14 LÓGICA, MATEMÁTICA E INFERÊNCIA NO TRACTATUS Anderson Luis Nakano 1 O Tractatus Logico-Philosophicus 2 é uma obra sobre a fundamentação da lógica. Em geral, a tarefa filosófica de fundamentação de uma certa disciplina envolve duas atividades: a primeira é estabelecer as condições de possibilidade desta disciplina a partir da análise de suas pretensões; a segunda é traçar os limites do seu domínio de aplicação, i.e. delimitar o terreno onde esta disciplina exerce legitimamente sua função. A tarefa de fundamentação da lógica ficará, portanto, mais clara na medida em que elucidarmos, primeiramente, o que ela pretende. A lógica, desde o seu nascimento entre os gregos, nasceu de uma necessidade de cunho normativo, a saber, a de estabelecer o metro para a validade ou não validade de um argumento. Chamamos usualmente de argumento uma estrutura discursiva composta de premissas e de uma conclusão. O argumento é dito válido quando a verdade das premissas é suficiente para que se estabeleça a verdade da conclusão. A passagem das premissas para a conclusão em um argumento válido é denominada inferência. Nestes termos, a pretensão da lógica é estabelecer sob que condições essa passagem é permitida. É por isso que a lógica é não raro chamada de teoria da inferência. Analisemos, então, a primeira tarefa. A pergunta é: o que torna esta pretensão legítima? Em primeiro lugar, observa-se acima a necessidade de se falar da verdade e da falsidade das premissas e conclusões. Uma das condições de possibilidade da lógica é, portanto, que o discurso esteja apto à verdade ou falsidade. Nessas condições (i.e., no uso do discurso em sua função apofântica), o discurso ganha o caráter de proposição. Deste modo, é a própria possibilidade do discurso em sua forma proposicional que aparece como condição de possibilidade da lógica. É tarefa, portanto, da fundamentação da lógica esclarecer a essência e o que torna possível um discurso deste tipo. O campo proposicional do discurso, no entanto, não é apenas responsável por dar condições para que uma disciplina como a lógica possa existir, mas também é responsável por estabelecer os limites dentro dos quais ela atua. A lógica se aplica a proposições, e somente a proposições. Com isto, uma vez determinada qual é a forma 1 Doutorando em Filosofia pela UFSCar. Bolsista FAPESP. E-mail: <andersonnakano@gmail.com>. 2 L. WITTGENSTEIN, Tractatus Logico-Philosophicus, São Paulo, 1993.
15 mais geral da proposição, cumpre-se também a tarefa de traçar os limites dentro dos quais a lógica pode exercer sua função reguladora. O enfrentamento, por parte de Wittgenstein, da questão acerca da essência da proposição resultará em uma série de exigências lógico-ontológicas que culmina nas noções ontológicas de objetos e estados de coisas e nas noções lógicas de nomes simples e proposições elementares. Não é o caso aqui de recuperarmos os argumentos do filósofo que mediam a introdução dessas noções. Iremos direto ao resultado, em particular, aos aforismos 5 e 6 do Tractatus. O aforismo 5 nos revela a essência da proposição; o aforismo 6, sua forma geral. Segundo o aforismo 5, a proposição é uma função de verdade das proposições elementares. Proposições elementares são aquelas das quais nada se segue, isto é, nada se pode inferir de sua verdade ou falsidade. Dizer que uma proposição qualquer é uma função de verdade de proposições elementares significa afirmar que o valor de verdade daquela é logicamente determinado pelos valores de verdade destas. Se chamamos de sentido proposicional as condições de verdade de uma proposição, este sentido estará completamente determinado quando, dadas as combinações de possibilidade de verdade ou falsidade das proposições elementares, for determinado quais combinações tornam a proposição verdadeira. Wittgenstein chama estas combinações que verificam uma proposição de fundamentos de verdade desta proposição. É importante ressaltar, de passagem, que a completa determinação do sentido é, para Wittgenstein, um atributo essencial do sentido proposicional. Deste modo, a proposição expressa um sentido apenas se esse sentido for completamente determinado. Se designarmos o número de proposições elementares por n, o número de combinações diferentes de valores de verdade destas proposições é igual a 2 n. Como a proposição, para que ela tenha um sentido, deve atribuir um valor de verdade para cada uma destas combinações, o número de proposições com sentido diferente é de 2 2n. Chamaremos agora a atenção para alguns casos especiais dentre estas proposições. Se todas combinações de verdade ou falsidade das proposições elementares são fundamentos de verdade de uma proposição, ela é uma tautologia. Caso nenhuma o seja, ela é uma contradição. Decorre disso que há apenas uma tautologia e uma contradição. Ambas não tem condições de verdade, pois uma é verdadeira incondicionalmente, e a outra sob nenhuma condição. Wittgenstein diz que elas são sem sentido (sinnlos), mas não contrassensos (unsinnig), pois pertencem ao simbolismo. Uma proposição é dita ser a contraditória de uma outra proposição se os
16 fundamentos de verdade de uma não são fundamentos de verdade da outra, e vice-versa. Fica claro também que, para cada proposição, há uma e apenas uma proposição que lhe é contraditória ou, como diz o filósofo, há apenas uma proposição que está inteiramente fora [de uma dada proposição] (5.513). De duas proposições contraditórias pode-se afirmar que exatamente uma delas é verdadeira. Finalmente chegamos à inferência: dizemos que a verdade de uma proposição se segue da verdade de uma outra se todos os fundamentos de verdade desta são fundamentos de verdade daquela (5.12). Deste modo, se p se segue de q, o sentido de p está contido no sentido de q (5.122). Agora, se p se segue de q, posso inferir p de q; deduzir p de q (5.132). Para fins elucidativos, vamos apresentar as noções acima por meio de uma tabela de verdade e vamos supor que há apenas 2 proposições elementares: p e q. Cada linha da tabela de verdade apresenta uma combinação de valores de verdade das proposições elementares. As 2 22 = 16 proposições possíveis são apresentadas nas colunas da tabela, e são denominadas por p 1, p 16. A verdade de uma proposição é apresentada por um V, a falsidade por um F. p q p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 p 6 p 7 p 8 p 9 p 10 p 11 p 12 p 13 p 14 p 15 p 16 V V V F V V V F F F V V V F F F V F F V V V F V V F V V F F V F F V F F V F V V V F V V F V F V F F V F F F F F V V V V F V V F V F F V F F F F De acordo, então, com a tabela acima, a proposição p 1 é uma tautologia; a proposição p 16 é uma contradição; a proposição contraditória em relação a uma certa proposição se encontra no seu oposto simétrico da tabela (e.g. são pares de proposições contraditórias p 1 e p 16, p 2 e p 15, p 3 e p 14, etc.); é possível visualizar imediatamente quando uma proposição se segue da outra por meio da comparação de seus fundamentos de verdade (e.g. p 5 se segue de p 8 pois todos os fundamentos de verdade de p 8 são também fundamentos de verdade de p 5 ).
17 A inferência ocorre, então, quando a premissa diz mais ou pelo menos o mesmo que a conclusão. Deste modo, a inferência se caracteriza por uma perda ou diminuição de sentido ou, no máximo, em uma identidade do sentido, i.e. o sentido da conclusão é sempre menor ou igual que o sentido da premissa 3 (suas condições de verdade são menores ou equivalentes). Se é certo que o Tractatus nos conduz, como afirma Ramsey, a uma teoria da inferência extremamente simples 4, é enganoso dizer, como o faz Russell, que o Tractatus nos leva a uma simplificação surpreendente da teoria da inferência 5. Aos olhos de Wittgenstein, a teoria da inferência desenvolvida no Tractatus recebe um aspecto totalmente novo e muito importante 6, que difere dos sistemas lógicos de Frege e Russell, nos quais a inferência era justificada por leis básicas ou axiomas lógicos. Deste modo, não se trata apenas de uma simplificação da teoria dos Grundgesetze 7 ou dos Principia 8, mas de uma teoria distinta e mais clara da inferência, pois mostra que entre as premissas e a conclusão de uma inferência não há intermediários. Como fica claro no exemplo acima, em que é possível inferir p 5 de p 8, são apenas as próprias proposições envolvidas (premissa e conclusão) que justificam a inferência. Ou, como o filósofo coloca: O modo de inferência há que ser derivado das duas proposições por elas mesmas. / Só elas podem justificar a inferência. / 'Leis de inferência', as quais como em Frege e Russell cumpra justificar as inferências, não têm sentido e seriam supérfluas (5.132). Wittgenstein caracteriza, no aforismo 6.1 as proposições da lógica como tautologias 9. Como vimos, a tautologia não pode justificar uma inferência: a inferência decorre, usando os termos do filósofo, de uma relação interna entre essas proposições. Essa relação interna, em uma notação perspícua, manifesta-se na própria estrutura das proposições envolvidas (5.13). A tabela de verdade, apresentada anteriormente, apresenta estas relações de modo transparente, e a inferência de uma 3 Anteriormente havíamos caracterizado a inferência como uma passagem de premissas para uma conclusão e agora, ao que parece, a inferência é a passagem de uma única premissa para uma única conclusão. Na verdade, quando se tem diversas premissas, elas podem ser reduzidas a uma única premissa cujo sentido é formado pelo produto lógico das premissas (voltaremos a falar do produto lógico de duas proposições adiante). 4 F.P. RAMSEY, The Foundations of Mathematics: And Other Logical Essays, 1931, p. 277. 5 WITTGENSTEIN 1993, p. 121. 6 Retirado de um post-scriptum de uma carta a Russell, datada de 29 de outubro de 1913. 7 G. FREGE, Grundgesetze der Arithmetik, Jena, 1893. 8 A.N. WHITEHEAD, B. RUSSELL, Principia mathematica, Cambridge, 1910. 9 Será preciso, mais tarde, justificar a ocorrência, no Tractatus, de tautologias no plural pois, como já foi apontado, em sentido estrito há apenas uma tautologia.
18 proposição a outra é uma questão de visualizar as relações internas existentes entre tais proposições. É de se perguntar, então, qual é o papel das proposições da lógica pois, se elas são sem sentido e, em uma notação perspícua, elas não tem nenhum papel na inferência, elas parecem não cumprir função alguma na teoria da inferência do Tractatus. Para que as proposições da lógica tenham algum papel na inferência, é preciso, ao que parece, de um mínimo de opacidade notacional, caso em que as relações internas entre as proposições não são imediatamente visíveis. Na linguagem corrente, por exemplo, o modo pelo qual as proposições são expressas velam a estrutura real do sentido proposicional, do pensamento. Por outro lado, as proposições da lógica não podem ser aplicadas, como mostrou Russell, na linguagem corrente assim como ela se apresenta, sob pena de se cair em paradoxos (a peruca lógica do atual rei da França 10 ). Para que a lógica possa ser aplicada, é preciso de um processo laborioso de análise que restaure, na superfície da linguagem, a estrutura do pensamento. Com isso, no entanto, não damos um passo sequer para a solução de nosso problema: por um lado, seria inútil empregar as proposições da lógica com o intuito de traduzir estas expressões da linguagem corrente em uma notação mais perspícua (tautologias não têm função alguma na análise lógica de nossa linguagem); por outro lado, se a aplicação das proposições da lógica exigem uma linguagem analisada, e a inferência, em uma linguagem analisada se dá mediante a mera inspeção da estrutura do argumento, as proposições da lógica voltam a parecer ociosas. Onde buscar, então, no cenário do Tractatus, esse mínimo de opacidade notacional que pode dar um papel às proposições da lógica? Se, no caso apontado acima, a notação com tabelas de verdade é perspícua para apresentar relações internas entre proposições, sua perspicuidade diminui na medida em que o número de proposições elementares aumenta, tornando-se nula no caso de uma infinidade de proposições elementares. Nestes casos, o Tractatus possui outras maneiras de expressar a dependência verofuncional de uma proposição em relação às proposições elementares. É o momento de falar do aforismo 6 do Tractatus. O aforismo 6 apresenta a forma geral da proposição, especificando o modo pela qual todas proposições podem ser construídas: A forma geral da função de verdade é [p, ξ, N(ξ)]. / Isso é a forma geral da proposição. (6). Isso diz apenas, continua Wittgenstein, que toda proposição é um resultado da aplicação sucessiva da operação 10 B. RUSSELL, «On denoting», Mind, XIV, 4, 1905, p. 479-493, p. 485.
19 N(ξ) às proposições elementares. Para compreender a notação apresentada no aforismo 6, é necessário explicar a operação N(ξ). O resultado desta operação é a negação simultânea de todas as proposições selecionadas pela variável ξ. Por exemplo, se a variável ξ é descrita de modo a selecionar os valores proposicionais Isto é verde e Isto é vermelho, o resultado da operação N(ξ) será a proposição Isto não é nem verde nem vermelho. O Tractatus menciona três maneiras de se fazer esta seleção: i) enumeração direta; ii) especificação de uma função material fx, cujos valores para todos os valores de x são as proposições a serem descritas; série formal. iii) especificação de uma operação para a construção das proposições de uma Com estes três métodos de seleção e com a operação N(ξ), o Tractatus pretende dar conta da totalidade de proposições que podem ser construídas. Para o presente momento, ser-nos-á suficiente a utilização do primeiro modo de seleção de proposições: a enumeração direta. Com isto, é possível definir todas as operações de verdade usuais do cálculo proposicional: Def. ~p = Def. p q = Def. p q = Def. p v q = Def. p q = N(p) N(N(N(p,p), q), N(N(p,p), q)) N(N(p,p), N(q,q)) N(N(p,q), N(p,q)) N(N(p, N(p,q)), N(q, N(p,q))) Embora estas definições sejam importantes para mostrar que o operador N(ξ) é capaz de expressar todas as operações de verdade acima, elas não são essenciais para as operações de verdade. A prova disso é que haveria infinitas outras definições tão boas quanto estas apresentadas acima e que definiriam a mesma operação de verdade. O que é essencial a todas elas é o modo pelo qual elas transformam a base no resultado de sua aplicação. Embora algumas delas sejam definidas acima como o resultado de diversas aplicações da operação N(ξ), elas sempre podem ser entendidas como sendo de fato uma operação, cuja aplicação permite transformar, de um só golpe, uma certa proposição em outra. Um ponto crucial é o fato de que a ocorrência da operação em uma proposição não caracteriza, segundo o filósofo, o sentido desta proposição (5.25). Evidentemente,
20 dada a operação e sua base (seu argumento ), o sentido da proposição resultante estará determinado. O que Wittgenstein quer dizer com o fato de que a ocorrência da operação não caracteriza o sentido da proposição é que é completamente inessencial para a proposição que ela seja apresentada como o resultado de certas operações: esta mesma proposição poderia ser apresentada como o resultado de outras operações e, portanto, aquela operação não é um componente essencial para a simbolização da proposição. A mesma proposição p poderia ser expressa como ~:~p.v. ~p q p:~q p, etc. Trata-se, neste caso, de diferentes modos de apresentação da mesma proposição. Por oposição, as partes de uma proposição elementar são essenciais para sua simbolização. A cada parte da proposição que caracteriza seu sentido, Wittgenstein denomina uma expressão (um símbolo) (3.31). A operação, afirma o filósofo, não enuncia nada, apenas seu resultado o faz, e este depende das bases da operação (5.25). O que ocorre, então, quando uma proposição é apresentada como o resultado de certas operações, é a aparição de um hiato entre o modo de apresentação e a própria proposição. Pois uma operação é, como o próprio termo indica, um ato, e a consequência inevitável da representação estática da operação em signos notacionais é o surgimento de uma distância entre o estado anterior à aplicação da operação e estado posterior a sua aplicação (o resultado da operação). É essa distância que cria, ao nosso ver, o mínimo de opacidade na notação que torna útil as proposições da lógica. A propósito, é exatamente o modo de apresentação por meio de operações que legitima falarmos de tautologias no plural, pois é apenas ele que introduz uma distinção no modo pelo qual a tautologia esta, a única é construída. Uma metáfora geométrica será útil para esclarecer o que queremos dizer com este hiato entre a operação e seu resultado. Suponha que tivéssemos que apresentar figuras geométricas (polígonos) regulares inscritas em um círculo unitário. Deste modo, cada figura seria determinada pelo seu número de lados e pela sua rotação (por convenção poderíamos estabelecer que uma rotação de 0 equivale ao fato de que um lado da figura está paralelo à margem inferior da página). Poderíamos estabelecer, então, a seguinte notação para apresentar estas figuras: [n, m ]. O primeiro número entre os colchetes indica o número de lados da figura, e o segundo sua rotação. As figuras abaixo ilustram o uso desta notação. I II III IV V
21 [3, 0 ] [3, 180 ] [4, 0 ] [4, 45 ] [8,180 ] Poderíamos, no entanto, apresentar tais figuras como o resultado de certas operações sobre outras figuras geométricas. Considere, por exemplo, duas operações Σ e Ψ, definidas do seguinte modo: Σ transforma um polígono regular em um outro polígono regular com um lado a mais; Ψ rotaciona um polígono regular em 45. Deste modo, poderíamos apresentar, por exemplo, as figura IV e V acima como o resultado de operações sobre uma certa figura geométrica considerada como base: [4, 45 ] = Ψ Σ [3, 0 ] [4, 45 ] = Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Σ [3, 180 ] = Ψ 5 Σ [3, 180 ] [8, 180 ] = Ψ Ψ Ψ Ψ Σ Σ Σ Σ Σ [3, 0 ] [8, 180 ] = Ψ Ψ Ψ Σ Σ Σ Σ [4, 45 ] Estas operações podem ser vistas como regras de construção da figura apresentada (assim como na geometria, em que partimos de regras de construção simples para produzir certas figuras geométricas mais complexas). A instrução, no entanto, do modo pelo qual uma figura é construída (digamos, Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Σ [3, 180 ]) não deixa transparecer, na superfície do sinal, o resultado da construção. É preciso, para compreender o elo existente entre, de um lado, a instrução de construção e, de outro, o objeto construído, de uma atividade que elimine o hiato existente entre o modo de apresentação e aquilo que é apresentado. Essa atividade chama-se cálculo. Voltemos agora para o caso das proposições. Segundo Wittgenstein, negação, adição lógica, produto lógico, etc., são operações (5.2341). Isso implica que a ocorrência destas operações no sinal proposicional não caracteriza como vimos anteriormente o sentido proposicional. Estas operações, é importante destacar, pertencem a uma classe de especial de operações: são operações de verdade. Operações de verdade são operações cujo resultado é determinado apenas pelo valor de verdade das bases da operação. Por esse motivo, elas podem ser apresentadas, assim como as proposições genuínas, por meio de tabelas de verdade. A tabela abaixo, por exemplo, apresenta a operação de produto lógico de duas proposições: p q r
22 V V V F V F V F F F F F Nesta tabela, p e q representam as bases da operação, e r o resultado da aplicação da operação a estas bases. Cada linha da tabela representa uma situação possível em que a operação é aplicada a estas bases: elas podem ser ambas verdadeiras (e o resultado é uma proposição verdadeira), uma verdadeira e falsa (e o resultado é uma proposição falsa) e assim por diante. Se aplicarmos, por exemplo, a operação de produto lógico a duas das proposições da primeira tabela (digamos, p 7 e p 8 ) obtemos uma outra proposição da tabela (p 14, no caso). Dependendo do modo pelo qual certas operações de verdade são aplicadas a certas bases, o resultado é, independente do valor de verdade das bases, verdadeiro. Neste caso, sabemos que a proposição resultante é uma tautologia, uma proposição da lógica. É neste momento que podemos reconhecer a utilidade das tautologias para a inferência. Diz o filósofo: Que as proposições 'p q', 'p' e 'q', ligadas entre si na forma '(p q). (p) : : (q)', resultem numa tautologia mostra que q se segue de p e p q. Um outro exemplo é o de uma proposição tautológica da forma p q. Se se trata de uma tautologia, isto mostra que p e q têm o mesmo sentido e que, portanto, pode-se substituir p por q (inferir p de q e vice-versa) salva veritate em qualquer outra proposição. Evidentemente, esta forma é inútil caso p e q expressem o mesmo modo de construção de uma proposição (e.g. p q.. p q ), ela torna-se, no entanto, útil para mostrar distintas maneiras pelas quais a mesma proposição pode ser construída (e.g. ~:~p.v. ~p : : q p:~q p ). Deste modo, tautologias nos revelam, em geral, esquemas de inferência, que dependem apenas do modo pelo qual as premissas e as conclusões do argumento são construídas por meio de operações de verdade. Que elas sejam tautologias, isto revela certas propriedades estruturais das proposições envolvidas, propriedades que poderiam ser visualizadas se calculássemos de fato o resultado das operações de modo a traduzir a apresentação para uma forma na qual a estrutura do sinal fosse fiel à estrutura da proposição. O reconhecimento de uma tautologia apenas nos poupa da tarefa de realizar este cálculo toda vez que nos deparamos com um argumento de uma certa forma: a constatação de que se trata de um argumento desta forma e do fato de que uma certa
23 proposição é uma tautologia nos poupa da tarefa de esmiuçar o argumento: reconhecemo-lo válido de imediato. BIBLIOGRAFIA FREGE (1893) G. FREGE, Grundgesetze der Arithmetik, Jena. RAMSEY (1931) F. P. RAMSEY, The Foundations of Mathematics: And Other Logical Essays. RUSSELL (1905) B. RUSSELL, «On denoting», Mind, XIV, 4, p. 479-493. WHITEHEAD, RUSSELL (1910) A.N. WHITEHEAD, B. RUSSELL, Principia mathematica, Cambridge. WITTGENSTEIN (1993) L. WITTGENSTEIN, Tractatus Logico-Philosophicus, São Paulo.