 / 70

Dicóticos Teoria Geral Outro conjunto de regras interessante: clobber, um jogo dicótico (totalmente pequeno). Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 53 / 70

Dicóticos Teoria Geral Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 54 / 70

Dicóticos Teoria Geral Definição (Jogo Dicótico) Um jogo combinatório J diz-se dicótico se para J e seguidores, quando um dos jogadores tem opções o outro jogador também tem. Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 55 / 70

Infinitesimais Teoria Geral Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 56 / 70

Infinitesimais Teoria Geral Definição (Infinitesimal) Um jogo combinatório J é infinitesimal se r < J < r para qualquer número r > 0. Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 57 / 70

Peso Atómico Teoria Geral Peso Atómico (Regra dos Dois de Avanço) Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 58 / 70

Teoria Geral Teorema do Valor Médio; Teoria da Temperatura Jogos Quentes Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 59 / 70

Teoria Geral Teorema do Valor Médio; Teoria da Temperatura Jogos Quentes {1 1} = ±1 Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 59 / 70

Teoria Geral Teorema do Valor Médio; Teoria da Temperatura Jogos Quentes {1 1} = ±1 ±1+±1+±1+... Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 59 / 70

Teoria Geral Teorema do Valor Médio; Teoria da Temperatura Jogos Quentes {1 1} = ±1 ±1+±1+±1+... {4 2} = 3 ± 1 Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 59 / 70

Teoria Geral Teorema do Valor Médio; Teoria da Temperatura Jogos Quentes {1 1} = ±1 ±1+±1+±1+... {4 2} = 3 ± 1 {4 2}+{4 2}+{4 2}+... = 3 ± 1+3±1+3±1+... = n.3+ Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 59 / 70

Teoria Geral Teorema do Valor Médio; Teoria da Temperatura Jogos Quentes {1 1} = ±1 ±1+±1+±1+... {4 2} = 3 ± 1 {4 2}+{4 2}+{4 2}+... = 3 ± 1+3±1+3±1+... = n.3+ {{100 4} 2} Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 59 / 70

Teoria Geral Teorema do Valor Médio; Teoria da Temperatura Jogos Quentes {1 1} = ±1 ±1+±1+±1+... {4 2} = 3 ± 1 {4 2}+{4 2}+{4 2}+... = 3 ± 1+3±1+3±1+... = n.3+ {{100 4} 2} {{100 4} 2} + {{100 4} 2} + {{100 4} 2} +... Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 59 / 70

Teoria Geral Quadro Geral (Versão Normal) G (versão normal) IC de Medida Não Nula Jogos Quentes J tal que J=r+inf Princípio da Translação IC de Medida Nula Infinitesimais Teorema do Valor Médio Teoria da Temperatura Jogos Dicóticos Peso Atómico Regra dos Dois de Avanço Jogos Imparciais Teoria Sprague Grundy Números Zero Teorema do Ajuste Mais Simples Teorema da Escusa dos Números Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 60 / 70

Alguns Resultados Teoria Geral Alda Carvalho, Carlos Pereira dos Santos, A Non-trivial Surjective Map onto the Short Conway s Group, Games of no Chance 4, Cambridge University Press, 2011 (aceite). A. Carvalho, Carlos P. Santos, C. Dias, F. Coelho, J. Neto e S. Vinagre, A Recursive Process Related to a Partizan Variation of Wythoff, Integers, Electronic Journal of Combinatorial Number Theory (12), 2012. http://www.integers-ejcnt.org/vol12.html Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 61 / 70

Dia 0 e Dia 1 Estrutura Dia 0 Dia 1 1 0 0 1 Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 62 / 70

Dia 2 (Guy) Estrutura Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 63 / 70

Dia 2 Estrutura 2 1 1 1 2 {1 0} {1 } {1 0, } 0 2 ±1 Construção de Conway Dia 2 {0, 1} 1 2 {0 1} { 1} 1 1 2 Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 64 / 70

Distributividade Estrutura D. Calistrate, M. Paulus, D. Wolfe. On the Lattice Structure of Finite Games. In Richard Nowakowski, editor More Games of No Chance, pages 25-30. Cambridge University Press, Mathematical Sciences Research Institute Publications 42, 2002. M. Albert, R. Nowakowski. Lattices of Games. Order, pages 75-84. Springer Netherlands, 29(1), 2012. Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 65 / 70

Alguns Resultados Estrutura A. Carvalho, Carlos Santos, C. Dias, F. Coelho, J. Neto, R. Nowakowski e S. Vinagre, On Lattices from Combinatorial Game Theory: Infinite Case, Order (impact factor, 2012-0.412), Springer, 2012 (aceite). A. Carvalho, Carlos Santos, C. Dias, F. Coelho, J. Neto, R. Nowakowski e S. Vinagre, On Lattices from Combinatorial Game Theory Modularity and a Representation Theorem: Finite Case, Theoretical Computer Science (impact factor, 2012-0.665), 2012 (submetido). Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 66 / 70

A Outra Versão... Estrutura Normal Misère Imparcial Sprague Grundy Quociente Misère Partizano Temperatura Peso Atómico!? (...) Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 67 / 70

Menos Restrições Quando Se Pode Passar... Jogos Cíclicos: J pode ser um elemento de J E (ou de J R, ou de ambos) Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 68 / 70

Menos Restrições Quando Se Ganha de Outra Forma... Jogos de Pontuação Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 69 / 70

Em Curso Menos Restrições Carlos Pereira dos Santos, Richard Nowakowski, Urban Larsson. Scoring Combinatorial Game Theory: A Useful Universe (em curso). Carlos Pereira dos Santos (ISEC) 27 de Maio de 2013 70 / 70